A multiplicação de matrizes não é uma operação

(1)

A multiplicação de matrizes não é uma operação tão simples como as outras já estudadas até tão simples como as outras já estudadas até aqui; não basta multiplicar os elementos correspondentes. Vamos introduzi-la por meio da seguinte situação:

(2)

Durante as Olimpíadas, realizadas em Londres em 2012, o grupo C do futebol masculino era em 2012, o grupo C do futebol masculino era formado por quatro países: Brasil, Egito, Bielorrússia e Nova Zelândia. Observe os resultados (número de vitórias, empates e derrotas) de cada um, registrados em uma tabela e em uma matriz A, do tipo 4×3:

(3)

(4)

Pelo regulamento das Olimpíadas, cada resultado (vitória, empate ou derrota) tem resultado (vitória, empate ou derrota) tem pontuação correspondente (3 pontos, 1 ponto ou 0 ponto). Veja esse fato registrado em uma tabela e em uma matriz B, do tipo 3×1.

(5)

(6)

Vamos determinar o total de pontos dos países participantes.

(7)

Esse exemplo sugere como deve ser feita a multiplicação de matrizes. Observe a relação que multiplicação de matrizes. Observe a relação que existe entre as ordens das matrizes:

(8)

(9)

Observe que só definimos o produto AB de duas matrizes quando o número de colunas de A for matrizes quando o número de colunas de A for igual ao número de linhas de B; além disso, notamos que o produto AB possui o número de linhas de A e o número de colunas de B:

(10)

O elemento c_ij da matriz produto C=AB é obtido, multiplicando os elementos da i-ésima linha da multiplicando os elementos da i-ésima linha da primeira matriz pelos elementos correspondentes da j-ésima coluna da segunda matriz, e somando esses produtos.

Exemplo 1: Sendo A_3×5 e B_5×2, temos que: Exemplo 1: Sendo A_3×5 e B_5×2, temos que:

a) Existe a matriz produto AB e AB_3×2.

b) Não existe a matriz produto BA, pois o

número de colunas de B é diferente do número de linhas de A

(11)

Exemplo 2: Sendo A_2×4 e B_4×2, temos que:

a) Existe a matriz produto AB e AB . a) Existe a matriz produto AB e AB_2×2. b) Existe a matriz produto BA e BA_4×4.

Observação: Note que AB e BA são matrizes de

tipos diferentes. Logo, é evidente que AB ≠ BA. De modo geral, temos que

De modo geral, temos que

AB ≠ BA

ou seja, para a multiplicação de matrizes, não vale a propriedade comutativa.

(12)

Exemplo 3: Efetue o produto A∙I₂, onde     = _ − _   2 1 5 2 3 4 A   3 4 

Exemplo 4: Em que condição uma matriz A_m×n

pode ser multiplicada por si mesma?

Exemplo 5: Definindo-se A2 = A∙A, onde A é uma Exemplo 5: Definindo-se A2 = A∙A, onde A é uma

matriz quadrada, calcule A2_{, sendo} _.

Determine a matriz A98_.

1 1

0 1

A ₌ _ − _

(13)

Exemplo 6: Sendo e 1 3 ,

2 3 2 4

x y

A ₌ _ _ B ₌ _ _

   

Determine x e y para que A e B comutem, isto é,

AB = BA.

2 3 2 4

   

Exemplo 7: Sejam A = (a_ij)_2×3, onde a_ij = i + j e Exemplo 7: Sejam A = (a_ij)_2×3, onde a_ij = i + j e

B = (b_ij)_3×4, onde b_ij = i ─ j. Sendo C = (c_ij)_2×4= AB,

(14)

Propriedades: Desde que sejam possíveis as

operações, são válidas as seguintes operações, são válidas as seguintes propriedades:

a) A∙I = I∙A = A

b) A(B + C) = AB + AC (distributiva à esquerda)

c) (A + B)C = AC + BC (distributiva à direita)

d) A∙(B∙C) = (A∙B)∙C (associativa) d) A∙(B∙C) = (A∙B)∙C (associativa)

e) (k∙A)∙B = k∙(A∙B), onde k é um número f) (A∙B)t _{= B}t_∙At (observe a ordem!)

(15)

Perguntas:

a) Se A∙B = O então A = O ou B = O ? a) Se A∙B = O então A = O ou B = O ? b) Se A ≠ O e A∙B = A∙C, então B = C ? c) (A + B)2 _{= A}2 + 2AB + B2 ?

d) (A ─ B)2 _{= A}2 _{─ 2AB + B}2 ? e) (A + B)(A ─ B) = A2 _{─ B}2 ?

(16)

Sejam A e B matrizes de ordem n. Se A∙B = B∙A = I_n,

dizemos que B é a inversa de A e representamos

Matriz Inversa

dizemos que B é a inversa de A e representamos

B = A─1.

2 ₋3

 

Assim, para saber se, dadas duas matrizes A e B, uma é inversa da outra, basta multiplicar uma pela outra e verificar se o produto é a matriz I_n.

Exemplo 8: Verifique se a matriz é

a inversa de . 2 3 7 11 B ₌ _ − _ −   11 3 7 2 A ₌ _ _  

(17)

Matriz Inversa

Exemplo 9: Verifique se a matriz possui

inversa. 1 2 4 8 A ₌ _ _   inversa. 4 8

(18)

Determinantes

Considere o seguinte sistema linear: 11 12 1

21 22 2 a x a y b a x a y b + =   + = 

Resolvendo esse sistema (desde que seja possível as operações), encontramos: b a_{1 22} ₋ b a_{2 12} b a_{2 11} ₋ b a_{1 21} 11 22 12 21 11 22 12 21 e b a b a b a b a x y a a a a a a a a − − = = − −

(19)

Determinantes

Observe que os denominadores são iguais a

e estão associados à matriz dos 11 22 12 21

a a ₋ a a e estão associados à matriz dos

coeficientes: 11 12 21 22 a a a a       11 22 12 21 a a ₋ a a

(20)

Determinantes

Considere agora o seguinte sistema linear:

a x ₊ a y ₊ a z ₌ b  ₁₁ ₁₂ ₁₃ ₁ 21 22 23 2 31 32 33 3 a x a y a z b a x a y a z b a x a y a z b + + =   + + =   + + = 

Resolvendo esse sistema (desde que seja possível as operações), ao procurarmos os valores de x, y as operações), ao procurarmos os valores de x, y e z, é possível verificar que eles tem o mesmo denominador:

11 22 33 12 23 31 13 21 32 11 23 32 12 21 33 13 22 31

(21)

Determinantes

Observe que esses denominadores também estão associados à matriz dos coeficientes:

estão associados à matriz dos coeficientes:

11 12 13 21 22 23 31 32 33 a a a a a a a a a          

Esses números que aparece nos denominadores associados às matrizes quadradas são casos particulares do que é chamado determinante de uma matriz quadrada.

(22)

Determinantes

Representação de um determinante: Representação de um determinante:

Determinante é um número real associado a uma

matriz quadrada A, que será denotado por det A e, escreve-se de maneira análoga à da matriz, colocada entre dois traços verticais.

a₁₁ a₁₂ ⋯ a₁ 21 22 2 1 2 det n n n n nn a a a a a a A a a a = ⋯ ⋯ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋯

(23)

Determinantes

11 12 1n a₁₁ a₁₂ ⋯ a₁ 21 22 2 1 2 é o determinante da matriz n n n n nn a a a a a a ⋯ ⋯ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋯ a a a  ⋯  11 12 1 21 22 2 1 2 n n n n nn a a a a a a a a a             ⋯ ⋯ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋯

(24)

Determinantes

11 12 11 12 1) Se A ₌ _a11 a12 _ , então det A ₌ a11 a12 ₌ a a_{11 22} ₋ a a_{21 12} 21 22 21 22 1) Se A a a , então det A a a a a a a a a a a   =   = = −   11 12 13 21 22 23 2) Se , então: a a a A a a a     =  21 22 23  31 32 33 2) Se A a a a , então: a a a =       11 22 33 12 23 31 13 21 32 11 23 32 12 21 33 13 22 31 det A a a a₌ ₊ a a a ₊ a a a ₋a a a ₋a a a ₋ a a a

(25)

Determinantes

Dados n objetos distintos a₁, a₂, a₃, … , a_n, uma permutação desses objetos consiste em dispô-los Dados n objetos distintos a₁, a₂, a₃, … , a_n, uma permutação desses objetos consiste em dispô-los em uma determinada ordem. Por exemplo, 123 e 232 são permutações dos números 1, 2 e 3.

A quantidade de permutações de n objetos é dada A quantidade de permutações de n objetos é dada por n!, onde:

(26)

Determinantes

Ordem de um determinante: Ordem de um determinante:

Chama-se ordem de um determinante a ordem da matriz a que o mesmo corresponde. Por exemplo, se a matriz é de ordem 3, então o determinante será de ordem 3.

(27)

Determinantes

Definição: Dada uma permutação dos números

1, 2, 3, … ,n , existe uma inversão quando um

Definição: Dada uma permutação dos números

1, 2, 3, … ,n , existe uma inversão quando um inteiro precede outro menor que ele.

Considere as permutações dos números 1, 2 e 3 e vejamos em cada permutação o número de vejamos em cada permutação o número de inversões.

(28)

Determinantes

Permutação Número de inversões Permutação Número de inversões

123 0 132 1 213 1 231 2 231 2 312 2 321 3

(29)

Determinantes

Definição: Uma permutação é de classe par ou de

classe ímpar, conforme apresente um número par ou ímpar de inversões.

ou ímpar de inversões.

Permutação Número de inversões Classe

123 0 par 132 1 ímpar 213 1 ímpar 213 1 ímpar 231 2 par 312 2 par 321 3 ímpar

(30)

Determinantes

Termo Principal: Dada uma matriz quadrada A, de

ordem n, chama-se termo principal o produto dos ordem n, chama-se termo principal o produto dos elementos da diagonal principal:

Termo secundário: Dada uma matriz quadrada A,

de ordem n, chama-se termo secundário o

a₁₁ ∙ a₂₂ ∙ a₃₃ ∙ … ∙ a_nn

de ordem n, chama-se termo secundário o produto dos elementos da diagonal secundária.

(31)

Determinantes

Tabela referente às permutações dos números 1 e 2:

1 e 2:

Permutação Número de

inversões Classe

Sinal que precede o produto

12 0 par +

(32)

Determinantes

Tabela referente às permutações dos números 1, 2 e 3:

1, 2 e 3:

Permutação Número de

inversões Classe

Sinal que precede o produto 123 0 par + 132 1 ímpar _— 213 1 ímpar 213 1 ímpar _— 231 2 par + 312 2 par + 321 3 ímpar _—

(33)

Determinantes

Definição: Chama-se determinante de uma matriz Definição: Chama-se determinante de uma matriz

quadrada à soma algébrica dos produtos que se obtém efetuando todas as permutações dos segundos índices do termo principal, fixados os primeiros índices, e fazendo-se preceder os produtos do sinal + ou ─, conforme a permutação produtos do sinal + ou ─, conforme a permutação dos segundos índices seja de classe par ou de classe ímpar.

(34)

Observações:

a) Não se define determinante de matriz que não

Determinantes

a) Não se define determinante de matriz que não seja quadrada.

b) É importante distinguir que, enquanto matriz é uma tabela, o determinante de uma matriz é um número real (associado a essa tabela).

2 1 2 1

é uma tabela 3 4

2 1

det é o número real 5 3 4 M M   =     =

(35)

Observações:

c) O determinante de uma matriz de ordem n é

Determinantes

c) O determinante de uma matriz de ordem n é obtido pela soma de n! termos onde cada termo é o produto de n fatores. Por exemplo, o determinante de uma matriz quadrada de ordem 5 é dado pela soma de 120 produtos de 5 fatores cada.

5 fatores cada.

Veremos como calcular esses determinantes de maneira mais simples.

(36)

1ª) Propriedade:

Se todos os elementos de uma linha ou coluna de

Propriedades dos Determinantes

Se todos os elementos de uma linha ou coluna de uma matriz quadrada A, forem nulos, então:

det A = 0 a b c 3 7 0 2 Exemplos: ) 0 0 0 0 a b c a m n p = 1 3 0 2 ) 0 2 1 0 1 5 2 0 3 b ₌

(37)

Propriedades dos Determinantes

Se todos os elementos de uma linha ou coluna de uma matriz quadrada A são multiplicados por um número real k, então det A fica multiplicado por k

5 a b c a b c Exemplos: 5 ) 5 5 5 a b c a b c a d e f d e f m n p m n p =

(38)

Propriedades dos Determinantes

Exemplos: 1 2 3 4 1 2 3 4 a₁ a₂ a₃ a₄ a₁ a₂ a₃ a₄ 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 ) b b b b b b b b b k kc kc kc kc c c c c d d d d d d d d =

(39)

Propriedades dos Determinantes

1 2 3 ) Calcule o determinante da matriz 1 5 3 .

c A

 

 

=  

Exemplos:

) Calcule o determinante da matriz 1 5 3 . 2 8 6

c _{A = } _

 

(40)

Se uma matriz quadrada A de ordem n é multiplicada por um número real k, então seu

Propriedades dos Determinantes

multiplicada por um número real k, então seu determinante fica multiplicado por kn, ou seja:

det(k∙A) = kn_{∙det A} Exemplos:

2

) Se a b então det(3 ) 3 det .

a A A A

c d

 

=   = ⋅

) Se então det(3 ) 3 det .

a A A A

c d

=   = ⋅

 

3

) Se então det(5 ) 5 det .

a b c b B d e f B B m n p     = _ _ = ⋅    

(41)

O determinante de uma matriz quadrada A é igual ao determinante de sua transposta, ou seja:

Propriedades dos Determinantes

ao determinante de sua transposta, ou seja: det(At) = det A

Exemplos:

) Se det 5 então det( ) 5.t

a A ₌ A ₌ ) a b c a d m b d e f b e n m n p c f p =

(42)

Se duas linhas (ou duas colunas) trocam de posição entre si, então o determinante da nova

Propriedades dos Determinantes

posição entre si, então o determinante da nova matriz obtida e o da matriz anterior são opostos.

Exemplo: a b c d e f f e d d e f _{= −} a b c ₌ c b a d e f a b c c b a m n p m n p p n m = − =

(43)

Se uma matriz quadrada A possui duas linhas (ou duas colunas) iguais, então det A = 0.

Propriedades dos Determinantes

duas colunas) iguais, então det A = 0.

Exemplos: ) 0 a b c a d e _{f =} 1 7 1 8 2 4 2 8 ) 0 1 2 1 1 b ₌ ) a d e f 0 a b c = ) _{1 2 1 1} 0 3 1 3 2 b ₌

(44)

Se uma matriz quadrada A possui duas linhas (ou duas colunas) proporcionais, então det A = 0.

Propriedades dos Determinantes

duas colunas) proporcionais, então det A = 0.

Exemplos: 2 1 3 ) 6 3 9a ₌ 0 ) 0 a x ka b b y _{kb =} ) 6 3 9 0 1 1 1 a ₌ ) b b y kb 0 c z kc =

(45)

Se a uma linha (ou coluna) de uma matriz quadrada A somarmos uma combinação linear das

Propriedades dos Determinantes

quadrada A somarmos uma combinação linear das demais linhas (ou colunas), obtemos uma nova matriz B, tal que det B = det A. (Teorema de

Jacobi)

Exemplo: Exemplo:

1 3 5 9 3 5

Se 2 7 8 e 17 7 8 , então det det .

0 4 1 5 4 1 A B A B         = _ _ = _ _ =        

(46)

Se uma linha (ou coluna) de uma matriz quadrada

A é combinação linear das demais linhas (ou

Propriedades dos Determinantes

A é combinação linear das demais linhas (ou

colunas) então, det A = 0.

Exemplos: 2 5 3 2 7 3 2 5 3 ) 6 15 9 0 1 2 1 a ₌ 2 7 3 ) 6 21 9 0 1 3 1 b ₌

(47)

Se uma matriz quadrada A é triangular superior (ou inferior), então seu determinante é igual ao

Propriedades dos Determinantes

(ou inferior), então seu determinante é igual ao produto dos elementos da diagonal principal.

Exemplos: 2 5 3 2 0 0 ) 0 15 9 2 15 1 30 0 0 1 a _{= ⋅} _{⋅ =} ) 6 21 0 2 21 1 42 1 3 1 b _{= ⋅} _{⋅ =}

(48)

Se em uma matriz quadrada A de ordem n, os elementos abaixo (ou acima) da diagonal

Propriedades dos Determinantes

elementos abaixo (ou acima) da diagonal secundária são nulos, então seu determinante é dado por: Exemplo: ( 1) 2 1 2( 1) 1 det A ( 1)n n− a _n a _n a_n − = − ⋅ ⋅ ⋅…⋅ 3(3 1) 2 0 0 3 0 15 9 ( 1) 3 15 7 315 7 3 1 − = − ⋅ ⋅ ⋅ = −

(49)

12ª) Propriedade: Determinante de Vandermonde Matriz de Vandermonde é toda matriz quadrada de ordem n ≥ 2 formada por potências sucessivas

Propriedades dos Determinantes

de ordem n ≥ 2 formada por potências sucessivas de 0 a n ─ 1, conforme abaixo: 1 2 3 2 2 2 2 1 2 3 1 1 1 1 n n x x x x x x x x           ⋯ ⋯ ⋯ 1 2 3 3 3 3 3 1 2 3 1 1 1 1 1 2 3 n n n n n n n x x x x x x x x x − x − x − x −               ⋯ ⋯ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋯

(50)

Propriedades dos Determinantes

O determinante de uma matriz A de

Vandermonde é dado por:

2 1 3 1 1 3 2 4 2 1 det A (x x )(x x ) (x_n x )(x x )(x x ) (x_n x_n ) − = − − ⋯ − − − ⋯ − Exemplos: 1 1 1 ) ( )( )( ) a a b c ₌ b a c₋ ₋ a c ₋ b 2 2 2 ) ( )( )( ) a a b c b a c a c b a b c = − − −

(51)

Propriedades dos Determinantes

2 2 2 2 1 1 1 1 ) a b c d ( )( )( )( )( )( ) b b a c a d a c b d b d c a2 b2 c2 d2 = − − − − − − 3 3 3 3 ) ( )( )( )( )( )( ) b b a c a d a c b d b d c a b c d a b c d = − − − − − −

(52)

Propriedades dos Determinantes

1 1 1   c) Estando a, b e c em PA de razão r, o determinante da matriz: 2 2 2 1 1 1 A a b c a b c     =       a) é sempre positivo. b) depende de a. b) depende de a.

c) depende só de r, qualquer que seja a. d) é a3 _{─ r}3_.

(53)

Propriedades dos Determinantes

13ª) Propriedade: (Teorema de Binet)

Se A e B são matrizes quadradas de mesma ordem, então det(A∙B)=det A ∙ det B.

ordem, então det(A∙B)=det A ∙ det B.

Exemplo: 1 3 5 3 Se e , então: 2 7 1 2 1 3 5 3 A ₌ _ _ B ₌ _ _     1 3 5 3 det( ) 1 7 7 2 7 1 2 A B_⋅ ₌ _⋅ _{= ⋅ =}