Introdução a teoria dos jogos

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Introdução a teoria dos jogos

Sabino da Silva Porto Junior

Fevereiro de 2008 1

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James Waldegrave: primeiro a apresentar o conceito de solução de um jogo de estratégia mista em uma carta enviada em 1713 a Pierre Rémond de Montmort.

Cournot: Reserches sur les principes Mathematiques de la Theorie des Richesses.

Ernst Zermelo: Teorema sobre o jogo do Xadrez (1913), em cada etapa do jogo pelo menos um

Fevereiro de 2008 3

st e e o eo e a sob e o jogo do ad e ( 9 3), e cada e apa do jogo pe o e os u jogador possui uma estratégia que o levará a vitória ou ao empate. Primeiro a usar a semântica da otimalidade em jogos.

Emile Borel: jogos simétricos de soma zero com dois jogadores e com um número finito n de estratégias para cada jogador. Procurou a solução Minimax e provou em 1921 a existência de solução para n = 3 e em 1924 para n=5.

John Von Neumann: em 1928, usando topologia e cálculo funcional, mostrou a existência de solução em estratégias mistas para um jogo de soma zero com dois jogadores e um número arbitrário n de estratégias puras. Introuziu a forma extensa do jogo.

Definição

“A teoria dos jogos é uma teoria

matemática criada para se modelar matemática criada para se modelar fenômenos que podem ser

observados quando dois ou mais agentes de decisão interagem entre si.”

“teoria dos modelos matemáticos que estuda a escolha de decisoes otimas sob condicoes de conflito.”

Aplicações: eleições, balanços de poder, leiloes, economia, evolução

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Jogo Estático ou Estratégico: jogadas simultâneas (ação igual a estratégia)

Regras 1. Jogadores 2. Estratégias

3. Ganhos para cada combinação de estratégias

Fevereiro de 2008 5

Albert W. Tucker (1950) Situação:

Dois ladrões, M e T, são

capturados e acusados de um mesmo crime.

Presos em selas separadas e sem poderem se comunicar entre si, o p

delegado de plantão faz a seguinte proposta: cada um pode escolher entre confessar e não confessar o crime....

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Equilíbrio em Estratégias Dominantes John Forbes Nash Junior

1949 – Tese de doutorado na universidade de Princenton – Non-cooperative Games. Artigos: 1950 – Equilibrium points in N-person games.

1950- The Baragaining Problem 1951 – Non-cooperative games

Tchaikovsky

Confessar Não confessar

(negar) M t Confessar (-5,-5) _(0,-10) Jonh Nash (nobel de 1994)

1953 - Two person cooperative games

Fevereiro de 2008 7 Maestro Não confessar (-10,0) (-1,-1)

coluna

s1

s2

s3

s4

Eliminação sequencial de estratégias estritamente dominadas

linha

g1

g2

g3

g4

(5,2) _(2,6) (0,0) (9,5) (2,2) (7,0) (1,4) (1,3) (1,1) (5,1) (1,1) (5,1) (3,2) (0,2) (4,8) (0,4) J d l ã i t té i d i t

Jogador coluna não possui estratégia dominante. Do ponto do vista do coluna, estratégia s1 é

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Guerra dos sexos

Mulher

Futebol Cinema Futebol (10,5) (0 0) (3 3) Fevereiro de 2008 9 Homem Cinema (0,0) (5,10) (0,0) (3,3)

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DILEMA DOS PRISIONEIROS – Jogo Estático de informação completa

C D C D 3,3 1,5 5,1 2,2 (3,3) Ganho do

linha Observe o resultado do

jogo:

Se o linha joga C, o coluna joga D (5>3);

Se o linha joga D, o Coluna joga D (2>1)

Portanto, D é um ESTRATÈGIA DOMINANTE para o jogador linha e para o jogador coluna. (1,5)

Se jogarem suas estratégias dominantes o resultado é pior para os dois. (2,2) < (3,3) Fevereiro de 2008 11 Ganho do coluna (5,1) (2,2) EED: resultado sub-ótimo

Divida a Torta com seu oponente!!

Como dividi-la de tal forma que os

dois indivíduos fiquem fiquem satisfeitos???

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Qual arranjo ou acordo seria

aceitável???

Você aceitaria ficar A B com o lado A??? Fevereiro de 2008 13 A E agora, você A B você aceitaria?? ?

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A cereja do bolo: um dos jogadores adora cerejas... Se você revela o quanto gosta de cerejas, pode perder a perder a capacidade de barganha Fevereiro de 2008 15 A B

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Ponto de decisão inicial

Jogo dinâmico ou extensivo de informação completa Árvore do Jogo Ponto de decisão Pontos terminais CORTAR PONTO SEC NÃO CORTAR Fevereiro de 2008 17 G T G T CPERS CPERS (1,2) (3,3) (5,-4) (4,2) (2,-3) Governo CPERS Governo (-4,3) (-1,-1) (1,2) Gov (-1,1) (-3,-3) (-1,6) CPERS

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Presidente Presidente U Aceita Veta Aceita Veta (3,3) (2,2) (4,1) (2,2) Congresso Presidente Aceita Veta (1,4) (2,2) (2,2) Fevereiro de 2008 19 Veta M (3,3) (1,4) (4,1) (2 2) Presidente

“Em problemas de decisão individual maior liberdade de ação nunca é pior. Em Games, ao contrário, maior liberdade de ação ou maior conjunto de opções, pode ser pior porque i b i fl i d (2,2) (4,1) (2,2) (1,4) (2,2) (2 2) U Presidente Presidente Congresso Veta

isso acaba influenciando a ação dos outros jogadores.” (Dixit e Nalebuff, p. 43). Vantagens do Commitment

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Jogo de Xadrez

•20 braços iniciais a partir da raiz (jogador de peças brancas pode mover qualquer um de seus 8 peões um ou dois quadrados a frente e pode mover um de seus cavalos em uma ou duas maneiras.

•Jogador de peças negras: tem 20 movimentos disponiveis para cada ramo. •Até aqui: 400 caminhos distintos •Número de nódulos possíveis é muito grande

•O método de árvores não consegue

Fevereiro de 2008 21

•O método de árvores não consegue resolver e não há computador capaz de resolver esse problema.

•Usar outros métodos...

Partida contra Verdasco é a mais longa da história do Australian Open – 5h14min – (no dia seguinte Nadal venceria Federer em uma partida de 3h22min)

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NÚMEROS DA PARTIDA

Rafael Nadal Fernando Verdasco

12 Aces 20 128/176 = 73% % de 1º saque 146/216 = 68% 3 Duplas faltas 4 3 Duplas faltas 4 92/128 = 72% % de pontos no 1º saque 103/146 = 71% 28/48 = 58% % de pontos no 2º saque 36/70 = 51% 52 Bolas Vencedoras 95 25 Erros não-forçados 76 77/261 = 36% % de pontos na devolução 56/176 = 32% 4/20 = 20% Break points 2/4 = 50% Fevereiro de 2008 23 193 Total de pontos 192 16/23 = 70% Subidas à rede 33/51 = 65%

Estratégia de Polinização

• “as vespas cultivam as flores para seus propósitos e as flores

domesticam as vespas para os propósitos delas. Os participantes

não estão agindo pelo bem do ciclo eles estão no ciclo pelo seu

não estão agindo pelo bem do ciclo, eles estão no ciclo pelo seu

próprio bem.

• Mutualismo natural: flores em benefício de vespas, vespas em

benefício de flores.

Qual o verdadeiro significado do “em benefício”?

Resposta: DNA” (

Richard Dawkins, 2003,p. 288)

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“Nem de longe lembra uma vespa fêmea.” (Senhora, defensora do design inteligente em inteligente, em carta dirigida a Dawkins) Fevereiro de 2008 25 Ophrys vermixia!!! Ao buscar o néctar a vespa acaba polinizando as orquídeas...

Eficiência econômica e decisão na

margem

Baixo custo para a orquídea – pólen e

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Descubra que caminho leva a vila dos verdadeiros fazendo apenas uma

Tente novamente!!! Vila dos verdadeiros p pergunta. Qual a estrada leva à vila dos que sempre falam a verdade?

Siga a

esquerda _{Dúvida: a pessoa que} respondeu é honesto ou veio da vila azul??? Se você fosse membro da

outra vila, como você responderia à questão: o caminho à esquerda leva à vila dos honestos??

Vila do s mentirosos

Agora as respostas independem do tipo da pessoa que responde. Se a verdade é

Sim ambos

Se você fosse membro da outra

vila, como você responderia à questão: o caminho à esquerda leva à vila dos honestos?? Sim, ambos responderão NÃO

Raciocínio: se a resposta correta é Não e o estranho é um mentiroso. Ele sabe que se fosse verdadeiro responderia Não, mas como é um

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A verdade é...

SIM

NÃO

Quadro de respostas possíveis.

Faça o contrário e O estranho é....

SIM

NÃO

Verdadeiro

não

sim

Mentiroso

não

sim

Problema:só funciona com mentirosos literais

chegue ao seu objetivo

com mentirosos literais (ou compulsivos, mentem mecanicamente)

Mentirosos estratégicos-tentariam, deliberadamente, enganar o viajante (mentem quando é conveniente).

Exemplo com mentirosos estratégicos: mais realista.

Corretor de fundos

Situação dos valores dos fundos: Go up

Down

Tipo de corretor: Honesto Desonesto

Objetivo ideal: comprar quando o valor está baixo e vender quando está alto.(comprar na baixa e vender na alta).

Pergunta inteligente: se você fosse um corretor de tipo oposto, como responderia à seguinte questão: estes valores estão em alta ou em baixa?

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Quadro de respostas:

A verdadeira resposta é

...

Questões_funcionam inteligentes_com _mentirosonão

O corretor é Up Down Honesto down up Mentiroso literal down up

funcionam com mentiroso estratégico, ao fazer isso, ele daria uma resposta que induziria você a pensar que o estoque estaria indo na direção contrária o que seria conveniente para o mentiroso.

Saída: criar um esquema de incentivo para que ele fale a verdade. Por exemplo, criar um esquema de Fevereiro de 2008 31 Mentiroso estratégico up down criar um esquema de comissao para que ele assuma uma parcela das eventuais perdas.

Mecanismo de Screening

Definição

• Esquema de Incentivo: é uma estratégia

t

i fl

i

ã

que

tenta

influenciar

uma

ação

não

observável de outro jogador, dando a ele

alguma

recompensa

ou

penalidade

baseada em um resultado observável

daquela ação.

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airton senna japao

QWERT – Convenções, cultura e mudança

Questão: onde encontrar um amigo na noite de POA?

Saída: não importa qual convenção escolhemos Saída: não importa qual convenção escolhemos, desde que todos concordem com a mesma convenção.

Por vezes uma convenção é muito melhor do

que a outra, mesmo assim ela não será,

necessariamente, adotada.

Se alguma mudança nas circunstâncias torna uma outra convenção mais desejável, mesmo assim, outra convenção mais desejável, mesmo assim, pode ser muito difícil adotar a mudança.

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Fatos históricos:

1873- Christopher Scholes cria o design qwerty Objetivo: maximizar a distância entre as letras mais usadas para provocar uma digitação mais lenta, ou seja, evitar “atropelamento” das teclas.

1904 – Remington Produção em massa de máquinas de escrever com o novo teclado.

1914: Máquinas elétricas;

DSK - Divorak´s Simplified Keyboard

Reduz em 50% a distância dos dedos em relação às letras mais

d I d ã d 10% t d

usadas. Isso provoca uma redução de 10% no tempo de digitação.

Mesmo assim, qwerty continua sendo usado até hoje, inclusive nos computadores modernos.

Circulo vicioso completo:

Todos usam QWERTY Todos usam QWERTY Aprendemos QWERTY

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1939 – 1945 : Marinha norteamericana passa a usar DSK e o custo de retreinamento é recuperado completamente em 10 dias.

Observação: só funcionava plenamente para iniciantes na datilografia

para iniciantes na datilografia.

Hoje: computadores podem trocar para DSK, porém o digitador tem que converter o teclado mentalmente para DSK. Ou seja, iniciantes tem que aprender QWERTY.

Jogo: jogadores são as empresas e a escolha do design a estratégia.

Eq. Nash: o % usado de cada tecnologia é uma constante no tempo. Ou seja, esse jogo dinâmico converge para um Equilíbrio.

Efeito vagão: as decisões descoordenadas de indivíduos, mantém-nos presos a QWERTY.

Nenhum uso individual pode mudar uma convenção social.

Matemática: dois equilíbrios no final Matemática: dois equilíbrios no final 1. Todos usam DSK

2. 98% usam QWERTY

Não diz nada a respeito da qualidade do equilíbrio ou sobre qual equilíbrio será escolhido.

História importa: o acidente histórico que levou ao qwerty capturou aproximadamente 100% dos digitadores e se autoperpetuou mesmo que a motivação original para usar qwerty não exista mais.

Ou seja, um evento aleatório pode levar a um equilíbrio inferior que se autoperpetua.

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Sempre há a possibilidade de melhorar a vida de todos.

Como fazer para sair de uma situação de Path dependence???

Ação coordenada pode o mudar para um equilíbrio melhor.

Não é necessário converter todos, mas apenas a massa crítica.

Como mudar para o DSK?

a) Se a principal industria produzir DSK

b) Se o governo federal treinar em

b) Se o governo federal treinar em DSK

Obama e o petróleo, é possível mudar???

Equilíbrio de baixo nível Custo médio de QWERTY CMe0 Q* Custo médio DSK QD

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Chance de que o próximo digitador usará QWERTY

95 Percentual de digitadores usando QWERTY 50 70 85 Apesar desse handicap o qwerty domina o equilíbrio Fevereiro de 2008 41 98 72 Chance de que o próximo digitador usará QWERTY

72 98

Percentual de digitadores usando QWERTY

Se o percentual de digitadores usando QWERTY cair abaixo de 72% o DSK dominará e o qwerty será abandonado no qwerty será abandonado no futuro.