Fontes de Campo
Magnético
Lei de Gauss
Lei de Ampère
Lei de Gauss para o
Magnetismo
• Apesar de haver uma diferença
fundamental entre as formas das linhas de e das linhas de , podemos encontrar um análogo elétrico à configuração do campo magnético.
• Considere uma carga elétrica puntiforme
Q e seu campo elétrico radial. Definimos o fluxo elétrico que passa por uma
superfície esférica fechada centrada na carga por
Lei de Gauss para o
Magnetismo
•
Se definirmos um fluxo magnético
analogamente ao fluxo elétrico
teremos linhas de campo saindo da
superfície fechada e linhas entrando,
de modo que
pois o número de linhas que entram é
igual ao número de linhas que saem.
Lei de Gauss para o
Magnetismo
• Esse resultado é conhecido como a lei de Gauss do
magnetismo.
• Ele nos diz que não existem monopolos magnéticos, ou
seja, a unidade fundamental do magnetismo é o dipolo magnético.
• Em larga escala, o campo magnético de um dipolo
Lei de Ampère
• Considere as linhas de de um fio retilíneo com corrente . Sabemos que B circula o fio e que sua intensidade a uma distância R do fio é
• Podemos reescrever esse resultado de outra maneira: , onde é o comprimento de uma
circunferência de raio R. Podemos generalizar esse resultado para qualquer curva fechada centrada na corrente da seguinte maneira:
onde é um elemento de caminho da curva fechada que é paralelo a .
Lei de Ampère
•
Analogamente a lei de Gauss que
nos permite calcular o campo elétrico
em configurações simétricas de
cargas, a lei de Ampère nos permite
calcular o campo magnético em
configurações simétricas de corrente
que atravessam a região delimitada
pela curva
C
.
Lei de Ampère
•
Exemplo 29-8:
a) Um fio reto, longo, de raio é submetido
a uma corrente que se distribui
uniformemente por toda a seção reta do
fio. Determine o campo magnético do lado
de fora e do lado de dentro do fio.
– Do lado de fora, o campo magnético é
paralelo a uma curva fechada C de raio r. Assim, pela lei de Ampère, temos
Lei de Ampère
•
Exemplo 29-8-a:
– Do lado de dentro, temos que levar em consideração a densidade de corrente , onde A é a área da região delimitada pela curva fechada C de raio r. Assim, pela lei de Ampère, temos
– Como a corrente é distribuída
uniformemente por toda seção reta do fio, então . Assim,
Lei de Ampère
•
Exemplo 29-8-a:
– Dentro do fio, o campo aumente
linearmente com a distância do centro do fio.
– Fora do fio, o campo diminui com a
distância.
Lei de Ampère
• Exemplo 29-8:
b) Calcular o campo magnético produzido por uma bobina em forma de toróide de raio interno a
e raio externo b sabendo que a bobina possui N espiras e que a corrente do circuito é I.
– Para utilizar a lei de Ampère,
devemos primeiro descobrir onde desenhar a curva fechada C.
Lei de Ampère
• Exemplo 29-8:
b) Calcular o campo magnético produzido por uma bobina em forma de toróide de raio interno a e raio externo b sabendo que a bobina possui N espiras e que a corrente do circuito é I.
– Com essa geometria, temos N fios penetrando a região
delimitada pela curva C. Assim, a corrente total que atravessa essa região é NI. Portanto, aplicando a lei de Ampère, temos:
Lei de Ampère
• Exemplo 29-8-b:
– Se o raio r da curva C for menor do que o raio interno a do toróide, não haverá corrente atravessando a região da curva C, assim it = 0 e B = 0.
– Se o raio r for maior do que o raio externo b do toróide, teremos corrente entrando na região e corrente saindo da região, de modo que it = 0 e B = 0.
– Assim, vemos que dentro do toróide o campo B diminui à medida que o raio aumenta
O Magnetismo na matéria
• Por que alguns objetos são atraídos por ímãs e
outros não?
– Sabemos que a matéria é constituída por átomos,
onde o movimento dos elétrons equivale a uma “corrente elétrica”.
– Assim, o movimento dos elétrons produzem um
dipolo magnético nos átomos, representado pelo seu momento magnético. Podemos imaginar os átomos como sendo ímãs elementares.
O Magnetismo na matéria
•
Por que alguns objetos são atraídos
por ímãs e outros não?
– Sabemos também que uma corrente em
forma de espira está sujeita a um torque , onde é o vetor momento magnético
da corrente.
O Magnetismo na matéria
•
Por que alguns objetos são atraídos
por ímãs e outros não?
– Um ímã é um corpo que tem os
momentos magnéticos de todos os seus átomos alinhados.
– Quando um material é submetido a um
O Magnetismo na matéria
•
Por que alguns objetos são atraídos
por ímãs e outros não?
– O torque aplicado tende sempre a alinhar
o momento magnético com o campo externo.
– Assim, em alguns materiais expostos a
um campo magnético, os momentos de alguns átomos se alinham com o campo reforçando-o naquela região
O Magnetismo na matéria
• Por que alguns objetos são atraídos por
ímãs e outros não?
– Em alguns materiais, há uma interação entre
os dipolos magnéticos. Assim, quando um campo externo é aplicado, os momentos de todos os átomos se alinham com muita
facilidade (ferromagnéticos).
– O campo magnético total assume valores
bastante elevados.
– Mesmo na ausência do campo externo, os
O Magnetismo na matéria
•
Por que alguns objetos são atraídos
por ímãs e outros não?
– Alguns átomos não possuem momento
magnético. Ainda sim é possível induzi-los com a aplicação de um campo
externo.
– Nesse caso, os momentos induzidos
O Magnetismo na matéria
•
Observações:
– O fenômeno do diamagnetismo ocorre
em todos os materiais. Entretanto, seu efeito é muito menor do que o
paramagnetismo e o ferromagnetismo.
– Magnetização de um material depende
de sua temperatura. Quanto maior o grau de agitação dos átomos e
O Magnetismo na matéria
•
Magnetização e Susceptibilidade
Magnética
– A magnetização é uma medida do grau
de alinhamento dos dipolos de um material.
– Ele é definido como
O Magnetismo na matéria
• Magnetização e Susceptibilidade Magnética
– Considere um ímã cilíndrico cujos momentos magnéticos
elementares são paralelos ao eixo do cilindro.
– Nesse modelo, as correntes de espiras elementares vizinhas
se cancelam dentro do cilindro.
– Na superfície, a quebra de simetria produz uma corrente
denominada corrente amperiana. O campo magnético
O Magnetismo na matéria
• Magnetização e Susceptibilidade
Magnética
– É possível determinar a
magnetização de um material a partir de sua corrente amperiana. – Considere um elemento
infinitesimal de um cilindro (um
disco de área , espessura e volume ).
– Seja a corrente amperiana na superfície do disco. O momento magnético do disco é
•
O Magnetismo na matéria
•
Magnetização e Susceptibilidade
Magnética
– Assim, a magnetização será dada por
– Portanto, a magnetização do material é
dada pela densidade de corrente amperiana.
– A unidade de magnetização é medida
em A/m.
O Magnetismo na matéria
•
Magnetização e Susceptibilidade
Magnética
– No caso de um solenoide, a quantidade
é equivalente ao produto , onde é o número de espiras por unidade de comprimento.
– Como o campo magnético no interior de
um cilindro é semelhante ao de um solenoide, dado por , então podemos escrevê-lo na forma
O Magnetismo na matéria
• Magnetização e Susceptibilidade Magnética
– Se um material cilíndrico for colocado no interior de um solenoide longo de densidade e corrente , o
campo magnético resultante é dado pela soma
– Onde é o campo aplicado pelo solenoide e é o campo produzido pelo cilindro devido a magnetização do
material
O Magnetismo na matéria
•
Magnetização e Susceptibilidade
Magnética
– Em materiais paramagnéticos e
ferromagnéticos, tem o mesmo sentido que .
– Em materiais diamagnéticos, e têm
sentidos opostos.
– A magnetização é proporcional ao
campo aplicado no material, ou seja,
O Magnetismo na matéria
•
Magnetização e Susceptibilidade
Magnética
– Onde é denominado susceptibilidade
magnética. Assim, o campo magnético
total pode ser escrito por
– Onde , é denominada permeabilidade
relativa do material.
O Magnetismo na matéria
• Magnetização e Susceptibilidade Magnética
– Em materiais paramagnéticos, é
um número pequeno, positivo e dependente da temperatura.
– Em materiais diamagnéticos, é um
número pequeno, negativo e quase não varia com a temperatura.
– Quando é muito pequeno, ele é
aproximadamente igual a 0. Assim, e portanto
O Magnetismo na matéria
• Momentos magnéticos atômicos
– São produzidos pelos movimentos dos elétrons do material.
– O momento magnético orbital de um elétron pode ser calculado de forma semiclássica:
• Considere um elétron que esteja se movendo com velocidade em uma órbita circular de raio ao redor do
núcleo atômico. O módulo do momento magnético é igual ao produto da
corrente pela área do círculo ,
O Magnetismo na matéria
• Momentos magnéticos
atômicos
– O momento magnético orbital de
um elétron pode ser calculado de forma semiclássica:
• A corrente elétrica é definida
como , que no caso de um elétron em movimento circular, podemos substituir por (carga elétrica
fundamental) e por (período do movimento)
O Magnetismo na matéria
•
Momentos magnéticos
atômicos
– O momento magnético
orbital de um elétron pode ser calculado de forma
semiclássica:
• Sabemos que no movimento
circular , assim
O Magnetismo na matéria
•
Momentos magnéticos
atômicos
– O momento magnético
orbital de um elétron pode ser calculado de forma
semiclássica:
• O produto está relacionado
com o momento angular orbital do elétron . Assim,
O Magnetismo na matéria
• Momentos magnéticos
atômicos
– O momento magnético orbital de
um elétron pode ser calculado de forma semiclássica:
• Em notação vetorial, temos
• De modo geral
O Magnetismo na matéria
• Momentos magnéticos atômicos
– Do ponto de vista quântico, o momento
angular orbital do elétron é quantizado: , onde é um inteiro e é a constante de Planck.
– A constante aparece frequentemente nos cálculos quânticos. Assim, ela é
convencionalmente chamada de e a
expressão do momento angular se reduz a .
– Portanto, vemos que o momento magnético orbital de um elétron também é quantizado
O Magnetismo na matéria
• Momentos magnéticos atômicos
– Quando , temos e .
– Assim, definimos o momento magnético fundamental
– Também chamado de magnéton de Bohr.
– Podemos escrever o momento magnético orbital do
elétron em termos do magnéton de Bohr
O Magnetismo na matéria
• Momentos magnéticos atômicos
– O momento magnético de spin é dado por
– Quando os momentos de todos os átomos estão alinhados (magnetização de saturação), a magnetização é dada por
– Onde é a densidade numérica de átomos, que pode ser obtida pela expressão abaixo
O Magnetismo na matéria
• Exemplo 29-9
Determine a magnetização de saturação e o campo magnético correspondente para o caso do ferro, supondo que cada átomo do ferro
possui um momento magnético igual a 1 magnéton de Bohr.
– A magnetização de saturação é dada por e o campo magnético correspondente é dado por – Se cada átomo de ferro possui um momento
magnético de 1 magnéton de Bohr, então – Tendo e , podemos calcular pela expressão
O Magnetismo na matéria
• Exemplo 29-9
Determine a magnetização de saturação e o
campo magnético correspondente para o caso do ferro, supondo que cada átomo do ferro possui um momento magnético igual a 1 magnéton de Bohr.
– Com isso, a magnetização de saturação vale
– Finalmente, o campo magnético no interior de um cilindro longo de ferro vale
O Magnetismo na matéria
• Paramagnetismo
– São materiais que apresentam momentos
magnéticos atômicos orientados aleatoriamente e a magnetização total é nula.
– Quando um campo magnético externo é
aplicado, os momentos tendem a se alinhar. Porém, a agitação térmica do material dificulta esse alinhamento.
– Portanto, a intensidade de magnetização de um
O Magnetismo na matéria
• Paramagnetismo
– Em geral, a energia associada ao momento magnético é muito menor do que a energia
térmica, tornando a magnetização de um material paramagnético muito pequena. Vejamos:
– Sabemos que a energia potencial de um dipolo magnético é dado por .
– Se e têm sentidos iguais então será mínimo. Se eles tiverem sentidos opostos, então será
máximo.
– A diferença entre o valor máximo e mínimo vale
O Magnetismo na matéria
• Paramagnetismo – Para e , temos
– A energia térmica à temperatura
ambiente é da ordem de .
– A figura ao lado mostra a
magnetização de um material paramagnético em função do campo aplicado.
– A magnetização de saturação só
é possível atingir se o material estiver a temperaturas muito baixas (b).
O Magnetismo na matéria
• Paramagnetismo
– Para campos fracos, a
magnetização é proporcional ao campo aplicado (a)
– Essa expressão é conhecida como a lei de Curie.
O Magnetismo na matéria
•
Exemplo 29-10
Se , em que temperatura a magnetização
de um material paramagnético será igual
a 1% do valor de saturação para um
campo magnético aplicado de ?
– Pela lei de Curie, a razão entre a
magnetização e o valor de saturação vale
– Queremos a temperatura em que , assim
O Magnetismo na matéria
• Ferromagnetismo
– É observado em materiais como o
ferro, níquel, cobalto e ligas metálicas desses materiais.
– No caso de materiais ferromagnéticos os momentos atômicos interagem
fortemente entre si.
– Em um ferromagneto existem regiões inteiras de momentos atômicos
alinhados (domínios).
– Porém, em larga escala, os momentos dos domínios estão distribuídos
O Magnetismo na matéria
• Ferromagnetismo
– Quando um campo externo é aplicado os momentos de
diferentes domínios tendem a se alinharem na direção do campo.
– Este efeito ocorre mesmo para pequenos valores de campos aplicados.
– Assim, o campo induzido pode ser muito maior do que o
O Magnetismo na matéria
• Magnetização de uma barra de ferro por um solenoide
– Se o ferro estiver inicialmente
desmagnetizado, então no gráfico .
– Aumentando gradualmente a corrente do solenoide, o ferro se magnetiza segundo a curva
descrita no gráfico até a saturação
– Quando reduzimos o campo externo, o ferro permanece
magnetizado, fenômeno chamado de histerese.
O Magnetismo na matéria
• Magnetização de uma barra de
ferro por um solenoide
– Mesmo com o campo do
solenoide a zero, o ferro continua com uma magnetização .
– Se invertermos a polarização da
corrente, a magnetização se reduz até atingir novamente a saturação no sentido contrário.
– O ciclo termina quando
invertemos mais uma vez o
sentido da corrente no solenoide.
O Magnetismo na matéria
• Magnetização de uma barra
de ferro por um solenoide – A curva de magnetização
depende do tratamento anterior que o material foi submetido.
– Portanto, vamos nos limitar somente a curva inicial de magnetização.
– Sabemos que,
O Magnetismo na matéria
• Magnetização de uma barra de ferro por um solenoide
– Como o campo total é dado por
– Temos,
– Definindo como a
permeabilidade do material, temos
O Magnetismo na matéria
•
Magnetização de uma barra de ferro por
um solenoide
– Nos materiais paramagnéticos e
diamagnéticos é muito menor que 1, assim .
– Como não varia linearmente com , a
permeabilidade relativa não é constante.
– O valor máximo de ocorre para uma
O Magnetismo na matéria
• Magnetização de uma barra
de ferro por um solenoide
– A área delimitada pela curva
de histerese é proporcional à dissipação de energia térmica.
– Quando o efeito de histerese é
pequeno o material é chamado de magneticamente macio.
– Quando o efeito é grande o
material é chamada de
O Magnetismo na matéria
•
Exemplo 29-11
Um solenoide longo com 12 espiras/cm
tem um núcleo de ferro recozido.
Quando , o campo magnético no
interior do núcleo é . Determine:
a) O campo aplicado
O campo aplicado é a de um solenoide, ou seja, . Assim,
O Magnetismo na matéria
•
Exemplo 29-11
Um solenoide longo com 12 espiras/cm
tem um núcleo de ferro recozido.
Quando , o campo magnético no
interior do núcleo é . Determine:
b) A permeabilidade relativa Vimos que . Assim,
O Magnetismo na matéria
•
Exemplo 29-11
Um solenoide longo com 12 espiras/cm
tem um núcleo de ferro recozido.
Quando , o campo magnético no
interior do núcleo é . Determine:
c) A magnetização .
Pela definição de vimos que . Assim,
O Magnetismo na matéria
• Diamagnetismo
– Em um material diamagnético o momento
magnético induzido é sempre oposto ao campo aplicado.
– Os momentos atômicos de um diamagneto são
opostos cancelando uns aos outros. Assim, um diamagneto não possui momento total.
– O campo aplicado provoca uma variação nos
momentos atômicos no sentido oposto ao do campo, produzindo um campo induzido
O Magnetismo na matéria
• Diamagnetismo
– Os momentos magnéticos induzidos no
diamagneto é muito menor que os momentos permanentes nos paramagnetos e
ferromagnetos.
– Assim, o efeito do diamagnetismo é mascarado pelo paramagnetismo e ferromagnetismo.
– Entretanto, a altas temperaturas todos os
