FACULDADE DE CIÊNCIAS E TECNOLOGIA
DA UNIVERSIDADE DE COIMBRA
NIM & HEX
Maria do Rosário Travassos Serrano Isabel Maria Gaspar Ferreira Ventura
APLICAÇÕES DA MATEMÁTICA
NIM & HEX 1
ÍNDICE
1 - Introdução 2
2 – NIM 3
2.1- Introdução histórica 3
2.2- Regras do jogo 3
2.3- Estratégia do jogo 4
2.4- Análise de um jogo NIM 5
2.5- Jogos derivados do jogo NIM 7
3- HEX 8
3.1- Introdução histórica 8
3.2- Regras do jogo 8
3.3- Estratégia do jogo 9
3.4- Análise de um jogo HEX 11
4 – Conclusão 12
NIM & HEX 2
1 - INTRODUÇÃO
Neste trabalho vamos apresentar dois jogos, o NIM e o HEX, que
podem ser utilizados nos clubes de Matemática, como forma de motivar os
alunos para a disciplina.
Apresentamos, em primeiro lugar, o jogo NIM, abordando o aspecto
histórico, as suas regras e uma hipótese de jogo.
De seguida apresentamos o jogo HEX, seguindo a mesma linha de
NIM & HEX 3
2 – NIM
2.1- INTRODUÇÃO HISTÓRICA
É um jogo de origem desconhecida, sendo jogado desde a antiguidade.
Foi o primeiro jogo a ser estudado matematicamente. O nome foi dado por
Charles Bouton num artigo de 1902, onde estuda a teoria matemática do
jogo.
Ganhou notoriedade com a aparição no filme “O Último Ano em
Marienbad” de Alain Resnais, em 1961.
2.2- REGRAS DO JOGO
É um jogo de raciocínio para dois jogadores, muito versátil pois pode
NIM & HEX 4 Cada jogador, em cada jogada, escolhe uma pilha e retira dela o
número de peças que desejar (pode retirar desde uma, até todas as peças).
Ganha o jogador que retirar a última peça.
2.3- ESTRATÉGIAS DO JOGO
2.3.1- Com uma pilha
É um jogo trivial pois o primeiro jogador retira todas as peças e
ganha numa só jogada.
2.3.2- Com duas pilhas
Há uma estratégia óptima, que é retirar de uma das pilhas o número
de peças necessário para igualar as pilhas e, a partir daí, copiar a jogada do
adversário, de forma a deixar sempre iguais as duas pilhas. A certa altura, o
adversário terá de terminar completamente uma pilha. Nessa altura,
esvazia-se a outra e ganha-se.
2.3.3- Com três ou mais pilhas
A estratégia vencedora é mais difícil e pode ser formalizada
introduzindo a soma NIM, designada por ⊕ e conhecida matematicamente como soma directa, operada sobre a representação dos números em
expansão binária. Esta operação adiciona, um a um, os dígitos, mas não
NIM & HEX 5 A soma NIM obedece às seguintes regras:
0 ⊕ 0 = 0 1 ⊕ 0 = 1 0 ⊕ 1 = 1 1 ⊕ 1 = 0
É o Teorema de Bouton que assegura a obtenção de uma posição
vencedora.
Teorema de Bouton (1902):
Em NIM de n pilhas, as posições vencedoras são aquelas que
verificam ... 0
2
1⊕x ⊕ ⊕xn =
x .
2.4- ANÁLISE DE UM JOGO NIM
Considere-se o jogo NIM (13, 17, 19, 23), ou seja, aquele que tem 13
peças na primeira pilha, 17 na segunda, 19 na terceira e 23 na quarta pilha.
O primeiro jogador, tendo em atenção o Teorema de Bouton, terá de
transformar cada um dos números em números binários da seguinte forma:
NIM & HEX 6 Em seguida, terá que efectuar a soma NIM.
0 1 1 0 1
1 0 0 0 1
1 0 0 1 1
⊕ 1 0 1 1 1 1 1 0 0 0
Neste caso, teremos que 13⊕17⊕19⊕23=24 +23 =24, ou seja, não é uma posição vencedora! O objectivo do jogador será transformar esta soma
para que o seu resultado seja zero. Para tal, neste caso, existem três
hipóteses:
1ª hipótese 2ª hipótese 3ª hipótese
0 1 1 0 1
0 1 0 0 1
1 0 0 1 1
⊕ 1 0 1 1 1 0 0 0 0 0
Neste caso, a segunda
pilha fica só com 9 peças,
ou seja, o primeiro
jogador deverá retirar 8
peças da segunda pilha.
0 1 1 0 1
1 0 0 0 1
0 1 0 1 1
⊕ 1 0 1 1 1 0 0 0 0 0
Nesta hipótese, o jogador
deve retirar 8 peças da
terceira pilha, ficando
esta com apenas 11
elementos.
0 1 1 0 1
1 0 0 0 1
1 0 0 1 1
⊕ 0 1 1 1 1 0 0 0 0 0
Aplicando a sugestão dada
nesta hipótese, o primeiro
jogador retira 8 peças da
quarta pilha, deixando lá
NIM & HEX 7 Optando por qualquer uma destas hipóteses, o primeiro jogador
colocar-se-á numa posição vencedora. Assim sendo, é só esperar que o
segundo jogador faça a sua jogada e voltar a raciocinar da mesma forma
para se colocar novamente numa posição vencedora.
2.5- JOGOS DERIVADOS DO JOGO NIM
São vários os jogos que derivam do jogo NIM pois usam a mesma
estratégia de resolução. São exemplos o PLAINIM, o NIMBLE, o
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3 – HEX
3.1- INTRODUÇÃO HISTÓRICA
O HEX é um jogo de profunda subtileza. Foi inventado por Piet Hein,
matemático, físico e poeta dinamarquês e apareceu, pela primeira vez, no
jornal diário “Polytiken” de 26 de Dezembro de 1942, com o nome de
“Polígono”.
Em 1948, o matemático John Nash, enquanto preparava o seu
doutoramento em Princeton, e sem ter conhecimento da invenção de Piet
Hein, inventou de novo o jogo ao qual os seus colegas apenas chamavam Nash
ou John.
A empresa Parker Brothers comercializou uma das versões do jogo,
com o nome HEX, o qual vingou até hoje.
Durante a década de 50 do século passado, o jogo HEX converteu-se
numa espécie de loucura, em muitos departamentos de matemática um pouco
por todo o mundo.
3.2- REGRAS DO JOGO
O HEX é jogado num tabuleiro com 42 por 26 centímetros, formado
por hexágonos interligados. O tabuleiro utilizado habitualmente tem 11 por
11 hexágonos, mas podem ser utilizados tabuleiros de menores ou maiores
NIM & HEX 9 Cada jogador tem um determinado número de fichas, normalmente
50, sendo que um deles jogará com as azuis e outro com as vermelhas.
Determina-se quem joga em primeiro lugar procedendo, por exemplo,
ao lançamento de uma moeda ao ar. Depois os jogadores, alternadamente,
vão colocando as suas fichas nos hexágonos livres do tabuleiro. Ganha aquele
que primeiro conseguir formar um caminho de fichas próprias que una os
seus dois lados opostos, isto é, um caminho vermelho que una as duas
margens vermelhas ou um caminho azul que una as duas margens azuis.
Há também a regra do equilíbrio: no primeiro lance, o segundo jogador
pode trocar de cores, ficando com a jogada efectuada pelo adversário.
Neste jogo não há capturas, preenchendo-se sequencialmente o tabuleiro
com peças.
3.3- ESTRATÉGIAS DO JOGO
No HEX o número de jogadas é finito e haverá sempre um vencedor,
NIM & HEX 10 demonstrar que, se jogasse de forma óptima, o primeiro jogador ganharia
sempre. O problema está em descobrir a estratégia que o conduzirá à
vitória.
O tabuleiro 7 × 7 é o maior tabuleiro para o qual se conhece a estratégia que dá a vitória ao primeiro jogador. Num tabuleiro maior o
primeiro jogador sabe que, em teoria, deveria ganhar, mas não sabe como.
No entanto, existem algumas estratégias que aumentam a probabilidade de
um jogador ganhar:
se a primeira jogada for muito forte, por exemplo, nas casas centrais da diagonal menor, o primeiro jogador fica na posse de grande
vantagem;
formação de pontes: duas “casas” não adjacentes ocupadas por fichas da mesma cor estão separadas por duas “casas” intermédias;
contrariar as intenções do outro jogador deve ser sempre uma preocupação já que, muitas vezes, uma boa defesa é o melhor ataque. A
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3.4- ANÁLISE DE UM JOGO HEX
Recorrendo ao jogo interactivo que está disponível no site
http://matematica.no.sapo.pt/hex/hex.html faremos uma demonstração
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4 – CONCLUSÃO
Os jogos NIM e HEX são jogos de cariz distinto uma vez que o
primeiro é um jogo de cálculo matemático, enquanto o HEX é um jogo de
raciocínio lógico.
Apesar de o NIM exigir alguns conhecimentos matemáticos,
actualmente os jovens estudantes já possuem informação suficiente sobre
notação binária para poderem jogar com sucesso pois, desde cedo, se
familiarizam com a informática.
Quanto ao HEX, qualquer aluno o poderá jogar, ganhando com isso o
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5 – BIBLIOGRAFIA
♦ Ciência – Expresso, Actual 2004/11/20 Jogos matemáticos; página da
‘Internet’ de endereço
http://pascal.iseg.utl.pt/~ncrato/Expresso/JogosMatemáticos_Expresso20
041120.htm ; [Fevereiro de 2007];
♦ Enciclopédia livre on-line Wikipédia; Nim (jogo); página da ‘Internet’ de
endereço http://pt.wikipedia.org/wiki/Nim_(jogo) ; [Fevereiro de 2007];
♦ Breves notas sobre o Hex; Motor de busca Sapo; página da ‘Internet’ de
endereço http://matemática2.no.sapo.pt/hexestrat/hexest.htm ;
[Fevereiro de 2007];
♦ Jogos Matemáticos - HEX; Página da ‘Internet’ de endereço
http://ludicum.org/events/04janh08_09-1.pdf ; [Fevereiro de 2007];
♦ O Primeiro de Janeiro, Jorge Nuno Silva; Campeonato Nacional de Jogos
Matemáticos HEX; página da ‘Internet’ de endereço
http://matforum.fc.ul.pt/forum/msg/109/PJ_13_10_A.pdf; [Março dee
2007];
♦ Jogo Hex on-line; página da ‘Internet’ de endereço
http://matematica.no.sapo.pt/hex/hex.html; [Março de 2007].
♦ Escola Básica de segundo e terceiro ciclos do Paul; jogo Hex on-line para
dois jogadores; página da ‘Internet’ de endereço
http://www.anossaescola.com/paul/recursos_ver.asp?ID=18 ; [Março de