UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO ESCOLA DE ENGENHARIA DE SÃO CARLOS DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA

SEM 0533 – Modelagem e Simulação de Sistemas Dinâmicos I

SEM 0232 – Modelos Dinâmicos

UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO

ESCOLA DE ENGENHARIA DE SÃO CARLOS

DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA

Modelagem de Sistemas Térmicos

Teoria

Objetivos

Objetivo da presente aula é apresentar elementos teóricos para a modelagem

de Sistemas Térmicos no contexto da Dinâmica de Sistemas. Os seguintes

elementos serão estudados:

• Resistência Térmica

• Capacitância Térmica

Bibliografia:

1

Felício, L. C., Modelagem da Dinâmica de Sistemas e Estudo da Resposta, Rima, 2010

Introdução

#

A

#

B

T

_A

T

_B

#

A

#

B

T

_e

T

_e

Dt

O conceito de

equilíbrio térmico

T

_A

> T

_B

q

Nossas variáveis de interesse são então o fluxo de energia térmica

q

(calor) e a

variação de temperatura

D

t

. Para os elementos resistência e capacitância térmica

procuraremos estabelecer a relação entre estas variáveis. O processo de transferência

de calor pode ser por: (i)

condução

; (ii)

convecção

e ; (iii)

irradiação

Transferência

de Calor

Condução

Convecção

Irradiação

•

Predominante nos sólidos

•

Não ocorre no vácuo

•

Vibração molecular

•

Predominante nos meios fluídicos

•

Não ocorre no vácuo

•

Correntes convectivas – transporte

de matéria, diferenças de densidade

•

Ocorre em todos os meios

•

Ondas eletromagnéticas

•

Ondas de Calor

O Elemento Resistência Térmica

A relação entre a quantidade de calor trocada e o gradiente de temperatura depende

da forma predomiante de troca de calor. Então estudaremos separadamente as

diferentes formas de troca de calor. Iniciamos com a

condução térmica

Efeito físico: modelagem da dissipação durante o processo de troca de calor

#

#

T

₁

T

₂

A

L

q

Lei de Fourier:

q =

kA

L

(T

1

T

2

) =

kA

L

T

k – coeficiente de condutividade

térmica do material da haste

Logo, para a condução térmica:

R

t

=

T

q

=

L

kA

Cont. ...

Muitas aplicações práticas involvem a transferência de calor através de interfaces

fluídico/sólidas. Neste caso, consideramos a

convecção térmica

como mecanismo

de condução de calor e a forma da determinação da resistência térmica muda:

T

₁

T

₂

sólido

líquido

camada limite

q

Para a condução definimos:

q = hA (T

1

T

2

) = hA T

R

t

=

T

q

=

1

hA

h – coeficiente de película

Cont. ...

Em situações reais a condução e convecção são combinadas e então podemos

definir uma resistência térmica global levando-se em conta os dois processos

T

₁

ar

água

camada água

h

1

q

T

₂

camada ar

h

2

T

_a

T

_b

Para este caso:

q

✓

1

h

1

A

◆

+ q

✓

L

kA

◆

+ q

✓

1

h

2

A

◆

= T

₁

T

₂

q =

T

R

t

= U A T

R

t

=

1

h

1

A

+

L

kA

+

1

h

2

A

parede

metálica

Cont. ...

A terceira forma de transferência de calor é

a irradiação térmica

:

#

#

T

₁

T

₂

q

Neste caso: (Stefan-Boltzmann)

q = C T

₁

4

T

₂

4

q ⇠

= C T

1,0

4

T

2,0

4

+



@q

@T

_{1 T}

_1,0

_,T

_2,0

(T

1

T

1,0

) +



@q

@T

_{2 T}

_1,0

_,T

_2,0

(T

2

T

2,0

)

Linearizamos por Taylor:

Chegando a:

q ⇠

=

3CT

_1,0

4

+ 3CT

_2,0

4

+ (4CT

_1,0

3

)T

1

(4CT

2,0

3

)T

2

Fazemos T

_1,0

= T

_2,0

= T:

q ⇠

= 4CT

3

(T

1

T

2

)

R

t

⇠

=

T

q

=

1

4CT

3

Cont. ...

Propriedades do elemento resistência térmica puro e ideal

D

T

q

-+

q

q

T

₁

T

₂

R

_t

D

T

T = R

t

q

T (s) = R

t

Q(s)

L

q

R

t

DT

DT

q

1

R

t

O Elemento Capacitância Térmica

Efeito Físico: Armazenamento de energia térmica (Interna)

Iniciamos o estudo desteo conceito apreciando o seguinte exemplo

gás

ideal

q

u

q =

U + ⌧

M

Portanto, ao fornecer calor ao sistema aumenta sua energia interna

D

U

, aumentando

assim a temperatura do gás, além de movimentar o êmbolo (trabalho mecânico). E,

como expressa a 1a Lei da Termodinâmica

De forma geral, modelos matemáticos de sistemas térmicos derivam de um balanço

de energia do tipo:

Taxa de Variação

da Energia

Armazenada

no Sistema

=

Taxa de Variação

do Fluxo de Calor

de

Entrada

no Sistema

Taxa de Variação

do Fluxo de Calor

de

Saída

do Sistema

Taxa de Variação

do Fluxo de Calor

Gerado

no Sistema

Taxa de Variação

do Trabalho

Gerado no (ou

pelo)

Sistema

-

₊

₊

Matemáticamente esta lei de balanço energético pode ser escrita como:

⇢c

p

V

dT

dt

= q

i

(t)

q

o

(t) + q

g

(t) +

d⌧

dt

onde

r

,

c

_p

e

V

são a densidade, calor específico e volume do sistema, respectivamente.

Cont. ...

d

dt

,

@

@t

Cont. ...

Se assumirmos agora que os corpos aqui tratados são constituídos de materiais tal que:

• Um incremento na energia térmica não provoca quantidades significativas de

trabalho realizado sobre o sistema ou pelo sistema

• O mesmo incremento de energia térmica não provoca grandes mudanças na

energia cinética das moléculas do corpo

• A distribuição de temperatura no corpo é uniforme, implicando que suas

propriedades também sejam constantes (difícil de se atingir para sólidos !)

A equação anterior escreve da seguinte forma

⇢c

p

V

dT

T

T

0

=

1

C

_t

ˆ

t

0

q dt

Cont. ...

E, a partir desta última expressão podemos definir a relação entre o gradiente de

temperatura e o fluxo de energia sob a forma de calor para o

elemento capacitância

puro e ideal

onde C

_t

é o valor da capacitância do corpo. Sobre a homogeneidade da temperatura:

T

_sólido

T

líquido

q

q

q

Camada Limite

Número de Biot:

N

B

=

hL

k

Para uniformidade de temperatura:

N

_B

< 0,1

Cont. ...

//\

\

//\

\

C

_t

q

D

T

ˆ

q dt

q

_DT

DT

q

T =

1

C

t

ˆ

t

0

q dt

T (s) =

1

C

_t

Q(s)

s

L

1

C

t

s

C

t

s

Representação e Curva Característica

SEM 0533 – Modelagem e Simulação de Sistemas Dinâmicos I

SEM 0232 – Modelos Dinâmicos

UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO

ESCOLA DE ENGENHARIA DE SÃO CARLOS

DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA

Modelagem de Sistemas Térmicos

Exemplos

Exemplo 1 : Modelagem de um Termômetro de Bulbo

T

_i

h

_o

A figura mostra um termômetro de mercúrio imerso em um banho. Obtenha a F.T.

relacionando a altura do mercúrio na haste

h

_o

com a temperatura do banho

T

_i

Hipóteses Simplificadoras

1-) A quantidade de mercúrio no capilar é desprezível

2-) A parede do bulbo e a película de fluído são resistências puras

3-) O coeficiente global de condução térmica é constante

4-) A área de troca de calor é constante

5-) Não há perdas térmicas através da haste

6-) O calor específico do Hg é constante

7-) O mercúrio é considerado uma capacitância térmica pura

8-) Vamos assumir relação linear entre h

_o

e T

_b

T

_b

Pela hipótese 8 podemos escrever

h

_o

=

k

e

V

b

A

c

T

_b

h

_o

= kT

_b

U A

_b

(T

_i

T

_b

) dt

0 = dU

_b

U A

b

(T

i

T

b

) dt = m

Hg

c

Hg

dT

b

U A

b

T

i

dt

U A

b

T

b

dt = ⇢V

b

c dT

b

Cont. ...

Assumindo que o sistema esteja termicamente isolado do meio

q

_o

= 0

Agora, para resolvermos

dU

_b

ou seja a energia que fica armazenada no bulbo,

podemos assumir que esta energia seja exclusivamente na forma de calor sensível

(sem que haja mudança de estado), e então podemos usar a equação fundamental

da calorimetria

U

_b

= mc T

dU

b

= m

Hg

c

Hg

dT

b

e, na forma diferencial

Logo

Ou ainda

⇢V

b

c

k

dh

o

dt

+

U A

b

k

h

o

= U A

b

T

i

H

o

(s)

T

_i

(s)

=

kV

b

A

b

c

⇢V

b

U A

b

s + 1

h

o

= kT

b

Cont. ...

Lembrando da relação entre a altura do Hg na coluna capilar e a temperatura do

bulbo

Temos

Exemplo 2 : Modelagem de um Sistema de Aquecimento

94

CH

AP

TE

R

1

FU

N

D

AM

EN

TA

LS

O

F

VI

B

R

AT

IO

N

1.21

Figur

e 1.77

sho

ws a U-tube

manometer ope

n at both e

nds and containing

a column of

liquid

me

rcury

of

length

l

and

specif

ic

we

ight

Considering

a

small

displace

m

ent

x

of

the

ma

nometer

meniscus

from

its

equilibrium

position

(or

datum),

determine

the

equi

valent

sp

ring constant associated with the re

storing force.

g.

k

2

k

1

mg

O

l

4

l

2

l

FIG

U

R

E 1.76

Rigid

bar

connected

by

spr

ings.

x

D

at

um

A

rea,

A

x

FIG

U

R

E 1.77

U-tube

ma

nometer

.

m

k

3

k

4

k

1

k

2

d

2

x

0

d

3

d

3

d

4

FIG

U

R

E 1.75

Mass

connected

by

springs.

M01_RAO8193_05_SE_C01.

QXD 8/21/10 2:06 PM Page 94

o

o

q

i

T

_o

T

_a

Para o sistema de aquecimento mostrado determine a F.T. T

_o

(s)/Q

_i

(s)

94

CH

AP

TE

R

1

FU

N

D

AM

EN

TA

LS

O

F

VI

B

R

AT

IO

N

1.21

Figur

e 1.77

sho

ws a U-tube

manometer ope

n at both e

nds and containing

a column of

liquid

me

rcury

of

length

l

and

specif

ic

we

ight

Considering

a

small

displace

m

ent

x

of

the

ma

nometer

meniscus

from

its

equilibrium

position

(or

datum),

determine

the

equi

valent

sp

ring constant associated with the re

storing force.

g.

k

2

k

1

mg

O

l

4

l

2

l

FIG

U

R

E 1.76

Rigid

bar

connected

by

spr

ings.

x

D

at

um

A

rea,

A

x

FIG

U

R

E 1.77

U-tube

ma

nometer

.

m

k

3

k

4

k

1

k

2

d

2

x

0

d

3

d

3

d

4

FIG

U

R

E 1.75

Mass

connected

by

springs.

M01_RAO8193_05_SE_C01.

QXD 8/21/10 2:06 PM Page 94

o

o

q

i

T

_o

_T

_a

R

_t1

R

t2

C

t1

C

t2

T

_t

Consideramos todos os elementos puros e ideais. Então temos para este modelo

duas capacitâncias térmicas (C

_t1

e C

_t2

), duas resistências térmicas (R

_t1

e R

_t2

) e

duas entradas qi e Ta. Para a

j

-ésima capacitância térmica podemos escrever

q

_ij

dt

q

_oj

dt = dU

_j

j = 1 . . . N

q

i

dt

T

t

T

o

R

t1

dt = C

t1

dT

t

T

_t

T

_o

R

t1

dt

T

o

T

a

R

t2

dt = C

t2

dT

o

dU

j

= C

tj

dT

j

E, baseado na equação da capacitância térmica podemos escrever

Cont. ...

q

_ij

dt

q

_oj

dt = C

_tj

dT

_j

j = 1 . . . N

E a equação do balanço de energia fica então

Cont. ...

Reescrevendo estas duas equações



C

t1

0

0

C

_t2

⇢ ˙

_T

_t

˙

T

o

+



1

R

t1

1

R

t1

1

R

t1

1

R

t1

+

1

R

t2

⇢

T

t

T

_o

=

⇢

q

_i

1

R

t1

T

a

Que, conforme já expresso é um sistema com duas entradas. Como queremos a F.T.

em relação à entrada q

_i

, fazemos T

_a

= 0 após transformarmos o sistema de EDO

acima usando a T.L.



C

t1

s +

_R

1

_t1

_R

1

_t1

1

R

t1

C

t2

s +

1

R

t1

+

1

R

t2

⇢

T

_t

(s)

T

o

(s)

=

⇢

Q

_i

(s)

0

T

o

(s)

Q

i

(s)

=

R

t2

R

t1

R

t1

C

t1

C

t2

s

2

+ [R

t1

C

t1

+ R

t2

(C

t1

+ C

t2

)] s + 1