Caderno de Física Computacional

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Caderno de

Física Computacional

Métodos computacionais II

Álgebra matricial básica

Prof. Dr. Luís Fernando de Oliveira

Universidade do Estado do Rio de Janeiro – UERJ Centro de Tecnologia e Ciência – CTC

Instituto de Física Armando Dias Tavares – IFADT

(2)

(3)

Sumário

III Métodos computacionais em álgebra 1

3 Métodos em álgebra 3

3.1 Produto de matrizes . . . 3

3.2 Operações básicas . . . 4

3.3 Inversão de matrizes . . . 8

3.4 Determinante . . . 11

3.4.1 Regra de Sarrus . . . 11

3.4.2 Método deLaplace . . . 15

3.4.3 Eliminação deGauss . . . 17

3.5 Solução de sistemas lineares . . . 20

3.5.1 Método de eliminação de Gauss . . . 20

3.5.2 Método de fatoração LU . . . 20

3.6 Ajuste de dados pelo método dos mínimos quadrados. . . 20

3.6.1 Ajuste linear . . . 22

Códigos em Fortran 25

(4)

(5)

Parte III

Métodos computacionais em álgebra

(6)

(7)

3

Métodos em álgebra

3.1 Produto de matrizes

O produto de matrizes é resultado de um conjunto de operações de somatório entre linhas e colunas das matrizes envolvidas. Cada elemento da matriz resposta é resultado deste tipo de operação que se assemelha muito ao produto escalar.

Sejam as matrizesAm×_p(mlinhas porpcolunas) eB_p×_n(plinhas porncolunas). O produto da matrizAporBgera como resultado a matrizC, isto é,Am×_pB_p×_n=C_m×n. Como pode ser visto,Cpossuimlinhas encolunas. Cada elementocij da matrizCé resultado do produto da

i-ésima linha da matrizA pelaj-ésima coluna da matrizB. As linhas e colunas de uma matriz vistas isoladamente são como sequências simples de números, vetores formados porn-uplas, Daí a expressão do produto de uma linha por uma coluna ser equivalente ao produto escalar de duas sequências ou vetores. Assim, os elementos cij são o resultado da seguinte operação:

cij = p X k=1

aikbkj

onde o índiceiindica o produto da i-ésima linha deA pelaj-ésima coluna deB.

O Algoritmo 1 implementa o produto entre duas matrizes e o retorno da matriz resposta, todas passadas como argumentos. As matrizes devem ter sido alocadas devidamente antes de se utilizar este procedimento.

Algoritmo 1: Subrotina para produto entre matrizes.

SubrotinaProd_Mat (a,b,c,m,p,n)

declarar a[∗,∗],b[∗,∗],c[∗,∗]numéricos (por referência) {entradas: a, b; saída: c }

declarar m,p,n numéricos(por cópia) {dimensões das matrizes }

declarar i,j,k numéricos {variáveis contadoras }

1. paraide1 até m,fazer { para cada linhas de a } 2. | paraj de 1 atén,fazer { para cada coluna de b }

3. | | c[i, j]←0 { usando o próprio elemento como acumulador } 4. | | parakde 1até p,fazer

7. | ﬁm para 8. ﬁm para Fim subrotina

(8)

3.2 Operações básicas

Denomina-se como matrizes elementares as matrizes derivadas de uma matriz identidade cujas linhas foram manipuladas para produzir um efeito especíﬁco quando multiplicadas por outras matrizes.

O modelo base da matriz elementar, representada aqui como U, é a matriz identidade. As matrizes elementares dão suporte a três operações básicas:

1. multiplicação da i-ésima linha por um escalar β, representada pela seguinte notação:

Li ←βLi. Esta operação é obtida quandouii=β.

U= i           

1 0 · · · 0 · · · 0 0 1 · · · 0 · · · 0 ... ... ... ... ... 0 0 · · · β · · · 0 ... ... ... ... ... 0 0 · · · 0 · · · 1

           i

Exemplo: multiplicar a terceira linha da matriz Apor −2 (L3 ←(−2)L3):

    

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 −2 0

0 0 0 1

    

| {z }

U_:L₃←−2L₃ ·     

3 0 −1

2 1 3

3 2 −1 −1 5 −2

    

| {z }

A =     

3 0 −1

2 1 3

−6 −4 2 −1 5 −2

    

| {z }

U·A

2. permuta envolvendo ai-ésima e aj-ésima linha: Li ↔Lj. Esta operação é obtida quando

uij =uji = 1 euii=ujj = 0.

U= i j                 

1 0 · · · 0 · · · 0 · · · 0 0 1 · · · 0 · · · 0 · · · 0 ... ... ... ... ... ... 0 0 · · · 0 · · · 1 · · · 0 ... ... ... ... ... ... 0 0 · · · 1 · · · 0 · · · 0 ... ... ... ... ... ... 0 0 · · · 0 · · · 0 · · · 1

                 i j

Exemplo: permutar a segunda linha da matrizA com a última (L2 ↔L4):

    

1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0     

| {z }

U:L2↔_L₄ ·     

3 0 −1

2 1 3

3 2 −1 −1 5 −2

    

| {z }

A =     

3 0 −1 −1 5 −2 3 2 −1

2 1 3

    

| {z }

U·A

(9)

5

é obtida quandouij =β.

U= i j                 

1 0 · · · 0 · · · 0 · · · 0 0 1 · · · 0 · · · 0 · · · 0 ... ... ... ... ... ... 0 0 · · · 1 · · · β · · · 0 ... ... ... ... ... ... 0 0 · · · 0 · · · 1 · · · 0 ... ... ... ... ... ... 0 0 · · · 0 · · · 0 · · · 1                  i

Exemplo: substituir a primeira linha da matriz A por ela menos a segunda (L1 ← L1+ (−1)L2):

    

1 −1 0 0

0 1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

    

| {z }

U:L1←_L₁−_L₂ ·     

3 0 −1

2 1 3

3 2 −1 −1 5 −2

    

| {z }

A =     

1 −1 −4

2 1 3

3 2 −1 −1 5 −2

    

| {z }

U·A

As matrizes elementares podem ser combinadas na forma de uma sequência de produtos para produzir um resultado especíﬁco. Por exemplo, vamos transformar uma matrizAdada de tal maneira que a primeira coluna seja, ao ﬁnal do processo, composta pelo valor 1 na posição

a11e os demais valores restantes na coluna sejam 0. Para isso, comecemos dividindo a primeira linha de A pelo valor contido em a11. Depois, combinaremos cada linha i de A, para i 6= 1,

com a primeira,i= 1, multiplicada pelo primeiro valor da linha i, ou seja, ai1. Seja, então, a seguinte matrizA:

A=     

3 0 −1

2 1 3

3 2 −1 −1 5 −2

    

A primeira operação é “normalizar” a primeira linha: 

   

1/3 0 0 0

0 1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

    

| {z }

L1←1 3L1

·     

3 0 −1

2 1 3

3 2 −1 −1 5 −2

    

| {z }

A =     

1 0 −1/3

2 1 3

3 2 −1

−1 5 −2

    

| {z }

A(1)

Os próximos passo serão combinar a segunda linha com a primeira, a terceira com a primeira e quarta com a primeira de forma que os primeiros valores das linhas se tornem nulos:

    

1 0 0 0

−2 1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

    

| {z }

L2←_L₂−2L₁

·     

1 0 −1/3

2 1 3

3 2 −1

−1 5 −2

    

| {z }

A(1) =     

1 0 −1/3

0 1 11/3

3 2 −1

−1 5 −2

    

| {z }

A(2)     

1 0 0 0

0 1 0 0

−3 0 1 0

0 0 0 1

    

| {z }

L3←_L₃−3L₁

·     

1 0 −1/3 0 1 11/3

3 2 −1

−1 5 −2

    

| {z }

A(2) =     

1 0 −1/3 0 1 11/3

0 2 0

−1 5 −2

    

| {z }

(10)

    

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 1 0

1 0 0 1

    

| {z }

L4←L₄+L₁ ·     

1 0 −1/3

0 1 11/3

0 2 0

−1 5 −2

    

| {z }

A(3) =     

1 0 −1/3

0 1 11/3

0 2 0

0 5 −7/3

    

| {z }

A(4)

A partir deste exemplo, podemos ver que a matriz A(4) é obtida pelo produto das matrizes elementares:     

1/3 0 0 0

0 1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

    

| {z }

L1←1 3L1

·     

1 0 0 0

−2 1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

    

| {z }

L2←L₂−2L₁

· ·     

1 0 0 0

0 1 0 0

−3 0 1 0

0 0 0 1

    

| {z }

L3←_L₃−3L₁

·     

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 1 0

1 0 0 1

    

| {z }

L4←_L₄+L₁ · ·     

3 0 −1

2 1 3

3 2 −1 −1 5 −2

    

| {z }

A =     

1 0 −1/3 0 1 11/3

0 2 0

0 5 −7/3     

| {z }

A(4)     

1/3 0 0 0 −2/3 1 0 0 −1 0 1 0 1/3 0 0 1

    

| {z }

U ·     

3 0 −1

2 1 3

3 2 −1 −1 5 −2

    

| {z }

A =     

1 0 −1/3 0 1 11/3

0 2 0

0 5 −7/3     

| {z }

A(4)

Como o produto das matriz ocorre da esquerda para a direita, observe que a matriz elementar de “normalização” é a primeira operação a ser aplicada. Em seguida, vêm as matrizes de combinação linear. A ordem do produto destas três matrizes de combinação linear não importa. Importa é que a operação de normalização venha antes, pois as combinações lineares dependem da linha normalizada.

Uma outra forma de se obter o mesmo resulta neste exemplo seria a combinação linear das linhas antes de se normalizar a primeira, seguindo a seguinte formulação: Li ←Li+ (−aij_ajj)Lj.

• L2 ←L2+ (−2/3)L1

• L3 ←L3+ (−3/3)L1

• L4 ←L4+ (1/3)L1

Estas operações “zeram” os valores da primeira coluna e deixam intacta a primeira linha. Como último passo, normaliza-se a primeira linha com a operação própria: L1 ← 1₃L1.

Vamos transformar estes procedimentos em algoritmos usando nossa pseudo-linguagem. Pri-meiro, vamos desenvolver uma subrotina que monte a matriz identidade com uma dimensão dada:

Agora, vamos implementar uma subrotina que construa tanto a matriz elementar para mul-tiplicar a i-ésima linha por um escalar dado como a combinação linear da i-ésima linha com a

(11)

7

Algoritmo 2: Subrotina Identidade.

SubrotinaIdentidade (u,n)

declarar u[∗,∗]numérica (por referência) {matriz que sairá como identidade }

declarar nnumérica (por cópia) {dimensão da matriz }

declarar i,j numéricas {variáveis auxiliares }

{se i=j, entãou[i, j] = 1, senão u[i, j] = 0 }

1. paraide1 até n,fazer

2. | paraj de 1 atén,fazer 3. | | se(i==j),então 4. | | | u[i, j]←1

5. | | senão

6. | | | u[i, j]←0

7. | | ﬁm se

8. | ﬁm para 9. ﬁm para

Fim subrotina

Algoritmo 3: Subrotina Comb_Mat.

SubrotinaComb_Mat (u,i,j,alf a)

declarar u[∗,∗]numérica (por referência) { matriz elementar }

declarar i,j numéricas(por cópia) {coordenadas das linhas }

declarar alf a numérica (por cópia) { escalar }

{se j=i, então escalai-ésima linha: Li ←αLi }

{senão, combina i-ésima linha com alfa*j-ésima linha: Li ←Li+αLj } 1. u[i, j]←alf a

(12)

– se os índices das linhas forem iguais, a matriz elementar operará a escala de uma linha; se os índices forem diferentes, o efeito será a da combinação linear:

Usando o exemplo acima, vamos escrever uma lógica (pseudo-código) em pseudo-linguagem para realizar a mesma tarefa que foi realizada manualmente.

Algoritmo 4: Normalizar a primeira coluna de uma matriz dada.

Algoritmo

declarar A[4,3]numérica { mat A: matriz de entrada }

declarar R[4,3] numérica {mat R: matriz resposta }

declarar U[4,4]numérica { mat U: matriz de transformação }

1. A←[[3; 0;−1]; [2; 1; 3]; [3; 2;−1]; [−1; 5;−2]] 2. Identidade(U, 4)

3. Comb_Mat(U, 2, 1,A[2,1]/A[1,1]) { combina a 2a com a 1a } 4. Comb_Mat(U, 3, 1,A[3,1]/A[1,1]) { combina a 3a com a 1a } 5. Comb_Mat(U, 4, 1,A[4,1]/A[1,1]) { combina a 4a com a 1a } 6. Comb_Mat(U, 1, 1, 1/A[1,1]) {normaliza a 1a } 7. Prod_Mat (U,A,R, 4, 4, 3) { U.A=R } 8. paraide1 até 4,fazer

9. | escreverR[i,1], R[i,2], R[i,3] 10. ﬁm para

Fim algoritmo

3.3 Inversão de matrizes

Os procedimentos apresentados na seção anterior (seção3.2) são as chaves para se calcular a matriz inversa de uma matriz quadrada. Os processos elementares sobre cada coluna da matriz de entrada (nossa matriz A do exemplo anterior) devem ser tais que a transforme em uma matriz identidade. O produto das matrizes de transformação corresponde à matriz inversa.

Digamos que o processo de transformação de uma matriz Ak×_k em identidade necessite de

kmatrizes elementares, cada uma transformando uma coluna de A. O produto dask matrizes

elementares gera uma matriz resultante que é a inversa deA:

U(k)U(k−1)

· · ·U(2)U(1)A=I

U(k)U(k−1)

· · ·U(2)U(1)AA−1

=IA−1 U(k)U(k−1)

· · ·U(2)U(1)I=A−1

A partir do Algoritmo 4, pode-se implementar uma subrotina (Algoritmo5) que retorne a inversa de uma matriz dada.

Um cuidado deve ser tomado em relação à presença de zeros na diagonal principal. Outra questão é a presença de valores muito próximos de zero (em valores absolutos). Como as combinações lineares dependem do inverso do valor presente na diagonal, tanto o valor nulo quanto “quase nulos” não são adequados ao cálculo. Assim, um procedimento adotado como padrão é a busca pelo maior valor na coluna que será processada e permutar a linha para que este maior valor (novamente, em termos de valor absoluto) ocupe a diagonal principal.

Assumindo a existência de uma função chamada Absoluto (dado) que retorne o valor

absoluto do dado passado como argumento e a subrotina de permuta de linhas Perm_Lin

(13)

9

Algoritmo 5: Inversão de uma matriz quadrada dada.

SubrotinaInv_Mat (A,iA,n)

declarar A[∗,∗]numérica (por referência) { mat A: matriz de entrada }

declarar iA[∗,∗]numérica (por referência) { mat iA: matriz inversa }

declarar nnumérica (por cópia)

declarar U[∗,∗]numérica { mat U: matriz de transformação }

declarar R[∗,∗],S[∗,∗]numéricas {mat R e S: matrizes auxiliares }

1. alocarR

2. alocarS

3. alocarU

4. Identidade(iA,n)

5. R←A { preserva a matriz de entrada }

6. paraide1 até n,fazer 7. | Identidade (U,n) 8. | paraj de 1 atén,fazer 9. | | se(i6=j),então

10. | | | Comb_Mat (U,j,i,−R[j, i]/R[i, i]) { combina linha j com a linha i } 11. | | ﬁm se

12. | ﬁm para

13. | Comb_Mat (U,i,i, 1/R[i, i]) { normaliza linha i } 14. | Prod_Mat (U,R,S,n,n,n) {aplica U em R: U.R=S }

15. | R←S { atualiza R }

16. | Prod_Mat (U,iA,S,n,n,n) { aplica U em iA: U.iA=S }

17. | iA←S { atualiza iA}

18. ﬁm para

19. desalocarU

20. desalocarS

21. desalocarR

Fim subrotina

Algoritmo 6: Subrotina Perm_Mat.

SubrotinaPerm_Mat (u,i,j)

declarar u[∗,∗]numérica (por referência) { matriz elementar }

declarar i,j numéricas(por cópia) {coordenadas das linhas }

1. u[i, i]←0 2. u[j, j]←0 3. u[i, j]←1 4. u[j, i]←1

(14)

Algoritmo 7: Inversão melhorada de uma matriz quadrada dada.

SubrotinaInv_Mat (A,iA,n)

declarar A[∗,∗]numérica (por referência) { mat A: matriz de entrada }

declarar iA[∗,∗]numérica (por referência) { mat iA: matriz inversa }

declarar nnumérica (por cópia)

declarar U[∗,∗]numérica { mat U: matriz de transformação }

declarar R[∗,∗],S[∗,∗]numéricas {mat R e S: matrizes auxiliares }

declarar i,j,k numéricas {variáveis auxiliares }

1. alocarR

2. alocarS

3. alocarU

4. Identidade(iA,n)

5. R←A { preserva a matriz de entrada }

6. paraide1 até n,fazer 7. | Identidade (U,n) 8. | k←i

9. | paraj de 1 atén,fazer { percorre os dados na coluna i } 10. | | se(Absoluto(R[j, i]) >Absoluto(R[k, i])), então

11. | | | k←j { memoriza o índice da linha que contém o maior valor absoluto } 12. | | ﬁm se

13. | ﬁm para

14. | Perm_Mat (U,i,k)

15. | Prod_Mat (U,R,S,n,n,n) 16. | R←S

17. | Prod_Mat (U,iA,S,n,n,n) 18. | iA←S

19. | Identidade (U,n) 20. | paraj de 1 atén,fazer 21. | | se(i6=j),então

22. | | | Comb_Mat (U,j,i,−R[j, i]/R[i, i]) { combina linha j com a linha i } 23. | | ﬁm se

24. | ﬁm para

25. | Comb_Mat (U,i,i, 1/R[i, i]) { normaliza linha i } 26. | Prod_Mat (U,R,S,n,n,n) {aplica U em R: U.R=S }

27. | R←S { atualiza R }

28. | Prod_Mat (U,iA,S,n,n,n) { aplica U em iA: U.iA=S }

29. | iA←S { atualiza iA}

30. ﬁm para

31. desalocarU

32. desalocarS

33. desalocarR

(15)

11

3.4 Determinante

Matrizes quadradas possuem um escalar associado a elas chamado determinante. Existem

diferentes métodos para se calcular o determinante de uma matriz quadrada, mas certamente a mais famosa é a regra de Sarrus para matrizes de ordem 2 e 3. Usando as propriedades de

determinante, outro método utilizado é a expansão ou teorema de Laplace (também conhecido como método dos cofatores). O método de Laplace é aplicável à matrizes quadradas de qualquer ordem. O método de inversão de matriz da seção anterior também pode ser usada para calcular o determinante tirando-se proveito do processo de diagonalização da matriz dada.

3.4.1 Regra de Sarrus

A regra de Sarrus é simples em termos da lógica do cálculo, mas dispendioso em termos

de operações aritméticas, como somas e produtos. Vale a pena olharmos este método como exercício de lógica.

SejaA uma matriz 2×2:

A= "

a b c d

#

O determinante de A (detA ou |A|) corresponde ao resultado da seguinte operação: ad−bc.

Este resultado pode ser visto como um “passeio” sobre as diagonais de A, destra e sinistra:

ad é o produto dos elementos da diagonal principal (destra) e bc da diagonal principal trans-versa (sinistra). Os termos neste cálculo devem ser distintos, isto é, não podem se repetir. Outra observação é o sinal dos termos. Diagonais destras são positivas e diagonais sinistras são negativas.

Vejamos o caso 3×3. Seja a matrizB dada:

B=   

a b c d e f g h i

  

detBcorresponde ao resultado da seguinte operação: aei+bf g+cdh−ceg−af h−bdi. Para ﬁcar mais fácil observar que os termos desta operação são os produtos dos elementos das diagonais, vamos ampliar a matrizB replicando as 2 colunas iniciais após a 3a:

1a ₂a ₃a ₁a ₂a 

     

a b c a b

ց ց ց

d e f d e

ց ց ց

g h i g h

      

produzaei+bf g+cdh

1a ₂a ₃a ₁a ₂a 

     

a b c a b

ւ ւ ւ

d e f d e

ւ ւ ւ

g h i g h

      

produz −(ceg+af h+bdi)

Assumamos os índices dos elementos da matriz B como p e q. Os elementos da primeira diagonal principal possuem índices idênticos: (1,1), (2,2), (3,3), ou seja, (p, p).

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possuem uma “quebra” em relação ao índice da coluna. Naturalmente, pela matrizBampliada, a sequência seria (1,2), (2,3), (3,4), ou seja, (p, p+ 1). Mas a matriz Bnão possui uma quarta coluna.

Então, a questão é: podemos, a partir da sequência natural em B ampliada, calcular os

índices corretos dos elementos da segunda diagonal destra?

É fato que o elemento (3,4) da matriz B ampliada é o elemento (3,1) de B. E aí, uma

questão leva a outra: existe uma relação entre as coordenadas (3,4) e (3,1)? Dito de outra forma: é possível deduzir os índices dos elementos de B que correspondem ao elementos da

segunda diagonal destra de B ampliada a partir dos índices desta?

Sendo 3×3 a ordem de B, tanto o índice da linha como o da coluna não pode ultrapassar o valor 3. Do índice 4 da coluna da matriz ampliada, temos que gerar o valor 1. Um método simples de se obter isso é usar o operador resto de divisão de inteiros: %. Observe que a

operação 4%3 gera, como resultado, o valor 1.

Assim, uma primeira tentativa seria identiﬁcar os elementos da segunda diagonal destra com a seguinte expressão: (p,(p+ 1)%3); se p= 3, o resultado será (3,(3 + 1)%3) = (3,1) – o

desejado. Mas e os outros elementos? Se p= 1, o resultado será (1,(1 + 1)%3) = (1,2) – ok.

Agora, se p= 2... O resultado para p = 2 é (2,(2 + 1)%3) = (2,0), pois 3%3 é 0, e não (2,3) como esperado.

A manobra para corrigir este resultado também é simples. Vejamos a sequência de resultados da operaçãor =p%3 para p= 0,1,2,3, . . . e uma sequência paralela com os valores q ←r+ 1.

p 0 1 2 3 4 5 6 7 · · ·

r 0 1 2 0 1 2 0 1 · · ·

q 1 2 3 1 2 3 1 2 · · ·

A sequência relativa aos valores de q é justamente a saída que desejamos para resolver o problema, ou seja, se p é o índice da linha (p ≥ 1), q ← (p%3) + 1 é o índice da coluna

correspondente para o caso da segunda diagonal destra. Os índices são (p,(p%3) + 1).

E os elementos da terceira diagonal destra? Os índices da terceira diagonal, observando a matriz B, são: (1,3), (2,1) e (3,2). Usando a expressão anterior para o cálculo dos índices, os

índices esperados são calculados pela expressão (p,((p+ 1)%3) + 1) conforme pode ser visto a

seguir usandor←(p+ 1)%3 e q ←r+ 1.

p 0 1 2 3 4 5 6 7 · · ·

r 1 2 0 1 2 0 1 2 · · ·

q 2 3 1 2 3 1 2 3 · · ·

Voltemos ao caso da diagonal principal. Será se é possível usar estas expressões para calcular os índices dos seus elementos? A resposta é sim. Os índices das colunas da diagonal principal podem ser computados com as expressõesr ←(p−1)%3 e q←r+ 1.

p − 1 2 3 4 5 6 7 · · ·

r − 0 1 2 0 1 2 0 · · ·

q − 1 2 3 1 2 3 1 · · ·

Resumindo, as expressões em cada caso são:

• 1a _{diagonal destra: (}_p,₍₍_p₋_{1)%3) + 1)}

(17)

13

• 3a _{diagonal destra: (}_p,₍₍_p_{+ 1)%3) + 1)}

Como último passo, precisamos inserir nestas expressões alguma referência em relação ao índice da diagonal que se pretende usar. Se o índice das diagonais destras for t, a expressão

mais adequada para resolver o problema será (p,((p+t−2)%3) + 1): • set= 1, 1a _{diagonal destra (diagonal principal)}

(p,((p+ 1−2)%3) + 1): (1,1),(2,2),(3,3), . . .

• set= 2, 2a _{diagonal destra}

(p,(p+ 2−2%3) + 1): (1,2),(2,3),(3,1), . . .

• set= 3, 3a _{diagonal destra}

(p,((p+ 3−2)%3) + 1): (1,3),(2,1),(3,2), . . .

Façamos, então, um procedimento para calcular o produto dai-ésima diagonal destra,

gene-ralizando o mesmo para uma matriz quadrada de ordem nqualquer1: funçãoProd_Destra. A expressão genérica é (p,((p+t−2)%n) + 1)

Algoritmo 8: Função Prod_Destra.

Função Prod_Destra(a,n,t) numérica

declarar a[∗,∗]numérica (por referência) { matriz de dados }

declarar n,tnuméricas(por cópia) {ordem da matriz e índice da diagonal }

declarar p,q numéricas { coordenadas }

declarar prodnumérica (prod←1)

1. parap de1 atén,fazer { para cada linha... } 2. | q ←1 + ((p+t−2)%n) {calcula a coluna correspondente... } 3. | prod←prod∗a[p, q] { e executa o produtório } 4. ﬁm para

Fim função

Precisamos prever, agora, uma solução para as diagonais transversas. A diagonal transversa envolve os elementos (1,3), (2,2) e (3,1). A segunda transversa, (1,1), (2,3) e (3,2). E a

terceira, (1,2), (2,1) e (3,3). A expressão que se aplica a estes casos é (p,((2−p+t)%3) + 1).

• set= 1, 1a _{diagonal transversa}

(p,((2−p+ 1)%3) + 1): (1,3),(2,2),(3,1), . . .

(p,(2−p+ 2)%3) + 1): (1,1),(2,3),(3,2), . . .

(p,((2−p+ 3)%3) + 1): (1,2),(2,1),(3,3), . . .

O valor 2, presente na expressão, não éa toa. Ele é, na verdade, o resultado de 3−1, ordem da matriz menos 1. Generalizando para uma matriz quadrada de ordem1 _n_{: (}_p,₍₍_n₋₁₋_p₊

t)%n) + 1).

Vamos completar a lógica com o desenvolvimento de um programa que use estas duas funções e compute o determinante de uma matriz dada.

Usaremos como exemplo a seguinte matriz:

A=   

1 2 3 2 3 4 3 4 1   

O determinante da matriz Aé 4.

1_{É importante lembrar que a regra de}_Sarrus_{é aplicável apenas às matrizes de ordem 2 e 3. Além disso, o} método desenvolvido aqui para produto dos elementos de uma diagonal só é aplicável à regra deSarrussenfor

(18)

Algoritmo 9: Função Prod_Sinistra.

Função Prod_Sinistra(a,n,t) numérica

declarar n,tnuméricas(por cópia) {ordem da matriz e índice da diagonal }

declarar p,q numéricas { coordenadas }

declarar prodnumérica (prod←1)

1. parap denaté 1,fazer { para cada linha... }

2. | q ←1 + ((n−1−p+t)%n) {calcula a coluna correspondente... } 3. | prod←prod∗a[p, q] { e executa o produtório } 4. ﬁm para

Fim função

Algoritmo 10: Cálculo de determinante usando a regra de Sarrus.

Algoritmo

declarar A[3,3]numérica {matriz A }

declarar detnumérica (det←0) {determinante }

declarar inumérica { variável auxiliar }

1. A←[[1; 2; 3]; [2; 3; 4]; [3; 4; 1]] 2. paraide1 até 3,fazer

3. | det←det+Prod_Destra(A,3, i)−Prod_Sinistra(A,3, i) 4. ﬁm para

(19)

15

3.4.2 Método de Laplace

O método deLaplacecalcula o determinante de matrizes quadradas de qualquer ordem. Ele

utiliza um recurso lógico (estratégico) chamado deredução da dimensão de problema. Aplicado

ao problema de cálculo de determinante, busca-se o determinante de uma matriz de ordem na

partir do cálculo de determinantes de matrizes de ordem n−1 construídas a partir da matriz original. Por sua vez, busca-se calcular os determinantes das matrizes de ordemn−1 a partir de determinantes de matrizes de ordem n−2. Este processo prossegue até que a ordem das matrizes operadas seja 3 ou 2, dependendo dos recursos lógicos já disponíveis ao desenvolvedor. No método em si, o determinante de uma matriz Ade ordem n,|A|, é o resultado da soma

dos produtos dos elementos de uma linha (ou coluna) aij por seus respectivos cofatores Aijˆ (também chamados de complementos algébricos):

|A|= n X i=1 j=cte

aijAijˆ = n X j=1 i=cte

aijAijˆ

O cofator_Aijˆ _{é um escalar cujo valor corresponde ao produto de (−1)}i+j _{pelo determinante} da matriz reduzida Mij construída a partir da matriz original Aretirando-se a i-ésima linha e a j-ésima coluna. Logo, a matriz reduzida Mij ainda é quadrada e possui ordemn−1.

Vejamos um exemplo. Considere a matriz A da subseção anterior:

A=   

1 2 3 2 3 4 3 4 1   

O método deLaplaceé aplicado sobre uma linha ou uma coluna qualquer da matriz. Usemos

a primeira linha. Os elementos são a11 = 1, a12 = 2 e a13 = 3. Os cofatores associados serão ˆ

A11,Aˆ12 e Aˆ13:

• Aˆ11= (−1)1+1|M11|= (−1)2 3 4 4 1

= (3·1−4·4) =−13

• Aˆ12= (−1)1+2|M12|= (−1)3 2 4 3 1

=−(2·1−4·3) = 10

• Aˆ13= (−1)1+3|M13|= (−1)4 2 3 3 4

= (2·4−3·3) =−1

Pelo método, o determinante de Aserá:

|A|=a11Aˆ11+a12Aˆ12+a13Aˆ13= (1)·(−13) + (2)·(10) + (3)·(−1) = 4

Fica como exercício veriﬁcar que trocando a linha ou passando para colunas o resultado será o mesmo.

Passemos ao desenvolvimento da lógica da programação para o cálculo de determinante via método deLaplace.

Primeira coisa a observar é que o cálculo do cofator depende do cálculo de um determinante, de uma matriz de ordem menor. Então, o determinante porLaplace depende de um parâmetro

chamado cofator que depende de outro determinante que pode ser calculado por Laplace que

usará cofatores que dependem de outros determinantes e assim por diante. Esta lógica parece não ter ﬁm.

Mas podemos enxergar o ﬁm deste processo de “recursão”2 _{se formos capazes de calcular o} determinante, em algum momento deste processo, sem ser pelo método de Laplace. Sabemos

(20)

que o determinante de uma matriz de ordem 2 pode ser calculado via regra de Sarrus. Assim,

quando o cofator estiver associado a uma matriz de ordem 2, não será necessário invocar o cálculo de determinante via Laplace e sim viaSarrus.

Então, vamos implementar uma função que calcula o determinante de uma matriz de ordem 2 viaSarrus: Algoritmo 11.

Algoritmo 11: Função Det_Sarrus_2x2.

Função Det_Sarrus_2x2(a) numérica

declarar detnumérica {valor calculado do determiante }

1. det←a[1,1]∗a[2,2]−a[1,2]∗a[2,1] { regra de Sarrus para matriz 2x2 }

2. retornar det

Fim função

Criada a função para o determinante para matrizes de ordem 2, podemos implementar a função que calcula o cofator de uma matriz de ordem m qualquer. Esta função deve analisar a ordem da matriz que ela recebe como argumento. Se a ordem for 2, então o determinante deverá ser calculado viaSarrus. Caso contrário, a função de cálculo de cofatores deverá invocar

a função que calcula o determinante via método deLaplace (que não foi apresentada ainda).

A operação ﬁnal da função é o produto do determinante calculado pelo termo (−1)p_{, onde}

p é a soma dos índices da linha e coluna associados ao cofator.

Algoritmo 12: Função Cofator.

Função Cofator (a,m,p) numérica

declarar m numérica (por cópia) {ordem da matriz }

declarar pnumérica (por cópia) { soma dos índices de linha e coluna associados }

declarar detnumérica {valor calculado do determinante }

declarar cof numérica { valor calculado do cofator }

1. se(m= 2),então { se a ordem é 2... }

2. | det← Det_Sarrus_2x2(a) {então, calcula determinante via Sarrus } 3. senão

4. | det← Det_Laplace(a, m) { senão, calcula via método de Laplace } 5. ﬁm se

6. cof ←((−1)∗ ∗p)∗det {finaliza o cálculo do cofator }

7. retornar cof

Fim função

Pelo método de Laplace, o determinante é a soma dos produtos dos elementos de uma linha

(ou coluna) pelos respectivos cofatores. Os cofatores dependem de determinantes de matrizes reduzidas, criadas a partir da matriz alvo do cálculo do determinante. Então, para realizar esta etapa, implementaremos uma subrotina para a construção das matrizes reduzidas. Os dados de entrada devem ser a matriz a ser reduzida, sua ordem e a linha e coluna que devem ser retiradas para produzir a matriz reduzida.

A lógica de construção da matriz reduzida é simples. Usaremos duas variáveis auxiliares só para pular, respectivamente, a linha e a coluna indicadas como argumentos. Estas variáveis assumem valores nulos de início. A ordem da matriz reduzida é a ordem da matriz de entrada menos um.

(21)

17

Algoritmo 13: Subrotina Reduzida.

SubrotinaReduzida(a,m,p,q,r)

declarar a[∗,∗]numérica (por referência) { matriz de entrada }

declarar r[∗,∗]numérica (por referência) { matriz reduzida }

declarar m numérica (por cópia) { ordem da matriz de entrada }

declarar p,q numéricos (por cópia) { linha e coluna a serem retiradas }

declarar u,v numéricas {variáveis auxiliares }

declarar i,j numéricos {indices de linha e coluna }

1. u←0 { variável associada à linha }

2. paraide1 até m−1,fazer

3. | se (i=p),então { se índice da linha for igual ao informado... }

4. | | u←1

5. | ﬁm se

6. | v←0 {variável associada à coluna }

7. | paraj de 1 atém−1,fazer

8. | | se(j=q),então {se índice de coluna for igual ao passado... } 9. | | | v←1

10. | | ﬁm se

11. | | r[i, j]←a[i+u, j+v] { copia o elemento da entrada na matriz reduzida } 12. | ﬁm para

13. ﬁm para Fim subrotina

igual ou maior que o índice da linha ou coluna indicados nos argumentos para serem saltadas, a variável auxiliar correspondente assumira o valor unitário; caso contrário, será nula. Usaremos estas variáveis auxiliares para corrigir as coordenadas dos elementos da matriz de entrada que devem ser copiados. A subrotina em questão retorna, como argumento, a matriz reduzida.

Por ﬁm, o último procedimento que falta implementar corresponde ao método de Laplace

propriamente dito – a soma dos produtos dos elementos da matriz de entrada de uma linha ou coluna por seus respectivos cofatores. Este procedimento retorna o valor do determinante calculado. Logo será elaborado como uma função. Ela recebe a matriz original de entrada e constrói as matrizes reduzidas a partir desta. Para cada matriz reduzida, a função calcula o cofator usando a função construída para isso. A função que calcula o cofator analisa a ordem da matriz de entrada dela e invoca o cálculo do determinante de uma matriz 2×2 ou invoca o método deLaplacenovamente com uma diferença, a matriz de entrada agora é a matriz reduzida

do cofator.

Esta sequência de passos modela a implementação do função Det_Laplace (Algoritmo 14).

3.4.3 Eliminação de Gauss

Outra técnica para cálculo do determinante de uma matriz é a aplicação organizada do que já foi discutido como operações elementares sobre matrizes (seção 3.2) para transformar a matriz alvo em sua equivalente triangular superior (ou inferior). O determinante de uma

matriz triangular é o resultado do produto dos valores presentes na diagonal principal (isto é facilmente veriﬁcável).

O processo de transformação de uma matriz quadrada em sua equivalente triangular é parte da conhecida técnica de eliminação de Gauss para solução de sistemas de equações lineares.

Esta técnica diz respeito à solução de sistemas lineares denequações enincógnitas. Mas aqui, pelo propósito de determinação de determinantes, usaremos apenas parte da técnica deGauss.

(22)

Algoritmo 14: Função Det_Laplace.

Função Det_Laplace(a,m) numérica

declarar m numérica (por cópia) { ordem da matriz de entrada }

declarar r[∗,∗]numérica { matriz reduzida }

declarar det,cof numéricos {determinante e cofator }

declarar j numérico {indice da coluna }

1. det←0

2. alocarr[m−1, m−1] 3. paraj de1 até m,fazer

4. | Reduzida(a, m,1, j, r) { produz matriz reduzidar associada ao a(1, j) } 5. | cof ← Cofator (r, m−1,1 +j)

6. | det←det+a[1, j]∗cof 7. ﬁm para

8. desalocarr

Fim função

entre linhas para, iterativamente, transformá-la em triangular superior.

Para zerar os elementos ai1, combinaremos linearmente as i-ésimas linhas (1< i≤n) com a primeira: Li ←Li+mi1L1, ondemi1 ← −ai1/a11. Este processo afetará todos os elementos da matriz da segunda linha em diante. Logo o valor do elementoa22 também mudará:

a(1)₂₂ ←a22+m21 a12=a22−(a21/a11) a12

Este valor é imprescindível na próxima etapa. O sobrescrito(1)_{indica que o valor foi modiﬁcado} na primeira etapa do processo.

A primeira coluna da matrizAtem, neste momento, somente o elementoa11não nulo. Para construção da matriz triangular superior, precisamos zerar os elementos da segunda coluna a partir da terceira linha (2< i≤n) usando a segunda linha como referência: Li←Li+mi2L2, ondemi2 ← −a(1)i2 /a

(1)

22. Veja que, para efeitos de construção da matriz triangular superior, não é necessário mexer na primeira linha.

Da mesma forma que o valor do elemento a22 foi modiﬁcado na primeira etapa, o valor do elemento a33 é modiﬁcado nesta segunda etapa:

a(2)₃₃ ←a(1)₃₃ +m32 a(1)23 =a (1) 33 −(a

(1) 32/a

(1) 22) a

(1) 23

Este valor é utilizado na terceira etapa.

Zerar os valores dos elementos na terceira coluna a partir do elemento a34 segue o mesmo tipo de procedimento: Li ← Li+mi3L3, onde mi3 ← −a(2)i3 /a

(2)

33 (3 < i ≤ n); e o valor do elemento a44 será:

a(3)₄₄ ←a(2)₄₄ +m43 a(2)34 =a (2) 44 −(a

(2) 43/a

(2) 33) a

(2) 34

Este processo segue até que o valor do elementoan,n−₁seja zerado, restando somente o valor do elementoann não nulo nan-ésima linha.

Ao ﬁnal do processo de triangularização da matriz, o determinante pode ser calculado dire-tamente com o produto dos elementos da diagonal principal:

|A|= n Y i=1

a(i−1) ii

(23)

19

• para 2≤i≤n

Li ←Li+mi1L1∴m_i1 ← −ai1

a11

• para 3≤i≤n

Li ←Li+mi2L2∴m_i2 ← −ai2

a22

• para 4≤i≤n

Li ←Li+mi3L3∴m_i3 ← −ai3

a33

• · · ·

• parai=n

Ln←Ln+mn,n−1L_n−1∴m_n,n−1← −

an,n−1

an−_1,n−₁

Diferente dos algoritmos desenvolvidos para realizar as operações básicas de matrizes (se-ção 3.2) e a inversão de matrizes (seção 3.3), desenvolveremos um algoritmo mais compacto que realize as mesmas operações. Este algoritmo será a estrutura da Função Det_Gauss

(Algoritmo15).

Algoritmo 15: Função Det_Gauss.

Função Det_Gauss(a,n) numérica

declarar nnumérica (por cópia) { ordem da matriz de entrada }

declarar r[∗,∗]numérica {matriz auxiliar }

declarar det,m numéricos {determinante e pivot }

declarar i,j,k numéricos {contadores auxiliares }

1. alocarr[n, n]

2. r←a { copia o conteúdo da matriz A em R } 3. paraj de1 até n−1, fazer

4. | paraide j+ 1até n,fazer

5. | | m← −r[i, j]/r[j, j] {pivot entre linhas i e j } 6. | | parakde j até n,fazer {Li←Li+mijLj } 7. | | | r[i, k]←r[i, k] +m∗r[j, k]

8. | | ﬁm para

9. | ﬁm para 10. ﬁm para

11. det←1

12. paraide1 até n,fazer { realiza o produtório para o determinante } 13. | det←det∗r(i, i)

14. ﬁm para

15. desalocarr

(24)

3.5 Solução de sistemas lineares

3.5.1 Método de eliminação de Gauss

3.5.2 Método de fatoração LU

3.6 Ajuste de dados pelo método dos mínimos quadrados

O ajuste de dados é um procedimento que visa encontrar os parâmetros de uma função dada de forma que esta descreva a tendência dos dados “da melhor forma possível” dentro de um intervalo deﬁnido. Uma forma de se obter o melhor ajuste dos dados segundo uma função de tendência dada é minimizar a discrepância entre o valor da função de tendência e o dado a ser ajustado. Este é o objetivo do método dos mínimos quadrados.

Não é raro deparar-se com dados experimentais e extrair-se deles informações sobre o fenô-meno que os originou. Nestas situações, conhece-se, na maioria das vezes, a lei de formação dos dados, a função de transferência que os relaciona. E como toda coleta de dados está sujeita a ﬂutuações (erros sistemáticos, erros de instrumento, erros de leitura, etc.), os dados podem não coincidir com o traçado da função de formação.

Mas isso não deve ser um impedimento para a análise dos dados visando futura interpre-tação. Assumindo que cada dado está sujeito a um erro, o propósito do método dos mínimos quadrados é justamente adequar um modelo genérico de função (escolhido deliberadamente pelo experimentador) aos dados disponíveis, dentro de um intervalo deﬁnido, de forma que o erro quadrático acumulado entre os dados e a função dada seja mínimo.

A função de ajuste pode ser qualquer: pode ser a relação matemática fornecida pela teoria do fenômeno, pode ser uma relação empírica que parece descrever o comportamento dos dados. Seja qualquer uma delas, deve-se ter em mente que alguma função deve ser adotada para se proceder o ajuste.

Outra observação em relação a função de ajuste é que ela é, na sua forma mais genérica, “livre”, uma combinação linear de outras funções (adequadamente escolhidas). Assim, o método dos mínimos quadrados busca os valores das constantes de escala de cada uma das funções que compõem a função de ajuste de maneira que o erro quadrático acumulado seja mínimo.

Comecemos deﬁnindo alguns elementos importantes.

Os dados a serem ajustados são pares de valores Pi = (xi, yi). O total de dados é n; logo, o índiceiassume valores inteiros no intervalo fechado [1, n]. O valor dado yi é o valor da função de ajusteG(x) emxi acrescido de um erro,ǫi, ou seja,yi=G(xi) +ǫi.

A função de ajusteG(x) é uma combinação linear demoutras funçõesgk(x), parakvariando no intervalo [1, m], adequadamente escolhidas de acordo com o problema, tal que

G(x) =a1g1(x) +a2g2(x) +· · ·+amgm(x) = m X k=1

akgk(x). (3.1)

A soma dos erros quadráticos ǫ2_i chama-se resíduo integralR (ou simplesmente resíduo) e é

expresso como

R=

n X i=1

ǫ2_i =

n X i=1

(G(xi)−yi)2 =

n X i=1

 

m X j=1

ajgj(xi)−yi   2

Constata-se que o resíduo é função das constantes aj. Posto desta forma, a função G(x)

que melhor ajusta é aquela cujas constantes aj minimizam R. O ponto de mínimo de R (que é uma função como qualquer outra) pode ser determinado quando as m derivadas parciais dela em relação a cada constante aj forem zero, ou seja,

∂R ∂aj

= 2 n X i=1

(G(xi)−yi)∂G(xi) ∂aj

= 0∴ ∂G(xi)

∂aj

(25)

21 Logo, ∂R ∂aj = n X i=1

(G(xi)−yi)gj(xi) = 0⇒ n X i=1

G(xi)gj(xi) = n X i=1

yigj(xi). (3.2)

Usando 3.1no resultado de 3.2,

n X i=1 m X k=1

akgk(xi) !

gj(xi) = m X k=1 ak n X i=1

gk(xi)gj(xi) !

= n X i=1

yigj(xi), (3.3)

ou seja, sãomderivadas parciais deRe cada derivada possuimincógnitas. Para cadaj, temos

uma expressão do tipo:

a1 n X i=1

g1(xi)gj(xi) !

+a2 n X i=1

g2(xi)gj(xi) !

+· · ·+

+· · ·+am n X i=1

gm(xi)gj(xi) !

= n X i=1

yigj(xi) !

. (3.4)

Os termos entre parênteses são reconhecidamente operações de produto escalar entre duas sequências:

hgj, gki= n X i=1

gj(xi)gk(xi) =hgk, gji (3.5)

hgj, yi= n X i=1

gj(xi)yi. (3.6)

Como dito antes, o problema dos mínimos quadrados está na determinação das constantesaj que minimizam o resíduoR. A organização do problema nos apresenta um sistema de equações lineares com m equações (uma para cada derivada parcial de R em relação à constante aj) e com m incógnitas por equação. Sistemas deste tipo são chamados de sistemas normais e a

equação3.4 é chamada deequação normal.

Então, usando a notação de produto escalar, podemos criar a matrizGGde valoreshgj, gki para j, k = 1,· · ·, m, o vetor A de incógnitas aj, para j = 1,· · ·, m e o vetor GY de termos independenteshgj, yi:

     

hg1, g1i hg1, g2i · · · hg1, gmi hg2, g1i hg2, g2i · · · hg2, gmi

... ... ... ... hgm, g1i hgm, g2i · · · hgm, gmi

     

| {z }

GG ·       a1 a2 ... am      

| {z } A =      

hg1, yi hg2, yi

... hgm, yi

     

| {z } GY

A matriz GG é uma matriz simétrica em relação à diagonal principal dada a relação em 3.5.

Este sistema tem solução se a matriz GG for inversível. Para isso, suas linhas devem ser linearmente independentes. E isso depende da escolha das funções gj(x).

Várias famílias de funções podem ser escolhidas para cumprir o requisito posto acima, mas as famílias de funções ortogonais é particularmente interessante. Esta propriedade de ortogo-nalidade implica que o produto escalar entre as funções seja nula para quaisquer combinações de índices j ek a menos dej =k, isto é,

hgj, gki= (

0, j 6=k

1, j =k

(26)

3.6.1 Ajuste linear

Uma escolha de funções em particular para aplicações experimentais é muito usada: g1(x) = 1 e g2(x) = x. Isto signiﬁca que a função de ajuste é do tipo G(x) = a1+a2x. O ajuste de dados que utiliza esta função de ajuste é chamado de ajuste linear ou regressão linear.

hg1, g1i=n

hg1, g2i=hg2, g1i= n X i=1

xi=nX

hg2, g2i= n X i=1

x2_i =nX2

hg1, yi= n X i=1

yi=nY

hg2, yi= n X i=1

xiyi =nXY

"

1 X

X X2 #

· "

a1

a2 #

= "

Y XY

# ⇒

(

a1 + a2X = Y

a1X + a2X2 = XY

⇒     

a1 = Y −a2X

a2 =

XY −X Y X2₋_X2

(27)

Referências Bibliográﬁcas

[1] SANTORO, A.; MAHON, J. R.; OLIVEIRA, J. U. C. L.; MUNDIN FILHO, L. M.; OGURI. V.; SILVA, W. L. P. Estimativas e erros em experimentos de física. Rio de Janeiro: Ed.

EdUerj, 2005.

[2] RUGGIERO, M. A. G.; ROCHA LOPES, V. L. Cálculo numérico: aspectos teóricos e

computacionais, 2 ed. São Paulo: Pearson Makron Books, 1996.

(28)

(29)