PROCESSO SELETIVO 2006
QUESTÕES OBJETIVAS
MATEMÁTICA
01 - O serviço de atendimento ao consumidor de uma concessionária de veículos recebe as reclamações dos clientes via telefone. Tendo em vista a melhoria nesse serviço, foram anotados os números de chamadas durante um período de sete dias consecutivos. Os resultados obtidos foram os seguintes:
Dia domingo segunda Terça quarta quinta sexta sábado Número de
chamadas 3 4 6 9 5 7 8 Sobre as informações contidas nesse quadro, considere as seguintes afirmativas:
I. O número médio de chamadas dos últimos sete dias foi 6. II. A variância dos dados é 4.
III. O desvio padrão dos dados é 2 . Assinale a alternativa correta.
*) Somente as afirmativas I e II são verdadeiras.
-) Somente as afirmativas I e III são verdadeiras. -) Somente as afirmativas II e III são verdadeiras. -) Somente a afirmativa I é verdadeira.
-) As afirmativas I, II e III são verdadeiras.
Comentário:
01.Sendo M a média aritmética, V a variância e DPo desvio padrão, temos: I. Verdadeira: M =3 4 6 9 5 7 8 7 + + + + + + M =42 7 M = 6 II. Verdadeira: V =(3 6) (4 6) (6 6) (9 6) (5 6) (7 6) (8 6) 7 2 2 2 2 2 2 2 − + − + − + − + − + − + − V = 4 III. Falsa: Dp= V Dp= 4 Dp= 2
nos valores de R$ 5,00, R$ 10,00 e R$ 20,00. Considere as seguintes afirmativas referentes a um saque no valor de R$ 300,00:
I. Existe somente uma maneira de compor esse valor com 60 cédulas. II. Existem somente quatro formas de compor esse valor com 20 cédulas.
III. Existe somente uma maneira de compor esse valor com a mesma quantidade de cédulas de cada um dos três valores disponíveis.
Assinale a alternativa correta.
*) Somente as afirmativas I e II são verdadeiras.
-) Somente a afirmativa I é verdadeira.
-) Somente as afirmativas II e III são verdadeiras. -) Somente as afirmativas I e III são verdadeiras. -) As afirmativas I, II e III são verdadeiras.
Comentário: sejam x cédulas de R$ 5,00 y cédulas de R$ 10,00 z cédulas de R$ 20,00 temos: 5x + 10y + 20z = 300 I. Verdadeira 5x 10y 20z 300 x y z 60 (1) + + = + + = eliminando x: 5y + 15z = 0 ∴ y = – 3z substituindo em (1): x + (–3z) + z = 60 ∴ x = 60 + 2z só é possível se z = 0, daí x = 60 e y = 0 II. Verdadeira 5x 10y 20z 300 x y z 20 (2) + + = + + = eliminando o x: 5y + 15z = 200 ∴ y = 40 – 3z substituindo em (2): x + 40 – 3z + z = 20 ∴ x = 2z – 20 as respostas serão: x y z 0 10 10 2 7 11 4 4 12 6 1 13 Logo, há 4 soluções. III. Falsa 5x 10y 20z 300 x y z + + = = = substituindo: 5x + 10x + 20x = 300 35x = 300 x =60 7
∉
Z03 - Sendo λλλλ a circunferência de equação x2++++y2−−−−6y++++7====0 no plano cartesiano, considere as seguintes afirmativas: I. O raio de λλλλ é 7 .
II. O centro de λλλλ é o ponto C ====(0 ,3).
III. A reta r tangente a λλλλ no ponto P ====(1 ,2) tem equação y====1++++x. Assinale a alternativa correta.
*) Somente as afirmativas II e III são verdadeiras.
-) Somente a afirmativa II é verdadeira.
-) Somente as afirmativas I e III são verdadeiras. -) Somente as afirmativas I e II são verdadeiras. -) As afirmativas I, II e III são verdadeiras.
Comentário:
x2+ y2– 6y + 7 = 0⇒ x2+ (y – 3)2= 2
Logo, o centro C = (0,3) e raio R = 2 I. Falsa
II. Verdadeira III. Verdadeira
O ponto P = (1,2) eλ, logo temos a figura:
MCP=∆ ∆ y x 3 2 0 1 1 = − − = − CP⊥t ⇒ mt= +1 A equação da reta t é: y – 2 = 1 . (x – 1) y = x + 1
04 - Um dado é lançado duas vezes. No primeiro lançamento obtém-se um número b, e no segundo lançamento obtém-se um número c. Qual é a probabilidade de o polinômio x2 ++++bx++++c====0 NÃO ter raiz real?
*) 17/36 -) 1/4 -) 11/36 -) 1/2 -) 1/3 Comentário: x2+ bx + c = 0
A equação não tem raiz real se, e somente se,∆ < 0. ∆ < 0
b2–4ac < 0 b2– 4.1.c < 0 b2< 4c
No lançamento de dois dados, existem 6.6 = 36 resultados possíveis. A tabela seguinte apresenta os resultados que sa-tisfazem b2< 4c. b c nº de resultados 3 1; 2 2 4 1; 2; 3 3 5 1; 2; 3; 4; 5; 6 6 6 1; 2; 3; 4; 5; 6 6 Logo, a probabilidade é p =2 3 6 6 36 + + + ou p =17 36
05 - Um recipiente com água tem, internamente, o formato de um cilindro reto com base de raio R cm. Mergulhando nesse recipiente uma esfera de metal de raio r cm, o nível da água sobe
16 R 9
cm. Qual é o raio dessa esfera?
*) cm 4 R 3 r = -) cm 16 R 9 r = -) cm 5 R 3 r = -) cm 2 R r = -) cm 3 R 2 r = Comentário:
VESFERA= VÁGUA DESLOCADA
4 3.π r 3=π . R2.9R 16 r3=27R 64 3 r = 3R 4 cm
06 - Dadas as funções f:R→→→→R e g:R→→→→Rdefinidas por f(x)====ax++++b e g(x)====x2, considere as seguintes afirmativas:
I. (gοf)(1)====(a++++b)2.
II. (fοg)(−−−−x)====(fοg)(x), para qualquer x ∈∈∈∈R.
III. (gοf)(x)====(fοg)(x), para qualquer x ∈∈∈∈R.
Assinale a alternativa correta.
*) Somente as afirmativas I e II são verdadeiras.
-) Somente a afirmativa I é verdadeira.
-) Somente as afirmativas II e III são verdadeiras. -) Somente as afirmativas I e III são verdadeiras. -) As afirmativas I, II e III são verdadeiras.
Comentário:
I. (gof)(1) = g(f(1)) = g(a.1 + b) = g(a + b) = (a + b)2(V) II. Sendo g(x) = x2uma função par, então:
g(x) = g(–x), logo (fog)(–x) = (fog)(x) (V) III. g(f(x)) = f(g(x)) [f(x)]2= a.[g(x)] + b (ax + b)2= a.(x2) + b a2.x2+ 2abx + b2= ax2+ b (F) 16 R 9 cm
O
A B
07 - Na figura ao lado está representado um período completo do gráfico da função 4 x sen 3 ) x ( f = ⋅ π
Para cada ponto B sobre o gráfico de f, fica determinado um triângulo de vértices O, A e B, como na figura ao lado. Qual é a maior área que um triângulo obtido dessa forma pode ter?
*) 12 -) 3π -) 6π -) 8 -) 9 Comentário:
O período da função f(x) = 3 . sen πx 4 é dado por: P = 2 4 π π P = 8
Logo, as coordenadas ao ponto A são (8, 0) e, portanto, a base do triângulo de vértices O, A e B é constante e mede 8 unidades.
Para x = 2 ou x = 6, temos a maior altura possível. Tomando, por exemplo, o valor para x = 2, temos: f(2) = 3.sen 2 4 π f(2) = 3.sen π 2 f(2) = 3.1 = 3 (altura) A área máxima é dada por: SOAB=base x altura
2 SOAB=8 3
2 . SOAB= 12
08 - Uma determinada substância radioativa desintegra-se com o tempo, segundo a função t k 0 e M ) t ( M = ⋅⋅⋅⋅ −−−− ⋅⋅⋅⋅ = = =
sendo M0 a massa inicial, k uma constante característica da substância e t o tempo dado em anos. Sabendo que a
quantidade inicial de 100 g dessa substância radioativa diminui para 50 g em 28 anos, calcule quanto tempo será necessário para que 100 g dessa substância se reduzam a 25 g. (Considere loge2====0,7)
*) 56 anos -) 48 anos -) 72 anos -) 42 anos -) 64 anos Comentário: M(t) = M0. e– k . t M(28) = 100 . e– k . 28 50 = 100 . e– 28k 1 2= e – 28k Queremos que: M(t) = 25 100 . e– k . t= 25 e– kt=1 4 e– kt= 1 2 2 e– kt= (e– 28k)2 – kt = – 56k como k
≠
0, temos: t = 5609 - Numa certa rede bancária, cada um dos clientes possui um cartão magnético e uma senha formada por seis dígitos. Para aumentar a segurança e evitar que os clientes utilizem datas de aniversário como senha, o banco não permite o cadastro de senhas nas quais os dois dígitos centrais correspondam aos doze meses do ano, ou seja, senhas em que os dois dígitos centrais sejam 01, 02, …, 12 não podem ser cadastradas. Quantas senhas diferentes podem ser compostas dessa forma?
*) 10 −6 12.104 -) 106−12 -) 10 −6 12.102 -) 10 +4 12.102 -) 104−12 Comentário: SENHA: dígitos centrais
10 - Os três lados de um triângulo retângulo estão em progressão aritmética de razão r >>>> . A respeito desse triângulo, 0 considere as seguintes afirmativas:
I. A área desse triângulo é 16r.
II. Esse triângulo é semelhante ao triângulo de lados 3, 4 e 5. III. O perímetro desse triângulo é 12r.
Assinale a alternativa correta.
*) Somente as afirmativas II e III são verdadeiras.
-) Somente a afirmativa I é verdadeira.
-) Somente as afirmativas I e III são verdadeiras. -) Somente as afirmativas I e II são verdadeiras. -) As afirmativas I, II e III são verdadeiras.
Comentário: •(x + r)2= (x – r)2+ x2 x2+ 2xr + r2= x2– 2xr + r2+ x2 x2– 4xr = 0 x = 0 ou (não) I. Falsa Área =x.(x – r) 2 = 4r . 3r 2 = 6r 2 II. Verdadeira Os lados medem 3r, 4r e 5r III. Verdadeira 2p = 3r + 4r + 5r = 12 r x = 4r
