Grafos-07

Busca em Profundidade

“O Senhor olha dos céus para os filhos dos homens,

para ver se há alguém que tenha entendimento, alguém que busque a Deus.”

Busca em Grafos (Revisão)

• Buscas (ou buscas) em grafos são estratégias algorítmicas usadas para percorrer um grafo

– Seguem/respeitam as arestas

• Duas buscas mais simples

– Busca em extensão (já vimos) – Busca em profundidade (hoje!)

Motivações para a Busca em

Pronfundidade

• Vamos citar duas aplicações potencias da DFS

• Problema 1: Dado um grafo de amizades, encontrar comunidades/grupos de pessoas interligadas (direta ou indiretamente)

• Em grafos não-direcionados: achar componentes conectados do grafo

Motivações para a DFS

• Problema 2: Ao criar o currículo de um

curso, com várias disciplinas que podem estar inter-relacionadas por restrições de

“pré-requisito”, é importante verificar se não há uma dependência cíclica. Exemplo:

– MD2 é pré-requisito de Algoritmos

– Algoritmos é pré-requisito de Programação 2 – Programação 2 é pré-requisito de MD2

Busca em Profundidade

• Tenta seguir sempre o mais “fundo” possível • Ao chegar em um vértice u, escolhe um

vizinho branco qualquer e já inicia uma visita a ele

Busca em Profundidade

• Cada vértice pode estar em três estados

– Branco: não-visitado – Cinza: visita iniciada – Preto: visita terminada

• O vértice se torna cinza logo que a busca o atinge, e preto quando todos os seus

Busca em Profundidade

• Pseudocódigo abstrato da visita

DFS-VISIT (vértice u)

atribui cinza a u //inicio da visita a u

para cada v branco de Adj[u] DFS-VISIT(v) //visita v

Busca em Profundidade

• Melhorando o pseudocódigo

– Atribuir o instante do início da visita (quando o vértice se torna cinza)

– Atribuir o instante do fim da visita (quando o vértice se torna preto)

– Guardar a árvore de busca (mostra os caminhos seguidos pela busca partindo do vértice de início)

Busca em Profundidade

• Vamos usar as seguintes variáveis

– cor[u] – conforme explicado anteriormente – i[u] – momento em que a visita a u é iniciada – f[u] – momento em quea visita a u é finalizada

 [u] ou ante[u] – vértice antecessor de u na busca

• Para setar i[] e f[], vamos usar uma variável global tempo

Pseudocódigo – Visita

• Com as variáveis anteriores

DFS-VISIT(grafo G, vértice u)

cor[u] = CINZA; i[u] = tempo ++;

para cada v de Adj[u] if cor[v] = BRANCO ante[v] = u;

DFS-VISIT(G,v); cor[u] = PRETO;

Busca em Profundidade

• Quem faz a primeira chamada? Quando as variáveis são inicializadas?

• Vamos definir um procedimento DFS-START para o início da busca, em duas versões:

1. início único (em um vértice s)

Pseudocódigo – Início Único

• Faz apenas um início da busca, em um dado vértice s

DFS-START(grafo G, vértice s)

para todo vértice v cor[v] = BRANCO i[v] = f[v] = -1 ante[v] = -1

tempo = 1

Pseudocódigo – Com Reinícios

• Faz novos inícios da busca, enquanto houver vértice branco (não-visitado)

DFS-START(grafo G)

para todo vértice v cor[v] = BRANCO i[v] = f[v] = -1 ante[v] = -1

tempo = 1

Exemplo

• Uma possível execução da busca, mostrando os tempos i/f de cada vértice

Saídas

• Por enquanto, as principais saídas do algoritmo são os arrays:

– ante[] – i[] e f[]

• Veremos algumas propriedades associadas a essas arrays, após a execução de uma

2.1. Sobre o Array ante[]

• Como na busca em extensão, a busca em profundidade

com início único gera uma árvore

– Cada posição ante[v] guarda o pai (antecessor) de um vértice v

• No exemplo dado antes, a árvore resultante seria esta:

1

2

4

5

Árvore de Busca

• No caso de início único, esta árvore

representa caminhos quaisquer do vértice de origem s a cada um dos outros vértices • Mas não há garantia de que são mínimos! • Para imprimir um caminho específico, você

pode usar o mesmo algoritmo mostrado para a busca em extensão

Floresta de Busca

• Se for usada a busca em profundidade

com reinícios, cada reinício gera uma árvore

– Ou seja, a saída é uma floresta (conjunto de árvores)

• Os caminhos representados em cada árvore são pouco úteis

Voltando ao Problema 1

• Então, como fazer para achar os grupos a partir de um grafo das relações de amizade (de uma rede social, por exemplo)?

2.2. Sobre os Arrays i[] e f[]

• Definem, para cada nó u, o intervalo de tempo de

busca dele:

[ i[u] ; f[u] ]

• Se w é descendente (direto ou indireto) de u na busca, então o intervalo de w está contido no intervalo de u

– Ou seja: i[u] < i[w] < f[w] < f[u]

– O descendente começa a busca depois e termina antes!

tempo intervalo de u intervalo de w tempo intervalo de u intervalo de w

Quer que eu desenhe?

• Se w é descendente de u :

• Se não existe relação de

descendência (são de ramos distintos da árvore de busca):

Estrutura de Parênteses

• A propriedade anterior é chamada estrutura de parênteses, porque uma consequência dela é que a DFS gera parênteses

balanceados, ao fazer assim:

– No início da visita, imprimir “(u” – No final da visita, imprimir “u)”

• Exemplo

– Ordem de visita:

2.3. Classificação das Arestas

• A busca em profundidade em digrafos induz uma classificação das arestas assim:

– De árvore: formam a árvore de busca (arestas não tracejadas na figura)

– De retorno: leva de volta a um ancestral na árvore de busca

– De adiantamento: “saltam” para um descendente da árvore

– De cruzamento: nós sem relação de descendência

Voltando ao Problema 2: Detectar

Ciclo

Um digrafo G apresenta algum ciclo

se e somente se

uma busca em profundidade em G produz uma aresta de retorno

Motivação

• Problema 3: Dado um currículo com várias disciplinas que podem estar

inter-relacionadas por restrições de “pré-requisito”. Definir uma sequência para completar o

currículo cursando uma disciplina por semestre.

Representado com Grafos

• Um grafo de dependências (binárias) entre atividades • Um arco (x,y) indica que a

atividade x tem que ser realizada antes de y

• Ordem para realizar uma-a-uma essas atividades todas:

Ordem Topológica

• Uma ordem topológica é uma ordenação linear dos vértices, tal que

– Para todo arco (x,y) do grafo, o vértice x deve estar posicionado antes do vértice y

• Informalmente:

– “Uma sequência em que todo arco vai da esquerda para a direita”

Ordem Topológica

• Só existe em grafos acíclicos direcionados (DAGs, em inglês)

– Se tiver ciclo, não é possível satisfazer as dependências!

• É comum haver várias ordens topológicas válidas em um mesmo DAG

• Exemplos de ordens topológicas no grafo anterior:

– 7,5,3,11,8,2,10,9 – 7,5,11,2,3,10,8,9

Ordenação Topológica

• O problema de achar uma ordem topológica é chamado de ordenação topológica

• Uma pesquisa em profundidade pode calcular uma ordem topológica em um DAG

• Veremos as mudanças nos procedimentos

Ordenação Topológica

• Mudanças em DFS-VISIT-OT

– Quase igual ao DFS-VISIT padrão – Acessa uma pilha de vértice global

– No final da visita, adiciona o vértice atual na pilha

• Procedimento principal: ORDENA-TOPOLOG

– Quase igual ao DFS-START com reinícios – Inicializa a pilha e a retorna ao final

Pseudocódigo

• Procedimento principal

ORDENA-TOPOLOG(grafo G)

pilha = []

< igual ao DFS-START com reinícios>

Pseudocódigo

• Visita

DFS-VISIT-OT(grafo G, vértice u) < igual ao DFS-VISIT >

Exemplo

Ordenação Topológica

• Observe que a pilha final contém os vértices em ordem decrescente de f[v]

– O último (fundo) da pilha foi o primeiro finalizado – O primeiro (topo) da pilha foi o último finalizado

• Porém, rodar DFS-START primeiro e ordenar por f[v] posteriormente seria bem menos eficiente

Esboço da Prova de Corretude

– Um DAG não tem aresta de retorno

• Porque não tem ciclo

– Para toda aresta (x,y), a busca encerra y antes de x

• Na busca, esta aresta é analisada a partir de x • Se y estiver branco, y se tornará filho de x • Se y estiver preto, é porque y já foi encerrado

• (Não pode estar cinza, pois seria aresta de retorno)

– Assim, para toda aresta (x,y), o y é inserido primeiro na pilha

Complexidade

• Similar à busca em extensão...

– Inicializa atributos de cada vértice – tempo O(V) – Analisa todas as arestas de saída de cada vértice –

tempo total O(E)

• Assim, a complexidade será O(V+E) ou simplesmente:

Observações Finais

• A busca em profundidade é uma estratégia algorítmica para percorrer um grafo

• Vimos como, com pequenas alterações,

podemos resolver pelo menos três problemas:

– Achar componentes conectados – Detectar ciclos

– Ordenação topológica

• Veremos outro algoritmo baseado nela na próxima aula...