SEQUÊNCIAS E SÉRIES

1

SEQUÊNCIAS E SÉRIES

Prof. Me. Ayrton Barboni

1. SEQUÊNCIAS NUMÉRICAS 2

1.1. Sequências convergentes e sequências divergentes 3

1.2. Teorema 1 – Sequência associada a uma função real de variável real 3

1.3. Teorema 2 – Confronto 4

1.4. Sequências monótonas 4

1.5. Sequências limitadas 5

1.6. Teorema 3 5

1.7. Teorema 4 5

2. SÉRIES INFINITAS 6

2.1. Séries convergentes e divergentes 6

2.2. Teorema 1 7

2.3. Teorema 2 7

2.4. Teorema 3 – Operações com séries 8

2.5. Séries de termos positivos 9

2.5.1. Teste de Comparação 9

2.5.2. Teste da Razão (D’Alembert) 11

2.5.3. Teste da Raiz n-ésima (Cauchy) 12

2.5.4. Teste da Integral Imprópria 13

2.6. Séries Alternadas 14

2.6.1. Teste de convergência de séries alternadas (Leibniz) 14

3. SÉRIES DE POTÊNCIAS 16

4. SÉRIES DE TAYLOR E MAcLAURIN 18

4.1.Série de Taylor 18

4.2. Série de MacLaurin 19

2

SEQUÊNCIAS E SÉRIES

Prof. Me. Ayrton Barboni 1. SEQUÊNCIAS NUMÉRICAS

Chamaremos de sequência ou sucessão em a toda função f de * _{em .}

*

f

A função f é conhecida a partir de suas imagens f (i), i = 1,2,3,...n, ..., visto que o domínio é sempre *_.

Notação: ( ( ))f n _n * ou ( )an _n *: anf n( ) ou a a a1, , , ... ,2 3 an, ...

Exemplo.01:

1) *

1

( )n _n : n ( )

n

a f n

n

a





  ou 2 3 4 1 1 2 3, , , ... , , ...

n n



ou

* 1

n N

n

n _



 

 

 

Obs: O gráfico da função é formado apenas pelos pontos (1,2), (2, 3/2), ...

1 2 3

. . .

n . .

f (1) = a 1 f (2) = a 2 f (3) = a 3

. . .

f (n) = a n

. .

1 2 3 n n + 1

N* IR

1

2 (1,2)

(2, 3/2)

(3, 4/3)

3 2)

*

1 1 1 1 1

: 1, , , , ..., , ...

2 3 4 n

n _ n

   

 

3) 3, 3, 3, 3, ....

4) 2, 1, 2, 1, 2, 1, ... 5) 1, 2, 3, 4, ... , n, ....

6) *

1 ( 1) 2

( )n _n : ( )

n n

a _ a  f n    ou 0, 1, 0, 1, 0, 1, ... 7) (cos( ))n _n * ou 1, 1, 1, 1, 1, ... 

8) Fibonacci _* 1 2

1 2

1

( )_n :

n

n n n

a a

a

a a a



 

 



 _{ }

 ou 1, 1, 2, 3, 5, 8, ...

9) Fatorial _* 1

1 1 ( )

. :

n _n

n n

a a

a n a



  

 _

 ou 1, 2, 6, 24, 120, ... , , ...n

!

1.1. Sequências convergentes e sequências divergentes

Uma sequência ( )an _n * que tem lim_nan  L finito é chamada de convergente. Uma sequência não-convergente é chamada de divergente, isto é, L é infinito ou não existe.

Exemplos:

a)

*

1 1 1 1 1

, , , ..., , ... tem limite L=0 (finito), logo, convergente

1 _n : 2 3 4 1

n _ n

 

 _  _

 

b) ( )n _n *: 1, 2, 3, 4, ... , , ...n tem limiteL infinito, logo, divergente. c) (( 1) ) *: 1, 1, 1, 1, ... , ( 1) , ...

n n

n

    a sequência tende aos valores (–1) e

1, conforme n é ímpar ou par e, por isto, L não existe e a sequência divergente.

EXERCÍCIOS 1.1:

Dizer se as sequências do Exemplo.01 são convergentes (C) ou divergentes (D) e apresentar o valor do limite das sequências convergentes.

Resp: 1) C, L = 1 2) C, L = 0 3) C, L = 3 4) D 5) D 6)D 7)D 8)D 9)D

1.2. Teorema 1– Sequência associada a uma função real de variável real

Seja ( )_{n *} n

a _ uma sequência e :[1,f   [ , y f x( )_, uma função onde se tem ( )f n a_n ,  n *.

'' Se lim ( ) L,

x  f x  então limn f n( )n lim anL.'' Assim, lim _n L,

4 EXERCÍCIOS 1.2:

Verifique se as sequências são convergentes ou divergentes

a)

* 1

2 1 _n

n

n _



 

 _ 

  b) 2

* 1

n n

n _

  

 

  c) 2 1 _n * n

n _

 

 _ 

 

d)

* 3

1

n

n

n



_{ } 



_{ } 

_{ } 

  e) *

1/

sen( )

1/ _n

n

n _

 

 

  f) 2 * ln

n n

n _

 

 

 

Resp: a)C, L = 1/2 b)D c)C, L = 0 d)C, L =

e

3

e)C, L = 1

f)C, L = 0

1.3. Teorema 2– Confronto Sejam as sequências ( )_{n *}

n a



,

( )bn _n *

e ( )_{n *} n c

 sendo anbn cn,

*

_.

n

 

'' Se lim _n lim _n L

na nc 

,

então nlim bn L ''

EXERCÍCIOS 1.3:

Verifique se as sequências são convergentes ou divergentes

a) ₂

* cos( )

n n

n _

 

 

  b) (n a)_n _ * _{1}_,a 0

  

 

c) _*

{1}

(n )

n

n _{ }

 

  



Resp: a)C, L = 0 b) C , Obs: Estudar a1 e, depois, 0 a 1.

c) C, Veja: Temos que n _n 1_{, logo, 0 talque} 1 _(I)

n n n

b n b

   

Sabe-se que 0 1 1 2 2

0 1

( 1) 2

(1 )

( )

1 .n

( )

1 .n 1n ...

( )

1 .n k k ...

n n n

n n n n

n n k

n n

n b  b   b    b    b  e,

daí, (1 ) ( 1) 2

2 n

n n

n n

n b   b , isto é, 2

1 bn

.

n 

Logo, 0 2 .

1 n

b n 





Temos que 0 lim lim 2 0

1 n

n

nb   _n

  



e, daí, lim _n 0

n b  . Portanto,

segue de (I) que lim n lim (1 _n) 1 0 1

n  nn  b    .

1.4. Sequências monótonas

Uma sequência ( )an _{n *} é crescente se

*

1, ,

n n n

a a _   e decrescente se *

1, .

n _n n

a a _  

Uma sequência é chamada de monótona se for crescente ou decrescente. Nota: • Se a sequência alternar seus valores, então não é monótona.

5 EXERCÍCIOS 1.4:

Verifique se as sequências são monótonas

a)

* 1 _n n

n _

 

 _ 

  b) * 1

1 _n

n _

 

 _ 

  c) * ( 1)

n n

n _

  

 

 

Resp: a) monótona crescente b) monótona decrescente c) não monótona

1.5. Sequências limitadas

Uma sequência ( )an _{n *} é limitada se existem r e s reais tais que

*

, .

n s n

ra   

EXERCÍCIOS 1.5:

Verifique quais as sequências do Exemplo.01 que são limitadas (L) ou não limitadas (NL).

Resp: 1)L, 1a_n2 2) L, 0a_n1 3)L, 2a_n4 4) L, 1a_n 2

5)NL 6) L, 0a_n1 7) L,  1 a_n1 8)NL 9)NL

1.6. Teorema 3

Uma sequência monótona limitada é convergente

Ex: Ver no Exemplo.01 – Monótonas limitadas 1), 2) e 3)  _Convergentes Monótonas não limitadas 5), 8) e 9)  _Divergentes Não monótonas 4), 6) e 7)  _Divergentes

1.7. Teorema 4

Toda sequência convergente é limitada.

EXERCÍCIOS 1.6:

Verifique quais são as sequências convergentes (C), divergentes (D), limitadas (L) ou não-limitadas (NL)

a) , , ,... ,a a a a b) 1, 2, 3, ..., , ...n

c)( )n _{n *}: n 2 n

a a

 

d) ₂

* 1 2 3 ...

n n

n _

   

 

 

  e) *

2 3 5

n n



 _{ } 

 _{ } 

 _{ } 

   f)((1,001) ) *

n

n

6 2. SÉRIES INFINITAS

Seja ( )an _{n *}: , , ,..., ,...a a a_{1 2 3} an uma sequência de reais.

A somatória a₁a₂a₃...an... é chamada de Série infinita.

Notação:

1 2 3

1

... ...

n n

n

a a a a a





     



A sequência ( )_{n *}: ,_{1 2}, ₃, ..., _n,...

n

S _ S S S S onde S₁a₁ , S2a1a2 ,

3 1 2 3

S a a a , ... , S_na₁a₂a₃...a_n e, assim, sucessivamente, é chamada de sequência de somas parciais da série dada.

2.1. Séries convergentes e divergentes

A série

1 n

n

a







é convergente se _nlim_Sn



S

(

finito

)

. Neste caso, diz-se que

a soma da série é

S

.

A série

1 n

n

a







é divergente se lim _n

nS não é finito ou não existe. Neste caso, a série não tem soma.

Exemplo.1:

a)

1

1 ( 1)

n n n 

 



é convergente e tem soma S = 1

Temos que 1 A B (A+B) A

( 1) 1 ( 1)

n

n

n n n n n n

a     

   . Comparando as razões: A =1

e B = –1. Assim, 1 1 .

1

n

n n

a  



Vê-se que 1 2 3

1 1 1 1 1 1 1 1

...

1 2 2 3 3 4 1

...

n n

n n

S a a a a        



       

     _{        }

       .

Simplificando, temos que 1 1

1

n

S

n

 

 . Daí,

1 (1

1

lim _n lim

)

1

n n _n

S _S _ 









b)

1

1 2n n





7 Sabemos, do ensino médio, que a soma

S

dos termos de uma PG

1 2 ... n ...

a a a

S

     , onde ₀

_,

*_,

n n

a    e razão 0 < q < 1 é dada por 1 1

a

q S

 

Assim,

1

1 2

1 1 1 1 1/ 2

... (PG, ) 1

2n 2 4 8 1 (1/ 2)

n

q

S





       





(finito)

c)

1

1 2 3 ... ....

n

n n





     



não tem soma finita. Logo, é divergente.

Sabemos, do ensino médio, que a soma

S

n , dos n primeiros termos, de uma PA

1 2 3

: , , , ... ,

c c c

c

_n

...

, de razão r é dada por

1

2

( n). .

n

S 

c



c

n Assim,

2 1

1 2 3 ... ( ).

2 2

n

n n n

n

n

S

         . Daí,

2

2

lim _n lim

.

n n

n n

S

 





 

2.2. Teorema 1 –

''

Se a série

1 n

n

a







é convergente, então lim _n

0

na



''

A recíproca do teorema não é verdade, pois existem séries cujo termo geral

a

n

tende a zero, mas não é convergente.

Exemplo.2:

A série

1

1 1 1 1

1 ... ....

2 3

n n n





     



tem seu termo geral tendendo a zero, mas

não é convergente. Esta série é chamada de Harmônica. Desafio: Mostre que a série Harmônica é divergente.

2.3. Teorema 2 – Seja a série

1

.

n

n

a







''

Se lim _n

0

na  , então

1 n

n

a







é divergente

''

Exemplo.3:

a)

1

2

n

n n



 



, temos

2 1

lim

0.

n n

n



 _{ }

A série é divergente.

b)

1

2 1

n

n

n





 _ 

 

 



, temos

2 2

1

lim n

0.

n _n e

 _  _{ }

 

8 EXERCÍCIOS 2.1:

Verifique se a série é convergente (C) ou divergente (D)

a) 1

2 1

3 2

n

n n





 



b) 2

1 ln

ln( 1).ln n

n n

n n







 

 

 





c)

1

sen(1/ ) 1/ n

n n







d) 1

1 1

1 2

n n n





 _ 

 _{ } 

 



e)

1 ( 1)n n









f)

1

1 n n

n n







 

 

 



g) 1

2.4.6.8...(2 ) !

n

n n







h) 1 2 1

1

1 _... n _{... , .}

n

n _{a q}

a q a aq aq aq 





 _{      }



Resp: a)D b)C, S=1/ln2 c)D d)C, S=1/2 e)D f)D g)D h) Se –1 < q < 1 , então

1 a S

q 

 (finito) e a série é convergente.

Se q 1 ou q1, então

S

não é finito ou não existe e a série é divergente.

2.4. Teorema 3 – Operações com séries

a) Se

1 n

n

a







é convergente e tem soma

S

, então

1

. _n

n

c a







é convergente e tem

soma

c.S

.

b) Se

1 n

n

a







e

1 n

n

b







são convergentes e tem somas

S

e

R

, então

1

( _{n n}) n

a b









é

convergente e tem soma

(

S

+

R

).

Nota: Se apenas uma das séries for divergente, então

1

( _{n n}) n

a b









será divergente.

Se ambas forem divergentes, então

1

( _{n n}) n

a b









poderá ser convergente ou

divergente. Exemplificando:

a) a_n b_n 1 n

  

1 1

2 ( _{n n})

n n

a b

n

 

 

 





(harmônica) divergente.

b) a_n 1 n

 e b_n 1 n



 

1 1

( _{n n}) 0, ( 0)

n n

a b S

 

 

  

9 EXERCÍCIOS 2.2:

Verifique se a série é convergente (C) ou divergente (D)

a) 1

2 3

3n 2n n





 _ 

 

 



b) 1

1 1

2n

n n





 _ 

 

 



c) 1 2n+1

( 1)

n n n



 



Resp: a) C, S = 4 b) D c) D

2.5. Séries de termos positivos: 1

, 0

n n n

a a









Queremos saber se a série 1

, 0

n n n

a a









é convergente ou divergente.

2.5.1. Teste de Comparação

Tomemos uma série conhecida 1

, 0

n n n

b b









para a comparação.

i) Se 1

n n

b







é convergente e a_n



b_n, n *,n k ,então 1

n n

a







é convergente

ii) Se 1

n n

b







é divergente e a_nb_n, n *,n k ,então 1

n n

a







é divergente

Exemplo.4:

a) 1

1 !

n n







. Temos que 1

! n a

n



e procuramos 1

n n

b







conveniente para a

comparação.

Sabemos que ! 2n 1

,

1

.

n  

n

 _Daí, 1 1₁ .

! 2n

n  

Considerando ₁

1 1

1 2

n _n

n n

b _

 

 



 

(série G, q = 1/2 , convergente) e o fato que

n n

a



b , n1, segue de (i) que a série 1

1 !

n n







é convergente.

b) 1

1 n

n n







. Temos que a_n 1_n

n



e procuramos

1 n n

b







conveniente para a

comparação.

Se *

_,

_2,

n

n



_{então teremos que}

n

n



n n n

. . ...

n



2.2.2...2



2

n.

Daí, 1 1 , 2.

2

n n n

10 Considerando

1 1

1 2

n n

n n

b

 

 



 

(série G, q = 1/2 , convergente) e o fato que

n n

a  b , n2, segue de (i) que a série 1

1 n

n n







é convergente.

c)

3 1

1

n n







. Temos que

3 1 n a

n



e procuramos

1 n n

b







conveniente para a

comparação. É fato que

3

1 1

, n 1.

n

n  

Considerando

1 1

1 n

n n

b

n

 

 



 

(série harmônica, divergente) e o fato que

n n

a  b , n1, segue de (ii) que a série ₃ 1

1

n n







é divergente.

d) 1

1 p

n n







(chamada de série hiper-harmônica ou série-p, p ) é convergente se p > 1 e divergente se p1.

Prova:

1º) Se p = 1, então

1 1

1 1

p

n n n n

 

 



 

(harmônica) divergente.

2º) Se p < 1, então

1 1 2 3

1 1 1 1 1

... ...

p p p p p

n n

n





     



é divergente, pois se

comparada, termo a termo, com a série harmônica veremos que 1_p 1, n *,

n  n   e ,

por (ii), segue que a série é divergente.

3º) Se p > 1, então

1 1 2 3 4 7

1 1 1 1 1 1

( ) ( ... ) ...

p p p p p p

n n





       



<

2 2 4 4 4 4 2 4

1 1 1 1 1 1 2 4

1 ( _p _p) ( _p _p _p _p) ...  1  _p  _p  ...

= 1 1 2 1 3 1

1

2 (2 (2 2

1 1 1 1

1 ...

) )

p p p p

n

n

   





 

     _{ }

 



(série G, ₁

2

1 ₁₎

p

q _ 

11 EXERCÍCIOS 2.3:

Verifique pelo teste de comparação a convergência (C) ou não (D) das séries:

a) 1

1 1 3n n





 

 _ 

 



b) 1

!

( 2)!

n n n



 



c) 1 2 ( 1)n

n n



 



d) ₃ 1

1 cos( ) 1

n

n n





 



e) 3

2 1 ln( )

n n







f) 1

sen( / ) 2n

n

n 







Resp: a) C b) C c) C d) C e) D f ) C

2.5.2. Teste de Razão ( D’Alembert)

Queremos saber se 1

, 0

n n n

a a









, é convergente ou divergente, sem

compa-rações com outras séries. Investigaremos a convergência ou não na própria série dada.

Sejam 1 2 3 1

1

...

_{n n}

...

n n

a a

a

a a a _









    



e lim n 1

n n

a

L a



 

i) Se L1 , então 1

n n

a







é convergente.

ii) Se L1 , então 1

n n

a







é divergente.

iii) Se L1 , então o teste não é conclusivo.

Exemplo.5:

a) 1

1 n

n n







. Temos que a_n 1_n

n



e ₁ 1_{( 1)}

( 1)

n n

a

n





_ 

( 1)

1

1

( 1)

1 ( 1) 1 ( 1)

1

lim lim lim lim

( 1)

n n

n n

n n

n

n n n n

n n

n n n

n

a _n

L

a n

 

   

  

 

    

    



1 . 1 1 . 1.0 0 ( 1)

( 1) ( 1)

1 1

lim lim lim lim

n n

n n n n

n

e

n n n n



 

    



   _  _{  }

  _   _

   

 

Logo, por (i) a série é convergente.

b) 1

1

n

n n









. Temos que a_n n 1

n 



e ₁ ( 1) 1 2

( 1) 1

n

n n

a

n n





 _  _

12

2 2

2 2

1 2

1 1

2

2 1

lim n lim lim lim 1

n

n n n n

n n

n n

a _{n n n}

L

a n n n



   



  



    

 . Logo,

por (iii) , nada se conclui. Utilizando o teorema 2, vê-se que a série é divergente.

EXERCÍCIOS 2.4:

Verifique pelo teste da razão a convergência (C) ou não (D) das séries:

a) 1

1 !

n n







b) 2 1

3 1 n

n n



 



c) 1 2 ( 1)n

n n



 



d) 1

!

n n

n n







e) 1

1

n n







Resp: a) C b) D c) C d) C e) Não conclui

2.5.3. Teste de Raiz n-ésima ( Cauchy)

Investigaremos a convergência ou não da série 1

, 0

n n n

a a









, utilizando seus

próprios termos.

Sejam 1 2 3

1

...

_n

...

n n

a a

a

a a









   



e lim _n

n

n _{a L}

   

i) Se L1 , então 1

n n

a







é convergente.

ii) Se L1 , então 1

n n

a







é divergente.

iii) Se L1 , então o teste não é conclusivo.

Lembrar: a) lim 1, 0, n

n _{a a}

     b) limn 1

n _n

    c)

r r

lim 1

n

n

n

e

  

 _  _

 

 

Exemplo.6:

a) 1

1 n

n n







. Temos que an 1n

n



e

1

lim n n lim n n

n a n _n

L  _  _ 

lim 1 lim 1 0 ( 1).

n n

n _n n _n

13 b)

1

2 1 n

n

n n







 

 

 



. Temos que _n 2 1

n

n a

n 

 

 

 



e lim n

n

n a

L

 



lim 2 1 lim 2 1 lim 2 2 ( 1).

n n

n n n

n n n

n n n

  

 

 

 

 

     Logo, por (ii) a

série é divergente.

EXERCÍCIOS 2.5:

Verifique pelo teste da raiz a convergência (C) ou não (D) das séries:

a) 1

. n n

n e







b)

1 2 1

n

n

n n





 

 _ 

 



c) 1 2n

n

n n







d) 1

(ln ) 3

n n n

n







e) 1

1 . ln

n

n

n n

n





   

 

 _{ }

 



f)

1

, 0

n a

a n









Resp: a) C b) C c) C d) D e) Não conclui f) Não conclui

2.5.4. Teste da Integral Imprópria

Seja 1 2 3 1

0.

...

_n

...,

_n

n n

a a

a

a a a











   



Consideremos f :[1, [ , y f x( ), uma função de valores positivos, decrescente e contínua tal que _{( ) ,} *_.

n

f n a  n

A série infinita

1

1

1 2 3

( ) ( ) ( ) ( ) ... ( ) ...

n n n

f n f f f f n

a



 



     







é :

i) Convergente se a integral

1 f x dx( )





for convergente (finita)

ii) Divergente se a integral

1 f x dx( )





for divergente (infinita ou não existe) Exemplo.7:

Verifique se 2

ln( 1)

1

n

n n





 



é convergente ou divergente. Temos ln( 1).

1

( )

n

n

n

f







S

eja :[2, [ , ( ) ln( 1)

1

f x x

f

x

    



A função

f

é :

de valores positivos, pois sendo x2, tem-se 1 3x  e ln(x + 1) > 1.

decrescente, pois 2

1 ln( 1)

'( ) 0

( 1)

x

f x

x

 

 

 . Vê-se que

2

(x1)



0

e, também, 1 ln( x 1) 0, uma vez que ln(x 1) 1.

14 Observamos que:

A

A

2 2

ln( 1) ln( 1)

lim

1 1

x x

d x d x

x x





 



 





. Sendo t ln(x1), temos

1 1

d t d x

x 

 e, daí, p

/

x = 2 tem-se t ln 3. Substituindo acima, segue que B

2

2 2 2

B B

B _A

2

ln3 2 _ln3 A A

lim lim lim 1 ln ( 1) lim 1 ln (A 1) ln (3)

2 2

t d t

t x

   

  _{   }

 _{ }  _  _  _   _   

 



Portanto, a integral imprópria é divergente, pois o limite obtido é infinito.

Conclusão: A série 2

ln( 1)

1

n

n n





 



é divergente.

Nota: Se a integral imprópria fosse finita, a série seria convergente.

EXERCÍCIOS 2.6:

Verifique pelo teste da integral a convergência (C) ou não (D) das séries:

a) 1

. n

n

n e







b)

2

1

. n

n

n e

 





c) 1 1

n n







d) 1

3

n

n n







 

 

 



e)

2

1 .2 n n

n

 





f) ₃

1 1

n n







Resp: a) C b) C c) D d) D e) C f) D

2.6. Séries Alternadas

Estudaremos as séries da forma:

1 2 3

1

1 1

( ) n ... ( ) n ... , n 0.

n n

n

a a a a a a





         



1 2 3

1 1

1

1 1

( )n _n ... ( )n _n ... , _n 0.

n

a a a a a a



 



        



2.6.1. Teste de convergência de série alternada (Leibniz)

Seja 1 2 3

1

... ...

n n

n

u u u u u





     



uma série.

Se i) os termos da série são alternadamente positivos e negativos,

ii) *

1 n , , e

n

u _  u  n

iii) lim _n 0,

nu 

então 1

n n

u





15 Exemplo 8:

Verifique se

1

1

1

( )n

n n

 







é convergente ou divergente.

Temos:

1

1

1

( ) 1 1 1 1 1

1 ...

2 3 4 5 6

n

n n

 



 _{      }



i) vê-se que os termos da série são alternadamente positivos e negativos,

ii) ₁ *

( 1) 1 1

1 1

( ) 1 1 ( )

, , e

1 1 n

n

n n

u u n

n n n n



  

 

     

 



iii)

1

1

( ) 1

0.

lim

n

lim

n _n n _n



 

 _{ }

Então, a série

1

1

1

( )n

n n

 







é convergente.

EXERCÍCIOS 2.7:

Verifique pelo teste da série alternada a convergência (C) ou não (D) das séries:

a) 1

( 1) 2

.

n n n

n









b) 1 2

1

( 1) .

3 1

n

n

n n













c) 1

e ( 1)n n

n n









Resp: a) C b) C c) D (Obs: e n n 1  en.e nen.(n1) 

1 _{.( 1)}

n n

n n

e  e  

1

1

n n

n n

e  _ e

 não ocorre ii - Aplicar teorema 2 de séries)

2.6.1. Convergência absoluta e condicional

Seja _{1 2 3}

1

... ...

n n

n

u u u u u





     



uma série alternada.

Diz-se que:

1 n

n

u







é absolutamente convergente se

1 n

n

u







for convergente

1 n

n

u







é condicionalmente convergente se :

a)

1 n

n

u







for divergente e

b)

1 n

n

u







for convergente (Leibniz) EXERCÍCIOS 2.8:

16 a)

1 ( 1)

2

.

n n n

n









b) 1

1

1 ( 1)n .

n n











c)

1

1

!

( 1)n _n

n

n n











d)

2 1

3 ( 1)

4 n

n n

 _



 



Resp: a) CA b) CC c) CA d) CC

3. SÉRIES DE POTÊNCIAS

Consideraremos

0 1 2 2

0

( )n ( ) ( ) ... ( )n ...

n n

n

c x a

c

c x a c x a c x a









       



, onde x ,

a e c_n coeficientes reais dependentes de n , como séries de potências. Nota: Atribuindo-se valores a x, teremos séries numéricas.

Queremos identificar os valores de x que tornam as séries convergentes ou divergentes.

Se x  a, 0 0

0

( )n 0 0 ... 0 ...

n n

c x a

c

c

S









      



(finito) a série é

convergente.

Exemplo 9:

1) Quais valores de x tornam

1

1

1

( ) .2n

n n

n

x n

 







convergente?

Temos que a = 0.

Teste da razão: 1 1 .

2( 1) 2

lim

n

lim

n

n n

a _n

x x

a n



   _ 

A série é absolutamente convergente se 1 1

2 x  , isto é,   2 x 2.

A série é divergente se 1 1

2 x  , isto é, x  2 ou x 2.  Se x2, temos:

1 1

1 1

1 1

( ) ( ) 1 1 1

2 1 ...

.2n 2 3 4

n n

n

n n n n

 

 

 

 _  _{    }





cond

/

conv.

 Se x 2, temos:

. 2

1 1

1 1

1 1

( ) ( ) 1 1 1

( 2) 1 ...

.2n 2 3 4

n n

n

n n n n

 

 

 

 _{ }  _{   } _{ } 

 

 





série divergente.

Conclusão:

–

2 2

x

divergente abs. convergente divergente divergente cond.conv

17 Temos que a = 0 é o centro do intervalo de convergência e R = 2 é o raio de convergência.

2) Quais valores de x tornam

0 !

n

n

x n







convergente?

Temos que a = 0.

Teste da razão: 1 1 _{0 ( 1),} *_.

1

lim

n

lim

n

n n

a

x x

a n



   _    

Logo, a série é absolutamente convergente para todo x real

Intervalo de convergência: I = e Raio de convergência R = + .

3) Quais valores de x tornam 0

! n n

n x







convergente?

Temos que a = 0.

Teste da razão:

lim

n 1

lim

( 1) ( 1), *.

n

n n n

a

x x

a



         

Logo, a série é divergente para todo x real, x 0 .

Intervalo de convergência: I = {0} e Raio de convergência R = 0 .

Observação:

O raio de convergência pode ser obtido por

1

R = lim n

n

n

c c

 _ .

EXERCÍCIOS 2.9:

1) Utilize R para obter o intervalo de convergência das séries:

a) ₂

0 2

n

n

x n



 



b) 1

.( 2)n n

n x









c) 1 1

( 5)n n

x n









Resp: a) [ –1, 1 ] b) ]1, 3[ c) [ 4, 6 [

2) Defina uma função a partir da série:

a) 0

n

n

x







b)

0

1

( )

n n n

x









c) 2

0

n

n

x







Resp. a) :] 1, 1 [f   ,

1 ( )

1 f x

x 

 b) :] 1, 1 [f   ,

1 ( )

1 f x

x 

 c) :] 1, 1 [f   ,

2 1 ( )

1 f x

x 



18 4. SÉRIES DE TAYLOR E MAcLAURIN

Dada uma função f : A , A , y f x( ), queremos escrevê-la como uma série de potências, com possível restrição de domínio.

Uma condição necessária (mas não suficiente) para que f tenha representação em série de potências num intervalo I é que possua derivada de todas as ordens em aI.

4.1. Série de Taylor

0

( ) ( )n

n n

f x c x a









 , sendo ( )( )

! n

n

f a

c

n

 e I ]aR, aR [ .

Assim, a série de Taylor em torno de a é dada por:

( )

2 3

'( ) ''( ) '''( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ... ( ) ...

1! 2! 3! !

n

n

f a f a f a f a

f x f a x a x a x a x a

n

          

Exemplo.10:

Encontre a série de Taylor para f :  , ( ) sen( )f x  x , em 2

a .

Devemos ter:

( )

1 2

2 2 2

2 2 2 2

' ''

sen( ) ... ...

1! 2! !

n

n

f f f

x f x x x

n

  

   

     

     

          

 _{ } _  _  _  _   _  _ 

       

onde f x( ) sen( ) x

2 sen 2 1

f  _{ }   _{ } 

   

'( ) cos( )f x  x

2 2

' cos 0

f  _{ }   _{ } 

   

''( )f x  sen( )x

2 2

'' sen 1

f  _{ }    _{ }  

   

'''( )f x  cos( )x

2 2

''' cos 0

f  _{ }    _{ } 

   

( )4 _{( ) sen( )}

f x  x ( )4

2 sen 2 1

f  _{ }   _{ } 

   

. .

. .

Substituindo os valores na sentença acima, temo

1 2 3 4 5 6

2 2 2 2 2 2

0 1 0 1 0 1

sen( ) 1 ...

1! 2! 3! 4! 5! 6!

x   _x _  _x _  _x _  _x _  _x _  _x_ 

           

0

2

2 4 2

2 2 2

1

2 2

( )

1 1 ( 1)

sen( ) 1 ... ... ,

2! 4! ( )! _n (2 )!

n n

n

n x

n

x x x x

n

  





  _  _

         

  _  _  _  _   _  _  

     



19 4.2. Série de MacLaurin

0

( ) ( )n

n n

f x c x









, sendo ( )( )0

! n

n f c

n

 e I ] R, R [  .

Assim,

( )

2 3

0 0 0 0

0 '( ) ''( ) '''( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ... ( ) ...

1! 2! 3! !

n

n

f f f f

f x f x x x x

n

      

Exemplo.11:

Encontre a série de MacLaurin para :_{f } , ( )_{f x e}x _{(em 0}

a )

( )

1 2

'(0) ''(0) (0)

(0) ( 0) ( 0) ... ( 0) ...

1! 2! !

n

x f f f n

e f x x x

n

        

onde f x( )ex f(0)  e0  1 '( )f x ex f '(0)  e0  1 ''( )f x ex f ''(0)  e0  1 '''( )f x ex f '''(0)  e0  1

( )4 _{( )} x

f x e f ( )4 (0)  e0  1

. .

. .

Substituindo os valores na sentença acima, temos

1 2 3 4

1 1 1 1

1 ...

1!( ) 2!( ) 3!( ) 4!( )

x

e   x  x  x  x 

1 4

0

2 3

1 1 1 1 1

1 ...

1! 2! 3! 4! _n ! , .

x n

e x x x x x

n x





      





EXERCÍCIOS 2.10:

1) Encontre a série de Taylor para _: * _,

f  f x( ) 1

x

 em a = 1. 2) Encontre a série de MacLaurin para f :  , f x( ) sen( ) x . 3) Encontre a série de MacLaurin para f :  , f x( ) ln( x1). Pede-se, ainda, o intervalo de convergência das funções restritas as séries acima.

Resp. 1) f : ]0, 2[ , ( )f x 1 1 (x 1) (x 1)2 ...

x

        =

0

( 1) (n 1)n

n

x 



 



2)

3 5 7 2 1

1

1

: , ( ) sen( ) ... ( 1)

3! 5! 7! (2 1)!

n n

n

x x x

f f x x x

n

x 



 

      



 



3)

2 3 4 1

1

:] 1, 1] , ( ) ln( 1) ...

2 3 4

1

( )n n

n

x x x

f f x x x

n

x



 

         





BIBLIOGRAFIA: