CÁLCULO NUMÉRICO. Profa. Dra. Yara de Souza Tadano

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CÁLCULO NUMÉRICO

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Aula 7

Zeros reais de funções – Parte 1

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Aula 7 – Zeros de funções – Parte 1

Cálculo Numérico 3/53

Objetivo

¨  Determinar valores aproximados para as soluções (raízes) de equações da forma:

sendo f uma função real dada.

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Motivação

¨  Gás de Van Der Walls:

b: volume ocupado pelas moléculas;

a: atração entre as moléculas nas bordas do recipiente.

¨  Como resolver a equação para o volume?

¨  Dados P e T com a, b, R conhecidos, como determinar v?

P v,T

(

)

=

RT

v − b

−

a

v

2

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Motivação

¨  A solução exata de pode ser encontrada apenas em alguns casos:

¤  Polinômios de grau menor ou igual a quatro;

¤  Algumas funções trigonométricas.

¨  Mesmo quando a solução analítica está disponível, sua determinação pode ser “complicada”.

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¨  Em alguns casos, por exemplo, de equações polinomiais, os valores de x que anulam f (x) podem ser reais ou complexos.

¨  Estamos interessados somente nos zeros reais de f (x).

¨  Graficamente, os zeros reais são representados pelas abscissas dos pontos onde uma curva intercepta o eixo x.

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¨  A ideia central dos métodos que iremos aprender é partir de uma aproximação inicial para a raiz e em seguida refinar

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¨  Assim, os métodos constam de duas fases:

¨  Fase I: Localização ou isolamento das raízes

¤  Consiste em obter um intervalo que contém a raiz.

¨  Fase II: Refinamento

¤  Consiste em, escolhidas aproximações iniciais para o intervalo da

Fase I, melhorá-las sucessivamente até se obter uma

aproximação para a raiz dentro de uma precisão _ε pré-estabelecida.

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FASE I: Isolamento das Raízes

¨  Nesta fase é feita uma análise teórica e gráfica da função

f (x).

¨  O sucesso da Fase II depende fortemente da precisão desta análise.

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Fase I: Isolamento das Raízes

¨  Na análise teórica, usa-se:

TEOREMA 1

¨  Seja f (x) uma função contínua em [a, b].

¨  Se f (a) f (b) < 0, então existe pelo menos um ponto x = ξ entre a e b que é zero de f (x).

¨  Esta é uma consequência do Teorema do Valor

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Fase I: Isolamento das Raízes

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Fase I: Isolamento das Raízes

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Fase I: Isolamento das Raízes

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Fase I: Isolamento das Raízes

¨  Sob as hipóteses do Teorema 1, se f’ (x) existir e preservar o sinal em ]a, b[, então este intervalo contém um único zero de f (x).

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Fase I: Isolamento das Raízes

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Fase I: Isolamento das Raízes

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Fase I: Isolamento das Raízes

¨  Uma forma de isolar as raízes de f (x) usando os conceitos anteriores é tabelar f (x) para vários valores de x e analisar as mudanças de sinal de f (x) e o sinal da derivada nos intervalos em que f (x) mudou de sinal.

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Fase I: Isolamento das Raízes

¨  EXEMPLO: Seja f (x) = x3 – 9 x + 3. Vamos analisar o sinal desta função.

¨  Construindo uma tabela de valores para f (x) e considerando apenas os sinais, temos:

x - ∞ -100 -10 -5 -3 -1 0 1 2 3

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Fase I: Isolamento das Raízes

¨  Sabendo que f (x) é contínua para qualquer x real e observando as variações de sinal, podemos concluir que cada um dos intervalos I₁ = [-5, -3], I₂ = [0, 1], I₃ = [2, 3], contém pelo menos um zero de f (x).

¨  Como f (x) é um polinômio de terceiro grau, podemos afirmar que cada intervalo contém um único zero de f (x) e, assim localizamos todas as raízes de f (x) = 0.

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Fase I: Isolamento das Raízes

¨  Se f (a) f (b) > 0, então podemos ter várias situações no intervalo [a, b], conforme mostram os gráficos a seguir.

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Fase I: Isolamento das Raízes

¨  A análise gráfica da função f (x) ou da equação f (x) = 0 é fundamental para se obter aproximações para a raiz.

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Processos Gráficos

¨  ESBOÇAR O GRÁFICO: Análise do comportamento da

função, que envolve: domínio da função, pontos de descontinuidade, intervalos de crescimento e decrescimento, pontos de máximo e mínimo, concavidade, ponto de inflexão e assíntotas da função.

¨  Através da EQUAÇÃO EQUIVALENTE g (x) = h (x):

A partir da equação f (x) = 0, obter a equação equivalente g (x) = h (x), esboçar os gráficos das funções g (x) e h (x) no mesmo eixo cartesiano e localizar os pontos x onde as duas curvas se interceptam, pois neste caso:

f ( _ξ) = 0 è g ( _ξ) = h ( _ξ). ¨  GRÁFICOS COMPUTACIONAIS.

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Gráficos computacionais

¨  Exemplo 5: Os gráficos computacionais podem tornar mais rápidos e melhores seus esforços para localizar as raízes de equações. A função:

tem diversas raízes no intervalo de x = 0 a x = 5. Use gráficos computacionais para adquirir percepção do comportamento dessa função.

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Fase II: Refinamento

¨  Veremos vários métodos de refinamento de raízes. A forma como se efetua o refinamento é que diferencia os métodos.

¨  Um método iterativo consiste em uma sequência de instruções que são executadas passo a passo, algumas das quais são repetidas em ciclos.

¨  Os métodos iterativos para refinamento da aproximação inicial para a raiz exata podem ser colocados em um

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Critério de Parada

¨  TESTE: x_k está suficientemente próximo da raiz exata?

¨  Existem duas interpretações para raiz aproximada que nem sempre levam ao mesmo resultado:

¨  é raiz aproximada com precisão ε se:

¤  i)

¤ ii)

x

x −

ξ

<

ε

ou

f x

( )

<

ε

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Critério de Parada

¨  Como efetuar o teste (i) se não conhecemos o valor exato da raiz _ξ?

¨  Usamos frequentemente os conhecimento de erro absoluto e erro relativo para determinarmos o critério de parada.

¤  ERRO ABSOLUTO:

¤  ERRO RELATIVO:

x

_k

_{− x}

_k−1

_<

_ε

x

_k

− x

_k−1

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¨  Nem sempre é possível ter as exigências (i) e (ii) satisfeitas

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¨  Em programas computacionais, além do teste de parada usado para cada método, deve-se ter o cuidado de estipular um número máximo de iterações, para se evitar que o programa entre em “looping”.

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Métodos Iterativos

¨  Métodos iterativos para a obtenção de zeros reais de

funções: ¤  Bissecção; ¤  Falsa posição; ¤  Ponto fixo; ¤  Newton-Raphson; ¤  Secante.

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Método da Bissecção

¨  Suponha que f (x) seja uma função contínua definida em [a,b], tal que f (a) f (b) < 0.

¨  De acordo com o Teorema do Valor Intermediário, existe um número c em ]a, b[ para o qual f (c) = 0.

¨  Vamos supor, para simplificar, que ]a, b[ contenha uma única

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Método da Bissecção

¨  O objetivo deste método é reduzir a amplitude do intervalo

que contém a raiz até se atingir a precisão requerida: (b – a) < _ε ou usando para isto a sucessiva divisão

de [a, b] ao meio.

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Aula 7 – Zeros de funções – Parte 1 Cálculo Numérico 41/53

Método da Bissecção

¨  Graficamente: x a = a₀ ξ f(x) b = b₀ x₀ = (a + b)/2 x₀ x a = a₁ ξ f(x) x₀ = b₁ x₁ = (a + x₀)/2 x₁ x ξ f(x) x₀=b₂ x₂ = (x₁ + x₀)/2 x₁=a₂ x₂ Repete-se o processo até que o valor

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Método da Bissecção

¨  As iterações são realizadas da seguinte forma:

x

₁

=

a

0

+ b

0

2 f a

_{( )}

₀

< 0

f b

_{( )}

₀

> 0

f x

( )

₁

> 0

!

"

##

$

#

⇒

ξ

∈ a

]

₀

, x

₁

[

a

₁

= a

₀

b

₁

= x

₁

!

"

##

$

#

x

₂

=

a

1

+ b

1

2 f a

_{( )}

₁

< 0

f b

_{( )}

₁

> 0

f x

_{( )}

₂

_{< 0}

!

"

##

$

#

⇒

ξ

∈ x

_]

₂

, b

₁

_[

a

₂

= x

₂

b

₂

= b

₁

!

"

##

$

#

!

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EXEMPLO 6

Considerando o método da bissecção com _ε = 0,002 e adotando

[a₀, b₀] como intervalo inicial, obtenha uma aproximação para a função:

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EXEMPLO 6

h(x) y ξ g(x) x 1 2 3 4 5 6

ξ

2

3

Verificou-se que _ξ _∈ [2, 3]

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EXEMPLO 6

k a_k b_k f(a_k) f(b_k) x_k+1 f(x_k+1) 0 2,00000 3,00000 -0,39794 0,43136 2,50000 -0,00510 1 2,50000 3,00000 -0,00515 0,43136 2,75000 0,20820 2 2,50000 2,75000 -0,00515 0,20816 2,62500 0,10021 3 2,50000 2,62500 -0,00515 0,10021 2,56250 0,04720 4 2,50000 2,56250 -0,00515 0,04720 2,53125 0,02090 5 2,50000 2,53125 -0,00515 0,02094 2,51563 0,00790 6 2,50000 2,51563 -0,00515 0,00787 2,50781 0,00140

ε

= 0,002

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Método da Bissecção

¨  ESTIMATIVA DO NÚMERO DE ITERAÇÕES:

Dada uma precisão _ε e um intervalo inicial [a, b], vamos determinar quantas iterações serão efetuadas pelo método da bissecção até b_k – a_k < _ε.

b

₀

− a

₀

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¨  Portanto, se k satisfaz a relação anterior, ao final da iteração

k, teremos o intervalo [a, b] que contém a raiz _ξ, tal que

∀x ∈ a, b

[

]

⇒ x −

ξ

≤ b − a ≤

ε

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Algoritmo do Método da Bissecção

¨  Seja f (x) contínua em [a, b] e tal que f (a) e f (b) têm sinais opostos:

ENTRADA:

extremidades a, b; precisão _ε, número máximo de iterações N₀.

SAÍDA: solução aproximada ou mensagem de erro.

Passo 1: Faça i = 1;

FA = f (a).

Passo 2: Enquanto i ≤ N₀ , execute os passos 3 a 6.

Passo 3: Faça x = a + (b – a) / 2; (Calcula x_i)

FX = f (x).

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Algoritmo do Método da Bissecção

Passo 4: Se FX = 0 ou (b – a) / 2 < _ε, então:

SAÍDA (x); (Procedimento concluído com sucesso).

PARE.

Passo 5: Faça i = i + 1.

Passo 6: Se FA * FX > 0, então faça a = x; (Calcula a_i, b_i).

FA = FX senão faça b = x.

Passo 7: SAÍDA (‘O método falhou após N₀ iterações, N₀ = ’, N₀);

(O procedimento não foi bem-sucedido).

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¨  Outros procedimentos de parada podem ser aplicados no

Passo 4 do algoritmo ou em qualquer das técnicas iterativas que aprenderemos. Por exemplo, podemos selecionar uma precisão _ε > 0 e gerar x₁, x₂, ..., x_n até que uma das condições a seguir seja satisfeita:

x

_n

− x

_n−1

<

ε

x

_n

− x

_n−1

x

_n

<

ε

f x

_{( )}

_n

_<

_ε

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CUIDADO!!!!

¨  Podem ocorrer sequências com propriedade de as diferenças convergirem para zero, enquanto a própria sequência diverge.

¨  Podem ocorrer de estar próximo de zero, mesmo quando x_n for significativamente diferente de x.

¨  Sem outras informações sobre f ou x, o melhor critério é:

por ser o que se aproxima mais da ideia de testar o erro relativo.

x

_n

− x

_n−1

x

_n

<

ε

x_n − x_n−1

f x

_{( )}

_n x_n

{ }

∞_n=0

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Método da Bissecção

VANTAGENS:

¨  Facilidade de implementação;

¨  Estabilidade e convergência para a solução procurada;

¨  Desempenho regular e previsível.

O número de iterações é

dependente da tolerância

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Método da Bissecção

DESVANTAGENS:

¨  Lentidão do processo de convergência (requer o cálculo de f(x) em um elevado número de iterações);

¨  Necessidade de conhecimento prévio da região na qual se encontra a raiz de interesse (o que nem sempre é possível);

¨  Complexidade da extensão do método para problemas multivariáveis.

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Exercício

¨  Seja f (x) = x3 – 9x + 3; I = [0, 1]; e = 10-3. k a_k b_k f(a_k) f(b_k) x_k+1 f(x_k+1) b - a 0 0 1 3 -5 0,5 -1,375 1 1 0 0,5 3 -1,375 0,25 0,765625 0,25 2 0,25 0,5 0,765625 -1,375 0,375 -0,322265625 0,125 3 0,25 0,375 0,765625 -0,322265625 0,3125 0,218017578 0,0625 4 0,3125 0,375 0,218017578 -0,322265625 0,34375 -0,531311035 0,03125 5 0,3125 0,34375 0,218017578 -0,531311035 0,328125 0,822029114 0,015625 6 0,328125 0,34375 0,822029114 -0,531311035 0,3359375 0,0144743919 7,8125 x 10-3 7 0,3359375 0,34375 0,0144743919 -0,531311035 0,33984375 -0,0193439126 3,90625 x 10-3 8 0,3359375 0,33984375 0,0144743919 -0,0193439126 0,337890625 -2,43862718 x 10-3 _{1,953125 x 10}-3 9 0,3359375 0,337890625 0,0144743919 -2,43862718 x 10-3 _0,336914063 _{6,01691846 x 10}-3 _{9,765625 x 10}-4