Porque sobem os corvos a 5 metros?
I - Conjectura
As gaivotas e os corvos alimentam-se de vários tipos de moluscos erguendo-os no ar e deixando-os cair contra as rochas para abrir as conchas.
Os biólogos observaram que os corvos deixam cair um búzio de uma altura média de 5 metros. Os corvos parecem ser selectivos apanham apenas búzios grandes. Por outro lado, são persistentes uma vez que um único corvo pode ser observado a deixar cair o búzio cerca de 20 vezes. Os cientistas sugeriram que este comportamento é um exemplo de uma tomada de decisão no sentido de optimizar a luta pela sobrevivência.
Porque será que os corvos voam para uma altura de cerca de 5 metros antes de deixarem cair um búzio contra a rocha?
Trajectos possíveis do voo Búzio grande
Pensa nesta situação
Considera a queda dos búzios lançados pelos corvos. 1. Qual dos trajectos, A ou B, te parece melhor? Porquê?
2. Que factores influenciam a altura a que os corvos sobem para deixarem cair os búzios?
3. Haverá um número mínimo de quedas necessário para abrir um búzio? 4. E haverá uma altura máxima ou mínima para deixar cair um búzio?
5. Como pensas que se relaciona o nº de vezes que é necessário deixar cair um búzio com a altura a que o corvo sobe? Esboça um gráfico que traduza as tuas conjecturas.
II – Experiência
Será que o modo como os corvos atiram os búzios minimiza o seu trabalho?
O trabalho do corvo depende da altura da queda e do número de vezes que o corvo voa até essa altura. Para responder a esta questão é necessário estudar a relação entre a altura da queda e o número de vezes que é lançado o búzio.
Reto Zach * realizou a seguinte experiência. Deixou cair várias vezes um búzio de uma altura fixa até a concha partir. Repetiu a experiência considerando diferentes alturas e registou os dados. Esta experiência pode ser simulada com a queda de outros objectos por exemplo amendoins.
Procedimento: Para modelar a queda precisas de um metro e de amendoins descascados.
Deixa cair um amendoim de uma altura de 15 cm e repete a operação até que ele se separe em duas partes. Regista o número de vezes que o deixaste cair.
Repete o processo com pelo menos oito amendoins e determina o número médio de quedas necessárias.
Repete todo o processo agora das seguintes alturas: 20, 25, 30, 35, 40, 50 e 60 cm. Junta os teus dados com os obtidos pelos teus colegas e regista-os na tabela seguinte. Tabela Altura da queda 15 20 25 30 35 40 50 60 Média Nº de
quedas Desvio padrão
Pensa ...
Analisa os dados recolhidos. Compara os resultados com as conjecturas que fizeste.
1. As tuas conjecturas confirmaram-se ou não? Que alterações deves introduzir? 2. A que altura devem ser lançados mais amendoins para melhorar os valores
obtidos? Porquê?
3. Como é que este facto se evidencia nos teus dados?
4. Como podes decidir que o número de amendoins lançados a uma dada altura é suficiente?
5. Pensas que há um número mínimo de quedas necessárias para abrir um amendoim? E haverá uma altura mínima para que o amendoim se abra?
III – Análise dos dados
O trabalho de um corvo para partir um búzio (amendoim) depende do seu peso e também do do búzio, da altura da queda e do número de vezes que é necessário deixar cair o búzio.
Atendendo a que o peso de um corvo e de um búzio é sensivelmente constante, vamos supor que é 1, temos então:
Trabalho = Altura × Número de quedas ou seja W = h x N Para estudar o trabalho em função da altura é necessário
relacionar o número de quedas (N) com a altura (h) das mesmas.
Podes observar que a representação gráfica dos dados (h, N) faz lembrar o gráfico da função
x
y
=
1
que tem uma assímptota vertical x = 0 e uma horizontal y = 0. Uma expressão geral para as funções deste tipo éc
x
b
a
y
−
+
=
.A partir desta família de funções tenta encontrar um modelo que descreva a relação entre a altura (h) da queda e o número de quedas (N) para os dados da tua experiência.
Análise do gráfico
Usa a tua calculadora e descobre os parâmetros a, b e c de modo que o gráfico da função
c
x
b
a
y
−
+
=
se ajuste ao conjunto de dados.Responde às seguintes questões:
1. Qual a influência dos parâmetros a, b e c no gráfico? 2. Qual é a tua conjectura para um bom valor de a? Porquê? 3. Usando esse valor de a, quais os valores de b e c?
4. Quais são os pontos que te criam mais dificuldade no ajustamento do gráfico aos dados? Como explicas esse facto?
5. Uma função do tipo
c
h
b
a
N
−
+
=
é uma conjectura razoável para descrever a situação. PorquêExperimentar diferentes valores para os parâmetros a, b e c não é um processo sistemático para produzir um modelo. Diferentes pessoas encontram por este
processo diferentes modelos. Um bom método deve poder ser reproduzido por vários e assentar em processos mais fiáveis.
A regressão linear é um método aceitável. Se assumirmos para a o valor 1, é então possível transformar a função racional de modo que a questão a resolver seja a procura de um modelo linear.
c h b N − + = 1 Porquê? ; c h b N − = −1 Porquê?; b c h N−1)−1 = − ( Porquê?
Assumindo que a primeira equação define correctamente o modelo, porque é que a última equação mostra uma relação linear entre (N - 1)-1 e h?
Análise do modelo
Introduz na calculadora os dados relativos a (N-1)-1 e pede a função de regressão linear que relaciona h e (N-1)-1.
1. Qual é a equação da recta que relaciona h e (N - 1)-1? Resolve a equação em ordem a N.
2. Pensas ser necessário assumir um valor para usares este método? Porquê? 3. Quais são as assimptotas horizontais e verticais desta função? Estes valores
fazem sentido?
Descobre, por ti
Reto Zach recolheu dados para búzios de diversos tamanhos. Os gráficos destes resultados e as curvas que ele traçou estão no diagrama.
1. O que observas relativamente às assimptotas dos gráficos para os diferentes tipos de búzios? Explica porque é que as assimptotas devem ser diferentes. 2. Escreve possíveis expressões analíticas para as funções representadas.
3. Usa os dados relativos aos búzios grandes (em anexo) e procura uma expressão analítica para este caso, usando o método sugerido anteriormente
IV - Conclusão
O trabalho de um corvo para partir um búzio (amendoim) depende do seu peso e do do búzio, da altura da queda e do número de vezes que é necessário deixar cair o búzio.
Atendendo a que o peso de um corvo e do búzio é sensivelmente constante, supondo que é 1 unidade, temos:
Trabalho = Altura × Número de quedas (W = h
×
N) Usa os teus dados dos amendoins, para completares a tabela:Altura da queda Número de quedas Trabalho W=N x h
Com base nos valores calculados, entre que alturas é o trabalho menor?
A relação entre a altura (h) e o número de quedas pode ser usado para investigar o Trabalho (W). Usando o método descrito anteriormente para descobrir a relação entre h e N para a amostra de amendoins (dados em anexo), encontrámos:
8
13
5
59
1
,
h
,
N
−
+
=
.A equação do trabalho para os dados da amostra é então:
)
,
h
,
(
h
N
h
W
8
13
5
59
1
−
+
×
=
×
=
Actividade 1Usa a calculadora gráfica para encontrares a altura correspondente ao mínimo trabalho, com base na equação do trabalho em função da altura obtida a partir dos dados da tua experiência.
1. Qual é a altura para a qual o trabalho é mínimo?
2. Compara os valores encontrados através da equação com os valores observados a partir dos dados.
3. O que acontece para grandes alturas?
Tanto a função que define o número de quedas (N) em função da altura (h) como a que define o trabalho (W) em função da altura (h) são funções racionais que podem ser escritas como quociente de dois polinómios.
Há três processos, vulgarmente usados, para representar a mesma expressão racional:
Quociente de dois polinómios:
1
2
1
2 2+
−
−
x
x
x
Forma factorizada :1
1
)
1
(
)
1
)(
1
(
2−
+
=
−
+
−
x
x
x
x
x
Forma de fracção própria:
1
2
1
−
+
x
Cada uma das formas evidencia diferente informação acerca da função por ela definida.
Actividade 2
Escreve as expressões analíticas das funções N e W em cada uma das formas referidas. Representa graficamente cada função e indica assimptotas e zeros.
1. Que informação obténs imediatamente a partir de cada uma das expressões? 2. Examina a fracção própria. O que é que esta expressão te diz sobre o trabalho
para alturas muito grandes? E muito pequenas?
3. Pensa: qual é o parâmetro que mais contribui para a quantidade de trabalho, em cada caso?
4. Estabelece condições para que a função racional f(x) seja escrita sob a forma de fracção própria a partir das funções polinomiais p(x), r(x) e q(x). Completa a frase: se f(x) é uma função racional escrita sob a forma de fracção própria usando os polinómios p(x), r(x) e q(x) tal que
)
(
)
(
)
(
)
(
x
q
x
r
x
p
x
f
=
+
, então ... ... Actividade 3Reto Zach* realizou a sua experiência com búzios de diversos tamanhos. Estuda também os resultados a que chegou Reto Zach para os búzios grandes (dados em anexo).
Questões para reflexão
Analisa a tua equação inicial para o trabalho e as diferentes formas de exprimir a mesma expressão de N e de W.
Analisa também as equações que encontraste para os dados dos búzios grandes. 1. Alguns biólogos pensam que a altura de 5 metros para os corvos é um bom
exemplo de optimização na luta pela sobrevivência. Será que os dados relativos aos búzios grandes suportam esta afirmação? Apresenta argumentos.
2. O trabalho também depende do peso dos objectos. Os corvos a que se refere esta investigação lançam apenas búzios grandes que têm um peso aproximado de 8,8 gramas. O corvo pesa cerca de ... gramas. Altera a tua equação de forma a incluíres o factor peso.
3. Como é que a altura onde o trabalho é mínimo é afectada pelo facto de incluirmos o peso?
4. Consideraste útil o uso das funções racionais no estudo do trabalho dos corvos? Explica como.
Notas / Anexos:
* Reto Zach– Investigador americano que estudou o comportamento dos corvos.
Dados de uma amostra, com amendoins:
Altura da queda (cm)
15 20 25 30 35 40 50 60
Nº médio de quedas 17,3 9,25 7,13 5,13 4,15 3,25 2,63 2.25
Dados dos búzios grandes:
Altura da queda (metros)
1,5 2 3 4 5 6 7 8 10
Nº médio de quedas 56 20 10.2 7.6 6 5 4.3 3.8 3.1
Algumas notas sobre trabalho e unidades:
O trabalho W = p x h é expresso em joules, quando o peso (p) está em newtons e o deslocamento (h) em metros e que 1kg força (peso) = 9,8 newtons.
