Solução numérica das equações de Reynolds (RANS)

(1)

• Linearização do termo convectivo - Newton (Quasi-Newton) - Picard

• Discretização

- Diferenças Finitas - Volume Finito

(2)

• Solução do sistema de equações algébrico - Segregado

- Acoplado

• Método de solução dos sistemas lineares de equações - Habitualmente iterativo

- Gauss-Seidel, Bi-CGSTAB, GMReS - Multigrid

(3)

• Erros da solução numérica

- Erro de arredondamento

Devido à precisão finita dos computadores - Erro iterativo

Devido ao carácter não linear do sistema de equações a resolver

- Erro de discretização

Devido à transformação das equações diferenciais em equações algébricas

(4)

4

RANS, Exemplos de Soluções Numéricas Escoamento sobre uma placa plana

h/h C F × 1 0 3 0 1 2 3 4 2.92 2.94 2.96 2.98 3 3.02 k-ω BSL 1,2 2,3 k-ω Wilcox 2,3 p= 1.9 Re_L=107

(5)

5

h/h C F × 1 0 3 0 1 2 3 4 2.08 2.1 2.12 2.14 2.16 2.18 k-ω BSL 2,3 2,3 k-ω Wilcox 2,3 p= 1.8 Re_L=108

(6)

6

h/h C F × 1 0 3 0 1 2 3 4 1.54 1.56 1.58 1.6 1.62 1.64 k-ω BSL 2,3 2,3 k-ω Wilcox p= 2.0 p= 1.7 Re_L=109

(7)

h_i/h₁ C F × 1 0 3 0 1 2 3 4 2.84 2.86 2.88 2.9 2.92 2.94 2.96 k-ω SST 2,3 p= 1.3 k-ω TNT 1,2 Re_L=107

(8)

h_i/h₁ C F × 1 0 3 0 1 2 3 4 2.04 2.06 2.08 2.1 2.12 2.14 k-ω SST p= 1.8 p= 1.3 k-ω TNT 2,3 Re_L=108

(9)

h_i/h₁ C F × 1 0 3 0 1 2 3 4 1.5 1.52 1.54 1.56 1.58 1.6 k-ω SST p= 1.9 p= 1.3 k-ω TNT 2,3 Re_L=109

(10)

h_i/h₁ C F × 1 0 3 0 1 2 3 4 2.76 2.78 2.8 2.82 2.84 2.86 2.88 2.9 2.92

Spalart & Allmaras p= 1.3 p= 1.7 Mν_t p= 1.4 p= 1.1 KSKL p= 1.6 p= 1.1 Re_L=107

(11)

h_i/h₁ C F × 1 0 3 0 1 2 3 4 2 2.02 2.04 2.06 2.08 2.1 2.12

Spalart & Allmaras p= 1.5 p= 1.9 Mν_t 1,2 1,2 KSKL p= 1.4 p= 1.3 Re_L=108

(12)

h_i/h₁ C F × 1 0 3 0 1 2 3 4 1.48 1.5 1.52 1.54 1.56 1.58

Spalart & Allmaras p= 1.4 p= 1.9 Mν_t p= 1.0 p= 1.4 KSKL p= 1.6 p= 1.3 Re_L=109

(13)

Re C f × 1 0 3 103 104 105 106 0 5 10 15 20 (ν_t)_inlet=0.01ν (ν_t)_inlet=ν (ν_t)_inlet=10ν Blasius C_f=0.370(log₁₀Re_x)-2.584 C_f=(2log₁₀Re_x-0.65)-2.3 C_f=0.455/(log(0.06Re_x))2 Experimental, k_∞=0.009U_∞2 Experimental, k_∞=0.03U_∞2 Experimental, k_∞=0.06U_∞2

Modelo k-ω SST

(14)

log(Rn) C F 6 7 8 9 10 0.001 0.002 0.003 0.004 ITTC₅₇ Schoenherr Grigson Katsui et al. SST k-ω Modelo k-ω SST

(15)

RANS, Exemplos de Soluções Numéricas Escoamento em torno do petroleiro KVLCC2

(16)

(17)

(18)

(19)

19

Modelo k-ω SST

Rn=4,6×106

h/h C F × 1 0 3 0 0.5 1 1.5 2 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 _k-ω ah+bh2

(20)

Modelo k-ω SST

Rn=4,6×106

h_i/h₁ C P × 1 0 3 0 0.5 1 1.5 2 0.6 0.7 0.8 k-ω

(21)

21

Modelo k-ω SST Rn=2,03×109 h/h C F × 1 0 3 0 0.25 0.5 0.75 1 1.25 1.5 1.75 2 1.45 1.5 1.55 k-ω SST p= 1.8

(22)

22

Modelo k-ω SST

Rn=2,03×109

h/h C P × 1 0 3 0 0.5 1 1.5 2 0.1 0.2 0.3 _k-ω p= 1.6

(23)

Cp: -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 Modelo k-ω SST Rn=2,03×109 Cp: -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 Rn=4,6×106

(24)

Modelo k-ω SST

Rn=2,03×109

(25)

Modelo k-ω SST Y/Lpp Z /L p p 0 0.03 0.06 0.09 -0.07 -0.06 -0.05 -0.04 -0.03 -0.02 -0.01 0 U_x: 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5 0.55 0.6 0.65 0.7 0.75 0.8 0.85 0.9 0.95 Rn=4,6×106

(26)

Y/Lpp Z /L p p 0 0.03 0.06 0.09 -0.07 -0.06 -0.05 -0.04 -0.03 -0.02 -0.01 0 U_x: 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5 0.55 0.6 0.65 0.7 0.75 0.8 0.85 0.9 0.95 Rn=2,03×109 Modelo k-ω SST

(27)

y/L z /L P P 0 0.03 0.06 0.09 -0.07 -0.06 -0.05 -0.04 -0.03 -0.02 -0.01 0 U_∞

Modelo k-ω SST

(28)

y/L_PP z /L P P 0 0.03 0.06 0.09 -0.07 -0.06 -0.05 -0.04 -0.03 -0.02 -0.01 0 U_∞

Modelo k-ω SST

(29)

y/L_PP U x 0 0.025 0.05 0.075 0.1 0.5 1 z=-0.02175L_PP U x 0 0.025 0.05 0.075 0.1 0.5 1 z=-0.05075LPP U x 0 0.025 0.05 0.075 0.1 0.5 1 z=-0.0435LPP U x 0 0.025 0.05 0.075 0.1 0.5 1 z=-0.03625LPP U x 0 0.025 0.05 0.075 0.1 0.5 1 z=-0.029LPP U x 0 0.025 0.05 0.075 0.1 0 0.5 1 Experimental G1 G2 G3 G4 z=-0.058LPP

Modelo k-ω SST

(30)

Wake fraction _Rn=4,6×10₆

Modelo k-ω SST h_i/h₁ W f 0 0.5 1 1.5 2 0.5 0.52 0.54 0.56 0.58 0.6 _k-ω ah2+bh3

(31)

31

Wake fraction

Modelo k-ω SST Rn=2,03×109 h_i/h₁ W f 0 0.5 1 1.5 2 0.26 0.265 0.27 0.275 0.28 _k-ω p= 1.6

(32)

(33)

• Efeito da rugosidade em escoamento turbulento “Hidrodinamicamente liso” ⇒ “Completamente rugoso” ⇒ 5 < + R h 70 > + R h 9 . 0 1 . 0 17 . 0 2 L R L R f R R R L h L x R L h C h u h − + _      ≈ = = ν τ Efeito da Rugosidade

(34)

• Ensaio à escala do modelo são realizados

com superfícies “hidrodinamicamente lisas” • Navios à escala real têm superfícies rugosas • Métodos de extrapolação incluem os efeitos

da rugosidade na “margem de correlação” Efeito da Rugosidade

(35)

• A rugosidade real de uma querena é

convertida numa rugosidade equivalente “sand-grain roughness” (definida apenas

por um parâmetro, h_R)

• Esta conversão é um problema que não está satisfactoriamente resolvido

(36)

• Correlações empíricas utilizam a “average

roughness height”, h_M, (igualmente um único

parâmetro) para quanticar os efeitos da rugosidade (150µm recomendado para navios limpos)

• De acordo com Schultz (2007)

h_M=150µm⇔h_R=30µm

h_R≃0.2h_M

(37)

• Várias propostas disponíveis na literatura para incluir efeitos da rugosidade

(“sand-grain roughness”) em modelos de viscosidade turbulenta

• Os resultados apresentados foram obtidos com o modelo de duas equações k-ω SST

(38)

38

• Os efeitos de rugosidade podem ser

incluídos com ou sem leis da parede como condições de fronteira

• A proposta de Wilcox (2006) inclui apenas a alteração de condição de fronteira na

parede de ω

• É necessária uma função de amortecimento

extra no limitador de

ν

_t, (Hellsten, 1997)

(39)

• Cálculos para 0≤h_R≤300µm • Casos teste:

1. Petroleiro (escala real e do modelo)

2. Porta contentores (escala real e do modelo) 3. Porta carros (escala real)

• 6 Malhas (4×106 _{a 7×10}6 _{volumes para h}

i=1) Efeito da Rugosidade

(40)

• Sem ondas gravíticas (“double body”) • Critério de convergência garante que o

erro iterativo é desprezável face ao erro de discretização

• Incerteza numérica estimada para

quantidades integrais com uma versão de mínimos quadrados do GCI

(41)

Efeito da Rugosidade Malhas H-O

(42)

h_i/h₁ C F × 1 0 3 0 0.25 0.5 0.75 1 1.25 1.5 1.75 2 1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6 2.8 hR=0 p= 1.8 h_R/L=30µm p= 2.0 h_R/L=50µm p*=2 h_R/L=75µm p*=2 h_R/L=100µm p= 1.9 X X X X X X + + + + + + h_i/h₁ C F × 1 0 3 0 0.25 0.5 0.75 1 1.25 1.5 1.75 2 1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6 2.8 hR/L=150µm p= 0.9 h_R/L=200µm p*=2 h_R/L=250µm p*=2 h_R/L=300µm p*=2 X + h_i/h₁ C P × 1 0 3 0 0.25 0.5 0.75 1 1.25 1.5 1.75 2 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 hR=0 p= 1.5 h_R/L=30µm p= 1.5 h_R/L=50µm p= 1.6 h_R/L=75µm p= 1.6 h_R/L=100µm p= 1.6 X X X X X X + + + + + + h_i/h₁ C P × 1 0 3 0 0.25 0.5 0.75 1 1.25 1.5 1.75 2 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 hR/L=150µm p= 1.6 h_R/L=200µm p= 1.6 h_R/L=250µm p= 1.7 h_R/L=300µm X + Efeito da Rugosidade Incerteza numérica Petroleiro

(43)

h_i/h₁ C F × 1 0 3 0 0.25 0.5 0.75 1 1.25 1.5 1.75 2 1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6 2.8 hR=0 ah+bh2 h_R/L=30µm p= 0.6 h_R/L=50µm hR/L=75µm h_R/L=100µm X X X X X X + + + + + + h_i/h₁ C F × 1 0 3 0 0.25 0.5 0.75 1 1.25 1.5 1.75 2 1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6 2.8 hR/L=150µm p= 4.0 h_R/L=200µm p*=2 h_R/L=250µm p= 2.0 h_R/L=300µm p= 1.9 X + h_i/h₁ C P × 1 0 3 0 0.25 0.5 0.75 1 1.25 1.5 1.75 2 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 hR=0 ah+bh2 h_R/L=30µm ah+bh2 h_R/L=50µm ah+bh2 h_R/L=75µm ah+bh2 h_R/L=100µm ah+bh2 X X X X X X + + + + + + h_i/h₁ C P × 1 0 3 0 0.25 0.5 0.75 1 1.25 1.5 1.75 2 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 hR/L=150µm ah+bh2 h_R/L=200µm ah+bh2 h_R/L=250µm ah+bh2 h_R/L=300µm X + Efeito da Rugosidade Incerteza numérica Porta Contentores

(44)

R

h

R

Efeito da Rugosidade

Efeitos da rugosidade no escoamento

• Número de Reynolds baseado na altura da rugosidade,

(45)

C F /C F (h R = 0 ) 0 100 200 300 1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 Tanker, Rn=4.6 × 106 Tanker, Rn=2.03 × 109 Container ship, Rn=1.177 × 107 Container ship, Rn=1.2 × 109 Car carrier, Rn=1.2 × 109 C F /C F (h R = 0 ) 0 500 1000 1500 2000 2500 1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 Tanker, Rn=4.6 × 106 Tanker, Rn=2.03 × 109 Container ship, Rn=1.177 × 107 Container ship, Rn=1.2 × 109 Car carrier, Rn=1.2 × 109 (µm) h R = h U ν Efeito da Rugosidade Resistência de atrito, C_F

(46)

Resistência de pressão, C_P C P /C P (h R = 0 ) 0 100 200 300 1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 Tanker, Rn=4.6 × 106 Tanker, Rn=2.03 × 109 Container ship, Rn=1.177 × 107 Container ship, Rn=1.2 × 109 Car carrier, Rn=1.2 × 109 C P /C P (h R = 0 ) 0 500 1000 1500 2000 2500 1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 Tanker, Rn=4.6 × 106 Tanker, Rn=2.03 × 109 Container ship, Rn=1.177 × 107 Container ship, Rn=1.2 × 109 Car carrier, Rn=1.2 × 109 (µm) h R = h U ν Efeito da Rugosidade

(47)

W f /W f (h R = 0 ) 0 100 200 300 1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 Tanker, Rn=4.6 × 106 Tanker, Rn=2.03 × 109 Container ship, Rn=1.177 × 107 Container ship, Rn=1.2 × 109 Car carrier, Rn=1.2 × 109 W f /W f (h R = 0 ) 0 500 1000 1500 2000 2500 1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 Tanker, Rn=4.6 × 106 Tanker, Rn=2.03 × 109 Container ship, Rn=1.177 × 107 Container ship, Rn=1.2 × 109 Car carrier, Rn=1.2 × 109 (µm) h “Wake fraction”, W_f ν = h U R Efeito da Rugosidade

(48)

Rugosidade adimensional, h_R+

Efeito da Rugosidade

(49)

125 . 0 10 44 10 13 3 1 3 +         −       = × ∆ _L− PP M F R L h C 64 . 0 105 10 3 1 3 −       = × ∆ PP M F L h C 75 . 0 3 ₁₈ 10 _L PP M F R L h C _      = × ∆ 758 . 3 3 1 683 . 0 575 . 0 717 . 0 3 1 3 ₁_.₀₃ 10       ∇             ∇ = × ∆ − T T B R h C_F M _L Efeito da Rugosidade

Comparação com correlações empíricas • Bowden-Davison

• Townsin et al • Himeno

(50)

50 h (µm) h_M(µm) ∆ C F × 1 0 3 0 100 200 300 0 500 1000 1500 0 0.5 1 1.5 2

Bowden and Davison Townsin et al.

Himeno Wright

∆C_V numerical, tanker

∆C_V numerical, container ship

∆C_V numerical, car carrier

h (µm) ∆ C F × 1 0 3 0 100 200 300 0 0.5 1 1.5 2 h (µm) ∆ C F × 1 0 3 0 100 200 300 0 0.5 1 1.5 2 Efeito da Rugosidade

(51)

51 h U /ν h_MU_∞/ν ∆ C F × 1 0 3 0 1000 2000 0 5000 10000 0 0.5 1 1.5 2

Bowden and Davison Townsin et al.

Himeno Wright

∆C_V numerical, tanker

∆C_V numerical, container ship

∆CV numerical, car carrier

h U /ν h_MU_∞/ν ∆ C F × 1 0 3 0 1000 2000 0 5000 10000 0 0.5 1 1.5 2 Efeito da Rugosidade

(52)

RANS, Exemplos de Soluções numéricas z /L pp 0.01 0 0.01 0.02 0.03 `h / L;Y/L;V3 `h / L;Y/L;V3 `h / L;Y/L;V3 `h / L;Y/L;V3 inviscid flow viscous (model) viscous (ship) experiments (model)

y / L

_pp

= 0.0755

Series 60

(53)

RANS, Exemplos de Soluções numéricas 5 0 5 1 5 z;Y/L;V3 z;Y/L;V3 z;Y/L;V3 z;Y/L;V3 inviscid flow viscous (model) viscous (ship) experiments (model)

y / L

_pp

= 0.0900

Dyna Tanker

(54)

(55)