PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DO RIO GRANDE DO SUL FACULDADE DE MATEMÁTICA ÁLGEBRA LINEAR A

(1)

PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA

DO RIO GRANDE DO SUL

FACULDADE DE MATEMÁTICA

ÁLGEBRA LINEAR A

Prof. Francisco Leal Moreira

(2)

SUMÁRIO

1. MATRIZES ...1 1.1. INTRODUÇÃ O ...1 1.2. PROPRIEDADES ...2 1.3. RESPOSTAS ...4 2. INVERSÃO DE MATRIZES ...5 2.1. INTRODUÇÃO...5 2.2. MATRIZ INVERSA ...5 2.3. PROPRIEDADES ...6

2.4. OPERAÇÕES ELEMENTARES DE UMA MATRIZ ...6

2.5. INVERSÃO DE MATRIZ POR OPERAÇÕES ELEMENTARES ...6

2.6. RESPOSTAS ...7

3. SISTEMAS LINEARES ...8

3.1. INTRODUÇÃO...8

3.2. EQUAÇÃO LINEAR...8

3.3. SISTEMA DE EQUAÇÕES LINEARES ...8

3.4. SISTEMAS EQUIVALENTES...9

3.5. SISTEMA LINEAR ESCALONADO...9

3.6. RESOLUÇÃO DE UM SISTEMA LINEAR POR TRIANGULAÇÃO OU ESCALONAMENTO. ...10

3.7. MÉTODODE CASTILHOS...11

3.8. RESPOSTAS ...13

4. ESPAÇOS VETORIAIS...14

4.2. ESPAÇO VETORIAL REAL ...15

5. SUBESPAÇO VETORIAL...17

5.2. SUBESPAÇO VETORIAL...17

6. COMBINAÇÃO LINEAR DE VETORES ...20

7. SUBESPAÇOVETORIAL GERADO ...22

8.DEPENDÊNCIA E INDEPENDÊNCIA LINEAR...24

8.1. INTRODUÇÃO...24 8.2. PROPRIEDADES ...24 8.3. RESPOSTAS ...26 9. BASE EDIMENSÃO ...27 9.1. INTRODUÇÃO...27 9.2. BASE...28 9.3. PROPRIEDADES ...28

9.4. DIMENSÃO DE UM ESPAÇO VETORIAL...29

(3)

10.1. INTRODUÇÃO ...31 10.2. COMPONENTES DE UM VETOR ...31 10.3. MUDANÇA DE BASE...31 10.4. RESPOSTAS...33 11. PRODUTO INTERNO ...34 11.2. INTRODUÇÃO ...34 11.2. RESPOSTAS...35 12. ORTOGONALIDADE...36 12.1. VETORES ORTOGONAIS ...36

12.2. BASE ORTOGONAL E BASE ORTONORMAL...36

12.3. PROCESSO DE ORTOGONALIZAÇÃO DE GRAM -SCHMIDT ...37

12.4. RESPOSTAS...37

13. TRANSFORMAÇÕES LINEARES ...38

13.1. INTRODUÇÃO ...38

13.2. TRANSFORMAÇÃO LINEAR...38

13.3. MATRIZ NATURAL OU MATRIZ CANÔNICA...39

13.4. T L DEFINIDA PELAS IMAGENS DOS VETORES DE UMA BASE ...40

13.5. COMPOSTA DE DUAS TL ...41

14. TRANSFORMAÇÕES LINEARES PLANAS ...43

14.1. INTRODUÇÃO ...43 14.2. REFLEXÕES ...43 14.3. DILATAÇÕES E CONTRAÇÕES ...45 14.4. CISALHAMENTOS...46 14.5. ROTAÇÕES ...47 14.6. RESPOSTAS...49

15. MATRIZ DEUMA TRANSFORMAÇÃO LINEAREM BASES QUAISQUER ...52

15.2. PROCEDIMENTO PARA ENCONTRAR A MATRIZ

[

f

]

A_B...53

16. OPERADORES LINEARES ...54

16.2. MATRIZES SEMELHANTES ...54

16.3. RELAÇÃO ENTRE MATRIZES SEMELHANTES . ...54

16.4. OPERADORES INVERSÍVEIS ...55

16.5. MATRIZ ORTOGONAL...55

16.7. OPERADOR LINEAR ORTOGONAL...55

16.8. PROPRIEDADES ...56

16.9. OPERADOR LINEAR SIMÉTRICO...56

16.10. PROPRIEDADE...57

17. VETORES PRÓPRIOS EVALORES PRÓPRIOS ...58

17.2. DETERMINAÇÃO DOS VALORES E VETORES PRÓPRIOS ...59

17.3. PROPRIEDADES ...60

(4)

18.2. DIAGONALIZAÇÃO DE MATRIZES SIMÉTRICAS ...63

19. CÔNICAS...65

19.2. CÔNICAS NÃO-DEGENERADAS EM POSIÇÕES PADRÕES ...65

19.3. PROCEDIMENTO PARA ELIMINAR O TERMOEM XY DA EQUAÇÃO ...67

19.4. CLASSIFICAÇÃO DAS CÔNICAS QUANTO AOS VALORES PRÓPRIOS...69

(5)

1. MATRIZES

1.1. INTRODUÇÃO

Esta secção, apresenta um conjunto de exercícios que possibilitam ao aluno,

revisar conceitos básicos sobre matrizes. É muito importante que o aluno se detenha nas

propriedades apresentadas, pois são de grande importância dentro da Álgebra Linear.

Algumas aplicações do estudo das matrizes são resolução de sistemas de equações lineares,

mudança de bases de um espaço vetorial, representação e composição de transformações

lineares.

E1) Construa uma matriz:

a) Retangular b) Linha c) Coluna d) Nula e) Quadrada

E2) Identifique a ordem de cada matriz do exercício E1.

E3) Escreva a forma genérica de uma matriz de ordem m x n com elementos aij.

E4) Escreva a matriz oposta (-A é a oposta de A) de cada matriz do exercício E1.

E5) Construa a matriz A= [aij]mxn tal que:

a) m = n = 4 e aij=      > = < j i se , 2 j i se , 1 j i se , 0 b) m = 2, n = 3 e aij=

( )

j i 1 + −

( )

3 j i−

E6) No exercício E5 a , identifique a diagonal principal e a secundária.

E7) Escreva uma matriz diagonal ( A=[aij]nxn, aij=0 se i

≠

j) de ordem 3.

E8) Escreva a matriz identidade ( I_n=[aij]nxn, aij =    ≠ = j i se , 0 j i se , 1 ) para n = 4.

E9) Escreva uma matriz triangular superior ( A=[aij]nxn, aij=0 se i>j) de ordem 3.

(6)

E11) Encontre

x, y, z

e

w

de forma que A=B , sendo: a) A =          − − ₄ 3 4 30 sen 5 2 2 2 1 0 0 2 , B =           4 w z 2 1 y x b) A = _      + + 8 w 2 z 3 y x 4 13 , B = _      + + w 3 z 2 7 9 y 5 x 4

E12) Dadas as matrizes A = _

     −2 4 5 0 2 1 , B = _      − − − 1 0 5 3 1 2 e C = _      − − 2 3 1 1 determine a matriz: a) A + 2B + (-A) + (-B) b) A – B + 2 A B− c) 3( C – 2I₂)

1.2. PROPRIEDADES

1. Propriedades da Adição a) A + B = B + A b) (A + B) + C = A + (B + C) c) A + O = A d) A + (-A) = O

sendo A, B, C e O matrizes de mesma ordem

2. Propriedades do Produto de uma Matriz por um Real a) (αβ)A = α(βA)

b) α(A + B) = αA + αB c) (α + β)A = αA + βA d) 1A = A

(7)

E13) Sejam as matrizes A =           − − − 1 5 1 4 3 3 0 1 2 , B =           − − 4 1 3 2 0 2 1 1 1 e C = _      −2 4 1 3 2 1 , determine: a) AB b) AC c) CA d) (A -I₃) (B+I₃)

3. Propriedades da Multiplicação de Matrizes a) ABC = (AB)C = A(BC)

b) A(B+C) = AB + AC c) (A+B)C = AC + BC d) α(AB) = (αA)B = A(αB) , α

∈

ℜ

e) AO = O f) AI = IA = A E14) Use V ou F : a) Se existem AB e BA então AB = BA ( ) b) Se AB = O então necessariamente A = O ou B = O ( )

E15) Encontre a matriz transposta de:

a) A = _      4 5 0 3 2 1 b) B =           − − 6 7 3 5 2 4 1 0 2 4. Propriedades da Transposta a) (At)t = A b) (A + B)t = At+ Bt c) (AB)t = BtAt d) (αA)t = αA t , α

∈ℜ

E16) Sejam as matrizes A = _

     3 0 1 2 , B = _      − − 1 5 2 4 e C = _      4 3 2 1 , determine: a) ( A - B)t(B - C)t b) [(2A - I₂) + (C + I₂)]t c) (ABtC)t

(8)

E18) Construa uma matriz anti-simétrica (At = -A) de ordem 4.

1.3. RESPOSTAS

E3)













mn 2 m 1 m n 2 22 21 n 1 12 11

a

L

M

L

E5) a)A=               1 2 2 2 0 1 2 2 0 0 1 2 0 0 0 1 b)A= _      − − 1 0 1 8 1 0 E6) a)Dp = { 1, 1, 1, 1 } e Ds= { 2, 2, 0, 0 } E8) a)I4=               1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 E11) a) x=-4, y=1, z=2 e w=

9

1

b) x=2, y=1, z=1 e w=2 E12) a) B b) _      − 6 4 3 3 1 3 2 1 c) 3 _      − − − 4 3 1 1 E13) a)           − − 5 2 8 7 1 9 4 2 0 b) NE c) _      −5 15 9 5 8 11 d)           − − − 1 8 6 9 5 10 3 0 0 E14) a) F b) F E15) a)At=           4 3 5 2 0 1 b)Bt=             − − 6 5 1 7 2 0 3 4 2 E16) a) _      − −7 14 21 14 b) _      10 4 3 5 c) _      − − 24 48 15 33

(9)

2. INVERSÃO DE MATRIZES

2.1. INTRODUÇÃO

No início desta secção, o aluno encontrará alguns exercícios que possibilitam

revisar o cálculo de determinantes, importante para a identificação de uma matriz

inversível. O estudo de matriz inversa tem várias aplicações na Álgebra Linear, como por

exemplo, na mudança de base de um espaço vetorial e resolução de equações matriciais.

E1) Calcule os determinantes:

a) −2 b) 3 1 1 2 − c) 4 2 3 1 4 5 0 2 1 − d) 3 0 0 6 4 0 3 1 1 − e) 2 0 10 1 0 10 0 3 0 0 6 4 0 0 0 1 − −

E2) Resolva as equações:

a) x 1 0 0 x 1 1 5 4 − − − = 0 b) x 2 9 x 2 = x 2 1 3 1 3 2 x 3 2 1 + − c) 3 5 1 0 3 4 0 0 x 2 = x sen x cos x cos x sen −

2.2. MATRIZ INVERSA

Uma matriz quadrada A é inversível se existir uma matriz quadrada B tal que AB = BA = I. A matriz B é chamada matriz inversa de A e é representada por A−1.

E3) Use a definição acima para calcular a inversa da matriz A = _

     d c b a

Sugestão: Resolva os sistemas pela regra de Cramer.

DISPOSITIVO PRÁTICO Se A = _      d c b a e det A

≠

0 , então A−1= A det 1       − − a c b d 0 A det A 1⇔ ≠ ∃ −

E4) Calcule as inversas das matrizes A = _

     − − 1 2 2 3 e B = _      − − 7 2 5 1 .

(10)

2.3. PROPRIEDADES

a) (A−1)−1 = A b) I−_n1 = I_n c) (αA)−1= (1/α)A−1, α

≠

0

d) (AB)−1= B−1A−1

2.4. OPERAÇÕES ELEMENTARES DE UMA MATRIZ

L_i_j - Permutação das linhas de ordem i e j. kL_i - Multiplicação da linha de ordem i por k

≠

0.

L_i+ kL_j - Substituição da linha de ordem i pela sua soma com a linha de ordem j multiplicada por k

≠

0.

E5) Complete correta mente as matrizes:

A= _      3 1 5 2 L_{1 2} _      .... .... .... .... L₂- 2L₁ _      .... .... .... .... - L₂ _      .... .... .... .... L₁- 3L₂ _      1 0 0 1

Toda matriz inversível pode ser transformada, mediante um número finito de operações elementares, na matriz I

E6) Aplique a seqüência L_{1 2}, L₂- 2L₁, - L₂, L₁- 3L₂ na matriz _

     1 0 0 1 . _      1 0 0 1 L₁₂ _      .... .... .... .... L₂- 2L₁ _      .... .... .... .... - L₂ _      .... .... .... .... L₁- 3L₂









_



=B

E7) Calcule AB e BA considerando A e B matrizes dos exercícios E5 e E6 . O que se pode concluir ?

2.5. INVERSÃO DE MATRIZ POR OPERAÇÕES ELEMENTARES

A mesma seqüência de operações elementares que transforma uma matriz A em I_n, transforma I_nem A−1. [ A I_n] seqüência de operações elementares [ I_n A−1]

(11)

E8) Determine a matriz inversa, caso exista, de cada uma das matrizes dadas: A =           − − 3 5 2 1 4 1 0 1 0 , B = _      5 3 2 1 , C =             1 2 0 1 0 3 0 1 0 0 1 0 0 1 2 0 e D =           − − − 3 0 4 2 0 2 0 1 1

E9) Mostre que (At)−1=(A−1)t.

E10) Resolva as equações matriciais na variável X, sabendo -se que A, B, C e X são matrizes inversíveis:

a) AX = B b) AXB = C c) X−1AB−1= C d) (AX−1)t = B e) AXB = BA f) AtXt = B

2.6. RESPOSTAS

E1) a) – 2 b) 7 c) –16 d) 12 e) –120 E2) a) x = 1/4 ou x = 1 b) x = 0 ou x = 3 c) x = -1/6 E3) A-1= _      1 1 2 3 E4) A-1= _      − − 3 2 2 1 B-1=             − − 3 1 3 2 3 5 3 7 E8) A-1=           − − 1 2 13 0 0 1 1 3 17 B-1= _      − − 1 3 2 5 C-1=               − − − − 1 1 2 1 0 0 2 1 0 0 1 0 0 1 6 3 D-1=                   − 1 2 0 1 2 3 1 1 2 3 0

(12)

3. SISTEMAS LINEARES

3.1. INTRODUÇÃO

O estudo de sistemas de equações lineares é de fundamental importância na Álgebra

Linear. Resolvendo sistemas de equações lineares podemos determinar: a dependência ou

independência linear de vetores, o subespaço vetorial gerado por um conjunto de vetores, a

matriz que representa uma transformação linear em bases dadas e vetores próprios de um

operador linear. No final dessa secção, apresentaremos o método de Castilhos que pode ser

utilizado na resolução de sistemas de equações lineares.

3.2. EQUAÇÃO LINEAR

a₁x₁+a₂x₂+L+a_nx_n =b, com a₁,a₂,La_n,b∈ℜ Exemplos

a) No

ℜ

2, x = 3 ⇔1x + 0y = 3 b) No ℜ3, x = 3 ⇔1x + 0y + 0z = 3

c) As seguintes equações não são lineares: x2 – 2x = 4 , x +y=2, cos x = 1, ey-3x = 0 e ln x + 4y = 3. Solução de uma equação linear é uma seqüência de números que satisfaz a equação.

Conjunto-solução de uma equação é o conjunto de todas as soluções da equção.

Exemplos

a) No

ℜ

2, o conjunto-solução da equação x = 3 é {(3,y) / y∈ℜ} e (3,5) é uma solução particular. b) No ℜ3, o conjunto-solução da equação x = 3 é {(3,y,z) / y,z∈ℜ} e (3,7,9) é uma solução particular.

3.3. SISTEMA DE EQUAÇÕES LINEARES

Sistema linear de m equações com n incógnitas











=

+

=

+

=

+

m n mn 2 2 m 1 1 m 2 n n 2 2 22 1 21 1 n n 1 2 12 1 11

b

x

a

x

a

x

a

b

x

a

x

a

x

a

b

x

a

x

a

x

a

L

M

L

(13)

E1) Resolva, se possível, os sistemas escrevendo os conjuntos soluções em U. a)    = + = − 0 y x 3 y x 2 , U =ℜ2 b)    = − = − 1 y x 2 y 2 x 2 , U =ℜ2 c)    = + = + 3 y 2 x 2 3 y x , U =ℜ2 d)    = = − + 2 y 0 z y x , U =ℜ3 e)    = + = + + 0 z y 1 z 2 y 2 x , U =ℜ3 f)    = − = + 1 z x 3 z x , U =ℜ3

CLASSIFICAÇÃO DE UM SISTEMA LINEAR QUANTO ÀS SOLUÇÕES: determinado (solução única) compatível

Sistema Linear (possui solução) indeterminado (várias soluções)

incompatível (não possui solução)

REPRESENTAÇÃO MATRIC IAL DE UM SISTEMA LINEAR.

A equação AX=B é a representação matricial de qualquer sistema de equações lineares. Se a matriz B é nula, o sistema é chamado de homogêneo.

Um sistema homogêneo é sempre compatível:

- Determinado se tiver apenas a solução trivial ou imprópria que apresenta todas as variáveis assumindo valor zero.

- Indeterminado se tiver a solução trivial e outras denominadas soluções próprias.

E2) Mostre que se A é uma matriz inversível então o sistema AX = B admite apenas uma solução. Qual é esta solução se B = 0 ?

E3) Escreva um sistema linear homogêneo de duas equações com duas variáveis que seja:

a) compatível e determinado b) compatível e indeterminado c) incompatível

3.4. SISTEMAS EQUIVALENTES.

Dois sistemas que apresentam o mesmo conjunto solução são chamados sistemas equivalentes .

E4) Resolva, se possível, o sistema:

     = = + = − + 4 z 2 1 z y 0 z y x 3

3.5. SISTEMA LINEAR ESCALONADO.

Um sistema linear está na forma escalonada se o número de zeros que precede o primeiro coeficiente não nulo aumenta de equação para equação. Todo sistema escalonado pode ser facilmente resolvido como no exercício E4.

(14)

Exemplo: O sistema      = + + = + + = − + 4 z 2 y 0 x 0 1 z y x 0 0 z y x 3

do exercício E4 , cuja matriz ampliada é

          − 4 1 0 2 0 0 1 1 0 1 1 3

E5) Resolva o sistema:

   = − = + − + 2 t z 1 t z y 2 x

3.6. RESOLUÇÃO DE UM SISTEMA LINEAR POR TRIANGULAÇÃO OU

ESCALONAMENTO.

Um sistema linear pode ser transformado em outro, equivalente e escalonado, com as seguintes operações: a) Permutação de duas equações;

b) Multiplicação de uma equação por um número real diferente de zero;

c) Substituição de uma equação por sua soma com outra equação previamente multiplicada por um número real diferente de zero.

Exemplo:

Resolva o sistema por triangulação:      = + + = + + = + + 1 z 2 y x 0 z y x 0 z y 3 x 2      ... ... ... ... ... ... ... ... ...      ... ... ... ... ... ... ... ... ...      ... ... ... ... ... ... ... ... ... .

O sistema resultante está na forma escalonada e é equivalente ao sistema dado. Logo, o sistema dado é

determinado e seu conjunto solução é S =

{

( , , )

}

.

A seguir, resolva o mesmo sistema, a partir da matriz ampliada.

          1 0 0 2 1 1 1 1 1 1 3 2 L₂₁           .... .... .... ... ... ... ... ... ... ... ... ... L₂+(-2)L₁           .... .... .... ... ... ... ... ... ... ... ... ... L₃+(-1)L₁           .... .... .... ... ... ... ... ... ... ... ... ...

E6) Resolva, se possível, os sistemas por escalonamento:

a)      − = − − − = − + = + 4 z x 1 z y 3 x 2 1 y x b)      = − + − = − + = + − 2 z 2 y 2 x 1 z y x 2 1 z y x Permutan-do as duas primeiras equações Substituindo a 2o

eq. pela sua soma com a 1o _multipli-

cada por -2

Substituindo a 3 o equação pela sua soma com a 1 o multiplicada por -1

(15)

CLASSIFICAÇÃO DE SIS TEMAS LINEARES POR TRIANGULAÇÃO OU ESCALONAMENTO. Se ao escalonar o sistema é zerada uma linha da matriz dos coeficientes sem zerar o correspondente termo independente, o sistema é incompatível . Caso contrário o sistema é compatível:

- determinado , quando após escalonar obtém-se tantas linhas significativas (não totalmente nulas) quantas são as colunas da matriz dos coeficientes.

- Indeterminado , quanto após escalonar obtém-se menos linhas significativas do que o número de colunas da matriz dos coeficientes.

Todo sistema homogêneo que apresentar mais incógnitas que equações é indeterminado.

E7) Determine o valor de “m” para que o sistema

     = + + = + − = + + 3 z y 2 mx 0 mz y x 2 z y x seja:

a) Determinado; b) Indeterminado; c) incompatível.

E8) Resolva, se possível, o sistema     = − + = + + = + + 5 z 2 y x 3 1 z y 3 x 2 4 z 3 y x

3.7. MÉTODO DE CASTILHOS.

O método de Castilhos é uma simplificação do método do escalonamento, onde as operações aplicadas sobre as equações são representadas por determinantes de 2º ordem.

A seguir, a aplicação do método de Castilhos na resolução do exercício E8.

1º. Quadro 1 1 3 4 do 3º. quadro: ...

2 3 1 1

3 1 -2 5 do 2º. quadro com ... em qualquer equação: ...

2º. Quadro

.... .... ....

.... .... .... do 1º. quadro com ... e... em qualquer equação:...

3º. Quadro

.... .... S =

{

( , , )

}

(16)

E9) Resolva, se possível, os sistemas: a)       − = − − = + − − = + + = + + 3 z y 4 x 2 3 z y 2 x 3 z y 4 x 2 4 z y 5 x 3 b)      = + = + = − + 1 y x 2 z y 0 z y x 2 c)      − = − − = + − = + 25 y x 5 y 5 x 3 4 y 2 x d)    = + − = − + 0 z y x 2 0 z y x e)           1 1 1 1 1 2 3 2 1           z y x =           0 0 0 f)             − − − − 0 3 3 1 0 3 3 1 2 3 2 1           z y x =             7 2 5 4

E10) Resolva o sistema para k = -1, k = -2 e k = 3.

          − − − − k 0 2 0 k 1 0 2 0 k           z y x =           0 0 0 E11) Se A =           −2 1 2 1 2 1 3 2 2 e X =           z y x , resolva:

a) A.X = X b) A.X = 4.X c) ( A – 2.I₃).X = 0

E12) Determine para que valores de a, b e c o sistema é determinado, indeterminado ou impossível:

a)      = − = − = + + c z 4 y 6 b z 2 y 3 a z 5 y 2 x b)      = − = − + = + + + c t z b t z y 2 a t 3 z 2 y x c)      = + − = + − = + − c z 3 y x 2 b z x 3 a z 5 y x 4 d)           − − − 3 2 2 1 1 1       y x =           c b a e)           − − − − − 2 1 1 4 3 2 3 2 1           z y x =           c b a

(17)

3.8. RESPOSTAS

E1) a) S={(1,-1)} b) S={(1+y,y)/y∈ℜ} c) S={ } d) S={(z−2,z,z)/z∈ℜ} e) S={(1,−z,z)/z∈ℜ} f) S={(2,y,1)/y∈ℜ} E4) S={(1,-1,2)} E5) S={(3−2y,y,t+2,t)/y,t∈ℜ} E6) a) S={(1−y,y,y+3)/y∈ℜ} b) S={ } E7) a) m ≠0 e m ≠1 b) m = 1 c) m = 0 E8) S={(3,-2,1)} E9) a) S={ } b) S={(z−1, 2−z,z)/z∈ℜ} c) S={ } d) S={(0,z,z)/z∈ℜ} e) S={(0,0,0)} f) S={ }

E10) k=-1, SCI, S={(0,y,0)/y∈ℜ} ; k=-2, SCI, S={(−z,0,z)/z∈ℜ} ; k=3 , S={(0,0,0)}

E11) a) S={(0,0,0)} b) S={ ,z)/z∈ℜ 2 z 5 , z 4 ( } c) S={ − − ,z)/z∈ℜ 2 z 3 , z ( }

E12) a) SI se c ≠2b e SCI se c=2b b) SCI, ∀a,b,c∈ℜ c) SCD, ∀a,b,c∈ℜ

(18)

4. ESPAÇOS VETORIAIS

4.1. INTRODUÇÃO

Nesta secção, generaliza-se o conceito de vetor enunciando uma série de axiomas que,

caso sejam todos satisfeitos por uma classe de objetos, serão chamados vetores. O conceito

de espaço vetorial ocorre em muitas aplicações tanto na Matemática quanto nas Ciências e

na Engenharia.

P (ponto) 2 ℜ = ℜxℜ =

{

(x,y)/x,y∈ℜ

}

(x₁,y₁) v (vetor) y

ℜ

2 y₁ P v 0 x₁ x P (ponto) 3 ℜ = ℜxℜxℜ =

{

(x,y,z)/x,y,z∈ℜ

}

(x₁,y₁,z₁) v (vetor) z ℜ3 z₁ P v y₁ o y x₁ x

Esta idéia pode ser estendida para

ℜ

4

,

ℜ

5

,...

,ℜn =

{

(x₁,x₂,...,x_n)/x₁,x₂,...,x_n∈ℜ

}

,com a perda da visão geométrica.

E1) Dê um exemplo de ponto ou vetor no:

(19)

Se u = (x₁,x₂,..., x_n) e v = (y₁,y₂,..., y_n) são vetores de

ℜ

n, tem-se: a) u = v

⇔

x₁= y₁, x₂= y ₂,..., x_n= y_n (igualdade) b) u + v =( x₁+ y₁, x₂+ y₂,..., x_n+ y_n) c) αu = (αx₁,αx₂,..., αx_n) , α

∈ ℜ

(operações) d) u.v = x₁. y₁+ x₂. y ₂+... + x_n. y_n e) u = 2n 2 2 2 1 x x x + +L+ (módulo de u)

Para o conjunto

ℜ

n, no qual estão definidas as operações adição e multiplicação por escalar, isto é

∀

u,v ∈ℜn, u+v

∈

ℜ

n e

∀

α

∈

ℜ

,

∀

u ∈ℜn, αu

∈

ℜ

n é fácil verificar-se as seguintes propriedades: A1 : u + v = v + u ,

∀

u,v ∈ℜn A2 : (u + v) + w = u + (v + w) ,

∀

u,v,w

∈

ℜ

n A3 :

∃

0∈ℜn ,

∀

u ∈ℜn , u + 0 = u A4 :

∀

u∈ℜn,

∃

(-u) ∈ℜn , u + (-u) = 0 M1 : (α + β)u = αu + βu ,

∀

α,β∈ℜe

∀

u ∈ℜn Μ2 : α(u + v) = αu + αv ,

∀

α∈ℜe

∀

u,v ∈ℜn M3 : (αβ)u = α(βu) ,

∀

α,β

∈

ℜ

e

∀

u ∈ℜn M4 : 1u = u ,

∀

u ∈ℜn

Este conjunto

ℜ

n, no qual estão definidas as operações adição e multiplicação por escalar e em relação as quais valem as dez propriedades citadas, é chamado espaço vetorial real.

4.2. ESPAÇO VETORIAL REAL

Da mesma forma que o ℜn, qualquer conjunto V

≠

φ

no qual estão definidas duas operações: adição e multiplicação por escalar em relação as quais valem as dez propriedades citadas acima chama -se espaço vetorial real.

(20)

Outros exemplos importantes de espaços vetoriais:

1. O conjunto Mmxndas matrizes mxn com as operações usuais de adição e multiplicação por escalar.

Observação: O conjunto Mnx1 é a notação matricial do ℜn.

Se u = (x₁,x₂,..., x_n)∈ℜn então u =               n 2 1 x : x x

∈

Mnx1(as operações de adição e multiplicação por

escalar produzem o mesmo resultado).

2. O conjunto P_n =

{

a₀xn+ a₁xn−1+ ... + a _n ; ai

∈

ℜ

}

dos polinômios de grau menor ou igual a “n”,

incluindo o polinômio identicamente nulo, com as operações usuais de adição e multiplicação por escalar.

3. O conjunto das funções definidas no intervalo [a ; b] em relação às operações definidas por (f + g)(x) = f(x) + g(x) e (αf)(x) = αf(x) ,

∀

α

∈ℜ

.

E2) Identifique o vetor nulo, um vetor e o respectivo vetor oposto dos seguintes espaços vetoriais:

a) M₂_x₂ b) M₃_x₁ c) P2 d) P3

E3) Analise cada conjunto abaixo e diga porque não é um espaço vetorial com as operações usuais.,

a) V =

{

(x,y)∈ℜ2/x2+y2≤1

}

b) V =

{

(x,y)∈ℜ2 /y=2x+3

}

c) V =

{

(x,y)∈ℜ2/x≥0ey≥0

}

d) V =

{

(x,y,z)∈ℜ3/x+y+z−1=0

}

e) V =           ≠ ∈           0 a / M 0 0 a 1 x 3 f) V =         ≥ ∈       0 d / M d c b a 2 x 2

4.3. RESPOSTAS

(21)

5. SUBESPAÇO VETORIAL

5.1. INTRODUÇÃO

Às vezes, é importante identificar, dentro de um espaço vetorial, subconjuntos que

sejam também, espaços vetoriais.

SUBESPAÇO VETORIAL

Seja S um subconjunto não vazio de um espaço vetorial V. S é um subespaço vetorial de V se S é também espaço vetorial com as mesmas operações definid as em V.

Como S⊂V, os axiomas A1 , A2 , M1 , M2 , M3 e M4 , da definição, são verificados pois todos os vetores de

S são também de V. Portanto, para que S seja um subespaço vetorial de V, basta que os axiomas A3 e A4

também se verifiquem. Todas estas condições estão reunidas na definição abaixo.

5.2. SUBESPAÇO VETORIAL

Seja S um subconjunto não-vazio de um espaço vetorial V. S é um subespaço vetorial de V sse: i) ∀u,v∈S , u+v∈S

ii)∀ α ℜ∈ , ∀u∈S , αu∈S

E1)Verifique se S com as operações usuais é um subespaço vetorial de V.

a) S=         ℜ ∈ ∈       +y M /x,y x y x 0 2 x 2 e V=M2x2. b) S =

{

(x,y)∈ℜ2/y=2x

}

V = ℜ2 c) S=

{

(x,x+1)/x∈ℜ

}

e V=ℜ2 d) S =

{

(x,y,z)∈ℜ3/x−y+2z=0

}

V = _ℜ3 e) S =

{

(x,y,z)∈ℜ3/2x+y−z+1=0

}

V = ℜ3 Importante:

a) O conjunto formado apenas pelo vetor nulo de um espaço vetorial V é um subespaço vetorial de V.

O subespaço {0} é chamado de subespaço nulo.

b) Qualquer reta do ℜ2 que passa pela origem é um subespaço v etorial doℜ2. c) Qualquer reta do

ℜ

3 que passa pela origem é um subespaço vetorial do

ℜ

3. d) Qualquer plano do

ℜ

3que passa pela origem é um subespaço vetorial do

ℜ

3.

(22)

SUBESPAÇOS VETORIAIS DO

ℜ

2 a) Triviais:

ℜ

2 e {(0,0)}

b) Não triviais: S =

{

(x,y)∈ℜ2/Ax+By=0

}

(retas que passam pela origem)

SUBESPAÇOS VETORIAIS DO

ℜ

3 a) Triviais:

ℜ

3e {(0,0,0)}

b) Não triviais: S =

{

(x,y,z)∈ℜ3/y=mxez=px

}

ou S =

{

(x,y,z)∈ℜ3/ax+by+cz=0

}

( retas e planos que passam pela origem)

SUBESPAÇOS VETORIAIS DE UM ESPAÇO VETORIAL V a) Trivia is: V e {0}

b) Não triviais: outros

E2)Verifique se S com as operações usuais é um subespaço vetorial de V.

a) S =

{

(x,x2)/x∈ℜ

}

e V=_ℜ2

b) S é o conjunto solução do sistema

   − = − = − 1 y x 1 x y e V = ℜ2 c) S =

{

(x,y,z)∈ℜ3/y=x e z=−x

}

V = ℜ3 d) S =

{

(x,y,z,t)∈ℜ4 /x≥0

}

V = ℜ4

e) S é o conjunto solução de um sistema homogêneo AX = 0, onde A é uma matriz de ordem mxn e uma solução X é um vetor de ℜn.

f) S o conjunto de todas as matrizes triangulares superiores, V = M2x2

g) S =

{

(x,y,z)∈ℜ3/x2+y2 ≥1ez=0

}

V = ℜ3 h) S =         ℜ ∈       y , x / 0 0 y x , V =

M

₂_x₂ i) S =

{

ax+c/a,c∈ℜ

}

, V = P₁ j) S =

{

ax2+c/a,c∈ℜ,a≠0

}

, V = P₂ k) S é o conjunto solução do sistema

    = + + = + + = − + 0 z 3 y 8 x 5 0 z 2 y 3 x 2 0 z y 2 x e V = ℜ3 l) S =

{

A∈V/detA≠0

}

, V =

M

₃_x₃

(23)

5.3. RESPOSTAS

E1) a) Sim b) Sim c) Não d) Sim e) Não

E2) a) Não b) Não c) Sim d)Não e) Sim f)Sim g) Não h) Sim i) Sim

(24)

6. COMBINAÇÃO LINEAR DE VETORES

6.1. INTRODUÇÃO

Uma das características mais importantes de um espaço vetorial é a determinação de

novos vetores a partir de vetores dados.

Sejam os vetores v₁,v₂,...,v_n de um espaço vetorial V. Um vetor v V é combinação linear (CL) dos ∈ vetores v₁,v₂,...,v_n se existem os reais a₁,a₂,...,a_n, tais que a1v1+a2v2+...+anvn =v.

E1) Verifique se o vetor v=(1,−8,−7) é combinação linear dos vetores v₁=(3,−2,1) e v₂ =(4,1,5). Em caso afirmativo, escreva o vetor v como combinação linear de v₁ e v₂.

A combinação linear a1v1+a2v2+...+anvn =v pode ser representada matricialmente por MA=V, onde: M é a matriz cujas colunas são os vetores v₁,v₂,...,v_n, A é a matriz coluna formada pelos coeficientesa₁,a₂,...,a_ne V é a representação matricial do vetor v.

E2) Sejam os vetores v1=(2,−1,2) , v2 =(0,3,−2) e v3=(4,2,0).

a) Escreva, se possível, o vetor v=(2,5,−2) como CL dos vetores v₁ e v₂. b) Escreva, se possível, o vetor

v

₁ como CL dos vetores

v

₂ e

v

₃.

c) Determine o valor de “m” para que o vetor u=(6,0,m) s eja CL dos vetores v₁ e v₂ . d) Determine os vetores do

ℜ

3 que podem ser escritos como CL dos vetores v₁, v₂ e v₃. e) Determine os vetores do ℜ3 que podem ser escritos como CL dos vetores v₃ ev₄=(2,1,0). E3) Sejam os vetores _

     = 1 1 0 1 v₁ , _     − = 1 0 2 1 v₂ e _      − = 1 2 1 0 v₃ de V = M₂_x₂.

a)Escreva, se possível, o vetor _      = 5 0 8 1

v como CL dos vetores

v

₁,

v

₂ e

v

₃. b)Escreva, se possível, o vetor

v

como combinação linear dos vetores

v

₁ e

v

₂. E4) Sejam os vetores p₁=t2−2t+1,p₂=t+2ep₃=2t2−t de V = P₂.

a)Escreva, se possível, o vetor p=5t2−5t+7 como CL dos vetores p1,p2 e p3.

Nota: As operações de adição e multiplicação por escalar aplicadas sobre p =at2+bt+c e sobre p = (a,b,c) produzem o mesmo resultado. Por que ?

Sugestão: represente o vetor at2+bt+c pela terna (a,b,c). b)Escreva, se possível, o vetor p como CL dos vetores p₁ e p₂.

(25)

6.2. RESPOSTAS

E1) v = 3v1 - 2v2

E2) a) v=v1+2v2 b) Impossível c) m=4 d) ∀v∈ℜ3 e) v=(2y,y,0) , y∈ℜ

E3) a) v=4v1+3v2-2v3 b) Impossível

(26)

7. SUBESPAÇO VETORIAL GERADO

7.1. INTRODUÇÃO

Nesta secção, veremos como determinar todos os vetores do espaço vetorial que

podem ser obtidos a partir de vetores dados.

E1) Mostre que se V é um espaço vetorial e v₁,v₂,...,v_n∈V, então o conjunto S =

{

v

∈

V

/

v

=

a

₁

v

₁

+

a

₂

v

₂

+

...

+

a

_n

v

_n

,

a

_i

∈

ℜ

}

é um subespaço vetorial de V.

Sejam A =

{

v₁,v₂,..,v_n

}

um conjunto de vetores de um espaço vetorial V , e S =

{

v∈V/v=a₁v₁+a₂v₂+...+a_nv_n,a_i∈ℜ

}

. O conjunto S também representado por G(A)

ou [

v

₁

,

v

₂

,...,

v

_n] é denominado subespaço vetorial gerado por A ou pelos vetores

v

₁

,

v

₂

,...,

v

_n.

Exemplos os exercícios E2d e E2e página 20.

E2) Se V =

ℜ

2, determine o subespaço gerado por: (Quais são os subespaços do ℜ2? Veja página 18 )

a) v₁=(1,2) b) v₁=(1,−2) e v₂ =(−1,2) c) v₁=(1,0) e v₂=(2,2) d) v1=(1,2) , v2=(1,1) e

v

3

=

(

−

1 ,

1 )

e) v1=(1,2) e v2=(0,−1)

E3) Se V =ℜ3, determine o subespaço gerado por: (Quais são os subespaços do ℜ3? Veja página 18)

a) v1=(1,3,2) b) v1=(1,3,2) e v2 =(−2,−6,−4) c) v1=(−1,1,2) e v2 =(1,1,1)

d) v1=(1,−1,1) , v2=(−2,2,−2) e v3=(1,1,1) e) v1=(1,0,0) , v2=(0,2,0) e v3=(0,0,3)

f) v₁=(1,1,0) , v₂=(0,1,1), v₃=(1,1,1) e v₄=(2,0,−1) E4) Se V =

M

₂_x₂, determine o subespaço gerado por:

a) _      = 0 0 0 1 v1 ,       = 0 0 1 1 v2 ,       = 1 2 1 0 v3 e       = 1 1 1 1 v4 b) _      − − = 2 1 2 1 v1 ,       = 4 3 1 2 v2 e       − − = 6 2 1 3 v3 c) _      = 0 0 0 1 v₁ e _      = 0 0 2 3 v₂ d) _      − − = 2 1 1 2 v1

(27)

E5) Se V = P₂, determine o subespaço gerado por:

a) v1=2t2 +t+2 , v2=t2−2t e v3=−t2−3t−2

b) v1=t−1 e v2=t2

c) v1=−t2+2 e v2=2t2−3

E6) Determine um conjunto gerador do conjunto solução do sistema:

       = + − + = + − + = − + − − = + + 0 t 9 z y 4 x 4 0 t 3 z y x 0 t 5 z y 2 x 2 0 t 2 y x

Sugestão: Procure escrever o vetor genérico do conjunto solução como combinação linear de vetores do ℜ4.

7.2. RESPOSTAS

E2) a)

{

(x,y)∈ℜ2/y=2x

}

b)

{

(x,y)∈ℜ2/y=−2x

}

c) ℜ2 d) ℜ2 e) ℜ2 E3) a)

{

(x,y,z)∈ℜ3/y=3x e z=2x

}

b)

{

(x,y,z)∈ℜ3/y=3x e z=2x

}

c)

{

(x,y,z)_∈_ℜ3/x₋3y₊2z₌0

}

_d)

{

₍_x_,_y_,_z₎_∈_ℜ3_/_z₌_x

}

_e)_ℜ3_f)_ℜ3 E4) 4) a) M2x2 b)         ℜ ∈       c , b , a / a 2 c b a c)         ℜ ∈       b , a / 0 0 b a d)         ℜ ∈       − − b / b 2 b b b 2 E5) a)

{

at2+bt+c/4a+2b−5c=0

}

b)

{

at2+bt+c/b+c=0

}

c)

{

at2+c/a,c∈ℜ

}

E6) S=

{

(−y−2t,y,t,t)/y,t∈ℜ

}

(28)

8.DEPENDÊNCIA E INDEPENDÊNCIA LINEAR

8.1. INTRODUÇÃO

Em nosso estudo, temos grande interesse na determinação do menor conjunto de

vetores que gera um espaço vetorial, para isto, precisamos das noção de dependência e

independência linear.

Sejam os vetores v₁,v₂,...,v_n de um espaço vetorial V e a equação a1v1+a2v2 +...+anvn =0 (1). Os vetores v₁,v₂,...,v_n são linearmente independentes (LI) caso a equação (1) admita apenas a solução trivial a1=a2=...=an =0.

Se a equação (1) admitir soluções distintas da trivial, isto é, algum ai≠0, então os vetores v1,v2,...,vn

são linearmente dependentes (LD) .

E1) Verifique se os vetores são LI ou LD.

a)v1=(1,2,3) e v2 =(−2,−4,−6) b)v1=(1,−1,2), v2 =(2,0,3) e v3=(0,−2,1)

c)v1=(0,1,2) , v2=(1,2,3) e v3=(1,3,0)

8.2. PROPRIEDADES

a) Um conjunto com dois ou mais vetores é LD sse pelo menos um dos vetores é CL dos demais. b) Se um dos vetores de um conjunto é o vetor nulo então este conjunto é LD.

c) Se um conjunto é LD então qualquer conjunto que contém este também é LD.

d) Se um conjunto é LI então qualquer subconjunto deste também é LI.

E2) Observe a figura abaixo e justifique cada afirmação

y ℜ2

v

₃ v₁ v₄

v

₂ 0 x

a) 0 é LD b)

v

₁ é LI c)

v

₂ e

v

₄ são LD d) v₁e v₂ são LI e) v₁, v₂ e v₃ são LD

(29)

E3) Observe a figura abaixo e justifique cada afirmação. z v₅

v

₃ 0 v₁ v₂ y v₄ x xoy

a) 0 é LD b) v₁ é LI c) v₃ e v₅ são LD d) v₁ev₃ são LI e) v₁, v₂ e v₄ são LD

f) v₁, v₂ e v3 são LI g) v1, v2, v3 e v4 são LD h) v1, v2, v3 , v4 e v5 são LD.

E4) Complete a tabela abaixo:

número d e vetores LD LI 1 ℜ2 2 3 ou mais 1 _ℜ3₂ 3 4 ou mais

E5) Verifique se os vetores são LI ou LD.

a) _      = 1 3 2 0 v₁ , _      − = 1 2 0 1 v₂ e _      − = 0 1 1 2 v₃ b) _      = 0 0 0 1 v1 ,       = 0 0 1 2 v2 ,       − = 0 1 2 3 v3 e       − = 0 1 1 0 v4 c)v₁=x−1, v₂=2x2−3x−5 e v₃=x2−3x−1 d)v1=1+x, v2=x e v3=x2

(30)

8.3. RESPOSTAS

E1) a) LD b)LD c) LI

(31)

9. BASE E DIMENSÃO

9.1. INTRODUÇÃO

Nesta secção, estamos interessados em encontrar, dentro de um espaço vetorial V, os

menores conjuntos finitos de vetores, tais que qualquer vetor de V seja combinação linear

de um deles, isto é, queremos determinar os conjuntos com um número mínimo de vetores

que gere V. Um conjunto com estas propriedades será denominado base do espaço vetorial

V e o número de vetores desses conjuntos de dimensão de V.

Exemplo: Com base na figura abaixo, determine um conjunto com o menor número de vetores que gere o_ℜ2_. Solução: Queremos determinar um conjunto de vetores que gere o

ℜ

2e que tenha o menor número de vetores escolhidos dentre v₁,v₂,v₃,v₄ev₅ .

a) Seja A o conjunto {v ,₁ v ,2 v ,3 v ,4 v }. A é LI ou LD ? ... 5

v ₃

ℜ

2

v₁ Qual é o subespaço vetorial do

ℜ

2, gerado por A? ... v ₄

v b) Construa um conjunto B, retirando um vetor do conjunto A ₂ v₅

B = {... , ... , ... , ... }. O conjunto B é LI ou LD ?...

Qual é o subespaço vetorial do ℜ2, gerado pelo conjunto B? ...

c) Construa um conjunto C, retirando um vetor do conjunto B. C = {... , ... , ... }.

O conjunto C é LI ou LD ? ...

Qual é o subespaço vetorial do ℜ2, gerado pelo conjunto C? ...

d) Construa um conjunto D, retirando um vetor do conjunto C, de modo que o gerado continue sendo o

ℜ

2. D = {... , ... },

Este conjunto é LI ou LD ? ...

Se for retirado um vetor do conjunto D, o gerado será o ℜ2? ...

Portanto, D é um conjunto com o menor número de vetores que gera oℜ2. Note que dos conjuntos considerados D é o único LI.

Um conjunto com estas propriedades, LI e que gera um espaço vetorial V, é denominado de base

de V. Portanto D é uma base do

ℜ

2.

Apresente, a partir da figura acima, outra base do

ℜ

2: E = {... , ... } Quantas bases podemos construir com vetores do ℜ2?...

(32)

9.2. BASE

Seja B =

{

v₁,v₂,...v_n

}

um subconjunto de um espaço vetorial V. B é uma base de V, se: a) B é LI;

b) B gera V.

E1) Sejam os vetores v1 = (1,0), v2 = (-2,0) e v3 = (1,2). Verifique se B é uma base do ℜ2.

a) B = {v₁} b) B = {v₁,v₂} c) B = {v₁,v₂,v₃} d) B = {v₁,v } ₃

E2) Sejam os vetores v1=(1,2,0),v2 =(0,1,1),v3=(−1,0,0)ev4 =(1,1,−1).Verifique se B é uma base do 3

ℜ . a) B = {v₁} b) B = {v ,₁

v

2} c) B = {v1,v2,v3} d) B = {v1,v2,v4}

e) B = {v₁,v₂,v₃,v₄}

E3) Seja o conjunto B = {(1,-3,-2),(2,-1,1)}.

B é LI ou LD ?...

B é uma base do ℜ3?

Qual é o subespaço S do ℜ3gerado por B ? S = ... Logo, B é uma base de ...

9.3. PROPRIEDADES

1. Todo conjunto LI de vetores de um espaço vetorial é uma base do subespaço por ele gerado.

E4) Seja o conjunto B do exercício E3 anterior. Se for acrescentado ao mesmo, um ou mais vetores de S , o o conjunto resultante será LI ou LD?

2. Se B = { v ,₁ v ,...,₂ v } é uma base de um espaço vetorial V, então todo subconjunto de V com mais de _n “n” vetores é LD.

3. Se B = {v ,₁ v ,...,₂ v } é uma base de um espaço vetorial V, qualquer vetor de V se escreve de modo _n único como combinação linear dos vetores de B, isto é, existe uma única n -upla (a₁,a₂,...,a_n), tal que

v v a ... v a v a1 1+ 2 2 + + n n = .

4. Todas as bases de um espaço vetoria l V, têm o mesmo número de vetores.

(33)

9.4. DIMENSÃO DE UM ESPAÇO VETORIAL

A dime nsão de um espaço vetorial V é o número de vetores de qualquer base de V.

Exemplo: dimℜ2=... e dimℜ3=...

E5) Qual a dimensão do espaço vetorial S =

{

(x,y,z)∈ℜ3/x+y−z=0

}

?

Solução: Podemos escrever o vetor genérico de S em função de duas variáveis: v = ( x , y ,x + y ).

∀(x,y,z)∈S (x,y,z)=( x , y , x + y.) ⇔ (x,y,z)=(x,0,x)+(0,y,y) (x,y,z)=x.(1,0,1)+y.(0,1,1)(1)

Logo, qualquer vetor (x,y,z) de S é CL dos vetores v1=(1,0,1) e v2 =(0,1,1), isto é, o gerado pelos vetores

v1 e v2 é o conjunto S . Além disso, como B = {v1,v2}é LI , B é uma base de S. Portanto, dim S = 2 ( B tem

dois vetores). Na igualdade (1), pode -se observar que o número de vetore s é igual ao número de variáveis.

Então, podemos dizer que:

A dimensão de um espaço vetorial V é igual ao número de variáveis livres do vetor genérico de V.

Se a dimensão de um espaço vetorial V é n, então qualquer conjunto LI de “n” vetores de V é uma base de V.

E6) Determine a dimensão e apresentar uma base para cada um dos subespaços:

a) S1=ℜ4 b) S2=P2 c) S3=M2x1 d) S4=

{

(x,y)∈ℜ2/y=2x

}

e) S5=

{

(x,y,z)∈ℜ3/2x−y−z=0

}

f)         = + = ∈       = M /z x yet 0 t z y x S₆ ₂_x₂

E7)Determine a dimensão de cada um dos subespaços:

a) S1 = ℜn b)S2 =M_mxn

c

) S3 =P_n

E8)Determine a dimensão e apresentar uma base para cada um dos subespaços:

a) S1=ℜ5 b) S2 =P3 c) S3 =M2x2 d) S4 =

{

(x,y)∈ℜ2/y=−x

}

e) S5=

{

(x,y,z)∈ℜ3/x−y+2z=0

}

f)         = = ∈       = M /z xet 0 t z y x S6 2x2

(34)

E9) Sejam os vetores v₁ _      = 0 0 0 1 , v₂ _      = 0 0 1 2 , v₃ _      − = 0 1 2 3 , v₄ _      − = 1 3 1 2 e _      − = 0 1 1 0 v5

verifique se B é uma base de M₂_x₂.

a) B = {v₁} b) B = {v₁,v₂} c) B = {v₁,v₂,v₃} d) B = {v₁,v₂,v₃,v₄}

e)B = {v₁,v₂,v₃,v₄,v₅}

E10) Sejam os vetores v₁=x2, v₂=1−x2, v₃=2−x, v₄=x+x2 verifique se B é uma base de P₂.

a) B = {

v

₁} b) B = {

v

₁,

v

₂} c) B = {

v

₁,

v

₂,

v

₃} d) B = {

v

₁,

v

₂,

v

₃,

v

₄}

E11) Um certo espaço vetorial V é gerado por cinco vetores LD. O que pode ser dito sobre a dimensão de V?

E12) Determine um vetor “u”, tal que B= {u,(1,0,2),(0,1,1)} seja uma base do _ℜ3_.

E13) Mostre que o conjunto solução de cada sistema abaixo é um subespaço vetorial e ache uma base para cada um deles: a)    = − + − = − + + 0 t z y x 0 t z y x b)     = − − + = − − + = − + + 0 t 3 z y 2 x 2 0 t z y x 0 t 4 z 2 y x

E14)Dê um exemplo de um subespaço de M₂_x₂ de dimensão 3.

E15)Encontre uma base para o ℜ3

que inclua:

a) (-1,2,0) b) (-1,2,0) e (1,0,3)

9.5. RESPOSTAS

E1) a) Não b) Não c) Não d) Sim

E2) a) Não b) Não c) Sim d) Não e) Não

E6) a) 4 b) 3 c) 2 d) 1 e) 2 f) 2

E7) a) n b) mxn c) n + 1

E8) a) 5 b) 4 c) 4 d) 1 e) 2 f) 2

E9) a) Não b) Não c) Não d) Sim e) Não

E10) a) Não b) Não c) Sim d) Não

(35)

10. COMPONENTES DE UM VETOR E MUDANÇA DE BASE

10.1. INTRODUÇÃO

Existe uma estreita ligação entre a noção de base e a de um sistema de coordenadas. Por exemplo, no

ℜ

2

, cada base representa um sistema de coordenadas, onde os vetores determinam a direção, sentido e unidade dos eixos OX e OY, respectivamente. Portanto, cada vetor do espaço pode ser escrito de forma única como combinação linear dos vetores da base.

10.2. COMPONENTES DE UM VETOR

Seja B = {v₁,v₂,...,v_n} uma base de um espaço vetorial V.∀v∈ V,v=a₁v₁+a₂v₂ +...+a_nv_n. Os reais a₁,a₂,...,a_n são chamados de componentes ou coordenadas de v na base B e se representa por

) a ,..., a , a ( v_B = ₁ ₂ _n . Notação matricial:               = n 2 1 B a : a a v .

E1) Sejam as bases A = {v1=(1,0),v2=(0,1)} e B = {u1=(2,0),u2 =(1,3)} do

2

ℜ e o vetor v=(8,6). Determine v_A e

v

_B.

E2) Considere o exerc ício E1 e apresente, nos gráficos abaixo, as representações do vetor

v

nas bases A={v1,v2} e B={u1,u2}.

y y y’

v v

u₂

v

₂

0

v1

x 0

u1

x’ x

v = ...v1 + ...v2 ⇔ vA= (... , ... ) v = ...u1 + ...u2 ⇔ vB= (... , ... )

10.3. MUDANÇA DE BASE

Como a cada base, corresponde um sistema de coordenadas, realizar uma mudança de base, é substituir o sistema de coordenadas por outro, isto é, é substituir as componentes de um vetor do espaço em relação ao primeiro sistema pelas componentes do mesmo vetor do espaço em relação ao outro.

(36)

E2) Sejam A = {v1= (-1,2),v2= (3,-1)} e B = {u1= (1,-1),u2= (2,0)} bases do ℜ2. Calcule

v

_B, sabendo que vA =(4,3). Se vA = (a1,a2) ⇔ v=a1v1+a2v2 ⇔ v=4.(−1,2)+3.(3,−1)⇔v = ⇔            − − 3 4 1 2 3 1 v = AvA (1) Se vB = (b1,b2) ⇔ v=b1u1+b2u2 ⇔v=b1.(1,−1)+b2.(2,0)⇔ v =             − 2 1 b b 0 1 2 1 ⇔v = BvB (2)

De (1) e (2) , AvA. = BvB que éa relação entre vetores nas bases A e B.

Da relação acima, v_B =B−1AvA e v_A =A−1BvB , onde:

-B−1A é denominada matriz mudança de base de A para B e é representada por MA_B. -A−1B é denominada matriz mudança de base de B para A e é representada por MB_A.

Retornando o exercício E2:

          − = = − 2 1 2 1 1 0 . A B MAB 1          − =       − − 1 2 1 1 2 1 2 3 1 logo

v

_B=

M

A_B.vA      − =                 − = 5 5 3 4 1 2 1 1 2 vB= (-5,5) Interpretação gráfica:

v

A B

M

v_A

vB

E3) Sabendo que A = {(1,2),(-3,-5)} e B = {(1,1),(1,0)} são base do _ℜ2_{, determine:}

a)v_B, sabendo que vA=(−1,1) b) vA, sabendo que vB =(2,−1)

E4) Mostre que as matrizes MA_Be M são inversas. B_A

E5) Se _      − − − = 5 1 9 0 MA_B e B = {(1,-2),(-2,3)}, determine a base A. E6) Se           − − = 1 0 1 1 1 0 0 1 1 MB_A e          − = 3 2 1 v_B , determine v_A.

E7) Se A é uma base de um espaço vetorial de dimensão n, qual é a matriz mudança de base de A para A.

(37)

E8) Considere as bases } 1 6 1 v , 1 2 3 v , 1 0 1 v { A ₁ ₂ ₃           − =           − − =           = = e } 0 3 2 u , 1 3 2 u , 0 1 1 u { B 1 2 3           =           =           = = do espaço

M

₃_x₁. a)Determine a MA_B. b) Se           − − = 5 8 5 W calcular W_B.

E9) Considere as bases A={p₁=4−3x,p₂=3−2x} e B={q₁=x+2,q₂=2x+3} a) Determinar a matriz MA_B.

b) Calcular p_A, onde p=x−4

c) Use a matriz mudança de base para encontrar

p

_B

d) Calcular a matriz MB_A

e) Com o resultado de “c” e de “d”, calcule p_A.

E10) Os sistemas xOy e x’Oy’ da figura ao lado são definidos pelas bases y x’ a S={(1,0),(0,1)} e P = {u1= _       − =         2 1 , 2 3 u , 2 3 , 2 1 2 }, y’ 2 vS

respectivamente. Utilizando a matriz u2 u1

4 x mudança de base, determine:

b a) vP = (a,b), sendo vS = (4,2) b) vS, sendo vP = (4,2 )

10.4. RESPOSTAS

E1) vA= (8,6) e vB= (3,2) E2) vB= (-5,5) E3) a) vB=(-7,3) b) vA=(1,0) E5) A={(2,-3),(1,3)} E6) vA=(1,1,-4) E7) In E8) a)           − − − − − = 6 6 2 1 1 1 9 13 3 MAB b) WB=           − − 18 5 31 E9) a) _      − − = 7 10 12 17 MAB b) pA= 5x - 8 c) pB= -11x + 6 d)      − − = 17 10 12 7 MBA

(38)

11. PRODUTO INTERNO

11.2. INTRODUÇÃO

Nesta secção estamos interessados em formalizar o conceito de comprimento de um vetor . Com isso, teremos um processo para medir num espaço vetorial, da mesma forma que se mede no plano e no espaço. O produto interno apresenta aplicações na Estatística e no Cálculo Diferencial e Integral. Poderíamos definir também,com o produto interno, ângulo e distância entre vetores .

Seja V um espaço vetorial real . Um produto interno sobre V é uma função que a cada par de vetores u,v∈V, associa um número real, denotado por <u,v> ou por u.v, satisfazendo as propriedades :

i) u.u≥0, e u.u = 0 sse u = 0 ii) u.v = v.u

iii) (α u).v = u.( α v) = α (u.v) , ∀α∈ℜ iv) u.(v+w) = u.v + u.w

O espaço vetorial V, neste caso, é chamado espaço vetorial euclidiano.

Exemplos :

a) V =ℜ2, u = (x1 ,y1)∈ℜ2, v = (x2,y2)∈ℜ2com u.v = 2x1x2 + 3y1y2.

b) O produto escalar usual doℜn.

c) V=P2 , p = a2x2 +a1x +a0 , q = b2x2 + b1x +b0 com p.q = a2b2 + a1b1 + a0b0.

d) O espaço V das funções reais continuas no intervalo [a,b] com f,g∈V e f.g =

∫

b

af(x)g(x)dx e) V=M2x2 e ae bf cg dh h g f e . d c b a + + + =            

E1) Seja o exemplo c . Se p=5x²+3x-2 e q=4x²-6 , calcule p.q e q.q .

E2) Seja o exemplo d , com a=0 e b=1 . Se f(x) = x e g(x) = x² . Calcule f.g , f.f e g.g .

E3) Seja o exemplo e . Se u =

       ₋ ₋ =         ₋ 0 5 3 2 v e 3 2 1

2 _{calcule u.v e u.u .}

Norma, módulo ou comprimento de um vetor v de um espaço euclidiano é o número real não-negativo, indicado por ||v|| ou por | v | e definido por | v | = v.v.

(39)

Se | v |=1 , isto é, v.v=1, v é chamado vetor unitário. Neste caso , dizemos que v está normalizado.

Todo vetor não-nulo v pode ser normalizado, fazendo-se | v | v .

E5) Nos exercícios E1, E2 e E3 , normalize os vetores p , q , f , g , u e v.

11.2. RESPOSTAS

E1) p.q = 32 q.q = 52 E2) f.g = 4 1 f.f = 3 1 g.g = 5 1

E3) u.v =11 u.u =16

E4) | p | = 38 | q | =2 13 | f | = 3 3 | g | = 5 5 | u | = 4 | v | = 6 E5) 19 38 x 38 38 3 x 38 38 5 | p | p ₌ 2₊ ₋ 13 13 3 x 13 13 2 | q | q ₌ 2 ₋ x 3 | f | f = 5x2 | g | g ₌             − = 4 3 2 1 4 1 4 2 | u | u             − − = 0 6 5 2 1 6 2 | v | v

(40)

12. ORTOGONALIDADE

12.1. VETORES ORTOGONAIS

Dois vetores u e v de V são ortogonais se e somente se u.v=0 . u⊥v ⇔u.v = 0

E1) Verifique se os vetores do espaço vetorial V são ortogonais

a) u = (-1,2) , v = (2,1) , V =ℜ2 b) u = ( -1,3,-4), v = (2, -2,1), V =ℜ3 c) u = (0,-2,3, -5), v = (7,-2, 2,-2), V =ℜ4 d) p = x2 , q = x, V = P2, com p.q =

∫

− 1 1p(x)q(x)dx e) A= _     − =       − 4 2 1 3 B , 3 1 4 2 , V = M2x2 , com ae bf cg dh h g f e . d c b a + + + =             f) A= _      − − 2 4 5 3 , B= _      − 18 5 3 1

, V = M2x2 , com o produto interno de 1e.

12.2. BASE ORTOGONAL E BASE ORTONORMAL

Uma base B de um espaço vetorial V é ortogonal se os seus vetores são dois a dois ortogonais. Uma base B de um espaço vetorial é ortonormal se B é ortogonal e todos os seus vetores são unitários. B é ortogonal : vi.vj = 0 para i≠j.

B é ortonormal : vi.vj =0 para i≠j e vi.vj = 1 para i=j. E2)Construa uma base ortogonal doℜ2.

E3)Construa uma base ortonormal a partir da base considerada no exercício E2.

E4)Repita os exercíc ios E2 e E3 para o ℜ3. Nos exercícios E5 a E8, considere V=ℜ3.

E5) Determine o vetor v3 de modo que B={v1=(2,-2,1), v2=(1,2,2),v3} seja uma base ortogonal.

E6) Construa uma base ortonormal a partir da base B do exercício E5 .

E7) Determine os vetores v2 e v3 de modo que B={v1=(1,2,-1),v2,v3} seja uma base ortogonal.

E8) Construa uma base ortonormal a partir da base B do exercício E7 .

E9) Determine uma base ortogonal para cada um dos seguintes subespaços:

a) S={(x,y,z)

∈

ℜ3/ x-y+z = 0} b) S={(x,y,z)∈ℜ3/ z=2x } c) S={(x,y,z,w)∈ℜ4/ w-y=0} E10)Construa bases ortonormais para os subespaços do exercício E9.

(41)

E11)Encontre as componentes do vetor v=(-4,0,5) na base A={(1,1,0),(-1,1,1),(1,-1,2)}

E12) Encontre as componentes de v na base ortonormal construída a partir de A.

E13) Mostre que as componentes de um vetor v de um espaço vetorial V em relação a uma base ortogonal B={v1,v2,...vn} de V são ai = v.vi / vi.vi , com i = 1,...,n. Estas componentes são chamadas coeficientes

de Fourier.

Sugestão: Suponha que B={v1,v2,...,vi,...,vn} seja ortogonal e multiplique escalarmente os dois membros

da equação a1v1+a2v2+...+aivi+...+anvn = v por vi.

E14) Como ficam os coeficientes de Fourier se a base B for ortonormal?

E15) Resolva os exercícios E11 e E12 com os resultados dos exercícios E13 e E14.

12.3. PROCESSO DE ORTOGONALIZAÇÃO DE GRAM -SCHMIDT

O processo de Gram-Schmidt que nos possibilita construir uma base ortogonal B={u1,u2,...,un} de um

espaço vetorial V a partir de uma base qualquer A={v1,v2,...,vn} de V, consiste no seguinte:

Considera-se u1 = v1 e ui = vi - i 1 1 i 1 i 1 i i 1 1 1 1 i _._u u . u u . v .... u . u . u u . v − − − −       − −       , para i=2,...,n.

E16)Use o processo de Gram-Schmidt para transformar B em uma base ortogonal:

a) B={(1,-2),(0,3)} b) B={(1,1,1),(1,0,1),(1,2,-2)}

c) B={(0,1,-1),(0,1,1),(1,1,1)} d) B={(1,0,0,1),(0,1,1,0),(1,0,0,-1),(1,1,1,1)}

e)B={( -1,1,0),(2,0,1)} f) B={(0,0,1,0),(1,0,0,2),(1,-1,0,1)}

E17)Use as bases ortogonais obtidas no exercício E16 para construir bases ortonormais.

12.4. RESPOSTAS

E1) a) SIM b) NÃO c) NÃO d) SIM e) SIM f) NÃO

E5) v=(2y,y,−2y),y≠0 E6)             ₋             − 3 2 , 3 1 , 3 2 , 3 2 , 3 2 , 3 1 , 3 1 , 3 2 , 3 2

(42)

13. TRANSFORMAÇÕES LINEARES

13.1. INTRODUÇÃO

As transformações lineares são funções onde o domínio e o contradomínio são

espaços vetoriais, isto é, tanto a variável independente como a variável dependentes são

vetores. Este tipo de função possui uma propriedade importante: preserva a soma e a

multiplicação por escalar. As transformações lineares apresentam aplicações na Física,

Engenharia, Ciências Sociais e em vários ramos da Matemática.

13.2. TRANSFORMAÇÃO LINEAR

Sejam V e W espaços vetoriais. Uma função f de V em W é chamada transformação linear (TL) , se i) f(u+v) = f(u) + f(v) , ∀u,v∈V

ii) f(α u) = α f(u), ∀α∈ℜe ∀u∈V

No caso de V = W, f é chamada operador linear sobre V.

E1) Mostre que as transformações abaixo são lineares. .

a) f:ℜ→ℜ, dada por f(x) = 2x b) f:ℜ2→ℜ3, dada por f(x,y) = (x , x+y , y). E2) Quais das seguintes transformações são lineares ?

a) f(x)= 2x + 1 b )f(x,y) = xy c)f(x,y,z) = ( 0 , 0 , z ) d)f(x,y) = | x+y |

E3) Numa TL. f: V→W, f (u) =2u e f(v)=3v , calcule :

a) f(u+v) b) f(3u) c) f(u -v) d) f(2u+5v)

Importante:

a) Se f: V→W é uma TL então f(0V) = 0W.

b) Em qualquer TL, a imagem de uma combinação linear de vetores é igual a combinação linear das

imagens com os mesmos coeficientes, isto é, f(a1v1 + a2v2 + ... + anvn ) = a1f(v1) + a2f(v2) + ...+ anf(vn).

E4) Mostre que a transformação identidade : f: V→V , f(v) = v é linear.

E5) Seja f:ℜ3→ w a projeção ortogonal do ℜ3sobre o plano xy, indicado por w . a)Encontre a f(x,y,z) b)Determine f (2,-1,3)

E6) Se f:ℜ2→ℜ3 é linear e u=(1,2), v=(-1,3), f(u)= (2,-1,-2) e f(v)=(-2,-4,-3) calcule: a) f(u+v) b) f(3u) c) f(2,4) d) f(2u-3v)