Lista4-EletroI-2017-2

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LISTA - ELETROMAGNETISMO I

Instituto de Física - UFRJ - Prof. C. Farina - 2017-2

Problemas obrigatórios: 1, 5, 8, 9, 14 e 15

Data de entrega: 17 de outubro de 2017

1. Pode-se mostrar que a distribuição de carga em cada face de um disco condutor de raio a em equilíbrio eletrostático com carga elétrica total q é dada por σ(ρ) = _4πaq (a2 _{− ρ}2₎−1/2_{, onde}

ρ =√x2_{+ y}2_{é a distância de um ponto qualquer P (x, y, z) ao eixo}OZ. Determine o potencial eletrostático em qualquer ponto da região do espaço onde r > a.

Sugestão: calcule, inicialmente, o potencial exato no eixo OZ (para z > a) fazendo uma expansão de (ρ2 + z2)−1/2 em potências de ρ/z e integrando termo a termo com o auxílio da seguinte representação integral da função Beta de Euler,

B(m + 1, n + 1) := Γ(m + 1)Γ(n + 1)

Γ(m + n + 2) =

∫ ₁

0

tm(1− t)ndt . (1)

A partir desse resultado, obtenha os coeficientes que aparecem na expressão da solução para

V (r, θ) fora do eixo, isto é, em

V (r, θ) = ∞ ∑ ℓ=0 Bℓ rℓ+1Pℓ(cosθ) . (2)

2. Uma caixa cúbica consiste de cinco faces metálicas soldadas entre si, e mantidas em um poten-cial nulo, e uma face superior, também metálica, mas isolada das outras faces da caixa e mantida em um potencial constante não-nulo igual a V0, como ilustra a figura. Seja L o comprimento de cada aresta da caixa e suponha ainda que não haja cargas no interior da caixa. Considere a localização e orientação da caixa como as indicadas na figura.

FIGURA

(a) Determine o potencial eletrostático dentro da caixa.

(b) Caso a superfície da caixa tivesse mais de uma face mantida em um potencial diferente de zero, qual seria a solução do problema?

3. O potencial eletrostático em uma superfície esférica de raio R é dado por V0(θ) = k cos3θ,

k > 0. Suponha que não haja cargas dentro ou fora dessa superfície.

(a) Encontre o potencial eletrostático dentro e fora da superfície esférica. (b) Determine a densidade superficial de cargas na superfície esférica.

Legen-4. Considere uma casca esférica metálica de raio R que tem seu hemisfério superior mantido a um potencial constante V0(V0 > 0), e o seu hemisfério inferior (obviamente isolado do hemisfério superior) mantido ao potencial constante−V0, isto é,

V (r = R, θ) = V0; para 0≤ θ ≤ π/2

V (r = R, θ) = −V0; para

π

2 < θ≤ π. (3)

Suponha que não haja cargas dentro ou fora da casca metálica. (a) Calcule o potencial eletrostático dentro e fora da casca esférica.

(b) Escreva explicitamente os três primeiros termos das soluções encontradas para dentro e fora da casca.

(c) Descreva como você faria para determinar a distribuição superficial de cargas na superfície esférica.

5. Considere uma coroa esférica (região entre duas superfícies esféricas concêntricas) condutora , de raio interno R1 e raio externo R2, mantida em um potencial nulo e um dipolo elétrico puntiforme de momento de dipolo p localizado no centro dessa coroa esférica (portanto, no centro da cavidade esférica de raio R1). Escolha os eixos cartesianos com origem no centro da coroa esférica e de tal modo que p = pˆz.

(a) Calcule o potencial eletrostático dentro da cavidade, isto é, na região em que 0≤ r < R1. (b) Mostre que a densidade superficial de carga induzida na superfície da cavidade (r = R1)

é dada por σ(θ) =−_4πR3p3 1cosθ.

(c) Determine o campo eletrostático no interior da cavidade produzido apenas pelas cargas induzidas na superfície da cavidade e interprete o resultado.

(d) Como o campo fora da cavidade é nulo (explique porque isso ocorre), podemos concluir que o campo prodduzido pelas cargas induzidas na superfície da cavidade (r = R1), calculado no item (b), anula na região r > R1 o campo produzido pelo dipolo elétrico no centro da cavidade. Verifique esse resultado explicitamente calculando, por integração direta, o campo produzido pelas cargas induzidas na superfície da cavidade. Faça isso apenas para pontos do eixoOZ tais que z > R1.

6. Considere um plano condutor aterrado e localizado em z = 0 e suponha que uma carga punti-forme q esteja localizada no ponto (0, 0, zq).

(a) Utilizando o método das imagens, calcule o potencial eletrostático na região z > 0. (b) Determine a densidade superficial de carga induzida no plano condutor.

(c) Considere uma linha de campo do campo eletrostático desse sistema que saia horizontal-mente da carga q (isto é, que saia paralela ao plano OX Y), e seja P o ponto onde ela atinge o plano condutor. Calcule a distância entre P e o eixoOZ.

(e) Determine a energia eletrostática da configuração descrita no enunciado calculando dire-tamente o trabalho externo para montar o sistema a partir da configuração padrão (carga infinitamente afastada do plano condutor). Verifique que o resultado é igual à metade da energia entre q e sua carga imagem−q. Baseado nesse resultado, calcule a energia eletros-tática associada apenas à distribuição superficial de cargas induzidas no plano condutor. sugestão: uma vez que as forças eletrostáticas são conservativas, pode-se escolher con-venientemente o processo pela qual o sistema é levado da configuração inicial para a configuração final. Explore esse fato na solução desse item.

(f) Calcule, novamente, a energia eletrostática do sistema baseando-se, agora, na fórmula

U = ϵ0

2 ∫

E2d3r e em argumentos de simetria.

7. Dois planos condutores semi-infinitos, ambos submetidos ao potencial zero, formam entre si um ângulo reto. Escolha os eixos cartesianos de modo que um deles coincida com o semiplano definido por x = 0 e y ≥ 0, e o outro, com o semiplano definido por y = 0 e x ≥ 0. Na região entre os semiplanos está localizada uma carga puntiforme q, no ponto (a, b, 0), com a, b > 0.

(a) Utilizando o método das imagens, calcule o potencial eletrostático entre as placas. (b) Calcule a força sobre a carga q na configuração descrita no enunciado.

(c) Calcule a energia eletrostática da configuração descrita no enunciado. Verifique que o resultado é igual à metade da energia eletrostática entre q e todas as cargas imagens. (d) Calcule, novamente, a energia eletrostática do sistema baseando-se, agora, na fórmula

U = ϵ0

2 ∫

E2_d3_{r e em argumentos de simetria.} 8. Método das imagens sem mágica: carga-esfera

Considere uma casca esférica metálica de raio R aterrada, isto é, mantida em um potencial nulo, e uma partícula de carga elétrica q > 0 em seu exterior. Escolha os eixos cartesianos com origem no centro da casca e tais que a partícula esteja localizada no ponto (0, 0, zq).

(a) Mostre que a solução do problema pode ser escrita na forma

V (r) = q

4πϵ0 1

|r − r′_| + Vh(r) , (4)

desde que Vh(r) satisfaça à equação de Laplace,∇2Vh(r) = 0, e à condição de contorno

Vh(r)|r=R=− q 4πϵ0 { 1 |r − r′_| } r=R . (5)

(b) Escreva a solução genérica para Vh(r, θ) na forma usual, como na Eq.(2), e ao impor a

condição de contorno anterior, determine os coeficientes Bℓdessa expansão. Interprete o

resultado à luz do método das imagens, ou seja, identifique o valor da carga imagem qi,

assim como a sua posiçã zi.

(c) Calcule a densidade superficial de cargas induzidas σind(θ) na casca esférica condutora.

CalculeH_r=Rσind(θ)dA e comente o resultado encontrado.

(d) Calcule a força eletrostática Fqexercida pela casca esférica sobre a partícula e mostre que,

9. Efeitos de tamanho finito: carga-esfera condutora carregada

Considere uma casca esférica condutora de raio R mas, agora, suponha que ela tenha uma carga total Q > 0. Suponha, ainda, que uma partícula de carga elétrica q > 0 esteja em sua vizinhança. Escolha os eixos cartesianos com origem no centro da casca e de tal modo que a partícula esteja localizada no ponto (0, 0, zq), com 0≤ zq > R.

(a) Discuta o método das imagens para esse problema. Identifique as imagens e suas respec-tivas posições (sugestão: consulte o livro do Jackson, capítulo 2).

(b) Calcule a força Fq = Fz(zq)ˆz exercida pela casca esférica sobre a partícula de carga q.

(c) Faça um gráfico de Fz(zq)versus zq e o compare com o que seria obtido se a esfera

fosse considerada como uma partícula de carga Q localizada na origem. A partir de seus resultados e dos gráficos desenhados, discuta os efeitos de tamanho finito. No caso em que q = Q, faça uma estimativa para a razão zq/R para a qual a força sobre a partícula (e,

por conseguinte, também a força sobre a casca esférica) é nula.

10. Desafio 4.1: linhas de campo no sistema carga-esfera condutora neutra e isolada

A figura mostra uma esfera condutora de raio R, neutra e isolada, e uma carga puntiforme q mantida em repouso a uma distância d do centro da esfera. Na figura está indicada uma linha de campo do campo eletrostático criado pelo sistema carga-esfera. O ângulo entre essa linha de campo e a reta que liga a carga ao centro da esfera, na posição da carga (ângulo de saída), é θ1. Essa linha atinge a esfera em um ponto P de sua superfície caracterizado pelo ângulo θ2.

q

θ

R

P

d

θ

(a) O que acontece com o ângulo θ2 se trocarmos a carga q por outra q′ > q, ele aumentará, diminuirá ou permanecerá o mesmo? Justifique a sua resposta.

(b) A partir dos dados do problema, determine o ângulo θ2.

(c) Explique em poucas palavras porque existe um valor crítico para o ângulo θ1, denotado por θc, acima do qual as linhas de campo que saem da carga q não atingem a esfera.

(d) Determine o ângulo θc. Deixe bem clara qual a condição utilizada na determinação de θc.

Considere o limite em que a posição da carga q tende para a superfície da esfera. Comente o resultado.

(e) Desenhe algumas linhas de campo desse sistema. Em sua figura, desenhe linhas com θ1 ligeiramente menor e ligeiramente maior do que θc.

11. Método das imagens por inversão de Kelvin

Considere uma casca esférica condutora de raio R aterrada, isto é, mantida em um potencial nulo, e uma partícula de carga elétrica q > 0 mas agora localizada em seu interior. Escolha os eixos cartesianos com origem no centro da casca e tais que a partícula esteja localizada no ponto (0, 0, zq), com 0≤ zq < R.

(a) Utilizando o método de Kelvin, determine o valor da carga imagem, assim como a sua posição, em termos de q, R e zq. Escreva a solução para o potencial eletrostático em

qualquer ponto no interior da casca esférica.

(b) Calcule a densidade superficial de cargas induzidas σind(θ) na casca esférica condutora.

CalculeHr=Rσind(θ)dA e interprete o resultado.

(c) Calcule a força eletrostática Fqexercida pela casca esférica sobre a partícula de carga q.

12. Desafio 4.2: método das imagens via Eq. Poisson para o sistema carga-plano

Considere uma superfície plana infinita, condutora e aterrada, e uma partícula de carga q > 0 em sua vizinhança. Escolha os eixos cartesianos com origem na superfície condutora e de tal forma a partícula esteja localizada no ponto P (0, 0, a), com a > 0.

(a) Utilizando o método de separação de variáveis em coordenadas cilíndricas, mostre que devido à simetria azimutal do problema, assim como à condição de contorno para z →

∞, o potencial eletrostático criado apenas pelas cargas induzidas na superfície condutora

devido à presença da partícula carregada deve ter a forma

Vh(s, z) =

∫ _∞

0

A(k)J0(ks) e−kzdk , (6)

onde J0 é a funcção de Bessel cilíndrica de primeira espécie e Vh(s, z) está sujeito à

condição de contorno Vh(s, z)|z=0=− q 4πϵ0 1 |r − aˆz|    z=0 , (7)

(b) Impondo a condição de contorno escrita em (7), e utilizando a identidade (veja o livro do Lebedev, Eq. 5.15.1) 1 √ s2 _{+ b}2 = ∫ _∞ 0 J0(ks) e−kbdk , (8) mostre que A(k) =− q 4πϵ0 e−ka. (9)

(c) Substituindo (9) em (6) e utilizando novamente a identidade escrita em (8) mostre que

Vh(s, z) = − q 4πϵ0 1 √ s2_{+ (z + a)}2 = − q 4πϵ0 1 |r + aˆz| (10) e interprete o resultado.

13. Desafio 4.3: método das imagens para o sistema carga - 2 planos

O objetivo dessa questão é obter a solução do problema de uma carga puntiforme entre dois planos condutores infinitos, paralelos e aterrados, resolvendo diretamente a Eq. de Poisson, e interpretar a solução à luz do método das imagens1_.

Considere, então, duas superfícies planas e infinitas, condutoras e ambas aterradas, e uma par-tícula de carga q > 0 entre elas. Escolha os eixos cartesianos de tal modo que as superfícies estejam localizadas em z = 0 e z = L, enquanto a partícula esteja na posição (0, 0, a), com 0 < a < L.

(a) Utilizando o método de separação de variáveis em coordenadas cilíndricas, mostre que devido à simetria azimutal do problema, o potencial eletrostático criado apenas pelas car-gas induzidas nas duas superfícies condutoras devido à presença da partícula carregada deve ter a forma

Vh(s, z) = ∫ _∞ 0 J0(ks) [ A(k) e−kz+ B(k) ekz] dk , (11) onde Vh(s, z) está sujeito às condições de contorno

Vh(s, z) z=0 = − q 4πϵ0 1 |r − aˆz|    z=0 ; Vh(s, z) z=L = − q 4πϵ0 1 |r − aˆz|    z=L . (12)

(b) Impondo as condições de contorno anteriores, e usando apropriadamente a ortogonalidade das funções de Bessel, mostre que

A(k) + B(k) = − q 4πϵ0 e−ka; A(k)e−kL+ B(k)ekL = − q 4πϵ0 e−k(L−a). (13) Resolva, então, o sistema de equações e mostre que

A(k) = − q 4πϵ0 {_∞ ∑ n=0 e−k(a+2nL) − ∞ ∑ n=1 ek(a−2nL) } ; B(k) = q 4πϵ0 {_∞ ∑ n=1 e−k(a+2nL) − ∞ ∑ n=1 ek(a−2nL) } . (14)

(c) Substituindo as equações anteriores para A(k) e B(k) na Eq.(11), e utilizando apropria-damente a identidade (8), mostre finalmente que o potencial eletrostático (incluindo o da partícula carregada) pode ser escrito na forma

V (s, z) = q 4πϵ0    ∞ ∑ n=−∞ 1 √ s2_{+ (z}− a − 2nL)2 − ∞ ∑ n=−∞ 1 √ s2_{+ (z + a}− 2nL)2    . (15) Identifique as imagens e suas respectivas posições.

1_{Utilizando o resultado do método das imagens para o sistema formado por uma carga puntiforme e apenas uma}

superfície condutora, pode-se resolver imediatamente esse problema. No entanto, o nosso objetivo aqui é justamente obter esse resultado resolvendo apropriadamente a Eq. de Poisson.

14. Considere uma superfície condutora cilíndrica de raio a e aterrada, cujo eixo de simetria coin-cide com o eixoOZ do sistema de eixos em uso, e que se estende de z = 0 até z = L ≫ a (ou seja, uma superfície cilíndrica cujo extremo superior pode ser considerado no infinito). Essa superfície cilíndrica é fechada em sua parte inferior por um disco condutor que, no entanto, está isolado da superfície cilíndrica, e é mantido no potencial V0 > 0, como ilustra a figura.

FIGURA

(a) Mostre inicialmente, utilizando o método de separação de variáveis em coordenadas cilín-dricas (ρ, ϕ, z), que para problemas como o proposto nesse exercício, as soluções são da forma (simbolicamente) V (ρ, ϕ, z) =∑ k ∑ n [ AnJn(kρ) + BnNn(kρ) ] e±inϕe±kz , (16)

onde k é uma constante real2_{, n um número inteiro maior ou igual a zero e J}

ne Nnsão

as funções de Bessel cilíndricas de primeira e segunda espécies, respectivamente, e que satisfazem à equação diferencial

[ u2 d 2 du2 + u d du + (u 2_{− n}2₎ ] Xn(u) = 0 , (17)

onde Xnpode ser Jnou Nn3.

As funções Jn e Nn são linearmente independentes. As funções Nn, conhecidas como

funções de Neumann (por terem sido introduzidas por Karl G. Neumann em 1867), não são bem comportadas na origem, enquanto todas as Jno são. Vale enfatizar que somente

J0(u) é diferente de zero em u = 0.

(b) Usando a simetria do problema, o fato de que a o potencial é finito na origem e que deve cair a zero para z→ ∞, mostre que a solução desse problema deve ser escrita na forma

V (ρ, z) =∑

ν

Aν0J0(kνρ)e−kνz , (18)

onde os diferentes valores de ν enumeram todos os possíveis kν, cujos valores serão

de-terminados pela imposição da condição de contorno em ρ = a. A determinação das constantes Aν0 será feita com a imposição da condição de contorno na base circular (em

z = 0) da superfície condutora.

(c) Imponto a condição de contorno na superfície cilíndrica, isto é, em ρ = a, mostre que

V (ρ, z) =

∞

∑

m=1

Am0J0(kmρ)e−kmz , (19)

2_{Há probllemas em que k é um imaginário puro.} 3_{As funções J}

n foram estudadas pela primeira vez por Euler, em 1764, em conexão com suas pesquisas sobre as

onde kma é o m-ésimo zero da função de Bessel J0. Impondo, agora, a condição de contorno na base circular da superfície, mostre finalmente que

V (ρ, z) = 2V0 ∞ ∑ m=1 J0(kmρ)e−kmz kmaJ1(kma) . (20)

Sugestão:utilize a ortogonalidade das funções de Bessel,

∫ _a 0 Jn(kmρ)Jn(km′ρ)ρ dρ = a2 2J 2 n+1(km′a)δmm′, (21)

assim como também a relação∫kma

0 uJ0(u) du = uJ1(u)|k0ma.

15. Transformações conformes e solução da Eq. de Laplace em 2 dimensões

O método a ser apresentado é válido somente para problemas de física envolvendo a equação de Laplace com duas vairáveis independentes. É bastante útil em problemas sobre condução de calor, escoamento de fluidos e potencial eletrostático.

Resumo do método

(i) Considere um potencial eletrostático V (x, y) que satisfaça à equação de Laplace em um

certo domínio e esteja submetido a certas condições de contorno na borda desse domínio. Con-sideraremos aqui somente condições de contorno do tipo Dirichlet, em que o valor do potencial é dado na borda por um valor constante. Pode-se mostrar que é sempre possível construir uma função analítica ψ : z 7−→ ψ(z), onde z = x + iy de modo que (é comum chamar ψ(z) de potencial complexo)

ψ(z) = V (x, y) + iU (x, y) . (22)

Note que, dessa forma, V (x, y) e U (x, y) satisfazem às condições de Cauchy-Riemann, a saber,

∂V ∂x = ∂U ∂y e ∂V ∂y =− ∂U ∂x . (23)

Uma função f da variável complexa z é dita analíica no ponto z0se a sua derivada f′(z) existe não só em z0como também em todo ponto z de uma vizinhança de z0. Dizemos que f é analítica em um domínio do plano complexo z se ela é analítica em todos os pontos desse domínio.

(ii) Faz-se, então, uma transformação conforme (transformação por uma função analítica com

derivada não nula), isto é, z 7−→ w = f(z); z = x + iy ; w = u + iv, onde f é analítica

e f′(z)̸= 0. Desse modo, o domínio original na plano xy é mapeado em um novo domínio no plano uv. O potencial complexo ψ(z) fica reescrito como

ψ(z = f−1(w))=: Φ(w) = η(u, v) + iξ(u, v) . (24) Uma vez que Φ(w) é uma função analítica, temos a garantia de que η(u, v) e ξ(u, v) também satisfazem às condições de Cauchy-Riemann,

∂η ∂u = ∂ξ ∂v e ∂η ∂v =− ∂ξ ∂u (25)

e, consequentemente, à equação de Laplace,

∂2_η ∂u2 + ∂2_η ∂v2 = 0 ; ∂2_ξ ∂u2 + ∂2_ξ ∂v2 = 0 . (26)

Obs: pode-se mostrar que uma transformação conforme preserva ângulos em valor absoluto

e sentido entre pares de curvas em cada ponto do domínio. Vale ainda que a imagem de cada pequena figura na proximidade do ponto w0 = f (z0) é “conforme"à figura original na

proximidade do ponto z0, no sentido de que as duas figuras possuem aproximadamente a mesma

forma. No entanto, é bom enfatizar que figuras grandes podem ser transformadas em figuras sem nenhuma semelhança com as originais.

(iii) Para o caso particular de condições de Dirichlet com o potencial constante na borda da

região de interesse, pode-se mostrar que as mesmas condições de contorno continuam sendo satisfeitas por η(u, v) =R⌉Φ(ω), só que agora no novo contorno (mapeado a partir do original). Consequentemente, precisamos resolver∇2η(u, v) = 0, com η(u, v) conhecida no contorno.

O método será conveniente sempre que pudermos descobrir uma transformação conforme que simplifique o problema, ou seja, que simplifique os contorno, já que a equação a ser resolvida permanece a mesma (Eq. de Laplace). De posse da solução para η(u, v), basta retornar às variáveis antigas, isto é: V (x, y) = η(u(x, y), v(x, y)).

Obs: enquanto as expressões V (x, y) = cte nos fornecem as superfícies equipotenciais do

problema, pode-se mostrar que U (x, y) = cte nos fornecem as linhas de campo correspon-dentes. Lembre-se de que U (x, y) é obtida de modo análogo à equação anterior, a saber, U (x, y) = ξ

(

u(x, y).v(x, y) )

e ξ(u, v) é determinada a partir de η(u, v) com o uso das condi-ções de Cauchy-Riemann.

Problema proposto

Duas placas condutoras semi-infinitas, perpendiculares entre si, são mantidas em potenciais distintos (tais placas estão isoladas entre si). Uma delas, a que está localizada no semiplano infinito dado por y = 0, x > 0, é mantida no potencial V1, enquato a outra, localizada no semiplano infinito dado por x = 0, y > 0, é mantida no potencial V2, como ilustra a figura.

FIGURA

(a) Mostre que o potencial eletrostático na região entre as placas (x > 0, y > 0) é dado por

V (x, y) = 2 π(V2− V1) arctan ( y x ) + V1 . (27)

sugestão: faça a transformação w = lnz e mostre que as semiretas y = 0, x > 0 e

x = 0, y > 0 do plano xy são mapeadas respectivamente nas retas v = 0 e v = π/2 do

plano uv (w = u + iv); z = x + iy).

(b) Verique explicitamente que a solução obtida satisfaz à equação∇2_{V (x, y) = 0.}

(c) Desenha algumas superfícies equipotenciais (por simplicidade, apenas suas projeções no plano xy), assim como também algumas linhas de campo do campo eletrostático

corres-16. Considere um disco de raio a, contido no plano OX Y, e cujo centro coincide com a origem. Embora a carga total do disco seja nula, sua metade que se encontra na região y > 0 está carregada uniformemente com carga positiva q, enquanto a sua outra metade está carregada uniformemente com carga negativa −q. Tomando como ponto base a origem, calcule o 1o

termo não nulo da expansão em multipolos do potencial eletrostático em um ponto arbitrário

P (r, θ, ϕ), com r > a.

17. Considere um disco de raio a, contido no planoOX Y, e cujo centro coincide com a origem. O disco está uniformemente carregado com carga total q.

(a) Tomando como ponto base a origem, calcule o termo de quadrupolo do potencial eletros-tático criado pelo disco em um ponto arbitrário P (r, θ, ϕ), com r > a.

(b) Calcule por intregação direta o potencial criado pelo disco em um ponto de seu eixo de simetria e mostre que o 2o termo da expansão em potências de a/z (supondo a/z < 1) dessa expressão coincide com a encontrada no item anterior se fizermos θ = 0.

18. A carga q está distribuída uniformemente ao longo do eixoOZ de z = −a até z = a, (a > 0). Calcule o potencial eletrostático na região do espaço em que r > a e mostre que os primeiros termos são dados por

V (r, θ) = q 4πϵ0 1 r { 1 + 1 3 ( a r )2 P2(cosθ) + 1 5 ( a r )4 P4(cosθ) + ... } (28)

19. Desafio 4.3 Supressao da interação coulombiana entre placas condutoras sugestão: consulte o artigo de Jon Pumplin, Am. J. Phys. 37, 737 (1969).