UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO
ESCOLA DE ENGENHARIA DE LORENA
Maria Gabriela Guerra Dutra
SIMULAÇÃO NUMÉRICA DA TRANSFERÊNCIA DE CALOR EM UM PROCESSO DE SOLDA A LASER USANDO O MÉTODO DAS DIFERENÇAS FINITAS
Maria Gabriela Guerra Dutra
SIMULAÇÃO NUMÉRICA DA TRANSFERÊNCIA DE CALOR EM UM PROCESSO DE SOLDA A LASER USANDO O MÉTODO DAS DIFERENÇAS FINITAS
Trabalho de Graduação apresentado à Escola de Engenharia de Lorena da Universidade de São Paulo para obtenção do título de Engenheira de Materiais.
Orientador: Prof. Dr. Luiz Tadeu Fernandes Eleno
Dedico esse trabalho ao meu pai, Ronaldo Dutra e à minha mãe, Cleide B. G. Dutra, que sempre me apoiaram e nunca duvidaram da minha capacidade. Dedico-o também à minha irmã e amiga, Ana Carolina G. D. Dal Poggetto, cujo seus passos segui e agradeço pela inspiração, companheirismo e amor.
AGRADECIMENTOS
A Deus que permite que eu levante e deite com saúde todos os dias.
Aos meus pais, Ronaldo Dutra e Cleide Ballini Guerra Dutra, que nunca mediram esforços para que eu pudesse realizar meus sonhos.
A minha irmã, Ana Carolina Guerra Dutra Dal Poggetto, cúmplice, líder inspiradora e amiga, por todas alegrias e tristezas compartilhadas.
Ao Professor Doutor Luiz Tadeu Fernandes Eleno, que me orientou pacientemente.
A todos amigos que fiz durante toda a graduação. Em especial as mulheres engenheiras e futuras engenheiras brilhantes com que eu tive o prazer de compartilhar o mesmo lar – Caroline Santos Leal, Gláucia de Souza Barbosa Landim, Amanda de Almeida Miki, Leticia Elizabete da Silva Ayabe e Ane Elisa Silva Bicudo. A Thaís Witt Acosta e ao Luis Henrique Pizetta Zordão, pelo companheirismo, amizade, paciência e a humildade em compartilhar o conhecimento comigo.
A todos os professores e funcionários com quem pude conviver durante todos esses anos.
RESUMO
DUTRA, M. G. G. SIMULAÇÃO NUMÉRICA DA TRANSFERÊNCIA DE CALOR EM UM PROCESSO DE SOLDA A LASER USANDO O MÉTODO DAS DIFERENÇAS FINITAS. Monografia (Trabalho de Graduação em Engenharia de Materiais) – Escola de Engenharia de Lorena, Universidade de São Paulo, Lorena, 2018.
O avanço da tecnologia permite que os processos na indústria sejam melhorados constantemente. Grande parte dessa melhoria de eficiência é devida à possibilidade de simular processos de forma computacional, não sendo necessário realizar gastos com experimentos. Portanto, a utilização de softwares para realização destas simulações se faz necessária.
A liga Ti6Al4V possui alta resistência específica e alta resistência a corrosão em temperatura ambiente. Essas características fazem com que seja uma das ligas de titânio mais utilizadas. Apesar das diversas vantagens apresentadas por esse material, há desvantagem quanto a conformação mecânica fazendo com que sua usinagem possua alto custo. Sendo assim, para diminuir custos e aumentar a produtividade, o laser se torna um meio viável para usinar peças deste material.
Em um processo de solda a laser ocorre transferência de calor em torno de onde incide o feixe do laser. Essa transferência de calor causa modificações no material, fazendo com que ao redor do ponto de incidência do laser seja criada uma área em que a liga possui outras propriedades mecânicas, sendo essa área chamada de zona termicamente afetada (ZTA).
Baseado em um estudo realizado por Yang et al (2010), em que foi utilizado o método de elementos finitos para determinar a profundidade da ZTA, no presente trabalho foi feito a simulação numérica de transferência de calor em um processo de solda a laser de uma peça retangular da liga Ti6Al4V utilizando o método de diferenças finitas codificado em linguagem Python.
ABSTRACT
DUTRA, M. G. G. NUMERICAL SIMULATION OF HEAT TRANSFER IN A LASER WELDING PROCESS USING THE FINITE DIFFERENCE METHOD. Monography (Undergraduate Work in Materials Engineering) – Escola de Engenharia de Lorena, Universidade de São Paulo, Lorena, 2018.
The advancement of technology allows processes in the industry to be constantly improved. Much of this efficiency improvement is due to the possibility of simulating processes in a computational way, and it is not necessary to spend on experiments. Therefore, the use of software to perform these simulations becomes necessary.
The Ti6Al4V alloy has high mechanical strength in relation to weight and high corrosion resistance at room temperature. These characteristics make this alloy one of the most used titanium alloys. On the other hand, since this alloy present high resistance, it´s machining becomes very difficult and expensive. This reduce costs and increase productivity, the laser becomes a viable means to machine parts with this alloy.
In a laser welding process heat transfer occurs around the laser beam. This transfer of heat causes changes in the material. Creating on area, called thermally affected zone, which will have different mechanical properties compared to the rest of the material.
Based on a study by Yang et. Al. (2010), in which the finite element method was used to determine the depth of the thermally affected zone, n In the present work the numerical simulation of heat transfer in a laser welding process was used in rectangular part of the alloy Ti6Al4V using the finite difference method coded in Python language ..
LISTA DE FIGURAS
Figura 1 - Malha bidimensional ... 19 Figura 2 - Representação gráfica do programa em Python para o modelo que simula a ZTA em 2,5 ms ... 27 Figura 3 - Representação gráfica do programa em Python para o modelo que simula a ZTA em 30 ms ... 28 Figura 4 - Representação gráfica do programa em Python para o modelo que simula a ZTA em 65 ms ... 28
LISTA DE TABELAS
Tabela 1 – Propriedades térmicas da liga Ti6Al4V ... 25 Tabela 2 – Emissividade da liga Ti6Al4V ... 26
SUMÁRIO
1. INTRODUÇÃO ... 12
2. OBJETIVO ... 14
3. REVISÃO BIBLIOGRÁFICA ... 15
3.1 Soldagem a Laser ... 15
3.2 Caracterização da zona termicamente afetada da liga Ti6Al4V pelo aquecimento a laser ... 15
3.3 Transferência de calor por condução ... 16
3.4 Transferência de calor por convecção ... 17
3.5 Transferência de calor por radiação ... 18
3.6 Métodos Numéricos ... 18
3.7 Método das diferenças finitas ... 19
3.8 Modelo matemático ... 21 4. METODOLOGIA ... 25 4.1 Considerações gerais ... 25 4.2 Condições de contorno ... 26 5. RESULTADOS E DISCUSSÃO ... 27 6. CONCLUSÃO ... 29
7. SUGESTÕES DE TRABALHOS FUTUROS ... 30
8. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ... 31
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1. INTRODUÇÃO
A liga Ti6Al4V é amplamente utilizada nas indústrias aeroespacial, automotivas e biomédicas devido a sua alta resistência comparada ao seu baixo peso e alta resistência a corrosão na temperatura ambiente (YANG et al, 2010). Estas propriedades se devem a formação de duas fases (α e β), sendo o Alumínio o estabilizador da fase α e o Vanádio o estabilizador da fase β, sendo assim, a liga apresenta duas fases a temperatura ambiente. As propriedades mecânicas e a microestruturas da liga serão definidas conforme o processamento e tratamento térmico. (LÜTJERING et al, 2007)
Quando utilizadas para aplicações biomédicas, esta liga apresenta uma elevada biocompatibilidade, beneficiando assim, de uma melhor ligação entre o implante e o osso humano, apresentam também uma elevada resistência à corrosão, uma baixa dureza e uma baixa resistência ao desgaste (BALLA et al, 2014).
A usinagem a laser tem sido uma alternativa à usinagem convencional de materiais que são difíceis de processar. Devido ao calor do laser, a força do material é reduzida, podendo, assim, o material ser usinado com maior facilidade. Este calor do laser também induz a formação da ZTA. O referido processo de usinagem necessita de controle de diversos parâmetros, portanto sua modelagem se torna extremamente importante, pois desta forma é possível ter um maior controle e otimizar o processo. (YANG et al., 2010).
Os equipamentos de laser possuem alto custo, porém se tornaram necessários nas indústrias. Quando se trata de soldagem a laser, as vantagens de sua utilização se sobrepõem ao alto custo do equipamento, pois a precisão do feixe, a reprodutibilidade e a diminuição da ZTA tornam a soldagem mais eficiente, principalmente para soldagem de peças de menor espessura com elevada velocidade de deslocamento (MODENESI & MARQUES, 2000).
O conceito de transferência de calor está ligado ao conceito de energia da termodinâmica, porém a termodinâmica não trata o modo em que se dá a transferência e a taxa em que essa transferência é realizada. A transferência de calor ocorrerá sempre que houver gradiente de temperaturas entre os meios, portanto pode-se
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definir transferência de calor por energia térmica em trânsito devido a diferença de temperatura no espaço.
Para entendimento de transferência de calor é necessário o entendimento de atividades moleculares e atômicas, pois são nesses níveis em que acontecem as transferências de energia térmica.
Para que os cálculos de taxas de calor sejam mais próximos da realidade executada nas indústrias metalúrgicas é importante considerar os efeitos multidimensionais. Então para modelos analíticos serão utilizados modelos bidimensionais, porém para utilização de condições de contorno mais complexas o método utilizado será o de diferenças finitas desenvolvido em um programa em linguagem Python.
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2. OBJETIVO
O objetivo do presente trabalho é simular a transferência de calor em um processo de soldagem a laser. A partir da simulação desenvolvida em linguagem Python utilizando o método de diferenças finitas será possível observar o comportamento da ZTA ao longo do tempo.
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3. REVISÃO BIBLIOGRÁFICA
3.1 Soldagem a Laser
A soldagem é o processo que tem como objetivo realizar a junção de dois materiais por fusão. Atualmente, existem diversos processos de soldagem por fusão que são separados em grupos de acordo com sua fonte de energia utilizada para fundir as peças.
A soldagem a laser (Laser Beam Welding, LBW) é um processo de fusão em que um feixe de radiação incide sobre a peça, sendo este feixe o suficiente para fundir parte do material na junta.
Devida a alta qualidade de sua radiação, a soldagem a laser possui diversas vantagens, entre elas: minimização da ZTA, soldagem de peças finas e alta velocidade no processo.
3.2 Caracterização da zona termicamente afetada da liga Ti6Al4V pelo aquecimento a laser
As ligas de titânio possuem alta resistência específica, resistência à corrosão à temperatura ambiente. Quando adicionado Alumínio ocorre o endurecimento devido a ao seu efeito fortalecedor de solução; quando adicionado o Vanádio, este elemento atua na trabalhabilidade a quente da liga. No entanto, as ligas de titânio são difíceis de usinar devido a sua alta resistência, baixa condutividade e alta reatividade química (YANG et al, 2010).
Há certa complexidade em determinar analiticamente a profundidade ZTA, então, a utilização do método de elementos finitos torna-se interessante para este estudo, pois permite variar facilmente as propriedades térmicas e fluxo de calor.
YANG et al (2010) realizaram um estudo para caracterizar e prever a zona ZTA de uma peça de Ti6Al4V quando utilizado um feixe de laser gaussiano. Neste estudo, foi utilizado um modelo de elementos finitos para prever as temperaturas que foram geradas na peça.
Para obter a emissividade do material estudado, foi utilizado um termopar tipo K, que foi cimentado na face posterior da placa para medir a temperatura da superfície
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da amostra; e para medir a temperatura radiante, foi utilizado uma FLIR câmera térmica infravermelha.
YANG et al, desenvolveram um método para calcular a capacidade de absorção, sendo este um fenômeno importante no aquecimento a laser, pois afeta a confiabilidade e eficiência do processo. No método utilizado, foi obtido que a média de absortividade da peça de Ti6Al4V é A = 0,34.
Para caracterização da liga Ti6Al4V, utilizaram 5 velocidades de varredura do laser e seis níveis de potência do laser. Então, verificou-se que a profundidade do ZTA aumenta com o aumento da potência do laser e diminui com o aumento do laser tamanho do ponto e taxa de varredura do laser.
A simulação em modelo de elementos finitos tridimensional foi realizada a fim de prever a forma e tamanho da ZTA e os resultados obtidos para a profundidade e largura entre os modelos simulados e experimental foram próximos.
3.3 Transferência de calor por condução
A condução de calor refere-se ao transporte de energia em um meio devido a um gradiente de temperatura.
A condutividade térmica quantifica a capacidade de um material de conduzir energia térmica que depende da estrutura molecular e atômica do material. (INCROPERA et al, 2008). Considerando que o fluxo térmico é diretamente proporcional a área de secção transversal, diferença de temperaturas e comprimento, temos: 𝑞𝑥 = −𝑘𝐴𝑑𝑇 𝑑𝑥 (1) Onde: k: condutividade térmica (W/mK) T: temperatura (K) A: área (m2)
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Considerando que o fluxo térmico é uma grandeza vetorial, é possível representar a equação diferencial da transferência de calor por condução tridimensional como: 𝜕𝑇 𝜕𝑡 = 𝛼 ( 𝜕²𝑇 𝜕²𝑥+ 𝜕²𝑇 𝜕²𝑦+ 𝜕²𝑇 𝜕²𝑧) (2) Onde: T: temperatura (K) t: tempo (s)
α: difusividade térmica (m2/s) uma constante que expressa a capacidade do material conduzir calor em relação a sua capacidade de armazená-lo.
Podemos expressar α como:
𝛼 = 𝑘
𝜌𝑐𝑝 (3)
Onde:
k: condutividade térmica (W/mK) 𝜌: massa específica (kg/m3)
𝑐𝑝: calor específico a pressão constante (J/kgK)
Para a solução da equação de Fourier é necessário que se tenha as condições iniciais e de contorno. Uma vez que essas informações são obtidas, utiliza-se a equação de Fourier para determinar a transferência de calor, conforme Equação 2.
3.4 Transferência de calor por convecção
A convecção é a forma de transmissão do calor relacionada aos fluidos (líquidos e gases). Ao contrário da condução, onde o calor é transmitido de átomo a átomo sucessivamente, na convecção a propagação do calor se dá através do transporte de matéria envolvendo o movimento do fluido.
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Para as situações em que ocorre transferência de calor por convecção, o fluxo de calor convectivo (q”h) é escrito como:
𝑞"ℎ = ℎ𝑐(𝑇𝑠− 𝑇∞) (4)
Onde:
ℎ𝑐: coeficiente de transferência de calor por convecção (W/m2K)
𝑇𝑠: temperatura da superfície do objeto (K)
𝑇∞: temperatura do fluído a certa distância da superfície do objeto (K)
3.5 Transferência de calor por radiação
A radiação, diferentemente da condução e convecção, não necessita de um meio material para acontecer, sendo a sua energia conduzida por ondas eletromagnéticas.
O mecanismo de emissão de radiação está relacionado à energia liberada das oscilações e transições dos elétrons que constituem a matéria. (INCROPERA et al, 2008)
Nas situações em que ocorrer transferência de calor por radiação, a taxa desta emissão pode ser descrita pela Lei de Stefan-Boltzman:
𝑞 = 𝐴𝑠𝜎𝑇𝑠4 (5) Onde 𝐴𝑠: área da superfície (m2) 𝜎: constante de Stefan-Boltzman (W/m2K4) 𝑇𝑠: temperatura da superfície (K) 3.6 Métodos Numéricos
Problemas de condução de calor que possuem condições de contorno simples podem ser resolvidos de forma analítica, porém problemas que possuem geometrias e condições de contorno complexas tornam a solução analítica muito trabalhosa.
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Portanto, nesses casos lançamos mão de métodos numéricos para se obter uma solução aproximada.
Para utilização de qualquer método numérico é necessário que se faça a discretização do problema, ou seja, representar as variáveis do problema em um número discreto (ou seja, finito e enumerável) de pontos, ao invés de um domínio contínuo. Com isso, o problema pode ser resolvido computacionalmente. (FRANCO, 2006).
Para resolver um problema computacionalmente, existem softwares com finalidades científicas, porém muitas vezes estes softwares possuem alto custo. Então, neste caso utiliza-se a linguagem Python que, segundo Coelho, apresenta as mesmas soluções propostas pelos ambientes de programação científica, mantendo as vantagens de ser uma linguagem de programação completa e de alto nível.
O código Python é fácil de gerenciar, reaproveitar trechos de código e, portanto, é frequentemente associado com grandes ganhos de produtividade e ainda, com a produção de programas de alta qualidade e de fácil manutenção. (COELHO, 2008).
3.7 Método das diferenças finitas
No presente trabalho, o método numérico utilizado será o método das diferenças finitas, que consiste em transformar a resolução de uma equação diferencial em um sistema de equações algébricas, substituindo as derivadas por diferenças. (RUGGIERO, 1996).
O primeiro passo para utilização do método das diferenças finitas é dividir o problema em um conjunto finito de pontos equidistantes, chamado também de malha, representada abaixo na figura 2.5 no caso bidimensional.
Figura 1 - Malha bidimensional
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O segundo passo é realizar a substituição das derivadas por diferenças. Sendo a derivada definida como:
𝑑𝑓(𝑥)
𝑑𝑥 = lim∆𝑥→0
𝑓(𝑥 + ∆𝑥) − 𝑓(𝑥)
∆𝑥 (6)
Considerando um ∆x pequeno o bastante, é possível aproximar a derivada de f(x) por:
Para se obter a aproximação de uma derivada de segunda ordem, pode-se utilizar a expansão em série de Taylor para f(x+∆x) e f(x-∆x):
𝑓(𝑥 − ∆𝑥) ≈ 𝑓(𝑥) − ∆𝑥𝑑𝑓 𝑑𝑥(𝑥) + ∆𝑥² 2! 𝑑²𝑓 𝑑𝑥² (𝑥) (9)
Então, somam-se as equações (8) e (9) e isola-se o termo 𝑑²𝑓
𝑑𝑥². Obtendo-se, assim, a discretização do segundo membro da equação de calor:
𝑑²𝑓 𝑑𝑥² ≈
𝑓(𝑥 + ∆𝑥) − 2𝑓(𝑥) + 𝑓(𝑥 − ∆𝑥)
∆𝑥² (10)
Aplicando a discretização do segundo membro da equação do calor (10) na equação de calor bidimensional (3) é possível obter a equação do calor discretizada:
𝑑𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 ≈ 𝑓(𝑥 + ∆𝑥) − 𝑓(𝑥) ∆𝑥 (7) 𝑓(𝑥 + ∆𝑥) ≈ 𝑓(𝑥) + ∆𝑥𝑑𝑓 𝑑𝑥 (𝑥) + ∆𝑥² 2! 𝑑²𝑓 𝑑𝑥² (𝑥) (8)
21 𝑇𝑖,𝑗𝑡+1− 𝑇𝑖,𝑗𝑡 ∆𝑡 = ( 𝑇𝑖+1,𝑗𝑡 − 2𝑇𝑖,𝑗𝑡 + 𝑇𝑖−1,𝑗𝑡 ∆𝑥2 + 𝑇𝑖,𝑗+1𝑡 − 2𝑇𝑖,𝑗𝑡 + 𝑇𝑖,𝑗−1𝑡 ∆𝑦2 ) (11)
Considerando que para a rede utilizada ∆𝑥 = ∆𝑦 temos que:
𝑇𝑖,𝑗𝑡+1− 𝑇𝑖𝑡
∆𝑡 =
𝑇𝑖+1,𝑗𝑡 − 4𝑇𝑖,𝑗𝑡 + 𝑇𝑖−1,𝑗𝑡 + 𝑇𝑖,𝑗+1𝑡 + 𝑇𝑖,𝑗−1𝑡
∆𝑥2 (12)
Isolando a temperatura Tt+1, a equação do calor bidimensional discretizada pode ser escrita por:
𝑇𝑖,𝑗𝑡+1= 𝛼∆𝑡 (𝑇𝑖+1,𝑗 𝑡 − 4𝑇
𝑖,𝑗𝑡 + 𝑇𝑖−1,𝑗𝑡 + 𝑇𝑖,𝑗+1𝑡 + 𝑇𝑖,𝑗−1𝑡
∆𝑥2 ) + 𝑇𝑖𝑡 (13)
Para que a Segunda Lei da Termodinâmica seja respeitada, é necessário que a seguinte condição seja obedecida:
𝛼 ∆𝑡 ∆𝑥² ≤
1 2
Onde ∆𝑡 é o intervalo de tempo entre duas iterações consecutivas. Pois caso o termo da esquerda seja superior a 0,5, o valor 𝑇𝑖𝑡 terá efeito negativo na temperatura no tempo futuro.
3.8 Modelo matemático
A emissividade é a capacidade de um material emitir radiação e é obtida com a medição da temperatura da superfície da amostra e da temperatura radiante, sendo descrita da seguinte forma (COPPA AND CONSORTI,2005):
𝜀 = (𝑇𝑟 𝑇𝑠)
4
(14)
22
𝑇𝑟: temperatura radiante (K)
𝑇𝑠: temperatura da superfície (K)
A absorção é um fenômeno importante na transferência de calor na utilização do laser, porém é pouco estudado devido a sua complexidade.
É possível obter a absorção medindo-se a temperatura máxima na superfície superior da peça de trabalho. Esta temperatura foi descrita por Dahotre e Harimkar(2007) como: ∆𝑇 (0, 𝑡) = 𝑞 𝑘√ 4𝛼𝑡𝑝 𝜋 (15) Onde: 𝑘: condutividade térmica (W/mK) 𝛼: difusividade térmica (m2/s)
𝑞: intensidade do laser absorvido (W/mm2)
𝑡𝑝: tempo de pulso do laser (s)
Sendo que q, pode ser dado pela multiplicação da absorção (A) pela potência
do laser 𝑃 𝜋𝑏2
,
conforme abaixo: 𝑞 = 𝐴 ( 𝑃 𝜋𝑏2) (16) Onde: 𝐴: absorção 𝑃: potência do laser (W)𝑏: valor do ponto do laser (mm)
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𝑡𝑝 = (2𝑏
𝑈) (17)
Onde:
𝑏: valor do ponto do laser (mm)
𝑈: velocidade da peça (mm/s)
Portanto, YANG et al (2010) descreveu que a absorção é possível de ser obtida utilizando a seguinte equação:
𝐴 =𝑘∆𝑇 2𝑃 √ 𝜋3𝑏3𝑈 2𝑎 (18) Onde: 𝑘: condutividade térmica (W/mK) 𝑇: temperatura (K) 𝑃: potência do laser (W)
𝑏: valor do ponto do raio laser (mm)
𝑈: velocidade da peça (mm/s) 𝑎: difusividade térmica (m2/s)
A condução de calor tridimensional da peça pode ser descrita da seguinte forma (INCROPERA et al, 2008): 𝜌𝐶𝑝( 𝜕𝑇 𝜕𝑡 + 𝑈 𝜕𝑇 𝜕𝑦) = 𝜕 𝜕𝑥 (𝑘 𝜕𝑇 𝜕𝑥) + 𝜕 𝜕𝑦 (𝑘 𝜕𝑇 𝜕𝑦) + 𝜕 𝜕𝑧 (𝑘 𝜕𝑇 𝜕𝑧) + 𝑄̇ (19) Onde: 𝜌: densidade do material (kg/m3) 𝐶𝑝: calor específico (J/kgK) 𝑈: velocidade da peça (mm/s) 𝑘: condutividade térmica (W/mK)
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𝑄̇: fluxo de energia (W/m)
A condição inicial no tempo t=0 é dada por:
𝑇(𝑥, 𝑦, 𝑥, 0) = 𝑇0 (20)
Considerando o fluxo de calor, radiação e convecção na superfície irradiada pelo laser, a condição de contorno pode ser definida por:
−𝑘𝜕𝑇 𝜕𝑧 = 𝑞(𝑥, 𝑦)− ℎ(𝑇 − 𝑇0)− 𝜎𝜀(𝑇 4− 𝑇 0 4) (21) Onde:
𝑞: fluxo de calor perpendicular a superfície irradiada pelo laser (W/m)
𝑇0: temperatura no tempo t=0 (K)
ℎ: coeficiente de transferência de calor para convecção (W/m2K)
𝜎: constante de Stefan-Boltzmann para radiação (W/m2K4)
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4. METODOLOGIA
4.1 Considerações gerais
Para a simulação realizada em Python, os seguintes parâmetros foram selecionados
Material: Ti6Al4V
Peça de trabalho: placa Ti6Al4V com largura de 20 mm, comprimento de 30mm e espessura de 5 mm
Temperatura inicial: 22° C
Condutividade, calor específico e densidade: conforme Tabela 1 Emissividade: conforme Tabela 2
Tabela 1 – Propriedades térmicas da liga Ti6Al4V
Temperatura (°C) Condutividade Térmica (W/m K) Calor específico (J/K kg) Densidade (kg/m3) 25 7,0 546 4420 100 7,45 562 4406 200 8,75 584 4395 300 10,2 606 4381 400 11,4 629 4366 500 12,6 651 4350 600 14,2 673 4336 700 15,5 694 4324 800 17,8 714 4309 900 20,2 734 4294 995 19,3 641 4282 1100 21,0 660 4267 1200 22,9 678 4252 1300 23,7 696 4240 1400 24,6 714 4225 1500 25,8 732 4205 1600 27,0 750 4198 1650 28,4 759 4189
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Tabela 2 – Emissividade da liga Ti6Al4V Temperatura (°C) Emissividade 131,9 0,25080 241,4 0,27100 360,6 0,23060 455,0 0,23000 561,1 0,24160 688,2 0,25080 761,0 0,27100 929,7 0,61850 1036,6 0,97920 Fonte: Adaptado de YANG et al. (2010)
4.2 Condições de contorno
Material: o material da placa de Ti6Al4V é tratado como homogêneo Feixe de laser: é considerado como um feixe gaussiano
Coeficiente de convecção do ar: 50 [W/m2K] Absorvência da placa: 0,34
Superfícies laterais e inferior: temperatura constante igual à do ambiente Superfície superior: convecção e radiação para o meio externo
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5. RESULTADOS E DISCUSSÃO
Utilizando as equações descritas, foi realizada a execução do modelo de diferenças finitas em linguagem Python. O código é fornecido como anexo ao presente trabalho.
A partir dos dados de emissividade obtidos na literatura é possível observar que a emissividade não tem aumento expressivo em temperaturas abaixo de 760°C e acima de 760°C é percebido um aumento no valor da emissividade devido a oxidação da liga Ti6Al4V.
A execução do programa em linguagem Python gerou uma animação gráfica em que é possível observar o aumento da ZTA com o aumento do tempo e transferência de calor devido ao laser, conforme apresentado nas figuras 2 e 3.
Figura 2 - Representação gráfica do programa em Python para o modelo que simula a ZTA em 2,5 ms
Fonte: Autoria própria
A placa caminha com velocidade U para a esquerda. Na Figura 3, notamos o aquecimento progressivo da chapa e a formação da ZTA ao longo da região central da peça. A fusão do material e consequente liberação de calor latente foi simulada por um aumento súbito da capacidade térmica quando a temperatura ultrapassa a temperatura solidus da liga.
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Figura 3 - Representação gráfica do programa em Python para o modelo que simula a ZTA em 30 ms
Fonte: Autoria própria
Figura 4 - Representação gráfica do programa em Python para o modelo que simula a ZTA em 65 ms
Fonte: Autoria própria
Na simulação, é possível observar que o centro, onde há incidência do laser, possui maior temperatura ao longo do tempo, há um aumento da ZTA e uma temperatura mais alta se apresenta ao longo da largura da ZTA.
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6. CONCLUSÃO
A simulação da ZTA é possível através da utilização do método de diferenças finitas em linguagem Python. Através do código criado é possível obter resultados para materiais de interesse. O código, porém, deve passar por mais testes e ajustes antes que resultados mais quantitativos possam ser extraídos.
O modelo de diferenças finitas permitirá que diversos materiais e parâmetros de laser sejam testados sem que haja experimentos com alto custo. Com o código será possível comparar quantitativamente as dimensões da ZTA com as descritas em outros estudos.
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7. SUGESTÕES DE TRABALHOS FUTUROS
Comparação entre os resultados do artigo de Yang et al, 2010 e os resultados obtidos com o código em linguagem Python desenvolvido neste trabalho;
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8. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
[1] ARAÚJO, A. S. S. Processamento e Caracterização de Compósitos de Ti/HAP para Aplicações Biomédicas (Portugal, 2015)
[2] FRANCO, N. B. Cálculo numérico. (Person Prentice Hall, São Paulo, 2006).
[3] COELHO, F. C. Computação Científica com Python (Edição do Autor, Petrópolis – RJ)
2007.
[4] INCROPERA, F.P.; DEWITT, D.P.; BERGNAN, T.L. e LAVINE, A.S. Fundamentos da Transferência de Calor e Massa (LTC Editora, Rio de Janeiro, 2008), 6ª ed.
[5] LIMA, M. S. F.; CORTELLI, B. J.; SIMONI, H. R.; DE CARVALHO, S. M. e NEVES, D. Soldagem a Laser da liga Ti-6Al-4V. 70º Congresso Anual da ABM – Internacional, Rio de Janeiro, RJ, 2015.
[6] LÜTJERING, G. Influence of processing on microstructure and mechanical properties of (α+ β) titanium alloys. Materials Science and Engineering: A, Elsevier, v. 243, n. 1, p. 32–45, 1998.
[7] LÜTJERING, G.; WILLIAMS, J. C. Titanium. [S.l.]: Springer, 2007.
[8] MELO, K.J. M. Aplicação do método das diferenças finitas explícito na solução da equação do calor para o caso transiente e unidimensional. Monografia. Angicos,RN, 2011.
[9] MODENESI, P.J. e MARQUES, P.V. Soldagem I – Introdução aos Processos de
Soldagem (Belo Horizonte, 2000).
[10] RUGGIERO, M. A. G. e LOPES, V. L. R. Cálculo numérico: aspectos teóricos e
computacionais.(Pearson Makron Books, São Paulo, 1996) 2ª ed.
[11] SIEBERT, A. R.J. Caracterização morfológica, estrutural, mecânica e tribológica
da liga Ti-6Al-4V produzida por LENS e Comercial (Joinville, 2017)
[12] BALLA, V. K.; SODERLIND, J.; BOSE, S.; e BANDYOPADHYAY, A.,
“Microstructure, mechanical and wear properties of laser surface melted Ti6Al4V alloy” J. Mech. Behav. Biomed. Mater., vol. 32, pp. 335–44, Apr. 2014
[13] YANG, J; SUN, S.; BRANDT, M. e YAN, W. Experimental investigation and 3D
finite element prediction of the heat affected zone during laser assisted machining of Ti6Al4V alloy. Journal of Materials Processing Tecnology v. 210, p. 2215–2222, 2010.
32
9. ANEXO - Código em Linguagem Python
# -*- coding: utf-8 -*- import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from matplotlib.animation import FuncAnimation import material # propriedades do material
‘’’
Código de diferenças finitas para a solução do problema de transferência de calor durante um passe laser
‘’’
#### Geometria e processo # constantes físicas
sigma = 5.67e-8 # (W/m^2 K^4) constante de Stefan # dimensões da peça (m) Lx = 20.e-3 Ly = 30.e-3 Lz = 5.e-3 # dados do processo P = 880. # W U = 100.e-3 b = 2.2e-3 T0 = 22. # (°C) temperatura do ambiente
h = 50. # coeficiente de transferência de calor por convecção T0 += 273.15
T04 = T0**4
# diferenças finitas dL = .1e-3
dL2 = dL * dL
dt = 1.e-4 # (segundos) passo no tempo
Nx, Ny, Nz = int(Lx/dL)+1, int(Ly/dL)+1, int(Lz/dL)+1
Tdist = np.zeros((Nx, Ny, Nz)) # distribuição de temperaturas # condição inicial Tdist[:,:,:] = T0 # propriedades do material liga = material.MaterialThermalProperties('dados_material.txt', 'emissivity.txt') Tmax = liga.Tc.max()
# distribuição de energia do laser absorvida pela superfície do material def AbsorbedPower(x, y):
a = 2. * P / np.pi / b / b m = 2. * ( x*x + y*y ) / b / b return a * np.exp(-m)
Pos = np.mgrid[-Lx:Lx:Nx*1j, -Ly:Ly:Ny*1j] / 2. q = AbsorbedPower(Pos[0],Pos[1])
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''' gradiente apenas para os pontos internos''' dx = Z[2:,1:-1,1:-1] - Z[:-2,1:-1,1:-1]
dy = Z[1:-1,2:,1:-1] - Z[1:-1,:-2,1:-1] dz = Z[1:-1,1:-1,2:] - Z[1:-1,1:-1,:-2] return np.array([dx, dy, dz]) / dL def laplacian(Z):
''' laplaciano apenas para os pontos internos''' d2x = Z[2:,1:-1,1:-1] - 2. * Z[1:-1,1:-1,1:-1] + Z[:-2,1:-1,1:-1] d2y = Z[1:-1,2:,1:-1] - 2. * Z[1:-1,1:-1,1:-1] + Z[1:-1,:-2,1:-1] d2z = Z[1:-1,1:-1,2:] - 2. * Z[1:-1,1:-1,1:-1] + Z[1:-1,1:-1,:-2] return (d2x + d2y + d2z) / dL2 def dT4(T, T04): b = T**4 - T04 return b def DifFin3D(T): '''
Resolução da EDP por diferenças finitas 3D única iteracão ''' # propriedades térmicas rho = liga.Density(T) k = liga.ThermalConductivity(T)
dkdT = liga.ThermalConductivityDeriv(T) # considerado constante emiss = liga.Emissivity(T)
cp = liga.HeatCapacity(T)
# aumenta artificialmente cp para simular calor latente de fusão: cp[T > Tmax] = 1.e8
invrhocp = 1. / ( rho * cp ) # gradiente de temperatura Grad = gradient(T)
Grad2 = Grad[0] * Grad[0] + Grad[1] * Grad[1] + Grad[2] * Grad[2] Lap = laplacian(T)
delkdelT = dkdT * Grad2 + k[1:-1, 1:-1, 1:-1] * Lap # atualizando nós internos
T1 = np.copy(T)
T1[1:-1, 1:-1, 1:-1] += dt * ( invrhocp[1:-1, 1:-1, 1:-1] * delkdelT - U * Grad[1] )
# condições de contorno
# laterais e base: não precisa mexer, pois T = T0 sempre # superfície: plasma
fluxo = q[1:-1,1:-1] - h * ( T[1:-1,1:-1,0] - T0 ) - sigma * emiss[1:-1,1:-1,0] * dT4(T[1:-emiss[1:-1,1:-1,0], T04)
T1[1:-1,1:-1,0] = T[1:-1,1:-1,1] + dL / k[1:-1,1:-1,0] * fluxo return T1
fig = plt.figure()
surface = plt.imshow(Tdist[:,:,0], vmin=0, vmax=2500, cmap='jet') n = plt.text(.95,-0.06, '')
34 def update(frame): global Tdist #print(frame) Tdist = DifFin3D(Tdist) surface.set_data(Tdist[:,:,0]) n.set_text('iter=%d' % (frame) ) if frame % 5 == 0: plt.savefig('frame-%03d.png' % (frame)) return surface, n
ani = FuncAnimation(fig, update, interval=1) plt.show() #--- import numpy as np import scipy.optimize as op class MaterialThermalProperties: ‘’’
Propriedades térmicas da liga lidas à partir de arquivos
correspondem às Tabelas 3.1 e 3.2 ‘’’
def __init__(self, conduc_file, emiss_file, absortivity=.34):
T, k, cp, rho = np.genfromtxt(conduc_file, unpack=True) self.Tc, self.k, self.cp, self.rho = T+273.15, k, cp, rho
pars, cov = op.curve_fit(lambda x, a, b : a * x + b, T, k) self.dkdT = pars[0] T, e = np.genfromtxt(emiss_file, unpack=True) self.Te, self.emiss = T+273.15, e self.absortivity = 1. - absortivity def ThermalConductivity(self, T):
return np.interp(T, self.Tc, self.k) def ThermalConductivityDeriv(self, T):
return self.dkdT
def HeatCapacity(self, T):
return np.interp(T, self.Tc, self.cp) def Density(self, T):
return np.interp(T, self.Tc, self.rho)
def Emissivity(self, T):
