Matrizes e Criptografia: contribuições de uma atividade sobre o Whatsapp no Ensino Médio

(1)

MATRIZES E CRIPTOGRAFIA: CONTRIBUIÇÕES DE UMA ATIVIDADE

SOBRE O WHATSAPP NO ENSINO MÉDIO

MATRICES AND CRYPTOGRAPHY: CONTRIBUTIONS OF AN ACTIVITY ABOUT WHATSAPP IN HIGH SCHOOL

Lalesca Paula de Oliveira Rodrigues

Universidade Federal do Espírito Santo, lalesca-oliveira@hotmail.com

Lauro Chagas e Sá

Instituto Federal do Espírito Santo, lauro.sa@ifes.edu.br

Resumo

Proporcionar atividades com aplicabilidade dos conteúdos matemáticos vem sendo uma das grandes exigências dos alunos da educação básica. O conteúdo de matrizes, quando abordado na segunda série do ensino médio, é um dos alvos de questionamentos pelos estudantes quanto à sua utilidade prática. Diante das transformações e inovações tecnológicas, conteúdos relacionados a este tema parecem ganhar mais a atenção dos alunos, mostrando-se como uma possível estratégia de ensino para o professor de Matemática. Nesse sentido, foi utilizado o tema criptografia por meio da metodologia da Sequência Fedathi, complementada por fichas de atividades envolvendo o WhatsApp, para provocar os discentes ao conhecimento. Por meio de gravações da aula, fotos, diário de bordo e material produzido pelos alunos, foi possível constatar o estímulo à curiosidade, à participação ativa dos estudantes nas aulas e uma nova atribuição de significado ao conteúdo de matrizes.

Palavras-chave: Educação Matemática. Ensino Médio. Criptografia. Matrizes. Abstract

Providing activities with applicability of mathematical content has been one of the great demands of students of basic education. Matrix content, when addressed in the second grade of high school, is one of the targets of questioning by students about its practical utility. Given the transformations and technological innovations, content related to this theme seems to gain more attention from students, proving to be a possible teaching strategy for the mathematics teacher. In this sense, the theme cryptography was used through the methodology of the Fedathi Sequence, complemented by worksheets involving WhatsApp, to provoke the students to the knowledge. Through class recordings, photos, logbook and material produced by the students, it was possible to verify the stimulus to curiosity, the active participation of the students in the classes and a new attribution of meaning to the content of matrices.

(2)

Introdução

Com a disseminação da tecnologia e os meios de comunicação, a sociedade passou a utilizar os meios digitais com mais autonomia, buscando informações, expondo opiniões e configurando uma nova maneira de interagir socialmente. Nesse sentido, um novo perfil de estudante também está sendo constituído, movido pela curiosidade e desenvolvimento do senso crítico. Ao chegarem ao ensino médio, os alunos começam a amadurecer a ideia da profissão que pretendem seguir. Muitos discentes já ingressam no mercado de trabalho por meio de estágios, outros buscam instituições com ensino profissionalizante integrado ao ensino médio. Com isso, o cotidiano do professor de matemática atualmente é composto por questionamentos no que diz respeito à aplicação dos conteúdos que estão sendo ensinados, na tentativa de associá-los à sua possível profissão. Os Parâmetros Curriculares Nacionais – Ensino Médio (BRASIL, 1999, p. 40) apontam a importância de saber Matemática:

Em um mundo onde as necessidades sociais, culturais e profissionais ganham novos contornos, todas as áreas requerem alguma competência em Matemática e a possibilidade de compreender conceitos e procedimentos matemáticos é necessária tanto para tirar conclusões e fazer argumentações, quanto para o cidadão agir como consumidor prudente ou tomar decisões em sua vida pessoal e profissional.

Desse modo, as vivências no ambiente escolar como professor nos desafiam a transformar a linguagem científica numa linguagem que possibilite aos alunos compreender a realidade que os cerca e utilizar esse conhecimento ao longo de sua vida. Um dos tópicos de Matemática que constam no Currículo Básico da Escola Estadual de nosso estado (ESPÍRITO SANTO, 2009) e que motivam indagações quando abordados é o conteúdo matrizes. No currículo estadual, ele se apresenta dentro do campo “números e operações”, com a descrição “noções de matrizes: conceitos e representações” e é indicado para ser ensinado aos alunos da segunda série do ensino médio.

Os professores, muitas vezes por influência dos livros didáticos, recorrem às tabelas de dupla entrada para atribuir significado ao conteúdo de Matrizes, mas outras articulações também podem ser utilizadas para interligar o ensino e a aprendizagem de matrizes (SÁ; MILLI; PALMEIRA, 2017). Por exemplo, diante de uma sociedade envolta por tecnologia e internet, abordagens que remetem a esses temas parecem despertar maior interesse dos alunos. Desta forma, o professor pode utilizar esses temas como estratégia para aproximar o estudante aos conceitos matemáticos, como as Matrizes, além de atender às Orientações Curriculares para o Ensino Médio que mencionam: “A articulação da Matemática ensinada no ensino médio com temas atuais da ciência e da tecnologia é possível e necessária [...]” (BRASIL, 2006, p. 95).

O acesso à internet agiliza a transmissão de dados e informações, mas expõe os cidadãos a riscos, pois os usuários das redes de dados fornecem senhas de acesso a contas bancárias, dados pessoais, fotos, entre outros, que podem ser usados de forma indesejada por invasores (hackers criminosos). Para a segurança desses dados que navegam pela internet, é utilizado o processo de criptografia que vai transformar as informações em mensagens codificadas, dificultando a leitura de pessoas não autorizadas (LOUREIRO, 2014).

(3)

A criptografia é uma ciência que visa preservar uma informação, de modo que somente o emissor e o receptor possam compreendê-la. Atualmente, tem como principal missão proteger informações referentes às transações bancárias e comerciais que transitam na rede de dados (SANTOS, 2015). Há estudos que evidenciam o uso da criptografia como tema motivacional ao ensino de conteúdos matemáticos, a saber: função linear (LITOLDO; BRITO, 2016), função quadrática (LOUREIRO, 2014), função exponencial (OLGIN, 2011), estatística (SOUSA; PIRES, 2018) e matrizes (JESUS, 2013). Em uma dessas pesquisas, Olgin (2011, p. 31) assim aborda a criptografia:

Trabalhar com o tema proposto pode permitir que o estudante desenvolva habilidades que podem ser utilizadas no ambiente de trabalho e no convívio em sociedade, pois é um tema atual, de grande utilização, aplicado a várias situações da vida moderna e adapta-se aos conteúdos do Currículo de Matemática do Ensino Médio.

De modo similar a Olgin (2011), Rosseto (2018) enfoca que a criptografia como estratégia para o ensino de Matemática possibilita atribuir significado ao conceito estudado, motivando a aprendizagem e reforçando ainda a importância de usar assuntos ligados à realidade do aluno para estimular seu empenho nas aulas. Nessa mesma perspectiva, Groenwald, Franke e Olgin (2009) entendem que o tema criptografia pode contribuir para o enriquecimento das aulas de Matemática, por possibilitar ao professor atividades e jogos de codificação e decodificação, envolvendo os conteúdos que são trabalhados no ensino básico. Também concordamos com Jesus (2013, p. 78), ao dizer que, “[...] no ensino de matrizes, a criptografia apresenta-se com muita aplicabilidade coerente, interessante e atual da matemática, o que propicia aos estudantes uma maior motivação para o aprendizado desses conceitos”. Ou seja, os estudos de Rosseto (2018), Groenwald, Franke e Olgin (2009) Jesus (2013) indicam que a criptografia possibilita ao professor fazer novas aplicações dos conteúdos abordados em sala de aula, atribuindo mais dinamismo às aulas e estímulo aos alunos para a construção de novos saberes.

Ao consultar os Livros Didáticos de Matemática, observamos que a criptografia é apresentada na obra de Dante (2013) como mais uma forma de aplicação do conteúdo de matrizes, o que motivou a desenvolver uma investigação. Assim, o artigo em tela constitui-se como recorte de uma pesquisa de pós-graduação lato constitui-sensu em Ensino de Matemática para o Ensino Médio, realizada na Universidade Federal do Espírito Santo. Tivemos como objetivo principal investigar contribuições de atividades propostas com criptografia, associadas ao aplicativo WhatsApp1_{, na aprendizagem matemática dos alunos de ensino}

médio.

Nas seções seguintes, são apresentadas algumas reflexões gerais sobre matrizes e criptografia, como a presença deste conteúdo nos livros didáticos e alguns avanços da criptografia. Em seguida, abordamos a metodologia da Sequência Fedathi, com a descrição de cada etapa. Depois, apresentamos o desenvolvimento da atividade e as fichas de atividades elaboradas com base no WhatsApp. E, por fim, são feitas as reflexões sobre a prática que detalham as aulas e o comportamento dos alunos perante a atividade.

1 _{WhatsApp é um aplicativo multiplataforma de mensagens instantâneas e chamadas de voz para}

(4)

Algumas reflexões sobre matrizes e criptografia

Estudos como Silva (2010) e Lopes (2012) indicam que, desde o Movimento da Matemática Moderna – MMM, o conteúdo de matrizes passou a ter maior prestígio na educação matemática escolar. Com isso, várias obras didáticas foram surgindo, a fim de melhor organizar os conteúdos e propor abordagens mais amplas. De acordo com Lopes (2012), os livros didáticos que abordavam o tema matrizes no período da Reforma Campos, Reforma Capanema e Portaria de 1951 restringiam a breves definições de matriz, matriz quadrada, matriz retangular, matriz diagonal, matrizes completas e incompletas de um sistema linear, além de ocuparem poucas páginas nos livros didáticos e se apresentarem com pouca importância no ensino de Matemática. Segundo o mesmo autor, com a difusão das concepções do MMM no início dos anos 1960 e a realidade marcada por avanços científicos e tecnológicos, a posição ocupada pelas matrizes nos livros didáticos foi modificada, mostrando-se como um conteúdo relevante, tendo um capítulo independente para o seu desenvolvimento e apresentando-se como um novo dispositivo na resolução dos sistemas lineares.

Nas obras didáticas atuais, notamos conexões com as transformações geométricas no plano, aplicações à computação, programação linear e criptografia. No entanto, ainda é perceptível a abordagem técnica e fragmentada em algumas obras, conforme alerta o Guia do Plano Nacional do Livro Didático de 2018 (BRASIL, 2017). De acordo com o documento, a criptografia aparece como aplicação ao conteúdo de matrizes somente no livro didático “Matemática – contexto & aplicações” (DANTE, 2019) o que convida o professor a explorar esse assunto de forma contextualizada e ao aluno, se possível, a fazer novas conexões do saber matemático.

Originária do grego, a palavra criptografia significa ciência de escrever mensagens em códigos. Muito antiga, há registros de mensagens criptografadas na escrita hieroglífica dos egípcios e, também, dos romanos que utilizavam códigos para comunicar os planos de batalha (TAMAROZZI, 2001). Esses códigos romanos foram utilizados pelo imperador Júlio César, na Guerra de Gália, quando realizou um processo de substituição, o qual denominamos hoje como Cifra de César. Outras cifras, como a de Vigenère (1562), foram surgindo principalmente quando as comunicações começaram, com mais rapidez, a fluir por meio do telégrafo (em 1842) e do rádio (em 1935) (LITOLDO; BRITO, 2016). Outros importantes marcos na história da criptografia foram o surgimento da máquina Enigma, em 1918, durante a Primeira Guerra Mundial e o desenvolvimento do sistema RSA2_{, por}

volta de 1977. Este último, garantindo trocas de informações seguras, sendo utilizado até hoje em compras e vendas on-line, transações bancárias, entre outros.

Como podemos observar, a criptografia exerce uma importante função na Era da Informação que vivemos. Utilizamos a internet para a troca de e-mails, compras, envio de mensagens instantâneas, com o aplicativo WhatsApp, entre outras atividades que exigem segurança nas transações e que, portanto, utilizam a criptografia. Nesse sentido, essa escrita pode ser percebida como estratégia de ensino de Matemática, por fazer parte do 2 _{O acrônimo RSA é composto das letras iniciais dos sobrenomes de Ron Rivest, Adi Shamir e} Leonard Adleman, primeiros a descrever o algoritmo, em 1978. Para outras informações sobre o método, sugerimos leitura de Morais Filho e Malagutti (2013).

(5)

cotidiano dos alunos e possibilitar investigações envolvendo diversos conceitos. Sobre a contextualização dos conteúdos é oportuno frisar que:

[...] é preciso que os conteúdos não estejam isolados entre si nem em relação às demais disciplinas. Desse modo, é necessário sempre construir linhas de articulação entre os saberes ensinados. A articulação exige ainda uma explicitação de vínculos do saber ensinado com situações do cotidiano. Além do mais, para desenvolver o significado do saber, o professor deve levar em conta a contextualização desse saber [...] (PAIS, 2013, p. 17)

Essa estratégia discutida por Pais (2013) tende a conquistar o aluno quando ele passa a ver os conteúdos de Matemática como algo útil e necessário, desconstruindo a ideia de um conteúdo a ser estudado apenas para obter a pontuação na avaliação escolar. Sobre esse comportamento discente, Ponte, Brocardo e Oliveira (2016, p. 23) defendem que:

Na disciplina de Matemática, como em qualquer outra disciplina escolar, o envolvimento ativo do aluno é uma condição fundamental da aprendizagem. O aluno aprende quando mobiliza os seus recursos cognitivos e afetivos com vista a atingir um objetivo [...].

Desse modo, a criptografia pode ser entendida como um tema gerador de investigação matemática e facilitador de ensino, por se apresentar no cotidiano dos estudantes, mesmo que, muitas vezes, de forma implícita, e possibilitar um envolvimento construtivo e prazeroso.

A sequência Fedathi como metodologia de ensino

A Sequência Fedathi3 _{é uma proposta teórico-metodológica elaborada pelo}

professor doutor Hermínio Borges Neto. Foi desenvolvida em 1997 e aperfeiçoada nos anos seguintes, no Laboratório de Pesquisa Multimeios da Faculdade de Educação da Universidade Federal do Ceará (SOUSA, 2015). De acordo com Sousa et al. (2013, p. 18), a partir dessa metodologia, esperamos possibilitar ao aluno

[...] a elaboração significativa de conceitos, mediante a solução de problemas, cujas produções serão o objeto sobre o qual o professor vai conduzir a mediação, a fim de levá-lo a constituir o conhecimento em jogo; nesse processo, o docente deve levar em conta as experiências vivenciadas pelos alunos e seus conhecimentos anteriores acerca das atividades desenvolvidas [...].

Assim, a Sequência Fedathi é dividida em quatro etapas: tomada de posição, maturação, solução e prova. Na primeira etapa – tomada de posição – o professor vai propor um problema ou selecionar uma situação proposta pelos alunos, relacionada ao conhecimento que se pretende ensinar. É importante contextualizar o problema a ser trabalhado, “[...] a fim de situar os alunos sobre o universo matemático que será explorado [...]” (SOUSA; et al., 2013, p. 21). O autor destaca, ainda, a importância de realizar um

3 _{O nome FEDATHI foi uma homenagem do doutor Hermínio Borges Neto aos seus três filhos:}

(6)

diagnóstico dos pré-requisitos que os estudantes precisam ter, referente ao saber que pretende ensinar, para posteriormente envolver a classe com o trabalho que vão executar.

A segunda etapa – maturação – consiste na discussão entre o professor e os alunos a respeito do problema proposto. Os estudantes devem levantar os dados e fazer as relações do problema com o solicitado na atividade. Nesta fase, os questionamentos apresentam-se como de grande relevância, por promover o desenvolvimento intelectual dos alunos e propiciar ao professor a certeza de que estão fazendo relações com os conteúdos ensinados (SOUSA; et al., 2013).

Na terceira etapa – solução – sugerimos que os alunos organizassem e apresentassem os possíveis modelos (linguagem materna/matemática, desenhos, gráficos, entre outros) que os conduziram ao que era solicitado pelo problema. Esse momento configura-se como importante, por possibilitar aos alunos exercitar a autonomia e perceber a contribuição da participação de cada um na construção do seu conhecimento (SOUSA; et al., 2013).

A quarta etapa – prova – trata da apresentação do novo conhecimento pelo professor para conduzir a resposta do problema. Os alunos passam a ter conhecimento do modelo geral (formal) aplicado a várias situações-problema relacionadas (idem). Nesta fase, também é constituída a avaliação da aprendizagem, que pode ser desenvolvida por diversos métodos, desde que se verifique a assimilação do conteúdo.

A Sequência Fedathi, além de centrar-se na mediação entre o docente e o estudante, apresenta-se como metodologia de ensino que valoriza a construção de conhecimentos matemáticos pelo aluno por meio de situações conjecturais (JESUS, 2013). Desse modo, ela compreende que “[...] a postura docente frente aos alunos faz toda diferença na hora da aprendizagem, dependendo de como o professor propõe as atividades, o aluno se sente mais seguro para ousar e este obtém melhores respostas dos alunos [...]” (SANTOS; MATOS, 2017, p. 13). Por esse motivo, adotamos esta metodologia, buscando permitir ao aluno a construção do conhecimento e a atribuição de significado à aprendizagem matemática, mais especificamente ao conteúdo de matrizes.

Percurso metodológico

Esta pesquisa, de natureza qualitativa e que se aproxima de um estudo de caso, foi desenvolvida em uma turma de segundo ano do ensino médio em uma escola estadual de ensino fundamental e médio, localizada no município da Serra, na região metropolitana de Vitória – Espírito Santo. A instituição de ensino, na ocasião da pesquisa, oferecia ensino médio (diurno e noturno) e educação profissional técnica de administração (noturno). Para a coleta de dados da pesquisa em tela, recorremos às resoluções dos alunos, registros fotográficos e gravações de áudios.

A intervenção foi realizada em 27 de novembro de 2018, em duas aulas seguidas de 55 minutos cada uma. Ao preparar a aula, levamos em consideração os conteúdos previstos no terceiro trimestre do ano letivo, escolhendo as matrizes por serem geralmente alvos de questionamentos quanto a sua aplicação no cotidiano e por terem sua abordagem limitada, muitas vezes, a exemplos como a tabela de dupla entrada (SÁ; MILLI; PALMEIRA, 2017).

(7)

Conforme anunciado, o tema da aula foi criptografia com matrizes. Evidenciamos a aplicabilidade do conteúdo de matrizes por meio da criptografia, estabelecendo um ambiente investigativo. Para tanto, procuramos apresentar aos alunos a importância da criptografia, envolvê-los em atividades de operações de multiplicação de matrizes, determinante e matriz inversa, e codificar e decodificar uma mensagem. Nesse contexto, foram elaboradas cinco fichas de atividades, buscando seguir as orientações da Sequência Fedathi. No quadro 1, abaixo, são apresentadas as etapas da intervenção.

Quadro 1 – Roteiro da sequência de procedimentos metodológicos aplicados.

Etapa da Sequência Fedathi Título da ficha de atividade Descrição 1ª Etapa: Tomada de posição  Hora de relembrar.  Hora de explorar o conhecimento.

Familiarização dos alunos com o tema da aula, revisão de matrizes, exemplificação do WhatsApp e criptografia com matrizes. 2ª Etapa:

Maturação  Hora de investigar.

Questionamentos sobre codificação com matrizes.

3ª Etapa:

Solução  Hora de investigar.

Discussão dos resultados dos grupos. 4ª Etapa: Prova  Hora de praticar.  Hora de opinar. Formalização do processo de criptografia e avaliações. Fonte: Acervo pessoal dos pesquisadores, 2018.

Na primeira etapa (tomada de posição), buscamos fazer um levantamento com os alunos dos locais onde era possível encontrar criptografia, sendo também indicado o filme “O jogo da imitação”, título nacional da ficção norte-americana “The Imitation Game”. Outros exemplos, como a criptografia de Júlio César, o método RSA e a criptografia com matrizes, foram citados como meio de familiarizar os alunos com a existência de alguns métodos de criptografar uma mensagem.

Com base nessa introdução ao tema da aula, foi solicitado que os alunos formassem trios e a cada um destes foram distribuídas as fichas de atividades, sendo a primeira denominada “hora de relembrar” – destinada para relembrar alguns tópicos de matrizes, como operações de multiplicação, determinante e matriz inversa, todos com matrizes de ordem 2. A seção seguinte, denominada “hora de explorar o conhecimento”, foi composta pela exemplificação da criptografia no aplicativo WhatsApp e pelo processo de codificação e decodificação de uma mensagem por meio da criptografia com matrizes. Esse processo foi demonstrado, no quadro, pela professora-pesquisadora com a participação dos alunos.

Na segunda etapa (maturação), foi elaborada a seção 3 – “hora de investigar” –, que abordou alguns questionamentos relacionados ao processo de codificação com matrizes, como a esquematização do processo de criptografia e a codificação de uma palavra com quantidade ímpar de letras.

Na terceira etapa (solução), foi proposta uma discussão a respeito das respostas encontradas pelos dez grupos. Na quarta etapa (prova) foi formalizado o processo de criptografia com matrizes, por meio da explicação expositiva e dialogada pela professora-

(8)

pesquisadora. Para avaliar o conhecimento produzido, foi elaborada a seção 4 – “hora de praticar” –, em que os grupos deveriam produzir um bate-papo, codificando uma mensagem e trocando com o outro grupo para efetuar a decodificação. Na seção “hora de opinar”, os grupos deveriam avaliar a atividade desenvolvida, apontando, entre outros tópicos, a contribuição do estudo de criptografia para a aprendizagem matemática.

Quanto aos recursos da aula e à avaliação dos estudantes, foram utilizados quadro, pincel, lápis, borracha e as fichas produzidas. A avaliação dos alunos foi realizada a partir de sua participação no decorrer da aula da resolução das tarefas propostas.

Reflexões sobre a prática

Ao entrar na sala de aula, a pesquisadora, acompanhada da professora da turma, encontrou os alunos descontraídos. Após a organização da classe e realização da chamada, a proposta da aula foi apresentada e iniciamos as investigações a respeito da criptografia, com a participação imediata dos alunos. O aplicativo WhatsApp, o número de IP do computador e o Código do “K”4 _{foram alguns exemplos de criptografia citados pelos}

estudantes.

Ao indicar o filme “O jogo da imitação” como sugestão de recurso para entender um dos grandes marcos da criptografia, um aluno se manifestou-se mencionou o nome do matemático Alan Turing, personagem principal do filme e matemático que foi capaz de decifrar os códigos nazistas. Essas manifestações de participação dos alunos nas indagações iniciais da aula foram apontando o interesse dos estudantes a querer entender mais o tema, o que vai ao encontro dos ideais propostos por Sousa et al. (2013), no que diz respeito à importância de o professor adotar uma linguagem acessível, preparar o ambiente de ensino, conquistar, orientar e preparar os estudantes, a fim de garantir a participação da classe.

Para dar continuidade à aula, alguns exemplos de criptografia foram retomados, como a criptografia criada pelo imperador romano Júlio César. Ao abordar os conceitos que seriam necessários para trabalhar a criptografia com matrizes, alguns alunos apresentaram repentinamente rejeição à atividade, possivelmente por acreditarem que não possuíam os pré-requisitos necessários para a tarefa. Confirmando essa nossa hipótese, uma aluna perguntou se poderia ser revisado o cálculo da matriz inversa. Nesse momento, iniciamos as atividades da ficha que visavam à revisão dos conceitos a serem utilizados durante a aula, principalmente o cálculo da matriz inversa, sobre o qual havia uma explicação detalhada.

Ao longo da realização das atividades da primeira seção (hora de relembrar), os alunos fizeram discussão entre os grupos. Houve muitas dúvidas e solicitação de ajuda em todos os itens da seção, fato que demandou um longo tempo para a conclusão da atividade. Optamos por atender os grupos de forma individualizada a fim de melhor identificar as dificuldades e realizar as devidas mediações. Alguns grupos optaram por

4 _{A letra K substitui as vogais da palavra e cada traço acima representa a posição da vogal a ser}

substituída. As consoantes são as mesmas da palavra que você quer escrever, podendo estar no sentido convencional ou refletidas verticalmente.

(9)

realizar os cálculos, outros em apenas escrever o processo, visto que o enunciado da atividade os deixava à vontade para exporem suas ideias.

Muitos alunos não estavam seguros quanto aos procedimentos de cálculo e utilizaram o caderno para consultar as atividades já realizadas. No entanto, alguns grupos apresentaram confusões na multiplicação de duas matrizes, principalmente nas operações entre números positivos e negativos, popularmente chamada de “regra de sinais”. Na Figura 1, a seguir, é apresentada a ampliação da foto do caderno de uma estudante, sendo possível observar a anotação referente ao processo de soma e multiplicação de dois números inteiros.

Figura 1 – Regra de sinais.

Fonte: Acervo pessoal dos pesquisadores, 2018.

Essa foto evidencia a dificuldade que alguns alunos, mesmo estando na segunda série do Ensino Médio, apresentam quando precisam somar ou multiplicar dois números inteiros. Ademais, demonstra a diversidade da sala de aula, que é composta por diferentes níveis de raciocínio, argumentação, formulação de hipóteses, observação e outros que nos levam a refletir sobre os desafios e ações necessárias para evitar o distanciamento do estudante da Matemática (PAIS, 2013). À vista dessa diversidade, as atividades foram propostas em grupo, pois “o trabalho em equipe oportuniza a convivência entre os alunos e a troca de informações, além do cultivo da tolerância em relação às diferenças [...]” (PAIS, 2013, p. 34).

Na Figura 2, são apresentadas as resoluções de dois grupos referentes às questões de revisão de matrizes, que consta na seção 1 das fichas de atividades.

Figura 2 – Resoluções da multiplicação de duas matrizes.

(10)

Conforme apresentado na figura acima, os dois grupos apresentaram as respostas de forma coerente. Percebemos que o segundo grupo efetuou uma marcação com o lápis indicando a multiplicação dos números em diagonal, sugerindo ser esta uma das primeiras ideias de cálculo. Após a investigação e discussão entre eles, notamos que conseguiram apresentar a resposta de forma resumida, mas compreensível.

No próximo tópico da atividade, perguntamos como era feito o cálculo do determinante da matriz B. Alguns solicitaram ajuda apenas para confirmar o processo, mas, em geral, os grupos conseguiram realizar os cálculos corretamente. A discussão de um dos grupos é apresentada a seguir:

Aluna N: “É a diagonal principal vezes a diagonal secundária.”

Aluno D: “Só que eu acho que está errado. Eu acho que é a [diagonal] secundária vezes a [diagonal] principal”.

Aluna N: “Não! Está certo!”

Aluno G: “A ordem dos fatores não altera o produto.”

Optamos por grifar algumas partes da fala desses alunos, evidenciando o raciocínio equivocado que estavam construindo. A intervenção da professora- pesquisadora foi fundamental para que pudessem entender que o resultado da multiplicação da diagonal principal deveria ser subtraído do resultado do produto da diagonal secundária. No entanto, acreditamos que a fala do Aluno G acabou influenciando o grupo na atividade do bate-papo que será apresentada mais adiante.

Os dois próximos tópicos da tarefa se referiam à matriz inversa. Os grupos conseguiram responder de forma correta, após a leitura da dica que se encontrava no próprio material de diagnóstico e explicação individualizada em alguns grupos que solicitaram. Na Figura 3, encontramos as repostas desses itens.

Figura 3 – Respostas das questões referentes à matriz inversa.

Questões como as apresentadas nesta primeira ficha são apontadas por Jesus (2013, p. 71) como primordiais, pois, por meio delas, o professor faz “[...] um diagnóstico a respeito dos conhecimentos prévios dos alunos, em relação ao conteúdo que será abordado”. Isso demonstra quão importante é o planejamento das atividades e dos meios de contornar as possíveis dificuldades que os alunos possam ter ao desenvolvê-las.

(11)

Ao término das resoluções da primeira seção da atividade, prosseguimos para o segundo bloco – hora de explorar o conhecimento. A seção apresentava uma captura de tela do aplicativo WhatsApp, onde constava a informação da criptografia como garantia de segurança das conversas e chamadas. A seguir, é apresentado trecho do áudio de um dos grupos, referente à informação contida no aplicativo WhatsApp.

Aluno M: “Deixa eu ver, eu nunca li essa mensagem não. Eu sempre passei assim...”

Aluno M: “Te juro que eu nunca li isso.” Aluno V: “Eu também não.”

Aluno M: “Eu sempre olhei lá... ah, legal.”

Essas falas apontam o interesse dos estudantes no tema e na contribuição que a abordagem da atividade pode proporcionar. Mesmo sendo algo com que eles têm contato e usam constantemente, alguns nunca tinham lido atentamente ou procuraram entender o que significava tal informação. Nesse aspecto, Olgin (2011) indica que é necessário proporcionar a compreensão do uso da matemática no cotidiano, por meio de temas de interesse dos alunos, de forma a motivá-los e instigá-los ao estudo dos conteúdos. Observamos esse fato ao longo da aula, pois, com base na informação contida no

WhatsApp, os alunos foram sendo cativados ao estudo da criptografia e, também, ao

conteúdo de matrizes.

Quanto à explicação do processo de criptografia com matrizes, todo o processo foi explicado oralmente e reproduzido no quadro, efetuando-se o passo a passo de todos os cálculos como forma de revisão. Durante a explicação, os alunos participaram, interagiram e alguns dos quais relataram ter achado o processo longo ao final da exposição.

Na seção 3, hora de investigar, os estudantes apresentaram um bom aproveitamento. Houve discussão e indagações previstas e provocadas na elaboração dos tópicos das atividades da seção. Na Figura 4, a seguir, é possível observar os alunos resolvendo as atividades da seção.

Figura 4 – Alunos resolvendo as atividades da seção 3.

A atividade envolvia questões relacionadas à criptografia e remetia a conceitos que eles já haviam estudado. Na figura anterior, observamos que o primeiro grupo se encontra com o caderno aberto, favorecendo a consulta de forma rápida, e o segundo, embora esteja com o caderno sobre a mesa, apresenta-se mais confortável para realizar as

(12)

atividades sem consulta. A seguir, é apresentada a Figura 5 das respostas (seção 3) de alguns grupos pesquisados.

Figura 5 – Resolução da seção 3.

É possível observar, nas imagens anteriores, que o primeiro grupo esboçou o processo de criptografia mediante o exemplo dado na aula e o segundo utilizou o código do “K”, explicando o procedimento ao lado do desenho:

O K representa as vogais e cada risco representa a posição da vogal. A letra [as consoantes] é da palavra que você quer escrever, só que de cabeça para baixo ou para cima.

As imagens anteriores evidenciam ainda a criatividade dos estudantes em seus desenhos e a exposição de um novo método de codificar palavras, citado pelos próprios estudantes durante a aula. Essa situação relaciona-se ao descrito por Groenwald, Franke e Olgin (2009, p. 41-42): “[...] a Matemática torna-se interessante e motivadora para a aprendizagem quando desenvolvida de forma integrada e relacionada a outros conhecimentos [...]”. Ou seja, com base no contexto da aula, outras relações puderam ser estabelecidas e contribuíram para manter os alunos motivados.

A questão 2 também foi compreendida pelos grupos, conforme podemos observar na Figura 6 a seguir. Notamos que o primeiro grupo expõe a resposta de forma mais sucinta e o segundo apresenta uma formalização quanto ao processo de multiplicação de duas matrizes.

Figura 6 – Multiplicação de duas matrizes.

Entre as questões contidas na ficha de atividades, a seção 3 foi aquela em que mais houve indagações. Isto porque foi a que solicitava que os estudantes fizessem o primeiro passo do processo de criptografia, escrevendo a matriz correspondente à palavra

(13)

amora. Enquanto no exemplo inicial, a palavra amor continha, propositalmente, uma

quantidade par de letras, na atividade, eles deveriam pensar numa solução para a quantidade ímpar. Nessa etapa de maturação, Sousa et al. (2013, p. 23) apontam que os questionamentos, em sua maioria, “[...] surgem por parte dos alunos no momento em que se debruçam sobre os dados do problema, originando-se a partir daí as reflexões, hipóteses e formulações, na busca de caminhos que conduzam à solução do problema. [...]”. O professor, por sua vez, deve “[...] aproveitar o momento dos questionamentos para potencializar e conduzir o desenvolvimento do raciocínio dos alunos [...]” (SOUSA; et al., 2013, p. 24).

Após muitos diálogos entre os grupos e indagações da professora-pesquisadora, um aluno sugeriu, em voz alta, inserir o número zero para uma palavra com quantidade ímpar de letras e outro disse que poderia ser o número 27, que também não representa nenhuma letra. Na Figura 7, a seguir, são apresentadas as soluções de dois grupos.

Figura 7 – Resoluções da seção 3.

Os grupos montaram a matriz corretamente, e o primeiro preferiu inserir o número zero. Ademais, sugeriram, na questão 4, inserir uma letra (que não atrapalhasse, neste caso, o sentido da palavra). O segundo grupo optou por inserir um exemplo para compor sua resposta, limitando-se apenas a colocar o número zero.

Em relação à necessidade de a matriz-chave ser invertível, os grupos demonstraram entendimento, embora algumas respostas não tivessem sido bem elaboradas. Conforme apresentado na figura acima, quando o segundo grupo fez referência ao número zero, tentando justificar que o determinante nulo implica que a matriz-chave não seria invertível, o que significaria que o remetente não conseguirá decodificar a mensagem.

No que concerne à dificuldade na formulação da resposta desse grupo, ou seja, a escrita das conjecturas pelos estudantes, Ponte, Brocardo e Oliveira (2016, p. 35) expõem que os “[...] alunos tendem a apresentar conjecturas não completamente explícitas,

(14)

existindo, porém, uma linguagem não verbal, que se apoia nos gestos e na observação dos dados, a qual facilita a compreensão mútua”. Vale destacar que, segundo os mesmos autores, esse processo é importante, pois clarifica as ideias dos estudantes e favorece o entendimento comum da atividade.

Depois de terem respondido às questões, a professora-pesquisadora dirigiu-se à frente da turma e solicitou que os grupos expusessem suas respostas oralmente, etapa denominada “solução” pela Sequência Fedathi. Essa ação se fundamenta-se em Sousa et

al. (2013, p. 31-32):

A análise das soluções e seus possíveis erros, permitem o aluno conhecer as diferentes formas de interpretação das questões trabalhadas, tornando- os conscientes da resolução correta, além de ajudar a não reincidirem em raciocínios equivocados na resolução de questões semelhantes, é também um momento decisivo para compreenderem e desenvolverem raciocínios matematicamente coretos.

Os grupos expuseram suas soluções de forma espontânea e coerente. Também foi possível perceber a influência de alguns grupos nas respostas de outros, como na questão da construção da matriz para palavras com quantidade ímpar de letras, apresentada anteriormente. A necessidade de a matriz-chave ser invertível foi um tópico bastante enfatizado e toda a discussão possibilitou formalizar o processo de criptografia com matrizes para palavras ou frases (quarta etapa, “prova”, da Sequência Fedathi).

Na seção seguinte da atividade, bate-papo, composta pela avaliação da aprendizagem dos alunos, alguns grupos apresentaram falta de atenção a alguns casos de multiplicação. Alguns utilizaram o espaço destinado à decodificação, para montar o processo de codificação e, em virtude de o tempo da aula ter ido avançando ao término, optamos por apenas coletar as informações que os grupos produziriam; neste caso, a codificação, conforme apresentado nas Figuras 8, 9 e 10, a seguir.

Figura 8 – Codificação da palavra “beijos”.

Na figura acima, o grupo efetivou o processo de codificação conforme explicado e realizou os cálculos corretamente. Observamos que houve destaque no resultado da multiplicação referente aos elementos que compõem as linhas, fato que chama a atenção

(15)

por frequentemente alguns alunos apresentarem incertezas quanto à organização dos elementos da matriz-produto.

Figura 9 – Tentativa de codificação da palavra “café”.

Analisando a matriz-produto da figura acima, identificamos que o grupo pretendia fazer a codificação da palavra café. No entanto, devido ao pensamento exposto anteriormente por um dos integrantes do grupo de que a “ordem dos fatores não altera o produto”, eles acabaram cometendo um equívoco nesta atividade. Era necessário multiplicar a matriz-chave pela matriz da palavra, mas acabaram realizando o processo contrário. Como a multiplicação de matrizes não é comutativa, o resultado foi uma matriz sem sentido.

Figura 10 – Codificação das palavras “boa noite”.

O grupo realizou o procedimento de criptografia corretamente na figura acima, equivocando-se apenas no preenchimento de envio da mensagem, quando deveriam ter inserido o resultado das multiplicações. Vale destacar também que esse foi o único grupo que codificou duas palavras.

(16)

Embora os grupos não tenham trocado as mensagens para efetuar a decodificação, percebemos na seção 5 (Hora de opinar) que a atividade foi satisfatória, pois a maioria relatou não conhecer nenhum método de criptografia. Isso demonstra que, por meio da aula de intervenção, foi possível contribuir para o conhecimento de uma nova informação. Em relação aos cálculos da atividade, apontaram dificuldades na multiplicação de matrizes e no cálculo da matriz inversa, algo que ficou bem evidente ao longo das aulas. A respeito de a atividade ter sido desenvolvida em grupo, a interação entre os participantes e a contribuição deles foram apontadas como métodos satisfatórios na realização das tarefas.

Quanto à contribuição da atividade na aprendizagem de matemática, os grupos apontaram que as atividades reforçaram os conteúdos de matrizes, eles aprenderam a usar matrizes em problemas diferentes e pôr em prática a matéria, entre outros, conforme podemos observar nas Figuras 11 e 12, a seguir:

Figura 11 – Avaliando a atividade grupo Alfa.

Fonte: Acervo pessoal dos pesquisadores, 2018. Figura 12 – Avaliando a atividade grupo Beta.

Com base nessas análises, fica evidenciado que a criptografia foi um tema que possibilitou atribuir significado ao conteúdo de matrizes e a Sequência Fedathi foi essencial para o sucesso da atividade. Acredito que os alunos sentiram falta de não terem se dedicado tanto à aprendizagem quando o conteúdo foi abordado pela professora regente, conforme exposto na Figura 11. Para o grupo, a impressão era que matrizes seria algo passageiro, um conteúdo sem muita importância, ou seja, algo que deveriam aprender apenas para fazer a avaliação e obter nota para passar de ano. Essa situação corrobora o exposto por Rosseto (2018), quando aborda que muitos alunos reconhecem a importância em aprender matemática. No entanto, quando os exemplos dados pelo professor não condizem com a realidade dos estudantes, eles não veem sentido em aprender. Após a aplicação da atividade, como exposto na Figura 12, o conteúdo passou a fazer sentido, e uma nova concepção sobre aplicação e utilidade do conteúdo matrizes foi construída.

(17)

Considerações finais

Ao longo do planejamento da atividade, diversas reflexões foram feitas no sentido de realmente proporcionar uma intervenção que levasse os alunos a ter um novo olhar para o conteúdo de matrizes. Nesse sentido, levantamos alguns estudos sobre o conteúdo, que puderam evidenciar que a criptografia é um tema que possibilita contextualizar, além deste, vários conteúdos matemáticos.

Ao perceber o envolvimento das pessoas com os meios tecnológicos e a necessidade de guardar com sigilo as informações fornecidas às redes de dados, optamos por utilizar o aplicativo WhatsApp para cativar os alunos à aprendizagem de matemática. Desse modo, foram elaboradas cinco fichas de atividades relacionando-as com as etapas da Sequência Fedathi, pois esta é uma metodologia dividida em quatro etapas que indicam os passos para o docente provocar os alunos ao conhecimento. Por meio das atividades, os estudantes puderam revisar conceitos de multiplicação de matrizes, cálculo do determinante e matriz inversa, conhecer e praticar o processo de criptografia com matrizes, além de construir um novo significado ao conteúdo de matrizes.

O uso da criptografia como tema da aula mostrou-se essencialmente instigador, cativante e motivador para o ensino de matrizes. Por meio da Sequência Fedathi, o ambiente de ensino foi constituído por participação ativa dos alunos, por deixar os estudantes à vontade para aprender, testar, questionar e perceber a professora pesquisadora como mediadora.

Quanto às dificuldades encontradas, a maior evidência foi o tempo para o desenvolvimento da atividade que ocorreu em duas aulas, impossibilitando a troca e a decodificação das palavras criptografadas pelos grupos. Vale ressaltar que esse fato não interferiu no objetivo geral da pesquisa, pois, já na etapa de codificação os alunos conseguiram atribuir um novo sentido ao estudo de matrizes. Os equívocos cometidos por alguns alunos na multiplicação de matrizes e operações com números positivos e negativos apresentam a realidade da sala de aula e o desafio do professor pesquisador em lidar com essas situações, de modo a esclarecer conceitos que já deveriam ter sido consolidados e ao aluno aproveitar a oportunidade de obter uma nova abordagem de ensino.

Diante dessas considerações, esperamos que novas discussões e reflexões sejam realizadas e os professores busquem meios de tornar as aulas mais dinâmicas, e prazerosas, minimizando as rejeições dos estudantes pela disciplina Matemática e clarificando sua presença nas atividades cotidianas. Como sugestão para professores que queiram utilizar o material produzido, sugerimos desenvolver cada etapa da Sequência Fedathi em uma aula. Também é essencial que conceitos básicos, como operações entre números positivos e negativos, sejam reforçados pelo professor e trabalhados em sala de aula por diferentes metodologias, para que essas situações não influenciem no avanço da aprendizagem de novos conceitos.

(18)

Referências

BRASIL. Ministério da Educação. PNLD 2018: matemática – guia de livros didáticos – Ensino Médio. Brasília: Ministério da Educação, Secretaria de Educação Básica, 2017. Disponível em: http://www.fnde.gov.br/programas/programas-do-livro/livro-didatico/guia- do-livro-didatico/item/11148-guia-pnld-2018. Acesso em: 08 dez. 2018.

BRASIL. Ministério da Educação. Secretaria de Educação Básica. Orientações

curriculares para o Ensino Médio: ciências da natureza, matemática e suas

tecnologias. Brasília: MEC/SEB 2006.

BRASIL. Ministério da Educação. Secretaria de Educação Básica. Parâmetros

Curriculares Nacionais – Ensino Médio: ciências da natureza, matemática e suas

tecnologias. Brasília: MEC/SEB 1999.

DANTE, L. R. Matemática: contexto & aplicações. 2. ed. São Paulo: Ática, 2013.

ESPÍRITO SANTO (Estado). Secretaria da Educação. Currículo Básico Escola

Estadual: área de Ciências da Natureza. Vitória: SEDU, 2009.

GROENWALD, C. L. O.; FRANKE, R. F.; OLGIN, C. de A. Códigos e senhas no ensino básico. Educação Matemática em Revista – RS. ano 10, v. 2, n. 10, 41-50, 2009. Disponível em: <http://www.sbemrs.org/revista/index.php/2011_1/article/view/31/29>. Acesso em: 28 nov. 2018.

JESUS, A. L. N. de. Criptografia na educação básica: utilização da criptografia como elemento motivador para o ensino aprendizagem de matrizes. 2013. 70 f. Dissertação (Mestrado Profissional em Matemática em Rede Nacional) – Universidade Federal do Vale do São Francisco, Juazeiro, Bahia, 2013.

LITOLDO, B. F.; BRITO, A. de J. Criptografia e suas potencialidades na exploração das ideias associadas à função afim. In: ENCONTRO NACIONAL DE EDUCAÇÃO MATEMÁTICA, XII, 2016, São Paulo. Anais eletrônicos. Disponível em: http://www.sbem.com.br/enem2016/anais/pdf/7894_3737_ID.pdf. Acesso em: 20 nov. 2018.

LOPES, M. dos R. Matrizes: história de um conteúdo escolar. 2012. 101 f. Dissertação (Mestrado em Educação) - Programa de Pós-graduação em Ensino de Matemática, Universidade Federal do Rio de Janeiro, Rio de Janeiro, 2012.

LOUREIRO, F. O. Tópicos de criptografia para o ensino médio. 2014. 55 f. Dissertação (Mestrado em Matemática) – Universidade Estadual do Norte Fluminense Darcy Ribeiro, Rio de Janeiro, 2014.

MORAIS FILHO, D. C. de; MALAGUTTI, P. L. A. Matemática discreta: módulo II. Cuiabá: Central de Texto, 2013.

OLGIN, C. de A. Currículo no ensino médio: uma experiência com o tema criptografia. 2011. 136 f. Dissertação (Mestrado em Ensino de Ciências e Matemática) - Programa de Pós-Graduação em Ensino de Ciências e Matemática da Universidade Luterana do Brasil, Canoas, 2011.

(19)

PONTE, J. P. da; BROCARDO, J.; OLIVEIRA, H. Investigações matemáticas na sala de

aula. Belo Horizonte: Autêntica Editora, 2016.

ROSSETO, C. K. Criptografia como recurso didático: uma proposta metodológica aos professores de matemática. 2018. 84 f. Dissertação (Mestrado Profissional) – Programa de Mestrado Profissional em Matemática em Rede Nacional, Universidade Estadual Paulista “Júlio de Mesquita Filho”, São José do Rio Preto, 2018.

SÁ, L. C. e; MILLI, E. P.; PALMEIRA, C. A. Matrizes, transformações geométricas e obras de arte: reflexões sobre uma atividade avaliativa de Matemática. In: CONGRESSO INTERNACIONAL DE ENSINO DA MATEMÁTICA, VII. Anais Eletrônicos. ULBRA:

Canoas-RS, 2017. Disponível em:

http://www.conferencias.ulbra.br/index.php/ciem/vii/paper/viewFile/7508/3689. Acesso em: 20 mar. 2019.

SANTOS, D. S. dos. Uso da criptografia como motivação para o ensino básico de

matemática. 2015. 63 f. Dissertação (Mestrado em Matemática) – Programa de Mestrado

Profissional em Matemática em Rede Nacional, Universidade Federal de Sergipe, São Cristóvão, 2015.

SANTOS, M. J. C. dos; MATOS, F. C. C. A insubordinação criativa na formação contínua do pedagogo para o ensino da matemática: os subalternos falam? Revista de Ensino de

Ciências e Matemática, v. 8, n. 4, p. 11-30, 2017. Disponível em: http://revistapos.cruzeirodosul.edu.br/index.php/rencima/article/view/1491. Acesso em: 22 mar. 2019.

SILVA, T. T. P. da. Matrizes e suas cercanias: um estudo histórico a partir de livros didáticos de matemática. In: ENCONTRO NACIONAL DE EDUCAÇÃO MATEMÁTICA, X, 2010, Bahia. Anais eletrônicos. Disponível em: http://www.lematec.net.br/CDS/ENEM10/artigos/PT/T6_PT518.pdf. Acesso em 08 jan. 2019.

SOUSA, D. P. de; PIRES, J. D. Criptoanálise como proposta didática para o ensino de estatística. Revista de Ensino de Ciências e Matemática, v. 9, n. 2, p. 1-11, 2018. Disponível em: http://revistapos.cruzeirodosul.edu.br/index.php/rencima/article/view/1639. Acesso em: 22 mar. 2019.

SOUSA, F. E. E. de. A pergunta como estratégia de mediação didática no ensino de

matemática por meio da Sequência Fedathi. 2015. 283 f. Dissertação (Doutorado em

Educação) – Programa de Pós-Graduação em Educação Brasileira, Universidade Federal do Ceará, Fortaleza, 2015.

SOUSA, F. E. E. de. et al. (Orgs). Sequência Fedathi: uma proposta para o ensino de matemática e ciências. Fortaleza: Edições UFC, 2013.

TAMAROZZI, A. C. Codificando e Decifrando mensagens. Revista do Professor de

Matemática. São Paulo, v. 45, p. 41–43, 2001. Disponível em: