Métodos Numéricos. A. Ismael F. Vaz. Departamento de Produção e Sistemas Escola de Engenharia Universidade do Minho

(1)

Métodos Numéricos

A. Ismael F. Vaz

Departamento de Produção e Sistemas Escola de Engenharia Universidade do Minho aivaz@dps.uminho.pt

Mestrado Integrado em Engenharia Mecânica Ano lectivo 2007/2008

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Conteúdo

1 Introdução

2 Erros

3 Zeros de funções

4 Resolução de sistemas lineares

5 Resolução de sistemas não lineares

6 Interpolação polinomial

7 Interpolação segmentada - Splines

8 Mínimos quadrados lineares

9 Equações diferenciais - Condições iniciais

10 Equações diferenciais - Condições Fronteira

11 Integração numérica

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Conteúdo

1 Introdução

2 Erros

4 Resolução de sistemas lineares 5 Resolução de sistemas não lineares 6 Interpolação polinomial

7 Interpolação segmentada - Splines 8 Mínimos quadrados lineares

9 Equações diferenciais - Condições iniciais 10 Equações diferenciais - Condições Fronteira 11 Integração numérica

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Apresentação - Docente

Aulas teóricas

A. Ismael F. Vaz - aivaz@dps.uminho.pt www.norg.uminho.pt/aivaz

Aula teórico-prática e práticas Senhorinha Teixeira – st@dps.uminho.pt Ana Maria Rocha – arocha@dps.uminho.pt Horário de atendimento

Quintas das 14h00 às 15h00. Marcação por email.

As docentes das TPs e Ps terão o seu horário de atendimento.

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Apresentação - Docente

Aulas teóricas

Aula teórico-prática e práticas Senhorinha Teixeira – st@dps.uminho.pt Ana Maria Rocha – arocha@dps.uminho.pt

Horário de atendimento Quintas das 14h00 às 15h00. Marcação por email.

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Apresentação - Docente

Aulas teóricas

Aula teórico-prática e práticas Senhorinha Teixeira – st@dps.uminho.pt Ana Maria Rocha – arocha@dps.uminho.pt Horário de atendimento

Quintas das 14h00 às 15h00. Marcação por email.

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Apresentação - Disciplina

Página da disciplina;

www.norg.uminho.pt/aivaz

6 fichas TPs a realizar ao longo do semestre (17 valores nas aulas Ts) e 6 fichas Ps a realizar ao longo do semestre (3 valores 0.5 cada -nas aulas Ps).

A classificação final é: Fichas TPs + Fichas Ps.

Não é obrigatória a presença nas aulas Ts, TPs ou Ps. Mas atenção aos momentos de avaliação.

A avaliação feitas nas aulas Ps é considerada avaliação laboratorial, pelo que é exigido o valor mínimo de 50% para ter frequência (poder ir a exame).

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Apresentação - Disciplina

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Apresentação - Disciplina

(10)

Apresentação - Disciplina

(11)

Apresentação - Disciplina

(12)

Material necessário e de apoio

Calculadora científica;

Folhas das fichas TPs; Papel e caneta;

Livro de Computação Numérica; www.norg.uminho.pt/emgpf Software CoNum;

www.norg.uminho.pt/emgpf

Formulário e acetatos disponíveis na página; www.norg.uminho.pt/aivaz

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Material necessário e de apoio

Calculadora científica; Folhas das fichas TPs;

Papel e caneta;

Livro de Computação Numérica; www.norg.uminho.pt/emgpf

Software CoNum;

(14)

Material necessário e de apoio

Calculadora científica; Folhas das fichas TPs; Papel e caneta;

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Material necessário e de apoio

Livro de Computação Numérica; www.norg.uminho.pt/emgpf

Software CoNum;

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Material necessário e de apoio

(17)

Material necessário e de apoio

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Programa detalhado

Dia Matéria

28-Fev Apresentação da disciplina. Erros. Algarismos significativos. Fórmula fundamental dos erros. Erros de truncatura.

06-Mar Solução de equações não lineares. Método dos gráficos. Método da secante e sua convergência. Método de Newton e sua convergência. Critérios de paragem.

13-Mar Sistemas de equações lineares. Eliminação de Gauss com pivotagem parcial. Avaliação sobre zeros de funções (2.5 valores).

27-Mar Métodos iterativos de Gauss-Seidel e Jacobi. Sistemas de equações não lineares. Método de Newton.

03-Abr Interpolação polinomial. Diferenças divididas. Fórmula interpoladora de Newton. Erro da fórmula interpoladora de Newton. Avaliação sobre sistemas lineares e não lineares (2.5 valores).

(19)

Programa detalhado

Dia Matéria

10-Abr Splines lineares e cúbicas. 17-Abr Splines cúbicas. Revisões

24-Abr Revisões. Avaliação sobre interpolação (3 valores). 08-Mai Mínimos quadrados polinomiais e modelos lineares.

30-Mai Equações diferenciais com condições iniciais de 1a_{. Sistemas de} equa-ções diferenciais de 1a _ordem.

05-Jun Equações diferenciais de ordem superior. Avaliação sobre mínimos quadrados (3 valores).

12-Jun Equações diferencias com condições fronteira. Integração numérica. Fórmulas simples e compostas do Trapézio, Simpson e 3/8.

19-Jun Revisões. Avaliação sobre equações diferenciais (3 valores). 26-Jun Revisões. Avaliação sobre integração (3 valores).

03-Jul Revisões.

(20)

Motivação da disciplina

Presente em todos os cursos de engenharia (aplicações em todas as áreas da engenharia);

A disciplina de métodos numéricos dedica-se à resolução numérica de problemas matemáticos. Com o desenvolvimento dos computadores encontra-se direccionada para a implementação de algoritmos estáveis.

(21)

Motivação da disciplina

Presente em todos os cursos de engenharia (aplicações em todas as áreas da engenharia);

A disciplina de métodos numéricos dedica-se à resolução numérica de problemas matemáticos. Com o desenvolvimento dos computadores encontra-se direccionada para a implementação de algoritmos estáveis.

(22)

Controlo óptimo - Um exemplo

Problema de optimização do processo semi-contínuo de produção de Etanol.

O problema de optimização é: (t0 = 0 e tf = 61.2 dias) max u(t) J (tf) ≡ x3(tf)x4(tf) s.t. dx1 dt = g1x1− u x1 x4 dx2 dt = −10g1x1+ u 150 − x2 x4 dx3 dt = g2x1− u x3 x4 dx4 dt = u 0 ≤ x4(tf) ≤ 200 0 ≤ u(t) ≤ 12 ∀t ∈ [t0, tf] com g1= _0.408 1 + x3/16 _x 2 0.22 + x2 g2= ₁ 1 + x3/71.5 _x 2 0.44 + x2

onde x1, x2e x3são as concentrações da massa celular, substrato e produto (g/L), e x4é o volume (L). As condições iniciais são:

x(t0) = (1, 150, 0, 10)T.

(23)

Abordagem para a resolução

Grande exigência em termos numéricos;

Grande exigência em termos de programação;

Solução da equação diferencial com o CVODE (software em C);

Problemas codificados em AMPL (linguagem de modelação); Algoritmo para optimização sem derivadas;

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Abordagem para a resolução

Grande exigência em termos numéricos; Grande exigência em termos de programação;

Solução da equação diferencial com o CVODE (software em C); Problemas codificados em AMPL (linguagem de modelação);

Algoritmo para optimização sem derivadas;

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Abordagem para a resolução

Solução da equação diferencial com o CVODE (software em C);

Problemas codificados em AMPL (linguagem de modelação); Algoritmo para optimização sem derivadas;

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Abordagem para a resolução

Solução da equação diferencial com o CVODE (software em C); Problemas codificados em AMPL (linguagem de modelação);

Algoritmo para optimização sem derivadas;

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Abordagem para a resolução

Solução da equação diferencial com o CVODE (software em C); Problemas codificados em AMPL (linguagem de modelação); Algoritmo para optimização sem derivadas;

(28)

Conteúdo

1 Introdução

2 Erros

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Formato de vírgula flutuante normalizado

f l(x) = ±0.d1d2...dk× 10e

onde, 0.d1d2. . . dk corresponde à mantissa, e e é o expoente.

f lt(x) representa o valor de x em vírgula flutuante truncado e

f la(x) representa o valor de x em vírgula flutuante arredondado.

Exemplo

x = 2

3

f lt(x) = 0.66666 × 100

f la(x) = 0.66667 × 100

(30)

Formato de vírgula flutuante

(norma IEEE-754, 32 bits)

σ e + 64 d1 d2 d3 d4 d5 d6

1 bit 7 bits 4 bits 4 bits 4 bits 4 bits 4 bits 4 bits

Exemplo

x = 2490.125 = 9 × 162+ 11 × 161+ 10 × 160+ 2 × 16−1= 9 × 16−1+ 11 × 16−2+ 10 × 16−3+ 2 × 16−4 × 163

0 1000011 1001 1011 1010 0010 0000 0000

σ e + 64 d1 d2 d3 d4 d5 d6

(31)

Exemplo de programação

(32)

Exemplo de programação

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Erros

Seja x o valor exacto e x o seu valor aproximado, que será usado nos cálculos

x − x é o erro absoluto (normalmente não se pode calcular, porque x é desconhecido);

|x − x| ≤ δ_x é o limite superior do erro absoluto; rx =

|x−x|

|x| = |x|δx ≈ |x|δx é o erro relativo. Exemplo

Pediu-se a duas pessoas para contarem laranjas de dois cestos. A primeira contou 980 laranjas num cesto de 1000 e a segunda contou 480 num cesto de 500. Apesar de cometerem o mesmo erro absoluto (δ1= 20 laranjas e δ2= 20 laranjas)

a segunda cometeu um erro maior, visto que r1= ₁₀₀₀20 = 0.02 e r2= ₅₀₀20 = 0.04.

(34)

Erros

|x − x| ≤ δ_x é o limite superior do erro absoluto;

rx = |x−x|

(35)

Erros

|x−x|

|x| = |x|δx ≈ |x|δx é o erro relativo.

Exemplo

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Erros

|x−x|

Pediu-se a duas pessoas para contarem laranjas de dois cestos. A primeira contou 980 laranjas num cesto de 1000 e a segunda contou 480 num cesto de 500. Apesar de cometerem o mesmo erro absoluto (δ1= 20 laranjas e δ2= 20 laranjas) a segunda cometeu um erro maior, visto que r1= ₁₀₀₀20 = 0.02 e r2= ₅₀₀20 = 0.04.

(37)

Fórmula fundamental dos erros

Dados n valores aproximados, x1, . . . , xn, e os seus respectivos erros

absolutos é possível calcular um majorante para o erro absoluto cometido quando se aplica uma função f , através da fórmula fundamental dos erros.

δf ≤ Mx1δx1+ Mx2δx2 + ... + Mxnδxn

onde max_x∈I ∂f ∂_xi ≤ Mxi, com I = Ix1 × · · · × Ixn e Ixi = [xi− δxi, xi+ δxi] rf ≤ δf |f (x₁, . . . , xn)|

(38)

Exemplo

Cálculo dos limites do erro absoluto e relativo do cálculo da função f (x) = x1− x2. Temos que ∂f ∂x1 ≤ Mx1 = 1 e ∂f ∂x2 ≤ Mx2 = 1, logo δf = δx1+ δx2 e rf ≤ δx1+ δx2 |x1− x2|

(39)

Algarismos Significativos

Casa decimais são as casas (algarismos) à direita da vírgula.

Os algarismos significativos são aqueles em que temos confiança do seu valor.

Exemplos:

0.1234567 tem 1 algarismo significativo se δ = 0.05, 2 se δ = 0.005 e 7 se δ = 0.00000005.

0.0000020 tem 7 casas decimais e 2 algarismos significativos (δ = 0.00000005).

Quando todas as casas decimais são significativas 0.2 é diferente de 0.20.

(40)

Conteúdo

1 Introdução 2 Erros

(41)

Forma geral do problema

Pretende-se determinar x∗ tal que

f (x) = 0 Exemplo

Temos x∗ = −0.567143290409784 como solução para

ex+ x = 0

Nota: uma equação não linear pode não ter solução, ou ter mais do que uma.

(42)

Métodos iterativos

Uma sequência diz-se iterativa se é definida por uma função F

independente de k e dependente de um ou vários elementos anteriores a ele, xk= F (xk−1, xk−2, . . . )

Aproximações iniciais

Um método que se baseie numa sequência iterativa com k − 1 elementos anteriores necessita também de k − 1 valores iniciais.

Exemplo

xk= xk−1+ xk−2

Partindo de x0 = 1 e x1 = 1 temos x2 = x1+ x0 = 2,

x3= x2+ x1 = 2 + 1 = 3, x4 = x3+ x2= 3 + 2 = 5 gera uma sequência

com os números de Fibonacci.

(43)

Convergência

Uma sequência iterativa diz-se convergente quando lim k→∞xk = x ∗ Convergência superlinear lim k→+∞ |x∗_{− x} k+1| |x∗_{− x} k|1.618 = L ou lim k→+∞ |x∗_{− x} k+1| |x∗_{− x} k| = 0 Convergência quadrática lim k→+∞ |x∗− x_k+1| |x∗_{− x} k|2 = L

(44)

Critério de Paragem

A sequência de aproximações pode ser infinita. Como se pretende obter uma aproximação à solução implementa-se um critério de paragem.

Estimativa do erro relativo dk=

|x_k+1− x_k| |x_k+1| ≤ 1 Valor da função

|f (x_k+1)| ≤ 2

Número máximo de iterações

k ≥ nmax

(45)

Método dos gráficos

Uma aproximação ao zero da função f (x) pode obter-se pela intersecção do gráfico de f (x) com o eixo dos xx;

se f (x) = g(x) − h(x) os zeros de f (x) são os pontos de intersecção de g(x) com h(x).

O método dos gráficos é frequentemente usado para obtermos uma aproximação inicial para outros métodos mais precisos.

(46)

Exemplo

f (x) = ex+ x g(x) = ex h(x) = −x −1 −0.9 −0.8 −0.7 −0.6 −0.5 −0.4 −0.3 −0.2 −0.1 0 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 x y f(x) h(x) g(x)

(47)

Método da bissecção

Se f (xi)f (xs) < 0 então existe um número ímpar de raízes de f (x) no

intervalo [xi, xs].

Aproxima-se da raiz calculando xk = xi+xs₂ , k = 1, 2, . . .

Considera-se o intervalo

[xi, xk] se f (xi)f (xk) < 0 e faz-se xs← xk

ou

[xk, xs] se f (xk)f (xs) < 0 e faz-se xi← xk

(48)

Interpretação gráfica (Bissecção)

f (x) = ex+ x −2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2 −2 0 2 4 6 8 10 x f(x) xs xi xk xs xk+1

(49)

Método da secante

Método iterativo em que se fornece o x1 e x2 (a raiz não está

necessariamente no intervalo [x1, x2]). O próximo valor é calculado pela

seguinte fórmula (equação iterativa):

xk+1= xk−

(xk− xk−1)f (xk)

f (xk) − f (xk−1)

, k = 2, 3, . . .

Zeros complexos: O método da secante também calcula zeros complexos,

bastando para isso usar aritmética complexa.

Convergência: A convergência do método da Secante depende do valor de

M

2m ser pequeno. M é o max |f

00_{(ξ)| e m é o min |f}0_{(η)|, onde ξ, η ∈ I.}

k+1 = −

f00(ξ) 2f0(η)k−1k

(50)

Interpretação gráfica (Secante)

f (x) = ex+ x −2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2 −2 0 2 4 6 8 10 x f(x) xk xk−1 xk+1 xk+2

(51)

Método de Newton

Método iterativo em que se fornece o x0. O próximo valor é calculado pela

seguinte formula (equação iterativa): xk+1 = xk−

f (xk)

f0_(x k)

, k = 1, 2, ...

Zeros complexos: O método de Newton também calcula zeros

complexos, bastando para isso usar aritmética complexa.

Convergência: A convergência do método de Newton depende do valor de

M

2m ser pequeno. M é o max |f

00_{(ξ)| e m é o min |f}0_{(η)|, onde ξ, η ∈ I.} k+1 = − f00(ξ) 2f0_(η) 2 k

(52)

Interpretação gráfica (Newton)

f (x) = ex+ x −2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2 −2 0 2 4 6 8 10 x f(x) xk xk+1 xk+2

(53)

Principais propriedades

Ambos possuem convergência local. Superlinear no caso do método da secante e quadrática no método de newton.

O método da secante não usa derivadas.

O método da secante e de Newton podem falhar quando o denominador da equação iterativa é próximo de zero, i.e., quando f (xk) ≈ f (xk−1) ou f0(xk) ≈ 0.

O método da secante e de Newton não convergem necessariamente para o zero mais próximo da aproximação inicial.

(54)

Exemplo e

x

+ x = 0

Método de Newton com x0 = −0.5, ε1= 0.5, ε2 = 0.1, nmax= 2. Temos então que f (x) = ex_{+ x e que f}0_{(x) = e}x_{+ 1.}

1a iteração x0= −0.5 f (−0.5) = e−0.5− 0.5 = 0.1065 e f0(−0.5) = 1.6065. x1= x0−_ff (−0.5)0_(−0.5) = −0.5 −0.1065_1.6065 = −0.5665 CP: f (−0.5665) = 1.0082 × 10−3≤ 0.1 (Verdadeiro) |x1−x0| |x1| = |−0.56665+0.5| |−0.5665| = 0.1174 ≤ 0.5 (Verdadeiro)

O processo iterativo pára com x∗≈ x₁= −0.5665. E se o ε1 fosse 0.1?

(55)

Exemplo e

x

+ x = 0

Método de Newton com x0 = −0.5, ε1= 0.5, ε2 = 0.1, nmax= 2.

Temos então que f (x) = ex_{+ x e que f}0_{(x) = e}x_{+ 1.} 1a iteração x0= −0.5 f (−0.5) = e−0.5− 0.5 = 0.1065 e f0(−0.5) = 1.6065. x1= x0−_ff (−0.5)0_(−0.5) = −0.5 −0.1065_1.6065 = −0.5665 CP: f (−0.5665) = 1.0082 × 10−3≤ 0.1 (Verdadeiro) |x1−x0| |x1| = |−0.56665+0.5| |−0.5665| = 0.1174 ≤ 0.5 (Verdadeiro)

(56)

Exemplo e

x

+ x = 0

Temos então que f (x) = ex_{+ x e que f}0_{(x) = e}x_{+ 1.}

(57)

Exemplo e

x

+ x = 0

(58)

Exemplo e

x

+ x = 0

(59)

Exemplo e

x

+ x = 0

(60)

Exemplo e

x

+ x = 0

O processo iterativo pára com x∗≈ x₁= −0.5665.

E se o ε1 fosse 0.1?

(61)

Exemplo e

x

+ x = 0

1a iteração x0= −0.5 f (−0.5) = e−0.5− 0.5 = 0.1065 e f0(−0.5) = 1.6065. x1= x0−_ff (−0.5)0_(−0.5) = −0.5 −0.1065_1.6065 = −0.5665 CP: f (−0.5665) = 1.0082 × 10−3≤ 0.1 (Verdadeiro) |x1−x0| |x1| = |−0.56665+0.5| |−0.5665| = 0.1174 ≤ 0.5 (Verdadeiro) O processo iterativo pára com x∗≈ x₁= −0.5665. E se o ε1 fosse 0.1?

(62)

Exemplo e

x

+ x = 0

O processo iterativo pára com x∗≈ x₁= −0.5665.

E se o ε1 fosse 0.1?

(63)

Exemplo e

x

+ x = 0

(64)

Conteúdo

5 Resolução de sistemas não lineares 6 Interpolação polinomial

(65)

Forma geral do problema

       a11x1+ a12x2+ · · · + a1nxn= b1 a21x1+ a22x2+ · · · + a2nxn= b2 . . . an1x1+ an2x2+ · · · + annxn= bn

É um sistema com n equações lineares nas n incógnitas, x1, x2, . . . , xn. O

sistema pode ser escrito na forma matricial Ax = b     a11 a12 . . . a1n a21 a22 . . . a2n . . . an1 an2 . . . ann         x1 x2 . . . xn     =     b1 b2 . . . bn    

(66)

Exemplo

  3 2 −2 9 7 −9 6 8 −8     x1 x2 x3  =   1 1 1  

É um sistema linear de dimensão 3 × 3. A matriz dos coeficientes A =   3 2 −2 9 7 −9 6 8 −8 

∈ R3×3e o vector b = (1, 1, 1)T ∈ R3 é o vector dos termos independentes.

(67)

Definições

A característica de uma matriz A, c(A), é o número máximo de linhas paralelas, ou colunas, linearmente independentes que existem na matriz.

Para que um sistema seja possível e determinado temos de ter c(A) = n. Caso contrário (c(A) < n) o sistema é indeterminado ou impossível.

À matrix (A|b) que se obtém ampliando A com a coluna do termo independente b chama-se matriz ampliada do sistema.

Triangular superior (inferior): É uma matriz em que os elementos abaixo (acima) da diagonal principal são zeros.

Tridiagonal: Matriz em que aij = 0, se |i − j| ≥ 2, i, j = 1, . . . , n.

Uma matriz com muitos elementos nulos diz-se esparsa.

(68)

Definições

(69)

Definições

(70)

Definições

Tridiagonal: Matriz em que aij = 0, se |i − j| ≥ 2, i, j = 1, . . . , n. Uma matriz com muitos elementos nulos diz-se esparsa.

(71)

Definições

(72)

Tipos de métodos

Métodos directos e estáveis. Métodos que calculam a solução exacta do sistema ao fim de um número finito de operações elementares, caso não ocorram erros de arredondamento.

Matrizes dos coeficientes densas e de pequena dimensão.

Métodos iterativos. Métodos que definem uma sequência infinita de operações, determinando uma sequência de aproximações, cujo limite é a solução exacta do sistema.

Matrizes dos coeficientes esparsas e de grande dimensão.

(73)

Tipos de métodos

Métodos directos e estáveis. Métodos que calculam a solução exacta do sistema ao fim de um número finito de operações elementares, caso não ocorram erros de arredondamento.

Matrizes dos coeficientes densas e de pequena dimensão.

Métodos iterativos. Métodos que definem uma sequência infinita de operações, determinando uma sequência de aproximações, cujo limite é a solução exacta do sistema.

Matrizes dos coeficientes esparsas e de grande dimensão.

(74)

Estabilidade numérica

Considere-se o seguinte sistema linear:

0.0001x1+ x2 = 1.0001

x1+ x2 = 2

cuja solução é x = (1, 1)T_{. Usando aritmética de três algarismos}

significativos e considerando o multiplicador igual a −_0.100×101 −3 = −0.100 × 105, surge o sistema condensado

0.100 × 10−3x1+ x2= 0.100 × 101

− 0.1 × 105_x

2= −0.1 × 105

cuja solução é x = (0, 1)T_!!!

(75)

Motivação - Continuação

Se nas mesmas condições usarmos a pivotagem parcial temos x1+ x2 = 2 0.100 × 10−3x1+ x2 = 0.100 × 101 m = −0.100×10₁ −3 = −0.100 × 10−3 x1+ x2 = 2 x2 = 0.100 × 101 cuja solução é x = (1, 1)T_.

(76)

Eliminação de Gauss com Pivotagem Parcial (EGPP)

Corresponde a eliminação de Gauss, mas em que a linha usada na eliminação dos elementos da coluna das linhas seguintes é o maior em módulo. Exemplo:   3 2 −2 9 7 −9 6 8 −8 1 1 1  →   9 7 −9 3 2 −2 6 8 −8 1 1 1   m₂₁= −3₉ m31= −6₉   9 7 −9 0 −0.333333 1 0 3.333333 −2 1 0.666667 0.333333  =

(77)

Eliminação de Gauss com Pivotagem Parcial (EGPP)

  9 7 −9 0 3.333333 −2 0 −0.333333 1 1 0.333333 0.666667   m32= −−0.333333_3.333333 = 0.1 =   9 7 −9 0 3.333333 −2 0 0 0.8 1 0.333333 0.7  

(78)

Substituição inversa

Quando a matriz é triangular superior pode-se determinar a solução directamente, através da substituição inversa.

Exemplo   9 7 −9 0 3.333333 −2 0 0 0.8 1 0.333333 0.7   vem que x3= 0.7 0.8 = 0.875, x2= 0.333333 − (−2) × 0.875 3.333333 = 0.625 x1 = 1 − (−9) × 0.875 − 7 × 0.625 9 = 0.5

(79)

Substituição directa

Quando a matriz é triangular inferior pode-se determinar a solução directamente, através da substituição directa.

Exemplo   1 0 0 2 1 0 3 2 1 2 3 4   vem que x1 = 2 1 = 2, x2 = 3 − 2 × 2 1 = −1 x3 = 4 − 3 × 2 − 2 × (−1) 1 = 0

(80)

Decomposição LU

Da eliminação de Gauss com Pivotagem Parcial resulta (A |I ) → (U |J ) Exemplo 1 2 1 0 2 1 0 1 → 2 1 0 1 1 2 1 0 → 2 1 0 1 0 1.5 1 −0.5

(81)

Determinantes de Matrizes

det(A) = (−1)s n Y i=1 uii

onde uii corresponde aos elementos da diagonal da matriz U e s é o

número de trocas de linhas para obter a matriz U . Exemplo det 1 2 2 1 = (−1)1det 2 1 0 1.5 = (−1)1× 2 × 1.5 = −3

(82)

Cálculo da Inversa de Matrizes

A matriz inversa de A (A−1) verifica

AA−1= I = A−1A.

O cálculo da matriz inversa reduz-se a resolução de n sistemas lineares da forma

Axj = ej, j = 1, . . . , n,

em que os vectores independentes ej são as colunas da matriz identidade.

O vector solução xj corresponde à coluna j da matriz inversa.

Na prática resolve-se os n sistemas em simultâneo, i.e., resolve-se a equação

(U |J ) por substituição inversa.

(83)

Cálculo da Inversa de Matrizes - Exemplo

1 2 1 0 2 1 0 1 → 2 1 0 1 1 2 1 0 → 2 1 0 1 0 1.5 1 −0.5 2 1 0 0 1.5 1 → x11= 0−1×0.6667₂ = −0.3334 x21= _1.51 = 0.6667 2 1 1 0 1.5 −0.5 → x12= 1−1×(−0.3333)₂ = 0.6667 x22= −0.5_1.5 = −0.3333 A inversa de 1 2 2 1 é −0.3334 0.6667 0.6667 −0.3333

(84)

Métodos iterativos

Nos métodos iterativos a solução exacta só é obtida ao fim de uma sequência infinita de operações.

O processo parte de uma aproximação inicial para a solução do sistema e usa uma equação iterativa da forma

M x(k+1)= N x(k)+ b, para k = 1, 2, . . .

Os métodos em que M e N não dependem de k dizem-se estacionários. Os métodos de Jacobi e Gauss-Seidel são métodos estacionário.

(85)

Método Iterativo Jacobi

D matriz dos elementos da diagonal principal, L matriz dos simétricos dos elementos abaixo da diagonal principal e U matriz dos simétricos dos elementos acima da diagonal principal.

O método de Jacobi usa a partição de A em D − (L + U ), i.e, M = D e N = L + U

A equação iterativa fica

Dx(k+1)= (L + U )x(k)+ b ou x(k+1)= D−1(L + U )x(k)+ D−1b A matriz iteração é

CJ = M−1N = D−1(L + U )

(86)

Método Iterativo Gauss-Seidel

M = D − L N = U

A equação iterativa fica

M x(k+1) = N x(k)+ b ou x(k+1) = M−1N x(k)+ M−1b A matriz iteração é

CGS= M−1N = (D − L)−1U.

(87)

Critério de Paragem

Erro relativo na aproximação x(k+1)− x(k) x(k+1) < 1 Resíduo Ax (k+1)_{− b} < 2

(88)

Convergência dos métodos iterativos

Condições suficientes

A simétrica e definida positiva =⇒ GS exibe convergência global;

A é estrita e diagonalmente dominante =⇒ J e GS exibem convergência global;

kCk_p < 1, para qualquer normal p, =⇒ J e GS exibem convergência global;

C é a matriz iteração de Jacobi ou Gauss-Seidel.

(89)

Convergência dos métodos iterativos

A simétrica e definida positiva =⇒ GS exibe convergência global; A é estrita e diagonalmente dominante =⇒ J e GS exibem convergência global;

(90)

Convergência dos métodos iterativos

A simétrica e definida positiva =⇒ GS exibe convergência global; A é estrita e diagonalmente dominante =⇒ J e GS exibem convergência global;

(91)

Algumas definições

Uma matriz A diz-se simétrica se A = AT_.

Uma matriz é definida positiva se dT_{Ad > 0, ∀d 6= 0. É equivalente a}

verificar que todos os determinante das sub-matrizes principais são maiores do que zero.

Uma matriz A diz-se estrita e diagonalmente dominante se |aii| >Pnj=1

j6=i

|aij|, i = 1, . . . , n

(92)

Algumas definições

j6=i

|aij|, i = 1, . . . , n

(93)

Algumas definições

j6=i

|aij|, i = 1, . . . , n

(94)

Exemplo - convergência de Gauss-Seidel

Considere-se a seguinte matriz dos coeficientes de um sistema linear A =

3 1

1 2

Como a A = AT _{a matriz é simétrica.}

3 1

1 2

det(|3|) = 3 > 0 det(A) = 3 × 2 − 1 × 1 = 5 > 0 Logo A é simétrica e definida positiva e o método de Gauss-Seidel converge.

(95)

Exemplo - convergência de Jacobi

Considere-se o seguinte sistema

1 2 1

3 1 1

Como |1| ≯ |2| a matriz dos coeficientes não é estrita e diagonalmente dominante e nada se pode concluir acerca da convergência do método de Jacobi. No entanto se trocarmos as linhas temos

3 1 1

1 2 1

e como |3| > |1| e |2| > |1| a matriz é estrita e diagonalmente dominante, logo o método de Jacobi converge.

(96)

Exemplo - convergência de Jacobi

Considere-se a seguinte matriz dos coeficientes de um sistema linear A =

3 2

3 1

Como |3| > |2|, mas |1| ≯ |3| a matriz dos coeficientes não é estrita e diagonalmente dominante e nada se pode concluir acerca da convergência do método de Jacobi. D = 3 0 0 1 L = 0 0 −3 0 U = 0 −2 0 0

(97)

Continuação

CJ = D−1(L + U ) = 0.3333 0 0 1 0 −2 −3 0 = 0 −0.6666 −3 0 Como kCJk∞= max{|0| + | − 0.6666|, | − 3| + |0|} = 3 ≥ 1 e kcJk1= max{|0| + | − 3|, | − 0.6666| + |0|} = 3 ≥ 1

nada se pode concluir acerca da convergência do método de Jacobi.

(98)

Uma iteração do método de Gauss-Seidel

Considere-se o seguinte sistema linear A = 3 1 1 1 2 1 , x(1)= (0, 0)T e 1 = = 0.1 D = 3 0 0 2 L = 0 0 −1 0 U = 0 −1 0 0 Equação iterativa é (D − L)x(k+1) = U x(k)+ b

(99)

Continuação

1a _iteração 3 0 1 2 x(2) = 0 −1 0 0 0 0 + 1 1 = 1 1 3 0 1 1 2 1 → ( x(2)₁ = 1₃ = 0.3333 x(2)₂ = 1−1×0.3333₂ = 0.3334 C.P. x(2)− x(1) x(2) = 0.3333 0.3334 − 0 0 ∞ 0.3333 0.3334 ∞ = 0.3334 0.3334 = 1 ≮ 0.1

Como o critério não se verifica deve-se continuar com a próxima iteração.

(100)

Conteúdo

5 Resolução de sistemas não lineares

(101)

Sistemas de equações não lineares

Forma geral do problema        f1(x1, x2, . . . , xn) = 0 f2(x1, x2, . . . , xn) = 0 . . . fn(x1, x2, . . . , xn) = 0

em que f = (f1, f2, . . . , fn)T é um vector de funções pelo menos uma vez

continuamente diferenciáveis.

Pretende-se determinar um x∗ = (x∗₁, x∗₂, . . . , x∗_n)T tal que f (x∗) = (0, 0, . . . , 0)T = 0.

(102)

Fórmula de Taylor a uma dimensão

Se f : R → R for l + 1 vezes diferenciável temos que

f (x) = l X k=0 f(k)(a) k! (x − a) k₊f(l+1)(ξ) (l + 1)! (x − a) l+1

com ξ ∈ [a, x] e a função definida em torno de a.

Exemplo: Valor da função em x(k+1) definido em torno de x(k). f (x(k+1)) ≈ f (x(k)) + f0(x(k))(x(k+1)− x(k)) ou seja, quando se pretende que f (x(k+1)_{) = 0 vem}

x(k+1)= x(k)− f (x

(k)₎

f0(x(k)₎ Eq. it. do método de Newton

(103)

Fórmula de Taylor para dimensão n

Se f : Rn_{→ R}n _{temos que} f (x(k+1)) ≈ f (x(k))+       ∂f1(x(k)₎ ∂x1 ∂f1(x(k)₎ ∂x2 . . . ∂f1(x(k)₎ ∂xn ∂f2(x(k)₎ ∂x1 ∂f2(x(k)₎ ∂x2 . . . ∂f2(x(k)₎ ∂xn . . . ∂fn(x(k)₎ ∂x1 ∂fn(x(k)₎ ∂x2 . . . ∂fn(x(k)₎ ∂xn            x(k+1)₁ − x(k)₁ x(k+1)₂ − x(k)₂ . . . x(k+1)n − x(k)n     

e deduzindo a equação iterativa do método de Newton para sistemas de equações não lineares temos,

J (x(k))∆(k)_x = −f (x(k)), com x(k+1)= x(k)+ ∆(k)_x em que J (x) é o Jacobiano da função.

(104)

Critério de paragem

kx(k+1)_{− x}(k)_k 2 kx(k+1)_k 2 = k∆ (k) x k2 kx(k+1)_k 2 ≤ 1 Se kx(k+1)_k

2 é zero, ou próximo de zero, então o critério deve ser

k∆(k)x k2 ≤ 1

kf (x(k+1))k2 ≤ 2

Número máximo de iterações.

(105)

Critério de paragem

k∆(k)x k2 ≤ 1

kf (x(k+1))k2 ≤ 2 Número máximo de iterações.

(106)

Critério de paragem

k∆(k)x k2 ≤ 1

kf (x(k+1))k2 ≤ 2

Número máximo de iterações.

(107)

Propriedades

Convergência local quadrática.

Determina a solução de um sistema linear numa única iteração. Inconveniente do cálculo do Jacobiano. (Também existe um método da secante para sistemas.)

O método falha quando o Jacobiano é singular (nova aproximação inicial).

O método de Newton não converge necessariamente para a solução mais próxima da aproximação inicial.

(108)

Propriedades

Determina a solução de um sistema linear numa única iteração.

Inconveniente do cálculo do Jacobiano. (Também existe um método da secante para sistemas.)

(109)

Propriedades

(110)

Propriedades

(111)

Propriedades

(112)

Um exemplo

Considere-se o seguinte sistema não linear 3x2+ 2y2 = 35 4x2_{− 3y}2 _{= 24} cujo Jacobiano é J (x, y) = 6x 4y 8x −6y Temos f (x, y) = 3x2+ 2y2− 35 4x2− 3y2_{− 24}

e a aproximação inicial é (x, y)(1) _{= (2.5, 2). Pretende-se determinar a}

solução com uma precisão de 1 = 2 = 10−1.

(113)

Continuação

1a _iteração J ((x, y)(1)) = J (2.5, 2) = 15 8 20 −12 f ((x, y)(1)) = f (2.5, 2) = −8.25 −11 15 8 8.25 20 −12 11 → 20 −12 11 15 8 8.25 → 20 −12 11 0 17 0 → ∆(1)_(x,y)= 0.55 0 e (x, y)(2)= (x, y)(1)+ ∆(1)_(x,y) = (3.05, 2)T

(114)

Continuação

C.P. f (x, y)(2) _∞= 0.9075 1.21 ∞ = 1.21 2 = 0.1

Como o critério não se verifica faz-se uma nova iteração.

(115)

Conteúdo

4 Resolução de sistemas lineares 5 Resolução de sistemas não lineares

(116)

Motivação

Pretende-se determinar uma função aproximação que descreva o melhor possível o comportamento de um conjunto de pontos (x0, f0), (x1, f1),

. . . , (xm, fm).

Este conjunto de pontos pode ter sido obtido de:

observações de uma experiência (função desconhecida);

uma função complexa cujo cálculo é difícil (função pode ser conhecida).

A função aproximação server para:

formular um modelo matemático que descreve o processo em causa;

obter valores da função em pontos que são desconhecidos.

Problema: Como implementar a função sin(x) num microcontrolador?

(117)

Motivação

. . . , (xm, fm).

observações de uma experiência (função desconhecida); uma função complexa cujo cálculo é difícil (função pode ser conhecida).

formular um modelo matemático que descreve o processo em causa; obter valores da função em pontos que são desconhecidos.

(118)

Motivação

. . . , (xm, fm).

formular um modelo matemático que descreve o processo em causa;

obter valores da função em pontos que são desconhecidos.

(119)

Motivação

. . . , (xm, fm).

(120)

Motivação

. . . , (xm, fm).

(121)

Continuação

Pretende-se então, dado um conjunto de pontos (xi, fi), i = 1, . . . , m,

determinar uma função aproximação p(x) que melhor descreve o comportamento dos dados, de acordo com uma certa medida.

No nosso caso vamos apenas considerar funções aproximação polinomiais, i.e., pn(x) é um polinómio interpolador de grau n.

Para construirmos o polinómio interpolador de Newton são necessárias as diferenças divididas.

(122)

Diferenças divididas

com espaçamento não constante

Considere-se uma função f (x) tabelada em m + 1 pontos x0, x1, . . . , xm

não igualmente espaçados.

Diferenças divididas de primeira ordem são [xj, xj+1] =

fj − fj+1

xj − xj+1

j = 0, . . . , m − 1 onde fj = f (xj).

A diferença dividida de primeira ordem corresponde ao declive da recta que passa em (xj, fj) e (xj+1, fj+1).

(123)

Continuação

As diferenças divididas de segunda ordem são [xj, xj+1, xj+2] =

[xj, xj+1] − [xj+1, xj+2]

xj− xj+2

, j = 0, . . . , m − 2.

As diferenças divididas de ordem n são [xj, xj+1, . . . , xj+n] =

[xj, xj+1, . . . , xj+n−1] − [xj+1, xj+2, . . . , xj+n]

xj− xj+n

para j = 0, . . . , m − n.

(124)

Tabela das diferenças divididas

x0 f0 [x0, x1] x1 f1 [x0, x1, x2] [x1, x2] [x0, x1, x2, x3] x2 f2 [x1, x2, x3] [x2, x3] [x1, x2, x3, x4] . . . [x0, . . . , xm−1, xm] xm−2 fm−2 [xm−3, xm−2, xm−1] [xm−2, xm−1] [xm−3, xm−2, xm−1, xm] xm−1 fm−1 [xm−2, xm−1, xm] [xm−1, xm] xm fm

(125)

Exemplo

xi fi dd1 dd2 dd3 dd4 dd5 1 2 0.5000 3 3 0.1667 1.0000 −0.0667 4 4 −0.1667 0.0250 0.5000 0.0833 −0.0043 6 5 0.1667 −0.0139 1.0000 −0.0139 7 6 0.0833 1.3333 10 10

(126)

Propriedades das diferenças divididas

Simétrica nos argumentos, i.e., é independente da ordem dos argumentos; Exemplo xi fi 6 5 1.0000 7 6 0.0833 1.3333 10 10 xi fi 7 6 1.3333 10 10 0.0833 1.25 6 5

(127)

Propriedades das diferenças divididas

Se fj = uj+ vj para valores de xj, j = 0, . . . , m então a tabela das DD de

f é igual à soma das tabelas das DD de u e v.

Exemplo: f (x) = sin(x) + ex, u(x) = sin(x) e v(x) = ex.

xi ui 1 0.8415 0.0678 2 0.9093 −0.4180 −0.7682 3 0.1411 xi vi 1 2.7183 4.6708 2 7.3891 4.0128 12.6964 3 20.0855 xi fi 1 3.5598 4.7386 2 8.2984 3.5948 11.9282 3 20.2266

(128)

Propriedades das diferenças divididas

A diferença dividida de cf (x), com c constante, é igual ao produto da diferença dividida de f (x) por c.

Exemplo: f (x) = sin(x), cf (x) = 2 sin(x)

xi fi 1 0.8415 0.0678 2 0.9093 −0.4180 −0.7682 3 0.1411 xi 2fi 1 1.6830 0.1356 2 1.8186 −0.8360 −1.5364 3 0.2822

(129)

Propriedades das diferenças divididas

As diferenças divididas de ordem n da função xn são iguais a 1 e as de ordem r > n são nulas. Como consequência as diferenças divididas de ordem n de um polinómio de ordem n são iguais e diferentes de zero. Exemplo: f (x) = x2+ 3x + 1 xi fi dd1 dd2 dd3 dd4 −1 −1 2 0 1 1 4 0 1 5 1 0 6 0 2 11 1 8 3 19

(130)

Fórmula interpoladora de Newton

Das definições das diferenças divididas pode-se concluir que

f (x) = f0+ (x − x0)[x0, x] = f0+ (x − x0) f (x) − f0 x − x0 [x0, x] = [x0, x1] + (x − x1)[x0, x1, x] [x0, x1, x] = [x0, x1, x2] + (x − x2)[x0, x1, x2, x] . . . [x0, x1, . . . , xn−1, x] = [x0, x1, . . . , xn−1, xn] + (x − xn)[x0, x1, . . . , xn−1, xn, x] . . .

deduzindo-se a fórmula interpoladora de Newton

f (x) = f0+ (x − x0)[x0, x1] + (x − x0)(x − x1)[x0, x1, x2] + · · · +

(x − x0) . . . (x − xn−1)[x0, x1, . . . , xn] + · · ·

(131)

Polinómio interpolador de Newton

O polinómio interpolador de grau n obtém-se usado apenas n + 1 termos da fórmula interpoladora de Newton,

pn(x) = f0+ (x − x0)[x0, x1] + (x − x0)(x − x1)[x0, x1, x2] + · · · + (x − x0) . . . (x − xn−1)[x0, x1, . . . , xn] e temos que R(x) = f (x) − pn(x) = (x − x0)(x − x1) . . . (x − xn−1)(x − xn)f (n+1)_(ξ) (n+1)! , ξ ∈ [x0, xn].

(132)

Diferenças divididas e derivadas

Da dedução da fórmula do erro de truncatura temos que [x0, x1, . . . , xn] =

f(n)(ξ)

n! , ξ ∈ [x0, xn],

ou seja, as diferenças divididas de primeira ordem são aproximações as primeiras derivadas e a diferença dividida de ordem n é uma aproximação à derivada de ordem n da função sobre n!.

(133)

Determinação do polinómio interpolador

Em geral temos que m > n. Para construirmos o polinómio interpolador de grau n são necessários n + 1 pontos. A escolha dos pontos está relacionada com o valor de ¯x para o qual se pretende obter uma estimativa da função f (¯x).

A escolha dos pontos deve obedecer as seguintes regras:

os pontos xj e xj+1 em que xj < ¯x < xj+1 devem ser incluídos. os restantes, até formar os n + 1 necessários, são aqueles que estão mais próximos de ¯x.

(134)

Determinação do polinómio interpolador

Em geral temos que m > n. Para construirmos o polinómio interpolador de grau n são necessários n + 1 pontos. A escolha dos pontos está relacionada com o valor de ¯x para o qual se pretende obter uma estimativa da função f (¯x).

A escolha dos pontos deve obedecer as seguintes regras:

os pontos xj e xj+1 em que xj < ¯x < xj+1 devem ser incluídos.

os restantes, até formar os n + 1 necessários, são aqueles que estão mais próximos de ¯x.

(135)

Exemplo

Considere-se a seguinte tabela de pontos

i 0 1 2 3 4 5

xi 1 3 4 6 7 10

fi 2 3 4 5 6 10

pretende-se obter uma estimativa de f (8) através usando uma interpolação quadrática (polinómio de colocação de grau 2).

Precisamos de 3 pontos para construir o polinómio de grau 2. x4 e x5

devem ser incluídos, uma vez que x4< 8 < x5, e o restante será o x3.

(136)

Continuação

Construindo a tabela das diferenças divididas temos que

xi fi 6 5 1.0000 7 6 0.0833 1.3333 10 10 e p2(x) = 5 + (x − 6) × 1 + (x − 6)(x − 7) × 0.0833, ficando f (8) ≈ p2(8) = 5 + (8 − 6) × 1 + (8 − 6)(8 − 7) × 0.0833 = 7.1666.

Nota: x0= 6, x1 = 7, e x2 = 10 para efeitos do cálculo do polinómio.

Sendo o polinómio interpolador único qualquer combinação de pontos resulta no mesmo polinómio.

(137)

Continuação

xi fi 7 6 1.3333 10 10 0.0833 1.25 6 5 e p2(x) = 6 + (x − 7) × 1.3333 + (x − 7)(x − 10) × 0.0833, ficando f (8) ≈ p2(8) = 6 + (8 − 7) × 1.333 + (8 − 7)(8 − 10) × 0.0833 = 7.1667.

(138)

Cálculo do majorante do erro absoluto

ET (x) = (x − x0)(x − x1)(x − x2) f(3)(ξ) 3! , ξ ∈ [6, 10]

Como necessitámos de uma estimativa para f(3)_{(ξ) e a função f (x) é}

desconhecida vamos usar as diferenças divididas para a obter.

Com os pontos usados na construção do polinómio não é possível obter uma diferença dividida de ordem 3 e por isso vamos acrescentar mais um ponto à tabela anterior.

É indiferente inserir o ponto no início ou no final da tabela, uma vez que o valor de dd3 será o mesmo.

(139)

Continuação

xi fi 4 4 0.5000 6 5 0.1667 1.0000 −0.0139 7 6 0.0833 1.3333 10 10 ET (8) = |(8 − 6)(8 − 7)(8 − 10) × (−0.0139)| = 0.0556

(140)

Conteúdo

7 Interpolação segmentada - Splines

8 Mínimos quadrados lineares

(141)

Motivação

Pretende-se aproximar uma função f (x) conhecida em alguns pontos do seu domínio

por ser desconhecida a sua expressão analítica (experiência laboratorial);

porque a sua expressão analítica é demasiado complexa.

Dará bons resultados aproximar uma função conhecida em 11 pontos por um polinómio de grau 10?

(142)

Motivação

(143)

Motivação

(144)

Motivação

(145)

Exemplo

Dada a função f (x) conhecida para os seguintes pontos (i = 0, . . . , 10)

xi 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 fi 0.1 0.2 0.3 0.4 0.45 0.44 0.4 0.45 0.4 0.4 0.35 0 2 4 6 8 10 12 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 x p10 (x)

(146)

Interpolação segmentada

A ideia subjacente à interpolação segmentada consiste na construção de segmentos entre pontos (em oposição à construção de um único polinómio).

A facilidade de usar polinómios fazem com que sejam candidatos naturais para a construção dos segmentos:

quando o segmento é um polinómio de grau 1 estamos na presença de uma Spline linear;

quando o segmento é um polinómio de grau 3 estamos na presença de uma Spline cúbica.

O grau do polinómio usado na construção do segmentonão está

relacionado com o número de pontos.

Para um conjunto de n + 1 pontos temos n segmentos.