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Da mesma forma que nas sequências se os f(x) se aproximarem de um mesmo valor, dizemos que o limite da função, com x tendendo à a existe.

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IFRS – CAMPUS RIO GRANDE 12 Cálculo I – Engenharia Mecânica

5. Limites de funções

Para termos a noção do que é limite de uma função, basta pensarmos no resultado da análise do comportamento dos f(x) de uma função quando os valores de x se aproximam arbitrariamente de um número real a.

Notação:lim f(x)

a x

Da mesma forma que nas sequências se os f(x) se aproximarem de um mesmo valor, dizemos que o limite da função, com x tendendo à a existe.

Exemplo:

Consideraremos a função, cuja lei é f(x) = x² e domínio D = ℝ. O que ocorre com os f(x) se x se aproxima de 3².

Observaremos o gráfico para responder melhor.

De qualquer forma que nos aproximemos de x = 3, f(x) se aproximam de y = 9, isso quer dizer que intuitivamente:

limx² 9

3

x 

Se a função f(x) = x² não fosse definida para x=3, melhor dizendo, D = ℝ - {3}, a análise e o resultado do limite seria o mesmo.

No limite, quando escrevemos x  3 realmente não é necessário que x assuma o valor 3, pois limite é análise de TENDÊNCIA.

Atenção: Se quiséssemos saber o valor

de y quando x = 3, simplesmente calcularíamos f(3).

Para não termos que apelar para intuição ou análise de gráficos, vejamos uma definição um pouco mais formal de limites de funções:

Definição 8: Limites de funções. Sejam f: D  ℝ e a  ℝ, tal que existam infinitas (xn) com limn xn  a e xn  D.

L ) x ( f lim a

x  se, e somente se limn f(xn)  L para toda (xn). Exemplo: (a) f(x)=x²   f(x) lim 3 x

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Observação: É importantíssimo sabermos todas as proposições acerca de limites de sequências. (b) f(x) = x³-2x²+ x -1 ) x ( f lim 2 x

Proposição 12: Se p é polinômio qualquer, para todo a  ℝ: ) a ( p ) x ( p lim a x 

Exemplo: Calcule os limites abaixo: (a) lim

x4 7x² x

2 1 x    (b)             3x 9x 6x² 7x x 8 ² x 5 x 2 lim 4 3 3 0 x (c)          x 3 9 ² x lim 0 x

Proposição 13: Considere k um número inteiro maior que 1, L um número real. (a) Se k for ímpar e limf(x) L

a x  , então k k a x f(x) L lim   .

(b) Se k for par e limf(x) L

a x  , então k k a x f(x) L lim   para L > 0.

Proposição 14: Considere L um número real. Se limf(x) L

a

x  , então limxaf(x)  L.

Exemplo: Calcules os limites abaixo: (a) limx² 4 1 x  (b) lim x² 4 3 x 

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Proposição 15: Álgebra dos limites. Se limf(x) L

a x  ; limxa g(x) M e c  ℝ, então: (a) lim

f(x) g(x)

L M a x    (b) lim

f(x) g(x)

L M a x    (c) M L ) x ( g ) x ( f lim a x        desde que g(x) e M  0 (d) limcf(x) cL a x  Exemplo:

x x³ 2x

lim3 1 x  

Proposição 16: Teorema da raiz: Se p(x) é um polinômio e a é uma raiz deste polinômio, ou seja, p(a)=o, então p(x) é divisível por x - a.

Exemplo: p(x)= x³ - 2x +1

No que isso pode ajudar a calcular limites? Ajuda nos casos de indeterminação 0 0 . Exemplos: (a)           x² 1 1 x 2 ³ x lim 1 x (b)           1 x³ 3 x 1 1 lim 1 x

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IFRS – CAMPUS RIO GRANDE 15 Cálculo I – Engenharia Mecânica

(c)           x 1 1 x lim 1 x (d)         x 1 x log lim 4 2 x 6. Limites laterais

Existem funções que se aproximarmo-nos de a pela esquerda, ou seja, por valores de x menores que a, ou pela direita, por valores de x maiores que a, os comportamentos são diferentes. Veja o gráfico abaixo:

Se nos aproximarmos de 0 pela esquerda, estaremos nos aproximando de y = -1, agora, nos aproximando de 0 pela direita, estaremos nos aproximando de y = 1. Ou seja, aqui depende da forma que nos aproximamos de 0, o resultado sendo diferente o limite não existe. Se pensarmos independentemente aí sim, podemos calcular os limites. São chamados limites laterais.

Definição 9: Limite lateral à esquerda de funções. Sejam f: D  ℝ e a  ℝ, tal que existam infinitas (xn) com limxn a

n  e xn  D e xn < a. L ) x ( f lim a

x   se, e somente se limn f(xn)  L para toda (xn).

Definição 10: Limite lateral à direita de funções. Sejam f: D  ℝ e a  ℝ, tal que existam infinitas (xn) com limn xn  a e xn  D e xn > a.

L ) x ( f lim a

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IFRS – CAMPUS RIO GRANDE 16 Cálculo I – Engenharia Mecânica

Exemplo: (a) x x lim 0 x  (b) x x lim 0 x  (c) Considere f(x)=        1 x , 1 ² x 1 x , 1 x

, calcule os limites laterais: (c.1) lim f(x) 1 x  (c.2) lim f(x) 1 x  Proposição 17: limf(x) L a x   xlima f(x) xlima f(x) L

Exemplo: (a)O limite da função f(x)=

       1 x , 1 ² x 1 x , 1 x

não existe se x tende a 1. (b) x x lim 0 x não existe.

Temos um dispositivo algébrico para calcular limites laterais, basta fazer uma troca de variáveis. Considere h  0, sempre com h > 0.

Limite lateral à esquerda: Trocar x por a – h, então: ) h a ( f lim ) x ( f lim 0 h a x     Observação: Se h  0+ e x = a – h, então x  a

-Limite lateral à direita: Trocar x por a + h, então:

) h a ( f lim ) x ( f lim 0 h a x     Observação: Se h  0+ e x = a + h, então x  a+ Exemplos: (a.1) lim x 2 2 x   (a.2) lim x 2 2 x  

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IFRS – CAMPUS RIO GRANDE 17 Cálculo I – Engenharia Mecânica

(a.3) Existe lim x 2 2 x   ? (b.1) lim 9 x² 3 x   (b.2) lim 9 x² 3 x   (b.3) Existe lim 9 x² 3 x   ?

7. Limites infinitos e no infinito.

A análise de limites no infinito para funções é o mesmo que nas sequências, o que acontece com a função quando aumentamos indefinidamente o x? Aqui a diferença é que podemos analisar quando o x diminui indefinidamente, ou melhor x   .

Vejamos como exemplo o gráfico da função exponencial, cuja lei é y = 2x.

    f(x) lim x e xlim f(x)  0

Vamos observar o gráfico de uma função exponencial, mas com base 0 < a < 1, ou seja, a função é decrescente. 0 ) x ( g lim x  e xlimg(x) 

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IFRS – CAMPUS RIO GRANDE 18 Cálculo I – Engenharia Mecânica

Agora vejamos a função logarítmica decrescente (esquerda) h(x) log x 2 1  :



 

h

(

x

)

lim

x 

lim

x

h

(

x

)



 

h

(

x

)

lim

0 x E se a função logarítmica fosse crescente (direita): j(x) = log2x



 

j

(

x

)

lim

x  limxj(x)



 

j

(

x

)

lim

0 x Proposição 18:(a)    f(x) lim a x  f(x) 0 1 lim a x  com f(x) > 0 (b)    f(x) lim a x  f(x) 0 1 lim a x  com f(x) < 0

Podemos colocar o resultado destes limites, porque conhecemos os gráficos, mas a utilidade dos limites é fazer o contrário, a partir dos resultados dos limites saber como o gráfico desta função se comporta.

Exemplo: 1. Esboce o gráfico da função, cuja lei é y =

2 x

1

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IFRS – CAMPUS RIO GRANDE 19 Cálculo I – Engenharia Mecânica

2. Calcule os limites no infinito abaixo:

(a)                2x 9x 7x 2 1 4x 2x 3x lim 2 4 3 4 x (b)                 2x 2x 70x 20 1 3x 6x 3x lim 2 3 3 5 x ² x 4

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IFRS – CAMPUS RIO GRANDE 20 Cálculo I – Engenharia Mecânica

(c)                 2x x 1 x 13 1 3x 6x 2x lim 4 5 6 6 7 x 4 x 4 3 (d)                 2x x 1 x 13 1 3x 6x 2x lim 4 5 6 3 4 x 4 x 4 2 (e)            3x 6 2 ² x xlim (f)            3x 6 2 ² x xlim

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IFRS – CAMPUS RIO GRANDE 21 Cálculo I – Engenharia Mecânica

8. Limites Fundamentais

Os limites fundamentais resolvem algumas indeterminações importantes, que não teríamos artifícios para chegar nos mesmos resultados, então tomamos como verdades. Aproveitamos para trabalhar outras indeterminações:

0 0 ,   , 1, 0, 0,    Proposição 19: 1 x senx lim 0 x  Indeterminação 0 0 . Exemplos: (a)   x x 3 sen lim 0 x (b)   sen5x x 3 sen lim 0 x (c)    xsenx x cos 1 lim 0 x (d)        x ) x ( sen lim x Proposição 20: k x x x e k 1 lim           Indeterminação 1 . Exemplos: (a)           x x x 2 1 lim (b)           x x 3x 2 1 lim (c)

 

   xln(x 1) ln x lim x

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IFRS – CAMPUS RIO GRANDE 22 Cálculo I – Engenharia Mecânica

(d)            x x 2x 3 1 x 2 lim Proposição 21:

x k 1 0 x 1 kx e lim    Indeterminação 1 . Exemplos: (a)

  2x 1 0 x 1 3x lim (b)

  senx 1 0 x 1 4senx lim (c)                     3 0 x 1 x x 1 ln x 2 lim Proposição 22: lna kx 1 a lim kx 0 x    Indeterminação 0 0 . Exemplos: (a)    x 1 a lim x 3 0 x

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IFRS – CAMPUS RIO GRANDE 23 Cálculo I – Engenharia Mecânica

(b)    x b a lim x x 0 x (c)      x a 1 e lim a x a x 9. Continuidade

A ideia de continuidade para o gráfico de uma função é ele não ter interrupções no domínio da função. O gráfico de uma função pode ser contínuo, como no gráfico à esquerda, e estar dividido em duas partes. Desde que o domínio seja formado pela união de dois intervalos reais.

A lei da função, cujo gráfico está ao lado é

x 1

y  . O domínio dessa função é D = ℝ*, ou seja, D = ]-,0[  ]0,+[. Em cada um dos intervalos a função não tem interrupções. A única interrupção é devido a falha do domínio, ou melhor, do domínio não ser todos os números reais. Pela noção de continuidade esta função é contínua. Agora, vamos formalizar o conceito de continuidade.

Definição 11: (a) Sejam f: D  ℝ e a  D. A função f é contínua no ponto x = a se, e somente se limf(x) f(a)

a

x  .

(b) Se a função for contínua para todo a  D, então a função é dita contínua. (c) Se o limite não existir ou for diferente de f(a) a função é descontínua no ponto x = a e consequentemente descontínua.

Atenção:1. Funções definidas apenas por uma sentença são sempre contínuas no seu domínio. Há perigo de uma função ser descontínua se for definida por mais de uma sentença. Nesse caso os pontos suspeitos são os pontos em que há a mudança na lei de formação.

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IFRS – CAMPUS RIO GRANDE 24 Cálculo I – Engenharia Mecânica

2.Para o limite da definição existir, os laterais devem ser iguais, ou seja, para uma função ser contínua no ponto em que x = a , então

) a ( f ) x ( f lim ) x ( f lim a x a x      .

Exemplos: Verifique a continuidade das funções abaixo em seu domínio. (a)        2 x ², x 2 x , 1 x 2 ) x ( f (b)           1 x , 1 ² x 2 1 x , 2 x ) x ( f (c)                    x , x 1 e x , ) x ( sen x ) x ( f x 10. Exercícios.

Calcule os limites abaixo:

x 7x 9

lim 5 4 0 x   1-

1 x

lim 0 x  2- 3-

4 3

1 x x 2x lim              x 2 4 x lim 2 2 x 4-

x 3x 2

² lim 2 4 x   5-           x² 1 1 x 2 x lim 3 2 x 6-

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IFRS – CAMPUS RIO GRANDE 25 Cálculo I – Engenharia Mecânica

          x² 1 1 x 2 x lim 3 1 x 7-            x² 9 2 3 x 1 lim 3 x 8- 3 x 9 x lim 9 x    9- 8 x 6 5 x 3 lim x     10-5 ³ x 2 x ² x 4 lim x    

11-

9x² 5x 1 3x

lim x   

12-

tanx secx

lim 2 x   13-10 x 3 2 ² x lim x     14-        x² 1 x 1 lim 0 x 15-x 2 4 x lim 0 x    16-x x 2 tan lim 0 x 17-) x cotan senx ( lim 2 x   18-x x cos 1 lim 0 x   19-x x x 3 x lim          20-1 x x 5x 7 4 x 5 lim           21-2 x 1 10 lim 2 x 2 x      22-3 x 8 2 lim x 3 x    23-senbx senax e e lim bx ax 0 x   

24-Calcule os limites laterais das funções abaixo; nos valores indicados. Determine se o limite para a tendência indicada existe.

25-        0 x , 1 0 x , 1 ) x ( f ,para x  0 2 x 1 ) x ( g   26- , para x  2 ² x 1 ) x ( h  27- , para x  0 1 ² x 1 x ) x ( f    28- , para x  1 )² 1 x ( x 1 x ) x ( g    29- , para x  1

Examine a continuidade das funções com domínio ℝ, nos pontos indicados:

        2 x , 3 2 x , )² 2 x ( 1 ) x ( f 30-         0 x , 0 0 x , x x ) x ( g 31-           1 x , 1 x 1 x , 3 x ) x ( h 32-           2 x , 3 2 x , 2 x 1 ) x ( f 33-             0 x , x 2 1 e 0 x , 1 0 x , x senx ) x ( g x 2 34- 35-                                        2 x , 2 x sen 2 x , 2 x 1 sen 2 x ) x ( h 2     

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IFRS – CAMPUS RIO GRANDE 89 Cálculo I – Engenharia Mecânica

11. Respostas dos exercícios do item 4.

1- 3 2 2- + 3- 0 4- 3 1 5- Diverge. 6- 0 7- 0 8- 4 1 9- 0 10- + 11- + 12- + 13- 0 14- 9 15- 1 16- + 17- +

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