Correlação e Regressão Linear. Prof. Marcos Vinicius Pó Métodos Quantitativos para Ciências Sociais

Correlação e Regressão Linear

Prof. Marcos Vinicius Pó

Coeficiente de correlação linear “r”

• _{Mede o grau de relacionamento linear entre valores pareados x e}

y em uma amostra e também a proximidade dos dados a uma reta.

• _{É também chamado de coeficiente de Pearson.}

• _{Varia de -1 a 1, sendo que zero significa não haver correlação.}

]

)

(

)([

(

.

.

.

)

,

(

_n

_x

_N

_y

_y

x

y

x

n

y

x

n

r

Y

X

corr



















Exemplos de correlações

Teste de r

• _{O coeficiente de correlação pode ser testado usando-se a}

estatística t de student, que é calculado usando-se a seguinte fórmula (N = número de pares de escore X e Y)

• _{O valor crítico é verificado na tabela t de Student, com os graus}

de liberdade definidos por N-2

)

1

2

r

N

r

t







Correlação e causalidade

• _{Haver correlação entre duas variáveis não implica em que uma}

cause o efeito na outra.

► Pode haver correlações espúrias ou viés.

• _{Contudo, a correlação é uma pista significativa para ser}

investigada em busca de causalidade e sua direção.

• _{A ausência de correlação não quer dizer não haver causalidade.}

Apenas uma análise do modelo e das variáveis incluídas e excluídas pode apontar isso.

► Além disso, pode haver relações não-lineares entre as variáveis.

Consumo de

chocolate e

prêmios

Nobel

Correlation between Countries' Annual Per Capita Chocolate Consumption and the Number of Nobel Laureates per 10 Million

Population.

Fonte: “Chocolate Consumption, Cognitive Function, and Nobel Laureates”

Franz H. Messerli, M.D.

N Engl J Med 2012; 367:1562-1564October 18, 2012

http://www.nejm.org/doi/full/10.1056/NEJMon1 211064, acesso em 04/11/2012

Regressão linear

A regressão linear calcula médias condicionais de uma variável Y a partir de dados sobre uma variável X supostamente relacionada, estabelecendo um modelo para:

► Explicar o total ou parcialmente um fenômeno observado. ► Mensurar a relação entre duas variáveis.

► Permitir predições.

Formato: Y = α + β1X1 + β2X2 + ... + 

► Y: variável dependente (aquela que é explicada;) ► X

1, X2,..., Xn: variáveis explicativas (ou independentes) ► : erro, parte não explicada pelo modelo

Modelo linear simples:

Y = a + bX + 

Suposições do modelo de regressão linear

• _{Variáveis independentes.}

• _{As variáveis Xn não podem ser combinações lineares entre si.}

• _{O número de parâmetros a serem estimados é menor que o}

número de observações.

• _{Resíduos possuem variância constante e têm média zero.}

• _{Os resíduos são independentes e mostram um comportamento}

normal.

• _{O relacionamento entre as variáveis pode ser razoavelmente}

• _{Objetivos: estabelecer uma reta que:}

► Minimize o total de erros (ε). ► Possua significância estatística. ► Possua bom fator explicativo (R2).

• _{Só é possível trabalhar o primeiro, os demais são avaliados.}

• _{O ajuste da reta deve minimizar as distâncias entre os valores}

preditos pela reta e os valores observados.

Estimação dos parâmetros

Regressão linear

minimizar a soma dos erros quadrados entre as previsões e os valores amostrais. • _{Os parâmetros do nosso} modelo são: Y = a + bX +  (equação da reta)

• _{Temos que determinar:}

► a: intercepto ou valor fixo; ► b: inclinação da reta

y

= a+bx

+

Aplicando ao modelo

A soma dos quadrados dos erros é:

Assumindo que a distribuição dos erros é normal e derivando essa equação, podemos deduzir que:

Para mais informações consultar Bussab e Morettin: Estatística Básica, capítulo 15











x

n

x

y

x

n

xy

b



_

_



e

y

x

)}

(

{

a

b

x

b

y

a





Intervalos de confiança para as estimativas

Os estimadores a e b possuem distribuição normal e intervalos de confiança com uma distribuição t, com n-2 graus de liberdade











)

(

.

.

)

;

(

x

x

n

x

Se

t

a

IC



a









)

(

.

1

.

)

;

(

x

x

n

Se

t

b

IC



b

Correlação x Regressão

Correlação linear

• _{Não determina causalidade,}

mas dá pistas.

• _{Pode ser testada}

estatisticamente.

• _{Identifica se duas variáveis se}

relacionam de forma linear.

• _{Não indica o quanto uma}

variável pode estar influenciando a outra.

• _{Determina o quão mais}

próximo de uma reta é a relação entre as variáveis.

Regressão linear

• _{Não determina causalidade,}

mas dá pistas.

• _{Pode ser testada}

estatisticamente.

• _{Determina uma relação linear}

entre duas variáveis.

• _{Identifica o quanto uma}

variável afeta a outra.

• _{Traz elementos que permitem}

fazer predições.

• _{Necessita de uma análise dos}

resíduos para decidir sobre sua adequação.

Começando a analisar os dados

• _{Primeiro é necessário termos uma boa idéia do comportamento}

de nossos dados, de forma a avaliar se o modelo linear é adequado.

• _{Isso é muito importante!}

Por que os gráficos são importantes?

Esses quatro conjuntos de dados possuem as mesmas propriedades estatísticas, ... i ii iii iv x y x y x y x y 10,0 8,04 10,0 9,14 10,0 7,46 8,0 6,58 8,0 6,95 8,0 8,14 8,0 6,77 8,0 5,76 13,0 7,58 13,0 8,74 13,0 12,74 8,0 7,71 9,0 8,81 9,0 8,77 9,0 7,11 8,0 8,84 11,0 8,33 11,0 9,26 11,0 7,81 8,0 8,47 14,0 9,96 14,0 8,10 14,0 8,84 8,0 7,04 6,0 7,24 6,0 6,13 6,0 6,08 8,0 5,25 4,0 4,26 4,0 3,10 4,0 5,39 19,0 12,50 12,0 10,84 12,0 9,13 12,0 8,15 8,0 5,56 7,0 4,82 7,0 7,26 7,0 6,42 8,0 7,91 5,0 5,68 5,0 4,74 5,0 5,73 8,0 6,89 Propriedade Valor Média de x 9,00 Variância de x 10,00 Média de y 7,50 Variância de y 3,75 Correlação 0,898

Regressão linear y = 2,50 + 0,500x

Esses dados compõe o chamado Quarteto de Anscombe

Quarteto de Anscombe

Julgando a qualidade do modelo

• _{Estratégia: comparar variância com o modelo mais simples}

• _{Montar tabela ANOVA}

• _{Variância do modelo simples}

• _{Variância da regressão} 2 1

)

(

y

y

SQTot







)

ˆ

(

Re

y

y

s

SQ







Tabela ANOVA para regressão

Fonte de

variação Quadrados (SQ)Soma dos LiberdadeGraus de

Quadrados das Médias (QM) F_obs Regressão gl_N = p – 1 Resíduo gl_D = n – p Total gl_T = n – 1 n: número de amostras p: número de parâmetros estimados R2: mede a  variabilidade de Y  explicada pelo  modelo.  se g QM 2 Re N gl g SQ g QMRe  Re D gl s SQ

s



SQTot

g

SQ

R



Re

• _{A Regressão permite ao pesquisador fazer predições para além} dos dados.

► Interpolação: em geral é bastante confiável.

► Extrapolação: deve-se tomar cuidado para garantir que a linearidade

entre as variáveis permaneça válido além da região de observação.

• _{Já o modelo II permite categorizar as observações e simplificar as}

predições, mas apenas dentro do intervalo já observado

• _{Seria possível combinar os dois modelos?}

Variáveis dummy

• _{Algumas vezes queremos incluir no modelo de regressão}

variáveis qualitativas ou categóricas, tais como região, gênero, origem, etc.

• _{Isso pode ser interessante para:}

► Aumentar o poder explicativo do modelo

► Controlar a influência ou viés de determinadas estimativas

• _{Assim, como forma de modelar as variáveis qualitativas, são}

utilizadas variáveis binárias, chamadas dummies, que assumem o

Utilização de variáveis dummy

• _{A variável dummy (δ) pode influenciar de três maneiras:}

► Mudança na constante (patamar):

Yt = (a  δD)  bXt  t

Yt = a + (b + δ)Xt + t

► Mudanças na constante e na inclinação:

Yt = (a  δ

D) + (b +

δ

_{D)Xt + t}

• _{É necessário processar os cálculos com e sem a variável dummy}

para avaliar o seu impacto e se ela traz vantagens explicativas razoáveis ao modelo.

• _{Tão importante quanto verificar se os dados servem ao modelo} de regressão e estabelecer os parâmetros, é fazer a análise de resíduos

• _{Verificar se:}

► O modelo se ajusta bem

► As suposições não foram violadas

o _{Homocedasticidade} o _{Independência}

o _{Comportamento normal}

• _{Aconselha-se a fazer uma análise gráfica dos resíduos.}

Plotagem dos resíduos

Quais dessas plotagens mostram normalidade dos resíduos? Quais os problemas das outras?

Bu ss ab ; M or et n, 2 00 2: 45 6

Transformação de variáveis: linearização

Considere os dados abaixo e os gráficos abaixo.

Você teria alguma restrição em adotar o modelo linear nesse caso? Se transformarmos a variável inflação por meio de logaritmo (Log), poderíamos adotar o modelo linear?

0 500 1000 1500 2000 2500 3000 Inflação Ano 1967 1969 1971 1973 1975 1977 1979 Inflação 128 192 277 373 613 1236 2639 1966 1968 1970 1972 1974 1976 1978 1980 2 2,2 2,4 2,6 2,8 3 3,2 3,4 3,6 Log(inflação)

Voltando ao nosso exemplo

Deseja-se avaliar explicações

para o tempo de reação das

pessoas a determinado

estímulo visual.

Variável dependente: Tempo de reação = Y

Variáveis Independentes: Gênero; Idade; Acuidade Visual (podem explicar o fenômeno) = X1, X2, ...

Indivíduo Tempo de _{reação (ms)} Gênero _{(M/F) (anos)}Idade _{Visual (%)}Acuidade

i y w x z 1 96 M 20 90 2 92 F 20 100 3 106 M 20 80 4 100 F 20 90 5 98 F 25 100 6 104 M 25 90 7 110 M 25 80 8 101 F 25 90 9 116 F 30 70 10 106 M 30 90 11 109 M 30 90 12 100 F 30 80 13 112 F 35 90 14 105 F 35 80 15 118 M 35 70 16 108 M 35 90 17 113 F 40 90 18 112 F 40 90 19 127 M 40 60 20 117 M 40 80

Dados tirados de Bussab, Wilton. Análise de Variância e Regressão. 2a. Ed. Editora Atual: São Paulo. 1988

No nosso exemplo (tempo de reação)

• _{Calcular as correlações}

• _{O que esses números significam?}



 Tempo de reação x Idade

0,768



 Tempo de reação x Acuidade 

visual

-0,755

Avaliando os dados

Já testamos e descartamos Gênero;

Traçar diagramas de dispersão para Idade e para Acuidade Visual

15 20 25 30 35 40 45 0 20 40 60 80 100 120 140 Idade 55 60 65 70 75 80 85 90 95 100 105 0 20 40 60 80 100 120 140 Acuidade visual

Exemplo

• _{Determinar os parâmetros a e b para Tempo de reação x}

Acuidade

• _{Colocar na equação e interpretar}

Comparação entre modelo II e modelo III

• _{Qual deles é o melhor?}

• _{Estatisticamente, ambos possuem um p-valor significativo}

(menos de 1%)

• _{Em termos de diminuição da variabilidade (aumento do poder}

de explicação), ambos estão bem próximos

• _{Como escolher?}

► Utilização

► Facilidade, conveniência

Modelo II

Médias por faixa etária Regressão com acuidade visualModelo III

p-valor 0,61% <0,01%

Exemplo

• _{As suposições foram violadas?}

► Homocedasticidade: ► Independência

Etapas de análise de dados e determinação de regressão linear

1. Exploração dos dados

a. Gráficos de dispersão b. Mapa de correlações

2. Determinação da regressão linear

a. Verificação da significância (p-valor) b. Verificar o grau de explicação (R2)

c. Determinação dos coeficientes da reta de regressão (“a” e “b”) d. Julgamento se o modelo é interessante e pertinente

3. Avaliação de atendimento dos pressupostos da correlação

Atividade com banco de dados

► Total expenditure on health, % of gross domestic product ► Total health expenditure per capita, US$ PPP

► Public health expenditure per capita, US$ PPP ► Pharmaceutical expenditure per capita, US$ PPP

• _{Health care resources}

► Physicians, density per 1 000 population ► Nurses, density per 1 000 population

► Hospital beds, density per 1 000 population

• _{Health care activities}

► Doctor consultations per capita

► Hospital discharge rates, all causes, per 100 000 population ► Average length of stay for a normal delivery, days

► Caesarean sections, per 1 000 live births

• _{Health status (Mortality)}

► Life expectancy at birth, total population

► Infant mortality rate, deaths per 1 000 live births

• _{Risk factors}

► Tobacco consumption, % of adult population who are daily smokers ► Alcohol consumption, litres per population aged 15+

► Obesity, percentage of total adult population with a BMI>30 kg/m2, based on self-reports

Exercício para entrega com o banco de dados “dados de saúde países da OCDE”:

• _{Selecionar pelo menos um par de}

variáveis que se relacionem de forma linear.

► Avaliar os pares que possuem

correlações estatisticamente significativas.

► Verificar o diagrama de dispersão

dos pares

• _{Definir uma regressão linear}

simples entre as variáveis.

► Analisar significância, R2, os

coeficientes e os resíduos

► Decidir e justificar a pertinência da

aplicação das regressão.

Etapas de análise de dados e determinação de regressão linear

1. Exploração dos dados

a. Gráficos de dispersão b. Mapa de correlações

2. Determinação da regressão linear

a. Verificação da significância (p-valor) b. Verificar o grau de explicação (R2)

c. Determinação dos coeficientes da reta de regressão (“a” e “b”)

d. Julgamento se o modelo é interessante e pertinente

3. Avaliação de atendimento dos pressupostos da correlação

a. Análise dos resíduos: normalidade; homocedasticidade.