Receptor Baseado na Decomposição
PARAFAC para Sistemas de
Comunicações sem Fio
Identificação do Bolsista:
Nome: Raul Liberato de Lacerda Neto
Código AlβAN: E04M044221BR
Data do Inicio do Projeto: 24-09-2004
Data do Término do Projeto: 30-06-2005
Instituição de Acolhimento: Université de Nice - Sophia Antipolis (FR)
Nome do Tutor/Supervisor: Gérard Favier
Grau/Diploma Obtido:
Mestre - Master Recherche, Spécialité: Signal
et Communication (SiCom)
1 Resumo p. 3 2 Introdução p. 4 2.1 Estrutura Tensorial . . . p. 6 2.1.1 Rank do Tensor . . . p. 7 2.2 Decomposição PARAFAC . . . p. 7 2.2.1 Propriedade de Unicidade . . . p. 7 2.2.2 Algoritmo ALS . . . p. 8 3 Propósitos e Objetivos do Projeto p. 9
4 Métodos p. 10 5 Resultados e Discussão p. 12 5.1 Contribuições do Trabalho . . . p. 13 6 Cronograma de Atividades p. 14 7 Conclusões p. 16 Referências p. 18
1
Resumo
Resumo sucinto do progresso ou trabalho realizado e resultados alcançados.
Este trabalho teve como objetivo a aplicação da análise tensorial para o tratamento de sinais no domínio de comunicações sem fio. A primeira etapa desse trabalho consistiu do estudo da técnica de decomposição tensorial conhecida como PARAFAC (decomposição por fatores paralelos) e algumas de suas aplicações no domínio de química e psicometria. A etapa seguinte, caracterizada pelo real objetivo do projeto, é constituída da aplicação da técnica de decomposição PARAFAC em um sistema multi-usuário de comunicação sem fio, cuja estrutura de recepção possui múltiplas antenas. Utilizando a técnica de múltiplo acesso por divisão de código (CDMA), um receptor baseado na decomposição PARAFAC é estudado e analisado. Durante o desenvolvimento desse trabalho, duas estruturas de recepção são propostas: a primeira é baseada no conhecimento da matriz de códigos de es-palhamento e a segunda baseada no conhecimento da matriz de seqüencia de treinamento. Para a geração dos códigos de espalhamento para o múltiplo acesso, duas familias são con-sideradas (códigos de Hadamard-Walsh e códigos de Hadamard-Walsh truncados, na qual este ultimo foi proposto e analisado nesse trabalho devido a algumas propriedades da técnica de decomposição tensorial). Como resultado, foi observado que os receptores pro-postos apresentaram rápida convergência e eliminaram todas as ambigüidades observadas em outros trabalhos que utilizam a decomposição PARAFAC. Resultados de simulação são apresentados para comparar o desempenho das duas estruturas receptoras em diversas configurações do sistema de comunicação, revelando o impacto dos parâmetros do sistema (número de antenas transmissoras, número de antenas receptoras, tamanho do código e relação sinal-ruído).
2
Introdução
Revisão concisa sobre o objeto de estudo perspectivando os objetivos do projeto nesse contexto.
As comunicações mono e multiusuário têm sido objeto de novas abordagens, baseadas em processamento avançado de sinais, que permite a melhoria do desempenho global dos sistemas de comunicação. Os avanços obtidos são fundamentados na compreensão e uso de diversos domínios de informação existentes e contidos nos sinais recebidos e disponíveis no receptor, que permitem a recuperação da informação útil para uma comunicação segura e confiável.
Neste sentido, estratégias de processamento de sinais têm contribuído nestes últimos dez anos pelo aumento da capacidade e dos serviços dos sistemas de comunicação, fa-zendo apelo ao uso integrado e ampliado dos espaços escalares, vetoriais e matriciais na organização e tratamento das informações no domínio temporal, freqüencial e espacial, tanto de forma individual como de forma conjunta. Dentre várias estratégias em domínios conjuntos, pode-se citar aqueles duplos, tais como:
Domínio espaço-tempo: domínio explorado por Alamouti em seu trabalho que intro-duz o conceito de códigos espaço-tempo (1), denominado STC (do inglês, Space Time Coding). Este trabalho baseia-se na transmissão da informação de forma redundante, tanto no domínio espacial (transmissão da mesma informação por an-tenas diferentes) como no domínio temporal (transmissão da mesma informação em momentos diferentes), introduzindo o tratamento conjunto do espaço-tempo por pacote, denominado STBC (do inglês, Space Time Block Coding).
Domínio espaço-código: domínio que vem sendo amplamente explorado para o melh-oramento das atuais redes de comunicação baseadas em múltiplo acesso por divisão de código, denominado CDMA (do inglês, Code Division Multiple Access). Como explicitado em (2), um ganho de capacidade dos sistemas pode ocorrer ao
explo-rar de forma conjunta algoritmos de domínio espacial (uso de técnicas de múltiplo acesso por divisão de espaço, denominado SDMA (do inglês, Space Division Multiple Access) e de domínio de código (CDMA).
Domínio tempo-freqüência: esse domínio vem sendo explorado com o uso da técnica de modulação por subportadoras múltiplas, conhecida como OFDM (do inglês, Or-thogonal Frequency Division Multiplexing). Proposta por Weinstein e Ebert (3), a modulação OFDM é baseada na transmissão de dados diferentes em portadoras orto-gonais na freqüência, a partir da transformação discreta de Fourier, a qual necessita de um processamento no domínio conjunto do tempo e da freqüência.
Domínio espaço-freqüência: a partir das vantagens oferecidas pelos sistemas que uti-lizam múltiplas antenas nas estruturas transmissoras e receptoras, conhecidas como sistemas MIMO (do inglês, Multiple-Input Multiple-Output), técnicas baseadas na associação de tecnologias MIMO-OFDM oferecem um domínio espaço-freqüência para ser explorado por suas arquiteturas de transmissões (4).
Algumas estratégias de processamento em domínios conjuntos e de característica hí-brida procuram integrar os benefícios e limitações das técnicas de processamento em cada estratégia, de forma a expandir o alcance dos desempenhos individuais, procurando garan-tir uma atuação, com uma faixa maior das potencialidades nos sistemas de comunicação. Este é o caso de algumas estratégias híbridas de processamento espaço-código a serem estudadas nesta dissertação, as quais incorporam outros conjuntos de diversidade e de multiplexação em uma estratégia única.
Estas estratégias em domínios conjuntos duplos promovem avanços importantes nos sistemas de comunicação, permitindo estabelecer novos paradigmas na busca da obtenção de uma comunicação em qualquer lugar, em qualquer momento e em qualquer formato.
Entretanto, apesar de melhoria causada pelo tratamento de informação em domínios conjuntos duplos, limitações importantes e inerentes à utilização conjunta de apurar dois domínios impedem o cumprimento preciso das metas estabelecidas para a recuperação confiável da informação transmitida nos receptores, dos quais podemos citar:
• não-unicidade na estimação de canais e de seqüências de dados transmitidos; • necessidade de uso das dimensões completas dos domínios onde a informação
Afim de favorecer ao cumprimento das metas de desempenho dos sistemas de comu-nicação, rompendo com as limitações citadas acima, tem-se adicionado mais um domínio no processamento da informação, cujo intuito se dá ao uso de técnicas que possuem uma abordagem multidimensional.
A análise multidimensional, também conhecida como análise tensorial, é um pro-cessamento que se baseia na reorganização da informação em uma estrutura que possui múltiplas dimensões (tensor) e a partir dessa estrutura é feito um tratamento de ordem superior. Devido a algumas propriedades vantajosas em relação à clássica abordagem matricial, a analise tensorial chega oferecendo soluções que possuem manipulações ma-temáticas simples e de fácil interpretação.
Motivada pelo sucesso da decomposição multi-dimensional da análise de informação no domínio de química e psicometria, diversos trabalhos foram propostos para aplicar a abordagem tensorial no tratamento de informação dos sistemas de comunicação sem fio. Caracterizado por uma natureza multi-dimensional, os sinais dos sistemas de comuni-cações sem fio podem ser facilmente representados/modelados por estruturas tensoriais. Por este motivo, a decomposição tensorial torna-se uma solução cabível e interessante para o processamento de sinais de comunicações sem fio, oferecendo algumas vantagens.
2.1
Estrutura Tensorial
A estrutura tensorial é uma organização natural da informação para o caso na qual a informação possui características multi-variáveis, i.e., características multi-dimensionais. Apesar da razão intuitiva da organização tensorial, tal organização oferece outras vanta-gens:
• Algumas estruturas tensoriais são únicas, implicando na não necessidade de impo-sições de constantes e/ou impoimpo-sições. A propriedade de unicidade será posterior-mente detalhada.
• Considerando o fato de que o modelo é apropriado para manter a informação bem organizada, o uso da estrutura tensorial implica em uma organização coerente, pro-vendo um método parsimônico, que por definição é robusto e de fácil interpretação, na qual provê melhores possibilidades de explorar a informação.
2.1.1
Rank do Tensor
Diferente do caso particular do tensor de ordem dois (matriz), o rank de um tensor de ordem três ou superior ainda não foi bem definido. Na verdade, pouco se sabe a respeito desse assunto, mesmo sendo objeto de estudo de muitos pesquisadores, que continuam a buscar uma resposta para essa duvida.
O rank de um tensor é extremamente importante para entender as propriedades dos tensores, principalmente a propriedade de unicidade, que é uma das mais importantes vantagens da abordagem tensorial.
2.2
Decomposição PARAFAC
A decomposição por fatores paralelos (PARAFAC) é um algoritmo de decomposição tensorial bastante simples na qual vem ganhando bastante atenção nos últimos anos. Ori-ginado para o tratamento de dados da psicometria, hoje em dia ele esta sendo largamente utilizado nas areas de química e afins (5). Como qualquer tipo de decomposição tensorial, o algoritmo do PARAFAC possui muitas vantagens em relação ao tratamento matricial convencional.
Diversos métodos de decomposição tensorial foi proposto na literatura (Tucker3, Two-way PCA, etc.), na qual o PARAFAC pode ser visto como o algoritmo mais simples e restrito dentre eles. Considerado um caso particular da decomposição Tucker3 (6) e da PCA bilinear (Análise de Componente Principal Bilinear), o modelo PARAFAC é dentre eles o modelo com menos graus de liberdade, na qual apresenta um tratamento matemático menos complexo para o caso de ordem três. Proposto por Harshman (1970) e por Carroll & Chang (1970) PARAFAC, ou como também é conhecido por CANDECOMP (Decomposição Canônica), é uma decomposição tridimensional em que cada componente do tensor pode ser representada por uma composição de três vetores.
2.2.1
Propriedade de Unicidade
Uma das maiores vantagens da decomposição PARAFAC é a propriedade de unicidade do modelo. Diferente do caso bidimensional (matricial), na qual o modelo sofre de um problema de ambiguidade de rotação, o modelo de ordem três ou de ordem superior possui uma decomposição única quando o tensor satisfaz respeita algumas condições, como apresentado em (7).
As condições necessárias para respeitar a propriedade de unicidade não é uma tarefa fácil de ser definida, principalmente pelo fato do calculo do rank de um tensor de ordem superior a dois não ser conhecido. Apesar disso, diversos matematicos/pesquisadores já propuseram condições para tensores para respeitarem a propriedade de unicidade, mas muitas delas são bastante restritivas. De todas as condições impostas na literatura, a menos restritiva foi proposta por Kruskal (8), que é baseada na análise do k-rank (Kruskal-rank ) das matrizes de decomposição/composição do tensor.
Como mostrado em (5), o significado da propriedade de unicidade implica que o modelo PARAFAC estimado não pode ser rotacionado sem uma perca de deformação da informação, diferente do caso bilinear na qual os vetores que reconstroem o modelo podem sofrer de uma rotação sem afetar a adequação ao tensor. Além disso, a propriedade de unicidade do PARAFAC implica na não necessidade de adições de constantes e/ou imposições como ortogonalidade, modulo constante, alfabeto finito, etc, para estimar o modelo de forma única, retirando a anbiguidade de permutação e de fator de escala.
2.2.2
Algoritmo ALS
O Algoritmo ALS é uma técnica de estimação iterativa que pode ser usada para esti-mar as matrizes de decomposição do modelo PARAFAC. Baseada no principio de agrupar uma quantidade de informação em subconjuntos, o ALS consiste em uma estimação ite-rativa dos diversos subconjuntos de informação no sentido de minimizar o distancia qua-drática da informação estimada até alcançar a convergência, i.e., quando os parâmetros estimados não variarem com o aumento do número de iterações.
Apesar da simplicidade atrativa do algoritmo ALS, a convergência ótima global não pode ser sempre garantida, podendo ficar limitada a um mínimo local do critério. Esta característica depende da informação, do modelo e da inicialização do algoritmo.
3
Propósitos e Objetivos do Projeto
Descrição breve dos propósitos e objetivos do projeto de educação/formação.
O objetivo desse trabalho é discutir sobre a utilização da análise multi-dimensional aplicada ao processamento de sinais dos sistemas de comunicação sem fio. Durante os últimos anos, alguns algoritmos foram propostos baseados na decomposição por fatores paralelos (PARAFAC) aplicada ao processamento de sinais no contexto de sistemas de co-municações sem fio. Após ter sido desenvolvido e usado nas áreas de química e psicometria, motivado por sua propriedade de unicidade, o PARAFAC surgiu como uma atrativa ferra-menta para a modelagem de sistemas, formatação de feixes cegos, estimação/equalização de canais multi-usuários e separação de sinais.
Na literatura, a decomposição PARAFAC para o sistema multiusuário CDMA com diversidade de recepção já foi proposto e analisado (9) (10). O problema das estruturas propostas é que elas só consideram o caso cego e os sinais recuperados sofrem de am-biguidades de permutação e de escala, que são inerentes aos processos cegos. Por esse motivo, este trabalho analisa as características práticas dos sistemas MU-CDMA para propor estruturas receptoras que usam a decomposição PARAFAC com conhecimentos a priori de alguma das matrizes de decomposição, permitindo uma analise de desempenho sem a adição de estruturas de analise de correlação cruzada.
4
Métodos
Descrição da metodologia utilizada no projeto de educação/formação.
O projeto de educação/formação foi constituído de 3 (três) etapas, desde a familiari-zação da decomposição PARAFAC até a proposição das estruturas de recepção para os sistemas multi-usuários SIMO-CDMA.
A primeira etapa deste trabalho foi caracterizada pelo o estudo/familiarização da técnica de decomposição PARAFAC. A partir da leitura e reprodução dos resultados das teses de doutorado referentes à decomposição PARAFAC, o estudante pode solidificar seus conhecimentos acerca do PARAFAC.
Logo em seguida, realizando um estudo aprofundado sobre os sistemas de comuni-cações sem fio, o estudante teve como foco a modelagem destes sistemas a partir dos modelos tensoriais. Nessa etapa, acompanhando os estudos de doutorado de um outro estudante do mesmo grupo de pesquisa, foram feitas discussões e estudos analíticos do comportamento dos sinais dos sistemas de comunicações sem fio baseados na técnica de múltiplo acesso CDMA.
Após a finalização da modelagem dos sistemas multi-usuários CDMA com diversidade de recepção, o estudo ficou restrito a análise da propriedade de unicidade dos sistemas, a partir do estudo das características das matrizes de decomposição do tensor, bem como o impacto dos parâmetros do sistema no comportamento/desempenho do algoritmo de decomposição PARAFAC. Nesta etapa, foram feito diversas considerações reais dos sis-temas de comunicação sem fio, cujo objetivo era eliminar as ambiguidades existentes das técnicas de decomposição, desta forma, conhecimentos a priori das matrizes de códigos e/ou seqüencias de treinamento foram feitas. Para verificar o desempenho das estruturas de recepção em diversas configurações do sistema foi desenvolvido um simulador compu-tacional. Também foi feito um estudo analítico das propriedades das matrizes de códigos, na qual levou-se a conclusão de considerar duas familias de códigos: a família de códigos
de Hadamard-Walsh e a família que foi proposta durante esse estudo que é a família de có-digos de Hadamard-Walsh truncados. Com o uso do simulador computacional, foi possível verificar o desempenho das estruturas e quantificar seu desempenho para comparar com outras estruturas de recepção.
5
Resultados e Discussão
Apresentação clara dos resultados alcançados e sua análise à luz do conhe-cimento e literatura atuais.
Nesse projeto de educação/formação, foi discutido e estudado a aplicação da abor-dagem PARAFAC aplicada ao sistema MIMO-CDMA. A partir da exploração da pro-priedade de unicidade do modelo PARAFAC, foi possível utilizar o algoritmo ALS, um método simples e intuitivo, para o cálculo/estimação das matrizes de decomposição do modelo tensorial. A decomposição PARAFAC do sinal recebido foi estudado e algumas considerações/imposições ao modelo foram feitas, baseadas nos sistemas reais, para de-senvolver as estruturas de recepção, de forma a respeitar a propriedade de unicidade do modelo multidimensional. Três estruturas de recepção foram descritas, na qual uma delas já havia sido proposta na literatura e sofria de problemas de ambigüidades intrínsecos às estruturas de processamento cego. Foi então proposto duas novas estruturas receptoras (baseada no conhecimento do código e supervisionada), que foram detalhadas e anali-sadas, com o objetivo de impor limites de convergência ao algoritmo ALS, bem como eliminar as ambigüidades sofridas pelo processo de decomposição.
Como resultado, foi mostrado que a decomposição PARAFAC introduz uma nova abordagem para o processamento de sistemas sem fio MU-SIMO CDMA. Os sinais de diferentes usuários são separados e os respectivos canais são estimados de forma conjunta, a partir do mesmo algoritmo. A abordagem PARAFAC introduz alguns graus de liber-dade em relação às técnicas clássicas de equalização, i.e., diferente do processamento de sinais clássico, a decomposição PARAFAC pode operar de forma a transformar o pro-cesso de estimação dos símbolos, do código e canal em um único propro-cesso, mesmo que as condições clássicas não são satisfeitas (número de usuários maior do que o número de antenas receptoras e/ou número de chips por código). Para quantificar o desempenho das estruturas receptoras, foi apresentado resultados de simulações computacionais, na qual mostraram o desempenho dos receptores para diferentes configurações dos sistemas,
sempre respeitando a condição de unicidade, que foi mostrada depender apenas das di-mensões das matrizes de decomposição. Além disso, foi mostrado que as projeções sobre o alfabeto finito de algumas das matrizes não aceleraram o processo de convergência do al-goritmo ALS, apesar de introduzir uma maior complexidade. Por fim, foram apresentados resultados baseados em duas famílias de códigos, na qual uma delas foi proposta durante o estudo das características das matrizes de decomposição e que, apesar da matriz cujos códigos são ortogonais ter apresentado melhor desempenho (código de Hadamard-Walsh), a família de códigos Hadamard-Walsh introduziram um interessante compromisso entre desempenho e eficiencia espectral.
5.1
Contribuições do Trabalho
Neste trabalho são apresentadas as seguintes contribuições:
• A proposição de dois receptores MIMO-CDMA baseados na decomposição PARAFAC, na qual consideram o conhecimento a priori de uma das matrizes que decompõem o tensor (matrix de código ou matrix de símbolo).
• O impacto do uso da projeção sobre o alfabeto finito dos elementos de algumas das matrizes de decomposição (para a matriz de símbolo e matriz de código).
• Análise do impacto do uso de duas familias de códigos (Walsh e Hadamard-Walsh truncado) no desempenho dos receptores propostos.
• Apresentação da propriedade de unicidade dos casos considerados. • Demonstração do k-rank das matrizes de código consideradas.
6
Cronograma de Atividades
Definição das atividades principais, local de realização (instituição e país) e duração.
O cronograma de atividades do mestrado foi dividido em algumas etapas:
• A primeira etapa consistia na realização de disciplinas referentes à área de proces-samento de sinais e telecomunicações.
• A segunda etapa foi constituída do levantamento bibliográfico e aprofundamento de estudos acerca do conteúdo teórico necessário para o desenvolvimento do projeto. Os conteúdos envolviam técnicas de decomposição tensorial, modelagem de sistemas, processos estocásticos, sistemas de comunicações sem fio, etc.
• Na terceira etapa foi analisado e definido o algoritmo de decomposição tensorial que seria utilizado no projeto para a modelagem dos sistemas de comunicações (PARAFAC), bem como os sistemas que seriam analisados (Sistema multiusuário SIMO CDMA).
• Na quarta etapa foi feito um estudo analítico sobre a propriedade de unicidade do modelo considerado. Durante esse estudo, diversas imposições sobre as condições de unicidade foram feitas, de forma a garantir o perfeito funcionamento da estrutura de recepção que é baseada na decomposição PARAFAC.
• Na quinta etapa, uma ferramenta de simulação computacional foi desenvolvida com o objetivo de comprovar o desempenho das estruturas de recepção. Além do desem-penho das estruturas, foi analisado também o impacto de diversos parâmetros do sistema.
Tabela 1: Cronograma de atividades 2004/2005.
Atividade \ Meses Set Out Nov Dez Jan Fev Mar Abr Mai Jun Primeira etapa x x x x x x Segunda etapa x x x Terceira etapa x x x Quarta etapa x x x Quinta etapa x x x x Sexta etapa x x
A Tabela 1 a seguir mostra o cronograma do plano de atividades dividido em 10 meses. A Instituição de Ensino Superior responsável pelo curso de mestrado realizado foi a Université de Nice - Sophia Antipolis (UNICE), na França. O referido mestrado possui uma nomeclatura oficial de Master Recherche, Spécialité: Signal et Communication (Si-Com), sob a responsabilidade da École Doctorale Sciences & Technologies de l’Information et de Communication (STIC).
As disciplinas que foram realizadas durante o mestrado foram as seguintes: Techni-ques de communications mobiles, Réseaux locaux sans fil, Traitement spatial, Traitement spatio-temporel, Théorie d’information, Communication numérique (aproveitamento de estudos), Communications numériques avancées (aproveitamento de estudos), Techniques émergentes en traitement du signal (aproveitamento de estudos), Traitement statistique du signal (aproveitamento de estudos) e Systèmes linéaires multivariables (aproveitamento de estudos).
7
Conclusões
Descrição breve do impacto do projeto de educação/formação e avaliação do modo como evoluiu; problemas encontrados e recomendações.
As atividades de pesquisa produziram o artigo anexado neste relatório e ainda a dissertação (relatório ou memoire), também em anexo:
• R. L. de Lacerda Neto, A. L. F. de Almeida, G. Favier and J. C. M. Mota, “PARAFAC Receivers for Multiuser SIMO CDMA-Based Wireless Systems ”, 14th IFAC
Sym-posium on System Identification, Newcastle, Australia, Março 29-31, 2006. (Em Submissão)
• R. L. de Lacerda Neto, “Supervised PARAFAC-based Receivers for Wireless Com-munication Systems”, UNICE, Master Thesis, Sophia Antipolis, France, Junho 2005. Toda esta produção científica foi fruto do estágio de mestrado realizado, cujos resul-tados são de grande importância dentro do contexto acadêmico científico mundial. Estes trabalhos resultantes das atividades de pesquisa são de grande importância para o desen-volvimento da equipe da instituição de origem, no caso, Universidade Federal do Ceará (UFC) - Brasil, pois caso os trabalhos sejam aceitos, todos os envolvidos serão benefi-ciados pela contabilização dos trabalhos nas estatísticas de publicação de cada um dos redatores. Existem, ainda, ganhos diretos para o Departamento de Engenharia de Telein-formática (DETI) da UFC e para Universidade como um todo, por elevar os indicadores de produção acadêmica.
Além disso, o fato de estudantes e professores da IES de origem terem contato com trabalhos e pesquisas de outros lugares favorece ao estabelecimento de um leque de novas linhas de pesquisa na universidade. A criação de grandes centros de pesquisa dentro de instituições como esta necessita da troca de informações e experiências entre seus profissionais. Estes centros incitam o interesse em investimentos de empresas particulares,
o que é de grande importância social e econômica, pois geram emprego e renda para a região.
Deve-se ressaltar ainda, de acordo com o que foi planejado inicialmente, que este projeto teria continuidade na UFC, com a conclusão do mestrado no Departamento de Engenharia de Teleinformática (DETI), sob a orientação do Prof. João Cesar Moura Mota. O aprofundamento profissional fornecido pela realização deste mestrado foi de grande importância, pois cada vez mais as empresas exigem profissionais bem preparados e qualificados. Estudar em um país da comunidade européia e vivenciar uma outra cultura e língua também foram pontos importantes a se somarem na minha formação. Mudanças temporárias no ambiente de estudos e no grupo de pesquisa são favoráveis para a boa formação do profissional porque possibilitam o intercâmbio de conhecimentos. Grupos de estudos possuem metodologias e ideologias diferentes. A vivência em ambos os grupos faz com que o profissional se torne mais completo e com novas idéias. Com relação ao título do projeto, que inicialmente era “Modelagem não-linear e decomposições tensoriais: Aplicação às comunicações digitais”, houve uma mudança no mesmo devido ao fato de o título da dissertação final ser mais específico com relação à pesquisa desenvolvida. O novo título “Receptor Baseado na Decomposição PARAFAC para Sistemas de Comunicações sem Fio” refere-se apenas ao uso da decomposição PARAFAC aplicada a sistemas de comunicação sem fio. Em outras palavras, o novo título refere-se a um caso particular do título genérico inicial. Com relação a problemas enfrentados e recomendações pode-se destacar os seguintes aspectos:
• Alguns gastos iniciais, como passagens aéreas, deveriam ser pagos no início do pro-jeto, antes mesmo da viagem do aluno. Da forma como foi feito, o Programa Alβan realiza esses pagamentos de maneira parcelada, ou seja, a cada mês se recebe um valor referente à passagem.
Ao final do projeto pode-se dizer que o mesmo foi cumprido de forma plenamente satisfatória, tendo como referência os objetivos previstos no momento da aplicação da bolsa do Programa Alβan. Os problemas ou riscos enfrentados durante a realização deste projeto podem ser considerados quase como desprezíveis.
Referências
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