5.1. Introdução
O objetivo deste capítulo é desenvolver as fórmulas básicas de juros compostos e mostrar suas aplicações por meio de exemplos numéricos.
O entendimento do conceito de juros compostos é muito importante, uma vez que esse é o sistema indicado para efetuar análises e transformações de flu-xos de caixa de forma conceitualmente correta.
Inicialmente, apresentaremos o problema da capitalização composta, que trata da valorização do dinheiro ao longo do tempo. Em seguida, apresentare-mos o problema inverso, ou seja, o da diminuição das grandezas futuras, na me-dida em que são trazidas para o valor presente, mediante as operações de desconto composto.
Nos dois casos, os estudos incluem deduções de fórmulas genéricas e suas aplicações em exemplos numéricos, cujas soluções são apresentadas pelo Simu-lador da HP-12C.
5.2. Capitalização e Desconto “Por Dentro”, ou Racional
No regime de juros compostos, os juros de cada período, quando não são pagos no final do período, devem ser somados ao capital e, conseqüentemente, tam-bém passam a render juros.A esse processo dá-se o nome de capitalização de juros, e, como ele acontece no regime de juros compostos, costuma ser chamado de capitalização composta.
*
PUCCINI, Abelardo de Lima; PUCCINI, Adriana. Matemática Financeira: objetiva e aplicada. Ed. Compacta. São Paulo: Saraiva, 2009.
Juros Compostos —
5.2.1. Dedução da Expressão Genérica para Capitalização
Composta
A expressão genérica do valor futuro (FV), no regime de juros compostos, em função dos parâmetros n, i e PV, é baseada no fluxo de caixa representado no diagrama a seguir, que obedece à simbologia desenvolvida no Capítulo 3.
Figura 5.1 Capitalização composta: taxa de juros i — desconto “por dentro”
No regime de juros compostos, os juros de cada período são obtidos pela aplicação da taxa de juros i sobre o capital aplicado no início do período de capi-talização. Assim, temos:
a) no 1o
.
período de capitalização (n = 1) capital no início do período = PV juros do período = PV ⫻ icapital no final do período = FV = PV +PV ⫻ i = PV (1 +i) b) no 2o
.
período de capitalização (n = 2) capital no início do período= PV (1 +i) juros do período = PV (1 +i) ⫻ icapital no final do período = FV = PV (1 +i) +PV (1 +i) ⫻ i = = PV (1+i) ⫻ (1 +i)
e portanto:
FV = PV (1+i)2
c) no 3o
.
período de capitalização (n = 3)A expressão para o valor futuro FV, ou montante, no final do 3o
.
perío-do de capitalização pode ser deduzida de forma análoga, e toma o seguin-te aspecto:d) no enésimo período de capitalização
A expressão genérica do valor futuro FV, ou montante, resultante da aplicação de um principal PV durante n períodos de capitalização, com uma taxa de juros i por período, no regime de juros compostos é:
FV = PV (1+i)n (5.1)
em que a unidade referencial de tempo da taxa de juros i deve coincidir com a unidade referencial de tempo utilizada para definir o número de períodos n.
5.2.2. Desconto “Por Dentro”, ou Racional
A taxa de desconto i (por dentro, ou racional) é usualmente denominada taxa de desconto e é muito utilizada pelo mercado financeiro.
Pela Expressão Genérica (5.1), podemos obter a seguinte relação:
PV FV (1+ i)n
= (5.2)
que fornece o valor do principal PV a partir de FV, em função dos parâmetros n e i. O valor do desconto “por dentro” (Dd), ou racional, expresso em $, é obtido pela aplicação da Expressão Genérica para desconto combinada com a Relação (5.2), isto é: D = FV – PV = FV[(1+ i) – 1] (1+ i) d n n (5.3)
5.2.3. Dado PV, Achar FV
O problema envolvendo o cálculo do valor futuro FV a partir do valor presente PV consiste na solução da Expressão Genérica (5.1), em que a relação (1+i)n
preci-sa ser calculada para os parâmetros i e n.
A expressão (1+i)npode ser calculada para qualquer valor de i e de n, com a
utilização da HP-12C ou do Excel, e os cálculos são apresentados no Simulador da HP-12C, que toma o seguinte aspecto quando aplicado na solução de proble-ma do tipo “dado PV, achar FV”:
Além do que já foi apresentado nos capítulos anteriores a respeito da forma adequada de utilização do Simulador, da planilha Excel e da calculadora HP-12C, deve-se destacar os seguintes pontos:
a) a célula do parâmetro FV está em destaque para indicar que esse parâ-metro é que está sendo calculado e o resultado da operação será mostra-do nessa célula em destaque;
b) se a operação é realizada com a HP-12C, a tecla correspondente ao parâ-metro FV deve ser a última a ser pressionada, para acionar o cálculo des-se parâmetro;
c) se a operação é realizada com a Planilha Excel, essa célula em destaque corresponde à célula onde são inseridos o sinal de igual (=) e a função fi-nanceira FV.
5.2.3.1. Exemplo Numérico
Calcule o valor acumulado no final de seis anos, no regime de juros compostos, com uma taxa efetiva1
de 10% ao ano, a partir de um investimento inicial (prin-cipal) de $1.000,00.
Solução:
n = 6 anos; i = 10% ao ano; PV = $1.000,00; PMT = $0,00; FV = ? Os dados deste problema têm a seguinte apresentação:
que fornece $1.771,56 para o resultado do valor futuro (FV), no final do 6o
.
ano. Observe que o valor de PMT foi registrado como zero, por não fazer par-te do problema, e que o valor de PV foi inserido com o sinal negativo (investi-mento). O pagamento FV aparece com o sinal positivo.1 Taxa efetiva é a taxa de juros em que a unidade referencial de seu tempo coincide com a
5.2.4. Dado FV, Achar PV
O problema envolvendo o cálculo do valor presente PV a partir do valor futuro FV consiste na solução da Expressão Genérica (5.2), em que a relação [1/(1+i)n]
precisa ser calculada para os parâmetros i e n.
A expressão [1/(1+i)n] pode ser calculada, para qualquer valor de i e de n,
co-m a HP-12C ou coco-m a Planilha Excel, e os cálculos serão aqui apresentados coco-m o Simulador da HP-12C.
Veja abaixo a apresentação do Simulador quando aplicado na solução de problemas do tipo “dado FV, achar PV”:
Aqui o leitor deve estar atento aos mesmos pontos levantados no caso de “dado PV, achar FV”, item 5.2.3, mas deve observar que a célula em destaque, nesse caso, é PV.
5.2.4.1. Exemplos Numéricos
1. Calcule o valor do investimento inicial (principal) que deve ser realizado no regime de juros compostos, com uma taxa efetiva de 1% ao mês, para produ-zir um montante acumulado de $1.000,00 no final de 12 meses. Calcule o va-lor do desconto “por dentro”, expresso em $.
Solução:
n= 12 meses; i = 1% ao mês; FV = $1.000,00; PMT = $0,00; PV = ?; Dd= ? a) cálculo do valor presente
Devemos preencher os dados acima no Simulador da HP12-C:
que fornecerá $887,45 para o valor presente (PV). b) desconto “por dentro”, em $
O valor do desconto “por dentro”, expresso em $, é obtido pela Rela-ção (5.3), conforme indicado a seguir:
Dd= FV−PV = $1.000,00 −$887,45 = $112,55 2. O montante de $1.000,00, colocado no final do 4o
.
mês do diagrama indicado a seguir, deve ser capitalizado e descontado com a taxa de 1% ao mês, no regi-me de juros compostos.Figura 5.2
Calcule:
a) o valor acumulado no final do 7o
.
mês, pela capitalização do montante de $1.000,00 indicado no diagrama;b) o valor que deve ser investido no final do 1o
.
mês, para se obter o montan-te de $1.000,00 indicado no diagrama.Solução:
a) montante no final do 7o
.
mêsA solução deste problema pode ser visualizada no diagrama a seguir, que enquadra o problema no Diagrama Padrão apresentado no Capítulo 3.
Figura 5.3
Assim, o valor de $1.000,00 fica colocado no ponto zero da nova escala de tempo, e deve ser tratado como um valor presente PV, que precisa ser capitalizado três meses para atingir o final do 7o
.
mês. Preenchendo os da-dos no Simulador da HP-12C:obteremos $1.030,30 para o valor futuro (FV), no final do 7o
b) principal no final do 1o
.
mêsNesse caso, para enquadrarmos o problema no Diagrama Padrão, pre-cisaremos colocar o valor PV (a ser determinado) no ponto zero da nova escala de tempo, conforme indicado a seguir:
Figura 5.4
Assim, o valor de $1.000,00 fica colocado no ponto 3 da nova escala de tempo, e deve ser tratado como um valor presente FV, que precisa ser descontado três meses para atingir o final do 1o
.
mês. Preenchendo os dados no Simulador da HP-12C :obteremos $970,59 para o principal, ou seja, para o valor presente (PV).
5.3. Desconto “Por Fora”
5.3.1. Dedução da Expressão Genérica
A Expressão Genérica do valor do desconto “por fora”, no regime de juros com-postos, é baseada no fluxo de caixa representado no diagrama a seguir, que obe-dece à simbologia desenvolvida no Capítulo 3.
Figura 5.5 Desconto composto: taxa de desconto d — “por fora”
No regime de juros compostos, os descontos de cada período são obtidos pela aplicação da taxa de desconto d por período, sobre o capital existente no início do período de desconto. Assim, temos:
a) no 1o
.
período de desconto (n = 1) capital no início do período= FV desconto do período = FV⫻ dcapital no final do período = PV = FV−FV ⫻ d = FV (1 −d) b) no 2o
.
período de desconto (n = 2) capital no início do período = FV (1−d) juros do período = FV (1−d) ⫻ dcapital no final do período = PV = FV (1 −d) −FV (1 −d) ⫻ d = = FV (1 −d) ⫻ (1 −d)
e portanto,
PV = FV (1 – d)2
A expressão para o valor presente PV, no final do 3o
. período de des-conto, pode ser deduzida de forma análoga:
PV = FV (1 – d)3
c) no enésimo período de desconto
A Expressão Genérica do valor presente PV, ou principal, resultante do desconto de um valor fututo FV, durante n períodos, com uma taxa de desconto d por período, no regime de juros compostos, é:
PV = FV (1 – d)n (5.4)
O valor do desconto “por fora” (Df), expresso em $, é obtido pela
apli-cação da Expressão Geral para desconto, combinada com a Expressão (5.4):
Df= FV – PV = FV [ 1 – (1 – d)
n] (5.5)
5.3.2 Exemplo Numérico
Um título com o valor de $10.000,00, com 60 dias para seu vencimento, é des-contado no regime de juros compostos, com uma taxa de desconto “por fora” igual a 1,2% ao mês. Calcule o valor presente do título e o valor do desconto composto, expresso em $.
Solução:
n= 60 dias = 2 meses; i = 1,2% ao mês; FV = $10.000,00; PMT = $0,00; PV = ?; Df= ?
a) valor presente do título
O valor presente do título é obtido pela Relação (5.4), conforme indica-do a seguir:
PV = FV (1−d)n= $10.000,00⫻ (1 −0,012)2=
= $10.000,00 ⫻ 0,97614 = $9.761,44 b) valor do desconto “por fora”, em $
O valor do desconto composto, “por fora”, é obtido pela Relação (5.5), conforme indicado a seguir:
Df= FV−PV = $10.000,00 −$9.761,44 = $238,56
5.4. Problemas Resolvidos
1. Calcule o valor acumulado no final de 24 meses, com juros compostos de 1% ao mês, a partir de um investimento inicial (principal) de $2.000,00.
Solução:
n = 24 meses; i = 1% ao mês; PMT = $0,00; PV = $2.000,00; FV = ?
Os dados do problema têm a seguinte apresentação no Simulador da HP-12C:
que fornece $2.539,47 para o valor futuro (FV), no final do 24o
.
mês.2. Calcule o valor do investimento inicial (principal) que deve ser realizado no regime de juros compostos, com uma taxa efetiva de 1,25% ao mês, para pro-duzir um valor acumulado de $1.000,00 no final de dois anos.
Solução:
n= 2 anos = 24 meses; i = 1,25% ao mês; FV = $1.000,00; PMT = $0,00; PV = ? Os dados do problema têm a seguinte apresentação no Simulador da HP-12C:
que fornece $742,20 para o valor presente (PV).
3. Um banco comercial realiza suas operações de crédito com uma taxa de juros de 1,00% ao mês, ou seja, 6,00% ao semestre. Entretanto, os juros são pagos antecipadamente, por ocasião da liberação dos recursos. Assim, para cada $1.000,00 de empréstimo, a ser liquidado no prazo de seis meses, esse banco libera um principal de $940,00. Calcule a taxa efetiva mensal cobrada nessas operações, no regime de juros compostos.
Solução:
n = 6 meses; FV = $1.000,00; PV = $940,00; PMT = $0,00; i = ? (ao mês) Os dados do problema têm a seguinte apresentação no Simulador da HP-12C:
que fornece 1,03659% ao mês para a taxa de juros i.
4. Calcule as taxas efetivas mensal e diária de um título de renda fixa que tem uma rentabilidade de 10% ao ano, no regime de juros compostos.
Solução:
a) taxa mensal efetiva
Em um ano, com uma taxa de 10% ao ano, $100,00 se transformam em $110,00. A taxa mensal procurada é aquela que faz $100,00 se transformar em $110,00 no prazo de 12 meses. Assim temos:
n = 12 meses FV = $110,00; PV = $100,00; PMT = $0,00; i = ? (ao mês) Os dados do problema têm a seguinte apresentação no Simulador da HP-12C:
b) taxa diária efetiva
A taxa diária procurada é aquela que faz $100,00 se transformar em $110,00 no prazo de 360 dias (ano comercial). Assim temos:
n= 360 dias; FV = $110,00; PV = $100,00; PMT = $0,00; i = ? (ao dia) Os dados do problema têm a seguinte apresentação:
que fornece 0,0264786% para a rentabilidade diária desse título.
5. Um certificado de depósito bancário tem um valor de resgate de $10.000,00 e um prazo de 90 dias a decorrer até seu vencimento. Calcule o valor a ser apli-cado nesse papel para que sua taxa de remuneração efetiva seja de 10% ao ano. Realizar os cálculos considerando o ano comercial com 360 dias. Solução:
a) obtendo a taxa diária equivalente a 10% ao ano Cálculo da taxa diária:
n= 360 dias; PV = $100,00; FV = $110,00; PMT = $0,00; i = ? (% ao dia) Os dados do problema têm a seguinte apresentação:
que fornece a taxa diária de 0,0264786%. Cálculo do valor de aplicação:
n = 90 dias; i = 0,0264786% ao dia; FV = $10.000,00; PMT = $0,00; PV = ? Os dados do problema têm a seguinte apresentação:
b) trabalhando com n fracionário
Nesta solução, vamos transformar os 90 dias em fração de ano e traba-lhar com a taxa de 10% ao ano. Esta solução só é possível porque a HP-12C e a Planilha Excel operam com o valor de n fracionário. Certifique-se de que a calculadora HP-12C apresenta a letra C no visor (acione as teclas STO e EEX), para que ela opere a juros compostos na parte fracionária de n. n= 90 dias = 90/360 = 0,25 ano; i = 10% a.a.; FV = $10.000,00; PMT = $0,00; PV= ?
Os dados do problema têm a seguinte apresentação:
que fornece o resultado de PV = $9.764,54, idêntico ao anterior.
6. Uma debênture tem um valor de resgate de $10.000,00 e um prazo de dois anos e três meses a decorrer até seu vencimento. Calcule o valor a ser aplicado nesse papel para que sua taxa de remuneração efetiva seja de 12% ao ano. Rea-lizar os cálculos no regime de juros compostos, assumindo o ano comercial com 360 dias.
Solução:
Com a HP-12C apresentando a letra C no visor:
Neste caso todos os cálculos da HP-12C são feitos a juros compostos, tanto para a parte inteira de n como para sua parte fracionária. Com a letra C no vi-sor, a HP-12C e a Planilha Excel operam da mesma forma, e os resultados obti-dos são idênticos.
n = 2 anos e 3 meses= 2,25 anos; i = 12% ao ano; FV = $10.000,00; PMT = $0,00; PV= ?
Os dados do problema têm a seguinte apresentação:
que fornece o resultado de PV⫽ $7.749,25.
Ao se repetirem as mesmas operações com a HP-12C, sem a letra C no visor, o resultado obtido é igual a $7.739,75, que corresponde ao seguinte:
cálculo a juros compostos na parte inteira de n (2 anos); cálculo a juros simples na parte fracionária de n (0,25 ano).
Para confirmarmos essa situação, vamos inicialmente calcular o valor do papel, a juros compostos, com dois anos a decorrer até o vencimento. Certifi-que-se de que a letra C esteja indicada no visor, para que o cálculo seja realiza-do a juros compostos:
Vamos agora descontar este valor (PV= $7.971,94) por três meses, a juros simples de 12% ao ano: PV $7.971,94 1 0,12 12 3 = + = ⫻ $ .7 739 75,
resultado que coincide com o calculado sem a letra C no visor, confirmando o que foi enunciado.
5.5. Resumo
Neste capítulo, desenvolvemos as principais fórmulas do regime de juros compos-tos, bem como ilustramos suas aplicações em diversos problemas do mercado.
A Expressão Genérica (5.1), que define o crescimento do dinheiro ao longo do tempo como sendo a exponencial (1+i)n, é a equação fundamental do regime
de juros compostos. Todas as demais fórmulas desenvolvidas no livro, para esse regime de juros, são obtidas a partir dessa expressão genérica.
A taxa de desconto i (“por dentro”, ou racional), no regime de juros compos-tos, é usualmente denominada taxa de desconto. Já a taxa de desconto d (“por fora”, ou comercial) praticamente não é utilizada pelo mercado nesse regime de juros.
5.6. Problemas Propostos
Considere em todos os problemas o ano comercial com meses de 30 dias.
1. Calcule o montante acumulado em seis trimestres, com uma taxa de 1,2% ao mês, no regime de juros compostos, a partir de um principal de $10.000,00.
2. Calcule o principal que deve ser investido para produzir um montante de $20.000,00, num prazo de dois anos, com uma taxa de 12% ao semestre, no regime de juros compostos.
3. Um investidor aplicou $10.000,00 para receber $11.200,00 no prazo de um ano. Calcule a taxa de rentabilidade mensal desse investidor, no regime de juros compostos.
4. Calcule o número de meses necessários para se fazer um capital triplicar de valor, com uma taxa de 1% ao mês, no regime de juros compostos.
5. Um investidor deseja fazer uma aplicação financeira a juros compostos de 1,5% ao mês, de forma a garantir uma retirada de $10.000,00 no final do 6o
.
mês e outra de $20.000,00 no final do 12o
.
mês, a contar da data da aplica-ção. Calcule o menor valor que deve ser investido para permitir a retirada desses valores nos meses indicados.6. Uma empresa deseja liquidar uma nota promissória de $10.000,00 vencida há três meses, e ainda antecipar o pagamento de outra de $50.000,00 com cinco meses a decorrer até seu vencimento. Calcule o valor do pagamento a ser feito de imediato pela empresa para liquidar essas duas notas promissó-rias, levando em consideração uma taxa de 1,2% ao mês, juros compostos, e considerando os meses com 30 dias.
7. Um banco de investimento que opera com juros compostos de 1% ao mês está negociando um empréstimo com uma empresa que pode liquidá-lo com um único pagamento de $106.152,02, no final do 6o
.
mês, a contar da assinatura do contrato. Calcule o valor que deve ser abatido do principal desse empréstimo, no ato da contratação, para que esse pagamento seja li-mitado em $90.000,00, e para que a taxa de 1% ao mês seja mantida. 8. Calcule o valor de uma aplicação financeira que produz um valor de resgatede $10.000,00 ao final de 21 dias, com uma taxa de 1,5% ao mês, no regime de juros compostos.
9. Calcule o valor de resgate de uma aplicação financeira de $10.000,00, reali-zada no regime de juros compostos, com uma taxa de 15% ao ano, pelo pra-zo de 18 dias.
10. Um investidor tem uma poupança de $100.000,00 aplicada num banco que lhe garante uma remuneração de 0,8% ao mês para os próximos três meses, e lhe são oferecidas as seguintes alternativas de investimentos:
a) aplicação de um valor máximo de $50.000,00, a uma taxa de 1,5% ao mês, por um prazo de três meses;
b) aplicação de um valor mínimo de $100.000,00, a uma taxa de 1,0% ao mês, por um prazo de três meses.
