TEOREMA DA EFICIÊNCIA DO CIRCUITO EQUIVALENTE DE THÉVENIN

TEOREMA DA EFICIÊNCIA DO CIRCUITO

EQUIVALENTE DE THÉVENIN

Ivo Barbi, Fellow, IEEE (*)

RESUMO

:

teoremas tratando das perdas e da eficiência do circuito equivalente de Thévenin. É demonstrado analiticamente e confirmado por simulação numérica, que a eficiência do circuito equivalente de Thévenin, para qualquer rede onde ele exista, é sempre maior ou igual à eficiência do circuito real.

I. INTRODUÇÃO

De acordo com Teorema de Thévenin, qualquer circui-to linear visto de um par de terminais pode ser representado por uma fonte de tensão (igual à tensão medida no par de terminais em circuito aberto) em série com uma impedância (igual à impedância do circuito vista do mesmo par de terminais).

A essa configuração chamamos de Circuito Equivalente de Thévenin, em homenagem a Léon Charles Thévenin

(1857–1926). É um conceito de grande utilidade prática na análise de circuitos, pois permite a redução de um circuito dado, a um circuito equivalente de menor complexidade, com apenas dois elementos vistos a partir de uma par de terminais, onde se deseja, por exemplo, determinar as grandezas elétricas como tensão, corrente ou potência.

Apesar da importância desse teorema e de sua popularidade, não há referência na literatura consultada pelo autor deste documento, sobre a eficiência do circuito equivalente, comparada com a eficiência do circuito original.

O presente documento analisa essa questão e demonstra que a eficiência do circuito equivalente é sempre maior ou igual à eficiência do circuito original sendo, portanto, limitada a sua equivalência.

II. PROPOSIÇÃO E DEMONSTRAÇÃO

DO PRIMEIRO TEOREMA

(a) Seja uma rede resistiva linear, representada na Fig. 1(a) por NA, com dois terminais, “a” e “b”. Uma

resistência externa R0 encontra-se conectada entre os

pontos “a” e “b”. 1 P Δ ΔP_A T P Δ Fig. 1: (a) Rede NA formada por resistores e fontes com R0 conectado;

(b) Rede NA com a resistor R0 desconectado; (c) Circuito equivalente de

Thévenin da rede NA com o resistor R0 conectado.

P0 representa a potência dissipada no resistor R0.

ΔP1 representa a potência dissipada nas resistências

internas do circuito NA, quando o resistor R0 está

conectado.

(b) Seja a Fig. 1(b), onde R0 é removido; desse modo a

tensão entre os terminais “a” e “b”, denominada VT, é a

tensão do circuito equivalente de Thévenin. Nesse caso, a potência dissipada nos resistores internos do circuito é representada por ΔPA.

(c) Seja o circuito equivalente de Thévenin, representado na Fig. 1(c), onde VT representa a tensão equivalente

enquanto RT representa a resistência equivalente de

Thévenin. A potência dissipada em RT é representada

O teorema proposto é enunciado como segue.

“A potência dissipada nos resistores da rede real, com o resistor de carga R0 conectado, é igual à soma

da potência dissipada no resistor RT do circuito

equivalente de Thévenin com R0 conectado, com a

potência dissipada nos resistores internos da rede real com R0 desconectado (I0 = 0).”

Esta proposição é traduzida matematicamente pela expressão (1).

1 A T

P P P

Δ = Δ + Δ (1)

A demonstração do teorema é apresentada a seguir.  (a) Seja a Fig. 2. Segundo o Teorema da Substituição, R0

pode ser substituído por uma fonte de corrente com valor igual a I0, como está representado na Fig. 3. 

(b) Seja I0 = 0; o circuito para esse caso encontra-se

representado na Fig. 4. A potência dissipada pela rede NA

é igual a ΔPA.

(c) Sejam todas as fontes internas de tensão curto-circuitadas (ou as fontes internas de corrente abertas). Essa situação, para I0 ≠ 0, é mostrada na Fig. 5.

Nesse caso, a resistência vista dos terminais “a” e “b” é a resistência RT de Thévenin. A potência dissipada em

RT é representada por ΔPT.

Fig. 2: Rede NA com o resistor R0 conectado.

1

P

Δ

0

P

Fig. 3: Rede NA conectada a uma fonte I0, de acordo com o princípio da

substituição.

A

P

Δ

Fig. 4: Rede NA com os terminais “a” e “b” abertos.

d) De acordo com o princípio da superposição podemos escrever a expressão (2), que demonstra o teorema proposto. 1 A T P P P Δ = Δ + Δ (2) T P Δ T P Δ

Fig. 5: Rede NA com fonte de corrente I0 conectada entre os pontos “a”

e “b”.

III. PROPOSIÇÃO E DEMONSTRAÇÃO

DO TEOREMA DA EFICIÊNCIA DO

CIRCUITO EQUIVALENTE DE

THÉVENIN

O teorema em questão, aqui denominado de Teorema da Eficiência do Circuito Equivalente de Thévenin, é assim enunciado:

“A eficiência

η

η

A demonstração deste teorema é apresentada a seguir. Seja uma rede NA, com 2 terminais “a” e “b”, nos quais é

conectado um resistor externo R0, como está representado

na Fig. 6.

Sejam as seguintes definições:

0

1

P

Δ → Potência dissipada internamente;

0

P

1

P

Δ

Fig. 6: Rede NA com resistor R0 conectado nos terminais “a” e “b”.

1

P→ Potência entregue pelas fontes do circuito.

De acordo com o princípio de conservação de energia,

1 0 1

P =P + ΔP (3)

Seja o circuito equivalente mostrado na Fig.7.

A

P

Δ ΔP_T

Fig. 7: Circuito equivalente.

De acordo com o Teorema 1,

1 A T P P P Δ = Δ + Δ (4) Então, 1 0 A T P =P + ΔP + ΔP (5)

A eficiência é do circuito real é definida pela expressão (6). 0 0 1 1 0 A T P P P P P P η = = + Δ + Δ (6)

A eficiência do circuito equivalente de Thévenin é definida pela expressão (7).

0 0 0 T T T P P P P P η = = + Δ (7) Portanto: 0 0 1 0 0 A T T T P P P P P P P η η + Δ + Δ = ⋅ + Δ

⎛

⎞ ⎛

⎞

⎜

⎟ ⎜

⎟

⎝

⎠ ⎝

⎠

⎛

⎞

⎜

⎟

⎝

⎠

Fica então demonstrado que a eficiência do circuito equivalente de Thévenin é maior ou igual à eficiência do circuito real. A igualdade das eficiências ocorre quando

0

A

P =

Δ .

IV. VERIFICAÇÃO NUMÉRICA DOS

DOIS TEOREMAS

Seja o circuito representado na Fig. 8, com os parâmetros indicados.

Fig. 8: Circuito utilizado para a verificação numérica dos teoremas enunciados, por simulação.

O circuito foi simulado numericamente e os seguintes resultados foram encontrados:

(

)

1 253,6 W fornecida por V e V1 2

P = (12)

(

)

1 137,56 W perdida em R e R1 2 P

Δ = (14)

Em seguida, foi simulado o circuito mostrado na Fig. 9, onde RT = 16,666 Ω.

Foram obtidos os seguintes valores:

40, 83 W A P = Δ (15) (perdida em R1 e R2 quando I0 = 0) 96,73 W T P Δ = (16) 0 116,67 W P = (17) Portanto, 96,73 40,83 137,56 W T A P P Δ + Δ = + = (18) Portanto, 1 T A P P P Δ + Δ = Δ (19)

Como prevê o Teorema 1

A partir dos resultados obtidos na simulação, podem ser determinadas as eficiências, como segue.

0 1 1 116,7 _{0, 452} 253,6 P P η = = = (20) T P Δ A P Δ

Fig. 9: Circuito simulado numericamente.

0 0 0 0,545 T T T P P P P P η = = = + Δ (21) Portanto, η >η (22)

de acordo com o Teorema 2.

V. EXTENSÃO DOS DOIS TEOREMAS

PARA CIRCUITOS DE CORRENTE

ALTENARNADA COM ELEMENTOS

REATIVOS

Embora não tenha sido explicitamente enunciado nem demonstrado, verificou-se por simulação que ambos os teoremas são também válidos para circuitos de corrente alternada, com ou sem a presença de elementos reativos. Um circuito simulado, tomado como exemplo, encontra-se representado na Fig. 10.

Fig. 10: Circuito de corrente alternada simulado para a verificação dos teoremas propostos.

Foram empregados os seguintes os parâmetros: V1 = 200sen(377t) ; V2 = 40sen(377t + 100º);

R0=10 Ω; R1 = 2 Ω; R2 = 150 Ω;

L0 = 2 mH; L1 = 5 mH;

Foram encontrados os seguintes valores para as potências e o rendimento do circuito:

1 1685,8 W P = (23) 0 1284,9 W P = (24) 1 400,8 W P Δ = (25) ₁ 1284, 9 0, 762 1685,8 η = = (26)

Em seguida foi simulado o circuito mostrado na Fig. 11, tendo sido encontrados os resultados apresentados a seguir.

Fig. 11: Circuito de corrente alternada simulado para a verificação

dos teoremas propostos.

0 1284,9 W P = (27) 145,95 W A P Δ = (28) 256, 49 W T P Δ = (29) 1541,32 W T P = (30) 1284, 9 0,834 1541, 32 T η = = (31)

Portanto,η_T >η₁, como prevê o Teorema 2. Adicionando-se as potências, obtém-se:

145,95 256, 49 402, 44 W

T A

P P

Δ + Δ = + = (32)

Fica então confirmado que Δ = Δ + ΔP1 PA PT como prevê o

Teorema 1.

VI. DISCUSSÃO ADICIONAL

Foi demonstrado, tanto para circuitos de corrente contínua quanto para circuitos de corrente alternada, que

1 A T

P P P

Δ = Δ + Δ (33)

onde

ΔP1→ Potência perdida no circuito real.

ΔPT→ Potência perdida no circuito equivalente de

Thévenin. De fato esta parcela da potência é perdida na componente resistiva da impedância equivalente de Thévenin.

Então podemos concluir que ΔPT é uma potência que

depende da carga que se torna nula quando a corrente de carga se nula.

Por outro lado, a potência ΔPA não depende da carga; é

uma parcela constante, dissipada internamente pelo circuito real a vazio.

Há um caso particular, que é aquele em que as perdas do circuito interno são nulas quando a carga é removida, onde a eficiência do circuito equivalente é igual à eficiência do circuito original.

VII. CONCLUSÃO

O presente documento apresentou o Teorema da

Eficiência do Circuito Equivalente de Thévenin, que

estabelece que tal eficiência é de fato sempre maior ou igual à eficiência do circuito real, tanto para circuitos de corrente contínua quanto para circuitos de corrente alternada. Além da demonstração matemática, o teorema proposto foi verificado através de exaustivas simulações numéricas de diferentes circuitos para diferentes combinações paramétricas.

A partir dos estudos apresentados, pode-se afirmar que o circuito equivalente de Thévenin só é equivalente para a análise da tensão, corrente e potência da carga, não sendo válido para a análise das grandezas elétricas que ocorrem no circuito interno ou no circuito visto pela carga.

AGRADECIMENTOS

O autor agradece ao Prof. Hans Helmut Zürn, por seus comentários construtivos e por ter observado que a eficiência do circuito equivalente de Norton, dual do circuito equivalente de Thévenin, apresenta eficiência menor ou igual ao circuito real; agradece também ao

Prof. Enio Valmor Kassick por seus comentários e por

ter observado que a eficiência do circuito equivalente é maior ou igual à eficiência do circuito original, e não apenas maior, como este autor concluiu precipitadamente.