COMPORTAMENTO DINAMICO DO CRESCIMENTO DE TUMORES COM A APLICAÇÃO DE QUIMIOTERAPIA

Texto

(1)UNIVERSIDADE ESTADUAL DE PONTA GROSSA ´ ˜ EM CIENCIAS ˆ PROGRAMA DE POS-GRADUA C ¸ AO ´ ˜ - FÍSICA AREA DE CONCENTRAC ¸ AO. REGIANE APARECIDA NUNES DE SIQUEIRA. ˆ COMPORTAMENTO DINAMICO DO CRESCIMENTO DE TUMORES ˜ DE QUIMIOTERAPIA COM A APLICAC ¸ AO. PONTA GROSSA 2015.

(2) REGIANE APARECIDA NUNES DE SIQUEIRA. ˆ COMPORTAMENTO DINAMICO DO CRESCIMENTO DE TUMORES ˜ DE QUIMIOTERAPIA COM A APLICAC ¸ AO. Tese apresentada para obten¸cão do t´ıtulo de doutora na Universidade Estadual de Ponta Grossa, Pós-Gradua¸cão em Ciências, área de concentra¸cão F´ısica. Orientador: Prof. Dr. Antonio Marcos Batista. PONTA GROSSA 2015.

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(5) Dedico este trabalho aos meus amores Alex e Alexa..

(6) AGRADECIMENTOS A Deus pela sa´ ude e oportunidade que tive para realizar e concluir este curso. Ao meu orientador Antonio Marcos Batista pela dedica¸cão, paciência, amizade e exemplo de competência e profissionalismo ao direcionar meu trabalho. Aos meus pais Odete Chimel Nunes de Siqueira e Lauro Nunes de Siqueira que além da vida me deram coragem para lutar pelo meu ideal. Aos professores da UEPG em especial ao professor Antonio Sérgio Magalhães de Castro pelo incentivo e colabora¸cão dedicada. Aos professores membros da banca de qualifica¸cão, Fábio Augusto Meira Cássaro, Francisco Carlos Serbena e José Danilo Szezech J´ unior pelas contribui¸cões para este trabalho. Aos amigos e colegas de curso de modo muito especial a Kelly Iarosz pela grande colabora¸cão para a realiza¸cão deste trabalho. A todos que direta ou indiretamente contribu´ıram para realiza¸cão do curso e conclusão deste trabalho..

(7) Ainda que tivesse o dom da profecia, e conhecesse todos os mistérios e toda a ciência e ainda que tivesse toda a fé, de maneira tal que transportasse os montes, e não tivesse amor, nada seria. (Cor´ıntios 13:2).

(8) Resumo Neste trabalho, propõe-se analisar modelos matemáticos que descrevem a dinâmica de popula¸cões, ou seja, conjuntos de organismos que podem ou não pertencer a mesma espécie, porém possuem comportamento semelhante no que refere-se à sua dinâmica. São tratados de forma especial os modelos de popula¸cões de células onde considera-se o tempo de retardo, isto é, aqueles descritos por equa¸cões diferenciais com atraso. Primeiramente é realizada a análise em dois modelos matemáticos, o primeiro descreve a intera¸cão das células tumorais com o sistema imunológico. Considera-se que o sistema imunológico é constitu´ıdo por células de repouso e células de ca¸ca, sendo que as de repouso se convertem em células de ca¸ca, mas a conversão não é imediata, havendo necessidade de modelar por equa¸cões diferencias com atraso. O segundo descreve um modelo para tratamento do câncer por quimioterapia, onde há metástase de um foco primário para um foco secundário pelas células tumorais. Observa-se as intera¸cões entre as células normais e tumorais como sendo competitivas para os recursos dispon´ıveis, e é pensado no agente de quimioterapia como um predador em ambas as células, normais e cancer´ıgenas. A metástase pode ocorrer com um tempo de retardo, o que dá origem a equa¸cões diferencias com atraso. Em seguida é descrito um modelo para o tratamento de um tumor cerebral por quimioterapia. ´ proposto um sistema de equa¸cões diferenciais ordinárias para modelar o tumor no céreE bro em tratamento por quimioterapia, que considera as intera¸cões entre as células da glia, o glioma, os neurônios e os agentes quimioterápicos. Analisa-se as condi¸cões para o crescimento do glioma a ser eliminado, e identifica-se os valores de parâmetros para os quais a inibi¸cão do crescimento do glioma é obtida com um m´ınimo de perda de células saudáveis. Palavras chave: comportamento dinâmico, crescimento de tumores, quimioterapia..

(9) Abstract This study proposes to analyze mathematical models that describe the dynamics of populations, namely, sets of organisms that may or may not belong to the same species but have similar. behavior as relates to their dynamics. It is specially. treated with. models of cell populations that consider the delay time, which are described by differential equations with delay. The analysis is realized in two mathematical with models, the first describes the interaction of tumor cells with the immune system. It is considered that the immune system is constituted by resting cells and hunting cells, as well as, the resting cells become cells hunting but the conversion is not straightforward, requiring shaping by delayed differential equations. The second describes a model for treatment of cancer by chemotherapy where there is metastasis of a primary to a secondary focus by tumor cells. We observe the interactions between normal and tumor cells as being competitive for the available resources, and it is thought the chemotherapy agent as a predator in normal and cancer cells. Metastasis can occur with a delay time, which leads to delayed differential equations. Next study is a model for treating of brain tumor by chemotherapy. We propose a system of coupled differential equations that model brain tumour with treatment by chemotherapy, which considers interactions among the glial cells, the glioma, the neurons, and the chemotherapeutic agents. We study the conditions for the glioma growth to be eliminated, and identify values of the parameters for which the inhibition of the glioma growth is obtained with a minimal loss of healthy cells. Keywords: dynamic behavior, tumor growth, chemotherapy..

(10) Lista de Figuras 2.1. Representa¸cão esquemática da intera¸cão entre células cancer´ıgenas e sistema imunológico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 2.2. p. 19. Evolu¸cão temporal de células tumorais e sistema imunológico conforme um termo de morte programada é inserido no modelo. Em (a) considerase d1 = 0, em (b) d1 = 0, 02 e (c) d1 = 0, 04, para os demais parâmetros utilizados nas simula¸cões estão presentes na Tabela 2.1 com as condi¸cões iniciais M(0) = 2700000; N(0) = 204000; Z(0) = 7180000 . . . . . . . . .. 2.3. Representa¸cão do tempo para que ocorra a supressão do n´ umero de células tumorais considerando-se o termo de apoptose no modelo. . . . . . . . .. 2.4. p. 29. Supressão do n´ umero de células tumorais considerando-se a presen¸ca de apoptose celular. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 3.1. p. 28. p. 30. Evolu¸cão temporal (t em dias) da concentra¸cão de (a) células normais no primeiro foco, (b)células tumorais no primeiro foco, (c) células normais no segundo foco e (d) células tumorais no segundo foco, com condi¸cão inicial x1 = 1460, x2 = 0, 01, u1 = 1750, u2 = 0, 0 e τ = 0 e parâmetros de acordo com a Tabela 3.1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 3.2. p. 39. Evolu¸cão temporal (t em dias) da concentra¸cão de (a) células normais no primeiro foco, (b)células tumorais no primeiro foco, (c) células normais no segundo foco e (d) células tumorais no segundo foco, com condi¸cão inicial x1 = 1460, x2 = 0, 01, u1 = 1750, u2 = 0, 0 e τ = 20 e parâmetros de acordo com a Tabela 3.1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 3.3. p. 40. Tempo de dom´ınio das células tumorais tc no foco secundário pelo atraso τ . p. 41.

(11) 3.4. Evolu¸cão temporal (t em dias) da concentra¸cão de (a) quimioterapia no primeiro foco, (b) células normais no primeiro foco, (c)células tumorais no primeiro foco, (d) quimioterapia no segundo foco, (e) células normais no segundo foco e (f) células tumorais no segundo foco, com condi¸cão inicial y = 90, x1 = 500, x2 = 0, 5, z = 90, u1 = 100, u2 = 0 e τ = 1 e parâmetros de acordo com a Tabela 3.1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 3.5. p. 43. Evolu¸cão temporal (t em dias) da concentra¸cão de (a) quimioterapia no primeiro foco, (b) células normais no primeiro foco, (c)células tumorais no primeiro foco, (d) quimioterapia no segundo foco, (e) células normais no segundo foco e (f) células tumorais no segundo foco, com condi¸cão inicial y = 90, x1 = 500, x2 = 0, 1, z = 90, u1 = 100, u2 = 0 e τ = 1 e parâmetros de acordo com a Tabela 3.1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 3.6. p. 45. Evolu¸cão temporal (t em dias) da concentra¸cão de (a) quimioterapia no primeiro foco, (b) células normais no primeiro foco, (c)células tumorais no primeiro foco, (d) quimioterapia no segundo foco, (e) células normais no segundo foco e (f) células tumorais no segundo foco, com condi¸cão inicial y = 90, x1 = 500, x2 = 0, 5, z = 90, u1 = 100, u2 = 0 e τ = 10 e parâmetros de acordo com a Tabela 3.1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 3.7. p. 46. Evolu¸cão temporal (t em dias) da concentra¸cão de (a) quimioterapia no primeiro foco, (b) células normais no primeiro foco, (c)células tumorais no primeiro foco, (d) quimioterapia no segundo foco, (e) células normais no segundo foco e (f) células tumorais no segundo foco com ξ = 0, 2, η = 0, 2 e τ = 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. p. 47. 4.1. Células do Sistema Nervoso Central. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. p. 52. 4.2. Ilustra¸cão com as fun¸cões dos astrócitos. . . . . . . . . . . . . . . . . . .. p. 53. 4.3. Representa¸cão esquemática dos agentes (em caixas de cor cinza), e suas. 4.4. intera¸cões (liga¸co˜es) consideradas no modelo. . . . . . . . . . . . . . . . .. p. 58. N´ umero de neurônios. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. p. 62.

(12) 4.5. Evolu¸cão temporal (t em dias) da concentra¸cão de (a) células glias, (b)células cancer´ıgenas, (c) neurônios e (d) sem quimioterapia com Φ = 0. Considerado g(0) = 0, 99, c(0) = 0, 01, n(0) = 0, 99 e q(0) = 0, 0, e parâmetros de acordo com a Tabela 4.3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 4.6. p. 67. Evolu¸cão temporal (t em dias) da concentra¸cão de (a) células gliais,(b) células cancer´ıgenas, (c) neurônios e (d) infusão de agente quimioterápico constante Φ = 100. Considerando g(0) = 0, 99, c(0) = 0, 01, n(0) = 0, 99, Q(0) = 0 e demais parâmetros de acordo com a Tabela (4.3). . . . . . . .. 4.7. p. 68. Espa¸co de parâmetros ζ por Φ: na região I, as células cancerosas matam as células gliais e neurônios, a região II mostra que o equil´ıbrio E1 (g, 0, 0, Φζ −1 ) é localmente estável, e na região III, o equil´ıbrio E0 (0, 0, 0, Φζ −1 ) é localmente estável. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 4.8. p. 72. Concentra¸cão de neurônios em fun¸cão de α por Φ, onde g(0) = 0, 99, c(0) = 0, 01, n(0) = 0, 99, e Q(0) = 0, 0. A barra de cor representa o valor da concentra¸cão de neurônios, n, após uma quimioterapia com sucesso. .. 4.9. p. 73. τ por Φ, e os mesmos valores que a Figura 4.8. A inclina¸cão para Φ ≤ 60 é de cerca de −12, 36, e para Φ > 60 a inclina¸cão é de cerca de −1, 41. . .. p. 74. 4.10 A evolu¸cão temporal: (a) infusão de quimioterapia, concentra¸cão de (b) células da glia, (c) células do glioma e (d) neurônios. . . . . . . . . . . .. p. 76.

(13) Lista de Tabelas 2.1. Valores dos Parâmetros Utilizados para a Análise Numérica. . . . . . . .. p. 24. 3.1. Valores dos Parâmetros Utilizados para a Análise Numérica [72]. . . . . .. p. 34. 4.1. Fun¸cões dos diferentes tipos de células glias. . . . . . . . . . . . . . . . .. p. 54. 4.2. Parâmetros do Modelo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. p. 63. 4.3. Parâmetros do modelo normalizado. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. p. 66.

(14) Sum´ ario. 1 Introdu¸c˜ ao. p. 14. 2 Modelo para intera¸c˜ ao de um tumor com o sistema imunol´ ogico. p. 18. 2.1. Formula¸cão do modelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. p. 22. 2.2. Equil´ıbrio e Estabilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. p. 24. 2.3. Resultados Numéricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. p. 26. 2.4. Discussões . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. p. 29. 3 Modelo para o tratamento de tumor por quimioterapia. p. 31. 3.1. Formula¸cão do modelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. p. 32. 3.2. Caso sem tratamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. p. 35. 3.2.1. Equil´ıbrio e Estabilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. p. 35. 3.2.2. Resultados Numéricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. p. 38. Caso com tratamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. p. 40. 3.3.1. Equil´ıbrios e Estabilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. p. 41. 3.3.2. Resultados Numéricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. p. 42. Discussões . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. p. 47. 3.3. 3.4. 4 Modelo para o tratamento do glioma por quimioterapia 4.1. Introdu¸cão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. p. 49 p. 49.

(15) 4.1.1. Sistema Nervoso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. p. 50. 4.1.2. Glias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. p. 51. 4.1.3. Tumores de cérebro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. p. 55. 4.2. O modelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. p. 57. 4.3. Estimativa dos parâmetros do sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. p. 62. 4.4. Normaliza¸cão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. p. 65. 4.5. Resultados Numéricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. p. 66. 4.6. Estabilidade local . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. p. 68. 4.7. Elimina¸cão do Glioma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. p. 72. 4.8. Discussões . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. p. 75. 5 Conclus˜ oes. p. 79. Referˆ encias Bibliogr´ aficas. p. 81. Apˆ endice A -- Jacobiano. p. 93. A.1 Sistema cap´ıtulo 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. p. 93. A.2 Sistema cap´ıtulo 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. p. 94.

(16) 14. 1. Introdu¸ c˜ ao. Em organismos multicelulares complexos de seres vivos tais como anf´ıbios, peixes, répteis, aves e mam´ıferos, existem grupos de células1 especializadas e organizadas, formando tecidos que compõem órgãos vitais para estes seres [1]. No organismo ocorre o crescimento celular, que responde às necessidades espec´ıficas dele e, em geral, é um processo cuidadosamente regulado. Contudo, pode ocorrer um rompimento dos mecanismos reguladores da multiplica¸cão celular. Sendo assim, existem no organismo padrões de crescimento celular controlados e não controlados [2]. A hiperplasia, a metaplasia e a displasia são exemplos de crescimento controlado, enquanto que as neoplasias correspondem aos padrões de crescimento não controlados e são denominados, na prática, de “tumores”. Um tumor pode surgir a partir de uma acumula¸cão gradual de mudan¸cas genéticas que liberam, a partir de células neoplásicas, os mecanismos homeostáticos2 , que regulam a prolifera¸cão celular normal [3]. A primeira dificuldade que se enfrenta no estudo das neoplasias é a sua defini¸cão, pois ela se baseia na morfologia e na biologia do processo tumoral [4]. A mais aceita atualmente é: “Neoplasia é uma prolifera¸cão anormal do tecido, que foge parcial ou totalmente ao controle do organismo e tende à autonomia e à perpetua¸cão, com efeitos agressivos sobre o hospedeiro” [2]. De acordo com o comportamento biológico os tumores podem ser agrupados em três tipos distintos denominados benignos, lim´ıtrofes e malignos (cancerosos). Um dos aspectos mais importantes no estudo das neoplasias consiste em estabelecer os critérios diferenciadores de cada um destes tumores. Ocorre situa¸cões nas quais a diferencia¸cão entre tumor 1 C´ elula. é a unidade b´ asica estrutural e funcional dos seres vivos. ou homeostase é a propriedade dos seres vivos de regular o seu ambiente interno, de modo a manter uma condi¸c˜ ao est´ avel mediante m´ ultiplos ajustes de equil´ıbrio dinâmico, controlados por mecanismos de regula¸c˜ ao inter-relacionados. 2 Homeostasia.

(17) 15. benigno e maligno não pode ser estabelecida com precisão e, nestes casos denota-se por tumores lim´ıtrofes [2]. Os tumores benignos tendem a apresentar crescimento lento e expansivo, determinando a compressão dos tecidos vizinhos, o que leva a forma¸cão de uma pseudocápsula fibrosa. Já nos casos dos tumores malignos, o crescimento rápido, desordenado, infiltrativo e destrutivo não permite a forma¸cão desta pseudocápsula. As duas propriedades principais das neoplasias malignas são: a capacidade invasivo-destrutiva local e a produ¸cão de metástases [1]. Por defini¸cão, a metástase constitui o crescimento neoplásico à distância, sem continuidade e sem dependência do foco primário [2]. A palavra met´ astase deriva do prefixo grego met´ a, que significa “para além de”; e do verbo grego istémi, que se traduz por: “estar, colocar”. Este processo permite a libera¸cão de células de um primeiro foco, expansão subsequente e liga¸cão a estruturas em focos distantes [1]. Os tumores malignos, apesar da sua grande variedade (classificados em mais de 100 tipos diferentes) apresentam um comportamento biológico semelhante. Caracterizam-se por possu´ırem crescimento, invasão local, destrui¸cão dos órgãos vizinhos, dissemina¸cão regional e sistêmica [1]. O tempo gasto nestas fases depende tanto do ritmo de crescimento tumoral como de fatores do hospedeiro. Cirurgia, radioterapia e quimioterapia são três formas para o tratamento dos tumores malignos, podendo ser utilizadas em conjunto no tratamento das neoplasias malignas, levando-se em considera¸cão a importância de cada uma e a ordem de sua indica¸cão [2]. A constru¸cão matemática da dinâmica populacional de células pode ser feita por meio de equa¸cões diferenciais. As equa¸cões diferenciais ordinárias e parciais vêm desempenhando um papel importante na descri¸cão da dinâmica populacional [5]. Uma equa¸cão de grande interesse é a equa¸cão de Hutchinson, a qual se trata de uma equa¸cão log´ıstica3 com atraso [6]. Em geral, modelos matemáticos mais realistas em biologia de popula¸cões devem incluir alguns dos estados passados, isto é, um sistema real pode ser modelado por equa¸cões diferenciais com atrasos de tempo. Os atrasos ocorrem com tanta frequência, em quase todas as situa¸cões, que ignorá-los é ignorar a realidade [5]. Entretanto, frequentemente têm sido utilizados sistemas de equa¸cões diferenciais sem atraso para modelar popula¸cões de células e tumores [7–11]. Equa¸cões diferenciais ordiná3 Equa¸ cão. log´ıstica é uma equa¸c˜ ao diferencial utilizada como modelo na dinâmica de popula¸cões..

(18) 16. rias (EDOs) são utilizadas para o crescimento do tumor em determinado n´ıvel de popula¸cão celular com combina¸cão de tratamentos, sistema imune e quimioterapia. Na literatura encontram-se análises da dinâmica da popula¸cão das células, das intera¸cões do sistema imune e tumor, bem como, do efeito da quimioterapia no tratamento de tumores [12–20]. Trabalhos recentes analisam modelos matemáticos de quimioterapia com rela¸cão ao controle ideal de programas de tratamento com fármaco [21–24]. Os modelos são baseados em diferentes conjuntos de equa¸cões diferenciais ordinárias sem atraso para representar a quimioterapia, imunoterapia, terapia antiangiogênica4 ou uma combina¸cão destes. Contudo, na literatura também é poss´ıvel encontrar trabalhos que consideram o efeito de atrasos de tempo sobre a dinâmica da popula¸cão de células e crescimento do tumor que inclui a resposta do sistema imunológico e do tratamento com fármaco [25–36]. Em geral, a competi¸cão entre o crescimento de um tumor maligno que inclui a resposta do sistema imunológico é modelada por equa¸cões diferenciais ordinárias que levam em conta o atraso da resposta do sistema imune. Há trabalhos recentes que consideram o efeito do atraso e verificam a estabilidade anal´ıtica e numérica de uma classe de equa¸cões diferenciais não-lineares com atraso [37–44]. No estudo de neoplasias também podem ser utilizados outros modelos, como por exemplo autômatos celulares [45, 46]. Um autômato celular é um modelo discreto estudado na teoria computacional, matemática, biologia teórica e biof´ısica. Consiste de uma rede infinita e regular de células, cada uma podendo estar em um n´ umero finito de estados, que variam de acordo com regras determin´ısticas [47]. Neste trabalho o interesse está em modelos descritos por equa¸cões diferenciais a fim de analisar as propriedades de existência e estabilidade de um “estado cura”, ou seja, um estado de equil´ıbrio em que o câncer está ausente [48]. O atraso será considerado no efeito da mestástase do tumor, envolvendo o tempo de entrada das células do tumor em um canal de sangue ou linfo, a emboliza¸cão, e surgimento em um local distante, com a sobrevivência e crescimento [49]. A metástase é a principal causa de morte para a maioria dos pacientes com câncer [50]. 4 Terapia antiangiogˆ enica baseia-se na aplica¸cão de fármaco que paralisa o crescimento dos vasos anormais..

(19) 17. O objetivo principal da tese é obter um modelo matemático que descreva o desenvolvimento de câncer no cérebro, mais especificamente, de um glioma. Para isto será utilizado equa¸cões diferenciais ordinárias, que levarão em considera¸cão as intera¸cões que ocorrem entre as células cerebrais, bem como efeitos de agentes quimioterápicos. Para resolver sistemas de equa¸cões diferenciais é utilizado o método numérico de Runge-Kutta [51–55]. Trabalhar com métodos anal´ıticos e numéricos em sistemas de equa¸cões diferenciais com atraso, que descrevem o tratamento por quimioterapia de tumores malignos é o que pretende-se neste trabalho. Para atingir o objetivo organizou-se esta tese com o estudo de três modelos para o comportamento dinâmico do crescimento de tumores da seguinte forma: no cap´ıtulo 2 é realizada uma análise das solu¸cões de um sistema de equa¸cões diferenciais com atraso descrevendo a intera¸cão entre células tumorais e células imunes; no cap´ıtulo 3 é analisado um sistema de equa¸cões diferenciais com atraso que descrevem o tratamento por quimioterapia do tumor com metástase; no cap´ıtulo 4 é descrito um modelo para o tratamento por quimioterapia de tumor no cérebro e, no cap´ıtulo 5 são apresentados os resultados do trabalho, bem como as perspectivas futuras criadas a partir deste estudo..

(20) 18. 2. Modelo para intera¸ c˜ ao de um tumor com o sistema imunol´ ogico. Intera¸cão é o termo utilizado para explicar a influência rec´ıproca entre os mais diversos focos de estudo, neste cap´ıtulo será apresentado a intera¸cão entre uma popula¸cão de células que aumenta sem respeitar os limites normais e o sistema de prote¸cão do organismo, ou seja, intera¸cão tumor-sistema imunológico. Será utilizado um modelo composto por equa¸cões diferenciais que resultam na dinâmica populacional de indiv´ıduos que apresentam comportamento semelhante. Em se tratando do sistema imunológico, tem-se células de repouso e de ca¸ca, sendo que as células de repouso passam por um processo de conversão, onde transformam-se em células de ca¸ca. Essa conversão não é imediata, então será acrescentado ao modelo um tempo de atraso. Em 1838 Pierre Fran¸cois Verhulst abre caminho para diversas explica¸cões sobre crescimento populacional, o trabalho apresentado por Verhulst mostrava um modelo log´ıstico com associa¸cões entre densidade populacional e taxa de crescimento [56]. Com o decorrer dos anos o modelo log´ıstico vem sendo utilizado por áreas como economia [57], engenharia [58], f´ısica [59], medicina [60], geografia [61], estat´ıstica [62], biologia [63], etc. Apesar das mais diferentes áreas e adapta¸cões para casos especif´ıcos, a base dos modelos é a mesma. No modelos proposto por Verhulst, uma popula¸cão deixa de aumentar quando atinge uma densidade máxima. Para valores de densidade tendendo a zero, o crescimento é aproximadamente exponencial, enquanto que para valores de densidade, onde a popula¸cão tendendo a densidade máxima, o crescimento tende a zero..

(21) 19. O modelo log´ıstico pode ser escrito de diversas formas, porém, a partir de 1993 os modelos que consideram equa¸cões diferenciais ordinárias e parciais, sem ou com atraso vêm representando com uma maior perfei¸cão a dinâmica populacional [5, 6]. Escolheuse trabalhar com equa¸cões diferencias porque permitem a intera¸cão de variáveis, termos cruciais como a morte programada das células “apoptose” e tempo de atraso na replica¸cão celular. O que se faz necessário, já que pretende-se analisar as propriedades de existência e estabilidade de um “estado cura”, ou seja, um estado de equil´ıbrio em que o câncer está ausente [48]. Figura 2.1: Representa¸cão esquemática da intera¸cão entre células cancer´ıgenas e sistema imunológico.. FONTE: [64].. Na Figura 2.1 pode-se observar uma ideia geral das intera¸cões básicas do organismo, onde a replica¸cão das células tumorais é dependente da capacidade máxima que o meio suporta. Dentro dessa capacidade estão o espa¸co, a alimenta¸cão, a luta das células tumorais contra a prote¸cão natural do organismo e a luta contra agentes externos inseridos no organismo (fármacos e técnicas de controle). Uma das principais formas dos organismos multicelulares responderem a est´ımulos intra e extracelulares é a indu¸cão da morte celular geneticamente programada, conhecida como apoptose. Ainda na Figura 2.1, observa-se células cancer´ıgenas sendo levadas a morte programada, o que é importante, pois leva afirmativa de que a apoptose é um dos fatores que podem reduzir o crescimento de tumo-.

(22) 20. res [65]. Enquanto uma taxa de células tumorais são direcionadas a apoptose, outra sofre intera¸cão com sistema imunológico, uma forma natural de defesa dos organismos, que por sua vez também interage consigo mesmo em um processo de ativa¸cão de células que inicialmente encontravam-se em repouso e na sequência passam a agir como ca¸cadoras. Neste cap´ıtulo são apresentadas as solu¸cões de um sistema de equa¸cões diferenciais que descrevem o atraso de intera¸cão entre as células tumorais e o sistema imunológico. Existem dois grandes ramos de respostas do sistema imunológico: a imunidade humoral e imunidade mediada por células [66]. A imunidade humoral é uma subdivisão da imunidade adquirida onde a resposta imunológica é realizada por moléculas existentes no sangue, denominadas de anticorpos, produzidos pelos linfócitos1 B, diferente da imunidade mediada por células, que são realizadas pelos linfócitos T. A imunidade mediada por células envolve a produ¸cão de linfócitos T citotóxicos (CTLs), macrófagos ativados, ativa¸cão de células NK2 e libera¸cão de várias citocinas em resposta a um ant´ıgeno mediado por linfócitos T, essa não envolve quaisquer anticorpos. Os CTLs reconhecem e destroem células infectadas/tumorais. Os linfócitos T citotóxicos ligam-se aos ep´ıtopos dos ant´ıgenos endógenos3 vinculados ao complexo principal de histocompatibilidade (MHC-I) das moléculas da superf´ıcie das células infectadas/tumorais e provocam o lise4 na célula com perforinas [66]. Para melhor compreensão segue o significado dos termos técnicos utilizados: • Perforina é uma prote´ına que está presente em tipos de células T, a qual possibilita a entrada de enzimas tóxicas em células cancer´ıgenas; • Granzima é um grânulo do linfócito T citotóxico, o qual é liberado quando a célula reconhece um ant´ıgeno estranho, presente na superf´ıcie das células infectadas do hospedeiro; • Ep´ıtopo é a menor por¸cão de ant´ıgeno com potencial de gerar a resposta imune, é a ´ área da molécula do ant´ıgeno que se liga aos receptores celulares e aos anticorpos. E 1 Linf´ ocito. é um tipo de leuc´ ocito (gl´ obulo branco) presente no sangue. NK (do inglês Natural Killer Cell) ou células exterminadoras naturais são um tipo de linfócitos responsáveis pela defesa espec´ıfica do organismo. 3 End´ ogeno significa que é produzido ou que se desenvolve no interior do organismo. 4 Lise ´ e o processo de ruptura ou dissolu¸cão da membrana plasmática. 2 C´ elulas.

(23) 21. o s´ıtio de liga¸cão espec´ıfico que é reconhecido por um anticorpo ou por um receptor de superf´ıcie de um linfócito T; • O complexo principal de histocompatibilidade ou MHC (do inglês Major Histocompatibility Complex ) é uma grande região genômica ou fam´ılia de genes que possui um papel importante no sistema imune e na auto-imunidade. As prote´ınas codificadas pelo MHC ficam na superf´ıcie das células e apresentam tanto ant´ıgenos próprios (fragmentos de pept´ıdeos da própria célula) quanto ant´ıgenos externos (fragmentos de microorganismos invasores) para linfócitos T, os quais possuem a capacidade de matar ou coordenar a morte de patógenos, células infectadas ou com fun¸cão prejudicada; • Citocinas ativam e desativam os fagócitos5 e as células de defesa imunológica, aumentam ou diminuem as fun¸cões das diferentes células de defesa imunológica e promovem ou inibem uma série de defesas não-espec´ıficas do organismo. Uma das principais defesas do organismo contra v´ırus, bactérias intracelulares e tumores é a destrui¸cão de células infectadas/tumorais por linfócitos T citotóxicos. Estes são capazes de matar as células, induzindo a morte celular programada, conhecida como apoptose. Os CTLs têm grânulos citoplasmáticos que contêm as prote´ınas perforina e granzimas. Quando se ligam ao seu alvo, o conte´ udo dos grânulos são descarregados por exocitose6 . A perforina insere-se em moléculas da membrana plasmática das células alvo e isso permite as granzimas entrar na célula. As granzimas são serino-proteases que uma vez dentro da célula seguem para decompor os precursores das caspases7 , os ativando para produzir a autodestrui¸cão da célula por apoptose. 5 Os. fagócitos s˜ ao leuc´ ocitos do sangue que protegem o corpo através da ingestão (fagocitose) de part´ıculas estranhas, bactérias e células mortas ou células a morrer. São essenciais no combate a infeçc˜ oes e para posterior imunidade. 6 Exocitose ´ e o processo pelo qual uma célula eucariótica viva libera substâncias para o fluido extracelular, seja o fluido que envolve as células de um tecido, nos organismos multicelulares, seja para o ambiente aquático, por modifica¸c˜ ao da membrana celular, ou seja, sem ser por difusão. é o oposto de endocitose. 7 Caspases s˜ ao um grupo de proteases baseadas em enzimas com um res´ıduo de ciste´ına (um dos aminoácidos codificados pelo c´ odigo genético) capazes de clivar outras prote´ınas depois de um res´ıduo de ácido aspártico, uma especifidade incomum entre proteases. O nome “caspase” é derivado dessa fun¸cão molecular caracter´ıstica: cysteine-aspartic-acid-proteases. Caspases são essenciais na apoptose celular..

(24) 22. 2.1. Formula¸c˜ ao do modelo. O objetivo é obter um modelo que descreve o sistema onde células cancer´ıgenas interagem com o sistema imunológico, considerando-se o processo de morte programada das células. Para base cient´ıfica deste trabalho, escolheu-se o modelo matemático proposto por Banerjee e colaboradores [66], no qual considera-se células tumorais e o sistema imune interagindo entre si, porém, não considera a a¸cão de morte celular programada. Trata-se de um modelo com três equa¸cões diferenciais, cada uma representando uma classe de células que evoluem de maneira log´ıstica. No modelo que propomos, além das intera¸cões ocorridas entre o sistema imunológico e células cancer´ıgenas, foi acrescentado o termo que representa a morte programada das células, permitindo assim uma análise mais completa da dinâmica de supressão cancer´ıgenas. ´ importante considerar duas importantes espécies celulares para modelar a intera¸cão E tumor-imune: células T e as células com tumor maligno. As células T podem ser classificadas em células de ca¸ca (linfócitos T citotóxicos - CTLs), células T em repouso e células T auxiliares. Os CTLs atacam, destroem ou ingerem as células do tumor maligno. As células T auxiliares estimulam a libera¸cão de citocinas, que ativam os CTLs para coordenar o ataque. As células T em repouso podem ser convertidas em CTLs para que assim possam ca¸car e destruir as células tumorais. O processo de ativa¸cão e conversão de células T em repouso em células T citotóxicas de ca¸ca (CTLs) não é instantâneo, possui um tempo de atraso (τ ). Isso faz naturalmente com que o modelo leve em considera¸cão o fator tempo de atraso ( em unidades de tempo), no tempo de conversão (de repouso ao estado de ca¸ca) e no tempo de crescimento das células de ca¸ca. Também é considerado que, uma vez que uma célula tenha sido convertida, ela nunca retornará para a fase de repouso e de que células ativas morrem em uma probabilidade constante por unidade de tempo..

(25) 23. Sendo assim, o modelo proposto nesse trabalho é descrito por três equa¸cões: dM(t) M(t) = r1 M(t) 1 − − α1 M(t)N(t) − d1 M(t), dt k1 dN(t) = β N(t)Z(t − τ ) − d2 N(t) − α2 M(t)N(t), dt dZ(t) Z(t) − β N(t)Z(t − τ ). = r2 Z(t) 1 − dt k2. (2.1) (2.2) (2.3). A equa¸cão (2.1) descreve a dinâmica de prolifera¸cão das células cancer´ıgenas, onde M representa o n´ umero de células cancer´ıgenas, r1 indica a taxa de prolifera¸cão das células cancer´ıgenas (r1 > 0), k1 o n´ umero máximo de células cancer´ıgenas que o sistema comporta (k1 > 0). Nesta primeira equa¸cão, além da prolifera¸cão das células cancer´ıgenas estar limitada por um fator de crescimento k1 , considera-se também o termo −α1 MN que representa a perda de células tumorais devido ao encontro com as células de ca¸ca N. As células de ca¸ca no modelo, representam os linfócitos T citotóxicos (CTLs), uma das principais formas de defesas do organismo contra v´ırus, bactérias intracelulares e tumores. Para finalizar os termos da equa¸cão (2.1), tem-se −d1 M, responsável por um dos principais pontos deste modelo, que é a morte celular programada, ou seja, a apoptose das células cancer´ıgenas. Na equa¸cão (2.2) do modelo, observa-se a dinâmica das células de ca¸ca, onde N representa o n´ umero de células de ca¸ca, ou seja, o n´ umero de linfócitos T citotóxicos agindo sobre as células tumorais, o termo −d2 N representa a morte natural das células de ca¸ca (tanto d1 como d2 são constantes positivas), o termo −α2 MN é responsável pela perda de células de ca¸ca devido ao encontro com as células do tumor. Por u ´ltimo, mas não menos importante, tem-se o termo −β NZ(t − τ ) que está diretamente ligado com a conversão de células inicialmente em repouso para células ativas, que passarão a ser predadoras no sistema. A conversão é um processo de ativa¸cão e conversão de células T em repouso para células T citotóxicas de ca¸ca (CTLs). Esse processo não é instantâneo, possui um tempo de atraso. Assim como na equa¸cão (2.2), o termo −β NZ(t − τ ) também aparece na equa¸cão (2.3), que descreve a dinâmica das células T em repouso, onde Z representa o n´ umero de células T em repouso, r2 é a taxa de prolifera¸cão células em repouso (r2 > 0), k2 é o n´ umero de células em repouso (k2 > 0) e o termo −β NZ(t − τ ) é o responsável pela conversão.

(26) 24. da células T da fase de repouso para a fase de ca¸ca. O atraso ocorrido nessa conversão também induz um atraso no aumento do n´ umero das células de ca¸ca N, e isso faz com que o termo −β NZ(t − τ ) esteja presente também na segunda equa¸cão. Outro ponto importante considerado no modelo, é o fato de que se uma célula foi convertida, ela nunca retornará para a fase de repouso e de que células ativas morrem em uma probabilidade constante por unidade de tempo. Para as simula¸cões realizadas com o modelo, foram selecionados valores para os parâmetros a partir de resultados de trabalhos experimentais para dinâmica de crescimento do linfoma B altamente maligno. Na Tabela (2.1), apresenta-se os valores dos parâmetros para o crescimento log´ıstico do tumor na ausência de uma resposta do sistema imunológico.. Tabela 2.1: Valores dos Parâmetros Utilizados para a Análise Numérica. Parˆ ametros Referˆ encias −1 r1 = 0, 18 dia [67] k1 = 5 × 106 células [67] −1 −1 −7 α1 = 1, 101 × 10 células dia [68] −1 −1 −10 células dia α2 = 3, 422 × 10 [68] d1 = 0, 0412 dia−1 [68] −1 r2 = 0, 0245 dia [66] k2 = 1 × 107 células [66] −1 −1 −9 β = 6, 2 × 10 células dia [68] τ = 45 dia [63] FONTE: [64].. 2.2. Equil´ıbrio e Estabilidade. Quando um trabalho sobre dinâmica de popula¸cões é proposto, é importante observar a estabilidade do sistema, bem como algumas consequências que restrinjam o crescimento. Neste sentido, o estudo de positividade e contorno limitado das solu¸cões do sistema em torno de diferentes estados estacionários faz-se necessário. Na teoria de equa¸cões diferenciais o ponto x˜ ∈ Rn é um ponto de equil´ıbrio para equa¸cão diferencial. dx dt. = f (x,t) se f (x,t) ˜ = 0 para todo t. A análise do equil´ıbrio (denotado por E).

(27) 25. é em torno das variáveis que representam as células tumorais (M), células de ca¸ca (N) e células em repouso (Z). As varia¸cões em M, N e Z devem tornar as equa¸cões (2.1), (2.2) e (2.3) nulas. Algumas das análises de equil´ıbrios não são fisiologicamente viáveis, ou seja, acabam por levar o indiv´ıduo a morte. Mas apesar de não serem viáveis em situa¸cões reais, listou-se neste trabalho devido ao interesse matemático e poss´ıvel interpreta¸cão. A seguir apresentase uma análise dos equil´ıbrios para os estados: E0 (0, 0, 0) onde tem-se ausência de células tumorais, células de ca¸ca e de repouso; E1 (k1 , 0, 0) onde as células tumorais chegam ao n´ umero máximo k1 , porém, há ausência de células de ca¸ca e de repouso; E2 (0, 0, k2 ) onde tem-se ausência de células tumorais e de células de ca¸ca, porém, com células em repouso podendo chegar a um n´ umero máximo k2 ; E3 (k1 , 0, k2 ) onde o n´ umero de células tumorais e células em repouso atingiram o valor máximo, porém, as células em repouso não se convertem em células de ca¸ca. ´ poss´ıvel, conforme apêndice A, determinar a matriz Jacobiana para um estado de E equil´ıbrio genérico E∗ (M ∗ , N ∗ , Z ∗ ) que assume a forma   0 J11 −α1 M1∗   ∗ ∗ e−λ τ  , J= α β N N J − 22   2 λ τ ∗ − 0 −β Z e J33 com os valores da diagonal escritos como J11 J22 J33. M∗ = r1 − 2r1 − α1 N ∗ − d1 , k1 ∗ −λ τ = βZ e − d2 − α 2 M ∗ , Z∗ = r2 − 2r2 − β N ∗ e−λ τ . k2. (2.4). Os valores da diagonal, permite-nos uma avalia¸cão sobre o equil´ıbrio estável ou instável do sistema quando nas condi¸cões analisadas. Para ser estável é necessário que todos os autovalores da matriz sejam negativos, caso um dos valores não o seja, então equil´ıbrio será instável. Para o estado de equil´ıbrio E0 (0, 0, 0), E1 (k1 , 0, 0), as matrizes Jacobianas podem ser.

(28) 26. escritas como.   r1 − d1 0 0   J= −d2 0   0 , 0 0 r2   −r1 − d1 −α1 k1 0   J= 0 −d2 − α2 k1 0   , 0 0 r2. e. respectivamente. Para ambos os estados, admite-se autovalor positivo r2 , sendo assim, resultam em um equil´ıbrio instável. Já para o estado E2 (0, 0, k2 ), observa-se a matriz Jacobiana:   r1 − d1 0 0   −λ τ − d , J= β k e 0 0 2 2   0 −β k2 e−λ τ −r2 com autovalores r1 − d1 , β k2 e−λ τ − d2 , −r2 . Neste caso a estabilidade se torna dependente do tempo de atraso. O mesmo caso repete-se no caso do equil´ıbrio E3 (k1 , 0, k2 ), onde a matriz Jacobiana pode ser escrita na forma:   −r1 − d1 −α1 k1 0   −λ τ − d − α k , J= β k e 0 0 2 2 2 2   − λ τ −r2 0 −β k2 e com autovalores {−r1 − d1 , β k2 e−λ τ − (d2 + α2 k2 ), −r2 }. Sendo assim, os estados E0 (0, 0, 0) e E1 (k1 , 0, 0) atingem equil´ıbrio instável, já os estados E2 (0, 0, k2 ) e E3 (k1 , 0, k2 ) a estabilidade se torna dependente do tempo de atraso.. 2.3. Resultados Num´ ericos. Conforme apresentado, o modelo proposto é composto por três equa¸cões diferenciais, ´ importante salientar a possibilidade de se e conta ainda com um tempo de atraso. E encontrar bifurca¸cões de Hopf quando se utiliza equa¸cões diferenciais com atraso. Em.

(29) 27. trabalhos anteriores Iarosz e colaboradores [69], Borges e colaboradores [63] descrevem um crescimento de órbitas periódicas a partir de um ponto fixo de equil´ıbrio de um determinado sistema [70]. Representam o comportamento mutável da prolifera¸cão das células tumorais quando um tempo de atraso é inserido. O valor de τ utilizado neste trabalho (τ = 45), corresponde ao comportamento onde a recorrência das células tumorais é regular [69] e os demais valores são descritos na Tabela 2.1. Evidências experimentais mostram que tumores malignos apresentam resistência à apoptose, porém, com fármacos espec´ıficos é poss´ıvel reverter esse quadro e induzir a apoptose em células tumorais [71]. Na Figura 2.2, apresenta-se o comportamento da intera¸cão entre células tumorais e sistema imunológico conforme o termo de morte programada é inserido no modelo. Observa-se na Figura 2.2 (a) a evolu¸cão do sistema com a presen¸ca de células tumorais se proliferando, enquanto as células de repouso convertem-se em células de ca¸ca, que por sua vez tentam aniquilar as células tumorais. Neste caso não há presen¸ca de morte programada das células tumorais, ou seja, o termo −d1 M presente na equa¸cão (2.1) é nulo, pois para essa simula¸cão considera-se d1 = 0. Afim de observar a influência da apoptose na intera¸cão tumor-sistema imunológico, mostra-se nas Figuras 2.2 (b) e (c) a redu¸cão das células tumorais quando considera-se ´ poss´ıvel notar que com o acréscimo no termo d1 = 0, 02 e d1 = 0, 04, respectivamente. E que representa a apoptose na equa¸cão (2.1), o n´ umero de células tumorais decresce em um tempo cada vez menor em compara¸cão com o ocorrido na Figura 2.2 (a). Logo, pode-se concluir que a apoptose celular tem uma influência significativa na dinâmica do tumor. Conforme observado na Figura 2.2, quando considera-se a apoptose no modelo, o n´ umero de células tumorais diminui consideravelmente, na Figura 2.3 apresenta-se a rela¸cão do tempo (t) para o qual as células tumorais (M) decrescem em fun¸cão de d1 . Observa-se que quanto maior o valor da variável que controla o termo −d1 M, menor será o tempo para que a aniquila¸cão das células tumorais aconte¸ca. Tem-se na Figura 2.3 um comportamento tipo lei de potência e demonstra-se que a supressão do n´ umero de células tumorais tem dependência com a apoptose celular. Para complementar esse resultado, observa-se na Figura 2.4 a região onde ocorre a supressão do n´ umero de células tumorais (M). Essa análise mostra que os valores que delimitam as regiões obedecem um comportamento linear. Em preto tem-se a região onde os valores do n´ umero de células tumorais oscilam e atinge um.

(30) 28. Figura 2.2: Evolu¸cão temporal de células tumorais e sistema imunológico conforme um termo de morte programada é inserido no modelo. Em (a) considera-se d1 = 0, em (b) d1 = 0, 02 e (c) d1 = 0, 04, para os demais parâmetros utilizados nas simula¸cões estão presentes na Tabela 2.1 com as condi¸cões iniciais M(0) = 2700000; N(0) = 204000; Z(0) = 7180000. FONTE: [64].. equil´ıbrio diferente de zero, e em branco apresenta-se a região onde ocorre a supressão do n´ umero de células tumorais. Nota-se que para valores de d1 > 0, 2 ocorre a supressão para quaisquer valores de α1 , que é a variável associada a intera¸cão tumor-sistema imunológico..

(31) 29. Figura 2.3: Representa¸caõ do tempo para que ocorra a supressão do n´ umero de células tumorais considerando-se o termo de apoptose no modelo.. FONTE: [64].. 2.4. Discuss˜ oes. Neste cap´ıtulo foi apresentado a análise dos efeitos das intera¸cões entre células tumorais e células do sistema imunológico por meio de um sistema de equa¸cões diferenciais nãolineares com atraso. A principal diferen¸ca entre o sistema apresentado e os outros nesse sentido é o uso da equa¸cão diferencial com atraso e a considera¸cão de um termo para apoptose celular, que aparece naturalmente quando se consideram as intera¸cões celulares. O termo de apoptose que inserimos no modelo, vem refor¸car a influência significativa em tratamentos para tumores..

(32) 30. Figura 2.4: Supressão do n´ umero de células tumorais considerando-se a presen¸ca de apoptose celular.. FONTE: [64]..

(33) 31. 3. Modelo para o tratamento de tumor por quimioterapia. Uma das formas de tratamento para o câncer, tumor maligno, é a quimioterapia, que envolve a inje¸cão no corpo de um agente projetado para atacar as células infectadas. Porém, este agente ataca também as células normais provocando efeitos colaterais comuns, tais como a perda de cabelo. Pesquisas que envolvem o projeto do agente quimioterápico visam maximizar o efeito sobre o câncer e minimizar esses efeitos colaterais [2]. Em muitos casos de câncer, ele se espalha a partir de um foco1 primário num dado órgão para um foco secundário em outro órgão fisiológico por meio da corrente sangu´ınea ou do sistema linfático. Este processo é conhecido como metástase. Em alguns casos o tumor secundário, ou seja, o câncer no foco secundário, que é o fatal. Por esse motivo, é importante considerar um modelo de tratamento por quimioterapia quando ocorre a metástase. A metástase ocorre em órgãos seletivos. Os locais mais comuns de metástase são o pulmão e o f´ıgado [72]. A metástase aumenta conforme cresce o tamanho do tumor no foco primário. Devido aos processos envolvidos, muitas vezes há um atraso de tempo (por vezes significativo) para a metástase ocorrer. Dessa forma, é razoável modelar a intera¸cão entre as células tumorais e as células normais em dois focos espec´ıficos com metástase entre os focos primário e o secundário com um atraso de tempo. Aqui é considerado um sistema com seis equa¸cões diferenciais, três representando as intera¸cões entre as células normais, as células tumorais, e os agentes de quimioterapia no foco primário e as mesmas três intera¸cões no foco secundário. Também é levado em conta 1´ orgão. fisiol´ ogico infectado pelo tumor [72]..

(34) 32. a migra¸cão das células tumorais a partir do foco primário para o foco secundário com um tempo de atraso [72]. Considerado apenas o não-tratamento e os casos de tratamento cont´ınuo. Devido a dimensão do modelo, não é poss´ıvel obter uma análise matemática completa. No entanto, é poss´ıvel obter resultados variados utilizando análise computacional. Na sequência é apresentado o modelo e realizado uma análise computacional verificando a existência de solu¸cões de equil´ıbrios e estabilidade local.. 3.1. Formula¸c˜ ao do modelo. O modelo é descrito por meio de cinco equa¸cões diferenciais ordinárias e uma equa¸cão diferencial funcional, ou seja, uma equa¸cão em que a variável dinâmica, e possivelmente suas derivadas, possuem argumentos calculados em instantes distintos. O modelo visa simular as intera¸cões entre as células normais, as células tumorais e os agentes de quimioterapia em cada foco, com metástase2 do câncer do foco primário para o foco secundário. Sejam, respectivamente, x1 (t) e x2 (t) as concentra¸cões de células normais e tumorais no foco primário e y(t) a concentra¸cão do agente de quimioterapia no foco primário. Da mesma forma, define-se u1 (t) equivalente a x1 (t), u2 (t) equivalente a x2 (t) e z(t) equivalente a y(t) no foco secundário. Isso leva ao modelo [72]:. p1 x1 (t)y(t) x1 (t) x˙1 (t) = α1 x1 (t) 1 − − q1 x1 (t)x2 (t) − , K1 a1 + x1 (t) x2 (t) p2 x2 (t)y(t) x˙2 (t) = α2 x2 (t) 1 − − q2 x1 (t)x2 (t) − − δ x2 (t), K2 a2 + x2 (t) h c2 x2 (t) i c1 x1 (t) y(t) ˙ = ∆− ξ + + y(t), a1 + x1 (t) a2 + x2 (t) u1 (t) s1 u1 (t)z(t) u˙1 (t) = β1 u1 (t) 1 − − r1 u1 (t)u2 (t) − , L1 b1 + u1 (t) s2 u2 (t)z(t) u2 (t) − r2 u1 (t)u2 (t) − + εδ x2 (t − τ ), u˙2 (t) = β2 u2 (t) 1 − L2 b2 + u2 (t) h d1 u1 (t) d2 u2 (t) i + z(t), z˙(t) = Φ − η + b1 + u1 (t) b2 + u2 (t) 2 Processo. (3.1). pelo qual o câncer se espalha a partir de um foco primário num dado órgão para um foco secundário em outro órg˜ ao fisiol´ ogico por meio da corrente sangu´ınea ou do sistema linfático..

(35) 33. onde • αi , i = 1, 2 são as taxas de prolifera¸cão espec´ıficas das células normais e cancer´ıgenas para pequenas concentra¸cões no foco primário; • Ki , i = 1, 2, são os respectivos n´ umeros máximos poss´ıveis de células; • qi , i = 1, 2, são os coeficientes de competi¸cão entre x1 e x2 ; • pi , i = 1, 2, são os coeficientes de preda¸cão de y sobre xi ; • ai , i = 1, 2, determinam a velocidade em que xi , na ausência de competi¸cão e preda¸cão, atinge sua capacidade; • ∆, é a taxa de infusão cont´ınua de quimioterapia para o foco primário; • ξ , é a taxa de elimina¸cão do agente de quimioterapia neste foco; • ci , i = 1, 2, são as taxas de combina¸cão do agente de quimioterapia com as células, por isso, eles são proporcionais ao pi , i = 1, 2. Interpreta¸cões semelhantes para o foco secundário podem ser dadas para βi , Li , ri , si , bi , Φ, η , di , i = 1, 2, respectivamente. Além disso, • δ é a velocidade com que as células tumorais deixam o foco primário; • τ é o tempo de atraso no efeito da metástase; • ε , 0 < ε ≤ 1, é a propor¸cão de células tumorais que chegam e interagem no foco secundário, depois de ter deixado o foco primário. Aqui é utilizado o crescimento log´ıstico para as células normais e tumorais em ambos os focos com a concorrência em cada foco entre as células normais e as cancer´ıgenas. O agente de quimioterapia age como um predador em ambas as células normais e cancer´ıgenas em cada foco. Além disso, há um poss´ıvel tempo de atraso de tamanho τ que as células tumorais levam ao sairem do foco primário e a chegarem a interagir no foco secundário..

(36) 34. Para tornar este modelo mais realista, é imposto certas desigualdades entre os parâmetros. Como as células tumorais crescem num ritmo muito mais rápido que as células normais e se o tratamento não é oferecido, na maioria das vezes, as células tumorais competem com as células normais independente das condi¸cões iniciais. Além disso, os agentes de quimioterapia devem ser consideravelmente mais eficazes em destruir células tumorais que em destruir as células normais para que o tratamento seja eficaz. Estes argumentos levam ao seguinte conjunto de desigualdades:. α2 > α1 , β2 > β1 ;. (3.2). p2 p1 , s2 s1 .. (3.3). e. Para realizar a análise numérica é importante selecionar os valores dos parâmetros adequados, uma vez que determinam a dinâmica do sistema. Para os parâmetros apresentados é imposto algumas condi¸cões baseadas tanto em resultados anal´ıticos como em alguns argumentos fisiológicos. Os parâmetros estimados são apresentados na Tabela (3.1): Tabela 3.1: Valores dos Parâmetros Utilizados para a Análise Numérica [72]. Parˆ ametros Valores Parˆ ametros Valores α1 1,5 β1 2 α2 10 β2 12 K1 1460 L1 1750 K2 2100 L2 2300 q1 0,0075 r1 0,002 q2 0,005 r2 0,001 p1 0,0008 s1 0,0006 p2 0,08 s2 0,1 a1 1,0 b1 1,0 a2 1,0 b2 1,0 δ 0,1 ε 0,0001 2000 Φ 2000 ∆ ξ 20 η 20 0,0024 d1 0,0018 c1 c2 0,24 d2 0,3 FONTE: Adaptado de Pinho 2002 [72]..

(37) 35. 3.2. Caso sem tratamento. Nesta se¸cão, discute-se o caso particular em que não existe um tratamento no sistema (3.1), ou seja, não é considerado o efeito da quimioterapia. Dessa forma, o sistema fica reduzido a 4 equa¸cões, sendo que as 2 equa¸cões para modelar a quimioterapia em ambos os focos, y(t) ˙ e z˙(t) não são consideradas. é introduzido um conceito chamado de “hipótese de câncer” o qual afirma que, na ausência de tratamento, o câncer acabará por ganhar em qualquer foco com ou sem metástase [72], e apresentados alguns resultados numéricos. Aqui, o modelo é reduzido para a forma x1 (t) − q1 x1 (t)x2 (t), x˙1 (t) = α1 x1 (t) 1 − K1 x2 (t) − q2 x1 (t)x2 (t) − δ x2 (t), x˙2 (t) = α2 x2 (t) 1 − K2 u1 (t) − r1 u1 (t)u2 (t), u˙1 (t) = β1 u1 (t) 1 − L1 u2 (t) u˙2 (t) = β2 u2 (t) 1 − − r2 u1 (t)u2 (t) + εδ x2 (t − τ ), L2. (3.4). onde x1 (0), x2 (0), u1 (0), u2 (0) ≥ 0.. 3.2.1. (3.5). Equil´ıbrio e Estabilidade. Os pontos de equil´ıbrio são denotados por E. Alguns destes equil´ıbrios representam a morte do indiv´ıduo, no entanto, eles são listados em razão do poss´ıvel interesse matemático e interpretativo. Observando o sistema (3.4), os seguintes equil´ıbrios sempre existem: E0 (0, 0, 0, 0), E1 (K1 , 0, 0, 0), E2 (0, 0, L1 , 0) e E3 (K1 , 0, L1 , 0). Em particular, E3 representa o estado de equil´ıbrio com ambos os focos saudáveis. O equil´ıbrio E4 (K1 , 0, 0, L2 ), também existe, mas representa o caso em que o tumor tomou completamente o foco secundário. Também considera-se um equil´ıbrio da forma E5 (0, K2 , 0, L2 ), que representa o estado que o tumor tomou completamente ambos os focos. ´ poss´ıvel, conforme apêndice A, determinar a matriz Jacobiana para um equil´ıbrio E.

(38) 36. genérico E(x˜1 , x˜2 , u˜1 , u˜2 ) que assume a forma   J −q1 x˜1 0 0  11  −q x˜  J 0 0 22  2 2  J= ,  0 0 J33 −r1 u˜1    − τλ 0 εδ e −r2 u˜2 J44 com os valores da diagonal escritos como 2x˜1 J11 = α1 1 − − q1 x˜2 , K1 2x˜2 J22 = α2 1 − − q2 x˜1 − δ , K2 2u˜1 J33 = β1 1 − − r1 u˜2 , K1 2u˜2 J44 = β2 1 − − r2 u˜1 . K2. (3.6). Observa-se que a análise de estabilidade local em torno de qualquer equil´ıbrio não depende do tempo de atraso τ . Sendo α2 > δ , E0 é instável pois seus equil´ıbrios são  (0)   λ1 = α1 > 0,     λ (0) = α2 − δ > 0, 2 E0 (0, 0, 0, 0) (0)   λ3 = β1 > 0,      λ (0) = β2 > 0. 4 Os autovalores de E1 , E2 , E3 e E4 são respectivamente,   (1) (2)     λ1 = −α1 < 0, λ1 = α1 > 0,           λ (1) = α2 − q2 K1 − δ , λ (2) = α2 − δ > 0, 2 2 E1 (K1 , 0, 0, 0) E2 (0, 0, L1 , 0) (1) (2)     λ3 = β1 > 0, λ3 = −β1 < 0,           λ (1) = β2 > 0. λ (2) = −β2 − r2 L1 . 4. 4.

(39) 37.  (3)   λ1 = −α1 < 0,     λ (3) = α2 − q2 K1 − δ , 2 E3 (K1 , 0, L1 , 0) (3)   λ3 = −β1 < 0,      λ (3) = β2 − r2 L1 . 4.  (4)   λ1 = −α1 < 0,     λ (4) = α2 − q2 K1 δ , 2 E4 (K1 , 0, 0, L2 ) (4)   λ3 = −β1 − r1 L2 ,      λ (4) = −β2 < 0. 4. Os autovalores para E5 (0, K2 , 0, L2 ) são (5). = α1 − q1 x˜2 = α1 −. (5). = α2 − δ −. λ1 λ2. (5). λ3. (5). λ4. q1 K2 (α2 − δ ) , α2. 2α2 x˜2 = −(α2 − δ ) < 0, K2 h L2 δ ε L K (α − δ ) i1/2 r1 L2 2 2 2 = β1 − r1 u˜2 = β1 − − r1 2 + , 2 4 α2 β2 2β2 h L22 δ ε L2 K2 (α2 − δ ) i1/2 2u˜2 = β2 1 − < 0. =− + L2 L2 4 α2 β2. Impondo as seguintes condi¸cões como suficientes para a “hipótese de câncer”:. α2 − δ > q2 K1 ,. (3.7). β2 > r2 L1 ,. (3.8). α1 α2 < q1 K2 (α2 − δ ), h r1 δ ε L2 K2 (α2 − δ ) i β1 < r1 L2 1 + . β1 β2 α2. (3.9) (3.10). Sendo α2 > δ , as condi¸cões de (3.7) e (3.8), juntamente com β1 6= r1 L2 garantem o caráter hiperbólico3 dos equil´ıbrios E1 ,E2 , E3 e E4 , e se as condi¸cões de (3.9) e (3.10) são satisfeitas, então E5 é um equil´ıbrio local assintoticamente estável.. 3O. paraboloide hiperb´ olico possui um formato semelhante a uma sela e pode possuir um ponto cr´ıtico chamado de ponto de sela..

(40) 38. 3.2.2. Resultados Num´ ericos. Para realizar as simula¸cões numéricas do sistema (3.4) foi desenvolvido uma rotina em linguagem C, também foi admitido condi¸cões iniciais baseadas tanto em resultados anal´ıticos como em alguns argumentos fisiológicos conforme Tabela (3.1). Apresenta-se na Figura 3.1 a evolu¸cão temporal do n´ umero de células quando não há atraso para a metástase ocorrer, isto é, τ = 0. Observa-se na Figura 3.1 (a) a evolu¸cão das células normais no primeiro foco do tumor, verificando que sem tratamento mesmo com a condi¸cão inicial x1 = K1 = 1460, isto é, com o n´ umero máximo de células normais que o sistema suporta, rapidamente chega a zero, representando um estado em que as células tumorais vencem as normais. Pode ser observado na Figura 3.1 (b) que mesmo iniciando com um n´ umero pequeno de células tumorais, x2 = 0, 01, rapidamente atinge-se o limite x2 = K2 = 2100, que representa n´ umero máximo de células tumorais que o primeiro foco suporta. Nas Figuras 3.1 (c) e 3.1 (d) observa-se o comportamento das células normais e tumorais, respectivamente, no segundo foco do tumor é poss´ıvel verificar um comportamento semelhante ao do primeiro foco, ou seja, mesmo com a condi¸cão inicial u1 = L1 = 1750, o n´ umero de células normais vai rapidamente a zero, assim como, o n´ umero de células tumorais atinge rapidamente o limite u2 = L2 = 2300. Dessa forma, a Figura 3.1 representa o equil´ıbrio E5 (0, K2 , 0, L2 ), que representa o estado que o tumor tomou completamente ambos os focos. Na Figura 3.2 também é apresentado a evolu¸cão do n´ umero de células normais e tumorais em ambos os focos, mas agora para τ 6= 0, ou seja, τ = 20, onde observa-se o mesmo comportamento do caso anterior no foco primário, conforme Figuras 3.2 (a) e 3.2 (b), onde o sistema evolui para o equil´ıbrio E5 mesmo partindo-se de condi¸cões iniciais distantes. Contudo, conforme observa-se nas Figuras 3.2 (c) e 3.2 (d), as células tumorais no segundo foco dominam as células normais, mas há um atraso. Portanto, o efeito de τ atrasa o momento em que as células tumorais do foco secundário dominam as células normais, conforme pode ser observado na Figura 3.3, onde tc indica o tempo necessário para que as células tumorais do foco secundário dominem as células.

(41) 39. Figura 3.1: Evolu¸cão temporal (t em dias) da concentra¸cão de (a) células normais no primeiro foco, (b)células tumorais no primeiro foco, (c) células normais no segundo foco e (d) células tumorais no segundo foco, com condi¸cão inicial x1 = 1460, x2 = 0, 01, u1 = 1750, u2 = 0, 0 e τ = 0 e parâmetros de acordo com a Tabela 3.1.. 2000. 2000. (a). (c) 1500. u1. x1. 1500 1000 500 0. 1000 500. 0. 10. 20. t. 30. 40. 0. 50. 4000. 0. 10. 20. t. 30. (d) 3000. u2. 3000. x2. 50. 4000. (b) 2000 1000 0. 40. 2000 1000. 0. 10. 20. t. 30. 40. 50. 0. 0. 10. 20. t. 30. 40. 50. FONTE: A autora.. normais deste mesmo foco. Isso significa que, sem tratamento, as células tumorais de ambos os focos vencem a competi¸cão com as células normais, como era suposto pela “hipótese de câncer”..

(42) 40. Figura 3.2: Evolu¸cão temporal (t em dias) da concentra¸cão de (a) células normais no primeiro foco, (b)células tumorais no primeiro foco, (c) células normais no segundo foco e (d) células tumorais no segundo foco, com condi¸cão inicial x1 = 1460, x2 = 0, 01, u1 = 1750, u2 = 0, 0 e τ = 20 e parâmetros de acordo com a Tabela 3.1.. 2000. 2000. (a). 1000 500 0. (c). 1500. u1. x1. 1500. 1000 500. 0. 10. 20. t. 30. 0. 40. 4000. 0. 10. 20. t. 30. 4000. (d). (b) 3000. u2. x2. 3000 2000 1000 0. 40. 2000 1000. 0. 10. 20. t. 30. 40. 0. 0. 10. 20. t. 30. 40. FONTE: A autora.. 3.3. Caso com tratamento. Aqui, é considerado o modelo completo do sistema com as 6 equa¸cões apresentado em (3.1). Estuda-se a estabilidade local de alguns equil´ıbrios relevantes por meio de métodos numéricos..

(43) 41. Figura 3.3: Tempo de dom´ınio das células tumorais tc no foco secundário pelo atraso τ .. 60. 50. tc. 40. 30. 20. 10. 0. 0. 10. 20. τ. 30. 40. 50. FONTE: A autora.. 3.3.1. Equil´ıbrios e Estabilidade. Neste caso, denotamos os equil´ıbrios por E como varia¸cões em x1 , x2 , y, u1 , u2 e z e, novamente, alguns deles representam a morte do indiv´ıduo. Analisamos a estabilidade local dos equil´ıbrios E1 (xˆ1 , 0, y, ˆ uˆ1 , 0, zˆ), E2 (0, xˆ2 , y, ˆ 0, uˆ2 , zˆ) e E3 (xˆ1 , 0, y, ˆ 0, uˆ2 , zˆ) que são chamados, respectivamente, o equil´ıbrio de células não tumorais (não há células tumorais em ambos os focos), o equil´ıbrio de células não normais (não há células normais em ambos os focos) e o equil´ıbrio de células metastáticas (não há células tumorais no foco primário e não há células normais no foco secundário)..

(44) 42. A matriz Jacobiana para um equil´ıbrio genérico pode ser escrita na forma   J11 −q1 x˜1 − ap11+x˜x1˜1 0 0 0    −q x˜  p2 x˜2 J − 0 0 0   2 2 22 a1 +x˜2  a c y˜  a2 c2 y˜ − 1 1 2 − (a +x˜ )2 J33 0 0 0   (a1 +x˜1 )  2 2 J= , s u ˜ 1 1   0 0 0 J −r u ˜ − 44 1 1 b + u ˜  1 1    εδ exp(−µτ ) 0 −r2 u˜2 J55 − bs11+u˜u1˜1  0   0 0 0 − (bb1+du1˜ z˜)2 − (bb2+du2˜ z˜)2 J66 1. 1. 2. 2. com os valores da diagonal escritos como 2x˜1 p1 a1 y˜ ) − q1 x˜2 − , K1 (a1 + x˜1 )2 2x˜2 p2 a2 y˜ α2 (1 − ) − q2 x˜1 − −δ, K2 (a2 + x˜2 )2 c2 x˜2 c1 x˜1 −(ξ + + ), a1 + x˜1 a2 + x˜2 2u˜1 s1 b1 z˜ β1 (1 − ) − r1 u˜2 − , L1 (b1 + u˜1 )2 2u˜2 s2 b2 z˜ β2 (1 − ) − r2 u˜1 − , L2 (b2 + u˜2 )2 d1 u˜1 d2 u˜2 −(η + + ). b1 + u˜1 b2 + u˜2. J11 = α1 (1 − J22 = J33 = J44 = J55 = J66 =. (3.11). Tal como no caso sem tratamento, a análise da estabilidade local em torno de qualquer equil´ıbrio não depende do tempo de atraso τ . Realizamos a análise numérica da estabilidade local dos equil´ıbrios E1 (xˆ1 , 0, y, ˆ uˆ1 , 0, zˆ), E2 (0, xˆ2 , y, ˆ 0, uˆ2 , zˆ) e E3 (xˆ1 , 0, y, ˆ 0, uˆ2 , zˆ).. 3.3.2. Resultados Num´ ericos. Primeiramente considera-se o conjunto de parâmetros informados na Tabela (3.1), tais que o sistema (3.1) possui um tipo de cada equil´ıbrio E1 , E2 e E3 . Supondo que o equil´ıbrio de células não normais e o equil´ıbrio de células metastáticas, E2 e E3 , são localmente estáveis, mas o equil´ıbrio de células não tumorais E1 , é localmente instável, verifica-se que o estado estacionário ao qual as solu¸cões se aproximam dependem de x2 . umero de células com x2 = 0, 5. Apresenta-se na Figura 3.4 a evolu¸cão temporal do n´.