Algoritmo de fatoração QR para geração de animações faciais

Texto

(1)Universidade de Brasília Instituto de Ciên ias Exatas Departamento de Matemáti a. Algoritmo de fatoração QR para geração de animações fa iais por. Elenilson de Vargas Fortes. Brasília 2007.

(2) Universidade de Brasília Instituto de Ciên ias Exatas Departamento de Matemáti a. Algoritmo de fatoração QR para geração de animações fa iais por. Elenilson de Vargas Fortes. *. Dissertação apresentada ao Departamento de Matemáti a da Universidade de Brasília, omo parte dos requisitos para obtenção do grau de. MESTRE EM MATEMÁTICA Brasília, 13 de Dezembro de 2007. Comissão Examinadora:. Prof. Dr. Jorge Carlos Lu ero - MAT/UnB (Orientador). Prof.. Dr.. Carlos Maber Carrión Riveros - MAT/UnB. (Membro). Prof.. Dr.. Pledson Guedes de Medeiros - EST/UFRN. (Membro). * Este. trabalho ontou om apoio nan eiro par ial do CNPq..

(3) Somos o que pensamos. Tudo o que somos surge om nossos pensamentos. Com nossos pensamentos, fazemos o nosso mundo, (Buda)..

(4) Aos meus pais. Jonas de Vargas Fortes e Ozilia Loureti Fortes.

(5) Agrade imentos À Deus pela vida e sabedoria on edida ao longo da minha aminhada estudantil. Aos meus pais, Jonas de Vargas Fortes e Ozilia Loureti Fortes, aos meus queridos irmãos, Emerson, Jonas (Junior), Jaqueline e Janielli. Agradeço ao povo brasileiro, que através do pagamento de impostos permitiu ao Conselho Na ional de Desenvolvimento Cientí o e Te nológi o (CNPq), nan iar esta pesquisa. Ao meu Orientador, Dr. Jorge Carlos Lu ero, pela orientação e pa iên ia que teve durante a elaboração deste trabalho. Aos professores da Universidade Federal do Espirito Santo (UFES): Aldo Vignatti, Alex sander, Eder Ma hado, Gilvan, Jamil, Jo itiel, Domingos, Ana Claudia e Ro ha, pelos onselhos e in entivos. Aos professores da ban a examinadora Dr. Pledson Guedes de Medeiros e Dr. Carlos Maber Carrión Riveros. Aos olegas de graduação que ainda mantenho ontato:. Meu grande amigo.

(6) Edinelço Dal umune, Wagner, Riedson, Sérgio e Vanessa.. Aos olegas do urso. de verão que foram muito importantes para que eu tomasse a de isão de vir para Brasília. E a todos os meus olegas do Departamento de Matemáti a da Universidade de Brasília que sempre me apoiaram nos bons e maus momentos. Alguns em espe ial omo Hailton pelo suporte té ni o do site que riamos, Susanne, Ri ardo, Enio, Sérgio, Lu iana, Igor, Euro, Evander, Nilton, Walter e laro, Eliane Ferreira, pelo arinho e atenção a mim on edidos. Aos professores do Departamento de Matemáti a da Universidade de Brasília (UnB), Dr. Helmar Numes Moreira e em espe ial Dr. Angel Rodolfo Baigorri, pelos onselhos e onversas que foram de grande valia durante este período. Aos Professores do Ensino Fundamental e Médio que de alguma forma a abaram inuen iando-me nesta onquista, em espe ial Leni e, Ce ília e Lena. À todos que, de alguma forma alimentaram meus sonhos e ontribuiram para esta grande onquista de minha vida. Obrigado!.

(7) Resumo. Nesta dissertação, onsideramos o problema da seleção de um sub onjunto de olunas independentes de uma matriz de dados, e sua resolução por meio da fatoração QR om pivoteamento de olunas, (Lu ero et al., [12℄).. Mostraremos omo este. problema pode ser apli ado à identi ação de padrões de deformação fa ial durante a fala, para a onstrução de um modelo empíri o da inemáti a fa ial. O modelo pode ser utilizado para a geração de animações da fala, sob ontrole de sinais olhidos experimentalmente.. Palavras- haves: Seleção de Sub onjunto, Fatoração QR, Animação Fa ial..

(8) Abstra t. In this work, we study the problem of the sele tion of a subset of independent olumns in matrix of data, and this resolution through the fa torization QR with pivoted of olumns, (Lu ero et al., [12℄).. We will show how this problem an be. applied to the identi ation of patterns of fa ial deformation during spee h, for the onstru tion of an empiri model of the fa ial kinemati s. The model an be used for generating spee h animations, if we ontrol the signals hoosen experimentally.. Key Words: Subset Sele tion, QR Fa torization , Fa ial Animation..

(9) Sumário Introdução. 1. 1 Con eitos Bási os e De omposição em Valores Singulares. 5. 1.1. Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 5. 1.2. Norma de Vetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 5. 1.3. Norma de Matrizes. 7. 1.4. Imagem, Espaço Nulo e Posto. 1.5. Ortogonalidade. 1.6. De omposição em Valores Singulares. 1.7. Algumas Propriedades da SVD. 1.8. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 9. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 11. . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 12. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 14. 1.7.1. SVD e sua Relação om Normas . . . . . . . . . . . . . . . . .. 14. 1.7.2. Relações entre SVD e o Posto de uma Matriz. . . . . . . . . .. 16. 1.7.3. Posto Numéri o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 19. Análise e Dis ussão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 21. 2 A Fatoração QR. 24. 2.1. Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 24. 2.2. Denição e Propriedades da Fatoração QR . . . . . . . . . . . . . . .. 24. 2.3. Reexão de Householder. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 27. 2.3.1. Reexão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 27. 2.3.2. Denição e Propriedades da Reexão de Householder. . . . . .. 30. 2.3.3. Es olha do Vetor de Reexão. . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 31. 2.4. Cál ulo da Fatoração QR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 33. 2.5. Relações da Fatoração QR om o Posto de uma Matriz. . . . . . . . .. 34. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 35. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 35. 2.5.1. Uni idade da Fatoração QR. 2.5.2. Matriz de Permutação. i.

(10) 2.5.3. Fatoração QR om Pivoteamento de Colunas . . . . . . . . . .. 3 Apli ações da Fatoração QR. 36. 39. 3.1. Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 39. 3.2. Sistemas Lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 40. 3.3. Problema de Mínimos Quadrados. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 41. 3.3.1. Matrizes de Posto Completo . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 42. 3.3.2. Matrizes de Posto In ompleto. . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 46. O Problema da Seleção de Sub onjunto . . . . . . . . . . . . . . . . .. 48. 3.4. 3.5. AΠ. 3.4.1. Propriedades da Matriz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 48. 3.4.2. Seleção de Sub onjunto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 50. 3.4.3. Seleção de Sub onjunto e Mínimos Quadrados . . . . . . . . .. 51. Dis ussão. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 4 Apli ação a Animação Fa ial. 54. 55. 4.1. Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 55. 4.2. Dados. 55. 4.3. Pré-pro essamento. 4.4. Posto Numéri o da Matriz de Dados. . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 57. 4.5. Alguns Resultados da Fatoração QR. . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 59. 4.6. Es olha dos Mar adores Prin ipais e suas Respe tivas Regiões de Inuên ia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 56. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 61. 4.7. Geração de Animações Fa iais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 66. 4.8. Análise de Erros nas Trajetórias Computadas. . . . . . . . . . . . . .. 69. 4.9. Análise para Seleção de Mar adores . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 72. Con lusões. 76. Referên ias Bibliográ as. 78. Apêndi e A. 81. Algoritmo A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 81. Algoritmo B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 83. Algoritmo C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 85. Algoritmo D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 86. Algoritmo E . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 87. ii.

(11) Algoritmo F . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 88. Algoritmo G . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 89. Algoritmo H . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 90. Algoritmo I. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 93. Algoritmo J . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 95. Algoritmo K . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 98. Algoritmo L . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100. Apêndi e B. 104. Tabela 4.6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104. Anexos. 106. Teorema 2.6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 Teorema 2.7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 Teorema 2.9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 Teorema 2.10. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112. Teorema 2.13. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114. iii.

(12) Lista de Figuras 2.1. Reexão em torno da reta ξ .. 2.2. Possibilidades de Reexão.. 3.1. Propriedades da Matriz AΠ.. 4.1. Posição dos mar adores fa iais.. 4.2. Elementos da diagonal da Matriz Σ.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 58. 4.3. Elementos da diadonal da Matriz R.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 59. 4.4. 4.5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 28. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 31. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. .. 60. Valores normalizados dos 12 primeiros elementos na diagonal de R em função da quantidade de amostras nos dados permutados aleatoriamente.. .. 60. . . .. 65. . . . . . . . . .. 66. Regiões fa iais ilustradas para os mar adores 40, 34, 38, 02, 36 e 06.. 4.7. Regiões fa iais ilustradas para mar adores 20, 49, 13 e 52.. 4.8. Regiões de deformação fa ial nas direções ortogonais, linhas 1 a 6 de R.. 4.9. Regiões de deformação fa ial nas direções ortogonais, linhas 7 a 10 de R.. 4.10. Quadro ini ial das animações.. 4.12. 4.13. 56. Valores normalizados dos 12 primeiros elementos na diagonal de R em função da quantidade de amostras nos dados. . . . . . . . . . . . . . .. 4.6. 4.11. 49. . .. 67. .. 68. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 69. Exemplo de trajetória real (linha de traços) e re onstruída pelo algoritmo (linha heia), para o mar ador 28. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. .. 70. Erro médio para um onjunto de k mar adores sele ionados, frases 31 e 32. A linha heia (na horizontal) representa o erro de pre isão dos dados. . .. .. 73. Erro médio para um onjunto de k mar adores sele ionados, frases 33 a 36. A linha heia (na horizontal) representa o erro de pre isão dos dados. . .. .. 74. iv.

(13) 4.14. Erro médio para um onjunto de k mar adores sele ionados, para as frases 37 a 40. A linha heia (na horizontal) representa o erro de pre isão dos dados. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. v. .. 75.

(14) Lista de Tabelas 4.1. 4.2. 4.3 4.4. 4.5. 4.6. Os 12 primeiros mar adores sele ionados pelo algoritmo om k linhas na matriz de dados. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. .. 62. Os 12 primeiros mar adores sele ionados pelo Algoritmo om k linhas permutadas aleatoriamente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. .. 62. . . . . . . . . . .. 63. Os 12 primeiros mar adores sele ionados pelo algoritmo.. Erro obtido para as trajetórias dos mar adores que foram re onstituídas através algoritmo para a sentença 39. . . . . . . . . . . . . . . . . . .. .. 71. Erro médio para trajetórias re onstituídas pelo algoritmo para as sentenças 31 a 40. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. .. 72. Conjunto de 40 sentenças em inglês: As 30 primeiras frases foram usadas para onstruir o modelo e as 10 últimas para realizar testes e validar o modelo. 105. vi.

(15) Introdução Alguns problemas da Álgebra Linear, tais omo resolução de sistemas lineares, mínimos quadrados e seleção de sub onjunto (subset sele tion problem ) podem ser onvenientemente tratados por meio da fatoração QR. A fatoração QR é um método de de omposição em que a matriz de omposta em um produto. A = QR,. onde. Q ∈ Rm×m. e. ortogonal e triangular superior, respe tivamente.. R ∈ Rm×n. A ∈ Rm×n. é. são matrizes. Existem outros métodos para resolver os problemas a ima. Por exemplo, para o problema de mínimos quadrados, podem ser usadas as equações normais (ver [7, 20℄). Os sistemas lineares podem ser solu ionados através da fatoração LU ou eliminação de Gauss (ver [10℄). Fo alizaremos, doravante, no tema de seleção de sub onjuntos e suas variações. Suponha que temos uma matriz de dados. A ∈ Rm×n. queremos predizer um vetor de observações vetor. x. que miniminize. da matriz de dados. k. A,. ||Ax − b||2 .. om. m > n,. b ∈ Rm×1 , isto é,. a partir da qual. queremos en ontar um. No entanto, ao invés de usar todas as olunas. desejamos predizer. b. a partir de apenas um sub onjunto de. olunas, eliminando aquelas que sejam redundantes e possam ser des onsideradas. (por exemplo, olunas linearmente dependentes, [7℄). Veremos que a seleção de dito sub onjunto de olunas não-redundantes de matriz. A. A. é feita através da fatoração QR da. om pivoteamento de olunas, (ver [7, 6, 12℄).. Mostraremos que a seleção de sub onjunto pode ser apli ado a geração de animações fa iais, onde queremos identi ar um sub onjunto de mar adores independentes para ser utilizado posteriormente, omo base para predizer o movimento de pontos fa iais arbitrários, obtendo dessa forma geração de animações, para ser utilizado omo ferramenta omputa ional em estudos sobre per epção e produção da fala. Os estudos baseiam-se prin ipalmente em Lu ero et al., (ver [12℄).. 1.

(16) Introdução. Em artigo re ente, a seleção de sub onjuntos foi examinado por Hoog e Mattheij (ver [8℄), onde onsideram uma matriz linhas de. A. A ∈ Rm×n. de tal forma que a matriz resultante. B∈R. de linhas linearmente independentes, isto é, para de permutação. Π∈R. m×m. tal que. B. ΠA = sendo. B ∈ Rk×n. C. !. em que se deseja eliminar. k×n. m−k. possua um sub onjunto. A ∈ Rm×n. en ontrar uma matriz. ,. (1). a matriz pretendida. Neste artigo, os autores mostram uma té ni a. de seleção de linhas basedo na norma de Frobenius e na Pseudo-Inversa (ver [7℄). Outros métodos omo os algoritmos de tipo Ba kward Greedy (ver [2℄) podem ser utilizados para abordar o problema de seleção de sub onjunto, uja essên ia onsiste na determinação reiterada, de. A ∈ Rm×n. e um vetor de observações. ρ = minn ||Ax − b||2. b∈. x∈R Rn .. min ||A1 x1 − b||2 . x1 ∈Rn−1 novamente retiramos outra oluna e al ula-se. Espe i amente, retira-se uma oluna de Reinserida esta oluna na matriz. min ||A1 x1 − b||2 .. x1 ∈Rn−1. A. para uma dada matriz. A. e al ula-se. Repete-se este pro esso para todas as olunas de. a oluna que forneça. min ||A1 x1 − b||2 n−1. menor possível, onde. x1 ∈R ada etapa do algoritmo, elimina-se uma oluna de. A,. A e elimina-se. A1 ∈ Rm×(n−1) .. sempre seguindo os passos. para eliminação da primeira oluna. Desta forma, o algoritmo elimina de. A. e portanto, tem-se uma matriz. sub onjunto de. r. olunas de. A.. Ar ∈ Rm×r ,. Em. n−r. olunas. ou seja, o algoritmo sele iona um. Do mesmo modo pode ser utilizadas para examinar o problema de seleção de sub onjunto, diferente té ni a (ver [7℄) denominada de omposição de valores singulares (SVD), que adiaremos temporariamente e prontamente será apresentada no Capítulo 1. Em outro artigo (ver [18℄), a seleção de sub onjunto é feita usando re ursos estatísti os e algébri os. Ini ia-se om a apli ação de s anner a laser a. 8. expresões. fa iais estáti as pré-determinadas originando igual número de matrizes om pixels e. 141.900. 71.900. polígonos, que seguidamente são adaptadas a uma malha fa ial. deformável genéri a onstituída por malhas fa iais são gerados. 576. nodos e. 844. polígonos. A partir dessas. 8. 8 (oito) vetores de 3 × 576 omponentes, que representam 2.

(17) Introdução. as oordenadas espa iais. {x, y, z}. de ada um dos nodos e onstituem os vetores. olunas da matriz de dados aleatórios. A ∈ Rm×n ,. onde. m = 3 × 576. e. n = 8.. Após. al ulada a matriz de ovariân ia e via SVD obtem-se as omponentes prin ipais (PCA) dos vetores olunas de. A. dos quais sele iona-se o sub onjunto dos mais. representativos no que se refere à variân ia dos dados. Note-se que as omponentes prin ipais são os autovetores de. A. e que pelo signi ado de orrentes do modelo. representam rostos dis retizados na forma de malhas fa ias, o que os leva a serem hamados de autofa es (eigenfa e ). No presente aso, gostariamos de obter um modelo em termos de pou o mar adores fa iais, ao invés de vetores que representam imagem da fa e. Outra alternativa interessante, foi proposta pelo trabalho de modelagem arti ulatória de Badin et al., (ver [4℄). Neste artigo, o PCA é usado para determinar parâmetros arti ulatórios para ontrolar a forma de uma região vo al em. 3D.. Para. uma melhor relação à biome âni a subja ente, alguns dos parâmetros (por exemplo, altura do maxilar, et .) são denidos a priori, e suas ontribuições são subtraídas dos dados antes de omputar os omponentes restantes.. Em nosso trabalho, nós. propomos onar inteiramente nos dados para predizer o omportamento dinâmi o da fa e, om pou as suposições prévias omo possível. Retornando à de omposição QR om pivoteamento de olunas omo pro edimento de seleção de sub onjunto, é mister omentar algumas re entes apli ações. Foi apli ada à matriz. A ∈ Rm×n ,. om. m<n. ujas olunas se orrespondem om a. sequên ia nita de profundidades do nível da água medida em um dado poço, em intervalos arbitrários de tempo. O objetivo deste estudo foi a identi ação de sub onjunto de poços independentes para posteriormente serem utilizados omo base para a predição do deslo amento do nivel de água em poços aleatoriamente es olhidos (ver [16℄). Como visto, existem várias té ni as para se resolver o problema de seleção de sub onjunto e apli ações. Conforme mostraremos, o algoritmo de fatoração QR om pivoteamento de olunas permite identi ar um sub onjunto de mar adores fa iais independentes, e desta forma explorar sua apli ação à onstrução de modelos da biome âni a fa ial (ver [12℄) e onsequentemente, movimentos arbitrários e animações da fala podem ser logo geradas, ontrolando esse modelo om sinais olhidos experimentalmente (animação fa ial data driven ).. 3.

(18) Introdução. Os estudos sobre animações fa iais deste presente trabalho está baseado em Lu ero et al.. (ver [12℄) e é resultado da análise de pesquisas anteriores, na ger-. ação de animações fa iais realísti as durante a fala. Nosso trabalho segue uma linha de pesquisas omputa ionais para a geração deste tipo de animação. Dentre esses trabalhos, podemos itar um outro artigo re ente de Lu ero et al. artigo propõe uma analise dos registros da posição. 3D. (ver [13℄).. O. de um onjunto de mar-. adores olo ados no rosto de um sujeito, enquanto este fala, indenti ando grupos de mar adores om padrões de movimentos similares. Esses grupos denem regiões inemáti as independentes, que onstituem uma base para expressar o movimento total da superfí ie fa ial. No que segue, esta dissertação terá a seguinte estrutura: No primeiro Capítulo são introduzidos on eitos bási os de álgebra linear, denições e resultados sobre a SVD e sua relação om o posto de uma matriz e nalizamos om uma rápida dis ussão sobre a SVD. No Capítulo seguinte, denimos fatoração QR e algumas propriedades desta de omposição. Em seguida, apresentamos omo obter a fatoração QR por Reexão de Householder, on luindo om alguns resultados que rela ionam a fatoração QR om o posto da matriz. Já no ter eiro Capítulo, apresentamos algumas apli ações da fatoração QR, tal omo na resolução de sistemas lineares, problema de mínimos quadrados e uma solução para o problema de seleção de sub onjunto, nalizando om uma breve dis ussão deste Capítulo. Por m, no quarto Capítulo, mostramos omo a fatoração QR pode ser útil na obtenção de um modelo para geração de animações fa iais e alguns resultados a er a da fatoração QR, além da análise dos erros. O Matlab foi utilizado em todos os grá os e tabelas que apare em neste Capítulo. Por último, apresentamos algumas Con lusões, Anexos e o Apêndi e, onde está disposto o ódigo fonte em Matlab da maioria dos programas que foram implementados nesta dissertação.. 4.

(19) Capítulo 1 Con eitos Bási os e De omposição em Valores Singulares 1.1 Introdução Esse apítulo tem omo objetivo introduzir alguns on eitos de álgebra linear que serão usados nos apítulos seguintes. Começaremos denindo normas, posto, ortogonalidade e alguns resultados sobre o mesmo. Em seguida, fo alizaremos nossos estudos na De omposição de Valores singulares (SVD) e provaremos alguns dos prin ipais resultados que envolvem este tipo de de omposição, prin ipalmente naqueles que rela ionam SVD e o posto de uma matriz, mostrando que a SVD pode ser usado para reduzir a dimensão de uma matriz de dados. Por m, usaremos o SVD para determinar o posto numéri o de uma matriz on luiremos esse apítulo, fazendo uma análise desta de omposição.. 1.2 Norma de Vetores Uma norma é uma função. || || : Rn → R x → ||x|| que faz uma orrespondên ia de um valor real (` omprimento') a ada vetor.. 5. A. e.

(20) Capítulo. 1.. Resultados Bási os e De omposição em Valores Singulares. Para que orresponda a uma idéia razoável de omprimento, uma norma deve satisfazer três axiomas. Para quaisquer. 1.. ||x|| ≥ 0,. 2.. ||x + y|| ≤ ||x|| + ||y||;. 3.. ||αx|| = |α|||x||.. e. ||x|| = 0. x, y ∈ Rn. e es alar. x = 0;. se, e só se,. Em palavras, estas ondições expressam o seguinte: Por não-nulo é positiva,. 2.. α ∈ R,. 1.. é a famosa desigualdade do triângulo,. a norma de um vetor. 3.. é a propriedade de. homogeneidade. Pode-se provar (ver [7℄) que para quaisquer. x, y ∈ Rn. temos. ||x.y|| ≤ ||x||.||y||. Esta inequação é onhe ida omo desigualdade de Cau hy-S hwarz. As normas mais utilizadas em Análise Numéri a são as denominadas. p-normas.. Denição 1.1 p-norma de um vetor x é dada por m X. ||x||p = para todo. i=1. p. é igual a. normas:. 2.. 3.. ,. (1.1). x ∈ Rn .. Para os asos parti ulares em que. 1.. |xi |p. ! p1. 1-norma: ||x||1 =. 2-norma: ||x||2 =. m X i=1. |xi |;. m X i=1. |xi |2. ! 12. ;. ∞-norma: ||x||∞ = max |xi |. i=1,··· ,n. 6. 1, 2. ou. ∞,. temos as seguintes.

(21) 1.. Capítulo. O ítem. 1.. Resultados Bási os e De omposição em Valores Singulares. é onhe ido omo norma da Soma,. 2.. omo norma Eu lidiana e. 3.. é. a norma do Máximo.. Rn. Todas as normas em normas em. Rn ,. são equivalentes (ver [7℄), isto é, se. então existem onstantes positivas. c1. e. c2. || . ||α. e. tais que. || . ||β. c1 ||x||α ≤ ||x||β ≤ c2 ||x||α para todo. são. (1.2). x ∈ Rn .. Pode-se provar (ver [7℄) que, para todo. √. 1.. ||x||2 ≤ ||x||1 ≤. 2.. ||x||∞ ≤ ||x||2 ≤. 3.. ||x||∞ ≤ ||x||1 ≤. x ∈ Rn , valem as seguintes desigualdades:. n||x||2 ;. √ √. n||x||∞ ; n||x||∞ .. Em geral, os valores das. p-normas, p = 1, 2. e. ∞. são distintos.. 1.3 Norma de Matrizes Uma matriz. A ∈ Rm×n. pode ser vista omo um vetor no espaço de dimensão. ada um dos elementos onsiderados omo oordenada independente.. mn,. Portanto,. qualquer norma vetorial pode ser utilizada para medir o `tamanho' de uma matriz. Uma norma matri ial é uma função. || || : Rm×n → R A → ||A|| que satisfaz. 3. ondições. Para quaisquer. 1.. ||A|| ≥ 0,. 2.. ||A + B|| ≤ ||A|| + ||B||. 3.. ||αA|| = |α|||A||.. e. ||A|| = 0. se, e só se,. A, B ∈ Rm×n. A = 0;. ;. 7. e. α∈R. temos.

(22) Capítulo. 1.. Resultados Bási os e De omposição em Valores Singulares. Em alguns asos, podemos ter ainda uma propriedade adi ional, que rela iona. ||A.C|| ≤ ||A||.||C||. a operação de multipli ação de matriz, isto é,. A ∈ Rm×n. C ∈ Rn×m .. e. Essa propriedade é hamada de onsistên ia, (ver [7℄).. Por simpli idade, utilizaremos a mesma norma a. p-norma. de. A,. para quaisquer. e denotaremos por. ||A||p.. Assim,. || ||p. no domínio e na imagem,. Denição 1.2 p-norma de uma matriz A é dada por ||A||p = max x6=0. todo. x ∈ Rn .. ||Ax||p , ||x||p. para. Equivalentemente à Denição 1.2 temos que. . ||Ax||p x = max ||Ax||p .. ||A||p = max = max A x6=0 ||x||p x6=0 ||x||p p ||x||p=1. Em parti ular, se. p = 1, 2. 1.. ||A||1 = max. ||Ax||1 ; ||x||1. 2.. ||A||2 = max. ||Ax||2 ; ||x||2. 3.. ||A||∞ = max. x6=0. x6=0. x6=0. ou. ∞. temos, respe tivamente, que. ||Ax||∞ . ||x||∞. Pode-se provar (ver [7℄) que se. p=1. e. p=∞. ||A||1 = max. 1≤j≤n. ||A||∞ = max. 1≤i≤m. m X i=1. n X j=1. temos, respe tivamente, que. |aij |. (1.3). |aij |. (1.4). Uma norma matri ial, frequentemente utilizada, é hamada de Norma de Frobe-. nius ou Hilbert-S hmidt e é denida a partir de. Denição 1.3 Norma de Frobenius de uma matriz A ∈ Rm×n v uX m u n X ||A||F = t (aij )2 . j=1 i=1. 8. é dada por.

(23) Capítulo. B. Seja por. bl ,. 1.. Resultados Bási os e De omposição em Valores Singulares. uma matriz om elementos. om. n X l=1. 1 ≤ l ≤ n,. bij. onde. 1≤i≤m. as respe tivas olunas da matriz. B.. e. 1 ≤ j ≤ n.. Denotemos. Então. ||bl ||22 = ||b1 ||22 + ||b2 ||22 + · · · + ||bn ||22 = (b211 + b221 + · · · + b2m1 ) + · · · + (b21n + b22n + · · · + b2mn ) = ||B||2F .. Seja. C = AB. oluna de. B.. om entradas. Então. cij = aTi bj. (1.5). cik , denotamos aTi. a i-ésima linha de. e por Cau hy-S hwartz. ||AB||2F. = ≤ =. n X m X. i=1 j=1 m n X X i=1 j=1 n X i=1. =. A e bj. |cij | ≤ ||ai||.||bj ||.. a. j -ésima. Assim,. |cij |2 (||ai||2 ||bj ||2)2. (||ai ||2 ). 2. m X. (||b||2)2. j=1 2 2 ||A||F ||B||F .. Como as normas vetoriais, as normas matri iais. (1.6). Ap. om. p = 1, p = ∞. e. AF. também possuem relações de equivalên ia. Podemos provar que (ver [7℄) dada uma matriz. A ∈ Rm×n. temos. √. 1.. ||A||2 ≤ ||A||F ≤. 2.. max |aij | ≤ ||A||2 ≤ i,j. n ||A||2 √. 1 3. √ n. ||A||∞ ≤ ||A||2 ≤. 1 4. √ m. ||A||1 ≤ ||A||2 ≤. ;. mn max |aij |; i,j. √ √. m ||A||∞;. n ||A||1.. 1.4 Imagem, Espaço Nulo e Posto Denição 1.4. Dada uma oleção de vetores. a1 , a2 , · · · , an. em. Rn ,. o onjunto de. todas as ombinações lineares desses vetores é um subespaço denotado por. 9. Espaço.

(24) Capítulo. de. a1 , a2 , · · · , an ,. 1.. Resultados Bási os e De omposição em Valores Singulares. ou seja,. ha1 , a2 , · · · , an i =. Denição 1.5. Seja. A ∈ Rm×n .. ( n X j=1. ). βj aj ; βj ∈ R .. Dizemos que a. Im(A) = {y ∈ Rm ; y = Ax. Imagem de A é. para algum. x ∈ Rn }. Em relação a Denição 1.5, observe que qualquer vetor gerado pelas olunas de n X ou seja,. y =. xj aj ,. A pode logo. então. das olunas de. A.. y = Ax. y = Ax. e portanto,. para algum. Assim, se. então. que perten e ao espaço. ser es rito omo ombinação linear de suas olunas,. j=1. y ∈ Im(A). y. x ∈ Rn. y ∈ Im(A).. Re ipro amente, se. Ax. é ombinação linear. e portanto,. A = [a1 , a2 , · · · , an ]. são as olunas parti ionadas de. Im(A) = ha1 , a2 , · · · , an i .. Denição 1.6 (Nú leo). Seja. dado por. A ∈ Rm×n .. O. Espaço Nulo. A,. (1.7). ou. Nú leo. de. A. é. N(A) = {x ∈ Rn ; Ax = 0} .. Denição 1.7 (Posto). Dizemos que o. Posto de uma matriz A é. posto(A) = dim(Im(A)).. Denição 1.8. Dizemos que. min {m, n}.. A ∈ Rm×n. possui. Posto In ompleto, se posto(A) <. Pode-se provar que (ver [7℄):. 1.. posto(A) = posto(AT );. 2. Se. A ∈ Rm×n ,. então. dim(N(A)) + posto(A) = n. 10.

(25) 1.. Capítulo. Resultados Bási os e De omposição em Valores Singulares. 1.5 Ortogonalidade Denição 1.9. Uma matriz. QT Q = In .. Teorema 1.10. Se. Q. Q ∈ Rm×n. é dita. Ortogonal se, e somente se, QQT =. é uma matriz ortogonal, então. 1.. det(Q) = ±1;. 2.. QT. 3.. ||Qx||2 = ||x||2 ,. 4.. ||QA||2 = ||A||2,. 5.. ||Q||2 = 1.. é ortogonal. para todo vetor. x;. para toda matriz. A;. Demonstração: Omitiremos a demonstração para os ítens. 3.. Se. x. 1, 2, 4. e podem ser en ontradas em [19℄.. é um vetor qualquer, então. ||Qx||22 = (Qx)T (Qx) = xT QT Qx = xT x = ||x||22 = ||x||2 . 5.. É onsequên ia imediata de. 2.. e de. (1.8). ||I||2 = 1. . Teorema 1.11. Se. Demonstração:. Q1. e. Q2. são matrizes ortogonais, então. Q1 Q2. é ortogonal.. Ver [19℄.. 11.

(26) Capítulo. Teorema 1.12 onde. F. Seja. 1.. Resultados Bási os e De omposição em Valores Singulares. A ∈ Rm×n. e. é norma de Frobenius.. Q ∈ Rm×m. ortogonal, então. ||QA||F = ||A||F ,. Demonstração: Suponha que. a1 , a2 , · · · , an. sejam as olunas de. A,. então. ||QA||2F = ||(Qa1 , Qa2 , · · · , Qan )||2F n X = ||Qai ||22 i=1. n X. =. i=1. ||ai||22. = ||A||2F .. (1.9). . 1.6 De omposição em Valores Singulares A De omposição em Valores Singulares (SVD, Singular Value De omposition ) é uma fatoração de matrizes freqüentemente utilizada em muitos algoritmos. É uma ferramenta ontida na maioria dos pa otes matemáti os de omputação e muitos problemas de Álgebra Linear podem ser resolvidos utilizando esta fatoração. Ini iamos esta Seção, apresentando a denição de SVD.. Denição 1.13. Seja. A ∈ Rm×n .. A. SVD de A é a fatoração. A = UΣV T onde. U ∈ Rm×m. isto é,. e. V ∈ Rn×n. são. Ortogonais e Σ ∈ Rm×n é uma matriz Diagonal,. σij = Os elementos. (1.10). σii , i = 1, 2, · · · , p,. . σij , se i = j, 0, se i 6= j.. onde. Singulares de A e denotados por σi. p = min{m, n},. são denominados. sendo es olhidos de modo que. σp ≥ 0. 12. Valores. σ1 ≥ σ2 ≥ · · · ≥.

(27) Capítulo. Cada uma das. m. 1.. Resultados Bási os e De omposição em Valores Singulares. olunas da matriz. Singulares à Esquerda de. U,. denotadas por. da matriz. A A,. são hamadas Vetores. A e ada uma das n olunas da matriz V , denotadas por vk ,. são hamadas Vetores Singulares à Direita de. T. uk ,. e os vetores. vk. A.. Os vetores. são os autovetores da matriz. uk. são os autovetores. T. AA. .. Observações: 1. A de omposição de valores singulares denida em 1.13 re ebe o nome de SVD. Completa. 2. Seja. A ∈ Rm×n ,. om. m ≥ n. A = UΣV T. e. são dados omo na Denição 1.13. possui todos. m−n Σ. Observe que para. A,. e. Σ. a matriz. Σ. onde. m > n. U, V. valores singulares iguais a zero. De modo que apenas os. primeiros valores singulares de suponha que. a SVD de. tenha. n. Σ. inuen iam na de omposição de. A.. n. Assim,. valores singulares não-nulos. Logo, a equação (1.10). denida em 1.13 pode ser rees rita omo. b Σ. A=U Desta forma, o produto a ima anula singulares. Logo. onde. b ∈ Rm×n , V ∈ Rn×n U. · · · ≥ σn de. A.. e. 0. !. m−n. V T. olunas de. b ΣV b T A=U. b ∈ Rn×n Σ. U. e. b Σ. possui. é uma matriz diagonal om. n. valores. (1.11). σ1 ≥ σ2 ≥. todos não-nulos. Essa de omposição é onhe ida omo SVD reduzida. Dada uma matriz. 1. Toda matriz. A. A ∈ Rm×n. pode-se provar que:. sempre admite uma de omposição em valores singulares;. 2. Seus respe tivos valores singulares são úni os; 3. Se os valores singulares forem distintos dois a dois, então os vetores singulares (à esquerda e à direita) são úni os a menos de sinal.. Demonstrações para esses resultados podem ser en ontrados em [19℄. 13.

(28) Capítulo. 1.. Resultados Bási os e De omposição em Valores Singulares. 1.7 Algumas Propriedades da SVD Um dos aspe tos que valorizam a SVD é sua apa idade de lidar om o on eito de posto de matrizes. Nessa Seção mostraremos que o SVD é uma have para esse problema por ara terizar e ientemente uma aproximação de matrizes de um posto denido, (ver [6℄). Ini iaremos essa Seção, introduzindo algumas relações entre SVD e normas (ver [7, 20℄), que serão úteis adiante, quando falaremos de posto numéri o.. 1.7.1 SVD e sua Relação om Normas Nessa Subseção apresentaremos alguns resultados que rela ionam de Frobenius om os valores singulares de uma matriz. A. 2-norma. e norma. que são importantes e. mere em ser desta adas. Estas relações serão mostradas nos Teoremas 1.14 e 1.15.. Teorema 1.14 UΣV. T. Seja. , então. A ∈ Rm×n. uma matriz om de omposição de valor singular. ||A||2 = σ1. (maior. valor singular).. (1.12). Demonstração: Sabemos que. ||U||2 = ||V T ||2 = 1. porque. U. e. V. são ortogonais. Assim,. ||A||2 = ||UΣV T ||2 = ||Σ||2 ||Σx||2 = max x6=0 ||x||2. = max x6=0. n X. (σi xi )2. i=1. n X i=1. = max x6=0. x2i. ! 12. ! 12. 1. ((σ1 x1 )2 + (σ2 x2 )2 + · · · + (σn xn )2 ) 2 1. (x21 + x22 + · · · + x2n ) 2 14. ..

(29) Capítulo. Como. σ1. 1, · · · , n,. 1.. Resultados Bási os e De omposição em Valores Singulares. é o maior valor singular da matriz por. σ1. A,. substituindo ada. σi ,. onde. i =. teremos, 1. ||A||2 ≤ max x6=0. (σ12 (x21 + x22 + · · · + x2n )) 2 1. (x21 + x22 + · · · + x2n ) 2. 1. = max σ1 x6=0. = max σ1. (x21 + x22 + · · · + x2n ) 2. 1. (x21 + x22 + · · · + x2n ) 2. x6=0. = σ1 . Portanto,. ||A||2 ≤ σ1 . Por outro lado, es olhendo. x = e1 ,. (1.13). temos. ||A||2 = ||UΣV T ||2 .. 1. = max. ((σ1 x1 )2 + (σ2 x2 )2 + · · · + (σn xn )2 ) 2. = max. ((σ1 1)2 + (σ2 0)2 + · · · + (σn 0)2 ) 2. x6=0. x6=0. 1. = max σ1. (x21 + x22 + · · · + x2n ) 2. 1. 1. (12 + 02 + · · · + 02 ) 2. x6=0. ||A||2 = σ1 .. (1.14). De (1.13) e (1.14) seque (1.12).. . Teorema 1.15 UΣV T ,. Seja. então. A ∈ Rm×n uma matriz om de omposição em valores singulares ||A||F = σ12 + σ22 + · · · + σn2. 21. .. (1.15). Demonstração: Pelo Teorema 1.12 para qualquer matriz ortogonal. 15. Q. temos que. ||QA||F = ||A||F ..

(30) 1.. Capítulo. Considere. Σ ∈ Rn×n. UΣV T e. Resultados Bási os e De omposição em Valores Singulares. a de omposição em valores singulares de. V T ∈ Rn×n .. A,. Então. onde. U ∈ Rm×n ,. ||A||F = ||UΣV T ||F = ||ΣV T ||F. = ||(ΣV T )T ||F = ||(V ΣT )||F = ||ΣT ||F. σ12 + σ22 + · · · + σn2. =. 21. . . 1.7.2 Relações entre SVD e o Posto de uma Matriz Esta Subseção tem o propósito de rela ionar a SVD e o posto de uma matriz, usando os respe tivos valores singulares.. Começamos por um teorema que forne e uma. relação entre o posto e os valores singulares de uma matriz.. Teorema 1.16 (Posto) Então,. posto(A) = n. Seja. A ∈ Rm×n. se, e somente se,. Σ. e. Σ. têm. a matriz de valores singulares de. n. A.. valores singulares não-nulos.. Demonstração: Suponha que. Σ. têm. n. valores singulares não-nulos então. uma matriz diagonal. Por outro lado, então. posto(A) = posto(Σ).. A = UΣV. T. e omo. posto(Σ) = n,. U. e. V. já que. Σ. é. têm posto ompleto,. A re ípro a é análoga.. O Teorema 1.16 forne e uma alternativa para se determinar o posto de uma matriz em vez de usar a Denição 1.7, porém agora, usando a SVD. Conseqüentemente, uma matriz e. A ∈ Rm×n. terá posto in ompleto, isto é,. σr+1 = · · · = σn = 0.. r < n,. se. σi > 0, i = 1, · · · , r. A fórmula seguinte é uma das mais importantes propriedades da de omposição em valores singulares. 16.

(31) Capítulo. Teorema 1.17. 1.. Resultados Bási os e De omposição em Valores Singulares. A ∈ Rm×n. Uma matriz. forma. Ar =. r X. om posto. r , r ≤ n,. pode ser es rita na. σj uj vjT ,. (1.16). j=1. em que. ui, i = 1, · · · , r ,. i = 1, · · · , r ,. são os primeiros. são os primeiros. são os valores singulares de. r. r. vetores singulares à esquerda de. vetores singulares à direita de. A. A.. e. A, vi ,. σi , i = 1, · · · , r ,. Demonstração: Tem-se que. I = VVT = (v1 , v2 , · · · , vn )(v1T , v2T , · · · , vnT ) = v1 v1T + v2 v2T + · · · + vn vnT ,. já que. V. é uma matriz ortogonal. Se multipli armos por. A. a esquerda da equação. a ima em ambos os membros da igualdade teremos:. A = A(v1 v1T + v2 v2T + · · · + vn vnT ). = (Av1 )v1T + (Av2 )v2T + · · · + (Avn )vnT = σ1 u1 v1T + σ2 u2 v2T + · · · + σn un vnT .. Se. A. tem posto. r = n,. segue do Teorema 1.16 que. A. possui. n. valores singulares. não-nulos e portanto. A =. r X. σj uj vjT .. j=1. Caso ontrário, se. A. σr+2 = · · · = σn = 0.. tem posto. r < n,. então pelo Teorema 1.16 temos que. σr+1 =. Daí,. A = σ1 u1 v1T + σ2 u2 v2T + · · · + σr ur vrT r X = σj uj vjT . j=1. 17.

(32) Capítulo. 1.. Resultados Bási os e De omposição em Valores Singulares. Observação:. •. Dados. . u11. .    u21   u1 =   ..  .   um1. u1 v1T. e. . v11. u11. .    v21   v1 =   ..  .   vn1 . =. . u11 v11   u21 v11   ..  . um1 v11. Portanto, as olunas da matriz. u1 v1T. i = 1, · · · , r. tem posto. então,.    u21     ..  (v11 v21 · · · vn1 )  .  um1. =. matriz. . 1.. u1 v1T. ···. u11 v21. ···. u21 v21 .. .. um1 v21. ···. ···. u11 vn1. .  u21 vn1  . ..  .  um1 vn1. são múltiplos do vetor. u1 ,. De maneira análoga, todas as matrizes. têm exatamente posto. e assim, a. uiviT ,. om. 1.. A partir desta observação e do Teorema 1.17 podemos armar que qualquer matriz ( om posto. r). é uma ombinação linear de. r. matrizes de posto. ientes desta ombinação linear são os valores singulares. σ1 , σ2 , · · · , σr. 1.. Os oe-. da matriz.. Em determinadas apli ações, apare em matrizes ujos valores singulares menores deveriam ser nulos, mas não o são por determinados motivos (por exemplo, erros de arredondamento). É freqüente, nestes asos, substituir esses valores singulares por zero, desprezando as suas ontribuições, e onsiderar uma matriz aproximada om menos termos na ombinação linear das matrizes de posto. Teorema 1.18. Seja. A ∈ Rm×n .. Para qualquer. Aν =. ν X. ν. σj uj vjT ,. j=1. 18. om. 1.. 0 ≤ ν ≤ r,. denimos. (1.17).

(33) Capítulo. se. 1.. ν = p = min{m, n},. Resultados Bási os e De omposição em Valores Singulares. dena. σν+1 = 0.. ||A − Aν ||2 =. Demonstração:. Então. min. posto(B)≤ ν. ||A − B||2 = σν+1 .. Ver [19℄.. . Observações: U T Aν V = diag(σ1 , σ2 , · · · , σν , 0, · · · , 0). 1. É fá il ver que. e daí,. posto(Aν ) = ν .. T. U (A − Aν )V = diag(0, 0, · · · , 0, σν+1 , · · · , σp ) e pelo Teorema. Por outro lado,. ||A − Aν ||2 = σν+1 .. 1.14, temos. 2. Observe que de a ordo om o Teorema 1.17 podemos usar o SVD para expressar uma matriz. A omo ombinação linear de. Ou seja, dada uma matriz singulares (r. < n),. uma base de. r. uma matriz. A. A ∈ Rm×n ,. podemos usar os primeiros. e aproximar as olunas de. A. r. valores. omo ombinação linear de. vetores. De a ordo om o Teorema 1.18, quando aproximamos de posto. n ≥ r,. para uma matriz. temos que essa aproximação no sentido da pois o ínmo é atingido para toda matriz. B. Σ′. !. B=U onde. uma base de vetores ortogonais.. 0. Ar = UΣr V T. || . ||2. om posto. é a melhor possível de. r, A,. denida por. V T,. (1.18). Σ′ = diag(σ1 , σ2 , · · · , σr , 0, · · · , 0).. 1.7.3 Posto Numéri o Seja. A ∈ Rm×n .. Suponha que uma matriz. A. que originalmente tinha posto. r<n. têm seus elementos perturbados por algum tipo de erro, por exemplo, arredondamento ou erros de medidas. Certamente, esses erros de arredondamento, não permitirá que a matriz. A. ontinue om posto exatamente igual a. r.. Realmente, o que. é provável, é que a matriz que foi pertubada terá posto maior que 19. r..

(34) Capítulo. 1.. Resultados Bási os e De omposição em Valores Singulares. Suponha que ambas as matrizes a ima sejam submetidas a algoritmos numéri os ou estatísti os. A proximidade de. A. para matriz pertubada não forne erá interpre-. tações erradas quando ambas as matrizes forem submetidas a esses algoritmos. Assim, um modo de evitar possíveis problemas om a denição de posto (ver [6℄), é espe i ar uma tolerân ia e dizer que a matriz de iente, se dentro dessa tolerân ia, a matriz. A. A. tem posto numeri amente. está próxima da matriz de posto. de iente. Em outras palavras,. Denição 1.19. Uma matriz. A. possui um. ǫ-posto r. om norma. || ||. se. r = posto(A, ǫ) = inf{posto(B); ||A − B|| ≤ ǫ}.. Entretanto, essa denição pode apresentar problemas, pois um pequeno aumento. ǫ. em. poderia a arretar na diminuição do posto numéri o de. a har um limite superior para a. r.. ǫ. A.. É ne essário então,. para o qual o posto numéri o a pelo menos iqual. Tal número é forne ido por qualquer. δ. satisfazendo. Denição 1.20 ǫ < δ ≤ sup{η; ||A − B|| < η ⇒ posto(B) ≥ r}, onde. ǫ. é dado omo na Denição. 1.19.. Através das Denições 1.19 e 1.20 podemos então ara terizar posto numéri o de uma matriz. A,. Denição 1.21 δ, ǫ. e. r. ou seja,. Uma matriz. A. satisfazem as Denições. tem. 1.19. Posto Numéri o (δ, ǫ, r) om norma || || se e. 1.20.. Usando as Denições 1.19 e 1.20, podemos ara terizar o posto numéri o de uma matriz. O seguinte teorema tem esse propósito. Usaremos a notação para ara terizar o posto numéri o om. || ||2.. 20. posto(δ, ǫ, r)2.

(35) Capítulo. Teorema 1.22 Então. A. 1.. Sejam. Resultados Bási os e De omposição em Valores Singulares. σ1 ≥ σ2 ≥ · · · ≥ σn. tem posto numéri o. (δ , ǫ, r)2. os valores singulares de uma matriz. A.. se, e somente se,. σr ≥ δ > ǫ ≥ σr+1 .. (1.19). Demonstração: Suponha (1.19). Pelo Teorema 1.18, se. posto(B) ≥ r. ||A − B||2 < δ. r. e portanto. 1.19.. ǫ ≥ σr+1 .. e por denição temos. σr ≥ σr+1 .. Suponha por ontradição que. impli aria que. ||A − B||2 < σr+1 ,. pelo Teorema 1.18 tem-se. σr ≥ δ .. ||A − B||2 ≤ ǫ,. δ, ǫ. Re ipro amente, suponha agora que. δ>ǫ. σr+1 < δ. e onseqüentemente satisfaz a Denição 1.18.. denida em (1.18), tem posto. então. logo,. e. r. e portanto. Como a matriz. B. daí satisfaz a Denição. satisfazem as Denições 1.19 e 1.20. Basta então mostrar que. ǫ < σr+1 ,. então, omo. σr ≥ δ. e que. ||A − B||2 < ǫ,. isso. ontradição om o Teorema 1.18. Por outro lado, Isso prova o teorema.. Mais detalhes a er a desta Subseção podem ser en ontradas em [6℄.. 1.8 Análise e Dis ussão Como já men ionamos na introdução, alguns trabalhos usam o PCA para geração de animações fa iais. Em geral, a SVD é utlizado na obtenção de uma base para o PCA. Podemos itar por exemplo o trabalho de Kuratate et al., (ver [18℄). Como vimos, a SVD é uma poderosa té ni a que permite aproximar uma determinada matriz. A. de posto. n. para uma matriz de posto. Essa aproximação para uma matriz. Ar. de posto. r<n. r <n. (Teorema 1.17).. é ótima no sentido da. (Teorema 1.18).. || ||2. Sob a óti a do problema de seleção de sub onjunto gostariamos de sele ionar. r. olunas de uma matriz de dados. A ∈ Rm×n (m ≥ n).. Tais. r. olunas devem. ser independentes de tal forma que podemos desprezar as ontribuições das outras. 21.

(36) Capítulo. 1.. Resultados Bási os e De omposição em Valores Singulares. (n − r ) olunas da matriz de dados. A e portanto, poder aproximar as (n − r ) olunas. (no sentido dos mínimos quadrados, [1℄) em termos de uma ombinação linear das. r. olunas sele ionadas. Suponha que tivéssemos uma matriz. A ∈ Rm×n. om. m≥n. e de ompomos esta. matriz usando SVD. Essa matriz A vai ser de omposta em soma de matrizes de n X posto 1, A = σi ui viT . Pelos teoremas 1.17 e 1.18, a matriz de posto r que melhor i=1 r X σi ui viT , aproxima-se de A no sentido da 2-norma, é justamente a matriz Ar = i=1 onde ui e vi são ulunas das matrizes U e V respe tivamente. Pode-se mostrar que. e a1 , e a2 , · · · , e an. ada uma das olunas omo. dessa nova matriz. Ar. de posto. r. são es ritas. ae1 = u1 v11 σ1 + u2 v12 σ2 + · · · + ur v1r σr. ae2 = u1 v21 σ1 + u2 v22 σ2 + · · · + ur vr2 σr . ... . ... . ... . ... ···. aer = u1 vr1 σ1 + u2 vr2 σ2 + · · · + ur vrr σr .. .. .. .. .. .. .. .. ···. aen = u1 vn1 σ1 + u2 vn2 σ2 + · · · + ur vnr σr e daí,. onde. Ur. e Ar = Ur X,. ontém os vetores ortogonais. orrespondentes a. vij σl ,. onde. u1 , u2 , · · · , ur. 1≤i≤n. e. e. e X. é uma matriz de oi ientes. 1 ≤ j, l ≤ r .. Obeservações: 1. Cada uma das olunas de. Ar , e ai. om. i = 1, · · · , n,. nações lineares de uma base de vetores 2. A base de vetores. ui. ui. é obtida a partir das. são es ritas omo ombi-. da matriz ortogonal. U;. n. A.. olunas da matriz. Por m, é realmente verdade que estamos interessados em reduzir a dimensão da matriz. A. para uma matriz de posto. r,. mas também, queremos que essas 22. r. olunas.

(37) Capítulo. 1.. Resultados Bási os e De omposição em Valores Singulares. sele ionadas sejam usadas para obter uma aproximação das outras (n. − r). olunas.. Dessa forma, obteremos um modelo que pode ser usado para predizer as (n. − r). olunas restantes de uma matriz de dados qualquer, bastando apenas sele ionar um onjunto de. r. olunas independentes da matriz. A.. Com o SVD, isso não é possivel.. Primeiro, porque teríamos que en ontrar todos os vetores obtermos. aei. onde. i = 1, · · · , n,. as olunas da matriz. A. ui ,. om. i = 1, · · · , r. para. mas obviamente, esses vetores dependem de todas. e isso não nos interessa, pois frustraria todo o nosso esforço. na tentativa de reduzir a dimensão dos dados da matriz. A.. Segundo, é verdade. que a interpretação dos resultados através da utilização dessa té ni a é fa ilitada pela redução da dimensionalidade (posto), mantendo um elevado grau de expli ação, porém, quais olunas da matriz. A foram usadas para obter as olunas da matriz Ar ?. De fato, não sabemos e no presente aso, não queremos que isso o orra. Gostaríamos de saber exatamente quais são essas olunas. Como veremos nos Capítulos. 2 e 3, a fatoração QR atende pre isamente as nossas. ne essidades, sele ionando um onjunto de. A.. Posteriormente, essas. uma das. (n − r). de uma base de. r. olunas independentes de uma matriz. olunas são utilizadas para aproximar exatamente ada. olunas da matriz de dados. r. r. A em termos de uma ombinação linear. olunas. Justi ando nossa es olha de usar a fatoração QR para. obtenção do modelo.. 23.

(38) Capítulo 2 A Fatoração QR 2.1 Introdução Nesse Capítulo omeçaremos por apresentar a denição de Fatoração QR e alguns resultados a er a do mesmo.. Em seguida, dis utimos as hamadas matrizes de. Householder e omo podemos obter a de omposição QR usando essas matrizes. Estudaremos as relações que existem entre a fatoração QR e o posto de uma determinada matriz. Provaremos, que se uma matriz. A tem posto ompleto, impli a. na uni idade de sua de omposição QR e onseqüentemente, uma base para a Por nal, analisaremos o aso em que neste aso, uma base para a. A. Im(A).. não tem posto ompleto e omo obter. Im(A).. 2.2 Denição e Propriedades da Fatoração QR Sejam elas:. a1 , a2 , · · · , an. as olunas da matriz. A. e a sequên ia de subspaços gerados por. ha1 i ⊆ ha1 , a2 i ⊆ · · · ⊆ ha1 , a2 , · · · , an i. Assim,. ha1 i é um espaço 1-dimensional gerado por a1 , ha1 , a2 i é o espaço 2-dimensio-. nal gerado por. a1. e. a2. e assim por diante. A idéia da fatoração QR está na onstru-. ção de uma sequên ia de vetores. q1 , q2 , · · · , qn. sequên ia de subespaços, (ver [7℄).. 24. ortonormais que geram essa mesma.

(39) Capítulo. 2.. A Fatoração QR. Para sermos mais pre isos, assumimos por um momento que. A ∈ Rm×n. om. m ≥ n e que posto(A) = n (nesse aso, dizemos que se A possui posto máximo, então as. n. Q. olunas de. formam uma base ortonormal da imagem de. q1 , q2 , · · · , qn. que a sequên ia. Assim, para que que. a1 = r11 q1 .. i = 1, · · · , 4. a1. i = 2. i = 1, · · · , n.. na igualdade a ima temos que. seja ombinação linear de. Por denição, para que. tais que. Gostaríamos. tivesse a seguinte propriedade. ha1 , a2 , · · · , ai i = hq1 , q2 , · · · , qi i , Em parti ular, tomando. A).. q1 ,. ha1 , a2 i = hq1 , q2 i.. devemos ter um es alar. ha1 , a2 i = hq1 , q2 i. t1 a1 + t2 a2 = t3 q1 + t4 q2 .. (2.1). r11. devem existir es alares. Substituindo. a1. por. r11 q1 ,. tal. ti ,. teremos:. t1 a1 + t2 a2 = t3 q1 + t4 q2 t1 (r11 q1 ) + t2 a2 = t3 q1 + t4 q2 t2 a2 = −t1 (r11 q1 ) + t3 q1 + t4 q2 t2 a2 = q1 (−t1 r11 + t3 ) + t4 q2 t4 −t1 r11 + t3 )q1 + q2 a2 = ( t2 t2 a2 = r12 q1 + r22 q2 onde,. r12. e. r22. es alares tais que,. r12 =. −t1 r11 +t3 e t2. r22 =. t4 . Analogamente, temos: t2. a1 = r11 q1 a2 = r12 q1 + r22 q2 . ... . ... . ... an = r1n q1 + r2n q2 + · · · + rnn qn . Observando as equações a ima, vemos que elas podem ser es ritas utilizando matrizes. Q. ortogonal e. Denição 2.1 onde. Seja. Q ∈ Rm×m. R. triangular superior, onde. A ∈ Rm×n .. A de omposição de uma matriz. é uma matriz ortogonal e. Fatoração QR de A. Observe que dada uma matriz linhas de. A, m ≥ n. ou. m < n.. A = QR.. R ∈ Rm×n. A ∈ Rm×n ,. A do. tipo. A = QR,. é triangular superior, é dita. temos duas possibilidades para as. Daremos em seguida, alguns detalhes (ver [20, 7℄). sobre omo obter a fatoração QR de uma matriz 25. A. para esses asos..

(40) Capítulo. 2.. A Fatoração QR. Caso: m ≥ n. 1o. Teorema 2.2 nal. Dada uma matriz. Q ∈ Rm×m. A ∈ Rm×n ,. om. e uma matriz triangular superior. m ≥ n,. existe uma matriz ortogo-. R ∈ Rm×n. tal que. A = QR.. (2.2). Demonstração: A prova desse teorema será dada na Seção 2.4.. . Observações: 1. Seja. e. A ∈ Rm×n , m ≥ n.. A de omposição QR onde existem matrizes. R ∈ Rm×n , onde Q é ortogonal e R =. Q ∈ Rm×m. !. ˆ ∈ Rn×n é triangular superior ,R. m>n. então pelo Teorema 2.2 e pela. ˆ R 0. é hamada de fatoração QR ompleta. 2. Suponha que. A ∈ Rm×n , m ≥ n.. observação 1, existem. ˆ R 0. !. ˆ ∈ Rn×n , R. Q ∈ Rm×m. ˜ ∈ Rm×(m−n) Q. olunas restantes de. e. R ∈ Rm×n ,. é triangular seperior e. matriz que onsiste das Seja. Se. onde. A = QR.. Q. é ortogonal e. R =. ˆ ∈ Rm×n Q. uma. Seja. ˆ também é ortogonal. n primeiras olunas de Q, logo Q. uma matriz ortogonal que representa as outra. Q.. Então. ˆ Q] ˜ A = QR = [Q. ˆ R 0. !. ˆR ˆ + Q0, ˜ =Q. m−n isto é,. ˆR ˆ. A=Q A fatoração QR de. R ∈ Rn×n. A ∈ Rm×n. om. m ≥ n. onde,. Q ∈ Rm×n. é ortogonal e. é triangular superior é denominada de fatoração QR reduzida.. 26.

(41) Capítulo. 2.. A Fatoração QR. Caso: m < n. 2o. Teorema 2.3. Seja. A ∈ Rm×n , m < n.. R = (R11 R12 ) ∈ Rm×n , R12 ∈ Rm×(n−m). onde. Q. Então existem matrizes. é ortogonal,. A = QR.. é retangular e. R11 ∈ Rm×m. Q ∈ Rm×m. e. triangular superior,. Demonstração: A prova desse teorema será dada na Seção 2.4.. Basi amente, existem três métodos para se obter a fatoração QR, são eles:. 1. Reexão de Householder; 2. Rotação de Givens; 3. Pro esso de Ortogonalização de Gram-S hmidt.. Des reveremos a seguir um método para se obter a fatoração QR. Esse método é baseado na refexão de Householder.. 2.3 Reexão de Householder Para melhor entendimento da reexão de Householder, é onveniente denir reexão (ver [20℄). Entretanto, não entraremos em detalhes, trataremos de um aso simples de reexão no. R2 ,. apenas para podermos ter uma idéia geométri a.. 2.3.1 Reexão Seja. R2. ξ. uma reta em. pela reta. ξ. R2. que passa pela origem. O operador que reete ada vetor em. é uma transformação linear, e portanto, pode ser representado por. uma matriz. Gostariamos de determinar esta matriz. Seja a. ξ. v um vetor não nulo perten ente a ξ .. só pode ser múltiplo de. v.. Considere. u. 27. Logo, ada vetor não-nulo que perten e. um vetor não-nulo ortogonal a. ξ.. Segue.

(42) Capítulo. que,. 2.. A Fatoração QR. {u, v} é uma base de R2 , logo ada x ∈ R2 pode ser expressado omo ombinação. linear de. u. e. v.. Então. x = αu + βv ,. om. α, β ∈ R.. A reexão de. x. por. ξ. é. x=. −αu+βv (ver Figura 2.1), logo, a matriz Q de reexão deve satisfazer Q(αu+βv) =. −αu + βv .. Assim, para que isso o orra, é ne essário e su iente que. Qu = −u e Qv = v.. (2.3). ξ. x = αu + βv v. u. Qx = −αu + βv. PSfrag repla ements. Figura 2.1:. Reexão em torno da reta ξ .. Sem perda de generalidade, podemos supor que. u. foi es olido de tal forma que. ||u||2 = 1. Considere agora a matriz priedade. Q = uuT ∈ R2×2 . Qu = (uuT )u = u(uT u) = u||u||2 = u. e. Qv = (uuT )v = u(uT v) = u(u, v) = 0 28. Então. Q. possui a seguinte pro-.

(43) Capítulo. já que. u. e. v. A Fatoração QR. são ortogonais.. Portanto, a matriz. I − 2Q. 2.. Q. não é uma reexão.. Por outro lado, se denimos. W =. temos. W u = u − 2Qu = u − 2u = −u e. W v = v − 2Qv = v−0 = v. Assim, a matriz pela reta. ξ,. onde. W ∈ R2×2 u. que é dada por. W = I − 2Q. é um vetor unitário e ortogonal a. ξ.. reete o vetor que passa. Logo,. W. é uma matriz de. reexão.. Teorema 2.4. Seja. reexão.. v ∈ Rn. um vetor não nulo e. T. P = I − 2 vv . vT v. Então. P. é uma. Demonstração: vv T vT v vv T −2 ||v||22 vv T −2 ||v||2.||v||2 vT − 2b v ||v|| − 2b vvbT .. P = I −2 = I = I = I = I Logo,. P. é uma reexão.. (2.4). . 29.

(44) Capítulo. 2.. A Fatoração QR. 2.3.2 Denição e Propriedades da Reexão de Householder A denição seguinte é hamada de reexão de Householder devido ao matemáti o e psi ólogo norte ameri ano Alston Householder.. Denição 2.5. v ∈ Rn. Seja. um vetor não nulo. Uma matriz. P = I −2. P. da forma. vv T vT v. (2.5). reexão de Householder, ou em outros Householder ou ainda transformação de Householder. de vetor de Householder. é hamada de. matriz de. asos de O vetor. v. é hamado. Para os nossos propósitos, omo veremos a seguir, é ne essario obtermos algumas propriedades rela ionadas om a reexão de Householder (ver [19, 10, 20℄).. Uma. reexão de Householder goza das seguintes propriedades:. Teorema 2.6. Seja. P ∈ Rm×n. uma reexão de Householder e. A ∈ Rm×n .. Então. 1. P é simétri a; 2. P é ortogonal; 3.. ||P x||2 = ||x||2 ;. 4.. ||P A||2 = ||A||2;. 5.. P 2 = I.. Demonstração:. Ver Anexo.. Umas das propriedades mais importantes da reexão de Householder se onsiste em omo determinar um vetor omo en ontrar o vetor. T. e1 = (1, 0, · · · , 0). v. v que dena tal reexão.. O seguinte resultado mostra. de Householder de tal forma que. .. 30. Px. seja múltiplo de.

(45) Capítulo. Teorema 2.7 um vetor. v = (v1 , v2 , · · · , vn ). de householder. x = (x1 , x2 , · · · , xn )T ,. Dado um vetor não-nulo. P. T. de maneira que. é denida pelo vetor. Demonstração:. Px. 2.. podemos en ontrar. é múltiplo de. v = x ± ||x||2 e1. e. A Fatoração QR. e1. onde a matriz. P x = ±||x||2 e1 .. Ver Anexo.. Portanto, todas as omponentes do vetor por multipli ação da matriz. x. à ex eção da primeira são anuladas. P.. De a ordo om o Teorema 2.7 temos duas possibilidades de reexão para o vetor. x, P x = ||x||2 e1 situação, onde. ou. H. +. P x = −||x||2 e1 .. e. H. −. A gura 2.2 representa geometri amente essa. representam hiperplanos no espaço. um hiperplano, representa um onjunto de pontos no om. ai , i = 1, · · · , n e b são números reais.. um hiperplano é o plano habitual.. n-dimensional.. Aliás,. Rn , tais que ax1 +· · ·+axn = b,. Em parti ular, num espaço tridimensional. Num espaço bidimensional, um hiperplano é. uma reta. Num espaço monodimensional, um hiperplano é um ponto. Assim, um hiperplano divide o espaço em que está denido em duas partes. Cada uma delas é hamada de semi-espaço.. x. H−. H+ PSfrag repla ements. −||x||2 e1. +||x||2e1. Figura 2.2:. Possibilidades de Reexão.. 2.3.3 Es olha do Vetor de Reexão Para evitar problemas no ál ulo da reexão, é importante determinarmos uma boa es olha para o vetor. v.. Obeserve que através da Denição 2.5 e das equações. 31.

(46) 2.. Capítulo. (4.9) e (4.10) on lui-se que é indiferente es olher o sinal anular todas as omponentes de sinal da omponente. x−sign(x1 )||x||2 e1 vT v. x1. do vetor. P x. x. +. Por outro lado, se. ou. A Fatoração QR. −. no vetor. sign(x1 ). e se o mesmo difere pou o de. v. para. representar o. e1. então. v =. tem norma bastante reduzida. Isso impli a que o produto es alar. possa ser uma quantidade muito pequena, o que a arretariam problemas no. ál ulo da matriz. P.. Por essa razão o vetor. v. é habitualmente denido a partir de. v = x + sign(x1 )||x||2e1 ,   −1, se y < 0, 1, se y > 0, sign(y) =  0, se y = 0.. onde. Além disso, omo todos os elementos da matriz ponentes do vetor. x,. vv T. (2.6). são produtos de duas om-. então valores grandes dessas omponentes podem impli ar a. o orrên ia de fenmenos de overow (o erro de overow o orre quando o resultado de uma operação aritméti a ex ede o valor de. 3.4028235 × 1038 ,. ou seja, erro por. estouro de memória). Esse problema é resolvido onsiderando o vetor de. x. na denição de. e portanto, omo. v.. Assim na denição da matriz. P x = ±||x||2 e1 ,. v. em vez. é denido por. (2.7). então. .  x . e1 =  P x = sign(x1 ) . ||x||∞ 2 . − sign(x1 )α 0 .. .. 0. v u n . 2 uX x x i t. α= ||x||∞ = vmax 2. e. o vetor. 1 1 . e1 v=x + sign(x1 ) x ||x||∞ ||x||∞ 2 . onde. P,. x ||x||1 ∞. i=1. vmax = max |xi | . i. 32.      . (2.8). (2.9).

(47) Capítulo. 2.. A Fatoração QR. 2.4 Cál ulo da Fatoração QR Como visto na Seção 2.2, provaremos a existên ia da de omposição QR para uma. A ∈ Rn×n .. matriz. QR quando. A prova do próximo teorema mostra a existên ia da fatoração. m ≥ n,. Teorema 2.8. usando reexão de Householder.. P. Seja. Rm×n , om m ≥ n.. a matriz de Householder omo na Denição. Então existem matrizes. Q ∈ Rm×m. R ∈ Rm×n. e. 2.5. e seja. tal que. A∈. A = QR.. Demonstração: Como Então,. m ≥ n,. 2 . T v(1) v(1). temos que a matriz de Householder é uma matriz quadrada. m × m.. v onde. (1). A ∈ Rm×n. e seja. P1 = I − β1 v (1) v (1). . a11 a21 an1 = + sign(a11 )α, ,··· , vmax vmax vmax v u n 2 uX xi 2 t α= , β1 = (1)T (1) , vmax v v i=1. assim. (2). P1 A = A. De maneira geral, ada matriz. v om. T. β1 =. De fato, suponha que. (k). . (2). a11.   0 =   ..  . 0. Pk. (2). a12. (2). a22 . . .. (2) am2. ···. ··· ... .. ···. (2)  a2n   . . . .  (2) amn. (k). (k) ak+1,k akk (k) + sign(akk )α = 0 ··· 0 vmax vmax.

(48)

(49)

(50) (k)

(51) vmax = max

(52) aik

(53) ,. Assim,. T. Pk = I − βk v (k) v (k) #T (k) ank ··· vmax. v u n uX aik 2 2 α=t , βk = (k)T (k) . vmax v v i=k 33. ,. . (2). a1n. i=k,··· ,n. onde. T. de Householder é dada por. ". , onde. ,.

(54) Capítulo. 2.. A Fatoração QR. Pn−1 Pn−2 · · · P2 P1 A = R donde segue,. −1 −1 A = P1−1 P2−1 · · · Pn−2 Pn−1 R. = P1 P2 · · · Pn−2 Pn−1 R. Observe agora que todas as matrizes. P1 P2 · · · Pn−2 Pn−1. são ortogonais e portanto, o produto. também é ortogonal, além disso, para ada. uma matriz simétri a, assim,. I.. Pk. Isso impli a que. P1 P2 · · · Pn−2 Pn−1. PkT = Pk .. PkT = Pk−1. Além disso,. e portanto,. Pk. k = 1, 2, ..., n, Pk. é ortogonal, logo. Pk−1 = Pk .. Pk PkT =. Q ∈ Rm×m. Q =. Assim tomando. podemos es rever. A = QR, onde. é. (2.10). R ∈ Rm×n .. e. Portanto, o Teorema 2.8 prova a existên ia da de omposição QR quando Em relação ao Teorema 2.3 (quando. m ≥ n.. m < n), sua demonstração é totalmente análoga. ao Teorema 2.8, basta onsiderarmos para esse aso, uma matriz de Householder. P ∈ Rm×m ,. onde. (R11 R12 ) ∈ R. m×n. ,. m < n. e obteremos uma matriz. R11 ∈ R. m×m. triangular superior e. Q ∈ Rm×m R12 ∈ R. ortogonal e. m×(n−m). R =. retangular.. Nos limitaremos a partir das próximas Seções a obter resultados somente quando. A ∈ Rm×n. om. 4.. m ≥ n,. pois essa matriz vai ser nosso objeto de estudo no Capítulo. 2.5 Relações da Fatoração QR om o Posto de uma Matriz Essa Seção objetiva estudar a uni idade da fatoração QR e analizar em que ir unstân ias ela o orre. Veremos que o fato de uma matriz. A posuir. posto ompleto, im-. pli a em sua uni idade, aso ontrário, a fatoração QR não produz ne essariamente uma base para. Im(A).. Assim, antes de darmos detalhes da uni idade, daremos uma 34.

(55) Capítulo. 2.. A Fatoração QR. prova para a suposição (2.1), pois a idéia da fatoração QR, está na onstrução para uma base para. Im(A).. Teorema 2.9. Seja. n. A ∈ Rm×n. e sua respe tiva fatoração QR. Suponha. e onsidere as seguintes partições. ada. ai. e. qj. A = [a1 , a2 , · · · , an ]. são as respe tivas olunas de. A. e. e. posto(A) =. Q = [q1 , q2 , · · · , qm ],. Q, 1 ≤ i ≤ n. e. 1 ≤ j ≤ m.. Então. ha1 , a2 , · · · , an i = hq1 , q2 , · · · , qn i , k = 1, · · · , n.. Demonstração:. onde. (2.11). Ver Anexo.. . 2.5.1 Uni idade da Fatoração QR A uni idade da fatoração QR pode ser muito útil em ertas apli ações, (ver [11, 7℄). Portanto, poder determinar quando ela o orre, pode ser muito importante.. Teorema 2.10. Seja. A ∈ Rm×n ,. existe uma úni a matriz. R. om. Q ∈ Rm×n. e. m≥n. e suponha que. R ∈ Rn×n. tal que. Q. posto(A) = n.. Então. têm olunas ortogonais e. é triangular superior om todas as entradas da diagonal positiva e. A = QR.. Demonstração:. (2.12). Ver Anexo.. . 2.5.2 Matriz de Permutação Se uma matriz. A não tem posto ompleto, então a fatoração QR não ne essariamente. produz uma base para. Im(A).. Esse problema pode ser orrigido implementando o. que hamamos de fatoração QR om pivoteamento de olunas. Antes falarmos sobre pivoteamento de olunas, daremos algumas denições úteis que serão ne essárias ao entendimento desse método. 35.