Curvaturas em Grupos de Lie com Métricas Invariantes à Esquerda

(1)

CENTRO DE CIˆ

ENCIAS EXATAS

DEPARTAMENTO DE MATEM ´

ATICA

PROGRAMA DE P ´

OS-GRADUAC

¸ ˜

AO EM MATEM ´

ATICA

(Mestrado)

HUGO MURILO RODRIGUES

Curvaturas em Grupos de Lie com M´etricas Invariantes `

a

Esquerda

Maring´a-PR 2016

(2)

UNIVERSIDADE ESTADUAL DE MARING ´A

CENTRO DE CI ˆENCIAS EXATAS

DEPARTAMENTO DE MATEM ´ATICA

PROGRAMA DE P ÓS-GRADUAÇ ÃO EM MATEM ÁTICA

Curvaturas em Grupos de Lie

com M´

etricas Invariantes `

a

Esquerda

Hugo Murilo Rodrigues

Disserta¸cão apresentada ao Programa de P´ os-Gradua¸cão em Matemática do Departamento de Ma-temática, Centro de Ciências Exatas da Universidade Estadual de Maringá, como requisito para obten¸cão do t´ıtulo de Mestre em Matemática.

´

Area de concentra¸c˜ao: Geometria e Topologia.

Orientador: Prof. Dr. Ryuichi Fukuoka.

(3)

Agrade¸co ao meu orientador e amigos pela paciência e compreensão, aos meus pais e familiares pelo grande alicerce emocional que me ajudaram a construir, a CAPES pelo apoio financeiro e em especial à minha noiva por todos os momentos que esteve ao meu lado.

(4)

Resumo

O presente trabalho tem como objetivo estudar as rela¸cões entre as curvaturas de métricas invariantes à esquerda, as álgebras de Lie e a topologia dos grupos de Lie em questão, fornecendo assim exemplos de curvaturas de diversas caracter´ısticas em variedades Riemannianas completas.

Palavras-chave: Grupos de Lie, álgebras de Lie, métricas invariantes à es-querda, métricas bi-invariantes, curvatura seccional, curvatura de Ricci, curvatura escalar.

(5)

Let G a Lie group with a left invariant metric.

The aim of this work is to study relationship between curvature, topology and Lie algebra of G. Furthermore this study will provide examples of curvatures with different characteristics in complete Riemannian manifolds.

Key-words: Lie groups, Lie algebras, left invariant metric, bi-invariant metrics, sectional curvature, Ricci curvature, scalar curvature.

(6)

SUM ´

ARIO

Introdu¸c˜ao 7

1 Geometria Riemanniana 9

1.1 Variedades diferenci´aveis . . . 9

1.2 Variedades Riemannianas . . . 13

2 Grupos de Lie 19 2.1 Grupos topol´ogicos . . . 19

2.2 Grupos e ´algebras de Lie . . . 21

2.3 Exemplos . . . 28

3 Curvaturas em Grupos de Lie com M´etricas Invariantes `a Esquerda 35 3.1 Curvatura seccional . . . 36

3.2 Curvatura de Ricci . . . 41

3.3 Curvatura escalar . . . 44

3.4 O caso tridimensional . . . 45

3.5 C´alculos . . . 51

3.6 Grupos de Lie unimodulares e n˜ao-unimodulares . . . 59

3.7 M´etricas bi-invariantes . . . 70

(7)

Ao se estudar uma classe de objetos matemáticas, é natural e essencial que se tenha em mãos exemplos capazes de intuir as dire¸cões a serem seguidas durante o estudo. Desta forma, o presente trabalho tem como objetivo principal a constru¸cão de exemplos onde se estuda as rela¸cões entre a curvatura de variedades Riemannianas completas e suas propriedades geométricas e topológicas.

As variedades Riemannianas abordadas neste estudo serão em especial os grupos de Lie com métricas invariantes à esquerda. Neste caso, se G é um grupo de Lie com uma métrica invariante à esquerda e Γ é um subgrupo discreto, a variedade quociente G/Γ com métrica induzida possui mesmas caracter´ısticas acerca de suas curvaturas e tal processo fornece facilmente novos exemplos de propriedades conhecidas.

Os dois primeiros cap´ıtulos são destinados aos estudos preliminares de variedades Riemmanianas, grupos de Lie e álgebras de Lie. O terceiro cap´ıtulo estará disposto em sete se¸cões. Destas as três primeiras tratarão das caracter´ısticas das curvaturas seccionais, de Ricci e escalar de métricas invariantes à esquerda em grupos de Lie respectivamente. A quarta se¸cão é destinada ao estudo de curvaturas de métricas invariantes à esquerda em grupos de Lie dimensionais e nesta se faz uso da tri-dimensionalidade de suas álgebras de Lie separando os grupos de Lie em duas classes, os unimodulares e os não-unimodulares. A quinta se¸cão é destinada aos cálculos e demonstra¸cões de resultados anteriormente utilizados. A sexta se¸cão tratará das propriedades de curvaturas de métricas invariantes à esquerda em grupos de Lie unimodulares e não-unimodulares de dimensões arbitrarias. Por fim, a ultima se¸cão

(8)

8

(9)

GEOMETRIA RIEMANNIANA

1.1 Variedades diferenci´

aveis

As demonstra¸c˜oes desta se¸c˜ao podem ser encontradas em [2].

Defini¸cão 1.1.1. Uma variedade diferenciável de dimensão n é um conjunto M e uma fam´ılia de aplica¸cões bi-un´ıvocas xα : Uα⊂ Rn −→ M de abertos Uα de Rn em

M tais que: 1. S

αxα(Uα) = M .

2. Para todo par α, β com xα(Uα) ∩ xβ(Uβ) = W 6= ∅, os conjuntos x−1α (W ) e

x−1_β (W ) s˜_{ao abertos em R}n _{e as aplica¸}_c˜_{oes x}−1 β ◦ x

−1

α s˜ao diferenci´aveis.

3. A fam´ılia {(Uα, xα)} é máxima relativamente as condi¸cões (1) e (2).

O par (Uα, xα) com p ∈ xα(Uα) ´e chamado uma parametriza¸c˜ao ou sistema de

coordenadas em p ∈ M e xα(Uα) ´e ent˜ao chamado uma vizinhan¸ca coordenada em

p. A fam´ılia {(Uα, xα)} satisfazendo (1) e (2) ser´a chamada estrutura diferenci´avel

em M . Note que uma estrutura diferenci´avel induz de forma natural uma topologia em M .

Defini¸cão 1.1.2. Sejam M₁n e M₂m variedades diferenciáveis. Uma aplica¸cão φ : Mn

1 −→ M2m é diferenciável em p ∈ M1n se dada uma parametriza¸cão y : V ⊂

(10)

1.1 Variedades diferenci´aveis 10

φ(x(U )) ⊂ y(V ) e a aplica¸cão y−1 _{◦ φ ◦ x : U ⊂ R}n _{−→ R}m é diferenciável em x−1(p).

Devido a exigência (2) em 1.1.1 a diferenciabilidade de uma aplica¸cão em um ponto não depende da parametriza¸cão adotada.

Análogo à superf´ıcies regulares, no estudo de variedades diferenciáveis um con-ceito indispensável é o de espa¸co tangente. Contudo nas superf´ıcies o conceito de espa¸co tangente não é definido de forma intr´ınseca, dependendo assim do espa¸co ao qual a superf´ıcie pertence. Porém variedades como vimos pela sua defini¸cão não são necessariamente subconjuntos de um espa¸co Euclidiano e desta forma necessitam de uma defini¸cão independente como segue.

Defini¸cão 1.1.3. Seja M uma variedade diferenciável. Uma aplica¸cão diferenciável α : (−, ) −→ M é chamada uma curva diferenciável em M . Suponha que α(0) = p e seja D o conjunto das fun¸cões definidas em M diferenciáveis em p. O vetor tangente à curva α em t = 0 é a fun¸cão α0_{(0) : D −→ R dada por}

α0(0)f = d(f ◦ α) dt onde f ∈ D.

Um vetor tangente em p ´e o vetor tangente em t = 0 de alguma curva α : (−, ) −→ M com α(0) = p. O conjunto dos vetores tangentes a M em p ser´a indicado por TpM .

Para cada p ∈ M , TpM com as opera¸c˜oes usuais de soma e produto por escalar ´e

um espa¸co vetorial de dimensão n que chamamos espa¸co tangente em p. Dada uma parametriza¸cão x obtém-se uma base associadan(_∂x∂

1)0, ..., ( ∂ ∂xn)0 o para TpM , onde (_∂x∂

i)0 ´e o vetor tangente em p `a curva coordenada xi 7−→ x(0, ..., 0, xi, 0, ..., 0).

Proposi¸c˜ao 1.1.4. Sejam M1 e M2 variedades diferenci´aveis e seja φ : M1 −→ M2

uma aplica¸c˜ao diferenci´avel. Para cada p ∈ M1 e cada v ∈ TpM1, escolha uma curva

diferenci´avel α : (−, ) −→ M1 com α(0) = p e α0(0) = v. Pondo β = φ ◦ α a

aplica¸cão dφp : TpM1 :−→ Tφ(p)M2 dada por dφp(v) = β0(0) é uma aplica¸cão linear

que n˜ao depende da escolha de α.

(11)

Sem muito esfor¸co se mostra que a composi¸cão de aplica¸cões diferenciáveis é ainda diferenciável e além disso vale nessas condi¸cões a regra da cadeia.

Defini¸cão 1.1.6. Sejam M1 e M2 variedades diferenciáveis. Uma aplica¸cão φ :

M1 −→ M2 é um difeomorfismo se é uma bije¸cão com inversa φ−1 diferenciável.

Nos mesmos moldes, φ ´e um difeomorfismo local em p ∈ M1 se existirem vizinhan¸cas

U de p e V de φ(p), tais que φ : U −→ V seja um difeomorfismo.

Defini¸c˜ao 1.1.7. Sejam Mn _{e N}m _{variedades diferenci´}_{aveis. Uma aplica¸}_c˜_ao

dife-renciável φ : M −→ N é uma imersão se dφp : TpM −→ Tφ(p)N é injetora para

todo p ∈ M . Se, além disso, φ é um homeomorfismo sobre φ(M ) ⊂ N , onde φ(M ) possui a topologia induzida por N , diz-se que φ é um mergulho. Caso M ⊂ N e a inclusão seja um mergulho dizemos então que M é uma subvariedade de N .

Para uma boa defini¸cão de certos objetos em uma variedade diferenciável é ne-cessário que nesta esteja definida uma orienta¸cão. A defini¸cão de variedade dife-renciável orientada pode ser dada como segue.

Defini¸cão 1.1.8. Seja M uma variedade diferenciável. Diz-se que M é orientável, se M admite uma estrutura diferenciável {(Uα, xα)} tal que para todo par α, β com

xα(Uα) ∩ xβ(Uβ) = W 6= ∅ a diferencial (Jacobiana) da mudan¸ca de coordenadas

xβ◦x−1α possui determinante positivo. Caso contrario, diz-se que M é não orientável.

Nas linhas seguintes será mencionado uma maneira de construir variedades di-ferenciáveis localmente difeomorfas a uma variedade dada a partir da a¸cão de um grupo. Tal procedimento fornece uma ferramente poderosa para o estudo de questões locais, uma vez que localmente, a nova variedade e a variedade dada são indis-tingu´ıveis do nosso ponto de vista.

Diz-se que um grupo G age em uma variedade diferenci´avel M se existe uma aplica¸c˜ao φ : G × M −→ M tal que:

1. Para cada g ∈ G, a aplica¸c˜ao φg : M −→ M dada por φg(p) = φ(g, p) onde

p ∈ M é um difeomorfismo e se e é o elemento neutro de G, então φe = Id.

2. Se g1, g2 ∈ G, ent˜ao φg1g2 = φg1 ◦ φg2.

(12)

1.1 Variedades diferenci´aveis 12

Diz-se que uma a¸cão é propriamente descontinua se todo p ∈ M possui uma vizinhan¸ca U ⊂ M tal que U ∩ g(U ) = ∅ para todo g 6= e. Se G age sobre M , então p1 ≡ p2 se, e só se, p2 = gp1 para algum g ∈ G determina uma rela¸cão de

equivalência em M e M/G será o espa¸co quociente de M por tal rela¸cão. Agora considere π : M −→ M/G a proje¸cão dada por π(p) = Gp.

Teorema 1.1.9. Seja M é uma variedade diferenciável e G × M 7−→ M é uma a¸cão propriamente descontinua. Então M/G possui uma estrutura diferenciável de modo que π : M −→ M/G é um difeomorfismo local.

Dada uma variedade diferenciável M , a cole¸cão dos espa¸cos vetoriais que a cada ponto da variedade associa seu espa¸co tangente possui uma estrutura de variedade diferenciável constru´ıda de forma natural a partir da estrutura de M , à esta nova variedade se dá o nome de fibrado tangente de M e denotaremos T M .

Defini¸cão 1.1.10. Um campo de vetores X em uma variedade diferenciável M é uma correspondência que a acada ponto p ∈ M associa um vetor X(p) ∈ TpM . Em

termos de aplica¸cão, X é uma aplica¸cão de M em T M . O campo é diferenciável se a aplica¸cão X : M −→ T M é diferenciável.

Dados dois campos diferenciáveis de vetores X e Y em uma variedade, existe um e só um campo diferenciável de vetores Z tal que Z = XY − Y X. Note que apesar de frequentemente XY e Y X não conduzirem a campos diferenciáveis de vetores pois envolvem derivadas de orden maior, o operador [X, Y ] = XY − Y X é um campo diferenciável de vetores e determina uma opera¸cão entre campos de vetores [·, ·] chamada o colchete.

Proposi¸cão 1.1.11. Se X, Y e Z são campos diferenciáveis de vetores em M , a, b ∈ R e f, g fun¸cões diferenciáveis, então:

1. (Anti-comutatividade) [X, Y ] = −[Y, X]. 2. (Linearidade)

(13)

3. (Identidade de Jacobi)

[[X, Y ], Z] + [[Y, Z], X] + [[Z, X], Y ] = 0. 4. [f X, gX] = f g[X, Y ] + f X(g)Y − gY (f )X.

Relacionado a problemas de valores iniciais em equa¸cões diferenciais teremos o próximo resultado. O conceito de fluxo em uma variedade é muito importante e ganha ainda mais importância a partir da escolha dos campo de vetores e das pro-priedades da variedade. Exemplos desses são os fluxos geodésicos de uma variedade Riemanniana e o fluxo dos campos invariantes em um grupo de Lie, como veremos nas próximas se¸cões.

Teorema 1.1.12. Seja X um campo diferenciável de vetores em uma variedade M e p ∈ M . Então existem uma vizinhan¸ca U ⊂ M de p, um intervalo (−δ, δ) com δ > 0 e uma aplica¸cão diferenciável ϕ : (−δ, δ) × U −→ M , tais que a curva α(t) = ϕ(t, q) onde t ∈ (−δ, δ) e q ∈ U é a única curva que satisfaz ∂ϕ_∂t = X(ϕ(t, q)) e ϕ(0, q) = q. Uma curva α : (−δ, δ) −→ M que satisfaz as condi¸cões α0(t) = X(α(t)) e α(0) = q é chamada a trajetória do campo X que passa por q para t = 0. A aplica¸cão ϕ : (−δ, δ) × U −→ M depende diferenciavelmente de t, da condi¸cão inicial q e ϕt: U −→ M é chamado o fluxo local de X.

1.2 Variedades Riemannianas

Defini¸cão 1.2.1. Uma métrica Riemanniana em uma variedade diferenciável M é uma correspondência que associa a cada ponto p de M um produto interno h·, ·i_p em TpM que varia diferenciavelmente em M .

Variar diferenciavelmente como na defini¸c˜ao acima pode ser melhor compreen-dido com auxilio de um sistema de coordenadas locais x : U ⊂ Rn _{−→ M em}

torno de p. Neste sistema de coordenadas, defina gij(p) =

D ∂ ∂xi(p), ∂ ∂xj(p) E p. Exigir

que o produto interno varie diferenciavelmente em M significa pedir que as fun¸cões gij dependam diferenciavelmente de p. As fun¸cões gij são chamadas expressões da

m´etrica Riemanniana no sistema de coordenadas.

Defini¸cão 1.2.2. Uma variedade Riemanniana é uma variedade diferenciável mu-nida de uma métrica Riemanniana.

(14)

1.2 Variedades Riemannianas 14

Defini¸c˜ao 1.2.3. Sejam M e N variedades Riemannianas. Um difeomorfismo f : M −→ N ´e chamado uma isometria se

hu, vi_p = hdfp(u), dfp(v)i_{f (p)}

para todo p ∈ M e u, v ∈ TpM .

Defini¸cão 1.2.4. Nos moldes da defini¸cão anterior, f é uma isometria local em p ∈ M se existe uma vizinhan¸ca U ⊂ M de p tal que f : U −→ f (U ) é uma isometria.

Duas variedades Riemannianas M e N s˜ao ditas localmente isom´etricas se para cada p ∈ M existir uma isometria local em p.

Dada uma variedade Riemanniana orientada existe uma maneira de atribuir volume a certas regi˜_{oes de M . Para isso seja p ∈ M e x : U ⊂ R}n _{−→ M uma}

parametriza¸c˜ao compat´ıvel com a orienta¸c˜ao de M . Considere uma base ortonormal positiva B = {e1, ..., en} em TpM e escreva Xi(p) = _∂x∂

i(p) na base B como Xi(p) =

P

ijaijej, ent˜ao det(aij) = pdet(gij)(p). Agora se R ⊂ M ´e um conjunto aberto

e conexo cujo fecho ´e compacto e suponha que R ⊂ x(U ) possuindo fronteira de medida nula em Rn, definimos

V ol(R) = Z

x−1_(R)

q

det(gij)(x1, ..., xn)dx1...dxn.

Se y : V ⊂ Rn −→ M é outra parametriza¸cão positiva em torno de p, então o Ja-cobiano da mudan¸ca de coordenadas possui determinante positivo e utilizando troca de vari´_{aveis nas integrais em R}n se mostra sem dificuldades que nessas condi¸cões a defini¸cão do volume de R não depende do sistema de coordenadas. Para uma região compacta R não necessariamente contida em uma vizinhan¸ca coordenada, tome uma parti¸cão da unidade {ϕα} subordinada a cobertura finita de R determinada pelas

vizinhan¸cas coordenadas xα(Uα) e defina

V ol(R) =X α Z x−1_(R) ϕα q det(gα ij)(x1, ..., xn)dx1...dxn.

Indicaremos χ(M ) o conjunto dos campos de vetores de classe C∞ em M e por D(M ) o anel das fun¸c˜_{oes f : M −→ R de classe C}∞.

(15)

Defini¸cão 1.2.5. Uma conexão afim ∇ em uma variedade diferenciável M é uma aplica¸cão,

∇ : χ(M ) × χ(M ) −→ χ(M )

que se indica por (X, Y )→ ∇∇ XY e que satisfaz as seguintes propriedades:

1. ∇f X+gYZ = f ∇XZ + g∇YZ,

2. ∇X(Y + Z) = ∇XY + ∇XZ,

3. ∇X(f Y ) = f ∇XY + X(f )Y ,

onde X, Y, Z ∈ χ(M ) e f, g ∈ D(M ).

Proposi¸cão 1.2.6. Seja M uma variedade diferenciável com uma conexão afim ∇. Então existe uma única correspondência que associa a um campo vetorial V ao longo de uma curva diferenciável c : I −→ M um outro campo vetorial DV_dt ao longo de c, denominado derivada covariante de V ao longo de c, tal que:

1. D(V +W )_dt = DV_dt +DW_dt . 2. D(f V )_dt = df_dtV + fDV_dt .

3. Se V é induzido por um campo de vetores Y ∈ χ(M ), isto é, V (t) = Y (c(t)), então DV_dt = ∇dc

dtY .

Defini¸cão 1.2.7. Seja M uma variedade diferenciável com uma conexão afim ∇. Um campo V ao longo de uma curva c : I −→ M é chamado de paralelo quando

DV

dt = 0 para todo t ∈ I.

Proposi¸cão 1.2.8. Seja M uma variedade diferenciável com uma conexão afim ∇. Seja c : I −→ M uma curva diferenciável em M e V0 um vetor tangente a M em

c(t0), t0 ∈ I. Ent˜ao existe um ´unico campo de vetores paralelos V ao longo de c, tal

que V (t0) = V0 (V (t) ´e chamado o transporte paralelo de V (t0) ao longo de c).

Abaixo definimos a conexão Riemanniana, objeto important´ıssimo no estudo de Geometria Riemanniana, pois pode ser considerada o elo de liga¸cão para as defini¸cões abstratas de curvaturas, sendo esses últimos os de maior interesse neste estudo.

(16)

Defini¸cão 1.2.9. Seja M uma variedade Riemanniana com uma conexão afim ∇. A conexão é dita compat´ıvel com a métrica h·, ·i, quando para toda curva diferenciável c e quaisquer pares de campos de vetores paralelos P e P0 ao longo de c tivermos hP, P0_{i = cte.}

Apresentamos agora seguidamente duas caracteriza¸cões de conexões compat´ıveis com a métrica, a segunda segue imediatamente da primeira e será frequentemente utilizada ao longo dos estudos.

Proposi¸cão 1.2.10. Seja M uma variedade Riemanniana. Uma conexão ∇ em M é compat´ıvel com a métrica se, e só se, para todo par V e W de campos de vetores ao longo da curva diferenciável c : I −→ M tem-se

d dthV, W i = DV dt , W + V,DW dt .

Corolário 1.2.11. Uma conexão ∇ em uma variedade Riemanniana M é compat´ıvel com a métrica se, e só se

X hY, Zi = h∇XY, Zi + hY, ∇XZi .

Defini¸cão 1.2.12. Uma conexão afim ∇ em uma variedade diferenciável M é dita simétrica quando

∇XY − ∇YX = [X, Y ]

para todo X, Y ∈ χ(M ).

Teorema 1.2.13. Dado uma variedade Riemanniana M , existe uma única conexão afim ∇ em M satisfazendo as condi¸cões

1. ∇ ´e sim´etrica.

2. ∇ ´e compat´ıvel com a m´etrica Riemanniana.

A conexão do teorema acima é chamada conexão Riemanniana de M .

Defini¸cão 1.2.14. Uma curva parametrizada γ : I −→ M é uma geodésica em t0 ∈ I se D_dt(dγ_dt) = 0 para t0. Caso γ seja geodésica para todo t ∈ I, dizemos que γ

´e uma geod´esica.

Lema 1.2.15. Existe um único campo G em T M cujas trajetórias são da forma t 7−→ (γ(t), γ0(t)), onde γ é uma geodésica em M .

(17)

Defini¸cão 1.2.16. O campo G acima é chamado campo geodésico em T M e seu fluxo, fluxo geodésico de T M .

Aplicando o Teorema 1.1.12 ao campo geodésico G no ponto (p, 0) ∈ T M , ob-temos para cada p ∈ M um aberto U ⊂ T M , onde (p, 0) ∈ U , um número δ > 0 e uma aplica¸cão C∞, ϕ : (−δ, δ) × U −→ T M tais que ϕ(q,v)(t) é a única trajetória de

G que satisfaz a condi¸c˜ao inicial ϕ(q,v)(0) = (q, v) para cada (q, v) ∈ U . Escolhendo

U como U = {(q, v) ∈ T M ; q ∈ V, v ∈ TqM com |v| < }, onde V ⊂ π(U ) ´e uma

vizinhan¸ca de p ∈ M com π a proje¸c˜ao de T M sobre M e pondo γ = π ◦ ϕ obtemos a seguinte proposi¸c˜ao.

Proposi¸cão 1.2.17. Dado p ∈ M , existem uma vizinhan¸ca V de p, números δ > 0, > 0 e uma aplica¸cão C∞ γ : (−δ, δ) × U −→ M (U como acima) tais que a curva γ(q,v)(t), t ∈ (−δ, δ), é a única geodésica de M que no instante t = 0 passa por q

com velocidade v, para cada q ∈ V e cada v ∈ TqM com |v| < .

Devido a homogeneidade (veja [2] pg.72) podemos supor que as geodésicas este-jam definidas no intervalo aberto (−2, 2). A escolha deste aberto é justificada pelas considera¸cões que se seguem.

Seja U ⊂ T M um aberto como na proposi¸c˜ao acima com δ = 2. Desta forma a aplica¸c˜ao exp : U −→ M dada por

exp(q, v) = γ(1, q, v) = γ(|v| , q, v |v|)

onde (q, v) ∈ U , é chamada a aplica¸cão exponencial em U . A aplica¸cão exponencial é diferenciável e expq : B(0) ⊂ TqM −→ M dada por expq(v) = exp(q, v) é a

restri¸c˜ao de exp a um aberto de TqM . Geometricamente, expq(v) ´e o ponto obtido

ao percorrer |v| a partir de q sobre a geod´esica que passa por q com velocidade _|v|v . Proposi¸c˜ao 1.2.18. Dado q ∈ M , existe um > 0 tal que expq : B(0) ⊂ TqM −→

M ´e um difeomorfismo de B(0) sobre um aberto de M .

Impl´ıcito na proposi¸cão acima está contido uma rela¸cão important´ıssima que nos dá a expressão da diferencial da aplica¸cão expq em 0 ∈ TqM . Na realidade para

todo v ∈ B(0), d(expq)0(v) = v e isso ´e o bastante para a veracidade da proposi¸c˜ao

(18)

Defini¸cão 1.2.19. A curvatura R de uma variedade Riemanniana M é uma corres-pondência que associa a cada par X, Y ∈ χ(M ) uma aplica¸cão R(X, Y ) : χ(M ) −→ χ(M ) dada por

R(X, Y )Z = ∇Y∇XZ − ∇X∇YZ + ∇[X,Y ]Z

onde Z ∈ χ(M ) e ∇ ´e a conex˜ao Riemanniana de M .

Proposi¸cão 1.2.20. Seja R a curvatura de uma variedade riemanniana, então: 1. R é bilinear em χ(M ) × χ(M ), isto é,

R(f X1+ gX2, Y1) = f R(X1, Y1) + gR(X2, Y1),

R(X1, f Y1+ gY2) = f R(X1, Y1) + gR(X1, Y2),

onde f, g ∈ D(M ) e X1, X2, Y1, Y2 ∈ χ(M ).

2. Para todo par X, Y ∈ χ(M ), o operador curvatura R(X, Y ) : χ(M ) −→ χ(M ) ´

e linear, isto ´e,

R(X, Y )(Z + W ) = R(X, Y )Z + R(X, Y )W, R(X, Y )f Z = f R(X, Y )Z,

onde f ∈ D(M ) e Z, W ∈ χ(M ).

Proposi¸c˜ao 1.2.21. A curvatura R satisfaz a identidade de Bianchi, isto ´e, R(X, Y )Z + R(Y, Z)X + R(Z, X)Y = 0.

De agora em diante utilizaremos por conveniˆencia a nota¸c˜ao RXY(Z) para

(19)

GRUPOS DE LIE

Este cap´ıtulo tem como objetivo fornecer conceitos básicos e essenciais à cons-tru¸cão do cap´ıtulo 3. Neste, assim como fez Sophus Lie inicialmente em 1870, utilizaremos também as álgebras de Lie associada aos grupos de Lie para explorar suas propriedades.

O emprego das ´algebras de Lie no estudo dos grupos de Lie se tornou o caminho mais frequente, muito por essas serem estruturas mais simples uma vez que o espa¸co estudado ´e linear.

As demonstra¸c˜oes deste cap´ıtulo podem ser encontradas em [9].

2.1 Grupos topol´

ogicos

Defini¸cão 2.1.1. Um grupo topológico G é um grupo (algébrico) cujo conjunto subjacente está munido de uma topologia e que,

1. O produto p : G × G −→ G, p(g, h) = gh, ´e uma aplica¸c˜ao cont´ınua, quando se considera em G × G a topologia produto.

2. A aplica¸c˜ao i : G −→ G, i(g) = g−1, ´e cont´ınua.

Cada elemento g ∈ G define, de forma natural as seguintes aplica¸cões: Transla¸cão à esquerda: Lg : G −→ G, Lg(h) = gh.

(20)

2.1 Grupos topol´ogicos 20

Conjuga¸c˜ao: Cg : G −→ G, Cg(h) = ghg−1. Decorre imediatamente da

continui-dade de p que tais aplica¸cões são continuas. Na verdade uma observa¸cão mais atenta é suficiente para notarmos que se tratam de homeomorfismos de G. A proposi¸cão abaixo é uma consequência da continuidade das transla¸cões.

Proposi¸cão 2.1.2. Sejam G e H grupos topológicos e φ : G −→ H um homomor-fismo (de grupos). Então, φ é cont´ınuo se, e só se, φ é cont´ınuo no elemento neutro e ∈ G.

Defini¸cão 2.1.3. Um subgrupo H ⊂ G com a topologia do subespa¸co é denominado de subgrupo topológico de G.

Obviamente para que tal defini¸cão tenha sentido é preciso notar que se p : G × G −→ G é o produto em G, então pH = p|H : H × H −→ H é o produto em H e

é continuo com a topologia do subespa¸co em H × H que coincide com a topologia produto em H × H. Considera¸cões análogas devem ser feitas para iH.

Proposi¸cão 2.1.4. Seja H ⊂ G um subgrupo e suponha que H◦ 6= ∅. Então, H é aberto.

Proposi¸cão 2.1.5. Suponha que H seja um subgrupo aberto de G. Então, H é fechado.

Este último fato garante que subgrupos abertos de G são na realidade uniões de componentes conexas de G e em particular, se G é conexo, deve portanto ser o único de seus subgrupos abertos. Os resultados que se seguem terão aplica¸cões no estudo de grupos de Lie, principalmente pelo fato destes serem localmente conexos.

Proposi¸c˜ao 2.1.6. A componente conexa do elemento neutro em G, G0, ´e um

sub-grupo fechado e normal de G. Qualquer outra componente conexa ´e uma classe lateral gG0 = G0g. Reciprocamente, toda classe lateral gG0 = G0g ´e uma

compo-nente conexa de G.

Proposi¸cão 2.1.7. Suponha que G seja localmente conexo. Então, G0 é um

sub-grupo aberto.

Proposi¸c˜ao 2.1.8. Suponha que G seja conexo. Ent˜ao para qualquer vizinhan¸ca do elemento neutro U , temos G =S

n≥1U n_.

(21)

Quando estamos em posse de um grupo localmente compacto é poss´ıvel definir sobre tal uma medida de Haar µ, ou seja, uma medida sobre a σ-álgebra dos con-juntos de Borel de G, que é invariante por transla¸cões à esquerda ou à direita no grupo. Para a constru¸cão de tal medida fica referenciado [9] cap´ıtulo 3.

2.2 Grupos e ´

algebras de Lie

Defini¸cão 2.2.1. Um grupo de Lie é um grupo cujo conjunto subjacente possui uma estrutura de variedade diferenciável, de tal forma que a aplica¸cão produto

p : (g, h) ∈ G × G 7−→ gh ∈ G seja diferenci´avel.

Decorre imediatamente da defini¸cão acima e da natureza das transla¸cões, que es-tas são difeomorfismo de G em G. Aqui, bem como em todo trabalho, consideramos diferenciável como de classe C∞. Decorre da defini¸cão acima e do uso do Teorema da fun¸cão impl´ıcita o seguinte resultado.

Proposi¸cão 2.2.2. Em um grupo de Lie G a aplica¸cão i : g ∈ G 7→ g−1 ∈ G é um difeomorfismo. A diferencial de i é dada por

dig = −(dLg−1)_e◦ (dR_g−1)_g

em particular, (di)e= −id.

Associado a um grupo de Lie existe uma estrutura algébrica vetorial que desem-penha um papel important´ıssimo em seu estudo. Tal estrutura é chamada álgebra de Lie.

Defini¸cão 2.2.3. Uma álgebra de Lie é um espa¸co vetorial g munido de uma opera¸cão binaria [·, ·] :g × g −→ g denominada colchete de Lie satisfazendo:

1. O colchete [·, ·] ´e bilinear.

2. Anti-sim´etrico, isto ´e, [X, Y ] = − [Y, X].

3. Satisfaz a identidade de Jacobi, ou seja, para X, Y, Z ∈ g, [X, [Y, Z]] = [[X, Y ] , Z] + [Y, [X, Z]].

(22)

2.2 Grupos e ´algebras de Lie 22

Enunciaremos agora algumas defini¸cões acerca de álgebras de Lie que serão fre-quentemente utilizadas em nosso estudo.

Defini¸cão 2.2.4. Uma álegra de Lie g é dita comutativa se [X, Y ] = 0 para todo X, Y ∈g

Defini¸cão 2.2.5. Uma subálgebra de Lie h ⊂ g é um subespa¸co vetorial de g fechado para o colchete.

Defini¸cão 2.2.6. Um subespa¸co u de uma álgebra de Lie g é um ideal, se para todo X ∈u e todo Y ∈ g, [X, Y ] ∈ u.

Defini¸cão 2.2.7. A série central descendente de uma álgebra de Lie g é dada por g = g1 _⊃_g2 _{= [}_{g, g] ⊃ · · · = g}k+1 ₌

g, gk_{· ··}

.

Defini¸cão 2.2.8. A álgebra de Lie g é nilpotente se sua série central descendente se estabiliza, isto é, se gk_{= {0} para algum k ≥ 0.}

Defini¸cão 2.2.9. Seja g uma álgebra de Lie, sua série derivada é a sequência de ideais

g(0)

=g ⊃ g(1) = [g, g] ⊃ g(2) =g(1),g(1) ⊃ · · · ⊃g(k)=g(k−1),g(k−1) ⊃ · · · .

Defini¸cão 2.2.10. Uma álgebra de Lie g é dita solúvel se g(k) _{= {0} para algum}

k ≥ 0.

Defini¸cão 2.2.11. Uma álgebra de Lie g é dita simples se não admite ideais que não os triviais ({0} e g).

Defini¸cão 2.2.12. Uma álgebra de Lie g é dita semi-simples se pode ser escrita como soma direta (de espa¸cos vetoriais) de álgebras de Lie simples.

Uma outra caracteriza¸cão de álgebras de Lie semi-simples pode ser dado em fun¸cão de sua forma de Cartan-Killing (usualmente chamada somente de forma de Killing), onde g é semi-simples se, e só se, sua forma de Cartan-Killing é não-degenerada. Para uma referência veja [8] cap´ıtulo 3.

(23)

Defini¸cão 2.2.13. Seja G um grupo de Lie. Um campo de vetores X em G é dito Invariante à esquerda: se para todo g, h ∈ G, d(Lg)h(X(h)) = X(gh).

Invariante `a direita: se para todo g, h ∈ G, d(Rg)h(X(h)) = X(hg).

Decorre diretamente da defini¸cão acima que o campo definido a partir da condi¸cão X(g) = d(Lg)e(X(e)) para cada g ∈ G é invariante a esquerda. Os campos

inva-riantes `a direita s˜ao obtidos analogamente. Essa propriedade mostra que o espa¸co tangente TeG determina todos os campos invariantes em G, portanto podemos a

par-tir daqui nos referirmos a um campo invariante, previamente estabelecido à esquerda ou à direita, como um elemento de TeG. Dado X ∈ TeG, a nota¸cão Xd indicará

o campo invariante `a direita tal que Xd_{(e) = X, ou seja, X}d_{(g) = d(R}

g)e(X) e

analogamente para Xe_.

Lema 2.2.14. Sejam Xe _{e Y}e _{campos invariantes em um grupo de Lie G. Ent˜}_{ao, o}

colchete de campos diferenci´aveis de vetores [Xe_{, Y}e_{] = X}e_Ye_{− Y}e_Xe _´_{e invariante}

`

a esquerda. A mesma afirma¸c˜ao vale para campos invariantes `a direita.

O Lema acima permite definir a ´algebra de Lie de G. Existe mais de uma maneira de definir a ´algebra de Lie g de um grupo de Lie G, contudo todas conduzem a ´

algebras de Lie isomorfas. Utilizaremos aqui a defini¸c˜ao mais conveniente.

Defini¸cão 2.2.15. A álgebra de Lie g de um grupo de Lie G é o espa¸co vetorial TeG munido da opera¸cão colchete dada por

[X, Y ] = [Xe, Ye] (e)

onde X, Y ∈ TeG.

Em outras palavras, o colchete em TeG conduz um par de vetores X, Y ∈ TeG

(ou campos invariantes `a esquerda Xe _{e Y}e _{em G) ao representante em T} eG do

campo invariante `a esquerda dado por [Xe, Ye] = XeYe− Xe_Ye_.

Em grupos de Lie, a grande importância no estudo de suas álgebras de Lie está re-lacionado a um elo fort´ıssimo criado pela aplica¸cão exponencial de Lie. Diferente da exponencial definida no primeiro cap´ıtulo, esta nova é colocada a partir do fluxo de campos invariantes e não tem a priori liga¸cão alguma com o fluxo geodésico. Quando não causar enganos mencionaremos somente exponencial e denotaremos

(24)

exp. Para entender sua existˆencia, seja X um campo invariante a esquerda, denote Xt seu fluxo local. A invariˆancia de X, promove a seguinte propriedade:

Sejam g, h ∈ G com h ∈ domXt e α(t) = gXt(h). Note que o dom´ınio de α ´e

um intervalo de R contendo o zero, tal que α(0) = gh. Agora, pela regra da cadeia, α0(t) = d(Eg)Xt(h)(X(Xt(h))) e pela invariˆancia de X segue que α

0_{(t) = X(α(t)).}

Portanto α é uma curva que para t = 0 passa em gh com velocidade X(gh). Logo α é solu¸cão para o problema de valor inicial ∂g_∂t = X(g) com g(0) = gh, ou seja, α(t) = Xt(gh) e Xt(gh) = gXt(h). Em particular se h = e temos Xt(g) = gXt(e), isto é,

as solu¸cões para o P.V.I anterior são na realidade transla¸cões a esquerda da solu¸cão com valor inicial α(0, e) = 0. Para campos invariantes a direita, analogamente se mostra que Yt(h)g = Yt(hg).

O fato de as trajetórias serem obtidas umas das outras via transla¸cões acarreta que devem possuir todas o mesmo intervalo de dom´ınio. Estas considera¸cões nos levam ao seguinte resultado.

Proposi¸cão 2.2.16. Um campo invariante a direita ou a esquerda é completo. Outro resultado que segue imediatamente do feito acima é que se X é invariante a esquerda então:

Xt+s(e) = Xt(Xs(e)) = Xs(e)Xt(e) = Xt(e)Xs(e),

enquanto se Y ´e invariante `a direita,

Yt+s(e) = Yt(Ys(e)) = Yt(e)Ys(e) = Ys(e)Yt(e)

e assim obtemos que

Xt+s(e)Xt(e)−1 = Xs(e) = Xt+s−t(e) = Xt+s(e)X−t(e),

ou seja, X−t(e) = Xt(e)−1 e analogamente se mostra que Y−t(e) = Yt(e)−1. O

que nos leva a concluir que se X é invariante à esquerda e Y invariante à direita, então {Xt(e); t ∈ R} e {Yt(e); t ∈ R} são subgrupos de G denominados subgrupos a

1-parˆametro de G.

O próximo resultado conecta as trajetórias de campos invariantes à esquerda e `

(25)

Proposi¸cão 2.2.17. Sejam X e Y campos invariantes à esquerda e à direita res-pectivamente, tais que X(e) = Y (e). Então suas trajetórias Xt(e) e Yt(e) coincidem

para t ∈ R.

Defini¸cão 2.2.18. Seja X ∈ TeG. Então expX = X1d(e) = X1e(e) é a aplica¸cão

exponencial de g em G.

No caso particular (contudo muito frequente) de um grupo de Lie G de matrizes, verifica-se que se X ∈g, então exp(X) = P_n≥0 X_n!n, ou seja, a aplica¸cão exponencial coincide com a já conhecida exponencial de matrizes (veja [9] pg.98).

Observa¸c˜_{ao 2.2.19. Se a ∈ R e X é um campo diferenciável de vetores, então as} trajetórias X e aX possuem a mesma imagem e seus fluxos satisfazem (aX)t = Xat.

Portanto as trajet´orias de campos Xd e Xe que passam pelo elemento neutro s˜ao dadas por

X_td(e) = X_te(e) = exptX.

Assim exp(t+s)X = Xt+s(e) = Xt(e)Xs(e) = exptXexpsX ´e um homomorfismo

de R em G.

Proposi¸cão 2.2.20. A aplica¸cão exp :g −→ G é diferenciável e além disso d(exp)0(X) =

X para todo X ∈g.

A proposi¸cão acima prepara o uso do Teorema da aplica¸cão inversa, nos garan-tindo a existência de vizinhan¸cas U ⊂g e V ⊂ G de 0 ∈ g e e ∈ G respectivamente, de forma que exp : U −→ V seja um difeomorfismo. Perceba que este fato, devido a proposi¸cão 2.1.8, possui imediata influência sobre grupos de Lie conexos.

Lema 2.2.21. Sejam G e H grupos de Lie com álgebras de Lie g e h respectivamente. Seja φ : G −→ H um homomorfismo diferenciável e tome X ∈ g. Então para todo g ∈ G vale

dφg(Xd(g)) = Yd(φ(g)),

dφg(Xe(g)) = Ye(φ(g)),

onde Y = dφe(X).

O Lema mostra que X ∈ g e Y ∈ h são φ-relacionados e portanto as trajetórias de Y são dadas pelas imagens de φ das trajetórias de X. Como as trajetórias de campos invariantes são dadas pelas exponencias obtemos o seguinte resultado.

(26)

Proposi¸cão 2.2.22. Sejam G e H grupos de Lie com álgebras de Lie g e h respec-tivamente. Se φ : G −→ H é um homomorfismo diferenciável e X ∈ g, então

φ(expX) = exp(dφe(X)).

O automorfismo conjuga¸c˜ao Cg(h) = ghg−1 induz naturalmente um

homomor-fismo de G no grupo linear geral Gl(g) dado por Ad(g) = d(Lg)g−1 ◦ d(R_g−1)_e. Tal

homomorfismo é diferenciável e além disse vale o próximo resultado.

Proposi¸cão 2.2.23. Seja G um grupo de Lie com álgebra de Lie ∈ g. Então d(Ad)e(X) = [X, ·] para todo X ∈g.

Defini¸cão 2.2.24. Sejam g e h álgebras de Lie. Um homomorfismo (de álgebras de Lie) de g em h é uma transforma¸cão linear T : g −→ h, tal que

T ([X, Y ]) = [T (X), T (y)] , ou seja, T preserva o colchete.

Defini¸cão 2.2.25. Seja g uma álgebra de Lie. Sua representa¸cão adjunta é a aplica¸cão ad :g :−→ gl(g) definida por

ad(X)(Y ) = [X, Y ] .

Acima gl(g) é a álgebra linear geral dadas pelas transforma¸cões lineares de g em g e o comutador de matrizes.

Devido a bilinaridade do colchete e a identidade de Jacobi, ad é um homomor-fismo de álgebras de Lie (na verdade é uma representa¸cão deg, (veja [9] pg.110). Com a nota¸cão da defini¸cão acima o resultado da proposi¸cão 2.2.23 se torna d(Ad)e(X) =

ad(X). Aplicando este último fato à proposi¸cão 2.2.22 obtemos.

Corolário 2.2.26. Seja G um grupo de Lie, com álgebra de Lie g. Então Ad(expX) = exp(ad(X))

O resultado abaixo ´e conhecido como terceiro teorema de Lie.

Teorema 2.2.27. Se g é uma álgebra de Lie real e de dimensão finita, então existe um grupo de Lie G com álgebra de Lie g.

(27)

Teorema 2.2.28. Se G é um grupo de Lie conexo com álgebra de Lie g, então o seu recobrimento universal ˜G admite uma estrutura de grupo de Lie cuja álgebra de Lie é g.

Teorema 2.2.29. Seja g uma álgebra de Lie real de dimensão finita. Então, 1. Existe um único (a menos de isomorfismo) grupo de Lie conexo e simplesmente

conexo ˜G(g) com ´algebra de Lie g.

2. Se G é um grupo de Lie conexo com álgebra de Lie g, então G é isomorfo a ˜

G(g)/Γ, onde Γ ⊂ ˜G(g) é um subgrupo discreto contido no centro de ˜G(g). Além disso, Γ é isomorfo ao grupo fundamental π1(G).

A unicidade do item 1 é garantida pelo principio da monodromia (veja [9] pg.155). Dado um grupo de Lie G com álgebra de Lieg e um ideal u ⊂ g, existe um único subgrupo de Lie conexo U ⊂ G com álgebra de Lie u. Além disso se G é conexo e g se decompõe como a soma direta g = a1⊕ · · · ⊕an de ideais de g, então G se

decomp˜oe como o produto cartesiano G = A1× · · · × An de subgrupos normais Ai,

tais subgrupos são gerados pelas subálgebras ai (veja [9] se¸cão 6.2). Ainda, se G é

simplesmente conexo, cada Ai deve ser simplesmente conexo.

Um grupo de Lie pode obviamente ser considerado uma variedade Riemanniana, bastando para isso que possua uma métrica Riemanniana. Desta forma, podemos nos perguntar quais destas deixam invariantes os automorfismos transla¸cões, neste contexto temos a defini¸cão abaixo.

Defini¸cão 2.2.30. Uma métrica Riemanniana em um grupo de Lie G é dita inva-riante à esquerda se

hX, Y i_g = hd(Lh)gX, d(Lh)gY i_L_h_(g)

para todo h, g ∈ G e X, Y ∈ TgG.

Analogamente se define métricas invariantes à direita, trocando obviamente na defini¸cão acima as transla¸cões à esquerda por transla¸cões à direita.

(28)

2.3 Exemplos 28

2.3 Exemplos

Nesta última se¸cão preliminar daremos alguns exemplos de grupos de Lie, bem como suas álgebras de Lie e bases apropriadas para tais álgebras, preparando-os para aplica¸cões no próximo cap´ıtulo.

Exemplo 2.3.1. O grupo de Lie SL(2, R) é chamado de grupo linear especial e consiste no grupo das matrizes reais bi-dimensionais com determinante 1. Note que tal grupo não é limitado em M2(R), portanto não é compacto.

Quanto a sua ´_{algebra de Lie, se X ∈ sl(2, R), ent˜ao det(exp(tX)) = 1 para} todo t ∈ R, ou seja, det(exp(X)) = etr(X) = 1 e portanto tr(X) = 0 sendo desta forma uma condi¸c˜ao necess´_{aria e suficiente para X ∈ sl(2, R). Assim sl(2, R) =} {X ∈ M2(R); tr(X) = 0}.

Mostremos agora que sl(2, R) ´e simples. De fato, tomemos inicialmente para tal ´ algebra a base, e1 =   −1 0 0 1  , e2 =   0 −1 −1 0  , e3 =   0 −1 1 0  

Nesta base temos [e1, e2] = −2e3, [e2, e3] = 2e1 e [e3, e1] = 2e2. Ent˜ao perceba

que tal estrutura garante que todo ideal que admitir um elemento da base {e1, e2, e3}

´_{e na realidade sl(2, R).}

Seja u um ideal de sl(2, R), v = ae1+be2+ce3 ∈ u e suponha sem perda de

genera-lidade que a 6= 0. Ent˜ao [v, e1] = 2be3+2ce2. Caso b,c ou ambos sejam zero, obtemos

um elemento b´asico em u. Caso ambos difiram de zero, ent˜ao [2be3+ 2ce2, e3] = 4ce1

e e1 ∈ u. Logo sl(2, R) n˜ao admite ideais n˜ao triviais.

Exemplo 2.3.2. O grupo de Lie SU (2) é chamado grupo especial unitário e consiste no grupo das matrizes complexas unitárias de determinante 1. As matrizes de SU (2) podem ser escritas na forma,

  a b −¯b ¯a  ,

(29)

Se a = x1+ x2i e b = x3+ x4i teremos, A =   a b −¯b ¯a  =   x1 + x2i x3+ x4i −x3 + x4i x1− x2i  

com x1, x2, x3, x4 ∈ R. A condi¸c˜ao sobre o determinante garante que det(A) =

x2

1+ x22+ x23+ x24 = 1, ou seja, o grupo de Lie SU (2) ´e homeomorfo a S3, portanto

´e compacto, conexo e simplesmente conexo.

Quanto a sua álgebra de Lie, note que se X ∈ su(2), então exp(tX) é unitária para todo t ∈ R, ou seja, exp(tX)∗ = exp(tX)−1 = exp(−tX). Como exp(tX)∗ = exp(tX∗) obtemos exp(tX∗) = exp(−tX). numa dire¸cão vemos que se X∗ = −X, então a igualdade exp(tX∗) = exp(−tX) está satisfeita. Noutra dire¸cão, se exp(tX∗_{) = exp(−tX) para todo t ∈ R, derivando em t = 0 temos X}∗ = −X, ou seja, as matrizes em su(2) satisfazem necessariamente X∗ = −X. Além disso, a restri¸cão sobre o determinante exige tamb´_{em que det(exp(tX) = 1 para todo t ∈ R.} Desta forma det(exp(tx)) = etr(tX)_{= 1. Em especial para t = 1 obtemos tr(X) = 0.}

Logo su(2) = {X ∈ M2(C); X∗ = −X e tr(X) = 0}.

Uma base para su(2) sobre R ´e

e1 =   0 −i −i 1  , e2 =   0 1 −1 0  , e3 =   i 0 0 −i  

onde [e1, e2] = 2e3, [e2, e3] = 2e1 e [e3, e1] = 2e2. Analogamente ao exemplo 2.3.1 se

mostra que tal ´algebra de Lie ´e simples.

Exemplo 2.3.3. O grupo SO(3) ´e chamado de grupo ortogonal especial tridimen-sional e consiste no grupo das matrizes ortogonais cujo determinante ´e 1. Como SO(3) ⊂ S2 × S2_{× S}2_{, conclu´ımos que tal grupo ´}_{e limitado no espa¸}_{co das matrizes}

tridimensionais. Note também que toda sequência de matrizes ortogonais conver-gente, converge a uma matriz ortogonal. Além disso, decorre da continuidade da aplica¸cão determinante que se tais matrizes possuem determinante 1, então conver-gem a uma matriz de determinante 1, ou seja, tal grupo é também fechado, logo compacto.

Quanto a ´algebra de Lie so(3) de SO(3), se X ∈ SO(3), ent˜ao exp(tX)T = exp(tX)−1 = exp(−tX), como exp(tX)T _{= exp(tX}T_{) para todo t ∈ R, derivando e}

(30)

2.3 Exemplos 30

satisfaz a igualdade exp(tX)T _{= exp(−tX) para todo t ∈ R. Como det(expA)) =} etr(A) _{vale sempre, devemos neste caso ter det(expX) = 1 e podemos concluir que}

X ∈ so(3) se, e s´o se, XT = −X.

Mostraremos agora que a álgebra de Lie so(3) é simples. De fato, note que uma base para o espa¸co das matrizes tridimensionais anti-simétricas é dada por

e1 =      0 0 1 0 0 0 −1 0 0      , e2 =      0 −1 0 1 0 0 0 0 0      , e3 =      0 0 0 0 0 −1 0 1 0      ,

onde [e1, e2] = e3, [e2, e3] = e1 e [e3, e1] = e2. Portanto a simplicidade de so(3)

decorre do mesmo argumento utilizado em 2.3.1.

Exemplo 2.3.4. O grupo de Heisenberg que denotaremos H, consiste no grupo de matrizes da forma      1 a b 0 1 c 0 0 1      ,

onde a, b, c ∈ R. Perceba que H ´e homeomorfo a R3_{, portanto ´}_{e conexo, mas n˜}_ao

compacto.

Quanto a sua álgebra de Lie, note que se α(t) é uma curva diferenciável em H, tal que α(0) = id, deve necessariamente possuir α0(0) da forma,

     0 a0 b0 0 0 c0 0 0 0      ,

onde a0, b0, c0 _{∈ R. Reciprocamente, para ver que toda matriz X desta forma pertence} a ´algebra de Lie h de H, basta notar que exp(tX) possui sempre a forma das matrizes de H. Logo h =               0 a0 b0 0 0 c0 0 0 0      ; a, b, c ∈ R          .

(31)

portanto sol´uveis. De fato, perceba que [h, h] =               0 0 a 0 0 0 0 0 0      ; a ∈ R         

e [h, [h, h]] = {0}. Logo a s´erie central descendente de h ´e h ⊃ [h, h] ⊃ {0} .

Por fim, uma base para tal ´algebra de Lie ´e

e1 =      0 0 1 0 0 0 0 0 0      , e2 =      0 1 0 0 0 0 0 0 0      , e3 =      0 0 0 0 0 1 0 0 0      .

Com essa base temos, [e1, e2] = 0, [e2, e3] = e1 e [e3, e1] = 0.

Exemplo 2.3.5. E(2) ´e chamado o grupo Euclidiano e consiste no grupo das iso-metrias de R2_{, tal grupo ´}_{e isomorfo ao grupo das matrizes tridimensionais da forma}

        W x1 x2 0 0 1         ,

onde W ´e uma matriz ortogonal e x1, x2 ∈ R.

Quanto a sua álgebra de Lie e(2), uma condi¸cão necessária para X pertencer `

a e(2) é possuir a última linha nula, uma vez que se exp(tX) é um subgrupo a 1-parâmetro, então

d dtexp(tX)|t=0 =         Y x 0 1 x0₂ 0 0 0         .

Perceberemos mais adiante que Y ∈ so(2). Reciprocamente, um calculo breve nos mostra que

        Y x 0 1 x0₂ 0 0 0         n =         Yn _Yn−1   x0₁ x0₂   0 0 0         ,

(32)

2.3 Exemplos 32

portanto se X ´e da forma acima, devemos ter

exptX =         exptY y1 y2 0 0 1         , onde [y1, y2] T =P∞ n=1 tn_Yn−1 n! ([x 0 1, x 0 2] T ).

Agora exp(tY ) é uma matriz ortogonal se, e só se, Y é da forma YT _{= −Y .}

Logo e(2) =                        Y y1 y2 0 0 0         ; YT _{= −Y , y} 1, y2 ∈ R                .

Mostraremos agora que e(2) é solúvel. Para isso inicialmente detalharemos um pouco mais as matrizes dessa álgebra de Lie. Primeiramente note que as matrizes bidimensionais e ortogonais em uma vizinhan¸ca de e podem ser escritas como ma-trizes de rota¸cão, portanto uma curva passando pela identidade de E(2) em t = 0 possui a forma      cos(α(t)) sen(α(t)) β(t) −sen(α(t)) cos(α(t)) γ(t) 0 0 1      ,

onde α, β e γ s˜ao curvas diferenci´_{aveis em R contendo a origem com α(0) = β(0) =} γ(0) = 0. Derivando em t = 0 vemos que uma matriz arbitraria de e(2) pode ser escrita da forma      0 a b −a 0 c 0 0 0      , portanto [e(2), e(2)] =               0 0 x 0 0 y 0 0 0      ; x, y ∈ R         

e [[e(2), e(2)] , [e(2), e(2)]] = {0}, ou seja, e(2) é solúvel. Por fim uma base para tal álgebra de Lie é

(33)

e1 =      0 0 0 0 0 1 0 0 0      , e2 =      0 0 1 0 0 0 0 0 0      , e3 =      0 1 0 −1 0 0 0 0 0     

e nesta base temos, [e1, e2] = 0, [e2, e3] = e1 e [e3, e1] = e2.

Exemplo 2.3.6. O grupo de Lie E(1, 1) consiste no grupo dos movimentos r´ıgidos do espa¸co bidimensional de Minkowski. Em tal espa¸co as métricas possuem assina-tura (+, −). Desta forma uma transforma¸cão linear T preserva tal métrica se, e só se, T BTT _{= B onde B denota a matriz da forma bilinear associada `}_{a m´}_{etrica. Se}

denotarmos a matriz de T por 



x1 x2

x3 x4



, isso se traduz na seguinte equa¸c˜ao,

  x1 x2 x3 x4     −1 0 0 1     x1 x2 x3 x4  =   −1 0 0 1   e se obt´em, x2 1− x22 = 1, −x23 + x42 = 1, −x1x3+ x2x4 = 0. Encontrando t ∈ R, tal

que x1 = cosh(t), x2 = senh(t) e s ∈ R, tal que x3 = senh(s), x4 = cosh(s) (aqui

se descarta as solu¸c˜oes x1 = −cosh(t) e x4 = −cosh(s), pois ´e poss´ıvel mostrar que

E(1, 1) é conexo e tais solu¸cões não conduzem a componente conexa da identidade que coincide com E(1, 1)), teremos x2x4−x1x3 = senh(t)cosh(s)−cosh(t)senh(s) =

senh(t − s) = 0, ou seja, t = s e T possui matriz da forma,   cosh(t) senh(t) senh(t) cosh(t)  .

Transla¸c˜oes evidentemente preservam m´etricas de Minkowski, assim movimentos r´ıgidos neste espa¸co se identificam com matrizes da forma,

     cosh(t) senh(t) x senh(t) cosh(t) y 0 0 1      ,

onde x, y ∈ R. Novamente uma curva passando pela identidade em t = 0 ´e da forma,      cosh(α(t)) senh(α(t) β(t) senh(α(t) cosh(α(t) γ(t) 0 0 1     

(34)

2.3 Exemplos 34

com α, β e γ curvas diferenci´_{aveis em R contendo a origem, de forma que α(0) =} β(0) = γ(0) = 0. Logo vetores na ´algebra de Lie e(1, 1) possuem a forma,

     0 a b a 0 c 0 0 0     

com a, b, c ∈ R. Reciprocamente, se X é desta forma, então potências para um ´ındice n impar possuem a forma,

     0 an _an−1_b an ₀ _an−1_c 0 0 0     

e para n par a forma,

     an ₀ _an−1_b 0 an _an−1_c 0 0 0     

portanto a matriz exp(X) possui nas entradas a11, a12, a21, a22 as s´eries a11= a22 =

P∞ n=0 x2n 2n! e a12 = a21 = P∞ n=0 x2n+1

(2n+1)! que correspondem as s´eries de potˆencias das

fun¸c˜oes cosh e senh respectivamente. Logo

e(1, 1) =          T ∈ M3(R); T =      0 a b a 0 c 0 0 0              

(35)

CURVATURAS EM GRUPOS DE LIE COM M´

ETRICAS

INVARIANTES `

A ESQUERDA

Neste cap´ıtulo faremos o emprego da teoria previamente estabelecida afim de estudar propriedades das curvaturas em grupos de Lie quando neste fixamos uma métrica invariante à esquerda. As curvaturas seccionais, de Ricci e escalar serão os objetos principais das três primeiras se¸cões, um complemento deste estudo pode ser encontrado nos trabalhos de Wallach [11], Azencott e Wilson [1] e Heintze [3].

Os grupos de Lie tridimensionais, devido a sua relativa simplicidade, ganharão uma se¸cão própria onde os estudaremos dividindo-os em duas classes, os unimodu-lares e os não-unimodulares. A unimodularidade desempenha um papel importante na compreensão das propriedades geométricas de um grupo de Lie e por esse motivo dedicamos também uma se¸cão ao estudo de grupos de lie unimodulares de dimensão arbitrária.

A última se¸cão tratará de métricas bi-invariantes. Como poderemos ver, neste caso o estudo das curvaturas se tornará mais simples.

Devida a divisão das se¸cões em assuntos devidamente estabelecidos, alguns resul-tados serão enunciados, contudo demonstrados somente em se¸cões cujo entendimento da estrutura envolvendo a demostra¸cão já esteja completo.

(36)

3.1 Curvatura seccional 36

3.1 Curvatura seccional

Seja G um grupo de Lie n-dimensional eg a álgebra de Lie associada, consistindo de todos os campos diferenciáveis de vetores invariantes à esquerda em G. Escolha uma base e1, ..., en para o espa¸co vetorial g e defina uma métrica exigindo que tal

base seja ortonormal, ou seja, de maneira que hei, eji = δij. Tal m´etrica pode ser

estendida a uma m´etrica Riemanniana invariante `a esquerda em G pondo, hu, vi_x = h(dLx−1)_x(u), (dL_x−1)_x(v)i ∀x ∈ G e u, v ∈ T_xG,

onde Lx denota a transla¸cão à esquerda por x em G. Reciprocamente, toda métrica

invariante à esquerda em G pode ser deduzida de uma métrica (produto interno) em g. Esta rela¸cão garante que as métricas Riemannianas invariantes à esquerda em G estão identificadas com os produtos internos deg e como os produtos internos de um espa¸co vetorial real n-dimensional estão bem representados pelas matrizes simétricas, definidas positivas com entradas reais, conclu´ımos que dado um grupo de Lie G n-dimensional, existe uma fam´ılian2₂+n-dimensional de métricas Riemannianas invariantes à esquerda em G. Escolhendo uma métrica invariante à esquerda em G, as transla¸cões à esquerda são isometrias que ligam quaisquer dois pontos dados, bastando para isso notar que se x, y ∈ G, então Lyx−1 é um difeomorfismo que pelo

exposto acima preserva a m´etrica invariante a esquerda com Lyx−1(x) = y. Portanto

G é uma variedade Riemanniana homogênea. Segue deste fato que todo grupo de Lie com uma métrica invariante à esquerda é completo. Com efeito, escolha um > 0 de maneira que expe : B(0) ⊂ TeG → G aplique a bola fechada B(0) na

bola fechada B(e) ⊂ G difeomorficamente. Como TeG ´e homeomorfo a Rn, B(0) ´e

compacta e B(e) ´e compacta. Agora sendo G homogˆeneo, toda B(x) onde x ∈ G,

é compacta. Nestas condi¸cões toda sequência de Cauchy admite uma subsequência convergente e portanto converge.

Sejam X e Y espa¸cos vetoriais, Uma aplica¸cão f : X × X −→ Y é chamada bi-quadrática se satisfaz as equa¸cões,

f (x + y, z) + f (x − y, z) = 2f (x, z) + 2f (y, z), f (x, y + z) + f (x, y − z) = 2f (x, y) + 2f (x, z).

(37)

A curvatura de uma variedade Riemanniana em um ponto pode ser mais facil-mente descrita pela fun¸c˜ao bi-quadr´atica,

k(x, y) = hRxy(x), yi

com x e y tomados no espa¸co tangente de um ponto dado. Uma fun¸cão k(x, y) é uma fun¸cão curvatura para alguma métrica Riemanniana se, e só se, elá é simétrica, bi-quadrática como fun¸cão de x e y e se anula quando x = y. A cole¸cão de todas as fun¸cões bi-quadráticas, simétricas com k(x, x) ≡ 0 forma um espa¸co vetorial real de dimensão n2(n₁₂2−1). Se u e v são vetores unitários e ortogonais ( ou mais em geral, se o determinante hu, ui hv, vi − hu, vi2 = 1), então o número real k(u, v) é chamado curvatura seccional do plano gerado por u e v. Geometricamente, k(u, v) é a curvatura Gaussiana em p da superf´ıcie varrida pelas geodésicas tendo como vetores tangentes as combina¸cões lineares de u e v.

Seja e1, ..., en um referencial ortonormal invariante `a esquerda de G. A estrutura

da ´algebra de Lie pode ser descrita por n × n × n constantes de estrutura αijk onde,

[ei, ej] = X k αijkek, ou equivalentemente, αijk = h[ei, ej], eki.

Note que αijk = h[ei, ej], eki = − h[ej, ei], eki = −αjik e as constantes de estrutura

são anti-simétricas com rela¸cão aos dois primeiros ´ındices.

Lema 3.1.1. Com as constantes de estrutura αijk acima, a curvatura seccional

k(e1, e2) ´e dada pela f´ormula,

k(e1, e2) = X k (1 2α12k(−α12k+ α2k1+ αk12) − 1 4(α12k− α2k1+ αk12)(α12k+ α2k1− αk12) −αk11αk22).

Demonstra¸cão: A demonstra¸cão requer algumas defini¸cões que serão apresen-tadas na se¸cão 5 e será deixada para tal se¸cão.

(38)

A expressão do lemma 3.1.1, mostra que a curvatura pode ser completamente calculada a partir de informa¸cões da álgebra de Lie e sua métrica. Além disso a curvatura depende continuamente das constantes de estrutura αijk e zera sempre

que elas zeram.

Lembremos que a adjunta L∗ de uma transforma¸cão linear L é definida pela fórmula,

hLx, yi = − hx, L∗_{yi .}

A transforma¸c˜ao L ´e anti-adjunta se L∗=−L. Para qualquer elemento x na ´

algebra de Lieg, a transforma¸c˜ao linear

y 7→ [x, y] deg em g ´e chamada ad(x).

Considere agora G com uma métrica invariante à esquerda e u ∈ g. Lema 3.1.2. Se a transforma¸cão ad(u) é anti-adjunta, então

k(u, v) ≥ 0

para todo v, onde a igualdade vale se, e só se, u é ortogonal a [v,g]. Demonstra¸cão. Como hRuv(u),vi

hu,uihv,vi−hu,vi2 ´e invariante por mudan¸ca de bases do plano

gerado por u e v, ( veja [2] pg.104) podemos assumir sem perda de generalidade que u e v s˜ao ortonormais. Escolha uma base ortonormal e1, ..., endeg com e1 = u e e2 = v.

Como por hipótese ad(e1) é anti-adjunta, então had(e1)ej, eki = − hej, ad(e1)eki, ou

seja, h[e1, ej], eki = − h[e1, ek], eji e α1jk = −α1kj. Utilizando este fato na f´ormula

do Lema 3.1.1, obtemos que

k(e1, e2) = X k 1 4α 2 k21 ≥ 0.

Mostremos agora o caso da igualdade. Suponha que k(e1, e2) =

P k 1 4α 2 k21 = 0.

Ent˜ao αk21 = 0 para k = 1, ..., n, he1, [e2, ek]i = 0 e segue da bi-linearidade do

colchete e da m´etrica que e1⊥[e2,g]. Reciprocamente, se he1, [e2,g]i = 0, ent˜ao

(39)

Relembremos que o centro da ´algebra de Lie ´e o ideal Z(g) = {u ∈ g; ad(u) ≡ 0} deg.

Corolário 3.1.3. Se u ∈ Z(g), então para qualquer métrica invariante à esquerda temos que k(u, v) ≥ 0 para todo v ∈g.

Demonstra¸cão. Segue do Lema 3.1.2 e de observar que ad(u) ≡ 0, portanto ad(u) é anti-adjunta seja qual for a métrica invariante à esquerda escolhida.

Um grupo de Lie pode possuir uma métrica invariante não somente à esquerda, mas também a direita, ou seja, invariante por transla¸cões à esquerda e à direita. Um fato básico sobre métricas bi-invariantes pode ser resumido como segue.

Lema 3.1.4. Uma métrica invariante à esquerda em um grupo de Lie conexo é também invariante à direita se, e só se, ad(x) é anti-adjunta ∀x ∈g. Um grupo de Lie conexo admite uma métrica bi-invariante se, e só se, é isomorfo ao produto cartesiano de um grupo compacto e um grupo comutativo.

Este fato ser´a provado na se¸c˜ao 7.

Corolário 3.1.5. Todo grupo de Lie compacto admite uma métrica invariante à esquerda (na verdade bi-invariante) de maneira que todas as curvaturas seccionais satisfa¸cam K ≥ 0.

Demonstra¸cão. Se G é compacto, então é isomorfo à G × {e} onde G é compacto e {e} é comutativo. Pelo Lema anterior a componente conexa da identidade de G possui uma métrica bi-invariante e ad(x) é anti-adjunta ∀x ∈g. Logo pelo Lema 3.1.2 temos que K ≥ 0.

Veremos na se¸cão 7 que a curvatura seccional associada a uma métrica bi-invariante pode ser calculada pela fórmula explicita

k(u, v) = 1

4h[u, v], [u, v]i .

Isto fornece uma prova alternativa para k(u, v) ≥ 0.

O Teorema de Wallach abaixo mostra que para um grupo de Lie simplesmente conexo s´o teremos uma op¸c˜ao de exemplo para o qual K > 0.

(40)

Teorema de Wallach. O grupo SU (2), consistindo das matrizes unitárias 2 × 2 de determinante 1, é o único grupo de Lie simplesmente conexo que admite uma métrica invariante à esquerda de curvatura seccional estritamente positiva.

Para uma prova veja [11].

Uma variedade Riemanniana ´e dita flat se K ≡ 0. Segue do Lema 3.1.1 que se a ´

algebra de Lie é comutativa então o grupo de Lie é flat.

Teorema 3.1.6. Um grupo de Lie com uma métrica invariante à esquerda é flat se, e só se, a álgebra de Lie associada se expressa como a soma direta ortogonal b ⊕ u, onde b é uma sub-álgebra comutativa, u é um ideal comutativo e a transforma¸cão linear ad(x) é anti-adjunta ∀x ∈ b.

Demonstra¸cão: Será apresentada na se¸cão 7.

Dizemos que um grupo de Lie é unimodular se a medida de Haar invariante à esquerda é também invariante à direita. Mais detalhes desta defini¸cão serão dados na se¸cão 6.

Teorema 3.1.7. Se um grupo de Lie G conexo possui uma métrica invariante à esquerda cujas curvaturas seccionais satisfazem K ≤ 0, então G é solúvel. Se G é unimodular, então qualquer tal métrica com K ≤ 0 é na realidade flat.

Demonstra¸cão. A demonstra¸cão segue de [1], se¸cões 3.4.5, 5.2, 3.6.5 e 3.6.6.

Exemplo Especial. Suponha que a álgebra de Lie g possui a propriedade de que o colchete de Lie [x, y] é sempre igual a combina¸cão linear de x e y. Assuma que dim(g) ≥ 2, então

[x, y] = l(x)y − l(y)x, onde l ´e uma aplica¸c˜ao linear bem definida de g em R.

Escolhendo qualquer métrica Riemanniana invariante à esquerda, as curvaturas seccionais são constantes

(41)

Assim no caso n˜ao-comutativo l 6= 0, toda poss´ıvel m´etrica emg possui curvatura seccional constante negativa.

Demonstra¸cão: A prova será dada na se¸cão 5.

O exemplo acima tem realmente um caráter especial, uma vez que atendidas as exigências acerca da álgebra de Lie ([x, y] = l(x)y − l(y)x para todo x, y ∈ g), o grupo de Lie conexo e simplesmente conexo com álgebra g é isométrico ao espa¸co hiperbólico n-dimensional.

3.2 Curvatura de Ricci

Importantes informa¸cões a cerca da curvatura Riemanniana em um ponto podem ser descritas pela forma quadrática de Ricci, r(x). A forma quadrática de Ricci é uma fun¸cão quadrática definida no fibrado tangente da variedade em valores reais pela fórmula r(x) =X i k(x, ei) = X i hRxei(x), eii

, onde e1, ..., en ´e qualquer base ortonormal para o espa¸co tangente. Se u ´e um

vetor unitário, então r(u) é chamado a curvatura de Ricci na dire¸cão de u. Note que a curvatura de Ricci consiste em n − 1 vezes a média das curvaturas seccionais determinadas pelos planos formados pela dire¸cão escolhida e os vetores da base.

Para c´alculos pode ser mais conveniente utilizar a transforma¸c˜ao, ˆ

r(x) =X

i

Reix(ei)

que esta relacionada com a forma quadr´atica r pela identidade r(x) = hˆr(x), xi.

Os autovalores de ˆr s˜ao chamados de curvaturas de Ricci principais. A escolha de uma base ortonormal de autovetores e1, ..., en de ˆr (tal base existe, pois ˆr ´e

auto-adjunta) diagonaliza r, r(ξ1e1+ ... + ξnen) = X ij hξiˆr(ei), ξjeji = X i ξ_i2hˆr(ei), eii = X i r(ei)ξi2.

(42)

3.2 Curvatura de Ricci 42

Em particular os n´umeros r(ei) podem ser identificados com as curvaturas de

Ricci principais e a cole¸c˜ao dos sinais {sgn(r(e1)), ..., sgn(r(en))} pode ser

identifi-cado com a assinatura da forma quadr´atica r.

Lema 3.2.1. Se a transforma¸cão ad(u) é anti-adjunta, então r(u) ≥ 0, onde a igualdade vale se, e só se, u é ortogonal ao ideal [g, g].

Demonstra¸c˜ao. O Lema 3.1.2 diz que nessas condi¸c˜oes k(u, ei) ≥ 0 para i = 1, ..., n,

portantoP

ik(u, ei) ≥ 0. Agora se

P

ik(u, ei) = 0, ent˜ao k(u, ei) = 0 e u⊥[ei,g] para

i = 1, ..., n.Da´ı u⊥[g, g]. Reciprocamente se u⊥[g, g], ent˜ao u⊥[ei,g] para i = 1, ..., n

e a igualdade vale novamente por 3.1.2.

Uma consequência imediata é que se u ∈Z(g) então r(u) ≥ 0.

Teorema 3.2.2. Um grupo de Lie conexo admite uma métrica invariante à esquerda cujas curvaturas de Ricci são estritamente positivas se, e só se, é compacto com grupo fundamental finito.

Demonstra¸cão. Inicialmente note que todo grupo de Lie com uma métrica Rieman-niana invariante à esquerda é homogêneo, portanto completo. Se r > 0 então a aplica¸cão r : Sn−1 _{→ R admite um minimo c > 0 e pelo Teorema de Bonnet-Myers}

(veja [2] pg. 221-223) G é compacto. Passando ao recobrimento universal ˜G de G, tal grupo de Lie com a métrica induzida pelo recobrimento é completo e sua curvatura de Ricci ˜r satisfaz ˜r ≡ r, portanto ˜r > c e novamente por Bonnet-Myers

˜

G é compacto. Desta forma a proje¸cão π : ˜G −→ G possui número de folhas de recobrimento finito e como tal número coincide com a cardinalidade de π1(G), segue

que π1(G) é finito. Reciprocamente, se G é compacto, então ele admite uma métrica

bi-invariante, referente a qual ad(x) é anti-adjunta ∀x ∈g. Se π1(G) é finito então

˜

G é compacto. Analisandog note que se [g, g] 6= g, então existe um homomorfismo deg em R não trivial. Para isso tome uma base {e1, ..., em} de [g, g] e estenda a uma

base {e1, ..., em, em+1, ..., en} deg. Escolha um vetor ej com j = m + 1, ..., n e defina

a transforma¸c˜ao linear f :g → R pondo f(ej) = 1 e f (ei) = 0 se i 6= j. Assim para

todo x, y ∈ g, [x, y] ∈ [g, g] e f é mesmo um homomorfismo não trivial. Por fim, a existência de um tal homomorfismo pelo principio da monodromia determinaria a existência de um homomorfismo F : ˜G → R não trivial, um absurdo pois G é compacto. Então devemos ter que [g, g] = g e pelo Lema 3.2.1 r > 0.

(43)

Observa¸cão 3.2.3. Na se¸cão 7 veremos que se G é compacto com π1(G) finito,

ent˜ao G admite uma m´etrica bi-invariante com curvatura de Ricci constante e po-sitiva.

Lema 3.2.4. Se u é ortogonal ao ideal [g, g], então r(u) ≤ 0, e a igualdade é satisfeita se e somente se ad(u) é anti-adjunta.

Demonstra¸cão: Será apresentada na se¸cão 5.

Teorema 3.2.5. Suponha que a álgebra de Lie g de G seja nilpotente, mas não-comutativa. Então para qualquer métrica invariante à esquerda existe uma dire¸cão de curvatura de Ricci estritamente negativa e uma dire¸cão de curvatura de Ricci estritamente positiva.

Demonstra¸cão. Seg é nilpotente e não comutativa, a série central descendente g ⊃ [g, g] ⊃ [g, [g, g]]...

possui algum termo nulo. Escolhendo um vetor unitário u no último termo não nulo da série segue que u ∈ Z(g) e está contido em [g, g], ou seja, u ∈ Z(g) e u não é ortogonal a [g, g]. Portanto pelo Lema 3.2.1 r(u) > 0. Agora note que o espa¸co vetorialg não pode ser gerado por [g, g] e Z(g), pois se g = [g, g] + Z(g), então [g, g] = [g, [g, g] + Z(g)] = [g, [g, g]] e a série se estabiliza precocemente. Portanto existe um vetor unitário v⊥[g, g] tal que v /∈ Z(g), a ad(v) sendo diferente de zero e nilpotente, não pode ser anti-adjunta. Com efeito, se ad é anti-adjunta com ad(v) 6= 0, assu-mindo indutivamente que adk(v) 6= 0, teremos ad2k(v), v = ±adk(v), adk(v) 6= 0 e ad2k _{6= 0, ou seja, ad(v) n˜}_{ao seria nilpotente. Portanto do Lema 3.2.4 segue que}

r(v) < 0.

Teorema 3.2.6. Se a álgebra de Lie de G contem vetores x, y e [x, y] linearmente independentes, então existe uma métrica invariante à esquerda tal que r(x) < 0 e r([x, y]) > 0.

Demonstra¸c˜ao. Escolha uma base fixa b1, ..., bn com b1 = x, b2 = y e b3 = [x, y].

Para qualquer > 0, considere a base auxiliar e1, ..., en definida por

(44)

3.3 Curvatura escalar 44

e defina uma m´etrica h., .i , invariante `a esquerda exigindo que e1, ..., en seja

orto-normal. Seja g a ´algebra de Lie com tal base e m´etrica fixa. As novas constantes de estrutura em termos das iniciais satisfazem

[ei, ej] = [bi, bj] = (αij1)b1+ (αij2)b2+ n X k=3 (αijk)2bk se i, j = 1 ou 2, [ei, ej] = [bi, 2bj] = (αij12)b1+ (αij22)b2 + n X k=3 (αijk)2bk se i = 1 ou 2 e j = 3, ..., n e [ei, ej] = [2bi, 2bj] = (αij13)b1+ (αij23)b2 + n X k=3 (αijk2)2bk se i, j = 3, ..., n.

Uma análise breve nos mostra que tomando → 0 as novas constantes vão a um limite bem definido e a álgebra limiteg₀ satisfaz [e1, e2] = −[e2, e1] = e3 e [ei, ej] = 0

caso contr´ario. Nessas condi¸c˜oes, pelos Lemas 3.2.1 e 3.2.4, r(e1) < 0 < r(e3) em g0.

Por continuidade r(e1) < 0 < r(e3) para 0 suficientemente pequeno. Desta forma

a base e1 = 0b1, e2 = 0b2, e3 = 20b3, ..., en = 20bn, m´etrica h., .i₀ e constantes de

estruturas em 0 definem a ´algebra inicial com m´etrica satisfazendo r(e1) < 0 <

r(e3).

3.3 Curvatura escalar

Seja e1, ..., enuma base ortonormal para o espa¸co tangente de um dado ponto de

uma variedade Riemanniana. O n´umero real

ρ = r(e1) + ... + r(en) = 2

X

i<j

k(ei, ej)

´e chamado a curvatura escalar no ponto.

Teorema 3.3.1. Se o grupo de Lie G é solúvel, então toda métrica invariante à esquerda em G é flat ou deve possuir curvatura escalar estritamente negativa.