Passeios Aleatórios Excitados sobre os Inteiros

(1)

Passeios aleat´

orios excitados sobre os

inteiros

Rafael Souza dos Santos

Orientador: Prof. Glauco Valle

Universidade Federal do Rio de Janeiro

Instituto de Matem´

atica

Departamento de M´etodos Estat´ısticos

2015

(2)

(3)

CIP - Catalogação na Publicação

SS237p

Santos, Rafael

Passeios Aleatórios Excitados Sobre os Inteiros / Rafael Santos. -- Rio de Janeiro, 2015.

84 f.

Orientador: Glauco Valle.

Dissertação (mestrado) - Universidade Federal do Rio de Janeiro, Instituto de Matemática,

Programa de Pós-Graduação em Estatística, 2015. 1. Passeios Aleatórios Excitados. 2. Processos Estocásticos Não Markovianos. 3. Lei dos Grandes Números. I. Valle, Glauco, orient. II. Título.

(4)

`

A minha fam´ılia, meus grandes amigos e, acima de tudo, `

(5)

“There are only two days in the year that nothing can be done. One is called yesterday and the other is called tomorrow.” Tenzin Gyatso.

(6)

Agradecimentos

Agrade¸co primeiramente e acima de tudo à minha mãe Eneida, pelo amor imensurável que sempre me dedicou, pelos muitos sacrif´ıcios feitos para que eu tivesse uma infância farta e boa educa¸cão; por sempre ter investido e acreditado em todos os meus sonhos e objetivos. Tudo que sou e fa¸co hoje é reflexo direto dos princ´ıpios e da educa¸cão que me transmitiu.

Agrade¸co a meus irmãos Andre e Claudia, pelo muito que fizeram por mim durante a minha infância e que ainda fazem atualmente; além de terem sido grandes exemplos de caráter e sucesso em que eu me espelhei. Definitivamente não teria chegado até aqui sem eles. Agrade¸co também a meu pai Adailton (in memorian), que infelizmente me deixou precocemente, mas me deu a vida e muito carinho enquanto pôde.

Agrade¸co a meus demais familiares, que contribu´ıram de modo direto ou indireto para que eu chegasse at´e aqui, com destaque para meus cunhados Eduardo e Telma; e minhas sobrinhas Helena e Marina. Agrade¸co por todo apoio e incentivo que me deram, das mais diferentes formas.

Agrade¸co a meus grandes amigos de infância: Bernardo, Raphael, Leo, Álvaro e Nathan, por estarem ao meu lado sempre que precisei, nas mais variadas situa¸cões; e pelos bons momentos de lazer que me proporcionaram quando estava necessitando de um pouco de descanso dos “passeios aleatórios”.

Agrade¸co a meus companheiros da pós-gradua¸cão, com grande destaque para Carlos Tadeu, Ingrid e Mariana, que estiveram ao meu lado durante os dois anos de mestrado, compartilhando de todas as dificuldades, bem como das alegrias após ver cada etapa sendo conclu´ıda. Agrade¸co por todas as dúvidas que me tiraram e pelos muitos bons momentos em que estivemos juntos, tanto para nos ajudar com os estudos das matérias pesadas, quanto para nos divertir e recuperar o ânimo. Essas companhias contribuiram significativamente para as minhas realiza¸cões durante o mestrado e tornaram esse per´ıodo

(7)

bem mais agradável. No mais, um agradecimento extra ao Carlos Tadeu por, mesmo estando muito atarefado, ter encontrado tempo para me auxiliar a revisar o português dessa disserta¸cão.

Agrade¸co a todos os bons amigos que fiz durante a gradua¸cão na UFRJ, incluindo tanto os que ingressaram comigo, quanto as amizades que fiz posteriormente através das monitorias. Agrade¸co pelo expressivo apoio e incentivo que me foi dado, tanto para tomar a decisão de seguir o caminho da pós gradua¸cão, quanto para superar as dificuldades que apareceram ao longo dele; e por todos os momentos agradáveis que já passamos juntos. Felizmente a lista de nomes aqui é extensa, então não irei citá-los apenas para evitar deixar de fora alguns que também mereceriam estar.

Agrade¸co ao corpo docente do DME - UFRJ, por todo o conhecimento que me trans-mitiram, com bastante empenho, ao longo das diversas disciplinas que fiz, tanto na gradua¸cão quanto na pós; e assim, terem me tornado capaz de escrever essa disserta¸cão, entre outras realiza¸cões. Gostaria de destacar a professora Flávia Landim, pois além de ter sido com quem mais cursei disciplinas, foi gra¸cas a insistência dela que me tornei monitor na gradua¸cão, superando minha inseguran¸ca; e assim descobri o quanto gostava de ensinar, fator que influenciou significativamente na minha escolha por fazer mestrado. Agrade¸co também a CAPES pelo apoio financeiro ao longo desses dois anos de mes-trado; e aos professores Leandro Pimentel e Remy Sanchis, por terem aceitado fazer parte da banca examinadora dessa disserta¸cão.

Por fim, um agradecimento especial ao professor Glauco Valle. Com rela¸cão a gra-dua¸cão, agrade¸co pelo convite e orienta¸cão de inicia¸cão cient´ıfica; e pelos ensinamentos de probabilidades e processos estocásticos, que despertaram em mim um interesse dife-renciado por essas áreas e acabou sendo o pontapé inicial para minha decisão de seguir pelo mestrado. Com rela¸cão a pós, agrade¸co por ter aceitado orientar minha disserta¸cão; por estar sempre dispon´ıvel a esclarecer, com dedica¸cão e paciência, todas as minhas inúmeras dúvidas; e por todo conhecimento que me transmitiu ao longo desse processo. Hoje sei que eu não poderia ter trabalhado com melhor orientador, quase certamente.

(8)

Resumo

Os passeios aleatórios constituem uma classe de processos estocásticos muito impor-tante na literatura, com aplica¸cões em diversas áreas. Esse trabalho tem por objetivo tratar de um tipo espec´ıfico desses processos, chamado passeio aleatório excitado, que possuem como caracter´ıstica o fato da part´ıcula receber um est´ımulo para priorizar mo-vimentos numa determinada dire¸cão, durante as visitas iniciais a cada um dos estados. Esse tipo de passeio aleatório não possui a propriedade de Markov e com isso seu estudo se torna mais delicado.

O trabalho buscou abordar esse tema no contexto unidimensional e com enfoque no caso restrito a ambientes determin´ısticos, detalhando os principais resultados com res-peito a transiência, recorrência e velocidade, bem como suas demonstra¸cões. Além disso, foi inclu´ıdo um cap´ıtulo destinado a tratar de modo emp´ırico, via simula¸cão computacio-nal, do caso em que consideramos o passeio aleatório excitado com mais de uma part´ıcula evoluindo no mesmo ambiente.

Palavras-Chaves: processos estocásticos não markovianos, passeios aleatórios excita-dos, Lei dos Grandes Números.

(9)

Abstract

Random walks are a very important class of stochastic processes present in the lite-rature with applications in many areas. The objective of this work is to study a specific type of such process, named cookie random walk or excited random walk, characterized by a particle receiving a boost in the probability of moving to a specific direction du-ring the initial visits to each state. This kind of random walk doesn‘t have the Markov property, which complicates its study.

This work is intended to study excited random walks in dimension one, focusing in the restricted case of deterministic environment, detailing the main results about transience, recurrence and speed of the excited random walk as well as their proofs. An empirical study is also presented, using computational simulations, of the case considering excited random walks with more than one particle moving in the same environment.

Keywords: non-markovian stochastic processes, excited random walk (ERW), Law of Large Numbers.

(10)

Sum´

ario

1 Introdu¸c˜ao e motiva¸c˜ao 1

2 Passeios aleat´orios 4

2.1 Passeio Aleat´orio Simples . . . 4

2.2 Alguns passeios aleat´orios n˜ao markovianos . . . 7

2.2.1 Passeios Aleat´_{orios Auto-Evasivos em Z} . . . 7

2.2.2 Passeios Aleat´_{orios de Arestas Refor¸cadas em Z} . . . 9

2.2.3 Passeios Aleat´orios de V´_{ertices Refor¸cados em Z} . . . 11

2.2.4 Passeios Aleat´_{orios Auto-Evasivos em Z com arestas direcionadas} 13 3 Passeios Aleat´_{orios Excitados em Z} 15 3.1 Descri¸c˜ao do modelo . . . 15

3.2 Principais resultados . . . 17

4 Recorrência e Transiência 21 4.1 Nota¸cões utilizadas . . . 21

4.2 Critério para recorrência e transiência . . . 22

5 Balisticidade 33 5.1 Lei dos Grandes N´umeros para Passeios Aleat´orios Excitados . . . 34

5.2 Processo de Ramifica¸cão com Migra¸cão e sua rela¸cão com Passeios Aleatórios Excitados . . . 38

5.2.1 Processo de Ramifica¸cão com Migra¸cão: descri¸cão e resultados . . 38

5.2.2 Associa¸cão dos Passeios Aleatórios com o Processo de Ramifica¸cão com Migra¸cão . . . 40

(11)

6 Caso com 2 part´ıculas no mesmo ambiente: 58

6.1 Descri¸c˜ao do problema . . . 58

6.2 Simula¸c˜oes e resultados emp´ıricos . . . 59

7 Conclus˜ao e trabalhos futuros 68

A Um contra-exemplo importante 70

B C´odigo da simula¸c˜ao no R 76

C Lista das nota¸c˜oes utilizadas 80

(12)

Lista de Figuras

2.1 Ilustra¸c˜ao do grafo direto associado ao passeio aleat´_{orio simples em Z} . . 4

2.2 Exemplo de trajet´oria de um passeio aleat´_{orio em Z.} . . . 9

3.1 Ilustra¸c˜ao do Passeio Aleat´_{orio Excitado em Z.} . . . 16

5.1 Exemplo de associa¸cão entre passeio aleatório e processo de ramifica¸cão.. 41

5.2 Exemplo da realiza¸cão de uma trajetória poss´ıvel para um passeio aleatório, até t = 30, com ocorrência de 4 renova¸cões . . . 50

5.3 Rela¸c˜ao entre os processos Jk e ˜Vk . . . 53

6.1 Simula¸c˜ao de 2 part´ıculas em ambiente com M (2p − 1) = 1.5. . . 60

6.4 Simula¸c˜ao de 2 part´ıculas em ambiente com M (2p − 1) = 3. . . 64

6.5 Velocidades das 2 part´ıculas em ambiente com M = 7 e p = 0.75. . . 65

(13)

Cap´ıtulo 1

Introdu¸

c˜

ao e motiva¸

c˜

ao

Um passeio aleatório é um processo estocástico que descreve a evolu¸cão de uma part´ıcula se deslocando de modo aleatório sobre os vértices de um grafo e tem aplica¸cões nas mais diversas áreas, como por exemplo: economia, f´ısica, qu´ımica, biologia, com-puta¸cão. Existem inúmeros tipos diferentes de passeios aleatórios, que vão desde proces-sos markovianos simples até alguns bastante complexos.

Ao longo do texto estaremos considerando sempre passeios unidimensionais a tempo discreto e entre vizinhos próximos. Ou seja, o espa¸co de estados desses processos é o con-junto de números inteiros e o deslocamento da part´ıcula ocorre sempre após intervalos de tempo de tamanho um, podendo ser um salto de uma unidade para mais ou para menos. Para o caso do passeio aleat´_{orio simples em Z, que é markoviano, já se tem resultados} clássicos com rela¸cão a 3 importantes caracter´ısticas dos passeios aleatórios: classifica¸cão entre transiência ou recorrência, velocidade e convergência em escala. No Cap´ıtulo 2 descreveremos esse tipo de processo e apresentaremos seus resultados. Porém, esse caso simples na maioria das vezes não retrata bem a realidade, pois é raro se deparar com problemas em que o passado não exerce influência nos acontecimentos futuros. Seguem alguns exemplos:

• Os passeios aleatórios podem ser utilizados na área biológica para descrever o comportamento de bactérias, que é influenciado pelos movimentos anteriores delas (locais onde encontraram nutrientes, melhores condi¸cões para reprodu¸cão, etc...). Ainda nessa área, temos aplica¸cões em quimiotaxia, que é o nome dado ao movi-mento celular induzido pela presen¸ca de substâncias qu´ımicas no ambiente. Essa

(14)

questão é tratada em [13] utilizando passeios aleatórios refor¸cados, que são não markovianos.

• Os passeios aleatórios também têm aplica¸cões na área da qu´ımica, no estudo da forma¸cão de pol´ımeros, que são grandes moléculas formadas pela aglomera¸cão de moléculas menores. Essa questão é tratada em [2] utilizando modelagem via pas-seios aleatórios simples e via passeios auto-evasivos, que são não markovianos. ´

E crescente o interesse teórico no estudo de passeios aleatórios mais complexos (não markovianos). Há diversos passeios não markovianos importantes na literatura e tem se buscado estudar as 3 caracter´ısticas mencionadas anteriormente em cada um deles. Ainda no Cap´ıtulo 2 será feita uma apresenta¸cão sucinta de alguns desses passeios.

Nosso objetivo é tratar com detalhes de um desses passeios não markovianos, cha-mado passeio aleatório excitado, no caso unidimensional. Eles são caracterizados por receberem um est´ımulo para se deslocar em uma determinada dire¸cão nas visitais iniciais a cada estado. No Cap´ıtulo 3 temos a descri¸cão formal e detalhada desse processo, bem como a apresenta¸cão dos principais resultados encontrados na literatura.

Uma das motiva¸cões para se estudar espec´ıficamente esse tipo de passeio se deve ao fato deles serem adequados para modelar o movimento de células ou microorganismos em um determinado ambiente que dispõe de uma certa quantidade de nutrientes. É razoável pensar que essas células ou microorganismos vão priorizar deslocamentos nas dire¸cões em que estiverem encontrando tais nutrientes e que, caso eles eventualmente se esgotem, não haverá mais est´ımulo para priorizar uma dire¸cão. Esses passeios também parecem ade-quados para modelar o problema da quimiotaxia, uma vez que as substâncias qu´ımicas podem se esgotar.

Um survey sobre os passeios aleatórios excitados é apresentado em [10], onde podem ser encontrados diversos resultados relevantes com rela¸cão a esses passeios, incluindo os casos de dimensão maior, mas sem as demonstra¸cões formais. No nosso trabalho procu-ramos dar uma abordagem mais acess´ıvel desse tema, de modo a auxiliar a compreensão dos leitores que estejam realizando seu primeiro contato com o assunto. Para isso, nos restring´ımos apenas ao caso unidimensional e em grande parte do texto, consideramos o ambiente sendo determin´ıstico (todos os est´ımulos com igual intesidade e ocorrendo nas primeiras M visitas, para todos os estados). Então, foi realizada uma adapta¸cão

(15)

dos resultados e demonstra¸cões já presentes na literatura em casos mais gerais, para esse contexto de ambiente determin´ıstico, de modo a torná-los mais simples. Associado a isso, também buscou-se detalhar mais essas demonstra¸cões.

Nos Cap´ıtulos 4 e 5 serão realizadas as adapta¸cões para ambiente determin´ıstico, de modo que o Cap´ıtulo 4 contempla o estudo de recorrência e transiência desses passeios, que foi tratado inicialmente em [19] no caso de ambiente aleatório ergódico; e o Cap´ıtulo 5 abrange o estudo da velocidade, que foi abordado em [9], também no caso de ambiente aleatório ergódico.

Por fim, no Cap´ıtulo 6, será realizada uma abordagem emp´ırica, utilizando simula¸cões computacionais, para a situa¸cão em que temos mais de uma part´ıcula evoluindo no mesmo ambiente e competindo pelos est´ımulos. Essa extensão é razoável ao adaptar esses pro-cessos para situa¸cões reais, mas ainda não foi tratada na literatura. Então, procuramos perceber como os resultados conhecidos de recorrência, transiência e velocidade são alte-rados com a introdu¸cão de mais part´ıculas no ambiente.

(16)

Cap´ıtulo 2

Passeios aleat´

orios

2.1 Passeio Aleat´

orio Simples

Um passeio aleat´_{orio simples (PAS) unidimensional (em Z) é uma cadeia de Markov} homogênea com espa¸co de estados igual ao conjunto dos números inteiros represen-tando uma part´ıcula transirepresen-tando em Z de acordo com a seguinte regra probabil´ıstica: A part´ıcula salta de um estado para o seguinte com probabilidade p ou para o anterior com probabilidade q = 1 − p, onde p ∈ (0, 1). Ou seja:

  

p(x, x + 1) = p,

p(x, x − 1) = 1 − p, para ∀x ∈ Z.

Na figura 2.1 podemos ver a representa¸c˜ao em forma de grafo desse processo.

Figura 2.1: Ilustra¸cão do grafo direto associado ao passeio aleat´_{orio simples em Z} Nota: Assim como ocorre com o PAS, estaremos considerado o caso de arestas ligando apenas vizinhos adjacentes para todos os Passeios Aleatórios tratados nessa disserta¸cão (um estado x terá aresta ligando apenas com os estados x − 1 e x + 1).

(17)

Vamos revisar algumas defini¸cões essenciais associadas a processos estocásticos, que aparecerão nos principais resultados sobre PAS, bem como nas demais se¸cões.

Defini¸c˜ao 1: Propriedade de Markov:

Um processo estoc´astico a tempo discreto satisfaz a propriedade de Markov (ou seja, ´

e markoviano) se a distribui¸cão de probabilidade do processo no instante n + 1, dado que o histórico dele no intervalo [0, n] é conhecido, depende apenas do valor do processo no instante n, podendo desprezar toda a informa¸cão do passado. Ou seja, (Xn)n≥0 é um

processo markoviano se:

P (Xn+1 = y|X0 = x0, X1 = x1, . . . , Xn = xn) = P (Xn+1 = y|Xn = xn), para

quais-quer y, x0, x1, . . . , xn pertencentes ao campo de defini¸c˜ao do processo Xn.

Defini¸c˜ao 2: Irredutibilidade:

Dizemos que um estado i se comunica com j quando h´a probabilidade positiva da part´ıcula atingir o estado j em algum instante futuro, partindo do estado i ou seja: P (Xn = j|X0 = i) = Pn(i, j) > 0 para pelo menos algum n ∈ N. Um processo

es-tocástico será classificado como irredut´ıvel se todos os seus estados se comunicarem. Defini¸cão 3: Transiência e recorrência:

Um estado é dito recorrente se em qualquer instante que a part´ıcula deixe esse estado, ela conseguir retornar a ele em algum momento com probabilidade 1; e será dito transi-ente quando isso não ocorrer. Uma cadeia irredut´ıvel é dita recorrente se todos os seus estados são recorrentes. Além disso, quando temos uma cadeia de markov irredut´ıvel, se algum estado for recorrente, todos os outros também serão, bastando então analisar apenas um estado para avaliar recorrência ou transiência da cadeia.

Defini¸cão 4: Recorrência nula e recorrência positiva:

Uma cadeia de Markov recorrente ´e classificada como recorrente nula quando o tempo esperado de primeiro retorno a qualquer um de seus estados ´e infinito, ou seja: E[Ti|X0= i]

= ∞, onde Ti = min{n ≥ 1 : Xn = i}. Por outro lado, ela ser´a classificada como

recor-rente positiva quando esse tempo esperado for finito para todos os seus estados. Defini¸c˜ao 5: Velocidade:

(18)

em m´edia a cada instante de tempo. Ou seja: v = lim

n→∞

Xn

n .

Agora ser˜_{ao listados os principais resultados sobre PAS em Z, que podem ser} encon-trados em diversos livros de probabilidade e processos estoc´asticos, como por exemplo [4] ou [15].

Para definir formalmente o PAS associado a p ∈ (0, 1), sejam (Xk)k≥1 v.a’s i.i.d’s

as-sumindo os valores +1 com probabilidade p e −1 com probabilidade 1 − p. Elas indicam se no k-´esimo salto a part´ıcula se move para a direita (Xk = +1) ou esquerda (Xk = −1).

O PAS come¸cando em 0 ´e o processo (Yn)n≥0 tal que Y0 = 0 e Yn= n

X

k=1

Xk, ∀n ≥ 1, indica

a posi¸c˜ao da part´ıcula no instante n.

Lema 2.1. Condi¸cões de transiência e recorrˆ_{encia em um PAS em Z:}            p = 1₂ ⇒ Recorrência nula, p < 1₂ ⇒ Transiência, com lim

n→∞Yn = −∞,

p > 1₂ ⇒ Transiˆencia, com lim

n→∞Yn = ∞.

Lema 2.2. Como consequˆencia da Lei dos Grandes N´umeros, a velocidade v de um PAS em Z, definida como v = lim

n→∞ Yn n ´e dada por:    v = 0, se p = 1₂, v = 2p − 1, se p 6= 1₂. Lema 2.3. Teorema Central do Limite para PAS em Z:

Yn− E[Yn] pV ar[Yn] = Yn− n(2p − 1) pn(4p(1 − p)) d −−−→ n→∞ N (0, 1).

Lema 2.4. Probabilidade de um PAS partindo de um estado x > 0 visitar o estado y > x antes de visitar o zero, denotada por P_xy. Esse resultado ´e conhecido na literatura como Problema da Ru´ına do Jogador e pode ser encontrado em [15], se¸c˜ao 4.5.1:

(19)

P_xy =            x y, se p = 1 2, 1 − (1−p_p )x 1 − (1−p_p )y, se p 6= 1 2.

Lema 2.5. N´umero esperado de visitas a cada estado x ≥ 0 em um PAS com p > 1₂, denotado por E[Nx]:

E[Nx] =

1 2p − 1.

Para verificar esse lema, primeiro note que, pela propriedade de markov, esse número esperado será igual para todos os estados, bastando então analisar o estado 0. A cada vez que a part´ıcula chega ao zero, o número de visitas que ela faz a esse estado antes de chegar no estado 1 tem distribui¸cão geométrica de parâmetro p e consequentemente es-peran¸ca 1_p. Além disso, chegando no s´ıtio 1, a part´ıcula tem probabilidade 2p−1_p de nunca mais retornar ao zero, que segue da aplica¸cão do Lema 2.4 com x = 1 e y → ∞. Dessa forma, o número de vezes que, após visitar o s´ıtio 1, a part´ıcula consegue retornar ao zero em algum momento, tem distribui¸cão geométrica de parâmetro 2p−1_p e consequentemente esperan¸ca _2p−1p . Por fim, como as duas geométricas descritas são independentes devido a propriedade de markov, a esperan¸ca de N0 segue do produto dessas duas esperan¸cas.

2.2 Alguns passeios aleat´

orios n˜

ao markovianos

2.2.1 Passeios Aleat´

_{orios Auto-Evasivos em Z}

Os passeios aleat´_{orios auto-evasivos (PAAE) em Z são processos estocásticos com} espa¸co de estados Z, caracterizados pelo seguinte comportamento: Uma part´ıcula que está em um estado x no instante t pode saltar para x − 1 ou x + 1 no instante seguinte e essas probabilidades são definidas em fun¸cão do número de vezes que a part´ıcula visitou os estados x − 1 ou x + 1 no passado, de modo que realizar uma determinada transi¸cão no instante t reduz a chance de repet´ı-la futuramente. Para formalizar, vamos definir algumas nota¸cões:

(20)

Ti(x) := #{j ∈ [0, i)|Xj = x + 1, Xj+1= x},

Si(x) := Fi(x) + Ti(x).

Ou seja, Fi(x) indica o n´umero de vezes at´e o instante i que a part´ıcula saltou do

es-tado x para o eses-tado x+1, Ti(x) o n´umero de vezes que a part´ıcula saltou de x+1 para x; e

Si(x) o total de vezes que a part´ıcula realizou algum movimento entre os estados x e x+1.

Com isso, as probabilidades da part´ıcula saltar para a direita ou esquerda s˜ao defini-das do seguinte modo:

P (Xi+1 = Xi+ 1|X0, ..., Xi) = w(Si(Xi)) w(Si(Xi)) + w(Si(Xi− 1)) ; P (Xi+1 = Xi− 1|X0, ..., Xi) = w(Si(Xi− 1)) w(Si(Xi)) + w(Si(Xi− 1)) .

Onde w ´e uma fun¸c˜ao que decresce conforme Si aumenta, como por exemplo w(n) =

exp(−βn) com β > 0 um parˆametro fixo (decaimento exponencial).

Para ilustrar o processo, considere um PAAE possuindo fun¸c˜ao de decaimento ex-ponencial mencionada anteriormente, com β = 1 e suponha que a part´ıcula iniciou no estado 0, realizando a seguinte sequˆencia de movimentos, ilustrada na figura 2.2: 0, 1, 2, 1, 0, −1, 0, 1, 0, 1. Com isso, a part´ıcula se encontra atualmente (t = 9) no estado 1, havendo percorrido 5 vezes a aresta {0, 1}, 2 vezes a aresta {1, 2} e portanto, podendo saltar para 0 ou 2 com as seguintes probabilidades:

P (X10 = 2|X0 = 0, ..., X9 = 1) = w(S9(1)) w(S9(1)) + w(S9(0)) = e −(1+1) e−(1+1)_{+ e}−(3+2) =≈ 0.9526. P (X10 = 0|X0 = 0, ..., X9 = 1) = w(S9(0)) w(S9(1)) + w(S9(0)) = e −(3+2) e−(1+1)_{+ e}−(3+2) =≈ 0.0474.

Note que independente da ordem com que as arestas são percorridas na figura 2.2, o estado final será o 1 e as probabilidades descritas acima são iguais.

Resumindo, essa classe de passeios aleatórios tem uma tendência a não visitar esta-dos que já foram visitados muitas vezes no passado e pode-se perceber que esses passeios aleatórios de fato não são markovianos, pois as probabilidades de salto P (x, x + 1) e

(21)

Figura 2.2: Exemplo de trajet´oria de um passeio aleat´_{orio em Z.}

P (x, x − 1) no instante t dependem do número de vezes que a part´ıcula cruzou essas arestas no passado, ou seja, para especificar uma probabilidade no instante t não basta conhecer a posi¸cão da part´ıcula no instante t − 1, sendo necessário o conhecimento de todo o histórico do passeio.

Em [17] verifica-se que a escala necessária para termos um Teorema Central do Limite no PAAE depende da fun¸cão w. No caso de decaimento exponencial, por exemplo, essa convergência ocorre na escala (N−23)X_{[N t]}, diferindo da escala difusiva (N−

1

2)X_{[N t]}, na

qual ocorre a convergˆencia no caso de passeios aleat´orios simples.

Mais informa¸c˜oes sobre sobre PAAE tamb´em podem ser encontradas em [17].

2.2.2 Passeios Aleat´

orios de Arestas Refor¸

_{cadas em Z}

Os passeios aleat´_{orios de arestas refor¸cadas (PAAR) em Z são processos estocásticos} com espa¸co de estados Z, caracterizados pelo seguinte comportamento: Uma part´ıcula que está em um estado x no instante t pode saltar para x − 1 ou x + 1 no instante seguinte e essas probabilidades dependem do número de vezes que a part´ıcula realizou essa mesma transi¸cão no passado, de modo que a part´ıcula tenha maior chance de escolher repetir um salto que realizou mais vezes no passado. Para formalizar, vamos definir a seguinte nota¸cão: an(x) := n−1 X k=0 I{Xk,Xk+1}={x,x+1}.

Ou seja, an(x) indica o n´umero total de vezes, at´e o instante n, que o passeio percorre

(22)

Wn(x) = W0(x) + an(x)

X

k=1

bk.

Onde W0(x) é o peso inicial do estado x, que é sempre positivo e ~b = {bk, k ≥ 1} é

uma sequência de números não negativos chamada de sequência do passeio (por exemplo, podemos pensar no caso mais simples, em que a sequência bké constante igual a 1). Com

isso, as probabilidades de transi¸c˜ao s˜ao definidas do seguinte modo: P (Xn+1 = Xn+ 1|X0, X1, ..., Xn) = Wn(x) Wn(x) + Wn(x − 1) ; P (Xn+1 = Xn− 1|X0, X1, ..., Xn) = Wn(x − 1) Wn(x) + Wn(x − 1) .

Para ilustrar esse processo, considere um PAAR com W0(x) = 1 para todo x ∈ Z,

sequˆencia ~b tal que bk = 1_k e suponha que a part´ıcula iniciou no estado 0, realizando a

seguinte sequˆencia de movimentos, ilustrada na figura 2.2: 0, 1, 2, 1, 0, −1, 0, 1, 0, 1. Com isso, a part´ıcula se encontra atualmente (t = 9) no estado 1, havendo percorrido 5 vezes a aresta {0, 1}, 2 vezes a aresta {1, 2} e portanto, podendo saltar para 0 ou 2 com as seguintes probabilidades: P (X10= 2|X0 = 0, ..., X9 = 1) = W9(1) W9(1) + W9(0) = 1 + a9(1) X k=1 1 k 1 + a9(1) X k=1 1 k + 1 + a9(0) X k=1 1 k = = 1 + 2 X k=1 1 k 1 + 2 X k=1 1 k + 1 + 5 X k=1 1 k ≈ 2.5 2.5 + 3.283 ≈ 0.4323. P (X10= 0|X0 = 0, ..., X9 = 1) = W9(0) W9(1) + W9(0) = 1 + a9(0) X k=1 1 k 1 + a9(1) X k=1 1 k + 1 + a9(0) X k=1 1 k =

(23)

= 1 + 5 X k=1 1 k 1 + 2 X k=1 1 k + 1 + 5 X k=1 1 k ≈ 3.283 2.5 + 3.283 ≈ 0.5677.

Resumindo, essa classe de passeios aleatórios tem uma tendência a realizar com mais frequência as transi¸cões que foram feitas um maior número de vezes no passado e também são claramente não markovianos, pois para especificar as probabilidades de salto do es-tado x para x + 1 ou x − 1, no instante t, é preciso saber quantas vezes no passado do processo as arestas {x, x + 1} e {x, x − 1} foram percorridas.

H´a um importante resultado na literatura sobre comportamento limite desse tipo de passeio, que pode ser encontrado em [3]: Seja Xn um PAAR com W0(x) igual para todo

x e sequˆencia do passeio ~b. Ent˜ao, se

∞

X

k=1

1 bk

= ∞, temos que Xn ser´a recorrente quase

certamente, enquanto que se

∞

X

k=1

1 bk

< ∞, temos Xncom alcance finito quase certamente,

ficando preso entre 2 estados vizinhos a partir de algum momento. Note que nesse se-gundo caso, temos alguns estados recorrentes e outros transientes, diferindo assim do comportamento apresentado pelo PAS.

Mais informa¸c˜oes sobre PAAR podem ser encontradas em [14].

2.2.3 Passeios Aleat´

orios de V´

ertices Refor¸

_{cados em Z}

Os passeios aleatórios de v´_{ertices refor¸cados (PAVR) em Z são processos estocásticos,} com espa¸co de estados Z, similares ao PAAR. A diferen¸ca é que agora o que determinará as probabilidades se saltar para x + 1 ou x − 1 será o número total de visitas a esses 2 estados, no passado. Para formalizar, vamos definir a seguinte nota¸cão:

vn(x) := 1 + n

X

k=1

I{Xk=x}.

(24)

ins-tante n, acrescido de 1 unidade. Com isso, as probabilidades de transi¸c˜ao s˜ao definidas do seguinte modo: P (Xi+1 = Xi+ 1|X0, X1, ..., Xi) = vn(x + 1) vn(x + 1) + vn(x − 1) ; P (Xi+1 = Xi− 1|X0, X1, ..., Xi) = vn(x − 1) vn(x + 1) + vn(x − 1) .

Para ilustrar esse processo, considere um PAVR em que a part´ıcula iniciou no estado 0 e realizou a seguinte sequência de movimentos, ilustrada na figura2.2: 0, 1, 2, 1, 0, −1, 0, 1, 0, 1. Com isso, a part´ıcula se encontra atualmente (t = 9) no estado 1, havendo visitado quatro vezes o estado 0, uma vez o estado 2 e portanto, podendo saltar para 0 ou 2 com as seguintes probabilidades: P (X10= 2|X0 = 0, ..., X9 = 1) = v9(2) v9(2) + v9(0) = 1 + 1 (1 + 1) + (1 + 4) = 2 7 ≈ 0.2857. P (X10= 0|X0 = 0, ..., X9 = 1) = v9(0) v9(2) + v9(0) = 1 + 4 (1 + 1) + (1 + 4) = 5 7 ≈ 0.7143. Vale observar que o PAVR foi definido de modo mais simples, mas também é poss´ıvel construir um PAVR de forma similar ao PAAE, em que os ”refor¸cos”a cada visita evo-luam de acordo com uma sequência bk qualquer (nesse caso simples temos a sequência bk

constante igual a 1).

Resumindo, essa classe de passeios aleatórios tem uma tendência a visitar com mais frequência os estados que foram visitados um maior número de vezes no passado. Esses passeios também são não markovianos, pois as probabilidades de salto no instante t de-pendem de quantas vezes cada estado já foi visitado no passado.

H´a um importante resultado sobre o comportamento limite desse tipo de passeio, que pode ser encontrado em [16]: Seja Xn um PAVR em Z. Ent˜ao, com probabilidade 1,

existir˜_{ao um k ∈ Z aleat´orio, α ∈ (0, 1) e C}1, C2 > 0 tais que os seguintes fatos ocorrem:

(i) Os vértices {k − 2, k − 1, k, k + 1, k + 2} são os únicos visitados infinitas vezes; (ii) Os vértices {k − 1, k, k + 1} são os únicos visitados com uma frequência positiva, cujo limite é dado respectivamente por α₂,1₂,(1−α)₂ ;

(25)

(iii) Os v´ertices k − 2 e k + 2 possuem medida de ocupa¸c˜ao respectivamente da ordem de C1nα e C2n(1−α).

Pode-se perceber que nesse tipo de passeio teremos 5 estados recorrentes e os demais transientes, que novamente difere do comportamento apresentado pelo PAS.

Mais informa¸c˜oes sobre PAVR podem ser encontradas em [14].

2.2.4 Passeios Aleat´

_{orios Auto-Evasivos em Z com arestas}

di-recionadas

Os passeios aleatórios auto-evasivos com arestas direcionadas (PAAEAD) são pro-cessos estoc´_{asticos com espa¸co de estados Z, que evoluem de modo bastante similar ao} PAAE, com a diferen¸ca apenas que no PAAEAD as probabilidades de saltar do estado x para x + 1 ou x − 1 dependem apenas de quantas vezes no passado a part´ıcula realizou as transi¸cões de x para x + 1 e x para x − 1. Ou seja, apenas do número de vezes que Xn

percorre essas arestas nesses sentidos espec´ıficos. Aproveitando a nota¸cão introduzida na subse¸cão 2.2.1, temos as probabilidades de transi¸cão do PAAEAD dadas por:

P (Xi+1= Xi+ 1|X0, ..., Xi) = w(Fi(Xi)) w(Fi(Xi)) + w(Ti(Xi− 1)) ; P (Xi+1= Xi− 1|X0, ..., Xi) = w(Ti(Xi− 1)) w(Fi(Xi)) + w(Ti(Xi − 1)) ,

lembrando que Fi(x) indica o n´umero de vezes at´e o instante i que a part´ıcula saltou do

estado x para o estado x + 1 e Ti(x) indica o n´umero de vezes que a part´ıcula saltou de

x + 1 para x.

Para ilustrar esse processo, considere um PAAEAD em que a part´ıcula iniciou no estado 0 e realizou a seguinte sequência de movimentos, ilustrada na figura2.2: 0, 1, 2, 1, 0, −1, 0, 1, 0, 1. Com isso, a part´ıcula se encontra atualmente (t = 9) no estado 1, havendo realizado apenas um salto do estado 1 para 2 e dois saltos de 1 para 0. Dessa forma, considerando a fun¸cão de decaimento w(n) = exp(−n), temos que a part´ıcula poderá saltar para 0 ou 2 com as seguintes probabilidades:

(26)

P (X10 = 2|X0 = 0, ..., X9 = 1) = w(F9(1)) w(F9(1)) + w(T9(0)) = e −1 e−1_{+ e}−2 =≈ 0.7311. P (X10 = 0|X0 = 0, ..., X9 = 1) = w(T9(0)) w(F9(1)) + w(T9(0)) = e −2 e−1_{+ e}−2 =≈ 0.2689.

Esses processos são não markovianos, pela mesma explica¸cão dada para o PAAE e também tem uma tendência a evitar visitar estados que já foram visitados muitas vezes no passado, visto que novamente a fun¸cão w será decrescente.

Há um importante resultado na literatura sobre comportamento limite desse tipo de passeio, podendo ser encontrado em [12]: Seja Xn um PAAEAD, então esse processo é

recorrente e temos um TCL da seguinte forma: X_√n

n converge em distribui¸c˜ao para uma

vari´avel uniforme em [−1, 1], quando n → ∞. Note que este comportamento difere do TCL para PAS.

(27)

Cap´ıtulo 3

Passeios Aleat´

_{orios Excitados em Z}

3.1 Descri¸

c˜

ao do modelo

Passeios aleatórios excitados (PAE) podem ser descritos informalmente da seguinte forma: Suponha que cada s´ıtio z ∈ Z seja preenchido com uma determinada quanti-dade de cookies, que são artif´ıcios capazes de alterar a regra de probabilidade com que a part´ıcula realiza seu movimento seguinte; e considere tal part´ıcula transitando entre vizinhos próximos de acordo com a seguinte regra de probabilidade: A part´ıcula salta para a direita com probabilidade 1₂ se o s´ıtio em que a part´ıcula se encontra não possuir cookies, ou caso contrário, ela consome 1 cookie e salta para a direita com uma probabi-lidade p determinada por esse cookie.

Pode-se perceber que os passeios aleatórios excitados não são markovianos, pois ao chegar em um determinado s´ıtio z, a probabilidade com que a part´ıcula escolhe saltar para a direita depende da informa¸cão sobre quantos cookies já foram consumidos nesse s´ıtio, que por sua vez depende de quantas visitas ao estado z a part´ıcula realizou no passado.

Passemos agora para a descri¸c˜ao formal: Considere um ambiente ω como sendo um elemento de:

Ω = {(ω(z, i))_z∈Z,i∈N _{| ω(z, i) ∈ [0, 1], ∀i ∈ N e ∀z ∈ Z} .}

O valor ω(z, i) fornece a probabilidade do PAE realizar a transi¸c˜ao do estado z para z + 1, ao visitar pela i-´esima vez o estado z. Mais precisamente, fixando ω ∈ Ω e x0 ∈ Z,

(28)

temos que um PAE (Xn)n≥0 iniciando no estado x0, em um ambiente ω, ´e um processo

estoc´astico bem definido, com medida de probabilidade Px0,ω satisfazendo:

Px0,ω[X0 = x0] = 1,

Px0,ω[Xn+1= Xn+ 1|(Xi)0≤i≤n] = ω(Xn, #{i ≤ n : Xi = Xn}),

Px0,ω[Xn+1 = Xn− 1|(Xi)0≤i≤n] = 1 − ω(Xn, #{i ≤ n : Xi = Xn}).

O ambiente ω pode ser fixado inicialmente ou escolhido de modo aleatório de acordo com uma medida de probabilidade em Ω. Quando ω for um elemento aleatório de Ω, sua distribui¸cão ser´_{a denotada por P e a esperan¸ca associada por E.}

Na parte superior da figura 3.1 podemos ver um exemplo de ambiente para o PAE, com 4 cookies por s´ıtio (as bolas pretas representam os cookies). Já na parte inferior da figura, temos a representa¸cão de uma poss´ıvel evolu¸cão da part´ıcula nesse ambiente, par-tindo do estado 0 e com transi¸cões iniciais 0 → 1 → 2 → 1 → 0 → −1 → 0 → −1 → −2. Os c´ırculos pontilhados simbolizam os cookies consumidos até o termino das 8 transi¸cões.

Figura 3.1: Ilustra¸c˜ao do Passeio Aleat´_{orio Excitado em Z.}

Após consumir um cookie ω(z, i), a part´ıcula se desloca em média 2ω(z, i) − 1, o que chamaremos de drift obtido pela part´ıcula após consumir o cookie. Se esse deslocamento médio for positivo, temos um cookie positivo, se for negativo teremos um cookie negativo e se for nulo não teremos cookie. Somando o deslocamento médio obtido com todos os cookies de um s´ıtio, obtemos o que será chamado de deslocamento total médio por s´ıtio e denotado por δz. Quando o ambiente for estacionário, δz possuirá mesmo valor, para

(29)

δ = E " X i≥1 (2ω(0, i) − 1) # .

Quando estamos no caso determin´ıstico, em que fixamos o ambiente com M cookies por s´ıtio, todos fornecendo a mesma probabilidade p da part´ıcula saltar para a direita, temos: δ = E " _M X i=1 (2ω(0, i) − 1) # = M X i=1 (2p − 1) = M (2p − 1).

O parâmetro δ é decisivo para avaliar o comportamento assintótico de (Xn)n≥0.

3.2 Principais resultados

Agora serão apresentados os principais resultados encontrados na literatura para pas-seios aleatórios excitados unidimensionais, contemplando tanto o caso determin´ıstico quanto o de ambiente aleatório.

Come¸cando pela questão de recorrência e transiência, que foi inicialmente discutida para PAE em [19], temos o primeiro teorema enunciado, que fornece condi¸cões necessárias e suficientes com rela¸cão ao parâmetro δ para que o PAE seja transiente ou recorrente. Para que o teorema seja válido é preciso que o PAE satisfa¸ca pelo menos um dos seguintes conjuntos de premissas:

(A) A sequência (ω(z, •))_z∈Zé estacionária e erg´_{odica com respeito a P, todos os cookies} s˜_{ao negativos ou positivos e P[ω(0, 1) = +1 ou 0] < 1; ou}

(B) A sequência (ω(z, •))z∈Z é i.i.d com respeito a P, o número de cookies em cada s´ıtio

´_{e limitado superiormente por algum M ∈ N e P [∀i ∈ N, ∀z ∈ Z : ω(z, i) > 0] > 0} (elipticidade fraca).

Teorema 3.1. [E. Kosygina and M. P. W. Zerner [9]] Recorrência e transiência: Sob a hipótese A ou B, se (Xn)n≥0 possuir parâmetro δ ∈ [−1, 1], temos que o passeio

(30)

(q.c). Se δ > 1, o passeio ser´a transiente para a direita, ou seja, Xn n→∞

−−−→ ∞ q.c e, de modo analogo, se δ < −1 o passeio ser´a transiente para a esquerda, ou seja, Xn

n→∞

−−−→ −∞ q.c.

O segundo teorema enunciado garante a existência da velocidade para qualquer PAE, além de fornecer condi¸cões necessárias e suficientes, com rela¸cão ao parâmetro δ, para que o PAE tenha velocidade não nula no caso de ambiente i.i.d.

Teorema 3.2. [E. Kosygina and M. P. W. Zerner [9]] Lei dos Grandes N´umeros e balisticidade:

Existe um valor fixo v ∈ [−1, 1] chamado de velocidade do passeio, tal que o PAE satisfaz a seguinte igualdade:

lim

n→∞

Xn

n = v q.c. Além disso, sob a hipótese B, temos as seguintes rela¸cões:

         δ < −2 ⇔ v < 0, δ ∈ [−2, 2] ⇔ v = 0, δ > 2 ⇔ v > 0.

A primeira parte do Teorema 3.2, que garante a existˆencia da velocidade, foi na ver-dade apresentado e demonstrado inicialmente em [19].

Dos Teoremas 3.1 e 3.2 decorrem os seguintes corol´arios, para as situa¸c˜oes em que temos ambiente determin´ıstico, com M cookies por s´ıtio e todos fornecendo igual proba-bilidade p 6= 1₂ da part´ıcula saltar para a direita.

Corolário 3.1. Considere que todos os cookies forne¸cam a mesma probabilidade p 6= 1₂ de Xn saltar para a direita. Para todo p nessas condi¸cões, temos que o passeio será

recorrente se M ≤ 1 2p−1

, enquanto que ele ser´a transiente se M > 1 2p−1 .

(31)

Corol´ario 3.2. Considere que todos os cookies forne¸cam a mesma probabilidade p 6= 1₂ de Xn saltar para a direita. Para todo p nessas condi¸c˜oes, temos que a velocidade do

passeio ser´a diferente de zero, ou seja, v 6= 0 se tivermos M > 2 2p−1 .

Observa¸cão: Em [11] já havia sido demonstrado que, para ambientes determin´ısticos, sempre existe algum M0(p) tal que a velocidade do passeio será não nula para todo

M > M0. Com o aparecimento do Teorema 3.2, foi descoberto o valor exato desse M0.

Vale observar também, que o Corolário 3.2 não pode ser generalizado para um ambi-ente inicial aleatório ergódico com número médio de cookies por s´ıtio superior a M . Ou seja, é poss´ıvel construir um ambiente ω com número aleatório Mz de cookies no s´ıtio z

satisfazendo (Mz)z∈Z erg´odico e E(Mz) ≥ M ; onde para qualquer ponto inicial x0 o PAE

tenha velocidade zero.

No Apêndice A pode ser visto a constru¸cão detalhada de um ambiente ergódico com número médio de cookies por s´ıtio superior a M , de modo que uma part´ıcula transitando nesse ambiente tenha velocidade zero quase certamente, comprovando que de fato não se pode generalizar o Corólário 3.2.

Corol´ario 3.3. [T. Mountford, L. P. R. Pimentel, G. Valle [11]] Considerando que todos os cookies forne¸cam probabilidade p 6= 1₂ de Xn saltar para a direita e que o n´umero M de

cookies por s´ıtio satisfa¸ca |M (2p − 1)| ∈ (1, 2), ent˜ao o PAE ser´a transiente, mas com velocidade 0.

O terceiro teorema enunciado fornece condi¸cões suficientes com rela¸cão ao parâmetro δ para que o PAE satisfa¸ca ao Teorema Central do Limite no caso de ambiente i.i.d. Teorema 3.3. [E. Kosygina and M. P. W. Zerner [9]] Teorema Central do Limite:

Seja v a velocidade do passeio, como definida anteriormente e B_tn dado por: B_tn = √1

(32)

Se (Xn)n≥0 possuir parˆametro |δ| > 4, ent˜ao (Btn)n≥0 vai convergir para um

movi-mento browniano n˜ao degenerado.

Neste texto, ao longo dos próximos 2 cap´ıtulos, apresentaremos as provas dos Teore-mas 3.1 e 3.2, em suas versões adaptadas para o caso de ambiente determin´ıstico. Dessa forma, pretendemos dar uma abordagem mais acess´ıvel às provas desses resultados.

(33)

Cap´ıtulo 4

Recorrˆ

encia e Transiˆ

encia

Nesse cap´ıtulo será apresentado e demonstrado um critério geral que permite clas-sificar um passeio aleatório excitado, com ambiente determin´ıstico, em recorrente ou transiente. Esse resultado já é apresentado em [19] para o caso de ambiente aleatório ergódico, então esse cap´ıtulo visa simplificar a demonstra¸cão fazendo uso do fato que estamos nos restringindo apenas a ambientes determin´ısticos, com M cookies por s´ıtio e todos fornecendo a mesma probabilidade p da part´ıcula saltar para a direita.

4.1 Nota¸

c˜

oes utilizadas

Primeiramente serão listadas todas as nota¸cões necessárias para demonstra¸cão dos lemas enunciados nesse cap´ıtulo e do Teorema 4.1.

• Tk = inf{n > 0|Xn= k}, ou seja, ´e o tempo at´e ocorrer a primeira visita ao s´ıtio k

(ou primeiro retorno, no caso em que k ´e a origem do processo). • Dx n = #{m<n|Xm=x} X i=1 (2ω(x, i) − 1) = m´ın{M,#{m<n|Xm=x}} X i=1 (2p − 1),

denota o total de drift obtido pela part´ıcula em visitas ao s´ıtio x até o instante n. Observe que não é contado um poss´ıvel consumo de cookie no tempo n.

• D+ n = X x≥0 Dx_n D_n−=X x<0 Dx_n,

denotam respectivamente o total de drift obtido pela part´ıcula nos s´ıtios n˜ao nega-tivos e nos s´ıtios neganega-tivos, at´e o instante n.

(34)

• Dn = Dn++ D −

n, denota o drift total obtido pela part´ıcula at´e o instante n.

• Rk = {Xn = k i.v.} = lim sup n→∞

{Xn= k}, ou seja, representa o evento em que

o s´ıtio k ´e visitado uma infinidade de vezes. Se P0,M,p[Rx] = 1, diremos que x ´e

(M, p)-recorrente e se P0,M,p[Rx] = 0, diremos que x ´e (M, p)-transiente.

• Defina Tk,0 = −1 e Tk,m = inf{n > Tk,m−1|Xn ≥ k}, ∀m ≥ 1. Essas vari´aveis

representam os tempos em que a part´ıcula está transitando na região à direita do s´ıtio k.

Observa¸c˜ao: Para simplificar a nota¸c˜ao, vamos passar a escrever Pk = Pk,M,p e Ek =

Ek,M,p, al´em de chamar (M, p)-recorrente apenas de recorrente e (M, p)-transiente

ape-nas de transiente; suprimindo assim os ´ındices M e p, que são constantes na defini¸cão do processo. Também estaremos supondo a partir daqui que p > 1₂.

4.2 Crit´

erio para recorrˆ

encia e transiˆ

encia

Inicialmente será apresentado e demonstrado um conjunto de lemas que serão ne-cessários ao longo da demonstra¸cão do principal resultado desse cap´ıtulo, o Teorema4.1. Lema 4.1. O processo (Mn)n≥0 = Xn − Dn é um martingal com respeito a filtragem

(Fn)n≥0 gerada por (Xn)n≥0, ou seja, Fn := σ(X1, . . . , Xn).

Demonstra¸cão. Para isso ´_{e preciso mostrar que, ∀n ∈ N, M}n é mensurável com respeito

a Fn, ´e integr´avel e E(Mn+1|Fn) = Mn.

Vamos come¸car verificando que Mn = Xn− Dn ´e σ(X1, . . . , Xn)-mensur´avel. Temos

que Xn é trivialmente mensurável com respeito a essa sigma-álgebra. Para o termo Dn,

note que conhecido o ambiente inicial e toda trajet´oria da part´ıcula (X1, . . . , Xn), temos

Dnum valor fixo conhecido. Ou seja, Mné uma fun¸cão de (X1, . . . , Xn), que são variáveis

(35)

Quanto a integrabilidade, ela ´e imediata, pois |Mn| = |Xn− Dn| ≤ |Xn| + |Dn| ≤ 2n.

Por fim, vamos provar a igualdade da esperan¸ca condicional. Note que demonstrar a igualdade equivale a mostrar que E(Mn+1− Mn|Fn) = 0. Como as vari´aveis Xn+1− Xn

só podem assumir os valores −1 ou 1 e as variáveis dn = Dn+1− Dn só podem assumir

os valores 0 ou 2p − 1 (equivale respectivamente a ω(Xn, #{j ≤ n|Xj = Xn}) = 1₂ ou p),

Portanto, Mn´e de fato um martingal.

Lema 4.2. Considere um ambiente determin´ıstico, ent˜_{ao para todo x, k ∈ Z com k ≥ x,} temos que Ex[DTk] = k − x. Ou seja, o drift total consumido pela part´ıcula para percorrer

uma distância de tamanho k é em média igual a k.

Demonstra¸c˜ao. Como inicialmente todos os s´ıtios possuem o mesmo n´umero de cookies; e de mesma intensidade, podemos sem perda de generalidade transladar a origem desse processo em x unidades para esquerda e provar que E0[DTk] = k, para qualquer k ≥ 0.

(36)

Pelo Lema4.1, temos que (Mn)n≥0 = Xn−Dn´e um martingal com respeito a filtragem

(Fn)n≥0 gerada por (Xn)n≥0. Com isso, aplicando o Teorema da parada opcional, que

pode ser visto na se¸c˜ao 5.7 de [4], para todo n ≥ 0, temos:

0 = E0[MTk∧n] = E0[XTk∧n] − E0[DTk∧n] =

= E0[XTk∧n, Tk ≤ n] + E0[XTk∧n, Tk > n] − E0[DTk∧n] ⇒

⇒ E0[DTk∧n] = kP0[Tk≤ n] + E0[XTk∧n, Tk > n].

Note que as variáveis DTk∧n são monotonicamente não decrescentes com rela¸cão a n,

ou seja, DTk∧n≤ DTk∧(n+1) para todo n ∈ N , ent˜ao quando n → ∞, segue do Teorema de

Convergência Monótona que o termo E0[DTk∧n] vai convergir para E0[DTk]. Além disso,

como os Tk’s s˜ao finitos q.c, temos que P0[Tk ≤ n] converge para 1, logo:

E0[DTk] = k + lim

n→∞E0[Xn, Tk > n]. (4.1)

Com isso resta mostrar apenas que lim

n→∞E0[Xn, Tk > n] = 0.

Para todo n ≥ 0, temos: min

m<Tk

{Xm} ≤ XnI{n<Tk} < k, (4.2)

ou seja, nessas condi¸cões (Xn)n≥0é dominado inferiormente pela variável min m<Tk

{Xm} e

su-periormente por k. Logo, como lim

n→∞XnI{Tk>n} = 0, segue pelo Teorema da Convergˆencia

Dominada que a afirma¸c˜ao estar´a demonstrada se Yk = − min m<Tk

{Xm} possuir esperan¸ca

finita. Ent˜ao:

E0[Yk] ≤ E0 2D_T_k 2p − 1 + E0 Yk, Yk > 2DTk 2p − 1 = = 2 2p − 1E0[DTk] + X x≥1 xP0 Yk= x, x(2p − 1) 2 > DTk .

Note que o primeiro termo dessa soma é finito, pois combinando a equa¸cão (4.1) com a restri¸cão imposta pela inequa¸cão (4.2), segue que E0[DTk] ≤ 2k.

(37)

Para o 2a termo, no evento dentro da probabilidade, observe que, se Yk = x, ent˜ao

T−x < Tk. Da´ı DTk ≥

0

X

j=−x

(2ω(j, 1) − 1) = x(2p − 1), que implica em: P0 Yk = x, DTk < x(2p − 1) 2 ≤ P0 Yk= x, x(2p − 1) < x(2p − 1) 2 = 0, e consequentemente o segundo termo se anula.

Logo, E0 − min m<Tk {Xm} < ∞ e portanto E0[DTk] = k.

Lema 4.3. Considere (M,p) tal que 0 seja transiente, ent˜ao: lim

k→∞

E0[D_T+_k]

k = 1. Demonstra¸c˜ao. Como E0[DT+k] = E0[DTk] − E0[D

− Tk], segue que: lim k→∞ E0[DT+k] k = limk→∞ E0[DTk] k − limk→∞ E0[D−Tk] k . Pelo Lema 4.2, temos que lim

k→∞

E0[DTk]

k = 1.

Agora, como 0 é transiente, temos que após um determinado tempo t finito q.c, a part´ıcula salta do estado 0 para o 1 e nunca mais retorna ao 0. Com isso, ela nunca mais visita estados negativos. Então:

lim k→∞ E0[D−Tk] k ≤ limk→∞ E0 −min n<Tk {Xn} M (2p − 1) k = 0, pois E0 −min n<Tk {Xn}

(38)

Lema 4.4. Seja x1, x2 ≤ k e ω1, ω2 ∈ Ω+ tal que ω1(x) = ω2(x) para todo x ≥ k. Ent˜ao

(XTk,m)m≥0 tem a mesma distribui¸c˜ao sob Px1,ω1 e Px2,ω2. Al´em disso, Px1,ω1(Rk) =

Px2,ω2(Rk). Ou seja, esse lema nos garante que as excursões à direita do s´ıtio k não

depende do ambiente que fica `a esquerda dele.

Para verificar essa afirma¸c˜ao, basta acoplar os processos Xω1

Tk,m e X

ω2

Tk,m, que estar˜ao

evoluindo sempre juntos, uma vez que o ambiente encontrado na região à direita do s´ıtio k é igual para ambos os processos, independente de quantos cookies foram consumidos à esquerda de k pela part´ıcula em cada um desses ambientes.

Lema 4.5. Seja x, y, k ∈ Z com x < y, ent˜ao Pk[Ry] ≥ Pk[Rx].

Demonstra¸cão. Seja Tx,r(r ≥ 1) o tempo até a r-ésima visita ao estado x. Supondo Rx

ocorrendo, temos que todos os tempos Tx,r s˜ao finitos. Agora defina os seguintes eventos:

Ar= {Xn visita y entre Tx,r−1 e Tx,r},

Br= {Zn visita y entre Tx,r−1 e Tx,r},

onde Zn é o passeio aleatório simples e simétrico em Z (P.A.S.S.).

Temos que P (Ar i.v.) ≥ P (Br i.v.), pois a situa¸c˜ao mais desfavor´avel poss´ıvel para

ocorrência de Ar acontece quando não há mais cookies entre x e y, fazendo com que

(Xn)n≥0 se comporte como um P.A.S.S na regi˜ao [x, y] (pode ser verificado formalmente

por acoplamento). Al´em disso, vale observar que o evento Rx tamb´em vai ocorrer no

processo Zn, pois o P.A.S.S ´e recorrente. Avaliando a probabilidade de ocorrˆencia de Br,

temos que:

P (Br) = P (Br|ZTx,r−1+1 = x − 1)P (ZTx,r−1+1 = x − 1) +

+ P (Br|ZTx,r−1+1 = x + 1)P (ZTx,r−1+1 = x + 1).

Se a part´ıcula saltar do estado x para x − 1 (o que ocorre com probabilidade 1₂), j´a se torna imposs´ıvel que (Xn)n≥0 alcance o estado y antes de retornar ao x. Logo, o primeiro

termo da soma acima tem valor zero. J´a o segundo termo ´e igual a (x+1)−x_y−x ×1 2 =

1 2(y−x)

(39)

4.5.1). Portanto:

P (Br) = _2(y−x)1 , que independe do ´ındice r.

Al´em disso, como decorre da propriedade de Markov que os eventos Br s˜ao

indepen-dentes, temos pelo 2o Lema de Borel Cantelli que P (Br i.v.) = 1, observe: ∞ X r=1 P (Br) = ∞ X r=1 1 2(y − x) = ∞.

A partir disso, temos que P (Ar i.v.) = 1 tamb´em. Agora, como o evento Aracontecer

infinitas vezes implica na ocorrˆencia de Ry, segue que Rx ⊆ Ry e portanto Pk[Ry] ≥

Pk[Rx].

Lema 4.6. No PAE temos que todo estado x ≥ 0 será recorrente q.c ou todo x ≥ 0 será transiente q.c. Quando todo x ≥ 0 for recorrente q.c, (Xn)n≥0 será dito recorrente e no

outro caso (Xn)n≥0 ser´a dito transiente.

Demonstra¸c˜_{ao. Seja x, y, k ∈ Z, com y > x. Se P}k(Ry) = 0, segue direto do Lema 4.5

que Pk(Rx) = 0 tamb´em. Se Ry ocorre, temos que Xn = y uma infinidade de vezes e a

cada uma dessas visitas ele tem probabilidade 1₂ ou 1 − p de saltar para y − 1, ent˜ao:

∞ X n=1 Pk[(Xn, Xn+1) = (y, y − 1)|Ry] ≥ ∞ X n=1 (1 − p) = ∞.

Al´em disso, como a escolha da part´ıcula de saltar para y − 1 a cada visita a y ocorre de forma independente das escolhas anteriores, segue do 2a _{Lema de Borel Cantelli que}

Pk[(Xn, Xn+1) = (y, y − 1) i.v.|Ry] = 1, ou seja, Ry ⊆ Ry−1. Realizando esse argumento

de forma recursiva, temos que Ry ⊆ Rx. Por fim, como pelo Lema 4.5 vale a rela¸c˜ao

Ry ⊇ Rx tamb´em, conclui-se que Pk[Ry] = Pk[Rx].

Da´ı, se tivermos Pk[Ry] = 0 para algum y ∈ Z, segue que Pk[Rz] = 0 para todo z ∈ Z

(40)

Agora considere que Pk[Ry] > 0 para algum y ∈ Z. Temos que mostrar que, para qualquer k ∈ Z, Pk[Ry] = 1. Como Ry ∈ σ [ z≥0 FTz !

e F = (FTz)z≥0 ´e uma filtra¸c˜ao,

temos que Px(Ry|FTz) = Ex[IRy|FTz]z≥0 ´e um F -martingal. Com isso, pelo estudo de

convergˆencia para martingais, mais especificamente dos Teoremas 2.6.4 e 2.6.6 de [8], segue quase certamente que:

I{Ry} = lim

z→∞Px[Ry|FTz] = limz→∞Px[Rz|FTz].

Seja ˜ω(xt) o ambiente alterado por uma part´ıcula que percorreu uma determinada

trajet´oria xt, at´e o tempo t. Note que, condicionado a FTz, sabemos exatamente como

está o ambiente, pois para a região à esquerda de z, conhecemos a trajetória da part´ıcula e consequentemente quantos cookies restaram em cada s´ıtio; e para região à direita de z, o ambiente não foi alterado. Dessa forma, segue pela propriedade forte de Markov e pelo Lema 4.4_{, que para qualquer k ∈ Z:}

lim

z→∞Px[Rz|FTz] = limz→∞Pz,˜ω(xTz)[Rz] = limz→∞Pk[Rz] = limz→∞Pk[Ry] = Pk[Ry].

Logo, Pk[Ry] = I{Ry}, implicando em Pk[Ry] = 1, pois foi assumido que Pk[Ry] > 0; e

com isso, temos que (Xn)n≥0 ´e recorrente.

Lema 4.7. Temos que (Xn)n≥0 ser´a recorrente em um ambiente com M = 1, qualquer

que seja p ∈ (0, 1).

Demonstra¸cão. Seja k > 0 o primeiro s´ıtio à direita da origem em que a part´ıcula escolha saltar para esquerda (k − 1), o que ocorre com probabilidade 1 − p > 0. Como M = 1, a part´ıcula necessariamente terá esgotado todos os cookies em [0, k] quando chegar em k. Dessa forma, a probabilidade da part´ıcula estando no s´ıtio k − 1 retornar ao 0 antes de k é dado por 1_k, pela ru´ına do jogador. Agora defina o evento:

Ak= {(Xn)n≥0 ao chegar em k, salta para k − 1 e depois visita 0 antes de k}

Note que os eventos Aks˜ao independentes, pois a escolha de salto ao chegar no s´ıtio k

(41)

a [0, k] é markoviano, pois se comporta como um passeio aleatório simples simétrico. Temos então pelo 2o _{Lema de Borel Cantelli que P (X}

n = 0 i.v.) = 1, pois: ∞ X n=1 P (Xn = 0) ≥ ∞ X k=1 P (Ak) = ∞ X k=1 1 k(1 − p) = ∞.

Logo, com M = 1 temos que (Xn)n≥0sempre retorna a origem q.c e portanto o estado

0 ´e recorrente. Pelo Lema4.6, segue que (Xn)n≥0 ´e recorrente.

Lema 4.8. Como ωM,p é um ambiente ergódico, então:

ξ = (ξk)k≥0 = ω(x + k)x≥0, (XTk,m− k)m≥0

k≥0

´

e estacionário e ergódico. Além disso, para qualquer fun¸cão g, temos que a sequência (g(ξk))k≥0 também é estacionária e ergódica.

Demonstra¸cão. A estacionariedade é elementar, uma vez que todos os s´ıtios possuem número igual de cookies e que fornecem a mesma probabilidade p da part´ıcula saltar para a direita, então o processo é invariante por transla¸cões no espa¸co.

Seja β um subconjunto do contradom´ınio de ξ, mensurável e invariante por transla¸cão. Então para provar ergodicidade é preciso mostrar que P0[(ξk)k≥N ∈ β] ∈ {0, 1}.

Lem-brando que TN representa o tempo de primeira visita ao estado N , observe que esses

tempos s˜ao todos finitos quase certamente e com isso, note que:

P0[(ξk)k≥N ∈ β|FTN] = PN[(ξk)k≥0 ∈ β] = P0[(ξk)k≥N ∈ β], (4.3)

pois decorre do Lema 4.4 que tanto o ambiente quanto o processo Xn, `a direita de N ,

independem da trajetória feita pela part´ıcula até atingir N pela primeira vez, justificando a primeira igualdade. Já a segunda decorre da estacionariedade de ξk.

Como P0[(ξk)k≥N ∈ β] independe de N pela estacionariedade de ξk e invariˆancia de β

por transla¸cão, segue que essa probabilidade será quase certamente igual a uma constante c, implicando em P0[(ξk)k≥N ∈ β|FTN] = c também, pela equa¸cão (4.3).

(42)

Agora, conhecido o ambiente inicial ω, temos {(ξk)k≥N ∈ β} ∈ σ

S

˜

NFTN˜, ent˜ao

se-gue do Teorema de Convergˆencia para Martingais, que P0[(ξk)k≥N ∈ β|FTN˜] → I{(ξk)k≥N∈ β}

quase certamente, quando N → ∞. Logo, temos que c = 0 ou c = 1 q.c, implicando em P0[(ξk)k≥N ∈ β] ∈ {0, 1}.

Lema 4.9. Para qualquer M ≥ 1 e p ∈ (1₂, 1), temos E0[D∞x ] ≤ 1 para todo x ≥ 0.

Demonstra¸c˜ao. Seja x ≥ 0 e 0 ≤ h < k, ent˜ao temos q.c que: DTk ≥ D + Tk = k−1 X x=0 D_Tx k ≥ k−1−h X x=0 D_Tx k ≥ k−1−h X x=0 Dx_T x+h,

pois Tx+h < Tk para 0 ≤ x < k − h. Ent˜ao, pelo Lema 4.2, temos que:

k = E0[DTk] ≥

k−1−h

X

x=0

E0[DTxx+h].

Note que a sequˆencia (Dx

Tx+h)x≥0 é estacionária, que decorre da aplica¸cão do Lema

4.8 na fun¸c˜ao abaixo, para todo h ≥ 0: g((ω(x))x≥0, (xm)m≥0) =

#{m<Th|xm=0}

X

i=1

(2ω(0, i) − 1). Com isso, temos que:

k−1−h X j=0 E0[DTjj+h] = (k − h)E0[D x Tx+h] ⇒ E0[D x Tx+h] ≤ k k − h para todo k > h ≥ 0. Como a sequência de variáveis aleatórias (D_Tx

x+h)h≥0´e monotonicamente n˜ao decrescente

com respeito a h e Dx

∞= lim h→∞D

x

Tx+h, segue do Teorema de Convergˆencia Mon´otona que:

E0[D∞x ] = lim h→∞E0[D

x

(43)

Teorema 4.1. Para M ≥ 1 e p ∈ 1₂, 1, temos que:

E0[Dx∞] = min{1, M (2p − 1)} para todo x ≥ 0. (4.4)

Em particular,

(Xn)n≥0 ´e recorrente se, e somente se, M (2p − 1) ≤ 1. (4.5)

Vale observar que é feita a restri¸cão de p < 1 porque se p assumir valor 1, temos cla-ramente que o processo (Xn)n≥0 será transiente, mesmo com M = 1 e consequentemente

M (2p − 1) = 1, pois a part´ıcula ir´a saltar sempre para a direita de modo determin´ıstico. Utilizando esse teorema, podemos classificar instantaneamente um passeio aleat´orio excitado em ambiente determin´ıstico entre recorrente ou transiente, como por exemplo:

Se M = 3 e p = 0.6, temos M (2p − 1) = 0.6 ≤ 1, logo (Xn)n≥0 seria recorrente.

Se M = 4 e p = 0.7, temos M (2p − 1) = 1.6 > 1, logo (Xn)n≥0 seria transiente.

Antes da prova formal, a intui¸cão por trás desse resultado é a seguinte: Considerando o passeio aleatório simples assimétrico com probabilidade p > 1₂ da part´ıcula saltar para a direita, temos um processo transiente em que o número médio de visitas a um estado x > 0 é dado por 1

2p−1, conforme visto no Resultado 2.5. Logo, se tomarmos

um ambiente ω determin´ıstico com M > _2p−11 , temos que a part´ıcula em média não vai esgotar os cookies de cada s´ıtio, se comportando de modo similar a um passeio aleatório simples assimétrico com p > 1₂, que é transiente. Analogamente, se M ≤ _2p−11 , em média a part´ıcula esgota os cookies de cada s´ıtio, passando a se comportar como um passeio aleatório simples simétrico, que é recorrente.

Demonstra¸c˜ao. Aplicando o Lema 4.8 em: g((ω(x)x≥0, (Xm)m≥0) = min{M,#{m|Xm=0}} X i=1 (2p − 1), temos que (Dk

∞)k≥0 ´e estacion´ario, logo, podemos assumir x = 0 para demonstrar a

afirma¸c˜ao (4.4).

Pelo Lema 4.6, temos que (Xn)n≥0 ´e recorrente ou transiente, ent˜ao vamos come¸car

(44)

s´ıtio 0 q.c, resultando em E0[D∞0 ] = D0∞ = M (2p − 1). Logo, pelo Lema 4.9 segue que

M (2p − 1) ≤ 1.

Agora suponha (Xn)n≥0 transiente. Ent˜ao, pela estacionariedade de (Dk∞)k≥0, temos:

E0[D∞0 ] = 1 k k−1 X j=1 E0[D∞j ] ≥ E0[D+Tk] k .

Pelo Lema4.3temos que E0[D∞0 ] ≥ 1, enquanto que o Lema4.9garante que E0[D∞0 ] ≤ 1.

Logo, conclui-se que E0[D∞0 ] = 1, encerrando a demonstra¸c˜ao da afirma¸c˜ao (4.4).

Agora vamos mostrar a afirma¸c˜ao (4.5).

Para (Xn)n≥0 recorrente j´a foi verificado acima que temos M (2p − 1) ≤ 1. Resta

ent˜ao provar a parte de (Xn)n≥0 transiente.

Considerando (Xn)n≥0 transiente, temos pelo Lema 4.7 que M ≥ 2, ent˜ao nem todo

drift obtido por visitas ao s´ıtio 0 estar´a contido em um ´unico cookie.

Agora note que P0[Xn > 0, para todo n a partir de algum N ] > 0, pois (Xn)n≥0 ´e

transiente. Porém, para isso ocorrer, é preciso que após a part´ıcula deixar o s´ıtio 0 pela primeira vez, essa probabilidade já seja positiva, uma vez que a cada retorno ao estado 0 a part´ıcula encontrará um ambiente à direita dela com número de cookies menor ou igual ao que tinha quando ela visitou 0 anteriormente e consequentemente terá uma probabilidade maior ou igual de retornar ao 0. Com isso, temos a afirma¸cão válida já para N = 1, ou seja, P0[Xn> 0; ∀n] > 0 e portanto, segue que:

0 < P0[Xn> 0; ∀n] = P0[D0∞= 2p − 1] ≤ P0[D0∞< M (2p − 1)].

Como D0

∞ ≤ M (2p − 1), segue que E0[D0∞] < M (2p − 1). Al´em disso, E0[D0∞] = 1,

(45)

Cap´ıtulo 5

Balisticidade

Nesse cap´ıtulo serão apresentados e demonstrados dois teoremas associados a veloci-dade de um passeio aleatório excitado. O primeiro deles, conhecido como Lei dos Grandes Números para passeios aleatórios excitados, garante a existência da velocidade para qual-quer ambiente determin´ıstico e já foi apresentado em [19] para o caso geral de ambiente aleatório ergódico. Já o segundo, fornece um critério geral que permite identificar se um passeio aleatório excitado, em ambiente determin´ıstico, possui velocidade nula ou posi-tiva e já foi apresentado em [9] para o caso geral de ambiente aleatório ergódico. Então, esse cap´ıtulo visa simplificar as demonstra¸cões desses teoremas, fazendo uso da restri¸cão para ambiente determin´ıstico, com M cookies por s´ıtio e todos eles fornecendo mesma probabilidade p da part´ıcula saltar para a direita.

Observa¸cão: Como estamos considerando os cookies fornecendo probabilidade p > 0.5 da part´ıcula saltar de x para x + 1, falaremos nesse cap´ıtulo sempre em velocidade nula ou positiva, mas o caso de velocidade negativa é análogo, sendo poss´ıvel de ocorrer quando p < 0.5.

Para a demonstra¸cão do segundo teorema desse cap´ıtulo, é preciso utilizar uma rela¸cão entre passeios aleatórios excitados e processos de ramifica¸cão com migra¸cão, então foi in-troduzida a Se¸cão 5.2 para explicar um pouco sobre esses processos e como funciona essa rela¸cão entre eles.

(46)

5.1 Lei dos Grandes N´

umeros para Passeios Aleat´

orios

Excitados

Nessa se¸cão será apresentado o Teorema5.1, que trata da existência do limite de Xn

n ,

denominado velocidade do passeio. Para a demonstra¸cão desse teorema, será necessário a utiliza¸cão do Lema 5.1, que será apresentado e provado a seguir.

Lema 5.1. Temos que lim

n→∞ Xn n = v q.c. se e somente se limk→∞ Tk k = 1 v q.c. Demonstra¸c˜ao. Note que XTk = k, ent˜ao podemos reescrever

Tk

k como sendo Tk

X_Tk (lembre

que Tk ´e finito q.c.).

Vamos come¸car mostrando que lim

n→∞ Xn n = v ⇒ limk→∞ XTk Tk = v. Para isso, basta notar que X_TTk

k é uma subsequência (aleatória) de

Xn

n (composta dos

termos de Xn que s˜ao primeira visita a algum estado). Como lim n→∞

Xn

n = v por hip´otese, segue que toda subsequˆencia de Xn

n convergir´a para esse mesmo valor v.

Agora vamos provar a implica¸c˜ao no outro sentido. Para n fixo, existe k = k(n) tal que Tk ≤ n ≤ Tk+1. Al´em disso, para n → ∞, temos k → ∞ e consequentemente

Tk → ∞. Com isso, nosso objetivo vai ser provar que:

lim n→∞ XTk Tk = v ⇒ lim n→∞ Xn n − v = 0.

Primeiramente, vamos provar para o caso em que v = 0. Nessa situa¸c˜ao temos de mostrar que lim

n→∞ Xn n = 0.

Pelo Lema 4.6 temos que Xn ser´a recorrente ou transiente. No caso de recorrˆencia,

a verifica¸c˜ao ´e imediata, pois ocorrendo lim

n→∞ Xn n 6= 0, ter´ıamos lim n→∞|Xn| = ∞, que

contraria a hip´otese de recorrˆencia. No caso de Xn transiente, temos:

(47)

lim n→∞ Xn n ≤ lim n→∞ max j≤n(Xj) + min j≤n(Xj) n ≤ limn→∞ (k + 1) + min j≤n(Xj) Tk ≤ ≤ lim n→∞ k + 1 Tk + lim n→∞ min j (Xj) Tk .

Temos que esse dois limites são ambos iguais a zero, o primeiro pela hipótese do lema quando v = 0 e o segundo pela hipótese de transiência. Logo, o lema está provado para o caso v = 0.

Agora vamos provar para o caso em que v > 0. lim n→∞ Xn n − v = lim n→∞ Xn n + XTk Tk −XTk Tk − v ≤ lim n→∞ Xn n − XTk Tk + lim n→∞ XTk Tk − v . Note que o último termo da expressão anterior é igual a zero pela hipótese do lema, restando então mostrar que o penúltimo termo também vale zero. Para isso, vamos somar e subtrair o termo XTk

n dentro do m´odulo. Dessa forma, temos que:

lim n→∞ Xn n − XTk Tk +XTk − XTk n ≤ lim n→∞ Xn− XTk n + lim n→∞ XTk n − XTk Tk .

Para o primeiro termo do lado direito da desigualdade, vamos utilizar o fato que |Xn− XTk| ≤ |Tk+1− Tk|, pois a cada instante de tempo a part´ıcula se movimenta apenas

uma unidade; e com isso, o máximo que a part´ıcula consegue se afastar de k até o instante n ∈ [Tk, Tk+1) está limitado pelo tempo gasto até o s´ıtio k + 1 ser visitado, após k ter sido

alcan¸cado. Para o segundo, vamos utilizar que k = XTk ≤ Tk, pois a part´ıcula requer um

tempo de pelo menos k para atingir o s´ıtio k pela primeira vez. Com isso: lim n→∞ Xn− XTk n + lim n→∞ XTk n − XTk Tk ≤ lim n→∞ Tk+1− Tk n + lim n→∞ XTk Tk (Tk− n) n ≤ ≤ lim n→∞ Tk− Tk+1 n + lim n→∞ (Tk− Tk+1) n = lim n→∞ 2 |Tk− Tk+1| n ≤ limn→∞ 2 |Tk− Tk+1| k .

(48)

Assim, precisamos agora mostrar que esse ´ultimo limite ´e igual a zero. Para isso vamos fazer uso da seguinte igualdade:

Tk k − Tk+1 k + 1 = (k + 1)Tk− kTk+1 k(k + 1) = (k + 1)(Tk− Tk+1) k(k + 1) − Tk+1 k(k + 1) = = Tk− Tk+1 k − Tk+1 k(k + 1). Devido a essa igualdade, podemos escrever:

lim n→∞ |Tk− Tk+1| k ≤ limn→∞ Tk k − Tk+1 k + 1 + lim n→∞ Tk+1 k(k + 1) .

Note que primeiro limite do lado direito da desigualdade é igual a zero pela hipótese do lema. Além disso, o segundo limite também é igual a zero, pois Tk+1

k+1 →

1

v < ∞ por

hipótese, já que estamos no caso v > 0 enquanto que 1_k → 0. Com isso, está provada a implica¸cão do lema também para v > 0.

Teorema 5.1. Seja ω(x) um ambiente determin´ıstico, ent˜ao temos q.c. que: lim n→∞ Xn n = v, onde 1 v = X j≥1 P0[Tj+1− Tj ≥ j]

Demonstra¸c˜ao. Pelo Lema5.1, podemos provar o teorema mostrando que Tk

k →

1

v quando

k → ∞. Para isso, note que Tk pode ser escrito como:

Tk= k

X

j=1

(Tj − Tj−1).

Vamos mostrar que tanto o limite inferior quanto o superior, quando k → ∞, da sequˆencia 1 k k X j=1 (Tj − Tj−1) s˜ao iguais a X j≥1 P0[Tj+1− Tj ≥ j].

Come¸cando pelo limite inferior, temos: lim inf k→∞ 1 k k X j=1 (Tj− Tj−1) ≥ sup t≥0 lim inf k→∞ 1 k k X j=t+1 ((Tj− Tj−1) ∧ t).

(49)

Aplicando o Lema 4.8, para todo t ≥ 0, na fun¸c˜ao:

g((ω(x))x≥0, (xn)n≥0) = ((Tt+1− Tt)((xn)n≥0) ∧ t),

temos que a sequência ((Ti+1−Ti)∧t)i≥té estacionária e ergódica para todo t ≥ 0. Repare

que limitando os valores de Ti+1− Ti por t, garantimos que a part´ıcula s´o transitar´a pela

regi˜ao [i − t, i] (apenas s´ıtios que ela j´a visitou antes) entre os tempos Ti e Ti+1, o que

nos permitiu aplicar o Lema 4.8. Com isso, utilizando o Teorema Erg´odico, que pode ser visto na Se¸c˜ao 7.2 de [4], temos:

sup t≥0 lim inf k→∞ 1 k k X j=t+1 ((Tj−Tj−1)∧t) = sup t≥0 E0[(Tt+1−Tt)∧t] = sup t≥0 t X j=1 P0[(Tt+1−Tt)∧t ≥ j].

Pela estacionariedade de ((Ti+1− Ti) ∧ t)i≥t, para todo t ≥ 0, segue que:

sup t≥0 t X j=1 P0[(Tt+1− Tt) ∧ t ≥ j] = sup t≥0 t X j=1 P0[(Tt+1− Tt) ∧ j ≥ j] = = sup t≥0 t X j=1 P0[(Tj+1− Tj) ∧ j ≥ j] = sup t≥0 t X j=1 P0[(Tj+1− Tj) ≥ j] = X j≥1 P0[Tj+1− Tj ≥ j].

Agora, para o limite superior, temos que: lim inf k→∞ 1 k k X j=1 (Tj − Tj−1) ≤ lim sup k→∞ 1 k k X j=1 (Tj− Tj−1) = = lim sup k→∞ k X j=1 X h≥1 I{Tj−Tj−1≥h}≤ X h≥1 lim sup k→∞ k X j=1 I{Tj−Tj−1≥h}.

Aplicando o Lema 4.8, na fun¸c˜ao:

g((ω(x))x≥0, (xn)n≥0) = I{(Tj+1−Tj)((xn)n≥0)≥j},

temos que a sequência (I{Ti+1−Ti≥j})i≥j é estacionária e ergódica para j ≥ 1. Com isso,