Modelos de interação de Wang-Meng entre matéria escura e energia escura

UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO NORTE CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E DA TERRA

DEPARTAMENTO DE FÍSICA TEÓRICA E EXPERIMENTAL BACHARELADO EM FÍSICA

Josiel Mendonça Soares

Modelos de interação de Wang-Meng

entre matéria escura e energia escura

Natal-RN

Modelos de interação de Wang-Meng entre matéria

escura e energia escura

Monograa de graduação apresentada ao De-partamento de Física Teórica e Experimen-tal da Universidade Federal do Rio Grande do Norte como requisito para a obtenção do grau de Bacharel em Física.

Orientador:

Prof. Dr. Raimundo Silva Junior

Universidade Federal do Rio Grande do Norte - UFRN Departamento de Física Teórica e Experimental -DFTE

Natal-RN Dezembro de 2016

Catalogação da Publicação na Fonte. UFRN / SISBI / Biblioteca Setorial Centro de Ciências Exatas e da Terra – CCET.

Soares, Josiel Mendonça.

Modelos de interação de Wang-Meng entre matéria escura e energia escura / Josiel Mendonça Soares. - Natal, 2016.

58f. : il.

Orientador: Prof. Dr. Raimundo Silva Júnior.

Monografia (Graduação) – Universidade Federal do Rio Grande do Norte. Centro de Ciências Exatas e da Terra. Departamento de Física Teórica e Experimental.

1. Cosmologia – Monografia. 2. Gravitação – Monografia. 3. Matéria escura – Monografia. 4. Energia escura – Monografia. 5. Animação computacional – Monografia. 6. Wang-Meng – Monografia. I. Silva Júnior, Raimundo. II. Título. RN/UF/BSE-CCET CDU: 524.8

téria Escura e Energia Escura, apresentada por Josiel Mendonça Soares e aceita pelo Departamento de Física Teórica e Experimental do Centro de Ciências Exatas e da Terra da Universidade Federal do Rio Grande do Norte, sendo aprovada por todos os membros da banca examinadora abaixo especicada:

Dr. Raimundo Silva Júnior Orientador

Departamento de Física Teórica e Experimental - DFTE Universidade Federal do Rio Grande do Norte - UFRN

Dra. Nilza Pires

Departamento de Física Teórica e Experimental - DFTE Universidade Federal do Rio Grande do Norte - UFRN

Dr. Dory Hélio Aires de Lima Anselmo

Departamento de Física Teórica e Experimental - DFTE Universidade Federal do Rio Grande do Norte - UFRN

Agradecimentos

Agradeço primeiramente ao meu Senhor e Salvador Jesus Cristo que me proporcionou força, sabedoria e equilibrio psicológico e emocional nessa jornada de cinco anos de graduação em um dos cursos considerados como dos mais difíceis da universidade. Agradeço ao meu falecido pai que me ajudou muito em meus primeiros passos para entrar na universidade. Agradeço a minha família que me deu apoio e sempre me ajudou quando eu precisei. Agradeço também aos meus professores e aos meus colegas de bolsa do programa de educação tutorial que me apoiaram e me motivaram ainda mais em meus trabalhos. Agradeço a minha linda noiva Paula que com seu jeito de ser me deu grande incentivo quando estava eu para realizar uma das provas mais difíceis do meu curso.

criou tudo isso? Aquele que põe em marcha cada estrela do seu exército celestial, e a todas chama pelo nome." Isaías 40:26 - Bíblia Sagrada

Resumo

Nos dias atuais muitos dados observacionais apontam que o universo está passando por uma expansão acelerada. Contudo, sérias questões fundamentais sobre o mecanismo por trás da ace-leração cósmica permanecem sem resposta. Entre estas questões em aberto, a possibilidade de um acoplamento não mínimo entre as duas maiores componentes energéticas do universo, isto é, a matéria escura e a energia escura, têm sido amplamente investigado de modo a responder algumas destas questões. Neste trabalho, nós estudamos o modelo original proposto por Wang e Meng, que é baseado em interações entre as componentes escuras do universo. De fato, esta aproximação é uma tentativa fenomenológica para aliviar o tão chamado problema da coincidên-cia, sendo a essêncoincidên-cia, as interações no setor escuro.

Palavras-chave: Cosmologia. Gravitação. Matéria Escura. Energia Escura. Animação Computacional. Wang-Meng.

Abstract

Nowadays many observational data suggest that the universe is undergoing an accelerated expansion. However, several fundamental questions about the mechanism behind cosmic ac-celeration remain unanswered. Among these open questions, the possibility of a non-minimal coupling between the two major energy components in the universe, i.e. the dark matter and the dark energy, has been widely investigated in order to answer some of these issues. In this work, we study the original model proposed by Wang and Meng, which is based on the interaction among dark components of the universe. As a matter of fact, this approach is a phenomenologi-cal attempt to alleviate the so-phenomenologi-called coincidence problem, being the gist, the interactions in the dark sector.

Keywords: Cosmology. Gravitation. Dark Matter. Dark Energy. Computational Anima-tion. Wang-Meng.

Lista de guras

1.1 Representação do campo gravitacional. . . 3

2.1 Linha temporal da evolução do Universo. . . 7

2.2 Relação entre redshift e distâncias das galáxias. . . 8

2.3 Representação da grade (coordenada) comóvel. . . 9

2.4 Anisotropia da radiação cósmica de fundo . . . 10

2.5 Espectro da radiação de fundo ajustada a uma curva de corpo negro. . . 11

2.6 Em azul, uma vizualização hipotética de uma distribuição de matéria escura em torno de uma galáxia. . . 19

2.7 Evolução sem matéria escura (lado esquerdo de cada gura); evolução com ma-téria escura (lado direito de cada gura). . . 20

2.8 Curva de rotação de galáxia (velocidade tangencial versus raio) com: 1) apenas matéria bariônica (esperado, em vermelho); 2) apenas matéria escura (em azul); 3) matéria bariônica e matéria escura (em preto). . . 21

2.9 Parte principal do programa. . . 24

3.1 Evolução dos parâmetros de densidade no modelo ΛCDM. . . 32

4.1 Problema da Coincidência Cósmica. . . 35

4.2 Evolução das densidades de energia escura e matéria escura no modelo Λ(t)CDM variando o parâmetro  de 0.2 em 0.2 a partir de  = 0 (modelo sem interação). . 39

Sumário

1.1 Como Tudo Começou - Visão Filosóca . . . 2

1.2 Cosmologia Clássica - Astronomia e Gravitação . . . 3

1.3 Panorama Histórico da Cosmologia Moderna . . . 5

2 O Modelo Padrão ΛCDM 7 2.1 Cosmologia Moderna . . . 8

2.1.1 Lei de Hubble e a expansão do universo . . . 8

2.1.2 Radiação Cósmica de Fundo (CBR) . . . 10

2.2 Dedução Relativística das Equações de Friedmann . . . 11

2.2.1 Métrica de FLRW . . . 12

2.2.2 Equações de Campo de Einstein . . . 13

2.2.3 Equação de Friedmann . . . 15

2.2.4 Equação da Conservação de Energia Local . . . 16

2.3 Matéria e Energia Escura . . . 19

2.3.1 Matéria Escura . . . 19

2.3.2 Energia Escura . . . 24

3 O Modelo Big-Bang 25 3.1 Equações de Estado e Leis de Conservação . . . 25

3.2 Evolução dos Parâmetros de Densidade . . . 28

3.3 A Teórica Linha Temporal Cósmica . . . 32

4 Interações no Setor Escuro - Modelo Λ(t)CDM 34 4.1 O problema da coincidência . . . 34

4.2 Interação entre Matéria Escura e Energia Escura . . . 35

4.3 Modelo de Wang-Meng . . . 37

1

Referências Bibliográcas 41

Apêndice A 44

Dedução das Componentes Diagonais do Tensor de Ricci . . . 44

Apêndice B 46

Capítulo 1

Introdução

Como Tudo Começou - Visão Filosóca

No mundo em que vivemos muitos questionamentos nos vem a mente desde os tempos mais remotos do que vem a ser a nossa própria existência. Quem somos, de onde viemos, e para onde vamos? Por que existe tudo em vez do nada? O que vemos sempre existiu ou teve um início? O mesmo será eterno ou terá um m? Partindo do visão losóca de René Descartes (1596-1650) Puisque je doute, je pense; puisque je pense, j'existe"(Penso, logo existo) podemos passar para os dois próximos passos, de onde viemos e para onde vamos. Vamos tratar destas discussões não em relação ao ser humano, mas ao nosso universo. De onde veio o universo (um início) e para onde ele vai (um m)?

A cosmologia moderna, como outras áreas da ciência, segue alguns princípios (ou pressupos-tos) losócos. Pode-se citar o naturalismo que é o princípio losóco de que a natureza física é tudo o que existe, excluindo com isso qualquer indício de manifestação da transcendência e sobrenaturalidade (i.e. espíritos e milagres). Também tem-se o uniformitarismo que se refere ao princípio de que as atuais leis da física permanecem inalteradas (uniforme) em todos os lugares do universo e em todo o tempo cósmico. O mais importante dentre todos os pressupostos da cos-mologia é chamado de princípio cosmológico o qual trata o universo como sendo isotrópico (não há direção privilegiada) e homogênio (não há posição privilegeada) em largas escalas maiores do que 100 Mpc's1_.

3

Cosmologia Clássica - Astronomia e

Gra-vitação

Na visão de Sir. Issac Newton, a atração entre os corpos era a responsável pela organização dos corpos celestes. Tal atração manteria os mesmos em movimentos de rotação entre si por forças centrípetas. Não se sabia até então qual era mecanismo que produziria uma interação a distância. Neste contexto passou-se a chamar de campo gravitacional o mediador das interações, a qual pode ser representado por campos vetoriais designados por vetores ~g que sempre apontam em direções radiais convergentes aos corpos.

Figura 1.1: Representação do campo gravitacional.

Figura de autoria do autor.

A força gravitacional atrativa entre os corpos obedece uma lei universal do tipo forças do inverso do quadrado utilizando uma constante de proporcionalidade G2 _{denominada de constante}

gravitacional.

~

F = −GM m

r2 ˆr (1.1)

onde M é a massa do corpo que gera o campo gravitacional, m é o corpo de teste e r é a distância

que separa os corpos.

Passamos agora, a partir da física clássica, a desenvolver de forma resumida a idéia matemá-tica que fundamenta a gravitação newtoniana.

Primeiramente denimos matematicamente os campos e potenciais gravitacionais, respecti-vamente, da seguinte forma.

~ g ≡ ~ F m = − GM r2 rˆ (1.2) Φ ≡ − Z ~g · d~r ⇒ ~g = −∇Φ (1.3) Denimos também o uxo gravitacional (φ) como sendo a integral do produto escalar entre o campo ~g e uma área innitesimal d~σ englobando uma área especíca S.

φ = Z

S

~g · d~σ (1.4)

Tomando um superfície gaussiana esférica centrada na origem do corpo e englobando com-pletamente a mesma, podemos resolver a equação (1.4) utilizando a equação (1.2).

I S ~g · d~σ = −GM Z ₁ r2r 2_{sinθ dθ dφ = −4πGM}

Utilizamos agora o teorema da divergência de Gauss ao lado esquerdo e denimos a densidade do corpo como ρ para substituir a massa M pela integral volumétrica de sua densidade.

Z

(∇ · ~g)dτ = Z

(−4πGρ)dτ

Comparando os dois lados desta equação e utilizando a equação (1.3) encontramos a famosa equação de Poisson da gravitação.

∇ · ~g = −∇ · (∇Φ) = −4πGρ

∇2Φ = 4πGρ (1.5)

Esta equação diz que a presença de uma distribuição de massa em um dado local produz ao seu redor um campo gravitacional convergente, e por conseguinte essa seria a denição de gravidade na física clássica, um campo gravitacional vetorial.

5

Panorama Histórico da Cosmologia

Mo-derna

Do ponto de vista cientíco temos que a cosmologia se apóia em quatro fundamentos as quais são a Relatividade Geral, a Radiação Cósmica de Fundo em Microondas, a Lei de Hubble e a Abundancia de Hidrogênio e Hélio no Universo.

Em termos históricos iniciamos a cosmologia moderna a partir dos trabalhos de Albert Eins-tein, Edwin Hubble, Arno Penzias e Robert Wilson no século XX, mais precisamente no ano de 1915 com a pubicação da Relatividade Geral. A mesma teoria confrontou diretamente os princí-pios da gravitação postos por Galileu Galilei e Sir Isaac Newton (Séc XVII). Segundo Newton a gravidade era devida a um potencial que gerava uma força de natureza atrativa e sendo seu efeito instantâneo em todas as partes do universo, porém, segundo a relatividade especial, nenhum sinal poderia se propagar com velocidade maior do que a velocidade da luz (c = 3.0 · 105 _{km/s). A}

relatividade geral mostrou outra interpretação para a gravidade, seria ela, portanto, o resultado de curvaturas do espaço-tempo devido a presença de matéria-energia no espaço. Formulada a equação de campos, Einstein observou que em seu modelo a atração gravitacional devido ao con-teúdo cósmico deveria levar o universo a um colapso. Esta interpretação não o agradou de modo que o levou a manipular suas equações introduzindo com isto uma constante cosmológica que teria uma característica de repulsão gravitacional impedindo ao colapso do universo. Momentos depois disto, Einstein abandonou sua proposta de incrementar esta constante.

Em 1929 surge Edwin Hubble apresentando dados que apontam para um universo não está-tico. Seus estudos em análise de redshifts"das galáxias o levaram a interpretação de que nosso universo se encontra em um estado de expansão.

Em 1933 Fritz Zwicy postulou a matéria escura que serviria de explicação para as curvas de rotação de galáxias que aparentemente deveriam possuir mais matéria do que as que são detectadas via raio-x, entre outros. Todas as galáxias, portanto, deveriam se encontrar imersas em halos cósmicos invisíveis que exerceriam apensas interações gravitacionais.

No ano de 1964 3 _{Arno Penzias e Robert Wilson detectaram com sua antena uma radiação}

provinda de todas as partes do céu na faixa do microondas (a princípio interpretada como um ruído instrumental) que conrmou as predições anteriores de que haveria uma radiação remanescente provinda do universo do tempo do desacoplamento (onde a radiação teria deixado

de interagir fortemente com a matéria após os momentos do Big-Bang em que o cosmos seria domidado por fótons). Esta descoberta levou os dois ao Prêmio Nobel de Física em 1978. Esta radiação passou a ser chamada de Radiação Cósmica de Fundo (RCF).

No ano de 1998 o grupo de pesquisa High-Z Supernova Search Team publicaram resultados de observações de supernovas do tipo Ia. Estes resultados levaram a conclusões de que o universo não apenas estaria em expansão, mas também a mesma se daria de modo acelerado. O que levaria a esta aceleração foi postulada como uma componente cósmica semelhante a matéria escura (hipotética) mas que exerceria pressão negativa no universo (um tipo de gravitação repulsiva). Esta componente foi primeiramente chamada de Energia Escura por Michael Turner e resgatou novamente a constante cosmológica Λ abandonada por Einstein.

Capítulo 2

O Modelo Padrão ΛCDM

O modelo padrão da cosmologia, também chamado de modelo ΛCDM, trata do nosso uni-verso sendo homogêneo e isotrópico a escalas da ordem de 100 Mpc's, tendo em sua constituição uma maior porcentagem de matéria escura (no caso matéria escura fria CDM) e energia es-cura (na forma de uma constante cosmológica Λ), as quais são tratadas nas seções seguintes. O mesmo universo se encontraria em expansão acelerada devido aos efeitos da energia escura, tendo o princípio da criação (de matéria, energia, espaço e tempo) sendo dado em uma possível singularidade do espaço-tempo de altas temperaturas e uma enorme densidade, a qual, devido a utuações quânticas, se expandiu rapidamente no evento conhecido pejorativamente por Big-Bang"(nome dado por Fred Hoyle o qual acreditava em um universo imutável em todo tempo). Tais características do universo serão discutidas mais adiante.

Figura 2.1: Linha temporal da evolução do Universo.

Cosmologia Moderna

2.1.1 Lei de Hubble e a expansão do universo

No ano de 1929 foi publicado pelo astrônomo Edwin Powell Hubble (1889-1953) sua pesquisa na qual relacionou o desvio espectrográco para o vermelho (redshift) das galáxias em relação a sua disância. O resultado obtido mostrou uma relação aproximadamente linear, ou seja, quanto mais distante a galáxia se encontra de nós, maior é o seu redshift. Tal redshift foi interpretado como sendo devido ao efeito Doppler das galáxias, em outras palavras, a velocidade de afasta-mento das mesmas é diretamente proporcional a sua distância em relação a nós. Essa relação de linearidade foi chamada posteriormente de Lei de Hubble, matematicamente descrita abaixo.

~

v = H0~r (2.1)

onde, H − 0 nessa equação é chamada de parâmetro de Hubble.

Figura 2.2: Relação entre redshift e distâncias das galáxias.

Figura retirada de [14].

Outras interpretações para o redshift podem ser obtidas, como por exemplo o redshift gra-vitacional ou perda da energia da radiação que alteraria no seu valor de frequência mediante a relação E = hν. A lei de Hubble não seria única para explicar os redshifts.

9

Relacionando o valor do redshift z com a distância temos, z = H

c r =

λo− λe

λe (2.2)

onde c é a velocidade da radiação (velocidade da luz), λe é o comprimento de onda da radiação

emitida pela galáxia e λo é o comprimento de onda da radiação observada pela mesma.

Para nosso universo em expansão denimos um tipo de coordenada que se expande junta-mente com o mesmo. Tal coordenada na cosmologia é denominada de coordenada comóvel (~x). Sua relação com as coordenadas usuais se dá através de um parâmetro chamado de fator de escala (a) da seguinte forma:

~

r(t) = a(t)~x (2.3)

Substituindo esta esquação na lei de Hubble podemos encontrar de que modo o parâmetro de Hubble se relaciona com o fator de escala.

~

v = ˙a(t)~x = ˙a a~r H(t) = ˙a

a (2.4)

Abaixo apresentamos um modo de visualizar nossas coordenadas comóveis utilizando uma grade representativa que cresce a medida que os objetos celestes se afastam umas das outras.

Figura 2.3: Representação da grade (coordenada) comóvel.

2.1.2 Radiação Cósmica de Fundo (CBR)

No ano de 1964 dois radioastônomos, Arno Allan Penzias (1933-) e Robert Woodrow Wilson (1936-), em um de seus experimentos utilizando antenas, acidentalmente descobriram o que hoje se tornaria um dos pilares da cosmologia moderna, a Radiação Cósmica de Fundo em Microondas (no inglês, Cosmic Background Radiation). A princípio ambos os cientistas interpretaram sua descoberta meramente como sendo algum tipo de ruído ou interferência em seus dados. Poste-riormente lhes foi rendido o prêmio Nobel de física pelo mesmo. Esta radiação cósmica nada mais seria, segundo a interpretação da maioria dos cosmólogos modernos, do que o rastro de radiação que restou do Big-Bang, mais precisamente na fase do desacoplamento dos fótons com a matéria de modo que os tais pudessem escapar sem serem absorvidos. Já mesmo antes de ser observado, o CBR já foi previsto em 1948 pelos cientistas americanos Ralph Asher Alpher (1921-2007) e Robert Herman (1922-1997), o que tornou mais direta a interpretação do ruído observado. Medidas realizadas pelos satélites COBE e WMAP apresentaram que a radiação de cósmica de fundo, na qual se encontra atualmente na faixa de microondas devido a expanção do comprimento de onda, tem seu comportamente perfeitamente enquadrado em um espectro de corpo negro (objeto na qual se comporta como um absorvedor e emissor perfeito, absorvendo toda radiação incidida nele e por sua vez irrandiando tudo o que foi absorvido). Na verdade, não foi observado até o momento presente, algum corpo ou objeto que possuísse um espectro de radiação semelhante. Com a ajuda da teoria das radiações e dos dados coletados pelos satélites espaciais, vericou-se que a temperatura de fundo do universo se encontra na faixa dos 3 Kelvins (aproximadamente 270o _{Celsius abaixo de zero).}

Figura 2.4: Anisotropia da radiação cósmica de fundo

11

Figura 2.5: Espectro da radiação de fundo ajustada a uma curva de corpo negro.

Figura retirada de [22].

Além das informações coletadas referentes a intensidade de radiação e temperatura, através do CBR pode-se inferir em como pôde ter havido a formação das grandes estruturas cósmi-cas (mostrando que as utuações na temperatura do CBR e, consequentemente, as utuações quânticas seriam as responsáveis pelo aglomerado de matéria locais que levariam ao seu colapso gravitacional gerando as estruturas que observamos), também podendo inferir na composição percentual das principais componentes do universo, tal informação sendo de grande relevância no prosseguimento deste trabalho.

Dedução Relativística das Equações de

Friedmann

Na cosmologia moderna as equações mais importantes com a qual nós trabalhamos são as equações de campo de Einstein e as equações de Friedmann que descrevem a dinâmica expansio-nista do universo (a partir da derivada do fator de escala ou, de forma simplicada, da segunda

potência do parâmetro de Hubble) de acordo com a presença energética de suas componentes. Nesta seção nós iremos mostrar a dedução das equações de Friedmann a partir da equação de Einstein em sua componente temporal G00_.

2.2.1 Métrica de FLRW

Para a dedução das equações de Friedmann é necessário, a princípio, conhecer a métrica gµν necessária para o nosso universo, no qual, a partir do princípio cosmológico, se encontra em

uma morfologia isotrópica e homogênea a escalas de comprimento da ordem de Mpc (1 Mpc ≈ 3.26 · 106AL). A métrica que apresenta essas propriedades é chamada de Métrica de Friedmann-Lemàitre-Robertson-Walker(FLRW), a qual é representada por uma matriz simétrica 4 × 4 em coordenadas esféricas na seguinte forma:

gµν =         −1 0 0 0 0 _1−kra2 2 0 0 0 0 a2r2 0 0 0 0 a2r2sin2θ         (2.5)

A partir da mesma temos que o elemento de linha (intervalo innitesimal do espaço-tempo) é representado por, dS2 = gµν(~x)dxµdxν = −dt2+ a2  dr2 1 − kr2 + r 2_dΩ2  (2.6) onde, dΩ2= dθ2+ sin2θdφ2

A constante k que aparece nessa métrica é chamada de parâmetro de curvatura que faz referência ao tipo de curvatura global do universo. Seus únicos valores possíveis são 1, 0 ou -1 dependendo da geometria global cósmica.

k =              1, geometria esférica

0, geometria plana (euclidiana) −1, geometria hiperbólica

13

2.2.2 Equações de Campo de Einstein

Em 1915 Albert Einstein publica sua teoria geral da relatividade, a qual se mostra muito mais eciente do que a teoria newtoniana da gravitação. As chamadas equações de campo de Einstein são um conjunto de 10 equações tensorias simétricas de rank 2 as quais descrevem como a presença de matéria-energia distorcem o espaço-tempo (sendo esta a atual interpretação do que seria a gravidade). Tais equações são apresentadas da seguinte forma:

Gµν = Rµν−

1

2gµνR = 8πGTµν (2.7) cujas componentes são apresentadas na tabela abaixo.

R

−

g

R = 8πGT

R

−

g

R = 8πGT

R

−

g

R = 8πGT

R

−

g

R = 8πGT

R

−

g

R = 8πGT

R

−

g

R = 8πGT

R

−

g

R = 8πGT

R

−

g

R = 8πGT

R

−

g

R = 8πGT

R

−

g

R = 8πGT

Tabela 2.1: As 10 componentes das equações de campo de Einstein.

Ao lado esquerdo da equação temos a representação da deformidade do espaço-tempo dado pelos tensor de Ricci Rµν_{, tensor métrico g}µν _{e escalar de Ricci R. Ao lado direito da equação}

temos a representação de matéria-energia incluso no tensor energia-momento (Tµν_).

O tensor e o escalar de Ricci, na verdade, são contrações tensoriais realizadas nos índices do tensor de curvatura de Riemann 1 _{que é dado por:}

Rαβγδ= Γαβδ,γ − Γαβγ,δ+ ΓαγΓβδ− ΓαδΓβγ (2.8)

onde os Γ's chamados de conexões ou símbolos de Christoel são objetos matemáticos não

ten-1_{Este tensor pode ser obtido mediante dupla derivada covariante sobre o quadrivetor de separação}

entre duas geodésicas (menor caminho entres dois pontos no espaço-tempo). Na equação resultante chamada de Equação de Desvio Geodésico surge o tensor de Riemann

sorias denidos por Γαβγ ≡ 1 2g α_(g β,γ+ gγ,β− gβγ,) (2.9)

Os sinais de `,' (vírgula) nas equações acima representam as derivadas usuais com outra notação. Vµ,ν= ∂νVµ= ∂Vµ ∂xν De modo que, gαβ,γ = ∂gαβ ∂xγ .

As contrações mencionadas anteriormente que levam ao tensor e escalar de Ricci são realiza-das da seguinte forma,

Rαβ = Rµαµβ

R = Rµµ

Estamos adotando em todo este formalismo matemático a convenção de soma de Einstein em que o símbolo de somatório Σ é omitido quando temos a presença de índices covariante e contravariantes repetidos.

AµAµ=

X

µ

AµAµ

O tensor energia-momento para o nosso universo homogêneo e isotrópico, é uma matriz diagonal cuja primeira componente representa a densidade de energia-matéria e os demais termos representam a pressão exercida pela mesma.

Tµν= diag(ρ, P, P, P ) =         ρ 0 0 0 0 P 0 0 0 0 P 0 0 0 0 P         (2.10)

Em nosso modelo cosmológico, o universo é tratado como um uido perfeito, no qual a condutividade térmica, viscosidade ou qualquer outro processo dissipativo é desprezível, de tal modo que o tensor energia-momento é denido por,

15

onde o termo υµ_{≡ ∂x}µ_{/∂τ = (1, 0, 0, 0)é a quadrivelocidade do uido.}

2.2.3 Equação de Friedmann

A partir deste ponto entramos no prosseguimento da dedução relativística da equação de Friedmann. Como mencionado anteriormente, o que devemos fazer é solucionar a equação de campo de Einstein em seu termo temporal (G00_).

G00= R00−

1

2g00R = 8πGT00

Primeiramente para resolvermos esta equação, deve-se calcular todas as conexões não nulas utilizando a métrica de FLRW. Γαβγ ≡ 1 2g α_(g β,γ+ gγ,β− gβγ,)

Devido a gama de conexões a serem calculadas, mais precisamente 64, tomamos como exemplo o cálculo de uma delas para ter-se uma intuição de como prosseguir com as demais.

Γ122= 1 2g 11_(g 12,2+ g12,2− g22,1) = − 1 2g 11_g 22,1 = −1 2  1 − kr2 a2  ∂ ∂r(a 2_r2_{) = −}1 2  1 − kr2 a2  2ra2 ∴ Γ122= −r(1 − kr2)

Assim apresentamos abaixo o resultado de todos os Γ0_{snão nulos.}

Γ011 = _1−kra ˙a2 Γ

0

22= a ˙ar2 Γ033= a ˙ar2sin2θ

Γ101 = _a˙a Γ111= _1−krkr2 Γ 1 22 = −r(1 − kr2) Γ133 = −rsin2θ(1 − kr2) Γ202 = _a˙a Γ212 = 1_r Γ233 = −sinθcosθ Γ303 = _a˙a Γ313 = 1_r Γ323= cotgθ

Após termos encontrado todas as conexões passamos a calcular as quatro componentes di-agonais dos tensores de Ricci (necessárias para se calcular o escalar de Ricci apresentado no lado esquerdo da equação de Einstein). Os cálculos para cada componente se encontram no Apêndice A deste trabalho. Os resultados das mesmas estão listados abaixo.

                 R00= −3¨a_a R11= g11  ¨ a a+ 2 ˙a2 a2 + 2_ak2  R22= g22  ¨ a a+ 2 ˙a2 a2 + 2_ak2  R33= g33  ¨ a a+ 2 ˙a2 a2 + 2_ak2  (2.12)

De modo que as componentes espaciais podem ser simplicadas por serem semelhantes em sua estrutura. Rii= gii  ¨a a+ 2 ˙a2 a2 + 2 k a2 

Retomamos daqui a nossa equação de campos de Einstein. R00−

1

2g00R = 8πρG

Substituindo os resultados obtidos anteriormente, solucionamos, portanto, a equação para a métrica de FLRW −3¨a a+ 3 ¨ a a+ 3  ˙a2 a2 + k a2  = 8πGρ E assim chegamos a famosa equação de Friedmann:

H2 = ˙a a 2 = 8 3πGρ − k a2 (2.13)

Incluindo a constante cosmológica, a equação de Friedmann apresenta-se da seguinte maneira:  ˙a a 2 = 8πGρ 3 − k a2 + Λ 3 (2.14)

2.2.4 Equação da Conservação de Energia Local

Tratando da segunda equação de Friedmann nos referimos a uma equação cosmológica da conservação de energia. Para um modelo no qual o universo não se encontra em expansão (˙a = 0) temos que a derivada da densidade de energia-matéria é simplesmente zero ( ˙ρ = 0). Já em nosso modelo de universo em expansão surge mais um termo proporcional a derivada

17

temporal do fator de escala, a qual é necessária para manter uma conservação de energia-matéria. A princípio modelamos o universo homogêneo e isotrópico em espansão de FLRW como um uido perfeito, denido por grandezas dissipativas (e.g. viscosidade, condução térmica e tensão de cisalhamento) desprezíveis. Esse úido como um todo estaria em repouso, apesar de suas componentes internas poderem mover-se no seu interior, de modo que sua quadrivelocidade υµ

possui apenas a componente temporal.

υµ= υµ= (1, 0, 0, 0) = (1, ~0) (2.15)

Em seguida necessitamos conhecer o tensor energia-momento (Tµν_{) adequado salientando}

que para isso devemos conhecer a métrica contravariante de FLRW (visto estar incluso em Tµν_).

Tal métrica pode ser obtida diretamente da métrica covariante gµν mediante seguinte relação

tensorial:

gµνgµν = 1 ⇒ gµν =

1

gµν (2.16)

Desse modo obtemos a métrica covariante de FLRW. gµν = diag  −1,1 − kr 2 a2 , 1 a2_r2, cosec2θ r2_a2  (2.17) Visto como não há tensão de cisalhamento (componente fora da diagonal de Tµν_{) e conhecido}

a forma do quadrivetor velocidade, chegamos a equação do tensor energia-momento. Tµν = (ρ + P )δµνδµ0+ gµνP Tµν ⇒                T00_{= ρ} T11= 1−kr_a2 2P T22₌ 1 ar2P T33= cosec_a2_r22θP (2.18)

Por último, após as considerações acima, calculamos a derivada covariante do tensor Tµν _(ao

invés da derivada simples ∂µ) igualando a mesma a zero (devido ao fato que a energia-matéria

deve se conservar). ∇_µTµν = 0 ⇒ 3 X µ,ν=0 ∇_µTµν = 0 (2.19) Abrindo esta equação de forma mais explícita temos:

∇µTµν = T00,0+T11,1+ T22,2+ T33,3+ Γ000T00+ Γ011T11 +Γ0₂₂T22+ Γ0₃₃T33+ Γ1₀₀T00+ Γ1₁₁T11+ Γ1₂₂T22+ Γ1₃₃T33 +Γ2₀₀T00+ Γ2₁₁T11+ Γ2₂₂T22+ Γ2₃₃T33+ Γ3₀₀T00+ Γ3₁₁T11+ Γ3₂₂T22+ Γ3₃₃T33+ Γ0₀₀T00+ Γ0₀₁T11+ Γ0₀₂T22+ Γ0₀₃T33 +Γ1₁₀T00+ Γ1₁₁T11+ Γ1₁₂T22+ Γ1₁₃T33+ Γ2₂₀T00+ Γ2₂₁T11 +Γ2₂₂T22+ Γ2₂₃T33+ Γ3₃₀T00+ Γ3₃₁T11+ Γ3₃₂T22+ Γ3₃₃T33 Desta equação excluímos as conexões nulas observando a tabela (2.2).

∇µTµν = T00,0+ T11,1+ Γ110 T11+ Γ022T22+ Γ033T33+ Γ111T11+ Γ122T22+ Γ133T33+ Γ233T33+ Γ110T00

+Γ1₁₁T11+ Γ2₂₀T00+ Γ2₂₁T11+ Γ3₃₀T00+ Γ3₃₁T11+ Γ332T22

Simplicando, pondo as componetes Tµµ _{em evidência,}

∇µTµν = T00,0+ T11,1+ T00(2Γ110+ Γ330) + T11(Γ011+ 2Γ111+ Γ221+ Γ331)

+T22(Γ0₂₂+ Γ1₂₂+ Γ3₃₂) + T33(Γ0₃₃+ Γ1₃₃+ Γ2₃₃)

Agora substituimos os devidos valores das conexões e das componentes do tensor energia-momento de (2.18). ∇_µTµν = ˙ρ − 2kr a2P + ρ  3˙a a  + 1 − kr 2 a2 P  a ˙a 1 − kr2 + 2kr 1 − kr2 + 2 3  + P ar2 r

2_{a ˙a − r(1 − kr}2_{) + cotgθ
+}P cosec2θ

a2_r2 r

2_sen2_{θ a ˙a − r(1 − kr}2_)sen2_{θ − senθcosθ}
Pondo em evidência os termos referentes a pressão P:

∇µTµν = ˙ρ + 3ρ ˙a a+ P  −2kr a2 + ˙a a+ 2kr a2 + 2 a2_r − 2kr a2 + ˙a a− 1 a2_r +kr a2 + cotgθ a2_r2 + ˙a a− 1 a2_r − cotgθ a2_r2 + kr a2  = 0

19

˙ ρ + 3˙a

a(ρ + P ) = 0 (2.20) Esta é a segunda equação de Friedmann.

Em suma, neste trabalho iremos nos embasar nas duas equações de Friedmann. (  ˙a a 2 = 8πGρ 3 − k a2 + Λ 3 )  ˙ ρ + 3˙a a(ρ + P ) = 0 

Matéria e Energia Escura

2.3.1 Matéria Escura

No estudo da curva de rotação de galáxias (velocidade tangencial versus raio) vericou-se que a distribuição de matéria nas mesmas, visualizadas através de toda sua faixa de radiação, não eram sucientes para explicar as mesmas. Uma quantidade de matéria maior (no momento invisível pelos atuais métodos de visualização) seria necessária, no qual a galáxia estaria imerssa, de modo a explicar tais curvas. Tal material hipotético e invisível que possui apenas interação do tipo gravitacional foi primeiramente chamada no ano de 1933 de Matéria Escura, a qual foi postulada por Fritz Zwicky (1898-1974).

Figura 2.6: Em azul, uma vizualização hipotética de uma distribuição de matéria escura em torno de uma galáxia.

Abaixo vizualizamos o modelo esperado para a rotação de uma galáxia levando em conta apenas a matéria bariônica, e uma simulação com uma distribuição de matéria a mais no qual a galáxia está imersa (chamada de halo).

Figura 2.7: Evolução sem matéria escura (lado esquerdo de cada gura); evolução com matéria escura (lado direito de cada gura).

21

Figura 2.8: Curva de rotação de galáxia (velocidade tangencial versus raio) com: 1) apenas matéria bariônica (esperado, em vermelho); 2) apenas matéria escura (em azul); 3) matéria bariônica e matéria escura (em preto).

Figura de autoria do autor.

As simulações realizadas com matéria escura na gura 2.7 seguem-se a partir do perl de densidade de Navaro-Frenk-White (NFW prole) publicado em 1995. Tal perl de densidade do halo em uma galáxia nesse caso seria dado por:

ρdm(r) = ρ0 r Rdm  1 +_Rr dm 2 (2.21)

O perl da densidade de matéria bariônica na galáxia (ou seja, que compôem as estrelas, planetas, poeira cósmica, etc.) utilizada na simulação segue-se a partir daquelas apresentadas na literatura da forma apresentada abaixo.

ρb(r) = ξ  3< − r2 (r2_{+ <)}3  (2.22) onde as constantes ρ0, Rdm, < e ξ são parâmetros que variam de galáxia para galáxia.

Desse modo temos que o modelo matématico que descreve a curva de rotação de uma galáxia arbitrária é dada por2_,

v = r GM r = s G r Z 4π(ρb+ ρdm)r2dr) v(r) = s 4πG  ξr2 (r2_{+ <)}2 + ρ0R3_dm r  ln  1 + r Rdm  − r Rdm+ r  (2.23) Método Numérico

Para a realização da simulação mostrada na gura 2.7 partimos de conceitos simples rela-cionados ao cálculo vetorial juntamente com expansões de Taylor até a segunda ordem (pois estamos tratando com pequenos intervalos de tempo de modo que potências em graus maiores do que 2 seriam desprezíveis).

A princípio temos abaixo uma expansão de Taylor de uma grandeza g qualquer em representção numérica.

g[i + 1] = g[i] + α · δ +1 2β · δ

2

Onde os coecientes α e β são as derivadas de primeira e segunda ordem, respectivamente, das grandezas desejadas (no caso as posições x e y das partículas) e δ é o intervalo temporal.

α = ∂g ∂t β =

∂2g ∂t2

Tais coecientes são obtidos analíticamente do cálculo vetorial unido ao contexto da gravita-ção. ~v = ∂x ∂t, ∂y ∂t 

Neste processo estamos tratando com coordenadas polares que posteriormente serão conver-tidas em coordenadas cartesianas. O elemento de linha nesse caso será:

d~r = ˆρ dρ + ˆθρ dθ Onde ρ representa a distância radial e θ o ângulo polar.

Em movimentos em espiral negligenciamos a velocidade radial das partículas que compõem o corpo (no caso, a galáxia) de modo que a velocidade das mesmas serão simplesmete as suas velocidades tangenciais.

23

Convertemos daqui nosso versor angular ˆθ em coordenadas cartesianas, ˆ

θ = −sinθ ˆx + cosθ ˆy

de modo que as velocidades das partículas tomam a seguinte forma, agora em coordenas carte-sianas.

~

v = −ωy ˆx + ωxˆy

Da equação acima identicamos os coecientes α0_{s para as duas coordenadas x e y}

mencio-nados anteriormente.  ∂x ∂t = −ωy ∂y ∂t = ωx 

Para encontrarmos os coecientes β0_{sutilizamos nosso conhecimento de forças gravitacionais}

e sabendo-se também como calcular as projeções em x e y da aceleração da gravidade. d2~r dt2 = − GM cosθ ρ2 x −ˆ GM sinθ ρ2 y = −ˆ GM x ρ3 x −ˆ GM y ρ3 yˆ

Assim temos os coecientes β0_{spara x e y.}

 ∂2_x ∂t2 = −ω 2_x ∂2y ∂t2 = −ω 2_y 

Conhecidos os coecientes, retomamos a expansão de Taylor numérica. x[i + 1] = x[i] − y[i]ωδ − x[i]1

2ω

2_δ2 _(2.24)

y[i + 1] = y[i] + x[i]ωδ − y[i]1 2ω

2_δ2 _(2.25)

Onde ω é obtido dividindo a equação (2.23) por r.

Figura 2.9: Parte principal do programa.

Figura de autoria do autor.

O código completo em linguagem C e utilizado na simulação se encontra no Apêndice B.

2.3.2 Energia Escura

Em sua análise a respeito das conclusões obtidas pela teoria da relatividade geral, Einstein (o qual acreditava na teoria do estado estacionário) incluiu em suas equações de campo uma constante Λ, chamada de constante cosmológica, que teria a função de contrabalancear o efeito da atração gravitacional que levaria ao universo contrair até sofrer um colapso (Big Crunch). Posteriormente Einstein julgou sua atitute como o maior erro da sua vida por incluir seus pre-conceitos na sua teoria.

Rµν−1 2g

µν_{R + g}µν_{Λ = 8πGT}µν

Anos posteriores com o estudo de supernovas do tipo Ia, que levaram a conclusão que, não apenas o universo está em expansão, como também essa expansão se encontra acelerada, induziram os cosmólogos a resgatarem a constante cosmológica rejeitada por Einstein. Para que o universo se encontrasse em tal estado, o mesmo deveria conter uma componente exótica que exerceria uma pressão negativa, ao contrário das pressões positivas exercidas pela matéria e radiação. Tal componente que constitui cerca de 70% de todo conteúdo do universo foi chamada pela primeira vez chamada de Energia Escura em 1998 por Michael Turner. Seria essa energia escura representada pela constante Λ nas equações de campo modicada de Einstein.

Rµν−1 2g µν_{R = 8πGℵ}µν _(2.26) onde, ℵµν _{= T}µν_{− g}µν Λ 8πG = T µν_{− g}µν_ρ Λ

Capítulo 3

O Modelo Big-Bang

Equações de Estado e Leis de

Conserva-ção

Equações de Estado (EoS)

A equação de estado é uma ferramenta termodinâmica que relaciona duas ou mais variáveis entre si. Para gases ideais temos a seguinte equação que relaciona as variáveis pressão, volume, número de moles e temperatura:

P V = nRT (3.1)

onde o termo R, chamado de constante universal do gases, é, na verdade, o produto entre outras duas constantes, a constante de Boltzmann (Kb) e o número de Avogrado (NA), assim sendo

R = Kb· NA.

Da equação (3.1) podemos fazer outra manipulação de modo a relacionar a pressão exercida pelo gás com a sua densidade. A princípio partimos da denição matemática do número de moles do gás, sendo ela a razão entre o número de partículas do mesmo e o número de Avogrado (NA= 6, 022 · 1023).

n = N

NA (3.2)

como tratamos com partículas idênticas) de modo a notar que o número de moles também pode ser denido como a razão entre a massa total do gás (M = Nm) e sua massa molar ( ¯N = NAm).

n = M_¯

M (3.3)

Substituindo (3.3) em (3.1) e sabendo que a densidade do gás é dada por ρ = M/V temos: P = RT_¯

M 

ρ (3.4)

Em cosmologia, por sua vez, tratamos com uma aproximação desta equação (tratando o universo como um uído perfeito) da seguinte forma:

Pi= ωiρ()i (3.5)

onde o ídice i se refere a uma determinada componente cósmica, já o sobrescrito () serve para indicar que se trata de uma densidade de energia (valendo a relação de Einstein ρ() _{= ρc}2_).

Desejamos desta equação encontrar o valor do parâmetro ω para cada componente e assim prosseguirmos com o estudo da evolução do universo (do ponto de vista uniformista).

As componentes que estamos interessados em estudar são: matéria bariónica, matéria escura, radiação (fótons), e energia escura (na forma de uma constante cosmológica Λ)

Matéria Bariônica / Matéria Escura - Não Relativística

Sabe-se a partir da teoria cinética dos gases que a pressão exercida por um gás é dada pela seguinte expressão:

Pm=

1 3ρmhv

2_{i (3.6)}

substituindo ρm (densidade de massa de matétia) por ρ()/c2 na equação acima temos,

Pm =

 hv2_i

3c2



ρ() = ωmρ()m

como estamos tratando com partículas não relativísticas, logo o valor quadrático médio da ve-locidade das partículas é muito menor que a veve-locidade da luz, e assim nosso parâmetro ω é aproximadamente nulo. ωm=  hv2_i 3c2  ≈ 0 com hv2i  c2

27

Podemos, então, fazer a seguinte consederação neste trabalho:

ωm = ωdm= ωb0 (3.7)

E nossa equação de estado para a matéria não-relativística se torna:

Pm = Pdm= Pb = 0 (3.8)

onde os índices dm e b se referem a matéria escura e a matéria bariônica, respectivamente.

Radiação

Para a radiação (fótons), o qual se propaga com velocidade c e com isso hv2_{i = c}2_{, utilizamos}

novamente a equação (3.6) com um truque - como sabemos que os fótons são partículas sem massa, então nos damos a liberdade de tomar a relação de equivalência massa/energia de Einstein (ρc2 _{= ρ}()_). Prad= 1 3ρradc 2 Prad= 1 3ρ () rad (3.9)

Sendo esta a equação de estado para a radiação, e logo vemos que nosso parâmetro ω é dado por

ωrad=

1

3. (3.10)

Energia Escura

Para a equação de estado da energia escura fazemos uso da equção da conservação de energia local e da literalidade do termo constante cosmológica". Da equação de campos de Einstein, tomando a constante cosmológica do lado direito e incluindo o mesmo no tensor energia-momento, denimos a densidade de energia da energia escura como

ρ()_Λ = Λ 8πG ⇒ ˙ρ

()

Λ = 0. (3.11)

Substituindo na equação da conservação da energia local, concluímos que o único valor per-mitido para o parâmetro ω seria,

ωΛ= −1. (3.12)

Portanto, nossa equação de estado para a constante cosmológica torna-se

PΛ= −ρ()_Λ . (3.13)

Evolução dos Parâmetros de Densidade

Evolução das Densidades

Apresentamos abaixo a manipulação dos termos de densidade inserindo os mesmos na equação da conservação de energia (segunda equação de Friedmann) para determinarmos de que modo os parâmetros de densidade evoluem com o tempo. Nos referimos a densidade de matéria/energia total como a soma das densidades de todas as principais componentes cósmicas.

ρ =X

i

ρi

Utilizamos a seguir, a equação de conservação: ˙

ρi= −3Hρi(1 + ωi)

Para a matéria bariónica temos: ˙ ρb = −3Hρb⇒ Z ρb ρb,0 dρb ρb = −3 Z a a0 da a ρb = ρb,0  a a0 −3 (3.14) Como a equação de estado para a matéria escura é a mesma para a matéria bariónica temos que a equação evolutiva da densidade de matéria escura, possui a mesma forma da componente anterior: ρdm= ρdm,0  a a0 −3 (3.15)

29

Para a evolução cósmica da radiação: ˙

ρrad = −3Hρrad(1 + 1/3) = −4Hρrad

Z ρ_rad ρrad,0 dρrad ρrad = −4 Z a a0 da a ρrad = ρrad,0  a a0 −4 (3.16) Por último temos a evolução da energia escura1_,

˙ ρx= −3ρx(1 + ωx) Z ρx ρx,0 dρx ρx = −3(1 + ωx) Z a a0 da a ρx= ρx,0  a a0 −3(1+ωx) (3.17) Assim obtemos as quatros equções evolutivas individuais para cada componente do universo.

                       ρb = ρb,0  a a0 −3 ρdm= ρdm,0  a a0 −3 ρrad = ρrad,0  a a0 −4 ρx= ρx,0  a a0 −3(1+ωx) ρΛ= ρΛ0 (3.18)

Conhecidas os valores das densidades para o tempo presente podemos contruir uma linha histórica de como o universo evoluiu desde o princípio da sua criação.

Novamente retornando a equação de densidade total e incluindo nossas equações evolutivas, apresentamos a primeira equação de Friedmann de modo mais claro. Posteriormente mostraremos a forma da equação de Friedmann utilizando para isso os parâmetros de densidade, muito úteis no progresso deste trabalho.

ρ = ρb+ ρdm+ ρrad+ ρΛ

1_{Aqui manteremos o parâmetro ω simplesmente como ωxpara um caso posterior mais geral em que o}

tal possa ser diferente de −1. Aqui também faremos uma distinção entre ρΛ para a energia escura com

ρ = (ρb,0+ ρdm,0)  a a0 −3 + ρrad,0  a a0 −4 + ρΛ,0

Denimos a densidade crítica do universo como sendo a sua densidade caso sua geometria seja plana (k=0): ρc= 3H2 8πG ⇒ ρc,0 = 3H₀2 8πG ⇒ 8πG 3 = H₀2 ρc,0

Inserindo na equação de Friedmann temos. H2 = H₀2 ρ ρc,0 −kc 2 a2 = H 2 0  ρ ρc,0 − kc 2 a2_H2 0  (3.19) Parâmetros de Densidade

Denimos o parâmetro de densidade de uma componente cósmica como sendo a razão entre a densidade da mesma e a densidade crítica do universo, sendo este a densidade que o universo deveria ter caso sua constante de curvatura fosse nula2_.

Ωi =

ρi

ρc (3.20)

Da equação de Friedmann, igualando k=0 obtemos o valor da densidade crítica do universo em função do fator de escala.

H2 = 8πG 3 ρ − k a2 ⇒ H 2 ₌ 8πG 3 ρc ρc= 3H2 8πG (3.21)

No caso de um redshift igual a 0 temos o parâmetro de densidade da componente cósmica no tempo atual.

Ωi0 =

ρi0

ρc0

(3.22) Novamente, a partir da equação de Friedmann, podemos identicar uma possível densidade ctícia para um parâmetro de curvatura diferente de zero tomando o fator 8πG/3 em evidência na equação de Friedmann.

2_{Dados observacionais mostram que, na verdade, a constante de curvatura é aproximadamente nula,}

31 H2= 8πG 3 ρ − k a2 = 8πG 3 (ρ + ρk) ⇒ ρk = − 3ka−2 8πG ⇒ Ωk = Ωk0a −2

Nestes termos apresentamos a equação de Friedmann de um modo mais elegante utilizando os parâmetros de densidade e o conhecimento de como as densidades ρi evoluem com o fator de

escala.

H2 H2 0

= (Ωb0+ Ωdm0)a−3+ Ωrad0a−4+ ΩΛ0a−3(1+ωΛ)+ Ωk 0a−2 (3.23)

Dividindo a (3.20) com (3.22) tomamos uma relação de como os parâmetros de densidade evoluiriam com a expansão cósmica.

Ωi Ωi0 = ρi ρc ρc0 ρc = ρc0 ρc a−3(1+ωi)_⇒ Ωi Ωi0 = H 2 0 H2a −3(1+ωi)

Utilizando a equação (3.23) temos a fórmula geral para a evolução dos principais constituíntes do universo. Ωi = Ωi0a −3(1+ωi) P jΩj0a −3(1+ωj) (3.24)

Desse modo temos para a matéria não-relativística (bariônica mais matéria escura), radiação e constante cosmológica as seguintes equações evolutivas:

Ωm=  1 +Ωrad0 Ωm0 a−1+ ΩΛ0 Ωm0 a3 −1 (3.25) Ωrad=  1 + Ωm0 Ωrad0 a1+ ΩΛ0 Ωrad0 a4 −1 (3.26) ΩΛ=  1 +Ωm0 ΩΛ0 a−3+ Ωrad0 ΩΛ0 a−4 −1 (3.27) Dados observacionais da missão Planck revelam que os parâmetros de densidades atuais destas componentes são as seguintes:

Ωm0 = 0.315 ≈ 30% ΩΛ0 = 0.685 ≈ 70% Ωrad0 = 9.29 · 10

−5 _{≈ 0%}

Incluindo esses dados em (3.25), (3.26) e (3.27) obtemos a gura abaixo onde pode-se vizua-lizar da direita para a esquerda o predomínio de cada componente em dadas faixas de tempo da

evolução cósmica3_.

Figura 3.1: Evolução dos parâmetros de densidade no modelo ΛCDM.

Figura de autoria do autor.

A Teórica Linha Temporal Cósmica

Obeservando o gráco da gura (3.1) e com todas as informações cosmológicas do nosso universo atual juntamente com a suposição uniformista da física atual conhecida, podemos ter uma noção (não exata) de como surgiu o universo e como ele tem evoluído desde sua criação. Primeiramente utilizamos o paradoxo de Olbers 4 _{para chegarmos a uma conclusão de que o}

Universo terve um princípio, ou seja, ele foi criado. Segundo temos a interpretação expansionista de Hubble de que o universo atualmente está em expansão, daí tiramos que no princípio o universo deveria ter um tamanho extremamente pequeno, e, pela conservação de energia, sua densidade de energia e sua temperatura deveria ser extremamente elevada. Pela teoria da relatividade geral, não somente o espaço e a matéria teve um início, mas o próprio tempo teve um princípio, (o espaço-tempo foi criado). Para esse evento inicial do surgimento do cosmo, Fred Hoye (1915

3_{Lembrando que a}−1_{= 1 + z e H}

0= 67.3 km s−2 M pc−1 (também obtido da Planck)

4_{Se por todo nosso derredor (e.g. em todas as direções) estamos cercados de estrelas, como explicar o}

fato de que o céu noturno é escuro e não claro? A explicação que existe é que não houve tempo suciente para a radiação das estrelas mais distantes nos alcançarem, logo o universo deve ter tido um princípio.

33

- 2001) nomeou-o perjorativamente de Big-Bang. Agora veremos de um ponto de vista mais rigoroso os eventos iniciais do universo.

No princípio, era o universo muito menor do que a dimensão de um átomo, cuja densidade de energia era elevadíssima com altas temperaturas da ordem de 1013 _{K. Nesse período não}

havia ainda matéria, portanto o universo seria dominado exclusivamente por radiação (fótons) observado na parte lateral direita da gura (3.1). Posteriormente, a medida que o universo se expande o mesmo reduz a sua temperatura, permitindo assim a formação das primeiras partículas (conversão de energia em matéria visto a equivalência de E = mc2 _{de Einstein) em um conjunto}

de partículas subatómicas quarks e antiquarks (produção de pares γ → q+_+q−_{). Essas partículas}

e antipartículas rapidamente se aniquilariam novamente convertendo matéria em radiação. O universo continua sua expansão e consequentemente sua temperatura se reduz ainda mais. Da formação de pares de partículas, o universo primitivo passa a ser constituído de léptons, quarks e antiquarks, cujas partículas não opostas se unem formando os bárions (prótons e neutrons), e suas antipartículas (pósitrons e antiprótons). A matéria e a antimatéria passam a se aniquilarem mutualmente deixando apenas um remanescente de matéria. Dessa matéria, a colisão entre prótons e nêutrons (em um processo de fusão nuclear) ocorre a formação dos primeiros núcleos de elementos leves (H, He e Li). A radiação deixa de interagir mais fortemenete com a matéria sendo liberadas livremente pelo espaço em uma fase conhecida como desacoplamento (seria essa a radiação que diminuiu seu comprimento de onda entrando na faixa do microondas, e a mesma seria a atual radiação cósmica de fundo observada). Desde então o universo torna-se dominado por matéria, visto na parte central da gura (3.1). As nuvens de poeira cósmica (matéria bariônica) interagem entre si por curvaturas locais do espaço-tempo (interação gravitacional) se colapsando para formarem as primeiras estrelas e posteriormente toda estrutura cósmica atual. Na última fase da evolução o universo começa a ser dominado por energia escura a qual promove uma expansão acelerada do espaço. Curiosamente, dados espaciais mostraram que a razão entre as densidades de matéria escura e energia escura são da ordem da unidade no tempo presente. Tal fato foi denominado de problema da coincidência, a qual discutiremos no próximo capítulo.

Capítulo 4

Interações no Setor Escuro - Modelo

Λ(t)CDM

A partir deste ponto analisaremos modelos no qual a constante cosmológica introduzida por Einstein em suas equações de campo, passa a variar no tempo, desse modo chamaremos nosso modelo com Λ variando no tempo de modelo Λ(t)CDM. Uma das motivações que levam a este modelo está na tentativa de poder solucionar o chamado problema da coincidência cósmica. Em 2004 os físicos chineses P. Wang e X. Meng proporam para isto um modelo no qual a matéria escura diluiria mais lentamente com a expansão do universo sendo resultado da energia escura (dominante na atual era cósmica) decaindo em partículas de CDM. Tal decaimento alteraria o antigo perl da evolução da matéria escura por um fator de interação que chamamos de . Assim temos no modelo Λ(t)CDM, discutido neste trabalho, uma teoria na qual a matéria escura e a energia escura interagem entre si.

O problema da coincidência

Do modelo padrão ΛCDM da Cosmologia moderna sabemos que o perl de evolução das densi-dades de matéria escura e energia escura são da seguinte forma.

ρdm= ρdm0a

−3

ρx = ρx0a

−3(1+ωx)

Dos dados obtidos da missão Planck em que os parâmetros de densidade de energia escura e matéria escura são respectivamente Ωx0 ≈ 0.7 e Ωdm0 ≈ 0.3 observamos que a razão entre

35

as duas densidades é da ordem da unidade no tempo atual. Conhecido que ambos evoluem no tempo desde o princípio da criação, qual seria o motivo da razão de ambas serem desta ordem? Isso cou conhecido na literatura como o problema da coincidência cósmica.

r = ρdm ρx

∝ (1 + z)3_{∼ 1}

Figura 4.1: Problema da Coincidência Cósmica.

Figura de autoria do autor.

Interação entre Matéria Escura e

Ener-gia Escura

Iniciamos daqui nossa modelagem física relacionada a interações entre a energia escura e a matéria escura. Semelhante ao capítulo anterior faremos o uso da equação da conservação da energia tomando o universo, a princípio, constituido apenas das duas componentes escuras. Novamente calcularemos a derivada covariante do tensor energia-momento neste formalismo.

Levando em consideração as conexões não-nulas apresentadas na seção 2.2.3 e tomando o parâ-metro de curvatura igual a zero (k=0) para o universo com geometria plana (euclidiana), obtemos a equação da conservação da energia local no modelo em que os constituintes do universo são simplesmente a matéria escura e a energia escura.

˙ ρdm+ ˙ρx+ 3 ˙a a(ρdm+ ρx) + 3 ˙a aρxωx = 0 ˙ ρdm+ 3 ˙a aρdm= − ˙ρx− 3 ˙a aρx(1 + ωx) = Q (4.1) Onde a constante Q é chamada de termo de acoplamento ou parâmetro de acoplamento entre as componentes. Conhecendo a forma da mesma, podemos determinar as esquações que denem a evolução temporal das densidades do Λ(t) e de CDM. Temos, portanto, um sistema de duas equações para o parâmetro Q

   ˙ ρdm+ 3_a˙aρdm= Q ˙ ρx+ 3_a˙aρx(1 + ωx) = −Q (4.2)

Supondo que a energia escura decai em partículas de matéria escura, tomamos um ansatz na forma de Q como sendo uma função do fator de escala e da densidade de CDM.

Q = ˙a

aρdm (4.3)

Substituindo na primeira equação do sistema, ˙ ρdm+ 3 ˙a aρdm=  ˙a aρdm ˙ ρdm= (−3 + )ρdm ˙a a ⇒ Z _dρ dm ρdm = Z (−3 + )da a ρdm= ρdm0a −3+ _(4.4)

Substituindo (4.3) e (4.4) na segunda equação do sistema obtemos a seguinte equação dife-rencial

dρx

da = −ρdm0a

−4+_{− 3(1 + ω}

x)ρxa−1 (4.5)

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dy dx = c1x

k_{− c}

2yx−1 (4.6)

Esta equação pode ser resolvida mediante o método dos coecientes à determinar em forma polinomial.

y(x) = αxn1 _{+ βx}n2

Neste caso procuramos identicar quais são as contantes α β n1 e n2, calculando a derivada

de y(x). Assim temos os seguintes valores para as contantes:          α = c1/(k + c2+ 1) n1 = k + 1 n2 = −c2 De modo que y(x) = βx−c2 ₊ c1x k+1 k + c2+ 1

Desta resolução, obtemos a solução da equação (4.5) ρx= ρx0a

−3(1+ωx)₋ ρdm0

3ωx+ 

a−3+ (4.7)

Modelo de Wang-Meng

No artigo publicado em 2004 relacionado a possíveis interações entre as componentes do setor escuro, os físicos chineses Peng Wang e Xi-He Meng proporam um ansatz no modo em que a densidade de matéria escura diluíria com a expansão do universo. Neste caso temos, pela conservação de massa-energia, um decaimento da matéria escura em energia escura. Desse modo, a medida que o universo se expande, a matéria escura diluiría mais lentamente do que no modelo padrão por um fator  chamado de fator de interação. Assim temos o Ansatz de Wang-Meng:

ρdm= ρdm0a

−3+ _{⇒ Ω}

dm= Ωdm0(1 + z)

3− _(4.8)

Da equação acima podemos substituir na equação de interação para se obter a equação da evolução da densidade de energia escura no modelo Λ(t)CDM.

ρdm0(−3 + )a −4+ ˙a + 3ρdm0a −4+ ˙a = − ˙ρΛ ˙ ρΛ= −ρdm0a −4+ ˙a ⇒ Z dρΛ= −3 Z ρdm0a −4+ da ρΛ= ˜ρΛ0+ ρdm0 3 − a −3+_{⇒ Ω} Λ= ˜ΩΛ0+ Ωdm0 3 −  (1 + z) 3− _(4.9)

Substituindo as duas equações evolutivas das densidades de matéria escura e energia escura na equação de Friedmann para um universo modelado apenas com essas duas componetes (a título de simplicação) temos o seguinte:

H2 = H₀2 3Ωdm0 3 −  (1 + z) 3−_{+ ˜Ω} Λ0  (4.10) Na gura a seguir apresentaremos um conjunto de seis grácos relacionados a evolução das densidades das componentes escuras para valores diferentes do parâmetro de interação  utili-zando as equações (4.8) e (4.9). Vizualizaremos dessa forma como o modelo de interações entre matéria escura e energia escura de Wang-Meng consegue aliviar o problema da coincidência cósmica.

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Figura 4.2: Evolução das densidades de energia escura e matéria escura no modelo Λ(t)CDM variando o parâmetro  de 0.2 em 0.2 a partir de  = 0 (modelo sem inte-ração).

Capítulo 5

Conclusões

Em nosso trabalho apresentamos um breve panorama histórico da cosmologia moderna pri-meiramente introduzindo conceitos losócos e daí então passamos a implementar o estudo físico da área começando com a gravitação newtoniana. Sabendo da necessidade de ir além da vi-são clássica do espaço-tempo imutável, vimos que pela teoria da relatividade de Einstein novos fênomenos surgiram que confrontaram diretamente a física clássica de sua época. Dessa teo-ria, o espaço-tempo passa a ser modelado por grandezas tensoriais mostrando que a presença de matéria e energia alteraria as congurações do espaço a sua volta com as chamadas distor-ções ou curvaturas da mesma. Como as demais teorias apresentam suas equadistor-ções fundamentais, a relatividade geral promove a equação de campos de Einstein como um conjunto de 10 equações. Mostramos que no decorrer do tempo o conhecimento a respeito do universo mostrou a ne-cessidade de explicar outros fenômenos que não podiam ser solucionados com a física clássica. Houve a proposta da existência da matéria escura pra se explicar a estrutura das galáxias e da energia escura para se explicar uma hipotética expansão acelerada do universo. Essas duas componentes cósmicas juntamente com a teoria de Einstein formaram o coração deste trabalho. Uma possível interação entre elas não foi descartada e sua existência poderia aliviar um dos pro-blemas encontrados com a obtenção de dados vindos da missão Planck. Um dos propro-blemas era o denominada problema da coincidência cósmica onde no tempo atual a razão entre as densidades da matéria escura e da energia escura seria da ordem da unidade. Dois físicos chineses Wang e Meng nesse contexto ao estudar possíveis interações no setor escuro, proporam um modelo de decaimento da energia escura em matéria escura tornando a diluição desta última mais lenta do que no antigo modelo padrão ΛCDM. Mostramos com esse modelo simplicado, em que o uni-verso não contém nem matéria bariônica e nem radiação mas somente as componentes escuras, o ponto no qual ocorre o encontro das densidades da energia escura e a matéria escura sendo

41

deslocada para o passado cósmico ao se analisar possíveis valores para o parâmetro de interação. Assim este modelo suaviza o problema comentado anteriormente.

Para um modelo mais realista sobre o universo devemos daqui considerar as interações entre todas as componentes cósmicas. Uma modelagem ainda mais avançada que a de Wang-Meng foi apresentada por Alcaniz e Lima incluindo a matéria bariônica. Estudos em que mostrem efeitos das radiações no setor escuro estão em aberto atualmente para pesquisas. Tudo isto pode estar no caminho certo se realmente existirem a matéria escura e a energia escura. Outros modelos no qual descartam esse setor já estam em andamento. Um deles é conhecido como teorias de gravidade modicada. Concluimos nosso trabalho na apresentação de um modelo que diverge do modelo padrão da Cosmologia Moderna, chamamos esse de modelo

Λ(t)CDM

Referências Bibliográcas

[1] ALCANIZ, J. S.; LIMA, J.A.S. Interpreting cosmological vacuum decay, Phys. Rev. D, 72, 063516, 2005.

[2] AMENDOLA, L.; TSUJIKAWA, S. Dark Energy, Cambridge, 2010. [3] ARYA, A. P. Introduction to Classical Mechanics, Pearson, 1998.

[4] ASTRONOMY NOW. Planck reveals big bang's reball in hi-def. Disponível em: <http://astronomynow.com/news/n1303/21planck/> Acesso em: 21 Dec. 2016.

[5] FERREIRA, P. C. Estudo da interação no setor escuro através do parâmetro de Hubble, 2014. 76f Tese(Doutorado), UFRN.

[6] FRANÇA, L. V. S. Introdução à Dinâmica do Universo, 2015. 41f Monograa (Gradu-ação), UFRN.

[7] HAM, K. Criacionismo - Verdade ou Mito?, CPAD, 2012.

[8] HARTLE, J. B. Gravity: An Introduction to Einstein's General Relativity, Addison-Wesley Professional, 2003.

[9] LIDDLE, A. An introduction to modern cosmology, Wiley, 2008.

[10] LOURENÇO, A. Como Tudo Começou - Uma Introdução ao Criacionismo, FIEL, 2012.

[11] NAVARRO, J. F.; FRENK, C.S.; WHITE, S.D.M. The Structure of Cold Dark Matter Halos, Astrophys J., v.462, p.563-575, 1996.

[12] OLIVEIRA, K.; SARAIVA, M. Astronomia e Astrofísica, Livraria da Física, 2013. [13] OLIVEIRA, M. J. Termodinâmica, Livraria da Física, 2012.

43

[14] PHYSICS AND ASTRONOMY ACTIVITIES. (Re)Discorvering Dark Energy an the Expanding Universe: Fitting Data with Python. Disponível em: <http://adamdempsey90.github.io/python/dark energy/dark energy.html> Acesso em: 21 Dec. 2016.

[15] POPSCICOLL. The Big Bang. Disponível em: <http://www.popscicoll.org/big-bang/the-expansion-is-not-constant.html> Acesso em: 21 Dec. 2016.

[16] SILVA, W. J. C. Interação no setor escuro: Uma análise termodinâmica, 2015. 57f Dissertação (Mestrado), UFRN.

[17] SPΛCE. Milk Way has half as much dark matter as previously thought. Disponível em: <http://www.space.com/27425-milky-way-dark-matter-mass.html> Acesso em: 21 Dec. 2016.

[18] VELTER, H. E. S.; MARTTENS, R.F.; ZIMDAH, W. Aspects of the cosmological coincidence problem", Eur. Phys. J. C, v.74, p.3160, 2014.

[19] WANG, P.; MENG, X. H. Can vacuum decay in our Universe?, Class. Quant. Grav., v.22, p.283-294, 2005.

[20] WEBER, F. Introdução à Relatividade Geral e à Física de Estrelas Compactas, Livraria da Física, 2015.

[21] WEINBERG, S. Cosmology. Oxford University Press, 2008.

[22] WIKPEDIA. Cosmic Background Explore. Disponível em: <https://en.wikipedia.org/wiki/Cosmic Background Explorer> Acesso em: 21 Dec. 2016.

Apêndice A

Dedução das Componentes Diagonais do

Tensor de Ricci

Abaixo apresentamos os cálculos passo a passo das componentes diagonais dos tensores de Ricci. Iniciamos com a componente temporal R00_:

R00= 3 X λ=0 Rλ0λ0= 3 X λ=0 " Γλ_00,λ− Γλ_λ0,0+ 3 X =0 (Γλ_λΓ₀₀− Γλ_0Γ_0λ) # R00= −Γ110,0− Γ101Γ101− Γ202,0− Γ202Γ202− Γ303,0− Γ303Γ303 = − ¨a a − ˙a2 a2  − ˙a 2 a2 −  ¨a a − ˙a2 a2  − ˙a 2 a2 −  ¨a a− ˙a2 a2  − ˙a 2 a2 R00= −3 ¨ a a (5.1)

Para a componente radial R11_:

R11= 3 X λ=0 Rλ1λ1= 3 X λ=0 " Γλ_11,λ− Γλ_λ1,1+ 3 X =0 (Γλ_λΓ₁₁− Γλ_1Γ_1λ) # R11= Γ011,0− Γ011Γ110− Γ12,12 + Γ202Γ011+ Γ212Γ111− Γ212Γ212+ Γ303Γ011+ Γ133 Γ111− Γ313Γ313− Γ313,1 = ˙a 2_{+ a¨a} 1 − kr2 − ˙a2 1 − kr2 + 1 r2 + ˙a2 1 − kr2 + k 1 − kr2 − 1 r2 − ˙a2 1 − kr2 + k 1 − kr2 − 1 r2 + 1 r2

45 R11= a2 1 − kr2  ¨a a+ 2 ˙a2 a2 + 2 k a2  = g11  ¨a a+ 2 ˙a2 a2 + 2 k a2  (5.2) Para a componente azimutal R22_:

R22= 3 X λ=0 Rλ2λ2= 3 X λ=0 " Γλ_22,λ− Γλ_λ2,2+ 3 X =0 (Γλ_λΓ₂₂− Γλ_2Γ_2λ) # R22= Γ022,0− Γ022Γ220+ Γ22,11 + Γ101Γ022+ Γ111Γ122− Γ122Γ212− Γ323,2+ Γ303Γ220 + Γ313Γ122− Γ323Γ323

= r2( ˙a2+ a¨a) − ˙a2r2− (1 − kr2) + 2kr2+ ˙a2r2− kr2+ (1 − kr2) − −sin

2_{θ − cos}2_θ sin2  + ˙a2r2− (1 − kr2_{) − cotg}2_θ R22= a2r2  ¨a a+ 2 ˙a2 a2 + 2 k a2  = g22  ¨a a+ 2 ˙a2 a2 + 2 k a2  (5.3) E, por último, a componente polar R33_:

R33= 3 X λ=0 Rλ3λ3= 3 X λ=0 " Γλ_33,λ− Γλ_λ3,3+ 3 X =0 (Γλ_λΓ₃₃− Γλ_3Γ_3λ) # R33= Γ033,0− Γ033Γ330+ Γ33,11 + Γ101Γ033+ Γ111Γ133− Γ133Γ313+ Γ233,2+ Γ202Γ330 + Γ212Γ133− Γ233Γ323

= ( ˙a2+ a¨a)r2sin2θ − ˙a2r2sin2θ − (1 − kr2)sin2θ + 2kr2sin2θ + ˙a2r2sin2θ

R33= (a¨a + 2 ˙a2+ 2k)r2sin2θ = g33

 ¨a a+ 2 ˙a2 a2 + 2 k a2  (5.4) De onde temos listado as quatro componentes diagonais do tensor de Ricci:

R00= −3¨a_a R11= g11  ¨ a a+ 2 ˙a2 a2 + 2_ak2  R22= g22  ¨ a a+ 2 ˙a2 a2 + 2_ak2  R33= g33  ¨ a a+ 2 ˙a2 a2 + 2_ak2 

Apêndice B

Código em C utilizado na simulação de

rotação de galáxias

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Os arquivos Rotation_curve-B.dat", Rotation_curve-DM.dat" e Rotation_curve-DM2.dat" foram usados para plotar os grácos sobrepostos da Figura (2.6).