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FACULDADE DE CIÊNCIAS E TECNOLOGIA DA UNIVERSIDADE DE COIMBRA

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FACULDADE DE CIÊNCIAS E TECNOLOGIA

DA UNIVERSIDADE DE COIMBRA

NIM & HEX

Maria do Rosário Travassos Serrano Isabel Maria Gaspar Ferreira Ventura

APLICAÇÕES DA MATEMÁTICA

(2)

NIM & HEX 1

ÍNDICE

1 - Introdução 2

2 – NIM 3

2.1- Introdução histórica 3

2.2- Regras do jogo 3

2.3- Estratégia do jogo 4

2.4- Análise de um jogo NIM 5

2.5- Jogos derivados do jogo NIM 7

3- HEX 8

3.1- Introdução histórica 8

3.2- Regras do jogo 8

3.3- Estratégia do jogo 9

3.4- Análise de um jogo HEX 11

4 – Conclusão 12

(3)

NIM & HEX 2

1 - INTRODUÇÃO

Neste trabalho vamos apresentar dois jogos, o NIM e o HEX, que

podem ser utilizados nos clubes de Matemática, como forma de motivar os

alunos para a disciplina.

Apresentamos, em primeiro lugar, o jogo NIM, abordando o aspecto

histórico, as suas regras e uma hipótese de jogo.

De seguida apresentamos o jogo HEX, seguindo a mesma linha de

(4)

NIM & HEX 3

2 – NIM

2.1- INTRODUÇÃO HISTÓRICA

É um jogo de origem desconhecida, sendo jogado desde a antiguidade.

Foi o primeiro jogo a ser estudado matematicamente. O nome foi dado por

Charles Bouton num artigo de 1902, onde estuda a teoria matemática do

jogo.

Ganhou notoriedade com a aparição no filme “O Último Ano em

Marienbad” de Alain Resnais, em 1961.

2.2- REGRAS DO JOGO

É um jogo de raciocínio para dois jogadores, muito versátil pois pode

(5)

NIM & HEX 4 Cada jogador, em cada jogada, escolhe uma pilha e retira dela o

número de peças que desejar (pode retirar desde uma, até todas as peças).

Ganha o jogador que retirar a última peça.

2.3- ESTRATÉGIAS DO JOGO

2.3.1- Com uma pilha

É um jogo trivial pois o primeiro jogador retira todas as peças e

ganha numa só jogada.

2.3.2- Com duas pilhas

Há uma estratégia óptima, que é retirar de uma das pilhas o número

de peças necessário para igualar as pilhas e, a partir daí, copiar a jogada do

adversário, de forma a deixar sempre iguais as duas pilhas. A certa altura, o

adversário terá de terminar completamente uma pilha. Nessa altura,

esvazia-se a outra e ganha-se.

2.3.3- Com três ou mais pilhas

A estratégia vencedora é mais difícil e pode ser formalizada

introduzindo a soma NIM, designada por ⊕ e conhecida matematicamente como soma directa, operada sobre a representação dos números em

expansão binária. Esta operação adiciona, um a um, os dígitos, mas não

(6)

NIM & HEX 5 A soma NIM obedece às seguintes regras:

0 ⊕ 0 = 0 1 ⊕ 0 = 1 0 ⊕ 1 = 1 1 ⊕ 1 = 0

É o Teorema de Bouton que assegura a obtenção de uma posição

vencedora.

Teorema de Bouton (1902):

Em NIM de n pilhas, as posições vencedoras são aquelas que

verificam ... 0

2

1⊕x ⊕ ⊕xn =

x .

2.4- ANÁLISE DE UM JOGO NIM

Considere-se o jogo NIM (13, 17, 19, 23), ou seja, aquele que tem 13

peças na primeira pilha, 17 na segunda, 19 na terceira e 23 na quarta pilha.

O primeiro jogador, tendo em atenção o Teorema de Bouton, terá de

transformar cada um dos números em números binários da seguinte forma:

(7)

NIM & HEX 6 Em seguida, terá que efectuar a soma NIM.

0 1 1 0 1

1 0 0 0 1

1 0 0 1 1

⊕ 1 0 1 1 1 1 1 0 0 0

Neste caso, teremos que 13⊕17⊕19⊕23=24 +23 =24, ou seja, não é uma posição vencedora! O objectivo do jogador será transformar esta soma

para que o seu resultado seja zero. Para tal, neste caso, existem três

hipóteses:

1ª hipótese 2ª hipótese 3ª hipótese

0 1 1 0 1

0 1 0 0 1

1 0 0 1 1

⊕ 1 0 1 1 1 0 0 0 0 0

Neste caso, a segunda

pilha fica só com 9 peças,

ou seja, o primeiro

jogador deverá retirar 8

peças da segunda pilha.

0 1 1 0 1

1 0 0 0 1

0 1 0 1 1

⊕ 1 0 1 1 1 0 0 0 0 0

Nesta hipótese, o jogador

deve retirar 8 peças da

terceira pilha, ficando

esta com apenas 11

elementos.

0 1 1 0 1

1 0 0 0 1

1 0 0 1 1

⊕ 0 1 1 1 1 0 0 0 0 0

Aplicando a sugestão dada

nesta hipótese, o primeiro

jogador retira 8 peças da

quarta pilha, deixando lá

(8)

NIM & HEX 7 Optando por qualquer uma destas hipóteses, o primeiro jogador

colocar-se-á numa posição vencedora. Assim sendo, é só esperar que o

segundo jogador faça a sua jogada e voltar a raciocinar da mesma forma

para se colocar novamente numa posição vencedora.

2.5- JOGOS DERIVADOS DO JOGO NIM

São vários os jogos que derivam do jogo NIM pois usam a mesma

estratégia de resolução. São exemplos o PLAINIM, o NIMBLE, o

(9)

NIM & HEX 8

3 – HEX

3.1- INTRODUÇÃO HISTÓRICA

O HEX é um jogo de profunda subtileza. Foi inventado por Piet Hein,

matemático, físico e poeta dinamarquês e apareceu, pela primeira vez, no

jornal diário “Polytiken” de 26 de Dezembro de 1942, com o nome de

“Polígono”.

Em 1948, o matemático John Nash, enquanto preparava o seu

doutoramento em Princeton, e sem ter conhecimento da invenção de Piet

Hein, inventou de novo o jogo ao qual os seus colegas apenas chamavam Nash

ou John.

A empresa Parker Brothers comercializou uma das versões do jogo,

com o nome HEX, o qual vingou até hoje.

Durante a década de 50 do século passado, o jogo HEX converteu-se

numa espécie de loucura, em muitos departamentos de matemática um pouco

por todo o mundo.

3.2- REGRAS DO JOGO

O HEX é jogado num tabuleiro com 42 por 26 centímetros, formado

por hexágonos interligados. O tabuleiro utilizado habitualmente tem 11 por

11 hexágonos, mas podem ser utilizados tabuleiros de menores ou maiores

(10)

NIM & HEX 9 Cada jogador tem um determinado número de fichas, normalmente

50, sendo que um deles jogará com as azuis e outro com as vermelhas.

Determina-se quem joga em primeiro lugar procedendo, por exemplo,

ao lançamento de uma moeda ao ar. Depois os jogadores, alternadamente,

vão colocando as suas fichas nos hexágonos livres do tabuleiro. Ganha aquele

que primeiro conseguir formar um caminho de fichas próprias que una os

seus dois lados opostos, isto é, um caminho vermelho que una as duas

margens vermelhas ou um caminho azul que una as duas margens azuis.

Há também a regra do equilíbrio: no primeiro lance, o segundo jogador

pode trocar de cores, ficando com a jogada efectuada pelo adversário.

Neste jogo não há capturas, preenchendo-se sequencialmente o tabuleiro

com peças.

3.3- ESTRATÉGIAS DO JOGO

No HEX o número de jogadas é finito e haverá sempre um vencedor,

(11)

NIM & HEX 10 demonstrar que, se jogasse de forma óptima, o primeiro jogador ganharia

sempre. O problema está em descobrir a estratégia que o conduzirá à

vitória.

O tabuleiro 7 × 7 é o maior tabuleiro para o qual se conhece a estratégia que dá a vitória ao primeiro jogador. Num tabuleiro maior o

primeiro jogador sabe que, em teoria, deveria ganhar, mas não sabe como.

No entanto, existem algumas estratégias que aumentam a probabilidade de

um jogador ganhar:

 se a primeira jogada for muito forte, por exemplo, nas casas centrais da diagonal menor, o primeiro jogador fica na posse de grande

vantagem;

 formação de pontes: duas “casas” não adjacentes ocupadas por fichas da mesma cor estão separadas por duas “casas” intermédias;

 contrariar as intenções do outro jogador deve ser sempre uma preocupação já que, muitas vezes, uma boa defesa é o melhor ataque. A

(12)

NIM & HEX 11

3.4- ANÁLISE DE UM JOGO HEX

Recorrendo ao jogo interactivo que está disponível no site

http://matematica.no.sapo.pt/hex/hex.html faremos uma demonstração

(13)

NIM & HEX 12

4 – CONCLUSÃO

Os jogos NIM e HEX são jogos de cariz distinto uma vez que o

primeiro é um jogo de cálculo matemático, enquanto o HEX é um jogo de

raciocínio lógico.

Apesar de o NIM exigir alguns conhecimentos matemáticos,

actualmente os jovens estudantes já possuem informação suficiente sobre

notação binária para poderem jogar com sucesso pois, desde cedo, se

familiarizam com a informática.

Quanto ao HEX, qualquer aluno o poderá jogar, ganhando com isso o

(14)

NIM & HEX 13

5 – BIBLIOGRAFIA

♦ Ciência – Expresso, Actual 2004/11/20 Jogos matemáticos; página da

‘Internet’ de endereço

http://pascal.iseg.utl.pt/~ncrato/Expresso/JogosMatemáticos_Expresso20

041120.htm ; [Fevereiro de 2007];

♦ Enciclopédia livre on-line Wikipédia; Nim (jogo); página da ‘Internet’ de

endereço http://pt.wikipedia.org/wiki/Nim_(jogo) ; [Fevereiro de 2007];

♦ Breves notas sobre o Hex; Motor de busca Sapo; página da ‘Internet’ de

endereço http://matemática2.no.sapo.pt/hexestrat/hexest.htm ;

[Fevereiro de 2007];

♦ Jogos Matemáticos - HEX; Página da ‘Internet’ de endereço

http://ludicum.org/events/04janh08_09-1.pdf ; [Fevereiro de 2007];

♦ O Primeiro de Janeiro, Jorge Nuno Silva; Campeonato Nacional de Jogos

Matemáticos HEX; página da ‘Internet’ de endereço

http://matforum.fc.ul.pt/forum/msg/109/PJ_13_10_A.pdf; [Março dee

2007];

♦ Jogo Hex on-line; página da ‘Internet’ de endereço

http://matematica.no.sapo.pt/hex/hex.html; [Março de 2007].

♦ Escola Básica de segundo e terceiro ciclos do Paul; jogo Hex on-line para

dois jogadores; página da ‘Internet’ de endereço

http://www.anossaescola.com/paul/recursos_ver.asp?ID=18 ; [Março de

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Referências

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