EXPECTATIVAS E PERSPECTIVAS DOCENTES SOBRE ENSINO E
APRENDIZAGEM DE COMBINATÓRIA NO ENSINO MÉDIO
Cristiane de Arimatéa Rocha, UFPE, tiane_rocha@yahoo.com.br Rute Elizabete de Souza Rosa Borba, UFPE, borba@talk21.br
RESUMO
Analisou-se o conhecimento de dois professores do Ensino Médio sobre Combinatória através de uma entrevista semi-estruturada a partir de resoluções de alunos dos problemas combinatórios retirados da pesquisa de Pessoa e Borba(2009). Os professores do Ensino Médio apontaram como dificuldades dos alunos a distinção entre os problemas combinatórios, alguns invariantes das estruturas desses problemas como a ordenação e a repetição, a influencia de contextos reais na interpretação dos problemas e a ampliação do número de possibilidades. Na análise das estratégias de resolução dos problemas combinatórios esses professores escolheram a utilização do princípio fundamental da contagem como expectativa principal para os alunos do Ensino Médio, mesmo assim houve indicações da utilização de árvores de possibilidades e da percepção de generalização como estratégias possíveis. É necessário, por parte dos professores, um aprofundamento de conhecimento das estruturas combinatórias, do conhecimento dos alunos e das possíveis estratégias de resolução.
Palavras chave: Ensino de Combinatória, Conhecimentos de conteúdo e
pedagógico do professor, Ensino Médio.
ABSTRACT
We analyzed, through a semi-structured interview, the knowledge of two Secondary School teachers on Combinatorics, based on the resolutions of problems by students that took part in the study of Pessoa and Borba (2009). The teachers pointed out as students' difficulties the distinction between combinatorial problems, some invariant structures of these problems such as ordering and repetition, the influence of real contexts in the interpretation of the problems and the increase of the number of possibilities. In the analysis of strategies for solving combinatorial problems these teachers chose to use the fundamental principle of counting as main expectation for High School students, nevertheless, there were indications of the use of trees of possibilities and the perception of generalization as possible strategies. It is necessary for teachers, a deeper knowledge of combinatorial structures, of student knowledge and of potential resolution strategies.
Key-words: Combinatorics teaching, Teacher content and pedagogical
1 Perspectivas do Ensino e Aprendizagem de Combinatória no Ensino Médio
Os Parâmetros Curriculares Nacionais do Ensino Médio (PCNEM) incentivam, com base no crescimento das questões mundiais, o desenvolvimento de habilidades de “descrever e analisar um grande número de dados, realizar inferências e fazer predições com base numa amostra de população, aplicar as ideias de Probabilidade e Combinatória a fenômenos naturais e do cotidiano” (BRASIL, 2000, p.44).
Os PCN+ do Ensino Médio indicam, ainda, possibilidades para o ensino da Combinatória que seja o “desenvolvimento de uma nova forma de pensar em Matemática, denominada raciocínio combinatório” (BRASIL, 2002, p.126). Para que o raciocínio combinatório seja efetivamente desenvolvido, os PCN + advertem sobre a utilização das fórmulas, orientando o seu uso na perspectiva da resolução de problemas aplicados a esse conteúdo e evitando o excesso de teorização.
A Base Curricular Comum de Matemática de Pernambuco corrobora com essa orientação e sugere, com a intenção de consolidar noções combinatórias, a ampliação das “estratégias básicas de contagem, evitando-se o ensino restrito a uma extensa lista de fórmulas que não apresentem significado para o aluno” (PERNAMBUCO, 2008, p.111)
As orientações curriculares para o Ensino Médio sugerem a ênfase a outras questões, como as Pontes de Königsberg1, para o ensino de Combinatória nesse nível. Nesse sentido, apresentam justificativas para esse trabalho:
Problemas dessa natureza podem ser utilizados para desenvolver uma série de habilidades importantes: modelar o problema via estrutura de grafo; [...] convergir para a descoberta da condição geral de existência de uma tal solução [...] Muitos outros exemplos de problemas combinatórios podem ser tratados de modo semelhante, tais como determinar a rota mais curta em uma rede de transportes ou determinar um eficiente trajeto para coleta de lixo em uma cidade (BRASIL, 2006, p.94).
O Guia Nacional do Livro Didático do Ensino Médio (PNLEM 2012) apóia que o bom ensino de Combinatória no Ensino Médio deve
1
O problema das sete pontes de Königsberg consiste em achar um caminho, ao longo do qual um pedestre, partindo de uma das margens ou de qualquer das ilhas, percorra todas as pontes, sem passar mais de uma vez por qualquer uma delas. Esse problema resolvido por Euler por volta de 1735.
... desenvolver no aluno a capacidade para escolher diferentes técnicas de contagem e usá-las de modo e俟ciente na resolução dos problemas. É prejudicial um ensino que habitue o aluno a sempre tentar resolver qualquer problema de contagem com o uso somente de fórmulas (BRASÍLIA, 2011, p.29).
Nesse contexto, verifica-se que nos documentos do Ensino Médio a indicação de problemas diferenciados, que não se resolvam apenas com fórmulas, incentivando a percepção e a criatividade do aluno. Dessa maneira, tem-se defendido que antes do ensino de Combinatória ser formalizado, o que geralmente acontece no Ensino Médio, outras práticas, de uso de estratégias mais informais, sejam integradas ao Ensino Fundamental para que haja uma melhor compreensão dessa temática por professores e alunos.
É importante ressaltar que as diferentes formas de organizar e resolver problemas combinatórios geram estratégias que não são apenas aplicáveis à Combinatória, auxiliando na aprendizagem de técnicas gerais de resolução de problemas. Todavia, para isso, se faz necessário conhecer as características de cada um dos tipos de problemas combinatórios e, além disso, conhecer as suas especificidades.
Ball (1991), com base nos estudos de Shulman (1986), defende que o conhecimento do professor possui de Matemática se relaciona com seus pressupostos e suas crenças sobre ensino-aprendizagem, sobre alunos e sobre o contexto da sala de aula. Os variados pressupostos e crenças diferenciam a maneira como cada professor ensina Matemática.
Dessa forma, alguns questionamentos permeiam o presente estudo: Como vêm sendo tratadas as dificuldades dos alunos pelos professores que ensinam Matemática, durante o trabalho com problemas combinatórios? Quais estratégias de resolução desses problemas são valorizadas por esses professores para minimizar tais dificuldades?
Nesse sentido, objetiva-se identificar, a partir de uma entrevista semi-estruturada, as características do conhecimento de problemas combinatórios e seu ensino por parte de professores que atuam no Ensino Médio.
2 Método
Ensino Médio2, caracterizados no Quadro1 a seguir:
Quadro 1: Características dos participantes da pesquisa
Prof. Formação Experiência Rede
PEM1
Licenciatura em Matemática; Mestrado
em Educação 8 anos Pública
PEM2
Licenciatura em Ciências com habilitação em Matemática; Especialização em Programação de Ensino de Matemática; Mestrado (em andamento) em Educação
16 anos Pública, Particular
Minayo (1998) advoga que a entrevista facilita a abertura, a ampliação e o aprofundamento da comunicação, contribuindo para orientar uma “conversa com finalidade”, não permitindo cercear a comunicação entre os interlocutores, dando “tom e forma” ao objeto de pesquisa.
Nessa entrevista abordamos aspectos referentes aos conhecimentos do conteúdo de Combinatória, conhecimentos pedagógicos de Combinatória e sobre as ações pedagógicas que esses professores evidenciam a partir de protocolos de resolução de problemas combinatórios retirados da pesquisa de Pessoa e Borba (2009), conforme estão apresentados no Quadro 2 a seguir.
Quadro 2 - Caracterização dos Problemas retirados da pesquisa de Pessoa e Borba (2009)
1. Maria tem 3 saias (uma azul, uma preta e uma verde) e 5 blusas (nas cores amarela, bege, branca, rosa e vermelha). Quantos trajes diferentes ela pode formar combinando todas as saias com todas as blusas? Produto
cartesiano (PCM)
2. Quantas palavras diferentes (com ou sem sentido) poderei formar usando as letras da palavra AMOR? Permutação (PM)
3. As semifinais da Copa do Mundo serão disputadas pelas seguintes seleções: Brasil, França, Alemanha e Argentina. De quantas maneiras diferentes podemos ter os três primeiros colocados? Arranjo (AM)
4. Uma escola tem 9 professores (Cristiano, Isabel, Laura, Mateus, Nívea, Pedro, Roberto, Sandra e Vítor), dos quais 5 devem representar a escola em um congresso. Quantos grupos diferentes de 5 professores pode se formar? Combinação (CM)
5. Para representante de turma da sala de aula se candidataram 3 pessoas (Joana, Mário e Vitória). De quantas maneiras diferentes poderão ser escolhidos o representante e o vice-representante? Arranjo (Am)
6. Para a festa de São João da escola, tem 3 meninos (Pedro, Gabriel e João) e 4 meninas (Maria, Luíza, Clara e Beatriz) que querem dançar quadrilha. Se todos os meninos dançarem com todas as meninas, quantos pares diferentes poderão ser formados? Produto cartesiano (PCm) 7. Três alunos (Mário, Raul e Júnior) participam de um concurso em que serão sorteadas duas bicicletas. Quantos resultados diferentes podem ser obtidos no concurso? Combinação (Cm)
8. De quantas formas diferentes poderei arrumar as fotos de meu irmão, meu pai e minha mãe na estante, de modo que elas fiquem lado a lado? Permutação (Pm)
2
Este estudo é um recorte de uma pesquisa realizada na qual se comparou conhecimentos de professores do EM com os dos anos iniciais e dos anos finais do EF.
Na caracterização dos problemas aqueles que apresentam a terminação M são os que geram maior número de possibilidades como resposta e terminação m indicam os de menor número de possibilidades em sua solução.
Dessa forma, os professores analisavam problemas e resoluções verídicas de alunos, solicitando que refletissem sobre o ensino e a aprendizagem da Combinatória, fazendo julgamentos sobre níveis de dificuldades dos alunos e possíveis soluções para suas superações. Os objetivos de cada etapa da pesquisa estão evidenciados no Quadro 3, a seguir.
Quadro 3 - Etapas da entrevista
Fases de Análise Momentos da
Entrevista Objetivos
Sobre o conhecimento do
conteúdo de Combinatória
1º momento Identificar os conhecimentos dos tipos de problemas combinatórios.
Sobre o conhecimento do
pedagógico de Combinatória
2º momento Verificar as estratégias de resolução privilegiadas pelos participantes
3º momento Levantar estratégias de superação das dificuldades dos alunos observadas pelos professores
3 Sobre os Diferentes Tipos de Significados dos Problemas Combinatórios
Pessoa e Borba (2009) apresentam uma nova classificação para fomentar a compreensão dos problemas combinatórios, incluindo-se o produto cartesiano (apontado nas classificações de Nunes e Bryant (1997)), bem como o arranjo, a
permutação e a combinação (tipos de problemas combinatórios trabalhados
explicitamente no Ensino Médio). Essa classificação é a referendada nesse estudo. Pesquisas tem apontado que a diferenciação entre os problemas combinatórios de produto cartesiano, arranjo, permutação e combinação é, geralmente, feita com dificuldades. English (2005) indica que, em muitos estudos relacionados aos problemas combinatórios, os alunos apresentam dificuldades na identificação das estruturas relativas a esses problemas e aponta que é importante que os alunos conheçam as propriedades estruturais dos problemas combinatórios. Concordando com essa afirmação, Batanero, Godino, Navarro-Pelayo (1996)
defendem que o aspecto considerado como mais difícil na resolução dos problemas combinatórios por professores e futuros professores é a identificação das operações combinatórias a partir do enunciado de um problema.
Nesse momento, pretendeu-se identificar as características dos significados desses problemas que professores evidenciaram nas suas falas. Para este propósito foram entregues aos professores os oito problemas de Combinatória (Quadro 2) separados e pediu-se pedimos, inicialmente, que os agrupassem de acordo com a sua estrutura.
Nos extratos das falas dos professores que seguem pode-se observar os conhecimentos de conteúdo e pedagógico evidenciados pelos mesmos.
PEM1: Tem aqui algumas questões que são clássicas. As questões 1(PCM), 3(AM), 6 (PCm) e 8 (Pm) seriam de princípio aditivo/multiplicativo. A 8(Pm) e a 2(PM) seria de permutação que tem a ver com ideia do princípio multiplicativo; a 4(CM) e a 7 (Cm) seria de combinação, pois a ordem não está interferindo aqui na escolha; e a 5(Am) seria de arranjo.
PEM2: O grupo do 1(PCM) e do 6(PCm) acho que se aplica o Princípio Fundamental da Contagem, o segundo grupo das questões 2(PM) e 8(Pm) chamarei do grupo das Permutações e o terceiro grupo 3(AM),4(CM),5(Am) e 7(Cm) eu ainda estava querendo dividi-los, mas eles tem a ver com combinação. Arranjo e combinação. Eu vou deixar os quatro juntos.
Nesses relatos observou-se a predominância do uso da classificação usual dos problemas combinatórios, priorizando a nomenclatura dos diferentes tipos de problemas combinatórios (Arranjo, Combinação e Permutação).
Pode-se observar que o professor PEM1 preferiu agrupar os problemas pela
estratégia utilizada na resolução do mesmo e não pela estrutura dos problemas. Nesse sentido, ele denotou os problemas 1(PCM), 3(AM), 6(PCm) e 8 (Pm) como
princípio multiplicativo.
Ao abordar a diferenciação dos problemas combinatórios o professor PEM1
questionou o enunciado do Problema 7 (Cm) indicando duas possíveis interpretações: uma que evidencia o senso comum (sem a repetição de pessoas) e outro que indica a repetição de pessoas durante o sorteio e explicou:
PEM1: ... Na sétima questão ele também assimilou isso. Mas a questão não fala que as duas bicicletas podem ir para uma mesma pessoa. Como a gente trabalha muito essa questão de repetição, permutação com repetição lá no início, então, geralmente como não vem dizendo nada, até eu comento algumas vezes com os alunos, quando não vem dizendo nada dá a entender que poderia se repetir. Então o aluno: Ah, poxa! Será que o Mario não foi o sortudo e ganhou as duas bicicletas? A questão não vem dizendo nada. Agora puxando mais para o senso comum, que em geral num sorteio são pessoas diferentes que ganham, é o conhecimento que o aluno adquire na rua:
em geral, são duas pessoas diferentes que ganham
Nesse recorte, verificou-se que esse professor considerou a propriedade de repetição dos elementos envolvidos no problema 7(Cm), apresentando possibilidades de interpretação do enunciado do problema. Além disso, observou-se a orientação para resolução de problemas combinatórios com repetição de elementos a partir de elementos explícitos ou não no enunciado. Ao continuar a reflexão sobre esse enunciado esse professor fez as resoluções que seguem na Figura 1.
7. Três alunos (Mário, Raul e Júnior) participam de um concurso em que serão sorteadas duas bicicletas. Quantos resultados diferentes podem ser obtidos no concurso?
Figura 1 - Resoluções do Problema 7 (Cm) pelo professor PEM1
Portanto, PEM1 apresentou a habilidade de comentar o enunciado do problema
em relação ao conhecimento de Combinatória, variando entre os significados dos problemas combinatórios e identificando a presença de diferentes invariantes (ordenação e repetição).
O professor PEM2 utilizou a classificação usual dos problemas combinatórios e
chamou de Princípio Fundamental da Contagem (PFC) os problemas de produto
cartesiano. Na realidade, o PFC é uma estratégia de resolução de problemas, válida
para os quatro tipos de problemas combinatórios. Esse professor não quis arriscar a separação entre os arranjos e as combinações, mas indicou essa divisão no decorrer da entrevista ao refletir a partir das resoluções dos problemas apresentadas como observamos no extrato a seguir.
PEM2: Veja que ele utilizou a mesma idéia, mas não atinou, não percebeu, como eu inicialmente não tinha percebido que eram problemas de contextos diferentes que no caso agora, ele vai se juntar agora com o 4(CM). Vamos então reforçar isso? Os grupos serão 1(PCM) e 6(PCm); 2(PM) e 8(Pm); 3(AM) e 5(Am); e 4 (CM) e7(Cm).
4 Sobre as estratégias privilegiadas na resolução de problemas combinatórios
Nesse momento da entrevista foi solicitado aos professores que observassem e comentassem sobre os protocolos de resolução do Problema 3 (Arranjo com maior ordem de Grandeza) pelos alunos (B, C, D, E, F, G), como pode-se visualizar na Figura 2 que segue.
3. As semifinais da Copa do Mundo serão disputadas pelas seguintes seleções: Brasil, França, Alemanha e Argentina. De quantas maneiras diferentes podemos ter os três primeiros colocados?
ALUNO B ALUNO C
ALUNO D
ALUNO E
ALUNO F ALUNO G
Figura 2 - Estratégias escolhidas de arranjo para subsidiar as discussões com professores retirados de Pessoa (2009)
A escolha dos protocolos de resolução de alunos, retirados de Pessoa (2009) visava à inferência dos professores sobre a compreensão do problema pelos alunos. Como pode-se analisar todos os alunos se encontravam em fase de construção do raciocínio combinatório, utilizando diferentes representações as quais conduzem a diferentes etapas de conscientização até alcançar a utilização consciente do
conceito. De acordo com Rocha (2011) para analisar e avaliar esses protocolos
é necessário a articulação de conhecimentos o que envolve à compreensão do significado envolvido; o conhecimento do ensino de Combinatória voltado para a avaliação das possíveis estratégias de resolução e da operacionalização de sua resolução (a escolha da estratégia e sua execução); o entendimento do processo de apreensão desse conteúdo e o conhecimento sobre as possíveis dificuldades dos alunos e das expectativas do professor em relação à sua aprendizagem (o que se espera que o aluno apresente). (ROCHA, 2011, p.126)
Foi pedido aos professores que analisassem os protocolos e disponibilizado o tempo necessário para essa avaliação. Assim observou-se o comentário a seguir:
PEM2: Eu acho que o aluno C. E:E em relação ao procedimento? PEM2: Também é o aluno C. E: Por quê?
PEM2: Pela questão da formalização. O que eu elejo como objetivo para o Ensino Médio. O Aluno C organiza, primeiro, segundo e terceiro. Coloca as possibilidades de quantos podem ocupar o primeiro lugar, o segundo lugar ... Então, isso está bem claro.
PEM1: O Aluno C seria a estratégia que eu iria cobrar do aluno do Ensino Médio quando eu
já tivesse trabalhando há algum tempo. Eu gostaria muito que ele começasse a fazer por aqui, por que não vai perder tempo. A gente sabe o interessante é que ele pegue o que já amadureceu cognitivamente e consiga realmente aplicar nas questões que virão.
Notou-se nesses relatos a perspectiva de formalização adotada pelos professores do Ensino Médio, quando os professores PEM1 e PEM2 adotaram a
estratégia do Aluno C como o procedimento mais adequado para esse nível de ensino, como indicaram os extratos que seguem.
Esse fato reforça os resultados da pesquisa de Rocha e Ferraz (2011) que advoga que a estratégia de resolução desses problemas mais evidenciada por professores licenciados em Matemática é a utilização do princípio fundamental da contagem. No entanto, a questão do formalismo não foi a única avaliada pelos professores do Ensino Médio.
Houve ainda a preocupação dos professores do Ensino Médio com a utilização inadequada do princípio fundamental da contagem (Aluno F), como apresentou-se a seguir:
PEM2: O Aluno F parece que pensou somente no cumprimento da formalização que havia
estudado. Tem esse um nele. Ora se são três lugares para quê esse um aqui. Parece que ele esta fazendo uma permutação com o número de 4... E o Aluno F pode ser que ele tenha feito uma permutação aqui, ter observado o problema ter seguido e deu certo a resposta.
Contagem, apresentado possibilidades de compreensão do Aluno F. Nesse protocolo, o Aluno F, apesar de apresentar a estratégia do princípio multiplicativo, não apresenta a relação com a estrutura do problema de arranjo. Pessoa (2009) identificou que a utilização de fórmulas só é escolhida pelos alunos do 3º ano do Ensino Médio e estes quando utilizam não mostram saber usá-las adequadamente
Outro elemento comentado por PEM1 diz respeito à estratégia utilizada pelo
Aluno E, o qual utilizou procedimento para buscar a generalização.
PEM1: O Aluno E seria o segundo melhor porque já observou no seu processo de exaustão uma generalização quando indicou o 4 vezes 6 aqui. Foi ótimo ter indicado isso aqui.
Pessoa e Borba (2009), Rocha (2011), entre outros defendem estratégias como a percepção de generalização podem ser mais bem valorizadas no ensino e aprendizagem de Combinatória, pois promovem a discussão sobre padrões e incentivam a criatividade do aluno.
Verificou-se, ainda, que o professor PEM1 selecionou os alunos que
conseguiram acertar o problema além de identificar as dificuldades do Aluno D e Aluno F.
PEM1: Os alunos que melhor compreenderam o problema foram o B,C, E e G e o que compreendeu o aluno em parte foi o Aluno D que se prendeu a parte final do países, embora tenha observado que eram 4 países e o Aluno F que ficou preso somente a parte inicial do problema.
Sobre as estratégias escolhidas, esse professor também observou as estratégias evidenciadas pelos outros alunos.
PEM1: O Aluno B utilizou todas as possibilidades e a questão do princípio aditivo; o Aluno G que também utilizou o princípio aditivo, estaria numa situação parecida ao aluno B;
Desse modo o professor salientou assim a estratégia de enumeração ou listagem utilizada pelos alunos relacionando com a utilização do princípio aditivo. Esse professor demonstrou conhecimento pedagógico do conteúdo ao discutir as qualidades de cada estratégia apresentada.
Em outro momento da entrevista o professor PEM2 ao resolver o problema 8
8. De quantas formas diferentes poderei arrumar as fotos de meu irmão, meu pai
e minha mãe na estante, de modo que elas fiquem lado a lado?
Figura 3 - Resolução do Problema 8 pelo professor PEM2
Essa estratégia é a árvore de possibilidades, a qual pode permitir a visualização das relações entre os elementos que estão sendo contados. Nota-se, portanto, a presença de diferentes estratégias que fazem parte da compreensão e em conseqüência da resolução dos problemas combinatórios por parte desse professor.
Acreditamos que a relação entre as diferentes estratégias utilizadas pelos alunos pode ser ponto de debate no ensino e na aprendizagem da Combinatória. Essa relação, se trabalhada em sala de aula, pode se refletir no desenvolvimento do raciocínio combinatório. Isso se justifica quando Vergnaud (1991) indica que o raciocínio do aluno consiste não apenas em passar de uma situação real à sua representação, mas em passar de uma representação a outra e a ela retornar (p.301).
Durante as entrevistas as discussões promoveram um percurso que auxilia na divulgação de algumas dificuldades dos professores, dificuldades dos alunos do Ensino Médio e sugestões de superação que envolvem o desenvolvimento do ensino e da aprendizagem de Combinatória no Ensino Médio. Pode-se observar algumas dessas relações sistematizadas no Quadro 4 a seguir:
Quadro 4: Resumo de dificuldades dos alunos previstas pelos professores e sugestões para superação
Pr
of.
Fontes de algumas dificuldades dos professores
(provenientes do conhecimento do conteúdo e
do cotidiano escolar)
Dificuldades previstas para os alunos
(conhecimento de Combinatória e alunos)
Sugestões para superação (conhecimento de Combinatória e
ensino)
PEM
1
- Natureza diferenciada dos problemas combinatórios que exige um raciocínio lógico e dedutivo;
- Os alunos que não foram trabalhados desde no Ensino Fundamental, sentem maior dificuldades;
- Postura do aluno do Ensino Médio, em geral, buscar soluções mais econômicas e rápidas.
- Diferença entre arranjo e
combinação; - Adverte seus alunos sobre a possibilidade de ordenação ou não dos elementos;
- Repetição ou não de elementos
do conjunto; - Apresenta uma regra: Quando o problema não diz nada em relação à repetição então vale repetir;
- Discute outros problemas para auxiliar na compreensão.
- Contexto social pode vir a influenciar as escolhas na hora de resolução de exercícios;
- Apresenta para discussão outros problemas para auxiliar.
- Interpretação textual, entendimento do enunciado da questão.
- Discute o significado das expressões, o que o problema está querendo dizer.
PEM
2
Diferenças entre os problemas
combinatórios - Adequação do contexto porque pode facilitar, ou dificultar no momento de resolução de exercícios;
- Discussão com os alunos;
- Aumento do nº de possibilidades, ou da ordem de grandeza dos problemas.
- Aplicação de fórmulas.
Salientou-se a partir desse quadro que a compreensão das diferenças entre os problemas combinatórios é fator essencial no trabalho dos professores. Além disso, não há presença de estímulo a estratégias lúdicas e/ou utilização de recursos diferenciados. O ensino de Combinatória pode priorizar a comparação de estratégias sem necessariamente priorizar as dicas utilizadas para minimizar as dificuldades encontradas na resolução desses problemas.
5 Considerações finais
Diante dos achados do presente estudo, considera-se a relevância de investigações que procurem analisar os conhecimentos de professores que ensinam Matemática em relação à Combinatória e, ainda, defende-se a necessidade de propostas de formação inicial e continuada que abordem aspectos como os diferentes significados dos problemas combinatórios e outras possíveis
representações – diagrama de árvores, listagem, princípio fundamental da contagem (PESSOA e BORBA, 2009), além de refletir sobre possibilidades de recursos didáticos como softwares, objetos de aprendizagem e jogos matemáticos, a fim de promover o desenvolvimento do raciocínio.
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