Capítulo 3
REGRAS DE DERIVAÇÃO
As funções encontradas até
agora podem
ser descritas expressando-se uma
variável explicitamente em termos de
outra.
Por exemplo,
ou y =
x sen
x
ou, em geral, y = f (x).
3
1
3.5
Derivação Implícita
Nesta seção, nós aprenderemos sobre: Os objetivos dos modelos matemáticos.
DERIVAÇÃO IMPLÍCITA Equação 1 e 2
Algumas funções são definidas
implicitamente
por uma relação entre x ey, tal como
x2 + y2 = 25
ou
DERIVAÇÃO IMPLÍCITA
Em alguns casos e possível resolver tais equações isolando y como uma função explicita (ou várias funções) de x.
Por exemplo, se resolvermos a Equação 1 isolando y, obteremos logo, duas das funções determinadas pela
Equação implícita 1 são e
2 25 y = ± − x 2 ( ) 25 f x = − x
DERIVAÇÃO IMPLÍCITA
Os gráficos de f e g são os semicírculos superior e inferior do círculo x2 + y2 = 25
DERIVAÇÃO IMPLÍCITA
Não e fácil resolver a Equação 2 e escrever
y explicitamente como uma função de x à
mão.
Para um sistema de computação algébrica não há problema, mas as expressões
FÓLIO DE DESCARTES
Não obstante, (2) é a equação da curva
chamada fólio de Descartes, mostrada na figura, e implicitamente define y como
DERIVAÇÃO IMPLÍCITA
Os gráficos de três dessas funções estão
representados na abaixo.
DERIVAÇÃO IMPLÍCITA
Quando dizemos que f é uma função
definida implicitamente pela Equação 2, isso significa que a equação
x3 + [ f (x)3] = 6x f (x)
é verdadeira para todos os valores de x no domínio de f.
MÉTODO DE DERIVAÇÃO IMPLÍCITA
Felizmente não precisamos resolver uma equação e escrever y em termos de x para encontrar a derivada de y.
Em vez disso, podemos usar o método da
derivação implícita, que consiste em
derivar ambos os lados da equação em relação a x e então isolar y’ na equação resultante.
MÉTODO DE DERIVAÇÃO IMPLÍCITA
Nos exemplos e exercícios desta seção suponha sempre que a equação dada determine y implicitamente como uma função derivável de x de forma que o
método da derivação implícita possa ser aplicado.
DERIVAÇÃO IMPLÍCITA EXEMPLO 1
a. Se x2 + y2 = 25, encontre .
b. Encontre uma equação da tangente ao círculo x2 + y2 = 25 no ponto (3, 4).
dy
dx
DERIVAÇÃO IMPLÍCITA EXEMPLO 1a
a. Derive ambos os lados da equação
x2 + y2 = 25: 2 2 2 2
(
)
(25)
(
)
(
)
0
d
d
x
y
dx
dx
d
d
x
y
dx
dx
+
=
+
=
DERIVAÇÃO IMPLÍCITA EXEMPLO 1a 2 2 ( ) ( ) 2 d d dy dy y y y dx = dy dx = dx dy x dx = − y
Lembrando que y é uma função de x e usando a Regra da Cadeia, temos:
Assim,
Agora, isole dy/dx nesta equação:
2x 2y dy 0
dx
DERIVAÇÃO IMPLÍCITA EX. 1b - Sol.1
b. No ponto (3, 4) temos x = 3 e y = 4; logo:
Uma equação da reta tangente ao círculo em (3, 4) é, portanto: ou
3
4
dy
dx
= −
DERIVAÇÃO IMPLÍCITA EX. 1b - Sol.2
b. Resolvendo a equação x2 + y2 = 25,
obtemos .
O ponto (3, 4) está sobre o semicírculo superior , e assim vamos
considerar a função . 2 25 y = ± − x 2 25 y = − x 2 ( ) 25 f x = − x
DERIVAÇÃO IMPLÍCITA EX. 1b - Sol.2
Derivando ƒ, usando a Regra da Cadeia, temos 2 1/ 2 2 1 2 2 1/ 2 1 2 2 '( ) (25 ) (25 ) (25 ) ( 2 ) 25 d f x x x dx x x x x − − = − − = − − = − −
DERIVAÇÃO IMPLÍCITA EX. 1- Sol. 2b
Logo, e, como na
Solução 1, uma equação da reta tangente é 3x + 4y = 25. 2 3 3 '(3) 4 25 3 f = − = − −
OBSERVAÇÃO
A expressão dy/dx = -x/y na Solução 1 dá a derivada em termos de x e y.
Isso está correto independentemente de qual função y fique determinada pela
OBSERVAÇÃO
Por exemplo, para temos: enquanto para temos 2 ( ) 25 y = g x = − − x 2 2 25 25 dy x x x dx = − = −y − − x = − x 2 ( ) 25 y = f x = − x 2
25
dy
x
x
dx
= − = −
y
−
x
DERIVAÇÃO IMPLÍCITA EXEMPLO 2
a. Encontre y’ se x3 + y3 = 6xy.
b. Encontre a reta tangente ao folio de
Descartes x3 + y3 = 6xy no ponto (3, 3).
c. Em quais pontos do primeiro quadrante a reta tangente é horizontal?
DERIVAÇÃO IMPLÍCITA EXEMPLO 2a
a. Derivando ambos os lados de
x3 + y3 = 6xy em relação a x, considerando y
como uma função de x e usando a Regra da Cadeia no termo y3 e a Regra do Produto no
termo 6xy, obtemos
3x2 + 3y2y’ = 6xy’ + 6y
DERIVAÇÃO IMPLÍCITA EXEMPLO 2a
Agora vamos isolar y’:
2 2 2 2 2 2
' 2
'
2
(
2 ) '
2
2
'
2
y y
xy
y
x
y
x y
y
x
y
x
y
y
x
−
=
−
−
=
−
−
=
−
DERIVAÇÃO IMPLÍCITA EXEMPLO 2b
b. Quando x = y = 3,
e uma olhada na figura confirma que este e um valor razoável para a inclinação em (3,3).
Logo, uma equação da
tangente ao fólio em (3, 3) é y - 3 = -1(x - 3) ou x + y = 6. 2 2
2 3 3
'
1
3
2 3
y
=
⋅ −
= −
− ⋅
DERIVAÇÃO IMPLÍCITA EXEMPLO 2c
c. A reta tangente é horizontal se y’ = 0. Usando a expressão de y da parte (a)
vemos que y’ = 0 quando 2y - x2 = 0 (desde
que y2 - 2x = 0).
Substituindo y = ½ x² na equação da curva, obtemos x³ + ( ½ x²)³ = 6x ( ½ x²) que se
DERIVAÇÃO IMPLÍCITA EXEMPLO 2c
Como x ≠ 0 no primeiro quadrante, temos
x³ = 16.
Se x = 161/3 = 24/3, então y = ½ (28/3) = 25/3.
Assim, a tangente é horizontal em (24/3, 25/3),
DERIVAÇÃO IMPLÍCITA EXEMPLO 2c
Olhando a figura vemos que nossa resposta é razoável.
Obs 2: Há uma fórmula para as três raízes de uma equação
cúbica que é semelhante a
fórmula quadrática, mas muito mais complicada.
OBSERVAÇÃO 2
Se usarmos essa fórmula (ou um SCA) para resolver a equação x³ +y³ = 6xy para y em termos de x, vamos obter as três funções determinadas pela equação:
e 3 6 3 3 6 3 1 1 1 1 3 3 2 4 2 4 ( ) 8 8 y = f x = − x + x − x + − x − x − x 3 6 3 3 6 3 1 3 1 1 3 1 1 2 ( ) 3 2 4 8 2 4 8 y = ⎡⎢− f x ± − ⎛⎜ − x + x − x − − x − x − x ⎞⎟⎤⎥ ⎝ ⎠ ⎣ ⎦
OBSERVAÇÃO 2
Essas são as três funções cujos gráficos estão na Figura foram mostrados
OBSERVAÇÃO 2
Você pode ver que o método da derivação implícita poupa uma enorme quantidade de trabalho em casos como este.
OBSERVAÇÃO 2
Além disso, a derivação implícita funciona de forma igualmente fácil em equações como
y5 + 3x2y2 + 5x4 = 12
para as quais é impossível encontrar uma
DERIVAÇÃO IMPLÍCITA EXEMPLO 3
Encontre y’ se sen(x + y) = y² cos x.
Solução: Derivando implicitamente em relação a x e lembrando que y é uma função de x, obtemos cos(x + y) . (1 + y’ ) = y² (-sen x) + (cos x)(2yy’ ) Observe que usamos a Regra da Cadeia no lado
esquerdo e as Regras da Cadeia e do Produto no lado direito.
DERIVAÇÃO IMPLÍCITA EXEMPLO 3
Juntando os termos que envolvem y obtemos
DERIVAÇÃO IMPLÍCITA EXEMPLO 3
A figura, feita com o comando implicit-plotting de um SCA, mostra parte da curva
sen(x + y) = y² cos x.
Como uma verificação de
nossos cálculos, observe que
y’ = -1 quando x = y = 0, e no
gráfico parece que a inclinação e de aproximadamente -1 na origem.
DERIVAÇÃO IMPLÍCITA
O exemplo seguinte ilustra como descobrir a segunda derivada de uma função
DERIVAÇÃO IMPLÍCITA EXEMPLO 4
Encontre y” se x4 + y4 = 16.
Solução: Derivando a equação implicitamente em relação a x, obtemos
4x³ + 4y³y’ = 0 Isolando y’ obtemos
3 3 ' x y y = −
DERIVAÇÃO IMPLÍCITA EX. 4 – Equação 3
Para encontrar y” derivamos esta expressão,
usando a Regra do Quociente e lembrando que
y é uma função de x: 3 3 3 3 3 3 3 2 3 2 3 2 6 ( / )( ) ( / )( ) '' ( ) 3 (3 ') d x y d dx x x d dx y y dx y y y x x y y y ⎛ ⎞ − = ⎜− ⎟ = − ⎝ ⎠ ⋅ − = −
DERIVAÇÃO IMPLÍCITA EXEMPLO 4
Se agora substituirmos a Equação 3 nesta expressão, obtemos 3 2 3 3 2 3 6 2 4 6 2 4 4 7 7 3 3 '' 3( ) 3 ( ) x x y x y y y y x y x x y x y y ⎛ ⎞ − ⎜ − ⎟ ⎝ ⎠ = − + + = − = −
DERIVAÇÃO IMPLÍCITA EXEMPLO 4
Mas os valores de x e y devem satisfazer a equação original x4 + y4 = 16.
Assim, a resposta se simplifica para:
2 2 7 7 3 (16) '' x 48 x y y y = − = −
DER. DAS FUNÇÕES TRIGOMÉTRICAS INVERSAS
As funções trigonométricas inversas foram revisadas na Seção 1.6. Discutimos suas continuidades na Seção 2.5 e suas
assíntotas na Seção 2.6.
Aqui, a derivação implícita será usada para determinar as derivadas das funções
DER. DAS FUNÇÕES TRIGOMÉTRICAS INVERSAS
De fato, qualquer que seja a função f
derivável e injetora, pode ser demonstrado que sua função inversa, f -¹, é também
derivável, exceto onde suas tangentes são verticais.
Isso é plausível, pois o gráfico de uma função derivável não possui bicos ou dobras.
DERIVADA DA FUNÇÃO INVERSA DE SENO
Lembre-se de que a função inversa da função seno foi definida por:
Derivando sen y = x implicitamente em relação a x obtemos:
DERIVADA DA FUNÇÃO INVERSA DE SENO
Agora cos y ≥ 0, uma vez que -π/2 ≤ y ≤ π/2, logo:
DERIVADA DA FUNÇÃO INVERSA DE SENO
A fórmula para a derivada da função arco
tangente é
deduzida de maneira análoga.
Se y =
tg
-1x, então tg
y =
x.
DERIVADA DA FUNÇÃO INVERSA DE SENO
Derivando essa última equação
DERIVADA DA FUNÇÃO TRIG. INVERSA EXEMPLO 5
Derive
a.
y =
1/ sen
-¹X
DERIVADA DA FUNÇÃO TRIG. INVERSA EXEMPLO 5a
DERIVADA DA FUNÇÃO TRIG. INVERSA EXEMPLO 5b
DERIVADA DA FUNÇÃO TRIGONOMÉTRICA INVERSA
As funções trigonométricas inversas que ocorrem com mais frequência são aquelas que acabamos de discutir.
As derivadas das quatro funções
remanescentes estão dadas na tabela a seguir.
DERIVADAS DAS FUNÇÕES TRIG. INVERSAS
As demonstrações das fórmulas ficam como exercício.