O modelo de crescimento de Paul Romer de 1990

(1)

_______________________________________________________________________________________________________

Trata-se de um modelo de crescimento endógeno de 2ª geração; com efeito, o progresso técnico é endogeneizado, é o output de um sector de actividade privada, do sector de I&D e são os investigadores que trabalham neste sector que têm um poder de monopólio sobre as novas ideias criadas.

Representação da Economia

A economia está dividida em três sectores: 1. o sector do bem final, 2. o sector dos bens de equipamento e 3. o sector de I&D.

Os produtores do sector 1 vendem o seu output num mercado de concorrência pura e perfeita e aprovisionam-se de serviços do trabalho num mercado de concorrência pura e perfeita e dos serviços de uma nova variedade de bens de capital num mercado monopolista.

Os produtores do sector 2 produzem bens de capital de diferentes variedades, cada um produz uma única variedade e operam num mercado de concorrência monopolística: há livre entrada de produtores, mas têm um poder de mercado porque cada um tem o exclusivo da produção de uma nova variedade de bens. Para o efeito compram a patente ao sector de I&D.

Finalmente, o sector 3 vende as patentes num mercado de monopólio aos produtores do sector 2. Quanto ao mercado de factores, aprovisionam-se dos serviços de trabalho num mercado de concorrência pura e perfeita.

Sector 1 - O sector do bem final A função de produção de Dixit-Stiglitz

1 0 ( )

Y A

Y =H Lα β

∫

x i − −α βdi (1.1)

A mede o conhecimento da sociedade, é um índice da variedade de bens de capital produzidos na economia. O progresso técnico corresponde a um acréscimo de A, a um acréscimo de novas variedades de bens de capital. x(i) é a quantidade de bem de capital da variedade (i) utilizado na produção final.

Y

H =H +H_A (1.2)

H é a quantidade total de capital humano utilizado na economia, sendo HY a quantidade afectada

ao sector 1 e HA a quantidade afectada ao sector de I&D. L representa o trabalho não

qualificado.

Nesta economia, o trabalho qualificado é apenas utilizado nos sectores 1 e 3 e as quantidades totais de H e L são constantes.

Esta função de produção goza de propriedades interessantes. A função de produção é aditiva, tal significa que as produtividades marginais das diferentes variedades de bens de capital são independentes umas das outras. Tal significa que o aparecimento de novas variedades não torna obsoletas variedades mais antigas, ou seja, cada variedade é produtiva independentemente das novas inovações.

Analisemos agora o grau de homogeneidade da função relativamente aos seus inputs tomados separadamente ou em conjunto a fim de percebermos melhor a fonte de crescimento sustentável do modelo.

Vamos considerar uma situação de equilíbrio em que x(i)=x. Resolvendo o integral e substituindo x(i) por x obtém-se:

(2)

_______________________________________________________________________________________________________ 1 Y Y =H L Axα β − −α β (1.3) A F.P é homogénea de grau 1 em A: Prove-se que: 1 ( , , , ), com 1 ( , , , ) Y ( ) 1 q Y F qA HY L x F qA HY L x H L qA x qY ζ α β α β ζ ζ − − = = = = ⇒ = (1.4)

A função de produção apresenta rendimentos constantes à escala em A, tal significa que o produto varia na mesma proporção que A. Se houver uma duplicação da variedade de bens de equipamento, a produção final duplica, ceteris paribus. Esta é a fonte de crescimento sustentável da economia. A F.P é homogénea de grau (1-α−β) em x: 1 1 ( , , , ), com 1 ( , , , ) Y ( ) 0 1 1 Y Y q Y F A H L qx F A H L qx H L A qx q Y ζ α β α β α β ζ α β ζ − − − − = = = = ∧ < + < ⇒ < (1.5)

A função de produção apresenta rendimentos decrescentes à escala em x, ceteris paribus. A função de produção é homogénea de grau 1 em HY, L e x:

(1.6) 1 1 ( , , , ) ( , , , ) ( ) ( ) ( ) 1 Y Y Y q Y F A qH qL qx F A qH qL qx qH L A qx q Y ζ α β − −α β α β+ + − −α β _ζ = = = ⇒ = ⇒ =

A função de produção apresenta rendimentos constantes à escala em HY, L e x, ceteris paribus. A função de produção apresenta rendimentos crescentes à escala em todos os factores de produção: 1 1 1 ( , , , ) ( , , , ) ( ) ( ) ( ) 2 Y Y Y q Y F qA qH qL qx F qA qH qL qx qH qL qA qx q Y ζ α β − −α β α β+ + + − −α β _ζ = = =

Podemos comparar os resultados obtidos com uma função de produção tradicional que comporte bens de capital heterogéneos.

1 1 1 0 ( ) Y Y A Y H L x i di Y H L A α βx α β α β α β α β − − − − − − ⎡ ⎤ = _⎢ _⎥ ⎣ ⎦ =

∫

_(1.7)

Como se pode demonstrar facilmente, esta função de produção apresenta rendimentos decrescentes à escala em A, 1-α-β. E apresenta rendimentos constantes à escala em todos os factores.

Pelo contrário com a função de produção de Dixit-Stiglitz, a F.P apresenta rendimentos constantes à escala em A e rendimentos crescentes à escala em todos os factores. É o progresso técnico sob a forma de novas variedades de bens de equipamento que são utilizados na produção do bem final que sustentam o crescimento na economia de Paul Romer, note-se que quantidade dos bens de capital não sustenta o crescimento nesta economia. Relembremos que a função de produção do modelo de Romer apresenta rendimentos decrescentes em x.

Os produtores dos bens finais são tomadores de preços no mercado do trabalho não qualificado e qualificado (capital humano) e no mercado dos bens de equipamento.

No que respeita aos bens de equipamento, o preço da variedade x(i), é igual à sua produtividade marginal: ( ) ( ) (1 ) ( ) ( ) x i x i Y Y p p H L x x i i α β α β δ _{α β} δ − − = ⇔ = − − (1.8)

A equação (1.8) representa a curva de procura dirigida ao produtor do bem de capital da variedade (i) que a vai explorar em monopólio.

(3)

_______________________________________________________________________________________________________

O sector 2 dos bens de equipamento

Cada produtor produz uma única variedade de bens de equipamento e tem um poder de monopólio sobre o seu output. Vai maximizar os lucros tomando como dados os preços dos outros produtores. Os bens de equipamento produzidos pelos outros produtores são substitutos imperfeitos do bem que produz, trata-se, pois, de um mercado de concorrência monopolística. Seja η o preço relativo dos bens de capital em termos do bem de consumo final, o stock de capital K pode ser avaliado:

0 ( ) com x(i)=x A i K x i d K Ax η η ⎧ ⎫ = ⎪ ⎨ ⎪ ₌ ⎪ ⎩ ⎭

∫

⎪ ⎬ (1.9)

Já sabemos que o produtor do bem de equipamento da variedade (i) tem um poder de monopólio sobre o bem que produz e vai explorar esse poder. Isso significa que vai maximizar os sobrelucros produzindo uma quantidade para a qual o custo marginal e a receita marginal se igualam e vende ao preço associado àquela quantidade de equilíbrio na curva de procura que lhe é dirigida.

Função sobrelucros do produtor do bem de equipamento da variedade (i): ( )i RT i( ) CT i( )

Π = − (1.10)

Começemos pela análise da recita total RT(i). O produtor daquela variedade de bem de capital, aluga-o ao preço px(i). Não esquecer que este bem tem uma duração infinita. A receita total é o valor actualizado do aluguer do bem de equipamento ao produtor do bem de consumo final.

( ) 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) rt x i x i RT i p x i e dt x i p RT i r ∞ ₋ = =

∫

(1.11)

Quanto mais elevada for a taxa de juro, menor será a receita total.

Quanto ao custo total CT(i), há dois elementos a referenciar, o custo de factores medido em unidades de bem do bem de consumo final, ηx(i); e o custo da aquisição da patente, pA que é pago aos inventores desta variedade de bem e que constitui um custo fixo que é pago na data, t=0.

Podemos agora definir a função sobrelucros totais actualizados do produtor do bem de equipamento (i): ( ) 0 ( ) 0 ( ) ( ) rt x i A i e x i p dt ηx i ∞ _{∞ −} Π = − −

∫

p (1.12)

[

]

0 ' ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) _{( )} ( ) ( ) ( ) ( ) x x x A Max i Rm Cm x i p i RT i Rm Rm x i x i r x i p i _{p i} Rm r r CT i Cm Cm x i p x i x i Cm δ δ δ δ δ δ _η δ δ η ∞ Π ⇒ = ⎡ ⎤ = ⇒ = _⎢ _⎥⇒ ⎣ ⎦ ⇒ = + = ⇒ = − ⇒ =

∫

⇒ (1.13)

(4)

_______________________________________________________________________________________________________

Igualando o 2º membro das duas equações, obtemos: ' ( ) ( ) ' ( ) ( ) ( ) 0 ( ) x i x i x i x i p x i p p x i p r r η η + − = ⇔ + = (1.14)

Primeiro vamos deduzir a expressão da primeira derivada de px(i), tendo em conta a função

procura que é dirigida ao produtor do bem de equipamento da variedade (i), vidé (1.8): ' ( ) ' 1 ( ) ' 1 ( ) ( ) (1 )( ) ( ) (1 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Y Y x i x i x i x i p H L x i 1 p H L x i x i p p x i α β α β α β α β α β α β α β α β α β − − − − − = − − − − = − − − − = − − − (1.15) Substituindo (1.15) em (1.14), obtemos: ( ) ( ) ( ) ( ) 0 1 eq x i x i x i r p p r p η α β η α β − − + − = ⇒ = − − (1.16)

Falta deduzir a expressão de x(i) de equilíbrio: ( ) 1 1 ( ) 1 (1 ) (1 ) ( ) ( ) (1 ) ( ) ( ) (1 ) ( ) Y Y Y x i eq p r H L x i r r x i H L x i r x i H L x i α β α β α β α β _{α β} α β α β α β α β η α β η η α β η α β − − − + − − + ₊ − + − − = − − = ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ _{= ⎢} ⎣ ⎦ _⎢ _{− −} _⎥ ⎣ ⎦ ⎡ ⎤ = ⎢ ⎥ − − ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎥ (1.17)

Sector 3 de I&D – Já sabemos que este sector produz novas ideias sob a forma de designs de novas variedades de bens de capital. O sector utiliza como input oneroso capital humano e como input não oneroso o stock de conhecimentos disponíveis, A, esta hipótese justifica-se porque se está a pressupor que as patentes antigas contêm informação que é disponibilizada a qualquer um.

(1.18)

A A δH

•

= A

Analisemos aquela função de produção. O crescimento das variedades de bens de equipamento é proporcional ao capital humano empregue no sector de I&D. Quanto mais capital humano for afecto a este sector, maior será o progresso técnico.

A A H A δ • = (1.19)

A produtividade marginal do capital humano é crescente no sector de I&D. ( ) ( ) ( ) 0 0 A A A H H H pm A t dpm _{dA t} dt dt dpm dA t dt dt δ δ = = > ⇒ > (1.20)

Se tivermos em conta que nesta economia, o capital humano não se acumula (o capital humano total é constante), o capital humano no presente é mais produtivo que o mesmo capital humano no passado porque o stock de conhecimentos hoje disponível é superior ao do passado.

(5)

_______________________________________________________________________________________________________

A função sobrelucros neste sector é a diferença entre o valor das patentes vendidas e os salários pagos aos investigadores. (por simplificação considera-se que apenas se utiliza neste sector o factor oneroso capital humano).

(1.21) &

I D A pA wHA

•

Π = −

Os inputs do sector de I&D são comprados num mercado de concorrência pura e perfeita. O mercado de patentes é um mercado de monopólio. Os investigadores vendem as patentes a um preço tal que se apropriam integralmente dos lucros (actualizados) dos produtores de bens de equipamento. 0 x K A xp x p r r x r η η Π ₌ ₋ ₋ ₌ (1− −α β) r ( ) ( ) 0 1 eq eq A A x xp x p p r α β η α β η α β + + − − = ⇒ = = − − (1.22)

Análise de (1.22): o preço de equilíbrio das patentes é determinado pelos investigadores de tal forma que o sobrelucro do sector dos bens de equipamento é apropriado integralmente pelo sector de I&D. Quanto mais elevado for a taxa de juro menos elevado será o lucro actualizado do sector 2 e portanto menos será o preço das patentes.

Crescimento de equilíbrio:

De acordo com a função de produção do bem final, a taxa de crescimento do output final é igual à taxa de crescimento das novas ideias.

Y A Y A

• •

= (1.23)

Por outro lado, a taxa de crescimento do stock de capital físico é igual à taxa de crescimento das novas ideias, vidé (1.9).

, porque K= Ax

K A

K A η

• •

= (1.24)

A taxa de crescimento do stock de capital físico é igual à taxa de crescimento do consumo.

, porque = constante constante

C K K Y C Y C

C K K K K K K

• • •

= − ∧ = ⇒ = (1.25)

Finalmente podemos escrever:

, A Y C K A H Y C K A γ • • • • = = = = =δ A (1.26)

Analisemos esta última fórmula, a taxa de crescimento de equilíbrio de longo-prazo é tanto mais elevada quanto mais elevado for o número de investigadores no sector de I&D.

Vamos agora deduzir a expressão que nos dá o capital humano de equilíbrio do sector do bem final.

Igualemos as produtividades marginais do capital humano do sector do bem de consumo final e do sector de I&D. 1 1 Y Hα L Axβ α β p A α − − − ₌ δ (1.27) Substituindo x e pA pelas expressões respectivas, obtemos:

(6)

_______________________________________________________________________________________________________ 1 1 A Y A p A H L Ax p A α β α β δ α δ − − − = Y Hα α = 1 Lβ − A 2 (1 ) _Y r Hα η α β − − Lβ 1 ( ) α β α β α β η − − − + ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ + x 1− −α β 1 Y H η δ α₌ − 2 (1 ) r α β − − 1 − ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ( )(1 ) Y r H α β α β α δ α β α β + + + = + − − (1.28)

Analisemos a última fórmula. Quanto mais elevada for a taxa de juro, menor será a afectação de capital humano ao sector de I&D e porquê porque menores serão os lucros deste sector porque o preço das patentes depende dos lucros actualizados do sector de bens de equipamento, os quais serão tanto mais baixos quanto mais elevada for a taxa de juro.

Podemos exprimir a taxa de crescimento de equilíbrio de SSG em função do capital humano de equilíbrio no sector de I&D, para tal substituiu-se (1.28) em (1.26).

(1.29) ( ) (1 )( ) = (1 )( ) A Y r H H H H com r α γ δ δ δ α β α β α λ α β α β = = − = = − − − + − − + λ

A expressão da taxa de equilíbrio de longo-prazo que deduzimos resulta das condições de equilíbrio do produtor, o equilíbrio na economia pressupõe a realização conjunta dos equilíbrio do produtor e do consumidor.

Equilíbrio do consumidor

A função de utilidade intertemporal dos consumidores é a seguinte: 1-0 c ( ) com u(c)= 1-t u c e dt σ ρ σ ∞ −

∫

(1.30)

Da maximização da utilidade intertemporal dos consumidores, obtemos a expressão da taxa de crescimento óptima do consumo per capita1.

c r c ρ σ • − = (1.31)

Em equilíbrio de SSG, a taxa de juro é constante, vidé (1.31). Tendo em conta (1.29) e (1.31), podemos deduzir a expressão da taxa de juro de equilíbrio.

1 eq r H r H r ρ δ λ σ ρ σδ σλ − ₌ ₋ + = + (1.32)

E substitu indo a taxa de juro de equilíbrio pela sua expressão em (1.31), obtemos a expressão da taxa de crescimento de equilíbrio de SSG.

1

(7)

_______________________________________________________________________________________________________ 1 1 1 eq ρ σδH δH λρ γ ρ σ σλ λσ + ⎡ ⎤ ⎡ = _⎢ − _{⎥ ⎢}= + + ⎣ ⎦ ⎣ − ⎤ ⎥⎦ (1.33)

Análise da expressão – A taxa de crescimento de SSG depende dos parâmetros ρ, σ, λ (α e β), δ e de H.

ρ, σ: − Quanto menores forem os valores dos parâmetros (ρ, σ), menos impacientes são os consumidores relativamente ao consumo presente, e menor será a taxa de juro de equilíbrio. Quanto mais baixa for a taxa de juro de equilíbrio mais elevado será o aluguer dos bens de equipamento aos produtores do sector do bem final e mais elevado será o preço das patentes, há assim incentivo a uma maior produção de novas ideias, havendo uma reafectação de trabalho do sector 1 para o sector 3.

δ: Quanto mais elevada for a produtividade do capital humano no sector de I&D, mais elevada será a taxa de crescimento de SSG.

H: Quanto mais elevado for o capital humano na economia, mais elevada será a taxa de crescimento da economia porque maior será a afectação de capital humano ao sector de I&D. Trata-se de um efeito de escala presente neste modelo, no entanto, ele não é confirmado empiricamente.

Até aqui estudámos o equilíbrio de SSG da economia com as características da economia do modelo de Paul Romer de 1990. O equilíbrio de SSG é um equilíbrio descentralizado que resulta das decisões individuais e independentes de produtores e consumidores. Se quisermos utilizar este modelo para predições de política económica é necessário abordar a questão da diferença entre equilíbrio privado e equilíbrio social. Com efeito, na economia descrita existem falhas de mercado resultando um equilíbrio privado que não é óptimo. Depois de identificar as falhas de mercado, deduzimos a expressão da taxa de crescimento óptima e finalmente analisamos instrumentos de política económica que poderão ajudar a repor o equilíbrio óptimo.

As falhas de mercado da economia de Paul Romer (1990):

Como resultado das falhas de mercado presentes na economia, nem a quantidade de capital humano afecto ao sector de I&D nem a taxa de crescimento são tão elevadas como deveriam ser para a situação de óptimo seja atingida.

Quais são as falhas de mercado?

Externalidade positiva resultante da inovação corrente [φ=1] - As novas ideias actualmente criadas serão apropriadas, no futuro, a título não oneroso pelos investigadores do sector de I&D. O preço das patentes não internaliza a externalidade positiva da investigação corrente relativamente à investigação futura. Por essa razão, o preço das patentes inferior ao seu valor óptimo, a produção de novas ideias é inferior à quantidade óptima.

Monopólio [xeq<xop] – A quantidade de bens de equipamento produzidos é inferior à quantidade óptima porque se trata de mercado de concorrência monopolística. Cada produtor encontra-se em situação de monopólio (relativo) em relação ao seu output. Assim vende a um preço superior ao custo marginal e os sobrelucros totais são apropriados pelos investigadores.

(8)

_______________________________________________________________________________________________________ (px/r) (peq_/r)=_{η/(1−α−β)} CM(pAeq) Lucro captado pelo sector de I&D Cm=η D Rm xeq _xop ( ) * ( ) ( ) 1 A A eq CT x p x p CM x x p Cm x r η η η η α β = + = + = < = − − (1.34) Crescimento óptimo

As predições de política económica supõem o estudo do equilíbrio óptimo porque como já sabemos estamos em presença de um modelo que apresenta falhas de mercado. A resolução do modelo para obtenção da solução centralizada levou aos seguintes resultados:

e podemos obter as expressões da quantidade óptima de capital humano afecto ao sector de I&D. ( ) ( ) op A H H α β δ αρ δ β ασ + − + = (1.35) ( ) ; com = 1 + opt α β δH αρ H β ασ δ θρ α γ θ θσ θ α + − + β − = = + − (1.36)

que se forem comparadas com as soluções de equilíbrio descentralizado, mostram que a solução descentralizada é sub-óptima: a taxa de crescimento é menos elevada assim como a quantidade de capital humano afecto ao sector de I&D.

A solução é o subsidiar o preço dos bens de equipamento através de um imposto não distorcionário e a investigação.

(9)

_______________________________________________________________________________________________________

Anexo 1 - Determinação da taxa de crescimento de SSG:

(1.37) ( ) 0 -(r-n) max ( ) [ ( )] . : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) com (0) 0 a( )e 0 n t U t e u c t dt s a w t r t a t c t na t a t a ρ ∞ − − • ∞ = + = + + > ∞ ≥

∫

Seja v(t) o preço implícito actualizado dos activos em termos de unidades de utils.

(1.38) ( ) ( ) ( ) n t v t =λ t e− −ρ Formemos o Hamiltoniano (H): ( ) ( ) ( ) [ ( )] ( )[ ( ) ( ) ( ) ( ) ( )] Condições de 1ºordem: 1) 0 ( ) '[ ( )] 2) ( ) ( ) ( ) ( ) 3)lim ( ) ( ) 0 lim (0) (0) 0 n t n t n t zt t t u c t v t w t r n a t c t a t v t u c t v v r n v t r n v t v t a t v a e e z r n H e H e c v H t a ρ ρ ρ

δ

• − − − − • • − − →∞ →∞ + + − − + = ⇒ = = − ⇒ = − − ⇒ − = − = ⇔ = ⇒ < − = (1.39)

A partir da cond. 1 deduzimos a expressão da taxa de crescimento do preço implícito actualizados dos activos.

{

( )

}

( ) ( ) ( ) [ ( )] '[ ( )] ''[ ( )] ( ) '[ ( )] ''[ ( )] n t n t n t n t d v t d u c t dt dt v u c t c n u c t v u c t c v e e e e ρ ρ ρ ρ ρ − − • • − − − − • • − − = = − − = ( ) '[ ( )] n t u c t e− −ρ '[ ( )] (ρ n) u c t − − ( n t) e− −ρ '[ ( )] u c t e− −(ρ n t) ''[ ( )] ( ) '[ ( )] v u c t c c n v u c t c ρ • • ⎧ ⎫ − = −_⎨ _⎬ + − ⎩ ⎭ (1.40)

Igualando o segundo membro desta última equação ao 2º membro de 2) e resolvendo em ordem à taxa de crescimento do consumo, obtemos.

'[ ( )] ( ) ''[ ( )] c r r u c t c t c u c t ρ ρ σ • − = = − − (1.41)

A equação (1.41) dá-nos a fórmula da taxa de crescimento do consumo per capita.

Anexo 2 - Solução de crescimento óptimo do modelo de crescimento de Paul Romer (1990) Função de Produção dos Decisores Públicos

(10)

_______________________________________________________________________________________________________ 1 Y Y H L Ax K com x A α β α η β − − = = (1.42)

Substituindo x pela sua expressão obtemos.

1 Y K Y H A L A α β α α β β η − − ⎛ ⎞ = _{⎜ ⎟} ⎝ ⎠ (1.43)

O problema de maximização intertemporal do consumo equaciona-se da seguinte forma. , 0 1 1 ( ) 1 1 . : ( ) (0) 0 A(0) >0 A t C H Y A A A C t e dt s a H H H A H A K H H L A K C K ρ α β α β α β α β σ δ η ∞ − • • + − − + − − − + = = = − − > ∧

∫

(1.44)

Note-se que as variáveis de controlo são C e HA e as variáveis de estado são K e A. Escreva-se o Hamiltoniano. 1 1 1 2 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 2 ( ) 1 [( ) ] ( ) 1 Conds. de 1ª ordem: 1) 0 2) 0 [( ) 0 3) (1 ) ( ) 4) t A A A A A C t e v H H L A K C v H A C C v H H L A K v A H v v H H L A K v K v A ρ α β α β α β α β σ α β α β α β α β α β α β α β α β η δ σ δ _λ δ δ _α _η _δ δ δ _{α β} _η δ δ δ − + − − + − − − + − − + − • • + − − + − • − Η = + − − + − Η _{= ⇒} ₌ Η = ⇒ − − + = Η − = ⇒ − − − − = Η − = 1 1 1 1 2 (α β) [(v H H_A)α βL Aα β K α β α βη vδH_A v • + − − − + − ⇒ − + − − = ₂ 2 (1.45)

A partir da condição 2) obtemos.

1 1 1

1 (H HA) L A K A

α β α β α β α β

λ α ₋ − + − − η + − ₌_{λ δ}

(1.46) Derivando em ordem ao tempo e tomando e tomando H e L constantes, obtemos.

1 1 1 1 2 1 1 2 1 2 1 2 ( ) ( ) (1 ) (1 ) (1 ) A H H L A K A A K A K K A K A α β α β α β α β 2 A A λ α η λ _{α β} _{α β} λ λ λ _{α β} λ _{α β} λ λ − + − − + − • • • • • • • • − = + + + − − = + + − − = + − + λ δ λ • (1.47)

Em equilíbrio de SSG, as taxas de crescimento de K e A são iguais, o que implica que as taxas de crescimento dos preços implícitos sejam também iguais.

1 1 2 . (1.44) e K A eq K A 2 λ λ λ λ • • • • = ⇒ = (1.48)

(11)

_______________________________________________________________________________________________________

Resolva-se a condição 2) em ordem a (v1/v2), e obtemos. 1 1 1 2 2 '') [( _A) v A v H H α L Aβ α βK α β α β 1 δ α − + − − η + − = − (1.49)

Resolva-se a condição 3) em ordem ao simétrico da taxa de crescimento de v1. 1 1 1 (1 )( _A) v H H L A K v α β α β α β α β α β η • + − − + − − = − − − (1.50)

Resolva-se a condição 4) em ordem ao simétrico da taxa de crescimento de v2.

1 1 1 2 1 2 2 ( )( _A) _A v v H H L A K H v v α β α β α β α β α β η δ • + − − − + − − = + − − (1.51)

Substituindo (v1/v2) pela sua expressão obtém-se.

2 2 v A v δ • − = (H H_A)α α − 1 Lβ − Aα β+ 1 K − −α β ηα β+ −1 ( ) (H HA) α α β+ − Lβ Aα β+ −1 K1− −α β ηα β+ −1 2 2 2 2 2 2 2 2 ( )( ) Como , obtemos: ( )( ) A A A A A H v H H H v v v H H H δ δ α β δ α λ ρ λ λ δ α β δ ρ λ α • • • • − + − − = − = − + − − = − − (1.52)

A condição 1 implica que:

1 1 c c λ _σ λ • • = − (1.53)

Sabendo que em equilíbrio de SSG, a taxa de crescimento de equilíbrio é igual à taxa de crescimento do consumo, e substituindo a taxa de crescimento do preço implícito do stock de capital, obtemos a seguinte equação.

2 2 ( )( _A) A H H H δ α β δ ρ α λ λ • + − − − = (1.54)

e podemos obter as expressões da quantidade óptima de capital humano afecto ao sector de I&D. ( ) ( ) op A H H α β δ αρ δ β ασ + − + = (1.55)

E obtém-se a taxa de crescimento óptima. ( ) ; com = 1 + opt α β δH αρ H β ασ δ θρ α γ θ θσ θ α + − + β − = = + − (1.56)