A Produção de Significados para a Noção de Base:
Um Estudo de Caso
4.1 Um Estudo Preliminar
Na primeira fase de elaboração das atividades do estudo de caso, tentamos reunir alguns elementos prévios que nos informasse a cerca do caminho a seguir. Neste parágrafo apresentamos algumas considerações a esse respeito, com base em nossa experiência de sala de aula e através de algumas conjecturas sobre a maneira de operar dos alunos em Álgebra Linear, no caso particular da noção de base. Usaremos esse momento, ainda, para tocar em alguns pontos importantes que dizem respeito à maneira de olhar a sala de aula a partir do MTCS.
Institucionalmente, o conhecimento do aluno é quantificado pelos testes de verificação de conhecimento (TVC) que se reduz, em geral e no contexto de onde partem nossas considerações, ao registro escrito. Fomos, então, a esses textos na expectativa de obter algumas informações sobre os significados produzidos pelos alunos para a noção de base.
Como ilustração do resultado dessa investigação selecionamos uma questão33 presente em testes aplicados nos anos de 1994 e 1995. A questão selecionada foi a seguinte:
Seja w={(x,y,z,t) 4
0
/ x y e z=2t} um subespaço de 4: (a) encontre uma base e a dimensão de W.
33
Não houve um critério especial na escolha dessa questão. A escolha se deu pelo fato de que esse é um exercício padrão presente nos livros-texto e porque as resoluções eram satisfatórias para a discussão que queremos desenvolver aqui. Esta questão foi retirada dos testes aplicados a alunos da disciplina álgebra linear I dos cursos de Engenharia Civil e Física, em uma universidade federal.
(b) a partir da base encontrada em (a) determine, se possível uma base de 4. (justifique sua resposta)
Esta questão tinha como objetivo verificar o domínio dos alunos sobre técnicas de determinação de uma base a partir do espaço vetorial dado. No item (b), a expectativa do professor, estava no uso pelo aluno do teorema do complemento34 na construção de uma base de 4.
Consideramos inicialmente resolução de Paulo: a) {(x, -x, 2t, t)} / x, t }
{(x, -x, 2t, t)} / x (1, -1, 0, 0) = t(0, 0, 2, 1); x,t } = [(1, -1, 0, 0); (0, 0, 2, 1)]
dim =2 (Paulo: 30-11-94)35
Não resolveu o item (b)
Observe como é difícil para o professor quantificar o valor dessa resolução. Na prática, devido a ausência do informante, nós professores usamos nosso “bom senso” da seguinte maneira para avaliar a questão: ou resolvemos por ligar todas essas frases, emprestando significado a esse texto e concluímos por nós mesmos que ele operou da maneira que nós gostaríamos que ele operasse ou optamos por concluir que ele não está dizendo as coisas da maneira que esperávamos que ele dissesse. A nota é, então, conseqüência de nossa opção.
Porém, a questão central é: o que Paulo quis dizer a partir desse texto? Será que ele está associando base a conjunto gerador? Ou “deve ser óbvio para ele” que o conjunto gerador exibido é linearmente independente?
34
Este teorema afirma que qualquer conjunto de vetores L.I. de um espaço vetorial V de dimensão finita pode ser completado de modo a formar uma base de V. (Cf. Callioli e outros, 1993:79)
Podemos, então, levantar duas hipóteses a respeito da resolução de Paulo de acordo com nossas expectativas. Primeiro, podemos dizer que, ao encontrar o conjunto gerador, ele poderia ter observado que os vetores se encontravam na forma escalonada. A noção de independência linear, então, seria uma estipulação local. Como conseqüência, o conjunto gerador seria (como de fato é) linearmente independente concluindo que é base de W. Como nos sugere, por exemplo, a seguinte resolução: " , , , , / , , , : , , , , , , , , , , , , , , , , V R W x y z t R x y e z t W x x t t x e t R x x t t x t W 4 4 0 2 2 2 1 1 0 0 0 0 2 1 1 1 0 0 0 0 2 1
Como o conjunto gerador é linearmente independente, ele é uma base de W dim W=2”.
b) W 1, 1 0 0, , , 0 0 2 1, , , (Adriana, 05-07-95)
Uma segunda hipótese é a possibilidade dele estar, realmente, associando base a conjunto gerador como nos sugere a resolução a seguir:
35
As resoluções foram transcritas exatamente como foram redigidas originalmente. Apresentamos, como referência, o primeiro nome do aluno e a data do teste.
" ) , , , / , , , , / , , , , , , , / , dim , , , , , , , dim : , , , / , , , , , , , , , , , , , / , a W x y z t x z z t W y y t t y t R W y t y t R base W x y z t x y z t W x y z t x y z 2 2 1 1 0 0 0 0 2 1 1 1 0 0 0 0 2 1 2 2 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 2 0 0 0 0 1 2t base 1 0 0 0, , , , 0 1 0 0, , , , 0 0 2 0, , , , 0 0 0 1, , , "
“(b) Uma base no R4 é um conjunto de vetores que geram o R4 36 Assim, W x y z t R W x y z t base do R , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , " 4 4 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 (Virgílio, 30-11-94) Esses exemplos motivam uma reflexão importante. Muitas vezes, nós professores, desejamos que nossos alunos produzam significados em relação a nossos núcleos preferenciais. Mas a prática nos sugere que com a mesma freqüência e intensidade que desejamos, isso não acontece. Pensemos, por exemplo, no professor que entende as noções de geração e independência linear como noções de mesmo status, tal como ilustra o organograma a seguir:
Porém, é muito mais comum ver nossos alunos e alunas associando base a conjunto gerador (como sugere o exemplo acima) ou associando base a conjunto linearmente independente. Sugerimos, com base em hipóteses ainda não sustentadas, que estas associações podem ser decorrentes, muitas vezes, da ênfase colocada pelo professor ou pelo autor de um livro-texto, em uma das noções em detrimento da outra. Fato que passa para o aluno de uma maneira muito forte a ponto de estimular essas associações.
Em outros casos, encontramos resoluções, que satisfazem tecnicamente aos significados matemáticos, como por exemplo, a resolução que segue:
W x y z t x y z t x y y x z t W x x t t R x t R x x t t x t , , , / , , , , / , , , , , , , , , , 0 2 0 2 2 2 1 1 0 0 0 0 2 1 4 Portanto W 1 1 0 0, , , , , , ,0 0 2 1 e o conjunto 36 Grifo nosso. combinação linear dependência e independência linear base dimensão geração
L.I. C 1 1 0 0, , , , , , ,0 0 2 1 é uma base de W. Como C é L.I., a dim W 2.
b) Queremos encontrar um conjunto L.I de 4 vetores que contenha os vetores v1 1 1 0 0, , , e v2 0 0 2 1, , , . Pelo teorema do complemento, podemos introduzir vetores no conjunto C da letra a para que ele produza uma base do R4.
L 1 1 0 0, , , , , , ,0 1 0 0 , , , ,0 0 1 0 , , , ,0 0 2 1 se L for L.I, ele será uma base do R4.
a b c d a a b c d d 1 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 2 1 0 0 0 0 0 0 2 0 0 , , , , , , , , , , , , , , ,
a = b = c = d = 0 então o conjunto L é uma base do R4 pois todos os vetores do R4podem ser escritos como comb. linear dos vetores de L. (L gera R4) e L. é L.I .
(José , 29-11-94) Note que a partir desse texto José pode estar constituindo os seguintes objetos: vetores (genérico, do R4), geração, independência linear, combinação linear, base, dimensão...
Mas será que essas noções possuem o mesmo significado que estão presentes em nossas expectativas? Por exemplo, alguns alunos expressam a noção de dimensão dando-lhe outro significado. Considere as resoluções abaixo:
Resolução 1:
a W) x, x t t, ,2 /x e t R Então podemos escrever:
I) x x t t x t o a dai a a a a , , , , , , , , , log , , , , , , , , , , : 2 1 1 0 0 0 0 2 1 1 1 0 0 0 0 2 1 0 0 0 0 0 0 2 0 0 2 1 2 2
Como os escalares a e a1 2 são iguais a zero, a1 a2 0,logo o conjunto é linearmente independente.
Como as duas condições foram verificadas logo 1 1 0 0, , , , , , ,0 0 2 1 é a base de W.
Como a dimensão da base é 4 , podemos dizer que a dimensão de W é 4, ou seja, dim W= 4.37
b) Como W R e é a base de W, podemos escrever:
I) 1 1 0 0, , , , , , ,0 0 2 1 base de R4se somente se a condição R4 x y z t, , , /x y 0 e z 2t for verificado
(Cristiane, 05-07-95)
37
Resolução 2:
W x y z t, , , /x y 0e z 2t
a) Para ser base tem de ser L.I. e gerar Logo vamos mostrar o vetor v (genérico)
Se x y 0 x y e z 2 t Logo, v y y t t, , ,2 a1 y y t t, , ,2 x y z t, , , a y x x a y a y y a t z a t t 1 1 1 1 1 2
esse sistema é L.I.
Logo a base será: a y y a t t1 , ,2 1 ,
a dimensão será 1.38
(César, 07-05-95) Note que o que Cristiane e César registram sobre dimensão nos sugere que eles atribuem significado distinto para esta noção.
De nossa experiência de sala de aula, observamos que, em geral, os alunos não incluem a noção de dimensão em suas justificações na constituição da noção de base. Considere por exemplo, o seguinte exercício: Seja
V R3 e 11 0, , , , ,0 1 2 , , ,1 2 3 subconjunto de R3e verifique se esse subconjunto é
base de R3. As informações que eles recebem durante o curso parecem não ser suficiente para que percebam a vantagem de se ter a disposição a dimensão do espaço.
38
Como vimos no capítulo anterior, do ponto de vista dos significados matemáticos a noção de dimensão pode vir a constituir o núcleo na determinação algébrica de base como sugere a alteração no organograma acima:
geração
dimensão base dimensão combinação
linear independência linear
Isso permite dizer sobre o exercício acima que: como dim R3=3 e tal subconjunto é L.I implica que ele é base de R3 ou como dim R3=3 e como tal subconjunto gera R3; é base de R3. Contudo, essas justificações em geral não são apresentadas pelos alunos.
Na resolução a seguir Felipe esboça uma resolução a partir da idéia de dimensão:
a) “W x y z t, , , /x y 0 e z 2t é subespaço de R4. Logo, terá a dimensão 3,2,1,0.
x y z t 0 2 Daí, temos: x y z t, , , y y t t, , ,2 y 11 0 0, , , t 0 0 2 1, , ,
os vetores 11 0 0, , , e 0 0 2 1, , , são linearmente independentes (L.I.), logo poderão ser uma base de W.
W 11 0 0, , , , , , ,0 0 2 1 base de W. E portanto a dimensão de W é 2: dim W = 2.
b) Para determinarmos uma base de R4, basta acrescentarmos mais dois vetores linearmente independentes dos vetores encontrados no item a) ,
11 0 0, , , e 0 0 2 1, , , .Para isso, usaremos dois vetores na forma canônica, e então o conjunto
R4 11 0 0, , , , , , ,0 0 2 1 , , , ,0 1 0 0 , , , ,0 0 0 1 é uma base do R4.
(Felipe, 29-11-94) Note que, em suas justificações, Felipe faz menção às possíveis dimensões de W. Mas depois ele justifica que o conjunto é base usando as condições da definição usual de base. Duas hipóteses podem ser levantadas a partir de sua resolução. Primeira, que a dimensão foi usada fortemente quando ele observou que a resposta a que ele chegou (dim W=2) estava relacionada nas possibilidades que ele havia levantado e portanto, dentro das expectativas. Segunda, que ele abandonou a análise feita inicialmente via dimensão e verificou as condições de geração e independência linear. Assim ao determinar a base, a dimensão teria vindo como conseqüência.
E finalmente, considere a resolução abaixo:
W x y z t, , , R4 /x y 0e z 2t um subespaço do R4. a) x y x y x y z t y y t t z t 0 2 2 , , , , , , vetor genérico x,y,z e t podem ser valores reais quaisquer , logo tomando y = 5 e t = 3 no vetor genérico, temos:
A 5 5 6 3, , , é uma base de W pois é um conjunto que gera W e é L.I., já que todo conjunto gerador com um só vetor não nulo é L.I. .
b) Não é possível porque W tem dim W = 1 e dim R4 = 4, logo R4 W e por isso só podemos escrever uma base de W a partir de R4 e não o contrário.
(Carlos, 05-07-95)
Observe que Carlos tenta se expressar de acordo com os significados matemáticos. Sob a ótica do MTCS, caso esse aluno estivesse justificando sua resolução a partir desse texto, a maneira de analisar essa fala é diferente daquela proposta pelo ensino tradicional vigente. Para o pesquisador que analisa as justificações dos alunos a partir do MTCS, ele não se interessa pela questão dicotômica entre o certo e o errado; isto é secundário e pouco relevante. Não interessa também se o aluno justificou ou não da maneira padrão. Por isso, uma resposta em branco tem um significado completamente diferente de uma resposta considerada absurda (como aquela apresentada acima):o pesquisador interessa-se muito mais pelo que foi dito a respeito do que foi perguntado. Na verdade, o que interessa é aquilo que o sujeito do conhecimento disse e porque disse. Pois, caso ele apresente algo que não é capaz de justificar o que afirmou, não há razão para acreditarmos que ele possui esse conhecimento.
A leitura dos testes dos alunos nos permitiu concluir que as informações advindas do texto escrito são muito limitadas. A ausência dos informantes dificulta sobremaneira a análise da produção de significados dos alunos.
4.2 O Estudo de Caso
Este estudo de caso foi desenvolvido em uma universidade federal do estado de Minas Gerais. Os sujeitos da pesquisa são os estudantes Elisângela de 21 anos e Marcelo de 24 anos; alunos do primeiro período do curso de Engenharia Civil que ingressaram na universidade no segundo semestre de 1996. Eles pertencem a uma turma de calouros que cursam as seguintes disciplinas: Álgebra Linear I, Cálculo Diferencial e Integral I, Geometria Analítica e Cálculo Vetorial I, Geometria Descritiva I, Desenho Técnico básico, Química Geral II e Laboratório de Química.
Nessa instituição o sistema de créditos é semestral. A disciplina Álgebra Linear I está alocada no departamento de Matemática, possui 4 créditos semanais e uma carga horária semestral de 60 horas/aula.
O curso de Engenharia Civil possui apenas o curso de Álgebra Linear I em sua grade curricular, cuja ementa é: Matrizes, Sistemas de equações lineares, Determinantes e Espaços vetoriais (de dimensão finita). Outros cursos como, Matemática (Licenciatura), Física (Licenciatura) e Informática (Bacharelado) possuem Álgebra Linear II, cuja ementa é: Transformações Lineares, Autovalores e Autovetores, Diagonalização de operadores, Produto interno, Tipos especiais de operadores e formas lineares, bilineares e quadráticas.
Como critério para escolha dos alunos fixamos duas condições: (1a.) Nossos informantes deveriam ser alunos que estivessem estudando Álgebra Linear pela primeira vez; (2a.) Esses alunos deveriam ter sido aprovados na disciplina em questão, de acordo com as normas impostas pela instituição.
Com relação às atividades, elas foram formuladas ao longo de um ano após a análise de testes dos alunos relativos à noção de base alguns testes pilotos e troca de informações com outros pesquisadores.
As informações oriundas dessas fontes indicaram que o texto escrito nos permitia uma análise muito limitada a cerca dos significados produzidos pelos alunos o que dificultava sobremaneira nossa análise. Isso nos levou a utilizar além das informações do texto escrito, aquelas registradas em videotape.
A proposta inicial era a de elaborar atividades familiares, porém, não usuais. Mas esbarramos na dificuldade de formulá-las visto que encontrávamos limitados à pouca informação presente em um primeiro curso. Nossa análise dos vários livros-texto de introdução à Álgebra Linear nos mostraram que neste nível as questões propostas ao aluno com respeito à noção de base, são de dois tipos: (1a.) Dado um espaço vetorial, extrair dele uma base; (2a.) Dado um subconjunto de vetores de um espaço vetorial, decidir se ele é base ou não desse espaço. Optamos, então, por formular as atividades considerando essas duas questões, e, por tomar os seguintes espaços vetoriais: C, 2e 3. Isso porque esses espaços permitem ao estudante produzir significados geométricos, isto é, falar de planos, retas, espaço e vetores como segmentos orientados.
Foram, então, elaboradas quatro atividades (que serão apresentadas a seguir), aplicadas em 4 sessões de aproximadamente duas horas cada uma, no período de 05/03/97 a 07/03/97. Este estudo se deu imediatamente após o término do período letivo. A coleta de dados foi feita através do texto escrito pelos alunos, entrevistas e
sessões de videografia. A análise dos dados foi efetuada tomando como referencial teórico o MTCS.
Nesse contexto o olhar do pesquisador busca identificar que objetos os sujeitos da pesquisa estão constituindo; tanto para caracterizar o núcleo que está se formando quanto para identificar novos objetos. Os objetos, por sua vez, são constituídos a partir do que os informantes dizem que eles satisfazem, que propriedades eles possuem. Isto permite identificar os núcleos em que ele/ela poderão estar operando através da identificação de estipulações locais e das operações que vão sendo constituídas. A partir daí é possível caracterizar o campo semântico que está se formando em relação ao núcleo dado. É pois, dessa maneira e a partir dessa ótica que analisaremos a fala de nossos informantes.
O primeiro texto apresentado aos sujeitos da pesquisa é o que se segue: 1.a) Seja o plano x - 2y + z = 0 em 3. Encontre uma base para . b) Determine uma outra base para o plano .
2- Determine uma base para o espaço vetorial C, dos números complexos sobre , definido por: C = { a + bi / a, b }
Nesse tipo de exercício, temos informação apenas do texto escrito pelo aluno (como discutimos no parágrafo anterior). Assim, ao retornarmos com esta tarefa queremos saber o que os informantes podem falar a respeito da resolução desses exercícios. Esperamos, pois, obter mais informações do que o texto escrito pode nos dar.
O texto 2 é:
“Uma base de uma espaço vetorial V é: a) um subconjunto linearmente independente que gera todo
espaço vetorial V.
b) um subconjunto de vetores geradores de V tal que o número de vetores desse subconjunto é igual à dimensão de V.
c) um subconjunto linearmente independente maximal de V. d) um subconjunto de vetores linearmente independente de V tal que o número de vetores desse subconjunto é igual a dimensão de V.”
Considerando as possibilidades acima responda: a) Qual das afirmações acima justifica melhor para você, o que é
uma base?
b) As outras afirmativas são corretas ou incorretas?
c) Use a afirmativa que você considera correta para verificar se o conjunto {(1, 0, 2)}, (0, 1, 1), (-1, 1, 0)} é uma base ou não do espaço vetorial 3. (Havendo mais de uma afirmativa correta, apresente uma solução para cada afirmativa.)
Nessa tarefa colocamos à disposição dos alunos algumas frases a respeito da noção de base presente em livros - texto. A proposta dessa tarefa é saber quais desses textos, baseados nos significados matemáticos, está mais próximo do conhecimento do aluno sobre o que venha a ser base.
O texto 3 é:
(a) Considere a seguinte pergunta: o subconjunto de vetores A = {u1 = (1, 2, 0), u2= (0, 2, 0)} é uma base do subespaço vetorial W={(x, y, z) 3 / z = o} de 3?
Em resposta a esta questão apresentamos três justificativas, verifique qual delas você considera satisfatória.
Justificativa 1:
Sim, pois os vetores u1 e u2 formam um conjunto linearmente independente e qualquer que seja o vetor v W, os vetores u u1, 2, v formam um subconjunto linearmente dependente em W.
Justificativa 2:
Note que o conjunto {(0, 1, 0), (0, 0, 1)} é uma base de W. Assim como dim W = 2 e { u u1, 2 } geram W, o conjunto A é uma base de W.
Justificativa 3:
Observe que x e y são variáveis livres do vetor genérico de W. Tendo em vista que cada variável livre corresponde um vetor de base, conclui-se que dim W= 2. Logo, como o conjunto A é livremente independente, concluímos que é base de W.
b) Encontre uma justificativa geométrica para verificar se A é base de W.
Nessa tarefa tomamos a situação usual onde dado um conjunto de vetores deve-se decidir se ele é base ou não. Mas, propomos que os alunos analisassem três justificativas, presentes em livros-texto e escritas de maneira concisa. O objetivo nessa tarefa é ter informações de como eles produzem significados a partir de justificações baseadas nos significados matemáticos.
De nossa experiência de sala de aula e pelo próprio objetivo nominal do curso de álgebra linear sabemos que os alunos não são estimulados a produzir
justificações geométricas. Com base nisso, no item (b) procuramos estimular justificações geométricas a partir do problema colocado.
Estimulados pela associação entre base e sistemas de coordenadas proposta por Birkhoff e Maclane no capítulo anterior, elaboramos a tarefa 4 com o objetivo de saber como se dá essa associação para o aluno. A tarefa 4 é dada a seguir pelo seguinte texto:
1) Seja o espaço vetorial 2
. Considere as bases A = {(1, 0), (0, 1)}, B = {(1, 1), (1, 0)} e C = {(1, 1), (1, -1)} de 2. Expresse o vetor (4, 2) como combinação linear dos vetores das bases A, B e C respectivamente.
2) Represente geometricamente cada uma das expressões obtidas no item (1).
Note que todas as tarefas estão relacionadas diretamente com a noção de base, a partir dos significados matemáticos. Isso possibilitará ao aluno falar a respeito do objeto matemático base. De nossa parte, essas tarefas nos permitirão observar de que maneira nossos informantes estão operando e que núcleo eles estão constituindo.
