JOILSON FERREIRA DE CARVALHO TEORIA DOS RESÍDUOS APLICADA NO CÁLCULO DE INTEGRAIS IMPRÓPRIAS

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ESTADO DE MATO GROSSO

SECRETARIA DE ESTADO DE CIÊNCIA E TECNOLOGIA UNIVERSIDADE DO ESTADO DE MATO GROSSO CAMPUS UNIVERSITÁRIO “DEP. EST. RENÊ BARBOUR” FACULDADE DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS

CURSO DE LICENCIATURA EM MATEMÁTICA

JOILSON FERREIRA DE CARVALHO

TEORIA DOS RESÍDUOS APLICADA NO CÁLCULO DE INTEGRAIS IMPRÓPRIAS

Barra do Bugres 2017

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JOILSON FERREIRA DE CARVALHO

TEORIA DOS RESÍDUOS APLICADA NO CÁLCULO DE INTEGRAIS IMPRÓPRIAS

Trabalho de Conclusão de Curso apresentado ao curso de Licenciatura em Matemática da UNEMAT, para obtenção do título de Licenciado em Matemática

Orientador: Me. PAULO SÉRGIO COSTA LINO Co-Orientador: Dr. JUNIOR C. A. SOARES

Barra do Bugres 2017

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DEDICATÓRIA

Dedico a Deus, ao meu pai José Dias de Carvalho e minha mãe Aparecida Andreza Ferreira de Carvalho.

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AGRADECIMENTOS

Agradeço primeiramente a Deus, por ter me amparado e me dado forças ao longo da minha formação acadêmica.

Agradeço ao meu pai e minha mãe por estar sempre ao meu lado me incentivando nas horas difí-ceis. Esta vitória foi conquistada como forma de reconhecimento dos esforços que eles fizeram para que eu pudesse ter a oportunidade de estudar, privilégio que infelizmente eles não tiveram, confesso que muitas das vezes pensei em desistir, mas buscavam forças nos ensinamentos e nas histórias de vidas que eles me diziam, que nada nesta vida conquistamos facilmente se quere-mos crescer na vida deveríaquere-mos ser fortes e nunca desistir.

Agradeço imensamente a minha namorada Damaris Plucinski de Almeida pelo seu apoio e compreensão, as minhas irmãs Maria José Ferreira de Carvalho, Elaine Ferreira de Carvalho, Luciana Ferreira de Carvalho e Ellen Patricia Ferreira de Carvalho, aos meus sobrinhos e a todos os meus familiares e amigos que contribuíram diretamente ou indiretamente na minha formação.

Estendo este agradecimento de maneira especial a professora Dra. Maria Elizabete Rambo Kochhann, aos professores Dr. Adailton Alves da Silva, Dra. Edinéia Aparecida dos San-tos Galvanin e a Dra. Ana Maria Reis D’Azevedo Breda pela oportunidade da formação do Programa de Licenciatura Internacional, que contribui significativamente para minha formação acadêmica.

Agradeço também ao meu orientador professor Ms. Paulo Sérgio Costa Lino e co-orientador professor Dr. Junior C. A. Soares que sempre estiveram a disposição, a qualquer hora e em qualquer lugar e não mediram esforços para a realização deste trabalho.

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EPÍGRAFE

Matemática não é apenas números, e sim letras e toda capacidade que o ser humano conseguir expressar. (François Viète)

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RESUMO

Apesar de existirem varias técnicas matemáticas para calcular integrais impróprias de fun-ções reais, existem casos de integrais que não possuem primitivas expressas através de funções elementares, nestes casos a teoria dos resíduos é uma ferramenta sistemática e efi-ciente para obter os resultados. Neste trabalho é aplicada a teoria dos resíduos para calcular integrais impróprias de funções racionais e integrais impróprias envolvendo funções trigo-nométricas, que são difíceis ou trabalhosas de serem calculadas por técnicas de integração convencionais de variáveis reais.

Palavras-chave: Análise complexa, teoria dos resíduos, integrais impróprias.

ABSTRACT

Although there are several mathematical techniques to calculate improper integrals of real functions, there are cases of integrals that do not have primitives expressed through ele-mentary functions, in these cases the theory of residues is a systematic and efficient tool to obtain the results. In this work the residual theory is applied to calculate improper integrals of improper rational and integral functions involving trigonometric functions, which are difficult or cumbersome to calculate by conventional integration techniques of real varia-bles.

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Sumário

Introdução 10

1 Limite e Diferenciabilidade de Funções de uma Variável Complexa 13

1.1 Conceitos topológicos . . . 13

1.2 Funções de uma variável complexa . . . 18

1.3 Limites . . . 20

1.3.1 Propriedades dos limites . . . 22

1.4 Continuidade . . . 25 1.5 Diferenciabilidade . . . 26 1.6 Condições de Cauchy-Riemann . . . 26 1.7 Funções holomorfas . . . 27 2 _{Integração em C} 28 2.1 Integrais definidas . . . 28

2.1.1 Propriedades de integral definida . . . 28

2.2 Caminhos em C . . . 29

2.3 Integrais de caminhos . . . 31

2.3.1 Propriedades de integrais de caminhos . . . 31

3 Séries, Zeros de Funções Holomorfas e a Teoria dos Resíduos 35 3.1 Séries de números complexos . . . 35

3.2 Séries de Laurent . . . 37

3.3 Zeros de funções holomorfas . . . 38

3.4 Teoria dos resíduos . . . 39

4 Aplicação da Teoria dos Resíduos no Cálculo de Integrais Impróprias 43 4.1 Integrais impróprias de funções racionais . . . 43

4.2 Integrais impróprias envolvendo funções trigonométricas . . . 54

Considerações Finais 64

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Lista de Figuras

1 Disco de centro em z0 e raio . . . 14

2 Ponto interior. . . 14 3 Ponto exterior. . . 15 4 Ponto de fronteira. . . 15 5 Conjunto aberto. . . 16 6 Conjunto fechado . . . 16 7 Conjunto limitado . . . 16 8 Conjunto conexo . . . 17

9 Conjuntos simplismente e multiplamente conexos . . . 17

10 Conjunto convexo . . . 17

11 Conjunto convexo A. . . 18

12 Domínio ou Região . . . 18

13 Função de uma variável complexa . . . 19

14 Limite de f (z) com z → z0 . . . 20

15 Caminho aberto entre os pontos A e B. . . 29

16 Curva fechada orientada positivamente. . . 29

17 Curva fechada simples e regular. . . 30

18 Fronteira orientada positivamente. . . 30

19 Curva fechada γ . . . 41

20 Caminho situado no semiplano superior . . . 44

21 Caminho situado no semiplano inferior . . . 44

22 Caminho γrsituado no semiplano superior . . . 46

23 Caminho γrsituado no semiplano inferior . . . 49

25 Contorno C . . . 56

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Lista de Símbolos

C Representa o conjunto dos números complexos z Representa um número complexo

Re(z) Parte real de um número complexo z

Im(z) Parte imaginária de um número complexo z C − R Representa as condições de Cauchy-Riemann Res(f, zk) Resíduo de f em zk Lγ Comprimento do caminho γ θ Theta γ Gama Epsilon φ Phi Ω Omega ζ Zeta

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Introdução

Resolver equações sempre despertou o interesse dos matemáticos ao longo da história. Foi nestas tentativas de resoluções que se iniciaram as primeiras discussões a respeito de raízes quadradas de números negativos, mais precisamente quando Girolamo Cardano (1501 − 1576), um famoso polímata italiano teria publicado em 1545, a solução para equação cúbica x3+px2 ₌ q, que em notação atual se traduz por,

x = 3 s −q 2 ± r q 2 2 +p 2 3 + 3 s −q 2 ∓ r q 2 2 +p 2 3 . (1)

Em primeira instância todos julgaram que os problemas envolvendo equações cúbicas estariam resolvidos com a fórmula de Cardano. Um comportamento que rapidamente cessou visto que posteriormente surgiram algumas dúvidas envolvendo o método.

Às vezes a fórmula funcionava maravilhosamente, mas às vezes causava pro-blemas. Cardano notou que quando a fórmula é aplicada à equação x3 = 15x + 4, com a solução óbvia x = 4, o resultado é expresso como x =

3 p

2 +√−121 +p3

2 −√−121. No entanto, esta expressão parecia não ter significado coerente pois −121 não tem raiz quadrada. (STEWART, 2009, pg.130).

Cardano foi incapaz de solucionar o problema envolvendo raízes quadradas de núme-ros negativos, caso que ele considerou sendo númenúme-ros fictícios. Neste mesmo período surge outro talentoso matemático e engenheiro hidráulico Rafael Bombelli (1526 − 1572), talvez tenha sido o matemático mais importante da Itália, ao ser o pioneiro no estudo dos números complexos.

Outro matemático que contribuiu para o surgimento da teoria dos números complexos foi o suíço Leonhard Euler (1707 − 1783), responsável pela implementação da letra i, para representar√−1, muito utilizado na representação de um número complexo. Dentre as des-cobertas de Euler, surge uma muito utilizada nos dias atuais, a famosa fórmula Euler expressa por,

eθi = cos θ + i sen θ. (2)

Em 1797, o topógrafo norueguês Caspar Wessel publicou um trabalho, demonstrando como representar um número complexo no plano cartesiano. Esta obra no entanto, foi apreciada posteriormente por outros matemáticos somente quando foi traduzida de dinamarquês para o francês.

Segundo Stewart (2009), o matemático francês Jean-Robert Argand publicou invo-luntariamente a mesma representação dos números complexos em 1806, e Gauss também a encontrou de forma autônoma de ambos, em 1811.

A representação de números complexos no plano cartesiano é conhecida, como coor-denadas do plano de Argand - Gauss.

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De acordo com Stewart (2009, pg.132),

Se os números complexos tivessem sido bons apenas para a álgebra, talvez tivessem permanecido uma curiosidade intelectual, de pouco interesse fora da matemática pura. Mas à medida que foi crescendo o interesse no cálculo, e ele assumiu uma forma mais rigorosa como análise, as pessoas começaram a notar que uma fusão realmente interessante da análise real com números complexos – a análise complexa – não só era possível, como desejável. Na verdade, para muitos problemas, essencial.

Nos dias atuais, no que se refere a integrais de funções de variáveis complexas, o ma-temático que mais se destacou em termos de publicações foi o francês Augustin-Louis Cauchy (1789 − 1857), o qual é considerado o fundador da Análise Complexa. Um dos teoremas de Cauchy muito conhecido na Análise Complexa é o “Teorema dos Resíduos”, utilizado para cal-cular integrais sobre caminhos fechados de funções holomorfas num conjunto de singularidades isoladas contendo pólos no seu interior.

De acordo com Stewart (2009, pg.138),

O valor de uma integral em torno de um trajeto fechado, depende apenas da localização dos pontos nos quais a função se torna infinita, e de seu compor-tamento nas proximidades desses pontos. Em suma, toda estrutura da função complexa é determinada por suas singularidades - nos pontos nos quais ela é mal comportada. E as singularidades mas importantes são seus pólos, os pon-tos onde ela se torna infinita.

Segundo Jesus (2007), o nome resíduo foi introduzido por Cauchy em 1826, para repre-sentar a diferença das integrais de uma função holomorfa sobre caminhos fechados contendo as mesmas extremidades delimitando uma região onde a única singularidade é um pólo da função. Apesar de existirem varias técnicas matemáticas para calcular integrais impróprias de funções reais, existem casos de integrais que não possuem primitivas expressas através de fun-ções elementares, nestes casos a Teoria dos Resíduos é uma ferramenta sistemática e eficiente para obter os resultados. Esta ligação só é possível porque o conjunto dos números reais é um subconjunto dos números complexo, sendo assim é comum utilizar técnicas que são oriundas da Análise Complexa para resolver problemas pertencentes ao conjuntos dos números reais.

Segundo Shokranian (2002), a Análise Complexa compõe uma das mais lindas verten-tes de pesquisa da matemática moderna, está presente em quase todas as áreas da matemática contemporânea, e em geral no âmbito do conhecimento no qual seu uso é inevitável.

Alguns fatores ocorridos durante minha formação acadêmica me influenciaram a rea-lizar esta pesquisa, pois tive a oportunidade de participar do Programa de Licenciatura Internacional PLI, na qual me possibilitou a chance de estudar 2 anos na Universidade de Aveiro -UA em Portugal, com o objetivo da obtenção da dupla diplomação. Dentre as disciplinas cur-sada no departamento de matemática da Universidade de Aveiro, teve duas que foram essenciais para a escolha do tema do meu Trabalho de Conclusão de Curso - TCC, a disciplina da história da matemática, no qual realizei um trabalho bibliográfico a respeito da história dos números complexos e a disciplina de Análise Complexa, possibilitou-me ter um contato direto com esta área da matemática. Considerando todas estas relevâncias decidi realizar meu TCC sobre a "Teoria dos Resíduos Aplicada no cálculo de Integrais Impróprias", na intensão de apresentar aos demais colegas, uma das possíveis aplicações da Análise Complexa, visto que no curso de matemática da UNEMAT Campus de Barra do Bugres esta disciplina não é ofertada.

Esperamos que este trabalho sirva de referência para outros acadêmicos do curso de matemática a desenvolverem outras pesquisas relacionadas a matemática pura ou aplicada.

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Neste trabalho é apresentado a Teoria dos Resíduos, a qual foi desenvolvido pelo ma-temático francês Augustin - Louis Cauchy, para calcular alguns tipos de integrais impróprias de funções reais, que são difíceis ou trabalhosas de serem calculadas por técnicas matemáticas ele-mentares. O objetivo é calcular integrais imprópria de funções racionais e integrais improprias envolvendo funções trigonométricas.

O trabalho esta dividido em quatro capítulos. No capítulo 1, estudamos alguns concei-tos topológicos, Limites, Continuidade e Diferenciabilidade de funções de uma variável com-plexa e apresentamos as chamadas condições de Cauchy-Riemann. No capítulo 2, estudamos as integrais definidas de funções de uma variável complexa e integrais de caminhos. No capítulo 3, após fazer uma revisão das séries de Taylor e Laurent introduzimos os conceitos da teoria dos resíduos. No capítulo 4, aplicamos a teoria dos resíduos para calcular integrais impróprias de funções reais.

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1 Limite e Diferenciabilidade de Funções de uma Variável

Complexa

Neste capítulo são apresentados alguns conceitos topológicos, visto que é um assunto comum nos enunciados dos teoremas e definições apresentado neste trabalho. Em seguida é abordado os conceitos de funções de uma variável complexa, limites, continuidade, diferencia-bilidade, as condições de Cauchy-Riemann e funções holomorfas. Os conceitos utilizados neste capítulo foram extraídos de, Àvila (2008), Canção (2015) e Churchill (1975).

1.1 Conceitos topológicos

Definição 1.1.1. A função

d : C × C 7−→ R

(z1, z2) 7−→ d(z1, z2) = |z1− z2|, define uma métrica em C.

Ou seja a função d satisfaz as seguintes condições:

i) ∀z1, z2 ∈ C : d(z1, z2) ≥ 0 e d(z1, z2) = 0 ⇐⇒ z1 = z2 (Positividade) ii) ∀z1, z2 ∈ C : d(z1, z2) = d(z2, z1) (Simetria)

iii) ∀z1, z2, z3 ∈ C : d(z1, z3) ≤ d(z1, z2) + d(z2, z3) (Desigualdade triangular)

Dizemos então que (C, d) é um espaço métrico e d(z1, z2) é chamado de distância entre z1e z2.

Observação 1.1.1. Devido o isomorfismo1_{entre os corpos, R}2 _{e C podemos adotar a topologia} de C com a topologia euclidiana de R2_.

Definição 1.1.2. A vizinhança de z0 e raio > 0 em C, denotada por V(z0) é definida pelo conjunto

V(z0) = {z ∈ C : |z − z0| < } . Também denota-se V(z0) por D(z0).

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Geometricamente, o conjunto V(z0) é um disco aberto de centro em z0 e raio , como ilustra a Figura (1).

Figura 1: Disco de centro em z0 e raio .

z0 ε

Re(z) Im(z)

Fonte: Próprio autor.

Definição 1.1.3. Dizemos que z0 ∈ C é um ponto interior do conjunto A ⊂ C, se existir um > 0 tal que V(z0) ⊂ A. O conjunto de todos os pontos interiores de A é o interior de A é representado por int(A) ou

◦

A.

Figura 2: Ponto interior.

A z0

ε

Definição 1.1.4. Dizemos que z0 ∈ C é um ponto exterior do conjunto A ⊂ C, se existir um > 0 tal que V(z0) ∩ A = ∅. O conjunto de todos os pontos exteriores de A é o exterior de A é representado por ext(A).

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Figura 3: Ponto exterior.

A z0

ε

Definição 1.1.5. Dizemos que z0 ∈ C é um ponto de fronteira do conjunto A ⊂ C, se não é ponto interior nem ponto exterior. O conjunto de todos os pontos fronteira de A é a fronteira de A é denotado por f r(A) ou ∂A.

Figura 4: Ponto de fronteira.

A z0

ε

Definição 1.1.6. Dizemos que z0 ∈ C é um ponto aderente do conjunto A ⊂ C, se para todo > 0, tem-se V(z0) ∩ A = ∅. O conjunto de todos os pontos aderentes de A é o fecho ou aderência de A é denotado por ¯A.

Definição 1.1.7. Dizemos que z0 ∈ C é um ponto de acumulação do conjunto A ⊂ C, se para todo o > 0, tem-se V(z0)\ {z0} ∩ A = ∅. O conjunto de todos os pontos de acumulação de A é o derivado de A é denotado por A0. Um ponto que não seja de acumulação é chamado ponto isolado.

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Figura 5: Conjunto aberto.

A

Definição 1.1.9. Um conjunto A ⊂ C é fechado se A = ¯A.

Figura 6: Conjunto fechado

A

Definição 1.1.10. Um conjunto A ⊂ C é limitado se existir R > 0 tal que A ⊆ VR(0).

Figura 7: Conjunto limitado

A 0

R

Fonte: Próprio autor

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Definição 1.1.12. Um conjunto A ⊂ C é conexo se não puder ser representado como união de dois (ou mais), subconjuntos não vazios e disjuntos de C, ambos abertos ou ambos fechados.

Figura 8: Conjunto conexo

A

Definição 1.1.13. Um conjunto A ⊂ C é simplesmente conexo se a sua fronteira ∂A for um conjunto conexo é multiplamente conexo caso contrário.

Figura 9: Conjuntos simplismente e multiplamente conexos

A A

Definição 1.1.14. Um conjunto A ⊂ C é convexo se cada par de pontos de A podem ser ligados por um segmento de reta totalmente contido em A.

Figura 10: Conjunto convexo

z0 z1

A

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Exemplo 1.1.1. O conjunto A = {z ∈ C : |z − i| ≤ 2} é convexo.

Geometricamente o conjunto A é uma circunferência de centro em i e raio 2, como ilustra a Figura (11).

Figura 11: Conjunto convexo A.

2 i A

Im(z)

Re(z)

Definição 1.1.15. Um conjunto A ⊂ C é chamado de domínio ou região se for é aberto e conexo.

Figura 12: Domínio ou Região

A

1.2 Funções de uma variável complexa

Definição 1.2.1. Seja Ω um subconjunto de C e f uma lei que faz corresponder, a cada ele-mento z ∈ Ω, um único número complexo, denotado por f (z). Nestas condições dizemos que f é uma função complexa com domínio Ω. O conjunto f (Ω) formado pelos valores f (z), cor-respondentes a todos os valores de z ∈ Ω, é chamado a imagem de Ω pela função f . (ver na Figura 13)

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Figura 13: Função de uma variável complexa

z _{f (z)}

f

Ω f (Ω)

Considerando o conjunto Ω∗ _{= {(x, y) ∈ R}2 _{: z = x + yi ∈ Ω}, define-se:}

u : Ω∗ _{⊂ R}2 _{−→ R}

(x, y) 7−→ u(x, y) = Re [f (z)] (3)

e

v : Ω∗ _{⊂ R}2 _{−→ R}

(x, y) 7−→ u(x, y) = Im [f (z)] , (4)

as equações (3) e (4) são funções reais das variáveis reais x e y. Segue que

f : Ω ⊂ C −→ C

z = x + yi 7−→ f (z) = u(x, y) + v(x, y)i onde u(x, y) e v(x, y) são respectivamente a parte real e imaginária de f .

Logo, toda função de uma variável complexa pode ser vista como uma função de R2 em R2.

Exemplo 1.2.1. Considere a função f (z) = z2 + z + 1. Identifique a parte real e a parte imaginária da função f .

Solução. Temos que o domínio da função f (z) é todo o plano complexo, sendo z = x + yi temos que,

f (x + yi) = (x + yi)2+ (x + yi) + 1 = x2+ 2xyi − y2+ x + yi + 1 = (x2− y2_{+ x + 1) + (2xy + y)i,}

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logo a parte real e a parte imaginária da função f (z) será,

u(x, y) = x2− y2_{+ x + 1} _e _{v(x, y) = 2xy + y}

1.3 Limites

Definição 1.3.1. Seja f : Ω ⊂ C −→ C e z0 ∈ C um ponto de acumulação de Ω. Dizemos que f tem limite k0 ∈ C quando z tende para z0 e denota-se por lim

z→z0

f (z) = k0, se

∀ > 0 ∃δ > 0 : ∀z ∈ Ω, 0 < |z − z0| < δ =⇒ |f (z) − k0| < .

Figura 14: Limite de f (z) com z → z0

z0 δ z f (z) k0 ε x y u v

Definição 1.3.2. Seja f : Ω ⊂ C −→ C e z0 ∈ C um ponto de acumulação de Ω. Dizemos que f tem limite infinito quando z tende para z0 e denota-se por lim

z→z0

f (z) = ∞, se

∀ > 0 ∃δ > 0 : ∀z ∈ Ω, 0 < |z − z0| < δ =⇒ |f (z)| > 1 .

Definição 1.3.3. Seja f : Ω ⊂ C −→ C e z0 ∈ C um ponto de acumulação de Ω. Dizemos que f tem limite k0 ∈ C quando z tende para ∞ e denota-se por lim

z→∞f (z) = k0, se ∀ > 0 ∃δ > 0 : ∀z ∈ Ω, |z| > 1

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Exemplo 1.3.1. Sejam z0, k0 ∈ C, mostre que lim z→z0 f (z) = ∞ ⇐⇒ lim z→z0 1 f (z) = 0 Solução. Pela definição (1.3.2) temos que,

lim z→z0 f (z) = ∞ ⇐⇒ ∀ > 0 ∃δ > 0 : ∀z ∈ Ω, 0 < |z − z0| < δ =⇒ |f (z)| > 1 ⇐⇒ ∀ > 0 ∃δ > 0 : ∀z ∈ Ω, 0 < |z − z0| < δ =⇒ 1 |f (z)| < ⇐⇒ ∀ > 0 ∃δ > 0 : ∀z ∈ Ω, 0 < |z − z0| < δ =⇒ 1 f (z) < ⇐⇒ lim z→z0 1 f (z) = 0.

Teorema 1.3.1. sejam f : Ω ⊂ C −→ C, z0 = x0+ y0i, w0 = u0 + v0i e f (z) = u(x, y) + v(x, y)i para cada z = x + yi ∈ Ω. Então

lim z→z0 f (z) = w0 ⇐⇒ lim (x,y)→(x0,y0) u(x, y) = u0 e lim (x,y)→(x0,y0) v(x, y) = v0.

Demonstração. (⇒) Suponhamos que lim z→z0

f (z) = w0. Dado > 0 existe δ > 0 tal que se,

0 < |z − z0| < δ ⇒ |f (z) − (u0+ v0i)| < . Logo,

0 < p(x − x0)2+ (y − y0)2 < δ ⇒ |(u(x, y) − u0) + (v(x, y) − v0)i| < . (5) Pela desigualdade triangular temos que,

|(u(x, y) − u0)| ≤ |(u(x, y) − u0) + (v(x, y) − v0)i| (6) e

|(v(x, y) − v0)| ≤ |(u(x, y) − u0) + (v(x, y) − v0)i|. (7) Pelas desigualdades (5) e (6) segue que

|(u(x, y) − u0)| < sempre que 0 < p

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e, pelas desigualdades (5) e (7) segue que |(v(x, y) − v0)| < sempre que 0 < p (x − x0)2+ (y − y0)2 < δ. Portanto, lim (x,y)→(x0,y0) u(x, y) = u0 e lim (x,y)→(x0,y0) v(x, y) = v0.

(⇐) Por hipótese temos, lim (x,y)→(x0,y0)

u(x, y) = u0 e lim (x,y)→(x0,y0)

v(x, y) = v0.

Pela definição de limite de funções reais, dado > 0, existem δ1, δ2 > 0 tais que |(u(x, y) − u0)| < 2 sempre que 0 < p (x − x0)2+ (y − y0)2 < δ1 e |(v(x, y) − v0)| < 2 sempre que 0 < p (x − x0)2 + (y − y0)2 < δ2. Tomando δ = min{δ1, δ2} temos

|u(x, y) + v(x, y)i − (u0+ v0i)| ≤ |u(x, y) − u0| + |v(x, y) − v0| <

2+ 2 = sempre que |z − z0| < δ. Portanto, lim

z→z0

f (z) = w0.

1.3.1 Propriedades dos limites

Teorema 1.3.2. Sejam f, g : Ω ⊂ C −→ C e z0um ponto de acumulação de Ω. Se lim z→z0 f (z) = a e lim z→z0 g(z) = b então: i) lim z→z0 [f (z) + g(z)] = lim z→z0 f (z) + lim z→z0 g(z) = a + b; ii) lim z→z0 [f (z) · g(z)] = lim z→z0 f (z) · lim z→z0 g(z) = a · b;

iii) se b 6= 0 então lim z→z0 1 g(z) = 1 lim z→z0 g(z) = 1 b. Demonstração. De fato,

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i) Suponhamos que lim z→z0

f (z) = a e lim z→z0

g(z) = b. Dado > 0, por definição

∃δ1 > 0, tal que se 0 < |z − z0| < δ1 =⇒ |f (z) − a| < 2 e ∃δ2 > 0, tal que se 0 < |z − z0| < δ2 =⇒ |g(z) − b| < 2. Tomando δ = min{δ1, δ2}, se 0 < |z − z0| < δ temos,

|f (z) + g(z) − (a + b)| = |(f (z) − a) + (g(z) − b)| ≤ |f (z) − a| + |g(z) − b|. < 2 + 2 = . Portanto lim z→z0 [f (z) + g(z)] = a + b

Para demonstrar a propriedade ii), vamos primeiramente considerar um caso particular: Seja h(z) uma função tal que lim

z→z0 h(z) = 0 e lim z→z0 f (z) = a, então lim z→z0 [f (z)h(z)] = 0. Por hipótese lim

z→z0

f (z) = a, para = 1 > 0, existe δ1 > 0 tal que se 0 < |z − z0| < δ1, então |f (z) − a| < 1. Assim, se 0 < |z − z0| < δ1, pela desigualdade triangular temos:

|f (z)| = |f (z) + a − a| ≤ |f (z) − a| + |a| < 1 + |a|. (8) Logo, se 0 < |z − z0| < δ1então

|h(z)f (z)| = |h(z)||f (z)| < |h(z)|(1 + |a|). (9) Como lim

z→z0

h(z) = 0, dado > 0 existe δ2 > 0 tal que

se 0 < |z − z0| < δ2, então |h(z) − 0| = |h(z)| < 1 + |a|.

Tomando δ = min {δ1, δ2}, se 0 < |z − z0| < δ, as desigualdades (8) e (9) são válidas, isto é |h(z)f (z)| < |h(z)|(1 + |a|) =

1 + |a|(1 + |a|) = . Portanto lim

z→z0

(25)

Com base neste resultado iremos mostrar que lim z→z0 f (z) = a e lim z→z0 g(z) = b, então lim z→z0 [f (z)g(z)] = ab. De fato, f (z)g(z) − ab = f (z)g(z) − bf (z) + bf (z) − ab = f (z)[g(z) − b] + b[f (z) − a]. (10) Como lim z→z0 g(z) = b então, lim z→z0

[g(z) − b] = 0 e do caso particular lim z→z0

f (z) [g(z) − b] = 0. De modo análogo, sendo lim

z→z0

f (z) = a então, lim z→z0

[f (z) − a] = 0 de modo que lim z→z0

b [f (z) − a] = 0.

Tomando limites com z → z0 na equação (10), segue que lim z→z0 [f (z)g(z) − ab] = lim z→z0 {f (z)[g(z) − b] + b[f (z) − a]} = lim z→z0 f (z)[g(z) − b] + lim z→z0 b[f (z) − a] = 0 + 0 = 0. Portanto lim z→z0 [f (z)g(z)] = ab iii) De fato, 1 g(z)− 1 b = b − g(z) g(z)b = 1 |g(z)||b||g(z) − b|. (11) Como lim z→z0 g(z) = b, para 0 < < |b|

2 , existe δ1 > 0 tal que

se 0 < |z − z0| < δ1, então |g(z) − b| < < |b|

2. Assim, para 0 < |z − z0| < δ1, temos

|b| = |g(z) − g(z) + b| ≤ |g(z)| + |b − g(z)| < |g(z)| + |b| 2 . Consequentemente, |g(z)| > |b| − |b| 2 = |b| 2 =⇒ 1 |g(z)| < 2 |b|. (12)

Para 0 < |z − z0| < δ1, substituindo a desigualdade (12) na desigualdade (11), segue que 1 g(z) − 1 b = 1 |g(z)||b||g(z) − b| < 2 |b|2|g(z) − b|. (13)

(26)

Novamente, como lim z→z0

g(z) = b, dado > 0, existe δ2 > 0 tal que

se 0 < |z − z0| < δ2então |g(z) − b| < |b|2

2 . (14)

Tomando δ = min {δ1, δ2}, se 0 < |z − z0| < δ, as desigualdades (13) e (14) são válidas de modo que 1 g(z) − 1 b < 2 |b|2 |b|2 2 = . Portanto lim z→z0 1 g(z) = 1 b.

Corolário 1.3.1. Sejam f, g : Ω ⊂ C −→ C e z0um ponto de acumulação de Ω. Se lim z→z0 f (z) = a e lim z→z0 g(z) = b com b 6= 0 então, lim z→z0 f (z) g(z) = lim z→z0 f (z) lim z→z0 g(z) = a b. Demonstração. De fato, lim z→z0 f (z) g(z) = lim z→z0 f (z) · 1 g(z) = lim z→z0 f (z) · lim z→z0 1 g(z) = a · 1 b = a b

1.4 Continuidade

Definição 1.4.1. A f : Ω ⊂ C −→ C diz-se contínua em z0 ∈ Ω quando existe lim z→z0

f (z) e lim

z→z0

f (z) = f (z0). A função f diz-se contínua em Ω se for contínua em todos os pontos de Ω. Teorema 1.4.1. Sejam f, g : Ω ⊂ C −→ C funções contínuas no ponto z0 ∈ C. Então

i) f (z) + g(z) é contínua em z0;

ii) f (z) · g(z) é contínua em z0;

iii) f (z)

g(z) é contínua em z0, desde que g(z) 6= 0. A demonstração segue do Teorema (1.3.2).

(27)

Teorema 1.4.2. Seja f : Ω ⊂ C −→ C. Então f (z) = u(x, y) + v(x, y)i, com z = x + yi ∈ Ω é contínua no ponto z0 = x0 + y0 ∈ Ω se, e somente se, as funções u(x, y) e v(x, y) forem contínuas em (x0, y0).

A demonstração segue do Teorema (1.3.1).

1.5 Diferenciabilidade

Definição 1.5.1. Seja f : Ω ⊂ C −→ C, Ω aberto. A função f (z) diz-se diferenciável em z0 ∈ C se existir e é finito o limite,

lim z→z0

f (z) − f (z0) z − z0

.

Este limite é a derivada de f (z) no ponto z0 e representa-se por f0(z) ou ∂f ∂z(z0).

Observação 1.5.1. A continuidade não implica em diferenciabilidade, mas a diferenciabilidade implica em continuidade.

1.6 Condições de Cauchy-Riemann

Teorema 1.6.1. (Condição necessária de diferenciabilidade) Seja Ω um subconjunto aberto de C, se a derivada de uma função f : Ω ⊂ C −→ C, f = u(x, y) + v(x, y)i, existe no ponto z0 = x0+ y0i ∈ Ω, então as derivadas parciais de primeira ordem de u(x, y) e de v(x, y), em relação a x e a y, denotadas por ∂u

∂x, ∂u ∂y, ∂v ∂x, ∂v

∂y, também existem em (x0, y0) e satisfazem as chamadas condições de Cauchy-Riemann (C-R) dadas por,

     ∂u ∂x(x0, y0) = ∂v ∂y(x0, y0) ∂u ∂y(x0, y0) = − ∂v ∂x(x0, y0) A demonstração é encontrada em Churchill (1975, pg. 33).

Teorema 1.6.2. (Condição suficiente de diferenciabilidade) Sejam u, v funções reais defi-nidas num aberto Ω ⊂ R2. Suponhamos que as suas derivadas parciais em relação a x e a y existem numa vizinhança de (x0, y0) e são continuas em (x0, y0). Se essas derivadas parciais sa-tisfazem as condições de Cauchy-Riemann nesse ponto, então a derivada da função f = u + vi existe no ponto z0 = x0+ y0i ∈ Ω e é dada por

f0(z0) = ∂u ∂x(x0, y0) + ∂v ∂x(x0, y0)i ou f0(z0) = ∂v ∂y(x0, y0) − ∂u ∂y(x0, y0)i.

(28)

A demonstração é encontrada em Churchill (1975, pg.34 − 35).

1.7 Funções holomorfas

Definição 1.7.1. Sejam Ω ⊂ C um aberto e f : Ω −→ C. Diz-se que a função é holomorfa num ponto interior z0 ∈ Ω se a sua derivada f0existe não só em z0 mas também em todos os pontos de uma vizinhança de z0. Uma função diz-se inteira se for holomorfa em todo o plano complexo.

O domínio (ou região) de uma função holomorfa f é o maior subconjunto de C aberto, conexo, no qual f é holomorfa em todos os seus pontos.

Exemplo 1.7.1. Mostre que a função f (z) = z2_{+ 2z é holomorfa.} Solução. Note que,

f (z) = f (x + iy) = (x + iy)2+ 2(x + iy) = x2− y2_{+ 2xyi + 2x + 2yi} = (x2+ 2x − y2) + (2xy + 2y)i, de modo que, ( u(x, y) = x2_{+ 2x − y}2 v(x, y) = 2xy + 2y Como, ∂u ∂x = 2x + 2 = ∂v ∂y e ∂u ∂y = −2y = − ∂v ∂x, segue que f (z) é uma função holomorfa.

(29)

2 _{Integração em C}

Neste capítulo são apresentados os conceitos e propriedades de integrais definidas de funções de uma variável complexa, em seguida é abordado os conceitos de caminhos no plano complexo e de integrais de caminhos. Os conceitos utilizados neste capítulo foram extraídos de Àvila (2008), Canção (2015) e Churchill (1975).

2.1 Integrais definidas

Definição 2.1.1. Seja w(t) = u(t) + v(t)i, t ∈ [a, b], se w for uma função contínua em [a, b], define-se integral de w no intervalo [a, b] como sendo o número complexo

Z b a w(t)dt = Z b a u(t)dt + i Z b a v(t)dt.

Definição 2.1.2. Seja w(t) = u(t) + v(t)i, t ∈ [a, b], se w for uma função seccionalmente contínua em [a, b], então existe um partição do intervalo [a, b], seja a = t0 < t1 < ... < tn−1 = b, tal que wk(t) = w(t), t ∈ [tk, tk+1] (k = 0, ..., n − 1) é contínua (i.e w é contínua em [a, b] exceto eventualmente num número finito de pontos) e o integral de w no intervalo [a, b] é dado por Z b a w(t)dt = n−1 X k=0 Z b a w(t)dt.

2.1.1 Propriedades de integral definida

Teorema 2.1.1. Seja w uma função contínua ou seccionalmente contínua em [a, b], então i) Z b a cw(t)dt = c Z b a w(t)dt, _{c ∈ C (constante)}

ii) Se w1 e w2 forem funções contínuas ou seccionalmente contínuas em [a, b], então Z b a [w1(t) + w2(t)]dt = Z b a w1(t)dt + Z b a w2(t)dt iii) Re Z b a w(t)dt = Z b a Re[w(t)]dt iv) Im Z b a w(t)dt = Z b a Im[w(t)]dt v) Z b a w(t)dt ≤ Z b a |w(t)|dt A demonstração é encontrada em (2008, pg. 79 − 80).

(30)

2.2 _{Caminhos em C}

Definição 2.2.1. Sejam a, b ∈ R, com a < b. Um caminho em C é uma função, γ :[a, b] → C

t 7−→ γ(t) com derivada contínua em todos os pontos de (a, b).

Definição 2.2.2. O contradomínio de γ chama-se curva associada à γ (ou traço de γ) e denota-se por tr(γ). Diz-se que γ é uma parametrização dessa curva.

Definição 2.2.3. Seja γ : [a, b] −→ C um caminho. Os pontos A = γ(a) e B = γ(b) chamam-se, respetivamente, origem (ou ponto inicial) e extremidade (ou ponto final). O sentido da curva associada é "de A para B".

Figura 15: Caminho aberto entre os pontos A e B.

Definição 2.2.4. Seja γ : [a, b] −→ C um caminho. Se γ(a) = γ(b) diz-se que a curva é fechada e o seu sentido é positivo se for contrário aos ponteiros do relógio é negativo.

Figura 16: Curva fechada orientada positivamente.

γ(b) γ(a)

Definição 2.2.5. O caminho γ(t) = x(t) + iy(t), t ∈ [a, b] é de classe C1 _{se as funções x e y} forem contínuas em [a, b] e admitirem derivadas contínuas em (a, b).

(31)

Definição 2.2.6. Um caminho de classe C1_{cuja derivada é diferente de zero, chama-se caminho} regular.

Definição 2.2.7. Um caminho γ : [a, b] −→ C diz-se simples se γ(t1) = γ(t2) apenas se t1 = t2 e diz-se de multiplicidade n se existirem t1, t2, t3, ..., tn ∈ (a, b) com a < t1 < ... < tn< b tais que γ(t1) = γ(t2) = ... = γ(tn). A curva descrita por um caminho simples γ diz-se simples. Definição 2.2.8. Uma curva fechada, simples e regular C divide o plano complexo em dois domínios, um limitado e outro não, tendo C como fronteira comum. O domínio que é limitado chama-se interior à curva C e denotaremos por (int(C)) e o outro domínio chama-se exterior à curva Ce denotaremos por ext(C).

Figura 17: Curva fechada simples e regular.

int(C) C

ext(C)

Definição 2.2.9. Um conjunto A ⊂ C diz-se conexo por caminhos se dados quaisquer z1 e z2 ∈ A, existe um caminho γ : [a, b] −→ A tal que γ(a) = z1e γ(b) = z2, isto é, A é conexo por caminho se dados quaisquer dois pontos em A, existe um caminho em que os une.

Definição 2.2.10. A fronteira ∂Ω de um domínio Ω diz-se orientada positivamente se um ob-servador, ao percorrer a curva ∂Ω, tem o domínio Ω à sua esquerda.

Figura 18: Fronteira orientada positivamente.

Ω ∂Ω

(32)

2.3 Integrais de caminhos

Definição 2.3.1. Seja γ(t) = x(t) + y(t), t ∈ [a, b] um caminho e seja f : Ω ⊂ C −→ C uma função contínua tal que tr(γ) ⊂ Ω (i.e tal que γ([a, b]) ⊂ Ω). Se γ for de classe C1_{, a função} (f ◦ γ)γ0 : t −→ f (γ(t))γ0(t) é contínua em [a, b]. A integral de f ao longo do caminho γ é definido por Z γ f (z)dz = Z b a f (γ(t))γ0(t)dt.

Definição 2.3.2. Seja γ(t) = x(t) + y(t), t ∈ [a, b] um caminho e seja f : Ω ⊂ C −→ C uma função contínua tal que tr(γ) ⊂ Ω (i.e tal que γ([a, b]) ⊂ Ω). Se γ for seccionalmente de classe C1_{, então γ = γ} 1+ γ2 + ... + γncom γk(k = 1, ..., n) de classe C1e Z γ f (z)dz = n X k=1 Z γk f (z)dz.

nestas condições, γ chama-se caminho de integração em [a, b].

Definição 2.3.3. Seja γ(t) = x(t) + y(t), t ∈ [a, b], se γ for de classe C1_então

Lγ := Z b a |γ0(t)|dt = Z b a p (x0_(t))2_{+ (y}0_(t))2_dt.

existe e é finita e o caminho diz-se retificável . Ao valor Lγchama-se comprimento do caminho γ.

2.3.1 Propriedades de integrais de caminhos

Teorema 2.3.1. Se γ : [a, b] −→ C for um caminho de integração e γ uma função contínua em tr(γ) então, i) Z γ cf (z)dz = c Z γ f (z)dz, c ∈ C (constante).

ii) Se f1e f2 forem funções continuas ou contínuas em tr(γ), então Z γ (f1(z) + f2(z))dz = Z γ f1(z)dz + Z γ f2(z)dz iii) Z z f (z)dz ≤ M Lγ, onde M =máx|f (z)| e Lγ é o comprimento de γ.

iv) Seja γ1 uma reparametrização do caminho γ, se f é contínua em tr(γ1) = tr(γ), então Z γ f (z)dz = Z γ1 f (z)dz

(33)

v) Z −γ f (t)dz = − Z γ f (z)dz

A demonstração é encontrada em Ávila (2008, pg. 82 − 84).

Teorema 2.3.2. (Teorema de Cauchy para triângulos) Seja f uma função continua num domí-nio Ω e ∆ ⊂ Ω um triângulo com fronteira ∂∆. Se f for holomorfa em Ω, exceto eventualmente num ponto P , então

Z ∂∆

f (z)dz = 0. A demonstração é encontrada em Soares (2014, pg.107).

Teorema 2.3.3. (Teorema de Cauchy-Goursat) Sejam Ω um domínio convexo e f uma função contínua em Ω exceto eventualmente num ponto P . Então, para toda a curva fechada γ em Ω tem-se que

Z γ

f (z)dz = 0.

Demonstração. Basta mostrar que f tem uma primitiva em Ω, e que existe uma função F holomorfa em Ω tal que F0 = f . Fixemos arbitrariamente z0 ∈ Ω e consideremos

F (z) = Z

[z0,z]

f (ζ)dζ, z ∈ Ω, (15)

em que o caminho de integração é o segmento de reta [z0, z] ⊂ Ω. Provaremos inicialmente que F é holomorfa em Ω. Escolhendo h ∈ C de módulo suficiente pequeno, de modo que z + h ∈ Ω. Pelo Teorema (2.3.2), temos que

Z [z0,z+h] f (ζ)dζ + Z [z+h,z] f (ζ)dζ + Z [z,z0] f (ζ)dζ = 0, (16)

das equações (15) e (16), segue que

F (z + h) − F (z) = Z [z,z+h] f (ζ)dζ. Então, F (z + h) − F (z) h − f (z) = 1 |h| Z [z,z+h] (f (ζ) − f (z))dζ ≤ 1 |h||h| maxζ∈[z,z+h]|f (ζ) − f (z)| = max ζ∈[z,z+h]|f (ζ) − f (z)|.

(34)

Como f é contínua, o max

ζ∈[z,z+h]|f (ζ) − f (z)| → 0 quando h → 0. Portanto, F

0 _{existe e F}0 _{= f .} Como f possui uma primitiva em Ω, então para qualquer caminho fechado γ ∈ Ω, temos que

Z γ

f (z)dz = 0.

Corolário 2.3.1. (Teorema de Cauchy para domínios simplesmente conexo) Seja Ω um do-mínio simplesmente conexo e f holomorfa em Ω. Então

Z γ

f (z)dz = 0

para qualquer curva fechada, simples e regular γ totalmente contida em Ω. A demonstração segue do Teorema (2.3.3).

Corolário 2.3.2. (Teorema de Cauchy para domínios multiplamente conexo ) Sejam Ω um domínio e f uma função holomorfa em Ω. Se G for um domínio tal que ¯G ⊂ Ω, limitado por um conjunto finito de curvas simples, regulares e fechadas γ1, γ2, ..., γn, orientadas positivamente então

Z ∂G

f (z)dz = 0. A demonstração segue do Teorema (2.3.3).

Teorema 2.3.4. (Fórmula integral de Cauchy) Seja f uma função holomorfa num domínio simplesmente conexo Ω e γ um caminho simplesmente fechado, orientado positivamente e tal que a curva por si descrita esteja totalmente contida em Ω. Se z0 é um ponto interior a essa curva, então f (z0) = 1 2πi Z γ f (z) z − z0 dz.

Demonstração. Como f é contínua em z0, dado > 0, existe δ > 0 tal que |z − z0| < δ ⇒ |f (z) − f (z0)| <

. Considere a circunferência Cρ = {z ∈ Ω : |z − z0| = ρ}, com 0 < ρ < δ, de modo que Cρ esteja no interior da curva descrita por γ. Então,

|f (z) − f (z0)| < para |z − z0| = ρ.

Por outro lado, a função g(z) = f (z) z − z0

(35)

Pelo Corolário (2.3.2), tem-se que Z γ g(z)dz = Z Cρ g(z)dz = Z Cρ f (z) − f (z0) z − z0 dz + f (z0) Z Cρ 1 z − z0 dz = Z Cρ f (z) − f (z0) z − z0 dz + f (z0)2πi. (17)

Pelo Teorema (2.3.1) item iii) tem-se, Z Cρ f (z) − f (z0) z − z0 dz ≤ ρLCρ = ρ2πρ = 2π. (18)

Como > 0 é arbitrariamente pequeno, então Z Cρ f (z) − f (z0) z − z0 dz = 0. (19)

Das expressões (17) e (19), segue que Z γ g(z)dz = f (z0)2πi =⇒ f (z0) = 1 2πi Z γ f (z) z − z0 dz

Teorema 2.3.5. (Fórmula integral de Cauchy para derivadas ) Seja f uma função holomorfa num domínio simplesmente conexo Ω e γ um caminho simples e fechado, orientado positiva-mente e tal que a curva por si descrita esteja totalpositiva-mente contida em Ω. Então, f possui derivadas de todas as ordens, holomorfas em Ω e dadas por

f(n)(z) = n! 2πi Z γ f (ζ) (ζ − z)n+1dζ (n = 0, 1, ...). A demonstração é encontrada em Ávila (2008, pg.103-105).

(36)

3 Séries, Zeros de Funções Holomorfas e a Teoria dos

Resí-duos

No Capítulo 1, foi introduzido o conceito de funções holomorfas, enquanto que no Ca-pítulo 2, foi abordado os conceitos de integrais no plano complexo. A partir de tais conceitos, neste capítulo é abordado os conceitos de séries de números complexos, séries de Taylor e as séries de Laurent, que representa funções complexas em certas regiões onde tais séries conver-gem. O desenvolvimento de uma função holomorfa em série de Laurent é fundamental para o cálculo dos resíduos, o qual é apresentado no final deste capítulo. Os conceitos utilizados neste capítulo foram extraídos de Àvila (2008), Canção (2015) e Churchill (1975).

3.1 Séries de números complexos

Definição 3.1.1. Uma série de números complexos é uma soma infinita forma z1+ z2 + ... + zn+ ..., que se representa usualmente por

+∞ X k=1

zn, explicitando seu termo geral zn (n ∈ N). A

sequência associada sn = n X k=1 zk ! n∈N

, chama-se sequência das somas parciais.

Definição 3.1.2. A série diz-se convergente se a sequência das somas parciais for convergente e, nesse caso, o limite da sucessão é a soma da série.

Definição 3.1.3. A série +∞ X n=1

zndiz-se absolutamente convergente se +∞ X n=1

|zn| for convergente.

Definição 3.1.4. Uma sequência de funções (fn)n∈N, definida num subconjunto A de C, con-verge pontualmente em A se, para cada z ∈ A, a sequência das imagens fn(z) convergir para uma função definida em A.

Definição 3.1.5. Uma série da forma +∞ X n=0

an(z − z0)n(com an ∈ C constantes, e z0 ∈ C, fixo) chama-se série de potências centrada em z0.

Definição 3.1.6. Consideremos o número real r > 0, dado por r = lim |an| |an+1|

ou por r = 1 ρ, onde ρ = limp|an

n|, desde que estes limites existam (se ρ = 0, considera-se r = +∞, considera-se r = 0).

Definição 3.1.7. O número real r > 0 é chamado de raio de convergência e o disco Dr(z0) é chamado de disco de convergência da série.

Observação 3.1.1. O teorema não estabelece a natureza da série na fronteira do disco de con-vergência, isto é, em {z ∈ C : |z − z0| = r}. Para estes pontos é necessário fazer uma análise direta da série.

(37)

Teorema 3.1.1. (Teorema de Taylor) Seja f (z) uma função holomorfa num domínio Ω e z0 ∈ Ω. Seja DR(z0) o disco centrado em z0de máximo raio R > 0 tal que DR(z0) ⊂ Ω. Então

f (z) = +∞ X n=0 f(n)_(z 0) n! (z − z0) n , z ∈ DR(z0),

convergindo a série absoluta e uniformemente em qualquer sub-disco fechado de DR(z0). Demonstração. Sejam r1 < r2 < R e z ∈ ¯Dr1(z0). Pelo Teorema (2.3.4),

f (z) = 1 2πi Z ∂D_r2(z0) f (ζ) ζ − zdζ. (20) Temos que 1 ζ − z = 1 ζ − z0+ z0− z = 1 (ζ − z0) 1 − z − z0 ζ − z0 . Como |z − z0| ≤ r1e |ζ − z0| = r2, temos z − z0 ζ − z0 ≤ r1 r2 < 1,

logo, neste domínio,

+∞ X n=0 z − z₀ ζ − z0 n = 1 1 − z − z0 ζ − z0 .

A série absoluta converge uniformemente em ¯Dr1(z0).

Logo, 1 ζ − z = 1 (ζ − z) 1 −z − z0 ζ − z0 = +∞ X n=0 (z − z0)n (ζ − z0)n+1 , |z − z0| < |ζ − z0|. (21)

Substituindo a equação (21) na equação (20) temos,

f (z) = 1 2πi Z ∂D_r2(z0) +∞ X n=0 f (ζ)(z − z0)n (ζ − z0)n+1 dζ = +∞ X n=0 (z − z0)n 1 2πi Z ∂D_r2(z0) f (ζ) (ζ − z0)n+1 dζ = +∞ X n=0 an(z − z0)n,

(38)

sendo an = 1 2πi Z ∂D_r2(z0) f (ζ) (ζ − z0)n+1 dζ = f (n)_(z 0) n! Definição 3.1.8. Se z0 = 0, f (z) = +∞ X n=0 f(n)(0) n! z n_{, z ∈ D}

R(0), chama-se série de Maclaurin de f .

3.2 Séries de Laurent

Definição 3.2.1. Chama-se série de Laurent uma série da forma +∞ X n=0 an(z − z0)n+ +∞ X n=1 bn (z − z0)n ,

em que an(n = 0, 1, 2, ...) e bn(n = 0, 1, 2, ...) são os coeficientes.

A série de Laurent é convergente na região anelar {z ∈ C : r1 < |z − z0|, r2}, sendo r1 e r2 dois números reais positivos.

Definição 3.2.2. A série das potências negativas de z − z0 chama-se parte principal da série de Laurent e à série das potências não negativas de z − z0(que representa uma função holomorfa) chama-se parte regular da série de Laurent.

Note que a série de Laurent pode ser escrita na forma compacta +∞

X n=−∞

cn(z − z0)n

em que cn(n = 0, ±1, ±2, ...) são os coeficientes.

Teorema 3.2.1. (Teorema de Laurent) Sejam C1 e C2 duas circunferências de centro em z0 e raios r1e r2, respetivamente, tais que 0 < r1 < r2. Se f é uma função holomorfa em C1e C2 e na região anelar entre C1 e C2, então

f (z) = +∞ X n=−∞

cn(z − z0)n, r1 < |z − z0| < r2,

converge absolutamente nesta região anelar e uniformemente em cada coroa circular fechada {z ∈ C : s1 ≤ |z − z0| ≤ s2}, sendo r1 < s1 < s2 < r2.

Os coeficientes da série são dados por

cn= 1 2πi Z C f (ζ) (ζ − z0)n+1 dζ, (n = 0, ±1, ±2, ...)

onde C é uma curva simples qualquer, fechada, orientada positivamente e totalmente contida na região anelar C1e C2 tal que z0 esteja situado no seu interior.

(39)

Demonstração. Fixemos arbitrariamente um ponto z na região anelar entre C1 e C2. Em con-sequência do Corolário (2.3.2) e do Teorema (2.3.4),

f (z) = 1 2πi Z C2 f (ζ) ζ − zdζ − 1 2πi Z C1 f (ζ) ζ − zdζ. Repetindo os processos feitos na demostração do Teorema (3.1.1), segue que

1 ζ − z = +∞ X n=0 (z − z0)n (ζ − z0)n+1 , |z − z0| < |ζ − z0| = r2 logo, 1 2πi Z C2 f (ζ) ζ − z0 dζ = +∞ X n=0 1 2πi Z C2 f (ζ) (ζ − z0)n+1 dζ (z − z0)n, |z − z0| < r2. Então, f (z) = +∞ X n=0 an(z − z0)n− 1 2πi Z C1 f (ζ) ζ − zdζ, |z − z0| < r2, (22) com an= 1 2πi Z C2 f (ζ) (ζ − z0)n+1 dζ (n = 0, 1, 2, ...).

Procedendo de forma análoga para a integral da equação (22), temos que − 1 2πi Z C1 f (ζ) ζ − zdζ = 1 2πi Z C1 f (ζ) z − ζdζ = +∞ X n=1 1 2πi Z C1 f (ζ) (ζ − z0)n+1 dζ 1 (z − z0)n , |z − z0| > r1 Logo, − 1 2πi Z C1 f (ζ) ζ − zdζ = +∞ X n=1 bn (z − z0)n , |z − z0| > r1, com bn = 1 2πi Z C1 f (ζ) (ζ − z0)n+1 dζ (n = 1, 2, ...).

3.3 Zeros de funções holomorfas

Na secção 1.7 foi introduzido o conceito de função holomorfa, a partir deste conceito nesta secção é abordado o conceito de zeros e singularidades de funções holomorfas.

(40)

Definição 3.3.1. Seja f uma função holomorfa em z0 ∈ C. Se f (z0) = f 0 (z0) = f 00 (z0) = ... = fm−1(z0) = 0 e fm(z0) 6= 0, z0diz-se um zero de f de multiplicidade m ≥ 1. Se m = 1, o zero de f diz-se simples.

Definição 3.3.2. Diz-se que uma função f tem uma singularidade num ponto z0 se f não for holomorfa nesse ponto.

Definição 3.3.3. Diz-se que o ponto z0 é uma singularidade isolada de f se a função for holo-morfa numa vizinhança de z0, exceto no próprio ponto z0.

Definição 3.3.4. Uma singularidade isolada z0 de f diz-se: • removível se lim

z→z0f (z) = l, l ∈ C;

• pólo se lim z→z0

f (z) = ∞; • essencial se não existir lim

z→z0

f (z).

Definição 3.3.5. Diz-se que a singularidade isolada z0 de uma função f é um pólo de ordem m ≥ 1 se lim z→z0 (z − z0)mf (z) 6= 0 e lim z→z0 (z − z0)mf (z) 6= ∞. Se, m = 1, o pólo diz simples.

3.4 Teoria dos resíduos

Definição 3.4.1. Seja f uma função com uma singularidade isolada no ponto z0e holomorfa na coroa circular Kz0(0, r) = {z ∈ C : 0 < |z − z0| < r}, r > 0. Então, f admite um

desenvolvi-mento em série de Laurent no ponto z0, +∞ X n=−∞ cn(z − z0)n, z ∈ Kz0(0, r), (23) onde cn = 1 2πi Z C f (z) (z − z0)n+1

dz (n ∈ z), sendo C uma circunferência de centro em z0 e raio ρ, tal que 0 < ρ < r.

Definição 3.4.2. Ao coeficiente c−1da série de Laurent chama-se resíduo de f em z0e representa-se por Res(f, z0).

Definição 3.4.3. Se z0for uma singularidade removível de f , tem-se c−1 = 0, isto é , o resíduo de f em z0 é zero. Então, só poderão existir resíduos não nulos em pólos e singularidades essenciais:

(41)

• Suponha que z0 é um pólo simples de f . Então f (z) = c−1

z − z0

+ c0+ c1(z − z0) + ..., (24)

multiplicando (z − z0) em ambos os lados da equação (24) tem-se,

(z − z0)f (z) = c−1+ c0(z − z0) + c1(z − z0)2+ ..., (25) tomando o limite com z → z0em ambos os membros da equação (25), segu que

c−1 = lim z→z0

(z − z0)f (z). (26)

• Se z0 é um pólo de ordem m > 1 de f , então f (z) = c−m

(z − z0)m

+ ... + c−1 z − z0

+ c0+ c1(z − z0) + ..., (27)

multiplicando (z − z0)m em ambos os lados da equação (27) tem-se,

(z − z0)mf (z) = c−m+ ... + c−1(z − z0)m−1+ c0(z − z0)m+ ..., (28) derivando m − 1 vezes ambos os lados da equação (28) e tomando o limite com z → z0, segue que c−1 = 1 (m − 1)!z→zlim0 dm−1 dzm−1(z − z0) m_{f (z)} . (29)

• Se z0 é uma singularidade essencial. Como a parte principal da série de Laurent tem um número infinito de termos não nulos, o cálculo de c−1faz-se recorrendo à própria série. Teorema 3.4.1. (Teorema dos resíduos) Seja f uma função holomorfa num domínio Ω ⊂ C, exceto num número finito de singularidades isoladas, zk (k = 1, ..., n). Seja γ uma curva seccionalmente regular, simples e fechada, orientada positivamente, totalmente contida em Ω e tal que os pontos zk(k = 1, ..., n) se encontrem no seu interior. Então,

Z γ f (z)dz = 2πi n X k=1 Res(f, zk).

Demonstração. Sejam γ1, γ2, ..., γn circunferências de centros z1, z2, ..., zn, respectivamente e raios escolhidos de tal forma que as circunferências sejam disjuntas e se encontrem todas no interior de γ, como ilustra a Figura (19).

(42)

Figura 19: Curva fechada γ z1 z2 zn z3 γ γ1 γ2 γn γ3 Im(z) Re(z) Fonte: Próprio autor.

Pelo Corolário (2.3.2), tem-se que Z γ f (z)dz = Z γ1 f (z)dz + Z γ2 f (z)dz + ... + Z γn f (z)dz. (30)

Como f é holomorfa em γke no seu interior, exceto em zk, para cada k = 1, ..., n, pelo Teorema (3.2.1), segue que Z γk f (z)dz = Z γk +∞ X j=−∞ cj(z − zk)j dz Z γk f (z)dz = +∞ X j=−∞ Z γk cj(z − zk)jdz . (31)

Calculando as integrais do segundo membro da equação (31), consoante aos valores de j, tem-se que

• se j = −1, Z

γk

c−1(z − zk)−1dz = c−12πi = 2πi Res(f, zk),

• se j > −1, Z γk cj(z − zk)jdz = 0, pelo Teorema (2.3.3), • se j < −1, seja l = −j, Z γk cj(z − zk)jdz = Z γk c−l 1 (z − zk)l dz = 0, pelo Teorema (2.3.5).

(43)

Logo,

Z γ

f (z)dz = 2πi Res(f, zk) para cada k = 1, ..., n. (32)

Substituindo a equação (32) na equação (30), tem-se Z

γ

f (z)dz = 2πi Res(f, z1) + 2πi Res(f, z2) + ... + 2πi Res(f, zn) = 2πi n X k=1

(44)

4 Aplicação da Teoria dos Resíduos no Cálculo de Integrais

Impróprias

O cálculo de certas integrais impróprias de funções reais pode ser obtido através da te-oria dos resíduos. Neste capítulo, é apresentado a aplicação da tete-oria dos resíduos no cálculo de integrais impróprias de funções racionais e integrais impróprias envolvendo funções trigonomé-tricas, que são trabalhosas ou difíceis de serem caculadas por técnicas matemáticas elementares. Os conceitos e aplicações apresentado neste capítulo foram extraídos de Ávila (2008), Canção (2015), Churchill (1975) e Shokraian (2002).

4.1 Integrais impróprias de funções racionais

Teorema 4.1.1. Seja f (z) = P (z)

Q(z) uma função racional onde Q(z) não tem zeros reais. Se a diferença entre o grau do polinômio P (z) e o polinômio Q(z) é maior ou igual a 2, então

lim r→+∞

Z Cr

f (z)dz = 0

onde Cr é a semicircunferência superior de centro na origem e raio r.

Demonstração. De fato, como zmP (z) e Q(z) são polinômios de mesmo grau, zm_{f (z) tem} limite finito e diferente de zero com z → ∞, portanto, existem n e k positivos tais que

|z| = r > n ⇒ |f (z)| ≤ k rm. Em consequência, temos que

Z Cr f (z)dz ≤ Z Cr |f (z)||dz| ≤ k rm Z Cr |dz| = kπ rm−1, como m ≥ 2, integral sobre Crtende a zero quando r → ∞.

Considere as integrais reais do tipo, Z +∞

−∞

f (x)dx, (33)

em que f (x) = p(x)

q(x), p(x) e q(x) são polinômios e o grau de q(x) é maior do que o grau de p(x), no mínimo por duas unidades, e q(x) não se anula em R.

Estas condições é uma consequência direta do teorema (4.1.1), que será muito impor-tante para obter o resultado da integral (33).

(45)

Para calcular a integral (33) usando a teoria dos resíduos, a técnica inicial é considerar f (z) = P (z)

Q(z) sendo a continuação complexa da função f (x), com as singularidades isoladas z1, z2, ..., zk situadas no semiplano superior H+ := {z ∈ C : Im(z) > 0}. Em seguida consi-dere a semicircunferência superior Crde centro na origem e raio r > 0 e o segmento de reta de x = −r a x = r de tal forma que γr = Cr∪ [−r, r], seja um caminho fechado, simples e regular contendo as singularidades isoladas z1, z2, ..., zk no seu interior, como ilustra a a Figura (20).

Figura 20: Caminho situado no semiplano superior

zk z1 −r _{r Re(z)} Im(z) Cr 0

O contorno γr também pode ser tomado no semiplano inferior H−:= {z ∈ C : Im(z) < 0}. Neste caso, o caminho de x = −r a x = r, seguido da semicircunferência inferior Crde centro na origem e raio r > 0, constitui um caminho fechado com orientação negativa, como ilustra a Figura (21). Para mais detalhes veja o problema (4.1.2).

Figura 21: Caminho situado no semiplano inferior

−r r Re(z) Im(z) Cr 0 z1 zk

(46)

incluir o caminho de integração Crao intervalo [−r, r] é chamado de "dobrar caminho de inte-gração".

Considerando o caminho fechado, simples e regular γr = Cr ∪ [−r, r], situado no semiplano superior H+, o qual satisfaz as condições do Teorema (3.4.1), segue que

Z γr

f (z)dz = 2πi X zk∈H+

Res(f, zk). (34)

Por outro lado,

Z γr f (z)dz = Z r −r f (x)dx + Z Cr f (z)dz (35)

substituindo a equação (35) na equação (34), temos Z r −r f (x)dx + Z Cr f (z)dz = 2πi X zk∈H+ Res(f, zk). (36)

Tomando limites com r → ∞ na equação (36), segue que lim r→∞ Z r −r f (x)dx + lim r→∞ Z Cr f (z)dz | {z } J = 2πi X zk∈H+ Res(f, zk), (37)

pelo Teorema (4.1.1) a integral J do primeiro membro da equação (37), tende a zero quando r → ∞. Portanto, lim r→∞ Z r −r f (x)dx = Z +∞ −∞ f (x)dx = 2πi X zk∈H+ Res(f, zk)

o qual é o resultado desejado. Veja algumas aplicações. Problema 4.1.1. Mostre que,

Z ∞ 0 dx (x2_{+ a}2_)(x2_{+ b}2₎ = 2π 2ab(a + b) com a ≥ b > 0. Solução. Sendo f (x) = 1

(x2_{+ a}2_)(x2_{+ b}2₎ uma função par, podemos escrever Z ∞ 0 dx (x2_{+ a}2_)(x2_{+ b}2₎ = 1 2 Z +∞ −∞ dx (x2_{+ a}2_)(x2_{+ b}2₎. Sendo f (z) = 1

(47)

singularida-des isoladas são:

z2+ a2 = 0 =⇒ z = ±ai, ou

z2+ b2 = 0 =⇒ z = ±bi.

Considerando a semicircunferência superior Cr de centro na origem e raio r > a, de tal forma que γr = Cr∪ [−r, r] seja um caminho fechado, simples e regular contendo as singularidades isoladas z1 = ai e z2 = bi no seu interior, como ilustra a Figura (22).

Figura 22: Caminho γrsituado no semiplano superior

bi ai −r r Cr Im(z) Re(z) 0

Como γr é um caminho que está situado no semiplano H+ e satisfaz as condições do Teorema (3.4.1), então

Z γr

f (z)dz = 2πi[Res(f, bi) + Res(f, ai)]. (38)

Mas, Z γr f (z)dz = Z Cr f (z)dz + Z r −r f (x)dx, (39)

substituindo a equação (39) na equação (38), segue que Z

Cr

f (z)dz + Z r

−r

f (x)dx = 2πi[Res(f, bi) + Res(f, ai)]. (40)

Aplicando limites com z → bi e z → ai na função f (z), para obter a classificação das singula-ridades isoladas z1 = bi e z1 = bi, assim

lim z→bi

1

(48)

e

lim z→ai

1

(z − ai)(z + ai)(z − bi)(z + bi) = ∞, logo z1 = bi e z2 = ai são pólos simples.

Calculando o resíduo em z1 = bi pela equação (26), temos Res(f, bi) = lim

z→bi(z − bi)f (z) = limz→bi(z − bi)

1

(z − bi)(z + bi)(z − ai)(z + ai) = lim

z→bi

1

(z + bi)(z − ai)(z + ai) =

1

2bi(a2_{− b}2₎. (41)

Calculando o resíduo em z2 = ai pela equação (26), temos Res(f, ai) = lim

z→ai(z − ai)f (z) = limz→ai(z − ai)

1

(z − ai)(z + ai)(z − bi)(z + bi) = lim

z→ai

1

(z + ai)(z + bi)(z − bi) =

1

2ai(b2_{− a}2₎. (42)

Substituindo as equações (41) e (42) na equação (40), segue que

Z Cr f (z)dz + Z r −r f (z)dz = 2πi 1 2bi(a2_{− b}2₎ + 1 2ai(b2_{− a}2₎ = 2πi 2bi(a2_{− b}2₎+ 2πi 2ai(b2_{− a}2₎ = π b(a2_{− b}2₎+ π a(b2_{− a}2₎ = π a(b 2_{− a}2_{) + b(a}2_{− b}2₎ b(a2_{− b}2_)a(b2_{− a}2₎

= π a(b − a)(b + a) + b(a − b)(a + b) ab(a + b)(a − b)(b − a)(b + a)

= π a(b − a) + b(a − b) ab(a + b)(a − b)(b − a) = π ab − a2_{+ ba − b}2 ab(a + b)(ab − a2_{− b}2_{+ ba)}

= π

ab(a + b). (43)

Tomando limites com r → +∞ na equação (43), temos lim r→+∞ Z Cr f (z)dz | {z } I + lim r→+∞ Z r −r f (x)dx = π ab(a + b) (44)

(49)

Aplicando o módulo na integral I da equação (44), segue que Z Cr f (z)dz ≤ max z∈Cr |f (z)| L(Cr) | {z } πr . (45) Mas, |f (z)| = 1 (z2_{+ a}2_)(z2_{+ b}2₎ = 1 |z2_{+ a}2_||z2_{+ b}2_| ≤ 1 ||z2_{| − a}2_|||z2_{| − b}2_| = 1 ||z|2 _{− a}2_|||z|2_{− b}2_|, então, max z∈Cr |f (z)| ≤ max z∈Cr 1 ||z|2_{− a}2_|||z|2_{− b}2_| = 1 (r2_{− a}2_)(r2_{− b}2₎. (46) Substituindo a desigualdade (46) na desigualdade (45), temos

Z Cr f (z)dz ≤ 1 (r2_{− a}2_)(r2 _{− b}2₎πr, (47) tomando o limite com r → +∞ na desigualdade (47), segue que

Z Cr

f (z)dz → 0 quando r → +∞. (48)

Com base nos resultados de (48) e (44), temos lim r→+∞ Z r −r f (x)dx = π ab(a + b). Portanto, Z ∞ 0 dx (x2_{+ a}2_)(x2_{+ b}2₎ = 1 2 Z +∞ −∞ dx (x2_{+ a}2_)(x2_{+ b}2₎ = π 2ab(a + b). Problema 4.1.2. Suponha que a, b e c são números reais e que b2 < 4ac. Mostre que,

Z +∞ −∞ dx ax2_{+ bx + c} = 2π √ 4ac − b2. Solução. Considerando f (z) = 1

(50)

f (x) = 1

ax2_{+ bx + c}, tem-se que f (z) possuem singularidades isoladas em,

az2+ bz + c = 0 =⇒ z1 =

−b +√4ac − b2 _i

2a ou z2 =

−b −√4ac − b2 _i

2a .

Considerando a semicircunferência inferior Crde centro na origem e raio

r > max −b 2a, − √ 4ac − b2 2a ,

de tal forma que γr = Cr ∪ [−r, r] seja um caminho fechado, simples e regular contendo a singularidade isolada z2 =

−b −√4ac − b2_i

2a no seu interior, como ilustra a Figura (23 ). Figura 23: Caminho γr situado no semiplano inferior

0 −r r z2 Cr Im(z) Re(z)

Como γr é um caminho que está no situado no semiplano H− e satisfaz as condições do Teorema (3.4.1), então

Z γr

f (z)dz = −2πi[Res(f, z2)]. (49)

Por outro lado,

Z γr f (z)dz = Z r −r f (x)dx − Z Cr f (z)dz, (50)

substituindo a equação (50) na equação (49), segue que Z r −r f (x)dx − Z Cr f (z)dz = −2πi[Res(f, z1)]. (51)

(51)

isolada z2 = −b −√4ac − b2_i 2a , assim lim z→z2 1 a(z − z1)(z − z2) = ∞ logo z2 = −b −√4ac − b2_i 2a é um pólo simples.

Calculando o resíduo em z2 pela equação (26), segue que Res(f, z2) = lim z→z2 (z − z2)f (z) = lim z→z2 (z − z2) 1 a(z − z1)(z − z2) = lim z→z2 1 a(z − z1) = 1 a −b − √ 4ac − b2 _i 2a − −b +√4ac − b2 _i 2a = 1 a −b − √ 4ac − b2_i 2a + b −√4ac − b2_i 2a = 1 a −b − √ 4ac − b2_{i + b −}√_{4ac − b}2 _i 2a = 1 a −2 √ 4ac − b2 _i 2a = 1 −√4ac − b2 _i. (52)

Substituindo a equação (52) na equação (51), temos Z r −r f (x)dx − Z Cr f (z)dz = −2πi 1 −√4ac − b2 _i = 2π √ 4ac − b2. (53) Tomando limites com r → +∞ na equação (53), temos que

lim r→+∞ Z r −r f (x)dx − lim r→+∞ Z Cr f (z)dz | {z } I = √ 2π 4ac − b2. (54)

Aplicando o módulo na integral I da equação (54), segue que Z Cr f (z)dz ≤ max z∈Cr |f (z)| L(Cr) | {z } πr . (55) Mas, |f (z)| = 1 az2_{+ bz + c} ≤ 1 |az2_{| − |bz| − |c|} = 1 |a||z|2_{− |b||z| − |c|}

(52)

então, max z∈Cr |f (z)| ≤ max z∈Cr 1 |a||z|2_{− |b||z| − |c|} = 1 |a|r2_{− |b|r − |c|}, (56) substituindo a desigualdade (56) na desigualdade (55), temos

Z Cr f (z)dz ≤ 1 |a|r2_{− |b|r − |c|}πr, (57)

tomando o limite com r → +∞ na desigualdade (57), segue que Z

Cr

f (z)dz → 0 quando r → +∞. (58)

Com base nos resultados de (58) e (54), obtemos lim r→+∞ Z r −r f (x)dx = √ 2π 4ac − b2. Logo, Z +∞ −∞ f (x)dx = √ 2π 4ac − b2. Problema 4.1.3. Mostre que,

Z ∞ 0 x2 (x2_{+ a}2₎2dx = π 4a com a > 0. Solução: Sendo f (x) = x 2

(x2_{+ a}2₎2 uma função par, podemos escrever Z ∞ 0 x2 (x2_{+ a}2₎2dx = 1 2 Z +∞ −∞ x2 (x2_{+ a}2₎2dx. Considerando f (z) = z 2

(z2_{+ a}2₎2 a continuação complexa da função f (x), tem-se que f (z) possuem singularidades isoladas em,

z2+ a2 = 0 =⇒ z = ±ai.

Considere a semicircunferência superior Crde centro na origem e raio r > a, de tal forma que γr= Cr∪ [−r, r] seja um caminho fechado, simples e regular contendo a singularidade isolada z1 = ai no seu interior, como mostra a Figura (24).

(53)

Figura 24: Caminho γrsituado no semiplano superior ai −r r Cr Im(z) Re(z) 0

Como γr é um caminho que está situado no semiplano H+ e satisfaz as condições do Teorema (3.4.1), então

Z γr

f (z)dz = 2πiRes(f, ai). (59)

Por outro lado, Z γr f (z)dz = Z Cr f (z)dz + Z r −r f (x)dx, (60)

substituindo a equação (60) na equação (59), temos Z Cr f (z)dz + Z r −r f (x)dx = 2πiRes(f, ai). (61)

Tomando o limite com z → ai na função f (z) para obter a classificação da singularidade isolada z1 = ia, assim lim z→ai z2 [(z − ai)(z + ai)]2 = ∞, logo z1 = i é um pólo. Como, lim z→ai(z − ai) 2 z2 (z − ai)2_{(z + ai)}2 = 1 4 podemos dizer que z1 = ai é um pólo de ordem 2.

(54)

Calculando o resíduo em z1 = ai, pela equação (29), temos Res(f, ai) = 1 1!z→ailim d dz (z − ai)2 z 2 (z − ai)2_{(z + ai)}2 = lim z→ai d dz z2 (z + ai)2 = lim z→ai 2z(z + ia)2_{− z}2 _{2(z + ai)} (z + ai)4 = 1 4ai, (62)

substituindo a equação (62) na equação (61), segue que Z Cr f (z)dz + Z r −r f (x)dz = 2πi 1 4ai = π 2a. (63)

Tomando limites com r → +∞ na equação (63), temos

lim r→+∞ Z Cr f (z)dz | {z } I + lim r→+∞ Z r −r f (x)dx = π 2a, (64)

aplicando o módulo na integral I da equação (64), temos que Z Cr f (z)dz ≤ max z∈Cr |f (z)| L(Cr) | {z } πr . (65) Mas, |f (z)| = z2 (z2_{+ a}2₎2 = |z 2_| |z2_{+ a}2_||z2_{+ a 2|} ≤ |z2_| ||z2_{| − a}2_|||z2_{| − a}2_| = |z| 2 ||z|2_{− a}2_|||z|2_{− a}2_| então, max z∈Cr |f (z)| ≤ max z∈Cr |z|2 ||z|2_{− a}2_|||z|2_{− a}2_| = r2 (r2_{− a}2_)(r2_{− a}2₎, (66) substituindo a desigualdade (66) na desigualdade (65), segue que

Z Cr f (z)dz ≤ r 2 (r2_{− a}2_)(r2₋2₎πr. (67) Tomando o limite com r → +∞ na desigualdade (67), temos

lim r→+∞

Z Cr+

(55)

Com base nos resultados de (68) e (64), segue que lim r→+∞ Z r −r f (x)dx = π 2a. Portanto, Z ∞ 0 dx (x2_{+ 1)}2dx = 1 2 Z +∞ −∞ dx (x2_{+ 1)}2dx = π 4a.

4.2 Integrais impróprias envolvendo funções trigonométricas

Antes de aplicar a teoria dos resíduos no cálculo de integrais impróprias envolvendo funções trigonométricas, será introduzido o lema de Jordan que faz necessário para este tipo de aplicação.

Lema 4.2.1. Seja θ ∈ R, então sen θ ≥ 2θ

π para 0 ≤ θ ≤ π 2. Demonstração. Considerando a função f (θ) = sen θ −2θ

π a sua derivada será f

0_{(θ) = cos θ −} 2

π. Então f 0

(θ) > 0 para 0 < θ < a para algum a ∈ R e f0(θ) < 0 para a < θ < π 2. Segue que a função é crescente no intervalo (0, a) e decrescente no intervalo

a,π 2 . Como f (0) = f π 2

= 0, concluímos que f (θ) ≥ 0 para todo θ ∈ 0,π 2 . Logo, sen θ ≥ 2θ π neste intervalo.

Lema 4.2.2. (Lema de Jordan) Seja CRo semicírculo superior do círculo |z| = R. Considere a integral

Z CR

eirzg(z)dz, onde r > 0. Se f é holomorfa sobre CR e no interior de CRexceto num número finito de pontos singulares isolados, e que o máximo G(R) de |f (z)| para z ∈ CR tenda a zero com R → ∞, então

lim R→∞

Z CR

eirzg(z)dz = 0.

Demonstração. Seja CRo semicírculo superior do círculo |z| = R. Suas equações paramétricas são x = R cos θ, y = R sen θ ou z = Reiθ, 0 ≤ θ ≤ π. Pela Definição (??),

Z CR

eirzg(z)dz = Z π

0

eir(Reiθ)g(Reiθ)iReiθdθ.

Mas, Z CR eirzg(z)dz ≤ Z π 0 |eir(Reiθ₎

||g(Reiθ_)||iReiθ_{|dθ ≤ RG(R)} Z π

0

(56)

segue que, RG(R) Z π 0 e−rR sen θdθ = RG(R) Z π₂ 0 e−rR sen θdθ + Z π π 2 e−rR sen θdθ .

Note que senθ = sen(π − θ), θ ∈ [0, π]. Logo

RG(R) Z π 0 e−rR sen θdθ] = RG(R) Z π₂ 0 e−rR sen θdθ + Z π π 2 e−rR sen(π−θ)dθ . (69)

Fazendo t = π − θ na segunda integral do segundo membro da equação (69) teremos dt = −dθ. Para encontrar os novos limites de integração, notemos que, se θ = π

2 então t = π 2 e se θ = π então t = 0. Assim, Z CR eirzg(z)dz ≤ RG(R) Z π₂ 0 e−rR sen θdθ − Z 0 π 2 e−rR sentdt = RG(R) Z π₂ 0 e−rR sen θdθ + Z π₂ 0 e−rR sen θdθ = 2RG(R) Z π₂ 0 e−rR sen θdθ.

Pelo lema (4.2.1) temos que sen θ ≥ 2θ

π para 0 ≤ θ ≤ π

2. Desta forma temos, Z CR eirzg(z)dz ≤ 2RG(R) Z π₂ 0 e−2rRπθdθ = 2RG(R) −π 2rRe −2rθ π π₂ 0 = G(R) −π r e −2rθ π π₂ 0 = πG(R) r 1 − e−rR .

Como G(R) → 0 quando R → +∞, temos que Z CR eirzg(z)dz → 0 quando R → ∞.

Veja algumas aplicações. Problema 4.2.1. Mostre que

Z ∞ 0 cos(x2)dx = Z ∞ 0 sen(x2)dx = √ 2π 4 .

Estas integrais são conhecidas como as integrais de Fresnel as quais surgiram dos estudos do físico e engenheiro francês Augutin-Jean Fresnel (1788 − 1827) para explicar os fenômenos de

(57)

difração da luz.

Solução: Observando os integrandos temos que,

cos(x2) = Re[eix2] e sen(x2) = Im[eix2], (70) logo podemos escrever,

Z ∞ 0 cos(x2)dx = Re Z ∞ 0 eix2dx e Z ∞ 0 sen(x2)dx = Im Z ∞ 0 eix2dx . Considerando f (z) = eiz2

a continuação complexa da função f (x) = eix2

e o contorno C = OA ∪ AB ∪ BO, como ilustra a Figura (25).

_

Figura 25: Contorno C O R A B R Re(z) Im(z) π/4

Devido o contorno C ser um caminho fechado, simples e regular que satisfaz as con-dições do teorema (3.4.1), então

Z C

eiz2dz = 2πi X zk∈H+

Res(f, zk).

Como não existi nenhuma singularidade isolada no interior do contorno C temos, Z C eiz2dz = 0 (71) por um lado, Z C eiz2dz = Z OA eiz2dz + Z

_

AB eiz2dz + Z BO eiz2dz. (72)