calculo aula3.4[1]

(1)

Capítulo 3

(2)

REGRAS DE DERIVAÇÃO

As funções encontradas até

agora podem

ser descritas expressando-se uma

variável explicitamente em termos de

outra.

Por exemplo,

ou y =

x sen

x

ou, em geral, y = f (x).

3

1

(3)

3.5

Derivação Implícita

Nesta seção, nós aprenderemos sobre: Os objetivos dos modelos matemáticos.

(4)

DERIVAÇÃO IMPLÍCITA Equação 1 e 2

Algumas funções são definidas

implicitamente

por uma relação entre x e

y, tal como

x2 _{+ y}2 _{= 25}

ou

(5)

DERIVAÇÃO IMPLÍCITA

Em alguns casos e possível resolver tais equações isolando y como uma função explicita (ou várias funções) de x.

Por exemplo, se resolvermos a Equação 1 isolando y, obteremos logo, duas das funções determinadas pela

Equação implícita 1 são e

2 25 y = ± − x 2 ( ) 25 f x = − x

(6)

Os gráficos de f e g são os semicírculos superior e inferior do círculo x2 _{+ y}2 _{= 25}

(7)

Não e fácil resolver a Equação 2 e escrever

y explicitamente como uma função de x à

mão.

Para um sistema de computação algébrica não há problema, mas as expressões

(8)

FÓLIO DE DESCARTES

Não obstante, (2) é a equação da curva

chamada fólio de Descartes, mostrada na figura, e implicitamente define y como

(9)

Os gráficos de três dessas funções estão

representados na abaixo.

(10)

Quando dizemos que f é uma função

definida implicitamente pela Equação 2, isso significa que a equação

x3 _{+ [ f} _(x)3_{] = 6x f} _(x)

é verdadeira para todos os valores de x no domínio de f.

(11)

MÉTODO DE DERIVAÇÃO IMPLÍCITA

Felizmente não precisamos resolver uma equação e escrever y em termos de x para encontrar a derivada de y.

Em vez disso, podemos usar o método da

derivação implícita, que consiste em

derivar ambos os lados da equação em relação a x e então isolar y’ na equação resultante.

(12)

MÉTODO DE DERIVAÇÃO IMPLÍCITA

Nos exemplos e exercícios desta seção suponha sempre que a equação dada determine y implicitamente como uma função derivável de x de forma que o

método da derivação implícita possa ser aplicado.

(13)

DERIVAÇÃO IMPLÍCITA EXEMPLO 1

a. Se x2 _{+ y}2 _{= 25, encontre} _.

b. Encontre uma equação da tangente ao círculo x2 _{+ y}2 _{= 25 no ponto (3, 4).}

dy

dx

(14)

DERIVAÇÃO IMPLÍCITA EXEMPLO 1a

a. Derive ambos os lados da equação

x2 _{+ y}2 _{= 25:} 2 2 2 2

(

)

(25)

(

)

(

)

0 d

d

x

y

dx

d

x

y

dx

+

=

+

=

(15)

DERIVAÇÃO IMPLÍCITA EXEMPLO 1a 2 2 ( ) ( ) 2 d d dy dy y y y dx = dy dx = dx dy x dx = − y

Lembrando que y é uma função de x e usando a Regra da Cadeia, temos:

Assim,

Agora, isole dy/dx nesta equação:

2x 2y dy 0

dx

(16)

DERIVAÇÃO IMPLÍCITA EX. 1b - Sol.1

b. No ponto (3, 4) temos x = 3 e y = 4; logo:

Uma equação da reta tangente ao círculo em (3, 4) é, portanto: ou

3

4 dy

dx

= −

(17)

b. Resolvendo a equação x2 _{+ y}2 _{= 25,}

obtemos .

O ponto (3, 4) está sobre o semicírculo superior , e assim vamos

considerar a função . 2 25 y = ± − x 2 25 y = − x 2 ( ) 25 f x = − x

(18)

Derivando ƒ, usando a Regra da Cadeia, temos 2 1/ 2 2 1 2 2 1/ 2 1 2 2 '( ) (25 ) (25 ) (25 ) ( 2 ) 25 d f x x x dx x x x x − − = − − = − − = − −

(19)

DERIVAÇÃO IMPLÍCITA EX. 1- Sol. 2b

Logo, e, como na

Solução 1, uma equação da reta tangente é 3x + 4y = 25. 2 3 3 '(3) 4 25 3 f = − = − −

(20)

OBSERVAÇÃO

A expressão dy/dx = -x/y na Solução 1 dá a derivada em termos de x e y.

Isso está correto independentemente de qual função y fique determinada pela

(21)

OBSERVAÇÃO

Por exemplo, para temos: enquanto para temos 2 ( ) 25 y = g x = − − x 2 2 25 25 dy x x x dx = − = −y − − _x = − _x 2 ( ) 25 y = f x = − x 2

25 dy

x

dx

= − = −

y

−

_x

(22)

a. Encontre y’ se x3 _{+ y}3 _{= 6xy.}

b. Encontre a reta tangente ao folio de

Descartes x3 _{+ y}3 _{= 6xy no ponto (3, 3).}

c. Em quais pontos do primeiro quadrante a reta tangente é horizontal?

(23)

a. Derivando ambos os lados de

x3 _{+ y}3 _{= 6xy em relação a x, considerando y}

como uma função de x e usando a Regra da Cadeia no termo y3 _{e a Regra do Produto no}

termo 6xy, obtemos

3x2 _{+ 3y}2_y’ _{= 6xy’} _{+ 6y}

(24)

Agora vamos isolar y’:

2 2 2 2 2 2

' 2

'

2 (

2 ) '

2

2 '

2 y y

xy

y

x

y

x y

y

x

y

x

y

x

−

=

−

=

−

=

−

(25)

DERIVAÇÃO IMPLÍCITA EXEMPLO 2b

b. Quando x = y = 3,

e uma olhada na figura confirma que este e um valor razoável para a inclinação em (3,3).

Logo, uma equação da

tangente ao fólio em (3, 3) é y - 3 = -1(x - 3) ou x + y = 6. 2 2

2 3 3

'

1

3 2 3

y

=

⋅ −

= −

− ⋅

(26)

DERIVAÇÃO IMPLÍCITA EXEMPLO 2c

c. A reta tangente é horizontal se y’ = 0. Usando a expressão de y da parte (a)

vemos que y’ = 0 quando 2y - x2 _{= 0 (desde}

que y2 _{- 2x =} _0).

Substituindo y = ½ x² na equação da curva, obtemos x³ + ( ½ x²)³ = 6x ( ½ x²) que se

(27)

Como x ≠ 0 no primeiro quadrante, temos

x³ = 16.

Se x = 161/3 _{= 2}4/3_{, então y =} _{½ (2}8/3_{) = 2}5/3_.

Assim, a tangente é horizontal em (24/3_{, 2}5/3_),

(28)

Olhando a figura vemos que nossa resposta é razoável.

Obs 2: Há uma fórmula para as três raízes de uma equação

cúbica que é semelhante a

fórmula quadrática, mas muito mais complicada.

(29)

OBSERVAÇÃO 2

Se usarmos essa fórmula (ou um SCA) para resolver a equação x³ +y³ = 6xy para y em termos de x, vamos obter as três funções determinadas pela equação:

e 3 6 3 3 6 3 1 1 1 1 3 3 2 4 2 4 ( ) 8 8 y = f x = − x + x − x + − x − x − x 3 6 3 3 6 3 1 3 1 1 3 1 1 2 ( ) 3 2 4 8 2 4 8 y = ⎡_⎢− f x ± − ⎛⎜ − x + x − x − − x − x − x ⎞⎟⎤_⎥ ⎝ ⎠ ⎣ ⎦

(30)

OBSERVAÇÃO 2

Essas são as três funções cujos gráficos estão na Figura foram mostrados

(31)

OBSERVAÇÃO 2

Você pode ver que o método da derivação implícita poupa uma enorme quantidade de trabalho em casos como este.

(32)

OBSERVAÇÃO 2

Além disso, a derivação implícita funciona de forma igualmente fácil em equações como

y5 _{+ 3x}2_y2 _{+ 5x}4 _{= 12}

para as quais é impossível encontrar uma

(33)

Encontre y’ se sen(x + y) = y² cos x.

Solução: Derivando implicitamente em relação a x e lembrando que y é uma função de x, obtemos cos(x + y) . (1 + y’ ) = y² (-sen x) + (cos x)(2yy’ ) Observe que usamos a Regra da Cadeia no lado

esquerdo e as Regras da Cadeia e do Produto no lado direito.

(34)

Juntando os termos que envolvem y obtemos

(35)

A figura, feita com o comando implicit-plotting de um SCA, mostra parte da curva

sen(x + y) = y² cos x.

Como uma verificação de

nossos cálculos, observe que

y’ = -1 quando x = y = 0, e no

gráfico parece que a inclinação e de aproximadamente -1 na origem.

(36)

O exemplo seguinte ilustra como descobrir a segunda derivada de uma função

(37)

Encontre y” se x4 _{+ y}4 _{= 16.}

Solução: Derivando a equação implicitamente em relação a x, obtemos

4x³ + 4y³y’ = 0 Isolando y’ obtemos

3 3 ' x y y = −

(38)

DERIVAÇÃO IMPLÍCITA EX. 4 – Equação 3

Para encontrar y” derivamos esta expressão,

usando a Regra do Quociente e lembrando que

y é uma função de x: 3 3 3 3 3 3 3 2 3 2 3 2 6 ( / )( ) ( / )( ) '' ( ) 3 (3 ') d x y d dx x x d dx y y dx y y y x x y y y ⎛ ⎞ − = _⎜− _⎟ = − ⎝ ⎠ ⋅ − = −

(39)

Se agora substituirmos a Equação 3 nesta expressão, obtemos 3 2 3 3 2 3 6 2 4 6 2 4 4 7 7 3 3 '' 3( ) 3 ( ) x x y x y y y y x y x x y x y y ⎛ ⎞ − _⎜ − _⎟ ⎝ ⎠ = − + + = − = −

(40)

Mas os valores de x e y devem satisfazer a equação original x4 _{+ y}4 _{= 16.}

Assim, a resposta se simplifica para:

2 2 7 7 3 (16) '' x 48 x y y y = − = −

(41)

DER. DAS FUNÇÕES TRIGOMÉTRICAS INVERSAS

As funções trigonométricas inversas foram revisadas na Seção 1.6. Discutimos suas continuidades na Seção 2.5 e suas

assíntotas na Seção 2.6.

Aqui, a derivação implícita será usada para determinar as derivadas das funções

(42)

DER. DAS FUNÇÕES TRIGOMÉTRICAS INVERSAS

De fato, qualquer que seja a função f

derivável e injetora, pode ser demonstrado que sua função inversa, f -_{¹, é} _também

derivável, exceto onde suas tangentes são verticais.

Isso é plausível, pois o gráfico de uma função derivável não possui bicos ou dobras.

(43)

DERIVADA DA FUNÇÃO INVERSA DE SENO

Lembre-se de que a função inversa da função seno foi definida por:

Derivando sen y = x implicitamente em relação a x obtemos:

(44)

Agora cos y ≥ 0, uma vez que -π/2 ≤ y ≤ π/2, logo:

(45)

A fórmula para a derivada da função arco

tangente é

deduzida de maneira análoga.

Se y =

tg

-1

_{x, então tg}

_{y =}

_x.

(46)

Derivando essa última equação

(47)

DERIVADA DA FUNÇÃO TRIG. INVERSA EXEMPLO 5

Derive

a.

y =

1/ sen

-

_¹X

(48)

DERIVADA DA FUNÇÃO TRIG. INVERSA EXEMPLO 5a

(49)

DERIVADA DA FUNÇÃO TRIG. INVERSA EXEMPLO 5b

(50)

DERIVADA DA FUNÇÃO TRIGONOMÉTRICA INVERSA

As funções trigonométricas inversas que ocorrem com mais frequência são aquelas que acabamos de discutir.

As derivadas das quatro funções

remanescentes estão dadas na tabela a seguir.

(51)

DERIVADAS DAS FUNÇÕES TRIG. INVERSAS

As demonstrações das fórmulas ficam como exercício.