Universidade de Cabo Verde

(1)

Universidade de Cabo Verde

Departamento Ciˆencia & Tecnologia

Texto teórico de Análise Matemática III

Prof. Narciso Resende Gomes

Ano lectivo: 2012/2013

(2)

1 Introdu¸c˜ao a Topologia em . . . 2

1.1 Conceito de Bolas . . . 2

1.2 Conjuntos Limitados . . . 5

1.3 Sucess˜ao (ou sequˆencia) no espa¸co euclidiano . . . 5

1.4 Conjuntos convexos . . . 6

1.5 No¸c˜ao de vizinhan¸ca . . . 6

1.6 Interior, exterior e fronteira . . . 7

1.7 Conjuntos abertos . . . 8

1.8 Conjunto fechado . . . 9

1.9 Ponto acumula¸c˜ao . . . 10

Referˆ

encias

[1] A. Breda e J. Costa,Cálculo com fun¸cões de várias variáveis. McGraw Hill-Portugal, Lisboa, 1996.

[2] E. Lima, An´alise Real - Vol. 2. Rio de Janeiro, Brasil, 2004.

[3] H. Bertolossi, Cálculo diferencial a várias variáveis. Edi¸cões Loyola e editora PUC-Rio, São Paulo, Brasil, 2002.

[4] S. Lang, Calculus of Several Variables. Adison-Wesley, 1973.

[5] T. Apostol, C´alculo (Vol. 2). Editora Revert´e, -.

(3)

1 Introdu¸c˜

ao a Topologia em

R

n

1.1 Conceito de Bolas

Dados o ponto a_∈Rn

e o número realr >0. A bola abertade centro ae raio ré o conjuntoB(a, r) (ouBr(a)) dos pontosx∈Rncuja distância ao pontoaé menor quer.

SejaM _⊂Rn

.Sejad:M_×M _→R_um _{espa¸co m´}_etrico_{. Num espa¸co m´etrico (}_{M, d}₎_,

definimos os seguintes conjuntos:

1. Bola aberta de centroa_∈M e raio r >0 : • B(a, r) ={x_∈M :d(x,a)< r}

2. Bola fechada de centro a_∈M e raio r >0 : • B[a, r]=_{x_∈M :d(x,a)_≤r_}.

3. Esferade centro a_∈M e raio r >0 : • S[a, r]=_{x_∈M :d(x,a) =r_}.

Segue-se que _B[a, r] = _B(a, r) _{∪ S}[a, r]. A bola fechadatamb´em ´e chamada de disco

n-dimensional de centro a e raior.

Nota 1: Se a m´etrica d prov´em de uma norma _{k · k} do espa¸co vectorial E, ou seja, k · k:E×E →R_{, temos:}

• B(a, r)= {x_∈E :kx₋a_k< r}.

• B[a, r] ={x_∈E :kx₋a_{k ≤}r}.

• S[a, r]={x_∈E :kx₋a_k=r}.

Exemplo 1: No espa¸co euclidiano R _{de dimens˜ao 1, as bolas abertas e bolas fechadas}

respectivamente, definidas anteriormente, s˜ao respectivamente, intervalos abertos e fe-chados:

• B(a, r) = (a₋r, a+r).

• B[a, r] = [a₋r, a+r].

Nota 2: A forma geom´etrica das bolas e esferas, em geral, dependem da norma que se usa.

Por exemplo, se considerarmos o plano R2

com am´etrica euclidiana, teremos:

• B((a, b), r) =_{(x, y)_∈R2 _{: (}_x₋_a₎2 _{+ (}_y₋_b₎2 _{< r}2_}_- bola aberta (ou c´ırculo ’aberto’) de centro (a, b) e raior >0.

(a,b)

a b

x y

(4)

• B[(a, b), r] =_{(x, y)_∈R2

: (x₋a)2

+ (y₋b)2 ≤r2

} - bola fechada (ou c´ırculo ’fechado’) de centro (a, b) e raio r >0.

(a,b)

a b

x y

r

• S [(a, b), r] =_{(x, y)_∈R2

: (x₋a)2

+ (y₋b)2 =r2

} - bola fechada (ou

circunferˆencia) de centro (a, b) e raior > 0.

(a,b)

a b

x y

r

E se considerarmos R2

com am´etrica do m´aximo, teremos:

• BM((a, b), r) ={(x, y)∈R2 :|x−a|< r∧ |y−b|< r}

= (a₋r, a+r)_×(b₋r, b+r) - bola aberta de centro (a, b) e raior >0.

y

x b+r

b−r

a₋r a+r

2r

2√2r

a b

• BM[(a, b), r] ={(x, y)∈R2 :|x−a| ≤r∧ |y−b| ≤r}= [a−r, a+r]×[b−r, b+r]

-bola fechada de centro (a, b) e raio r >0.

y

x b+r

b−r

a₋r a+r

2r

2√2r

(5)

• SM[(a, b), r] ={(x, y)∈R

2

:_|x₋a_{| ≤}r_{∧ |}y₋b_|=r_{} ∪ {}(x, y)_∈R2

:_|x₋a_|=

r∧ |y−b| ≤r}- esfera de centro (a, b) e raio r >0.

y

x b+r

b−r

a₋r a+r

2r

2√2r

a b

Finalmente, se considerarmos R2

com am´etrica da soma, obteremos:

• BS((a, b), r) = {(x, y)∈R

2

:|x−a|+|y−b|< r} - é a região interior ao quadrado de vértices nos pontos (a, b+r),(a, b−r),(a−r, b),(a+r, b).

• BS[(a, b), r] ={(x, y) ∈ R

2

: |x−a|+|y−b| ≤ r} - é a união da região limitada pelo quadrado de vértices nos pontos (a, b+r),(a, b₋r),(a₋r, b),(a+r, b) com o próprio quadrado.

• SS[(a, b), r] = {(x, y) ∈ R

2

:|x−a|+|y−b| = r} - ´e o quadrado de v´ertices nos pontos (a, b+r),(a, b₋r),(a₋r, b),(a+r, b).

x y

b

a₋r a+r b+r

b₋r

x y

a b

a₋r a+r b+r

b₋r

√ 2r √ 2r x y a b √ 2r √ 2r x y a b

a₋r a+r b+r

b−r

x y

a b

a₋r a+r

√ 2r

Então, as rela¸cões entre as bolas do mesmo centro e raio em rela¸cão às métricas eucli-diana, da soma e do máximo, fica como mostra a figura seguinte:

x y x y a b

a−r a+r b+r

(6)

Em particular, o disco _B[0,1] de centro 0 e raio 1 ´e chamado o disco unit´ario de Rn .

Uma nota¸cão especial é reservada para a esfera unitária de dimensão n−1 :

Sn−1

=_{x_∈Rn _:_k_x_k_{= 1}_}_.

Assim,Sn−1

´e a esfera de centro na origem 0 e raio 1.Quandon = 2, S1

´e a circunferˆencia de centro 0 e raio 1.

1.2 Conjuntos Limitados

Defini¸c˜ao 1: Um conjunto X _⊂Rn _´elimitado quando existec > 0 tal que_kx_{k ≤}c para todo x_∈X, ou seja, quando existe c >0, tal queX _{⊂ B}[0, c]

Observa¸c˜ao 1: Um subconjunto X _⊂ Rn

´e limitado se, e somente se, existe a _∈ Rn

e

r >0 tal que X ⊂B[a, r]

Defini¸cão 2: Uma aplica¸cão f : X → Rn _é limitada se a sua imagem f(X)⊂ Rn _{é um}

conjunto limitado, isto ´e, quando existe umc > 0 tal que_kf(x)_{k ≤}c, para todo x_∈X.

1.3 Sucess˜

ao (ou sequˆ

encia) no espa¸co euclidiano

Defini¸cão 3: Umasucessãoem Rn_{é uma aplica¸cão}_x_:N_→Rn_{. O valor} _x₍_k_{) é indicado}

com xk e chama-se k₋´esimo termos da sucess˜ao.

Defini¸cão 4: Uma sucessão (xk)k∈N é limitada quando o conjunto formado pelos seus

termos ´e limitado, ou seja, quando existe c >0 tal que kxkk ≤c, ∀k ∈N.

Defini¸cão 5: Um ponto a_∈Rn _{é limite da sucessão sucessão (}_xk₎k∈N quando, para todo ǫ >0 dado, existe k0 ∈N tal que k > k0 ⇒ kxk−ak ≤ǫ. Neste caso, dizemos que (xk) converge para a ou tende a a.

Observa¸c˜ao 2: As nota¸c˜oes seguintes:

lim

k→∞xk=a, limk∈Nxk =a, xk→a e limk→∞kxk−ak= 0

s˜ao equivalentes.

Nota 3: Uma sucess˜ao (xk)k∈N em Rn ´econvergente quando existe limite a= limxk.

Observa¸cão 3: 1. O limite de uma sucessão (xk)k∈N convergente é único.

2. Toda a sucessão convergente é limitada. Mas a rec´ıproca não é verdadeira.

Corolário 1: Se (xk)k∈N, (yk)k∈N são sucessões convergentes em R n

e (λk)k∈N ´e sucess˜ao

convergente em R_{, com lim}_xk ₌_a _{e lim}_yk ₌_b _{e lim}_λk ₌_λ_{, ent˜ao:}

• lim

k→∞(xk+yk) =a+b.

• lim

k→∞(λ

kxk) =λa.

• lim

k→∞hx

k, yki=ha, bi.

• lim

k→∞kx

kk=kak.

Teorema 1.1: (Bolzano-Weierstrass). Toda sucess˜ao limitada em Rn _{possui uma}

(7)

1.4 Conjuntos convexos

Defini¸cão 6: Um conjunto X _⊂ Rn _é convexo quando o segmento de recta que une quaisquer de seus pontos, está inteiramente contido em X. Noutros termos equivale a afirmar que

∀a, b_∈X com 0_≤t _≤1 _⇒(1₋t)a+tb_∈X.

convexo convexo

n˜ao convexo nao convexo˜

Nota 4: Toda a bola (aberta ou fechada) ´e um conjunto convexo.

Exemplo 2: Seja X =_{(x, y)_∈ R2

:y _≤ x2

}. O conjunto X _⊂R2

n˜ao ´e convexo. Com efeito, os pontos a = (₋1,1) e b = (1,1) pertencem a X mas c= 1

2a+ 1

2b = (0,1) n˜ao pertencem a X.

−1 1 1

2

0

a c _b

1.5 No¸c˜

ao de vizinhan¸ca

Vizinhan¸ca de um ponto a ´e qualquer subconjunto de Rn _{que contenha uma bola}

aberta de centro em a, isto ´e,_V ´e uma vizinhan¸ca dea se B(a, r) ⊆ V

para algum r >0.

Note-se que qualquer bola aberta é vizinhan¸ca do seu próprio centro e facilmente se mostra que é vizinhan¸ca de qualquer dos seus pontos.

Exemplo 3: Seja a= (1,1). Os conjuntos

V1 ={(x, y)∈R 2

:x≥0∧y≥ 1 2},

V2 ={(x, y)∈R 2

:p(x−1)2

+ (y−1)2

≤2}e,

V3 ={(x, y)∈R 2

: r

(x₋1

2) 2

+ (y₋ 1

2) 2

≤2_}.

são todos vizinhan¸cas dea, já que todos contêm uma bola aberta centrada ema(a bola aberta B1

4(a) por exemplo). No entanto os conjuntos

W1 ={(x, y)∈R 2

:x≥1∧y≥1}e,

W2 ={(x, y)∈R 2

:px2 +y2

(8)

1.6 Interior, exterior e fronteira

Defini¸c˜ao 7: Seja X _⊆ Rn_{. Um ponto} a diz-se ponto interior de X, se X for uma vizinhan¸ca de a, isto ´e, se existir uma bola aberta com centro ema e contida em X.

Defini¸c˜ao 8: Um ponto diz-se ponto exterior ao conjunto X se for interior ao seu com-plementar.

Defini¸c˜ao 9: No caso de um ponto n˜ao ser interior nem exterior ao conjunto X, esse ponto designa-se por ponto fronteiro deX.

Observa¸c˜ao 4:

1. (a) Oconjunto dos pontos interioresde um conjunto X, designa-se por interior

deX e representa-se porintX.

(b) O conjunto dos pontos exteriores de X, designa-se por exterior de X e representa-se porextX.

(c) De forma an´aloga f rX (ou ∂X), representa o conjunto dos pontos fronteiros

deX que se designa fronteirade X.

Observa¸c˜ao 5: ∂X =∂(Rn_\_X₎_.

Observa¸c˜ao 6: Dados X _∈ Rn

e a _∈ X, h´a trˆes possibilidades: a _∈ intX ou a _∈ int(Rn_\_X_{) ou} _a_∈_∂X, _{ou seja,} Rn ₌_intX _∪_int₍Rn_\_X₎_∪_∂X.

Exemplo 4: ComoRn

\B[a, r] ´e aberto eint_B[a, r] =_B(a, r), temos que∂_B[a, r]=_S[a, r].

Nota 5:

• intX ∩extX =∅, intX∩f rX =∅.

• f rX∩extX =∅, intX ∪f rX∪extX =Rn_.

Exemplo 5: O ponto a´e ponto interior do conjunto X = _B(a, r). Com efeito _B(a, r)_⊆

X = _B(a, r) o que mostra que existe uma bola aberta centrada em ae contida em

X =_B (a, r).

O conjunto dos pontos interiores deX ´e

intX =B (a, r).

uma vez que _B (a, r) ´e vizinhan¸ca de todos os seus pontos. O conjunto dos pontos exteriores deX ´e

extX =_{x_∈Rn

:d(x,a)> r_}

uma vez que estes pontos s˜ao interiores ao complementar de B (a, r). O conjunto

f rX =_{x_∈Rn _:_d₍x,a) =r_}.

(9)

Exemplo 6: Seja a= (1 2,

1 2,

1

2). Este vector ´e ponto interior de

A={(x, y, z)∈R3 _:_x_≥₀_{, y} _≥₀_{, z} _≥₀_}_.

j´a que, por exemplo, B 1

4 ⊆A. Os pontos de A tais que (0, y, z) , com y e z maiores do que zero, são pontos fronteiros de A, já que não são pontos interiores nem de A, nem do seu complementar.

Exemplo 7: Seja

B =_{(x, y)_∈R2 _:_y _{= 2}_x_}_.

Este conjunto n˜ao tem pontos interiores. Por outro lado, o conjunto dos pontos exteriores deB ´e

extB=_{(x, y)_∈R2 _:_y₆_{= 2}_x_}_.

j´a que todos estes pontos s˜ao interiores ao complementar deB.

Exerc´ıcio 1: Sejam A =]0,1[, B = [0,1], C = [0,1[ e ]0,1[. Calcule para cada um dos intervalos: int,ext, f r.

1.7 Conjuntos abertos

Defini¸cão 10: Há casos em que o conjunto só têm pontos interiores. Se todos os pontos de um conjunto, forem pontos interiores, o conjunto diz-seaberto. Assim um conjunto

X ´e um conjunto aberto se e somente se X coincide com o seu interior.

Observa¸cão 7: Um conjunto A _⊂ Rn _{é aberto, sse, nenhum de seus pontos é ponto}

fronteiro de A, ou seja, sse A_∩∂A=_∅.

Exemplo 8: Todas as bolas abertas s˜ao conjuntos abertos,

B (a, r) = int_B (a, r)

Exemplo 9: Seja

V ={(x1, x2)∈R 2

:x1 >0∧x2 >1/2}.

Este conjunto ´e aberto, pois s´o tem pontos interiores.

Exemplo 10: O conjunto

V =_{(x1, x2)∈R 2

:x1 ≥0∧x2 ≥1/2}.

não é aberto, já que por exemplo (0,1) não é ponto interior de V.

Exemplo 11: Seja

U =_{(x1, x2)∈R 2

:x2 = 2x1}.

Este conjunto não é aberto pois tem pelo menos um ponto que não é ponto interior, o ponto (1,2), por exemplo.

Propriedades 1:

(10)

• A interseçcão A =A1 ∩A2 ∩ · · · ∩Ak de um número finito de conjuntos abertos

A1, A2, . . . , Ak ´e um conjunto aberto.

• A reuni˜ao A=_∪λ∈LAλ de uma familia qualquer (Aλ)λ∈L de conjuntos abertos Aλ

´e um conjunto aberto.

Observa¸c˜ao 8: Para todo X⊂Rn_, _intX _{´e um conjunto aberto.}

Observa¸c˜ao 9: Se X _⊂Y ent˜ao intX _⊂intY.

Observa¸c˜ao 10: Uma bola fechadaB[a, r]_⊂Rn

n˜ao ´e um conjunto aberto.

Exerc´ıcio 2: Prove que, para todo X _⊂ R _{tem-se que} _int₍_intX_{) =} _intX _{e conclua que} intX ´e um conjunto aberto.

1.8 Conjunto fechado

Defini¸cão 11: Um conjunto diz-sefechado se o seu complementar for aberto, isto é, um conjunto X ⊆Rn _éfechado sseRn_\_X _{é aberto.}

Propriedades 2: (cojuntos fechados)

• ∅ e Rn _{s˜ao conjuntos fechados.}

• A reuni˜ao F = F1 ∪ F2 ∪ · · · ∪Fk de um n´umero finito de conjuntos fechados

F1, F2, . . . , Fk ´e um conjunto fechado.

• A interseçcãoF =∩λ∈LFλ de uma familia qualquer (Fλ)λ∈L de conjuntos fechados Fλ é um conjunto fechado.

Exemplo 12: O conjunto vazio _∅ ´e fechado em R2

pois o seu complementar ´e aberto: o complementar de ∅ ´eR2

que é aberto. Por outro lado, como ∅ é aberto, o seu comple-mentar R2 _{é fechado. Assim,}_∅ _e R2 _{são fechados e abertos simultâneamente.}

B[a, r] ={x∈Rn _:_d₍_{x, a}₎_≤_r_}

´e um conjunto fechado que se designa por bola fechada de centro ema e de raio r >0. Com efeito o seu complementar ´e um conjunto aberto.

Exemplo 14: Seja

S=_{x_∈Rn_:_x2 = 2x1}.

O conjunto ´e fechado pois o seu complementar ´e aberto.

V =

x_∈Rn _:_x1 ≥0∧x2 > 1 2

.

(11)

Defini¸cão 12: Chama-se fecho ou aderência do conjunto X à união de X com a sua fronteira que se representa por ¯X, ou seja,

¯

X =X∪∂X.

Defini¸c˜ao 13: Um ponto a _∈ Rn _diz-se _aderente _a _X _quando _a _{´e o limite de uma}

sucess˜ao de pontos de X.

Defini¸cão 14: Um ponto a diz-seaderenteaXse pertencer à aderência deX. É poss´ıvel mostrar que o fecho de um conjunto é sempre um conjunto fechado.

Observa¸cão 11: Um conjuntoXé fechado quando contém todos os seus pontos aderentes, ou seja, quando X = ¯X.

Observa¸c˜ao 12: SeX _∈Rn

é limitado, então ¯X, é limitado.

Proposi¸c˜ao 1: Seja X _⊂Rn

. Ent˜ao Rn

\X¯ ´e aberto emRn

.

Observa¸cão 13: Os conjuntos abertos podem ser caracterizados à custa do conceito de conjunto fechado. Com efeito um conjunto X é aberto se, e somente se, o seu comple-mentar é fechado.

1.9 Ponto acumula¸c˜

ao

Defini¸c˜ao 15: O ponto a_∈ Rn _´e _{ponto de acumula¸}_c˜_ao _{de um conjunto} _X _⊆Rn _{se e}

s´o se em toda a vizinhan¸ca de a existem uma infinidade de pontos de X. Em outras palavras, um ponto a _∈ Rn

é ponto de acumula¸cão, se toda a bola aberta _B(a, r) contém, pelo menos, um ponto deX distinto de a, ou seja,

X∩(B(a, r) \{a})6=∅.

Defini¸c˜ao 16: Chama-se derivadode X ao conjunto de todos os pontos de acumula¸c˜ao deX. O derivado de X denota-se por X′_.

Observa¸cão 14: Notemos que um conjunto finito não tem pontos de acumula¸cão. Pode mostrar-se que

A′ ⊆A.¯

Defini¸c˜ao 17: Um pontoa deX diz-se isolado se existir uma bola _B(a, r) tal que B(a, r)_∩X =_{a_},

isto é, aé um ponto isolado do conjunto X, se existir uma bola abertaB(a, r) que não intersecta nenhum outro ponto deX distinto de a.

Exemplo 16: Consideremos o subconjunto de R_e _n _∈N

S =

x∈R_:_x₌ 1 n

.

Não é dif´ıcil verificar queS tem por único ponto de acumula¸cão x= 0. O seu derivado será pois S′ ₌

(12)

Exemplo 17: Determinar o interior, o exterior, a fronteira, a aderˆencia e o derivado do conjunto

T =_{(x, y)_∈R2 _{: 1}_{< x}2₊_y2 _≤₄_}_.

Chegamos a conclus˜ao que

intT =_{(x, y)_∈R2 _{: 1}_{< x}2 ₊_y2 _<₄_}_.

extT =_{(x, y)_∈R2 _:_x2 ₊_y2 _>₄_∨_x2₊_y2 _<₁_}_.

f rT =_{(x, y)_∈R2 _:_x2₊_y2 _{= 1}_∨_x2₊_y2 _{= 4}_}_.

¯

T ={(x, y)∈R2 _{: 1}_≤_x2₊_y2 _≤₄_}_.

T′

=_{(x, y)_∈R2 _{: 1}_≤_x2₊_y2 _≤₄_}_.