Ideais Monomiais Diferenciáveis

Curso de P´os-graduac¸˜ao em Matem´atica Dissertac¸˜ao de Mestrado

Ideais Monomiais Diferenci´

aveis

´

Erica Nogueira Macˆedo

Salvador-Bahia

Ideais Monomiais Diferenci´

aveis

´

Erica Nogueira Macˆedo

Disserta¸c˜ao de mestrado

apresentada ao colegiado do

curso de P´os-Gradua¸c˜ao em

Matem´atica da Universidade

Federal da Bahia, como

re-quisito parcial para obten¸c˜ao

do T´ıtulo de Mestre em

Matem´atica.

Banca examinadora:

Prof. Dr. Carlos Eduardo Nogueira Bahiano (Orientador)

Prof. Dr. Thierry Corrˆea Petit Lob˜ao

Profa

. Dra

renci´aveis. Salvador-Ba, UFBA, 2004 (Disserta¸c˜ao

de Mestrado apresentada ao curso de p´os-graduac˜ao em

Matem´atica)59p.

prazer n˜ao ´e o conhecimento e sim a aprendizagem, n˜ao ´e a posse mas a aquisi¸c˜ao, n˜ao ´e a

presen¸ca mas o ato de atingir a meta.”

Agradecimentos

A Deus, em primeiro lugar, por ter me dado for¸ca e determina¸c˜ao para chegar ao fim de

mais uma etapa na minha vida. Aos meus colegas de curso pelo incentivo e pelas horas em que

compartilhamos as dificuldades, em especial para Azly, Odete Amanda, Laura, Ivana, Andr´ea,

Nelson, Rosely, Paulo, Gilmar, Jorge. Aos professores do Mestrado, com destaque para o meu

orientador, Prof. Dr. Carlos Eduardo Nogueira Bahiano, pela paciˆencia e disponibilidade em

todas as etapas deste trabalho.

Agrade¸co a Maria de F´atima, minha tia, por ter sido a primeira referˆencia e incentivo

para o estudo da matem´atica. Agrade¸co em especial a minha fam´ılia, Macˆedo (meu marido)

e a Nath´alia (minha filha), pela paciˆencia, incentivo e compreens˜ao nas horas em que tive que

estar ausente.

O texto a seguir, tem como objeto b´asico de estudo, ideais diferenci´aveis em an´eis de

polinˆomios sobre um corpo de caracter´ıstica zero. Ser´a dada ˆenfase aos ideais monomiais e a

fam´ılia de deriva¸c˜oes que preservem estes ideais. Um dos objetivos deste trabalho ´e encontrar,

para um ideal preservado por uma fam´ılia de deriva¸c˜oes, a decomposi¸c˜ao prim´aria, cujas

com-ponentes prim´arias sejam tamb´em preservadas pela mesma fam´ılia. A.Seidenberg em seu artigo

Differential ideals in rings of finitely generated typegarantiu a existˆencia de uma decomposi¸c˜ao

prim´aria de um ideal diferenci´avel cujas componentes prim´arias tamb´em s˜ao diferenci´aveis, mas

n˜ao explicitou qual decomposi¸c˜ao assume esta propriedade, nem forneceu meios comput´aveis

para encontr´a-la. Portanto, mostraremos para alguns casos, um m´etodo de encontrar esta

decomposi¸c˜ao prim´aria com componentes diferenci´aveis. Neste mesmo trabalho, abordaremos

rela¸c˜oes entre ideais que n˜ao s˜ao diferenci´aveis e pontos regulares de variedades, como forma

da exemplificar a importˆancia do t´opico estudado.

Para desenvolver as a¸c˜oes descritas acima, estudamos sobre as propriedades das deriva¸c˜oes,

abordamos o m´odulo das deriva¸c˜oes e a sua rela¸c˜ao com a matriz jacobiana, que nos permite

calcular as deriva¸c˜oes que preservam os ideais em quest˜ao.

´Indice

1 Defini¸c˜oes B´asicas 9

1.1 Ideais Prim´arios . . . 9

1.2 Decomposi¸c˜ao Prim´aria e An´eis Noetherianos . . . 10

2 Deriva¸c˜oes e Diferenciais 15

2.1 Deriva¸c˜oes . . . 15

2.2 O m´odulo das diferenciais de K¨ahler . . . 22

2.3 Seq¨uˆencias Fundamentais . . . 24

3 Ideais Diferenci´aveis 27

3.1 Ideais diferenci´aveis . . . 27

3.2 Ideais diferenci´aveis e a decomposi¸c˜ao prim´aria . . . 32

3.3 Ideais diferenci´aveis e regularidade . . . 45

A Apˆendice 49

A.1 An´eis e M´odulos . . . 49

A.1.1 Opera¸c˜oes com Ideais . . . 50

A.1.2 Anel Noetheriano . . . 51

A.1.3 An´eis Regulares . . . 51

A.1.4 Anel das S´eries de Potˆencia . . . 51

A.1.5 M´odulos . . . 54

A.1.6 Produto Tensorial de M´odulos . . . 54

A.1.7 Extens˜ao de M´odulos . . . 55

Cap´ıtulo 1

Defini¸c˜

oes B´

asicas

Neste cap´ıtulo, abordaremos alguns conceitos necess´arios para a compreens˜ao das

deriva¸c˜oes em an´eis de polinˆomios, especificamente quando aplicadas em ideais monomiais,

objeto central de estudo.

Considere para todo o texto, A um anel comutativo e com unidade, exceto quando

explicitarmos o contr´ario.

1.1

Ideais Prim´

arios

1.1 Definic¸˜ao. Seja I um ideal de um anel A . O radical de I ´e o conjunto dado por

√

I =_{x_∈A; xn_∈I para algum n _∈N}.

1.2 Definic¸˜ao. Um ideal pr´oprio I de A ´e dito ser prim´ario se para todo x, y _∈ A tais que

xy_∈I tem-se x_∈I ou yn _{∈I para algum n ∈N}

Em an´eis comutativos, isto equivale a dizer que sexy _∈I e y /_∈√I ent˜aox_∈I.Disto

decorre que:

I ´e prim´ario_⇔ A

I 6= 0 e todo divisor de zero em A

I ´e nilpotente.

Vejamos alguns exemplos:

Exemplo 1.1. Os ideais prim´arios em Z s˜ao (0) e (pn_{),onde p´e um n´umero primo.}

Exemplo 1.2. Seja A=R[x, y] e seja q= (x, y2_{) um ideal de A. Temos ent˜ao que:}

A

q =

R[x, y] (x, y2₎ ∼=

R[y] (y2₎

e portanto os divisores de zero s˜ao todos nilpotentes. Podemos concluir da´ı que q´e prim´ario e

temos que:

√

q=p(x, y2_{) = (x, y).}

Exemplo 1.3. Seja A =R[x, y] e seja I = (x2_{, xy) um ideal de A. Temos que xy∈ I}

e como x /_∈I, para I ser prim´ario, ´e necess´ario que yn _{∈ I para algum n ∈ N. Como isto de}

fato n˜ao acontece, ou seja, yn_{∈/I para todo n∈N, I n˜ao ´e um ideal prim´ario.}

1.3 Proposic¸˜ao. Seja I um ideal prim´ario de um anel A. Ent˜ao √I ´e o menor ideal primo contendo I.

Demonstra¸c˜ao. Basta mostrar que p = √I ´e primo, pois temos que o radical de I ´e a

intersec¸c˜ao de todos os ideais primos que o cont´em, e claramente pela defini¸c˜ao acima temos

tamb´em queI _⊂√I.

Seja xy_∈p ent˜ao (xy)m _{∈I para algum m >0.}

Como I ´e prim´ario temos que xm _{∈I ou (y}m₎n _{∈I para algumn > 0, isto ´e , x∈}√_I

ouy_∈√I. Portanto concluimos que p=√I ´e primo .

I ´e dito serp-prim´ario se I ´e prim´ario e √I =p.

1.2

Decomposi¸c˜

ao Prim´

aria e An´

eis Noetherianos

A decomposi¸c˜ao de um ideal em componentes prim´arias ´e uma ferramenta

12

alg´ebrica. Como nosso ambiente de trabalho s˜ao an´eis de polinˆomios sobre um corpo de

car-acter´ıstica zero, temos que estes an´eis s˜ao noetherianos e portanto admitem decomposi¸c˜ao

prim´aria.

1.4 Definic¸˜ao. A decomposi¸c˜ao prim´aria de um ideal I em A ´e uma express˜ao de I como intersec¸c˜ao finita de ideais prim´arios. Isto ´e,

I =Tn

ı=1qı, onde cada qı ´e prim´ario, ı= 1, ..., n

Um ideal ´e dito ser decompon´ıvel se possui uma decomposi¸c˜ao prim´aria.

Os ideais prim´arios que aparecem na decomposi¸c˜ao prim´aria de um ideal I s˜ao

geral-mente chamados de componentes prim´arias deI.Um mesmo idealI pode ter diferentes

decom-posi¸c˜oes prim´arias, embora o conjunto dos radicais das componentes prim´arias seja invariante

como mostra o teorema a seguir.

1.5 Teorema. Seja I um ideal decompon´ıvel e seja I = Tn

ı=1qı a decomposi¸c˜ao prim´aria

m´ınima de I. Seja pı =

p

(qı), 1 6 ı 6 n. Ent˜ao pı s˜ao precisamente os ideais que aparecem

no conjunto dos ideais _{p(I :x) x_∈A_} e independem da decomposi¸c˜ao particular de I.

Demonstra¸c˜ao. Parax_∈A, temos que

(I :x) = ( n

\

ı=1

qı :x) = n

\

ı=1

(qı :x)

e ent˜ao

p

(I :x) = n

\

ı=1

p

(qı :x) =

\

x /∈q

p.

Suponha que p(I :x) ´e primo. Ent˜ao temos que p(I :x) =p para algum.

Cada ideal primo da forma p(I :x) ´e um dosp. Por outro lado, para cadaı teremos

que se xı ∈/ qı ent˜ao xı ∈ T6=ıq, o que nos leva a concluir que a decomposi¸c˜ao ´e m´ınima e

ent˜ao temos

p

(I :xı) =pı.

Exemplo 1.4. Seja A=R[x, y] um anel e I = (x2_{, xy) um ideal deste anel.}

O radical de um ideal ´e a intersec¸c˜ao de todos os primos que o cont´em, portanto,

√

I = (x)\(x, y) = (x)

Logo temos que I = (x)T

(x, y)2 _{onde os ideais (x) e (x, y)}2 _{s˜ao prim´arios pois o primeiro ´e}

primo e o segundo ´e a potˆencia de um maximal.

No entanto, observe que o ideal I n˜ao ´e prim´ario pois se temos h_∈I ent˜ao

h =f x2+gxy =x(f x+gy),

mas x /_∈I e f x+gy /_∈√I = (x)

Se temos I =Tn

i=1qi com qi prim´arios e se

p

(q_i) =p_i dizemos que os ideaisp_i s˜ao os

primos associados deI. Indicaremos estes primos associados pela nota¸c˜ao Ass(I).

No exemplo anterior temos que (x) e (x, y) s˜ao os primos associados de I, ou seja,

Ass(I) = _{(x),(x, y)_}.

Um ideal I ´e prim´ario se, e somente se, possui um ´unico ideal primo associado.

Um ideal I de um anel A pode n˜ao ser decompon´ıvel, ou seja, pode n˜ao possuir uma

decomposi¸c˜ao prim´aria. Isto n˜ao o impede de ser expresso como uma intersec¸c˜ao de ideais

pr´oprios.

1.6Definic¸˜ao. Um idealI de um anelA´e dito ser redut´ıvel se existem ideais pr´oprios I1 6=I2

tais que I =I1∩I2. Caso contr´ario, o ideal ´e dito ser irredut´ıvel.

1.7 Proposic¸˜ao. Seja A um anel noetheriano, e ent˜ao todo ideal I de A ´e uma intessec¸c˜ao de ideais irredut´ıveis, isto ´e, existem ideais irredut´ıveisI1, . . . , Ir tais que I =∩rı=1Iı.

Demonstra¸c˜ao. SejaN o conjunto de todos os ideais de A que n˜ao podem ser escritos como

intersec¸c˜ao de ideais irredut´ıveis e assuma queN ´e n˜ao vazio.

Primeiramente, vemos que qualquer ideal emN ´e redut´ıvel, pois caso contr´ario ele seria

14

com I1 ou I2 ∈ N, pois caso contr´ario ter´ıamos uma decomposi¸c˜ao para I pela concatena¸c˜ao

das decomposi¸c˜oes deI1 eI2.

Dessa forma temos provado que para cada I _∈ N, temos J _∈ N tal que I est´a

pro-priamente contido em J e portanto podemos formar uma cadeia infinita ascendente de ideais

encaixados, o que contradiz o fato deA ser noetheriano.

A pr´oxima proposi¸c˜ao garante a existˆencia de decomposi¸c˜ao prim´aria em an´eis

noethe-rianos.

1.8 Proposic¸˜ao. Todo ideal pr´oprio irredut´ıvel de um anel noetheriano ´e prim´ario.

Demonstra¸c˜ao. Seja I um ideal de um anel noetheriano A. Seb _∈A ent˜ao existe m _∈N tal queI :bm _{=I :b}m+1_{. De fato, temos que I ⊂ I :b ⊂I :b}2 _{⊂ · · · ⊂ I :b}m _{⊂ · · · ´e uma cadeia}

ascendente de ideais encaixados. J´a que A ´e noetheriano, esta cadeia estaciona, isto ´e, existe

m_∈N tal que I :bm _{=I :b}m+1_.

Se I n˜ao ´e prim´ario ent˜ao I ´e redut´ıvel. De fato, se I n˜ao ´e prim´ario existemf, h_∈A

tais quef h_∈I, f /_∈√I eh /_∈√I, isto ´e, f /_∈I e hm _{∈/ I para qualquer m ∈N.}

Seja r _∈ N tal que I : hl _{= I : h}l+1_{,∀l > r. Afirmamos que I = (I, f)∩(I, h}r_{). Com} efeito I _⊂(I, f)_∩(I, hr_{) ´e imediato. Agora seja x um elemento desta intersec¸c˜ao; ent˜ao}

x=s1+t1f =s2+t2hr, com s1, s2 ∈I e t1, t2 ∈A. (1.1)

Multiplicando 1.1 porhobtemoss2h+t2hr+1 =s1h+t1f h∈I; da´ı temos quet2hr+1 ∈

I, isto ´e, t2 ∈ I : hr+1 e uma vez que I : hr = I : hr+1 temos que t2 ∈ I : hr logo t2hr ∈ I e

finalmente, x_∈I. Al´em disto (I, f)₆=A e (I, hr_{) 6=A. De fato, se (I, f) =A ent˜ao existiriam}

t _∈ A e u _∈ I tais que tf +u = 1 que multiplicado por hr _{resulta h}r _{= th}r_{f +h}r_{u e ent˜ao}

hr_{∈I o que ´e uma contradi¸c˜ao. De maneira an´aloga mostra-se que (I, h}r_)6=A.

Podemos concluir ent˜ao que, em um anel noetheriano ou os ideais s˜ao irredut´ıveis,

portanto prim´arios, ou podem ser expressos por meio de uma intersec¸c˜ao de ideais irredut´ıveis.

Como todo ideal irredut´ıvel ´e prim´ario, garantimos uma intersec¸c˜ao finita de ideais prim´arios

Exemplo 1.5. Seja A=R[x, y, z] e seja I = (x2_{y, z) um ideal de A. Vemos que I n˜ao}

´e um ideal irredut´ıvel pois podemos escrevˆe-lo da seguinte forma:

I = (x2, z)_∩(y, z)

onde os ideais(x2_{, z) e(y, z)s˜ao irredut´ıveis e portanto prim´arios. Neste caso I n˜ao ´e um ideal}

Cap´ıtulo 2

Deriva¸c˜

oes e Diferenciais

Neste cap´ıtulo, faremos uma abordagem sobre as deriva¸c˜oes e suas propriedades. A

seguir vamos caracterizar o m´odulo de diferenciais de K¨ahler que nos ajudar´a a encontrar o

conjunto de todas as deriva¸c˜oes de um m´odulo com o objetivo final de saber quais destas

deriva¸c˜oes preservam determinados ideais. Para caracterizar tais deriva¸c˜oes faremos uso das

seq¨uˆencias exatas, mais especialmente da segunda seq¨uˆencia exata fundamental.

2.1

Deriva¸c˜

oes

2.1 Definic¸˜ao. Sejam A uma k-´algebra, M um A-m´odulo. Uma deriva¸c˜ao de A com valores em M ´e uma aplica¸c˜ao D:A_→M satisfazendo as seguintes condi¸c˜oes:

1. D(a+b) =Da+Db

2. D(ab) =aDb+bDa

3. D(λ) = 0, _∀λ_∈k

Segue das propriedades acima que:

4. D(λa) =λDa, _∀λ_∈k

5. D(an_{) =na}(n−1)_{Da, para todo natural n.}

Observe que decorre da defini¸c˜ao acima que toda deriva¸c˜ao ´e uma Z-deriva¸c˜ao, pois

D(1) =D(1_·1) =D(1) +D(1)

Logo, D(1) = 0. Consequentemente, para todo, λ positivo, temos:

D(λ) = λ

X

D(1) = 0.

Por outro lado,

D(₋1 + 1) = D(0)

D(₋1) +D(1) = 0

D(₋1) = 0

e ent˜ao, podemos concluir que :

D(₋λ) =D(₋1_·λ) = ₋1D(λ) +λD(₋1) = 0.

Ou seja, D(x) = 0 para todo x_∈Z.

Observe que em an´eis sem unidade temos sempre uma deriva¸c˜ao nula.

Exemplo 2.1. Considere D: 2Z→2Z. Temos que:

D(4) = D(2_·2)

= 2D(2) + 2D(2)

= 4D(2)

Por outro lado, temos que D(4) =D(2 + 2) =D(2) +D(2) = 2D(2).

Portanto,

4D(2) = 2D(2)

2D(2) = 0

18

Como a deriva¸c˜ao anula o gerador do anel, dever´a anular todo e qualquer elemento do

anel. Assim o anel 2Z, que ´e um anel sem unidade, admite apenas a deriva¸c˜ao nula. 2.2 Definic¸˜ao. Dados D, D1 ∈Derk(A, M) e a, b∈A definamos :

1. (aD)b =a(Db)

2. a(D+D1) =aD+aD1

Decorre desta defini¸c˜ao que o conjuntoDer(A, M) das deriva¸c˜oes deAcom valores em

M, ´e um A-m´odulo. Se A´e uma k-´algebra, ent˜ao o conjunto Derk(A, M) das k-deriva¸c˜oes de

A com valores em M , ´e um subm´odulo de Der(A, M). Se M = A escrevemos Derk(A) para

Derk(A, M).

2.3 Teorema. Seja A uma k-´algebra. Seja S _⊂ A um sistema multiplicativo tal que 0 _∈/ S. Seja S−1_{A o anel de fra¸c˜oes de A em rela¸c˜ao a S. Para qualquer S}−1_{A-m´odulo B e para}

qualquer D _∈ Derk(A, B) existe uma ´unica D′

∈ Derk(S−1_{A, B) que estende D. Al´em disto,}

tem-se:

D′(x

y) =

yDx₋xDy y2

Demonstra¸c˜ao. Suponha queD′ _{seja uma deriva¸c˜ao que estenda D.Neste caso,}

D(x) =D′(x

1) = D ′

(y_· x y)

= yD′₍x

y) + x yD

′_y

= yD′(x

y) + x yDy

= 1

y ·(y

2_D′₍x

y) +xDy)

Logo,

D′₍x

y) =

yDx₋xDy y2 .

Assim, D′ _{´e determinada por D e tem que satisfazer a rela¸c˜ao acima e, portanto, a}

unicidade est´a provada. Resta mostrar que de fato ela existe, e para isto basta verificar que a

Considere a aplica¸c˜ao D′ _{definida por D}′₍x y) =

yDx−xDy y2 .

Mostremos que, D′ _{: S}−1_{A → B est´a bem definida, isto ´e,} x y =

z

w nos leva a seguinte igualdade:

yDx₋xDy y2 =

wDz₋zDw w2

Sabemos que existe s_∈S tal que s(xw₋yz) = 0. Ent˜ao existe t_∈S tal que:

t_·[w2_{(yDx−xDy)−y}2_{(wDz−zDw)] = 0}

De fato, se s(xw₋yz) = 0 ent˜aosxw=syz.

Assim temos que:

0 = D(sxw₋syz) = D(sxw)₋D(syz)

= [(xw₋yz)Ds+s(xDw+wDx₋yDz₋zDy)](syw)

= s(sxw)yDw₋s2y2wDz+s2w2yDx₋s(syz)wDy

= s2y2zDw₋s2y2wDz+s2w2yDx₋s2w2xDy

= s2[w2(yDx₋xDy)₋y2(wDz₋zDw)]

Para concluir basta verificar que D′ _{satisfaz as propriedades abaixo:}

1. D′₍x y +

z w) =D

′₍xw+zy yw ) =D

′₍x y) +D

′₍z w)

2. D′₍x y ·

z w) = D

′₍xz yw) =

z wD

′₍x y) +

x yD

′₍z w)

3. D′₍λ

1) =

D(λ)−λD(1)

12 = 0

2.4Corol´ario. SejaAumak-´algebra que ´e um dom´ınio de integridade eLum corpo contendo

A. Se D : A _→ L ´e uma deriva¸c˜ao, ent˜ao D pode ser estendido de maneira ´unica para uma

deriva¸c˜ao D′ _:K

→L onde K ´e o corpo de fra¸c˜oes de A. Al´em disso temos

D′₍x

y) =

yDx₋xDy

20

Demonstra¸c˜ao. Segue de forma imediata.

Sendo o nosso ambiente de trabalho an´eis de polinˆomios sobre um corpo, precisamos

verificar como se comportam as deriva¸c˜oes neste ambiente. Como todo polinˆomio ´e uma soma

de monˆomios, encontraremos uma forma de calcular o valor que a deriva¸c˜ao assume em um

polinˆomio analisando o que acontece em cada parcela monomial.

2.5 Proposic¸˜ao. Seja D uma k-deriva¸c˜ao em A = k[x1, x2, . . . , xn], onde k ´e um corpo de

caracter´ıstica zero. Sejam um monˆomio da forma m=xr1_{1 · · ·}xrn

n . Ent˜ao

D(m) =D(xr1_{1 · · ·}xrn

n ) = n

X

ı=1

rıxr11 · · ·xırı−1· · ·xrnnD(xı)

Demonstra¸c˜ao. Seja gr(m) = r1+· · ·+rn o grau do monˆomio m.Usaremos a indu¸c˜ao sobre

gr(m).

Considere gr(m) = 1.Comorı ∈Npara ı∈ {1, . . . , n}temos que existe ∈ {1, . . . , n} tal que r = 1 e rı = 0 para todoı6=.Assim, m =x e portanto D(m) =D(x).

Suponha que para gr(m) = s a igualdade D(m) = n

X

ı=1

rıxr11 · · ·xırı−1· · ·xrnnD(xı) ´e

v´alida.

Paragr(m) = s+1 temos quem =xr1_{1 · · ·}xrn

n ·xıcomı∈ {1, . . . , n}.Logo, aplicando-se a deriva¸c˜ao emm obtemos

D(m) = D(xr1_{1 · · ·}xrn

n ·xı)

= xıD(xr11 · · ·xrnn) +xr11 · · ·xrnnD(xı)

= xı n

X

ı=1

rıxr11 · · ·xırı−1· · ·xrnnD(xı) +xr11 · · ·xrıı· · ·xrnnD(xı)

= n

X

ı=1

(rı+ 1)xr11 · · ·xırı· · ·xrnnD(xı)

2.6 Corol´ario. Seja A = k[x1, . . . , xn] e B um A-m´odulo. Ent˜ao toda k-deriva¸c˜ao D ∈

Demonstra¸c˜ao. Segue de forma imediata.

Assim para definir uma deriva¸c˜ao em um anel de polinˆomios, precisamos apenas indicar

o valor que ela assume no conjunto de geradores do anel .

Consideremos para a proposi¸c˜ao seguinte o anel Acomo sendo A=k[x] e utilizaremos

a nota¸c˜ao usual para representar as derivadas parcias relativas aos geradores do anel.

2.7 Proposic¸˜ao. Se A = k[x] = k[x1, x2, . . . , xn], ent˜ao Derk(A) ´e um A-m´odulo livre, de

posto n e _{∂x1∂ , . . . ,_∂x∂_n} ´e uma base.

Demonstra¸c˜ao. DadoD_∈Derk(A) definaD′ _{∈Derk(A) por}

D′ _=a

1_∂x1∂ +a2_∂x2∂ +· · ·+an_∂x∂_n

em queaı =D(xı).

Temos ent˜ao que D′_{(xı) = a}

i o que nos leva a concluir que D = D′ e portanto D ´e combina¸c˜ao linear das derivadas parciais.

Considere agora ent˜ao a seguinte igualdade:

α1

∂ ∂x1

+α2

∂ ∂x2

+_{· · ·}+αn

∂ ∂xn

= 0

Aplicando xı a esta igualdade obtemos ent˜ao:

n

X

ı=1

aı

∂ ∂xı

(xı) = aı = 0 06ı6n.

Portanto podemos concluir que o conjunto_{∂x1∂ , . . . ,_∂x∂_n}´e linearmente independente sobre A.

Logo, as k-deriva¸c˜oes de um anel de polinˆomios s˜ao geradas pelas derivadas parciais,

ou seja, toda k-deriva¸c˜ao pode ser escrita como uma combina¸c˜ao linear das derivadas parciais

com coeficientes em A. E claro que estes coeficientes coincidem com o valor que a deriva¸c˜ao´

22

Exemplo 2.2. Seja A = k[x, y] e seja D _∈ Derk(A) uma deriva¸c˜ao que satisfaz:

D(x) = x₋y e D(y) = 1. Como sabemos que as deriva¸c˜oes s˜ao combina¸c˜oes lineares das

derivadas parciais podemos escrever que D=a∂ ∂x+b

∂

∂y. Assim temos que:

D(x) = a∂ ∂xx+b

∂

∂yx=a e D(y) = a ∂ ∂xy+b

∂ ∂yy=b.

Portanto temos que D= (x₋y) ∂ ∂x+ 1·

∂ ∂y.

2.8 Proposic¸˜ao. Se ϕ:A_→B ´e um homomorfismo dek-´algebras e D_∈Derk(B, M) ent˜ao

D_◦ϕ_∈Derk(A, M).

Demonstra¸c˜ao. Definaϕ(a)_·v :=a_·v

Para D_◦ϕ _∈Derk(A, M) temos que:

1. D_◦ϕ(a+b) = D(ϕ(a+b)) =D(ϕ(a) +ϕ(b)) =D(ϕ(a)) +D(ϕ(b)) = (D_◦ϕ)a+ (D_◦ϕ)b

2. D_◦ϕ(a_·b) = D(ϕ(a_·b)) =ϕ(b)D(ϕ(a)) +ϕ(a)D(ϕ(b)) = b(D_◦ϕ)(a) +a(D_◦ϕ)(b)

3. D_◦ϕ(λ) =D[ϕ(λ)] =D(Pλ

ı=1ϕ(1)) =D(λϕ(1)) =λD(ϕ(1)) +ϕ(1)D(λ) =λ·0 = 0

Claramente a composi¸c˜ao D_◦ϕ´e uma deriva¸c˜ao definida de A em M.

Exemplo 2.3. Seja A=R[x], B =R[x, y]e M =M2(B). ConsidereD∈DerR(B, M) dada porD(x) =



 x 0

0 0



 e por D(y) =   0 y 0 0  

Podemos calcular ent˜ao novas deriva¸c˜oes a partir de composi¸c˜oes com homomorfismos

como abaixo:

1. Seja ϕ1 : A → B definida por ϕ1(f(x)) = f(x). Ent˜ao temos uma nova deriva¸c˜ao

D′

∈DerR(A, M)definida por:

D′(x) =D_◦ϕ1(x) =D(x) =

2. Sejaϕ2 :A→B definida porϕ2(f(x)) = f(x+y). Ent˜ao novamente temos uma deriva¸c˜ao

D′′

∈DerR(A, M)definida por:

D′′(x) = (D_◦ϕ2)(x) = D(x+y) =D(x)+D(y) =



 x 0

0 0



+ 

 y 0

0 0



= 



x+y 0

0 0





Observa¸c˜ao 2.1. Sejam M e N A-m´odulos. Se ψ _∈homA(M, N) e D_∈Derk(A, M), ent˜aoψ _◦D _∈Derk(A, N).

´

E claro que a express˜ao satisfaz as condi¸c˜oes da defini¸c˜ao de deriva¸c˜ao, como segue:

1. ψ_◦D(a+b) =ψ(Da+Db) = ψDa+ψDb=ψ_◦Da+ψ_◦Db

2. ψ_◦D(ab) =ψ(bDa+aDb) = ψ(bDa) +ψ(aDb) =b(ψ_◦D)a+a(ψ_◦D)b

3. ψ_◦D(λ) =ψ(0) = 0

2.2

O m´

odulo das diferenciais de K¨

ahler

Introduziremos agora uma ferramenta importante para determinarmos o conjunto das

deriva¸c˜oes definidas sobre um m´odulo. Considere ent˜aoA uma k-´algebra e M um A-m´odulo.

2.9 Definic¸˜ao. Seja A uma k-´algebra. Um A-m´odulo Ω, munido de uma k- deriva¸c˜ao d :

A _→ Ω, ´e chamado um m´odulo de diferenciais(de K¨ahler) de A se, para todo A-m´odulo M e

toda δ _∈ Derk(A, M), existir um ´unico ω _∈ HomA(Ω, M) tal que δ = ω _◦d; isto ´e, tal que o

diagrama abaixo seja comutativo:

A _→d Ω

δ _{ց ↓}ω

24

SejaA uma k-´algebra, e escreva uma k-´algebra B definida porB =A_⊗kA. Considere

as aplica¸c˜oesλ1, λ2 :A→B definidas por:

λ1(a) = a⊗1

λ2(a) = 1⊗a

Pela linearidade do produto tensorial temos que λ1 e λ2 s˜ao homomorfismos de k

-´algebras. Dadosa_∈A e x_⊗y_∈B, define-se a multiplica¸c˜ao por escalar :

a_·(x_⊗y) = λ1(a)(x⊗y) = ax⊗y

a_·(x_⊗y) = λ2(a)(x⊗y) = x⊗ay

.

As multiplica¸c˜oes acima fornecem a B =A_⊗kA duas estruturas deA-´algebra .

2.10 Definic¸˜ao. O homomorfismo ξ:B _→A, induzido pela aplica¸c˜ao A-bilinear (x, y)_→xy

´e dito ser o homomorfismo diagonal. Temos ent˜ao que ξ(x_⊗y) = xy.

2.11 Proposic¸˜ao. Seja N _⊂ B o n´ucleo de ξ. Ent˜ao λ1, λ2 induzem a mesma estrutura de

A-m´odulos em N

N2, isto ´e, ∀a ∈ A e f ∈ _NN2, θ(λ1(a))f = θ(λ2(a))f onde θ : B → _NB2 ´e o

homomorfismo canˆonico.

Demonstra¸c˜ao. De fato, se ξ_◦λ1 =ξ◦λ2 =IdA temos que (λ2−λ1)(A)⊆N.

Logo, para todo a_∈A e f _∈N obt´em-se (λ2−λ1)(a)·f ∈N2 e ent˜ao

θ((λ2−λ1)(a)f) = θ((λ2−λ1)(a))·f

= (θ(λ2)(a)−θ(λ1)(a))·f

= θ(λ2(a))f −θ(λ1(a))f = 0.

Para isto basta termos a_·f :=θ(λ2(a))f =θ(λ1(a))f .

2.12 Teorema. Sejam A uma k-´algebra , B =A_⊗kA e N ⊆B o n´ucleo do homomorfismo

diagonalξ;λ1, λ2 como antes, eθ:B → _NB2 o homomorfismo canˆonico. Escrevad=θ◦(λ2−λ1).

1. d :A _→ N

N2 ´e uma k-deriva¸c˜ao.

2. _NN2 ´e gerado como A-m´odulo, por {dy/y∈A}

3. O A-m´odulo _NN2 ´e um m´odulo de diferenciais de K¨ahler

A demonstra¸c˜ao do teorema acima pode ser encontrada em [2].

2.13 Corol´ario. Sejam A uma k-´algebra, m um A-m´odulo. Ent˜ao

HomA(Ω, M)_≃Derk(A, M).

Demonstra¸c˜ao. Segue imediatamente da defini¸c˜ao.

2.3

Seq¨

uˆ

encias Fundamentais

As seq¨uencias fundamentais desempenham um papel importante na determina¸c˜ao do

conjunto das deriva¸c˜oes de um m´odulo. Tais deriva¸c˜oes podem ser encontradas quando

apli-camos homomorfismos na segunda seq¨uˆencia exata fundamental, j´a que o conjunto dos

homo-morfismos definidos do m´odulo das diferenciais de K¨ahler em um m´odulo ´e isomorfo ao m´odulo

das deriva¸c˜oes.

A segunda seq¨uˆencia exata do m´odulo de diferenciais diz respeito `a seguinte situa¸c˜ao

particular: sejam k um anel, I _⊂ A um ideal da k-´algebra A, e B = A

I. A aplica¸c˜ao δ : I → Ωk(A)_⊗AB, definida por δ(x) = dA/kx⊗1, ´e um homomorfismo de A-m´odulos que satisfaz

δ(I2_{) = 0, e induz desta forma um homomorfismo de B-m´odulos δ :} I

I2 → Ωk(A)⊗AB, dada porδ(f) = δ(f).

2.14 Teorema. (Segunda seq¨uˆencia fundamental exata)

1. A seq¨uˆencia de B-m´odulos, abaixo ´e exata.

I I2

δ

−→Ωk(A)O A

B _−→β Ωk(B)_−→0

2. Se A1 = _IA2. Ent˜ao Ωk(A)

N

AB ≃Ωk(A1)

N

26

3. A seq¨uˆencia exata em (1) ´e cindida `a esquerda se, e somente se, a seq¨uˆencia exata natural

de k-´algebras

0_→ I

I2 →

A I2 →

A I →0

´e cindida.

Demonstra¸c˜ao.

1. Uma vez que ϕ:A_→B ´e sobrejetiva, temos que β ´e sobrejetiva eβ_◦δ= 0.Veja que se

D _∈ Der(A, T), onde T ´e um A/I-m´odulo, ent˜ao a sua restri¸c˜ao a I induz, de maneira

natural, um homomorfismo D_|I ∈HomA/I(_II2, T). De fato, para a∈ A, m∈I temos que

D(am) = aDm+mDa = aDm, j´a que mt = 0 para qualquer valor de t _∈ T e m _∈ I.

Seque da´ı ent˜ao que D(I2_{) = 0, logo D ´e umA/I-homomorfismo, que se anula sobreI}2_.

Como visto temos que a seq¨uˆencia

I I2

δ

−→Ωk(A)O A

B _−→β Ωk(B)_−→0

´e exata se, e somente se, a seq¨uˆencia abaixo ´e exata para qualque B-m´odulo T :

HomB(I/I2, T)_←−δ∗ Derk(A, T)_←−β∗ Derk(B, T),

onde δ∗_{(D) = D}

|I. Ent˜ao ´e claro que se D|I ≡ 0, D pode ser vista como a extens˜ao de uma deriva¸c˜ao de B em T.

2. Um homomorfismo deB-m´odulosM _→N´e um isomorfismo se, e somente se, o

homomor-fismo induzidoHomN(M, T)←HomB(N, T) ´e um isomorfismo para qualquerB-m´odulo

T. Portanto,

Ωk(A)O A

B _≃Ωk(A1)

O

A1

B _⇐⇒Derk(A, T)_≃Derk(A

I2, T),

para qualquerB-m´oduloT.Por outro lado, o isomorfismo acima entre m´odulos de deriva¸c˜oes

´e evidente: toda deriva¸c˜ao D _∈ Derk(A, T) satisfaz D(I2) = 0, e portanto induz uma

deriva¸c˜ao D′ _: A

I2 →T definida por D

′_{(a) = D(a).}

Reciprocamente toda deriva¸c˜ao D _∈ Derk(_IA2, T) pode ser vista como uma deriva¸c˜ao

D : A _→ T, que se anula sobre I2_{. Estas associa¸c˜oes s˜ao, pela propriedade universal,}

3. J´a sabemos que a aplica¸c˜ao θ′ _: A

I2 → A_I ´e o homomorfismo natural induzido pelo homo-morfismo canˆonico, definido por θ′_(a+I2_{) = a+I, cujo n´ucleo ´e} I

I2. Suponha que δ tenha inversa `a esquerda, dada da seguinte forma:

σ : Ωk(A)O A

B _−→ I I2

Consideremos a aplica¸c˜aoD:A_{→ I}I2,definida porD(a) = σ(da⊗1).E claro que´ D´e uma

k-deriva¸c˜ao, e satisfaz D(x) = x para qualquer valor de x_∈ I. Colocando-se ρ : A_→ A I2

definida por ρ(a) = a₋D(a),temos um homomorfismo que cumpre ρ(I) = 0,e portanto

induz em A/I-homomorfismo ρ: A I →

A

I2,dado por ρ(a+I) = (a+I

2_)−D(a).

Compondo com o homomorfismo natural, temos que θ′_{(ρ(a)) =θ}′_{(a−D(a)) = a.}

Reciprocamente, suponhamos que exista ρ: A I →

A

I2, tal que θ

′_{◦ρ = 1}

A/I. Consequente-mente, ρ_◦θ′ _: A

I2 → A

I2 ´e um homomorfismo que se anula sobre I I2,eθ

′₍₁

−ρ_◦θ′_{) = 0. Em} particular, temos

0 = (1₋ρ_◦θ′)((f)(1₋ρ_◦θ′)(g) = f g₋f ρ(g)₋gρ(f) +ρ(f)ρ(g),

Ou seja,

f g+ρ(f)ρ(g) = f ρ(g) +gρ(f).

Desta a forma, a aplica¸c˜ao D= 1₋ρ_◦θ′ _{´e uma deriva¸c˜ao. Seχ}

∈HomA/I(_IA2, T), ent˜ao a composta D′ _de

A_−→ A I2

D

−→ _II2

χ

−→T

´e um elemento de Derk(A, T), satisfazendo δ∗_(D′_{) = χ. De fato, para qualquer x ∈ I,}

temos queD′_{(x) = χ(x}

−ρ(θ′_{(x))) =χ(x).Portantoδ}∗_{´e sobrejetiva para todoA/I-m´odulo}

T. Al´em disso se tomarmosT = I

I2,vemos que todo endomorfismo de _II2,inclusive a iden-tidade, corresponde a restri¸c˜ao a I de um elemento deDerk(A,_II2),ou equivalentemente,

a restri¸c˜ao de um elemento de HomA/I(Ωk(A)⊗AA/I,_II2) ao subm´odulo {da;a ∈I}.

Vale salientar que a seq¨uˆencia da demonstra¸c˜ao do primeiro ´ıtem nos permite

ca-racterizar as deriva¸c˜oes de Derk(A_I) como deriva¸c˜oes de Derk(A,A_I) cujas restri¸c˜oes a I s˜ao

Cap´ıtulo 3

Ideais Diferenci´

aveis

Uma vez que j´a conhecemos as deriva¸c˜oes e suas propriedades, neste cap´ıtulo,

definire-mos o conceito de ideais diferenci´aveis e uma forma de encontrar a fam´ılia de deriva¸c˜oes que

os tornem diferenci´aveis. A seguir, em an´eis noetherianos, faremos rela¸c˜oes entre os ideais

dife-renci´aveis e as suas componentes prim´arias, que neste caso herdam a diferenciabilidade, para

uma mesma fam´ılia de deriva¸c˜oes. Relacionaremos tamb´em an´eis locais que s˜ao regulares com

ideais primos n˜ao diferenci´aveis.

3.1

Ideais diferenci´

aveis

Sejam A um anel comutativo com unidade eD uma deriva¸c˜ao de A .

3.1Definic¸˜ao. Um idealI de A ´e chamadoD-invariante ou D-diferenci´avel se D(I)_⊆I. Se

Γ´e uma fam´ılia arbitr´aria de deriva¸c˜oes em A, I ´e dito ser Γ-invariante ou Γ-diferenci´avel se

D(I)_⊆I para cada D_∈Γ.

I ´e chamado de diferenci´avel, se ´e D-diferenci´avel para qualquer que sejaD_∈Der(A).

Exemplo 3.1. Seja A = k[x1, . . . , xn] um anel e I = (f1, . . . , fr) ⊂ A um ideal. Seja

D uma k-deriva¸c˜ao de A, ent˜aoI ´e um ideal D-diferenci´avel se, e somente se, D(fı)∈I para

todo ı= 1, . . . , r.

Dado h _∈ I, h =

r

X

ı=1

aıfı, com aı ∈ A temos que D(h) ∈ I pois I ´e um ideal D

diferenci´avel. Em particular, cada fı ∈I. Logo, temos que D(fı)∈I.

Por outro lado temos que se D(fı)_∈I para todo ı= 1, . . . , r ´e claro que

r

X

ı=1

D(fı)_∈I.

Logo, dado um h =

r

X

ı=1

aıfı ∈ I temos que D(h) = r

X

ı=1

aıD(fı) ∈ I, provando assim que I ´e

D-diferenci´avel.

Em an´eis de polinˆomios sobre um corpo, todo ideal ´e finitamente gerado. Assim para

uma deriva¸c˜ao preservar este ideal, ´e necess´ario e suficiente que preserve os seus geradores, ou

seja, quando aplicada aos geradores do ideal resulte em um elemento do pr´oprio ideal.

Exemplo 3.2. Considerando A = R[x, y, z] e I = (xy, yz) vamos encontrar uma deriva¸c˜ao que preserve I, ou seja, que torne I invariante por esta deriva¸c˜ao.

Seja D uma deriva¸c˜ao de A. Como toda deriva¸c˜ao em an´eis de polinˆomios sobre um

corpo ´e combina¸c˜ao linear das derivadas parcias, escreva D = a ∂ ∂x +b

∂ ∂y +c

∂

∂z. Para I ser

invariante, precisamos queD(xy)eD(yz)_∈I, ou seja, precisamos queD(xy) = xDy+yDx=

bx+ay _∈I e que D(yz) = yDz +zDy =cy +bz _∈ I. Portanto, basta que que a, c_∈ (x, z) e

b_∈(y).

Reciprocamente, a fam´ılia Γ :=_{(x, z)∂ ∂x + (y)

∂

∂y + (x, z) ∂

∂z} preserva o ideal I.

Logo, Γ ´e o conjunto das deriva¸c˜oes que preservam I.

3.2Proposic¸˜ao. Seja I um ideal de um anelA que satisfazI =P1∩P2 onde P1, P2 s˜ao ideais

primos distintos e incompar´aveis. SejaDuma deriva¸c˜ao emA.SeI´e um idealD-diferenci´avel,

ent˜aoP1 e P2 s˜ao tamb´em D-diferenci´aveis.

Demonstra¸c˜ao.

Suponha que f _∈ P1\P2 e g ∈ P2. E claro que´ f g ∈ P1 ∩P2 = I. Como I ´e um ideal

D-diferenci´avel, temos que D(f g)_∈I e consequentemente D(f g)_∈P2.

Por outro lado temos queD(f g) = f D(g)+gD(f)_∈P2e j´a quegD(f)∈P2 temos que

f D(g)_∈P2. ComoP2 ´e um ideal primo, temos que, se f D(g)∈P2 ef /∈P2 obrigatoriamente

D(g) _∈ P2, o que nos leva a concluir que P2 ´e um ideal D-diferenci´avel. De forma an´aloga

30

3.3 Proposic¸˜ao. Sejam I e J dois ideais de um anel A que s˜ao Γ-diferenci´aveis. Ent˜ao, s˜ao

Γ-diferenci´aveis

a) I_∩J

b) I +J

c) I_·J

Demonstra¸c˜ao.

a) Se I e J s˜ao Γ-diferenci´aveis ent˜ao D(I)_⊂ I e D(J)_⊂ J para qualquer D _∈Γ. Assim, se

x_∈I_∩J temos que x_∈I ex_∈J. Como I e J s˜ao Γ-diferenci´aveis ´e v´alido queDx_∈I

e Dx_∈J, o que nos leva a Dx_∈I_∩J. Portanto D(I_∩J)_⊂I_∩J para qualquer D_∈Γ.

Logo I_∩J ´e um ideal Γ-diferenci´avel.

b) Se x _∈ I +J temos que x = u+v em que u _∈ I e v _∈ J. Como I e J s˜ao ideais

Γ-diferenci´aveis temos que D(u) _∈ I e D(v) _∈ J para qualquer D _∈ Γ. Logo D(x) =

D(u+v) = D(u) +D(v)_∈I+J e, portanto,I+J ´e um ideal Γ-diferenci´avel.

c) Se x _∈ I_·J ent˜ao x = X ı∈N

uıv em que uı ∈ I,∀ı e v ∈ J,∀. Assim para D ∈ Γ, temos

que D(x) =D X

ı∈N

uıv

!

=X ı∈N

D(uıv) =

X

ı∈N

[uıD(v) +vD(uı)] e como I eJ s˜ao ideais

Γ-diferenci´aveis, uıD(v) e vD(uı) pertencem a I ·J. Logo, D(x) ∈ I · J ∀D ∈ Γ, e

portanto I_·J ´e um ideal Γ-diferenci´avel.

A seguir mostraremos uma forma mais espec´ıfica de encontrar as deriva¸c˜oes que

preser-vam ideais .

3.4Definic¸˜ao. O conjunto das deriva¸c˜oes que preservam um idealI de um anelA´e denotado por

DI(A) :={δ∈Derk(A)/δ(I)⊂I}.

3.5 Proposic¸˜ao. Se A=k[x1, . . . , xn] e I ⊂A ´e um ideal ent˜ao Derk(A_I)≃

DI(A)

IDerk(A) como A

Demonstra¸c˜ao. Defina a fun¸c˜aoϕ :DI(A)_−→Derk(A

I) comϕ(δ) = ˜δ,onde ˜δ(f) = δ(f)∈ A I.

Mostraremos que ˜δ ´e bem definida e queϕ ´e um homomorfismo de A-m´odulos.

Temos que ker(ϕ) =IDk(A, A).E claro da defini¸c˜ao que ˜´ δ= 0 se e somente seδ(f)_∈I

para cadaf _∈S. Assim, escreva δ= n

X

ı=1

gı

∂

∂x com gı ∈A e δ(x) =g.

Assim temos: δ _∈ker(ϕ)_⇔g∈I ⇔δ ∈IDerk(A).

Agora, de acordo com a segunda seq¨uˆencia exata fundamental (veja teorema 2.14)

temos que :

A I n v −→X ı A I

dxı −→Ωk

A

I

−→0 (3.1)

ondev denota a transposta da matriz jacobiana do conjunto de geradoresf1, . . . , fm deI.

Dualizando 3.1, temos que

0_−→Derk

A

I

−→Derk

A,A I v∗ −→Hom A I n ,A I ,

e portantoDerk A_I

= kerv∗_{. Para verificar queϕ ´e sobrejetiva, seja}

X

ı

g

∂ ∂xı ∈

Dk A I, A I ⊂X ı A I ∂ ∂xı . Ent˜ao, X ı gı ∂ ∂xı !

(f) =X ı

gı

∂f

∂xı ∈

I, = 1, . . . , m

com X ı

gı

∂ ∂xı ∈

DI(A).

Decorre da demonstra¸c˜ao acima que, num anel de polinˆomios, para encontrar os

ge-radores do subm´odulo das deriva¸c˜oes que preservam um ideal I, basta calcular o n´ucleo da

transposta da matriz jacobiana deste ideal m´oduloI.

Exemplo 3.3. Seja A =R[x, y] e seja I = (x2_+y2 _{−1) um ideal de A. Temos que a}

transposta da matriz jacobiana ´e dada por

32

Calculando-se o seu n´ucleo m´oduloI,ou seja, o n´ucleo da matriz( 2x 2y x2_+y2_{−1 ),}

com utiliza¸c˜ao do software Singular, temos queDerk(A_I)´e gerado como A_I-m´odulo porn₋y_∂x∂ +x_∂y∂ o.

Neste caso, as deriva¸c˜oes que s˜ao geradas pelo conjunto acima, s˜ao tamb´em as deriva¸c˜oes

que preservam o ideal I.

Exemplo 3.4. Sejam A =R[x, y, z] e I = (x2_+y2 _+z2_{−1). A transposta da matriz}

jacobiana ´e dada por:

δ = ( 2x 2y 2z ).

Calculando o seu n´ucleo m´odulo I, obtemos que Derk(A_I) ´e gerado por

−z ∂ ∂y +y

∂ ∂z,−y

∂ ∂x +x

∂ ∂y,−z

∂ ∂x +x

∂ ∂z

.

Assim, o conjunto acima, gera a fam´ılia Γ de deriva¸c˜oes que preservam I.

Exemplo 3.5. Sejam A = R[x, y, z] e I = (x2_{y, y}2_{z, yz}2_{). A matriz jacobiana ´e dada}

por: δ =     

2xy x2 ₀

0 2yz y2

0 z2 _2yz



   

Calculando-se o seu n´ucleo m´odulo I, temos que o conjunto das deriva¸c˜oes que

preser-vam I ´e gerado por

x ∂

∂x, z

2 ∂

∂x, yz ∂ ∂x, y

∂ ∂y, x

2 ∂

∂z, z ∂ ∂z

.

Podemos escrever ent˜ao a fam´ılia Γ de deriva¸c˜oes que preservam I da seguinte forma:

Γ =_{(x, z2, yz) ∂

∂x + (y) ∂ ∂y + (x

2_{, z)} ∂

∂z}.

De uma forma espec´ıfica, temos que o conjunto das deriva¸c˜oes que preservam um ideal

monomialI _⊂A´e dado por DI(A) =Ln_ı=1(I : (I :xı))_∂x∂_ı, como pode ser visto em [3].

De acordo com o exemplo acima, temos que:

I : (I :x) = (x, z2_{, yz)}

I : (I :y) = (y)

3.6 Definic¸˜ao. Se A n˜ao possui ideais Γ-diferenci´aveis com excess˜ao dos ideais (0) e (1),

ent˜ao A ´e chamado de Γ-simples, ou apenas simples se Γ ´e o conjunto de todas as deriva¸c˜oes

em A.

De modo an´alogo, se um ideal I _⊂A n˜ao ´e preservado por alguma das deriva¸c˜oes do

anelA,dizemos que este ideal ´e n˜ao diferenci´avel. Veremos mais tarde que estes ideais possuem

uma interpreta¸c˜ao geom´etrica interessante.

3.2

Ideais diferenci´

aveis e a decomposi¸c˜

ao prim´

aria

J´a vimos que o anel de polinˆomios sobre um corpo ´e um anel noetheriano e portanto

admite decomposi¸c˜ao prim´aria. Sabemos tamb´em que para um ideal decompon´ıvel, a

decom-posi¸c˜ao prim´aria n˜ao ´e unica, embora preserve a lista dos ideais primos associados. Nosso

ob-jetivo ´e encontrar uma decomposi¸c˜ao prim´aria de um ideal Γ-diferenci´avel, cujas componentes

prim´arias sejam Γ-diferenci´aveis. Para garantir a diferenciabilidade das componentes prim´arias,

precisamos de v´arias decomposi¸c˜oes prim´arias distintas. Como em an´eis de polinˆomios esta n˜ao

´e uma tarefa r´apida, estenderemos o anel para o anel formal das s´eries de potˆencia, pois atrav´es

de automorfismos teremos uma boa variedade de decomposi¸c˜oes prim´arias para um mesmo

ideal, j´a que a“propriedade” primariedade ´e preservada por automorfismos.

Considere A∗ _{:= A[[t]] o anel de s´eries formais de potˆencia em uma vari´avel com}

coeficientes emA; e sejaDuma deriva¸c˜ao deA.Considere as extens˜oes canˆonicas das deriva¸c˜oes

em A, dadas por D(P

aıtı) =PD(aı)tı com aı ∈A. Observe que esta deriva¸c˜ao que obtemos

em A∗ _{coincide com a deriva¸c˜ao Dde A.Ent˜ao esta deriva¸c˜ao poder´a ser denotada porD sem}

perda de generalidade.

Seja A um anel contendo os n´umeros racionais e seja E a seguinte express˜ao:

E = 1 +tD+ t

2

2!D

2₊ t3

3!D

3₊

· · ·

que pode ser denominada como E =etD_{, em decorrˆencia da sua similaridade com a expans˜ao}

34

Ent˜ao temos que

Eα= (etD_{)α = (1 +tD+} t2 2!D

2₊ t3

3!D

3_{+· · ·)α}

= α+tDα+ t

2

2!D

2_α+t3

3!D

3_α+

· · ·

para cadaα _∈A∗_.

Observe que a aplica¸c˜ao que associa a cada α o valor determinado por Eα ´e um

automorfismo emA∗_{. De fato, dados a, b}

∈A∗ _temos:

E(a+b) = etD(a+b)

= a+b+tD(a+b) + t

2

2!D

2_{(a+b) +} t3

3!D

3_{(a+b) +· · ·}

= a+b+tDa+tDb+ t

2

2!D

2_{(a) +} t2

2!D

2_{(b) +} t3

3!D

3_{(a) +} t3

3!D

3_{(b) +}

· · ·

= [a+tDa+t

2

2!D

2_{(a) +} t3

3!D

3_{(a) +}

· · ·] + [b+tDb+ t

2

2!D

2_{(b) +} t3

3!D

3_{(b) +}

· · ·]

= etDa+etDb

= Ea+Eb

E(a)_·E(b) = etDa_·etDb

= (1 +tD+ t

2

2!D

2₊ t3

3!D

3₊

· · ·)a_·(1 +tD+ t

2

2!D

2₊ t3

3!D

3₊

· · ·)b

= [a+tDa+t

2

2!D

2_a+ t3

3!D

3_a+

· · ·]_·[b+tDb+ t

2

2!D

2_b+t3

3!D

3_b+

· · ·]

= ab+ [taDb+tbDa] + [t

2

2!aD

2_b+t2

2!2DaDb+

t2

2!bD

2_{a] +}

· · ·

= ab+tD(ab) + t

2

2!D

2_{(ab) +}

· · ·

= etD(ab)

= E(ab)

Al´em disso, note que etD_(e−tD_{)α = e}−tD_(etD_{)α = α. Assim como a aplica¸c˜ao possui}

uma inversa, temos que ´e, de forma clara, bijetora.

3.7 Lema. Sejam A um anel noetheriano, I um ideal e A ֒_→i A∗ _{o homomorfismo canˆonico.}

Ent˜ao:

Demonstra¸c˜ao. Sejaα_∈A∗ _{e β ∈I; ent˜ao α=}P

aıtı, aı ∈A. Portanto temos que:

α_·β = (Xaıtı)β =

X

aıβtı=

X bıtı

com bı ∈I.

3.8 Corol´ario. Seja I =I1∩I2 com I1 e I2 ideais de A. Ent˜ao I ·A∗ =I1A∗∩I2A∗. Al´em

disso temos que IA∗

∩A=I.

Demonstra¸c˜ao. Se α _∈IA∗_{, ent˜ao α =}P

bıtı;bı ∈ I. Mas como bı ∈I1 e bı ∈ I2 temos que

α_∈I1A∗ e que α∈I2A∗, e portanto α∈I1A∗∩I2A∗. Logo IA∗ ⊂I1A∗ ∩I2A∗.

Por outro lado temos que se α_∈I1A∗∩I2A∗ podemos escreverα=Pbıtı,ondebı ∈I1

ebı ∈I2. Assimbı ∈I1∩I2 =I e da´ıα∈IA∗.Logo I1A∗ ∩I2A∗ ⊂IA∗.

Das inclus˜oes acima podemos concluir que IA∗ _=I

1A∗∩I2A∗ e que IA∗∩A=I.

Para demonstrar um dos teoremas abaixo, precisamos trabalhar com os ideais

esten-didos definidos acima. Como nosso objetivo ´e encontrar componentes prim´arias diferenci´aveis

garantimos com os lemas abaixo que os ideais prim´arios que s˜ao estendidos continuam sendo

prim´arios. Para isto, demonstraremos primeiro que ideais primos estendidos continuam sendo

primos e ent˜ao para mostrarmos que ideais prim´arios estendidos s˜ao tamb´em prim´arios

usare-mos o fato de possuir apenas um ´unico ideal primo associado.

3.9 Lema. Sejam A um anel noetheriano e p um ideal primo. Ent˜ao pA∗ _{´e um ideal primo.}

Demonstra¸c˜ao. Sejam f = ∞

X

ı=0

aıtı e g = ∞

X

=0

bıt dois elementos de A∗ tais que f g ∈ pA∗, e

suponha queg = ∞

X

=0

bıt∈/ pA∗. Considere ent˜aor o menor ´ındice tal quebr ∈/ p,logo podemos

escreverg =g1+g2 com g1 =b0+b1t+· · ·+br−1tr−1 ∈pA∗ e g2 =brtr+br+1tr+1+· · ·∈/ pA∗.

Ent˜ao f g = f(g1 +g2) = f g1 +f g2 ∈ pA∗ e como f g1 ∈ pA∗ temos que f g2 ∈ pA∗.

J´a que f g2 =

∞

X

k=r

cktk, com ck =

X

ı+=k

aıb ∈ p, temos que cr = a0br ∈ p, e como br ∈/ p temos

que a0 ∈ p. De maneira an´aloga temos que cr+1 =a0br+1+a1br ∈ p e como a0br+1 ∈ p ent˜ao

36

De uma maneira gen´erica temos que cr+k = akbr + k

X

s=1

ak−sbr+s ∈ p e como por

recorrˆencia k

X

s=1

ak−sbr+s ∈ p temos que ak ∈ p para k > 0. Logo, f ∈ pA∗ e portanto pA∗

´e um ideal primo.

3.10 Lema. Sejam A um anel noetheriano,q um ideal prim´ario com p o seu primo associado. Ent˜aoqA∗ _{´e prim´ario e pA}∗ _{´e seu primo associado.}

Demonstra¸c˜ao. Temos que q_⊂ p e portanto qA∗

⊂pA∗_{. Assim} √_qA∗ _⊆ √_pA∗ _{= pA}∗_{. Por} outro lado, como A ´e um anel noetheriano, existe um r tal que pr _⊂ q. Logo, prA∗ _{⊂ qA}∗ _e

portanto, √pr_A∗ _=pA∗

⊆√qA∗_.

Deste modo, podemos concluir que √qA∗ _=pA∗_.

Afirma¸c˜ao: Ass(qA∗_{) =}

{pA∗

}.

Suponhap′ _∈Ass(qA∗_).ComoA∗_{´e um anel noetheriano podemos escrever p}′ _{= (qA}∗ _:

v) comv /_∈qA∗_{,e suponha quev =a}

0+a1t+a2t2+· · ·+artr+· · · em quer´e o menor ´ındice tal quear ∈/ q. Ent˜ao podemos escreverv =v1+v2 com v1 =a0+a1t+a2t2+· · ·+ar−1tr−1 ∈qA∗

ev2 =artr+ar+1tr+1+· · ·∈/qA∗. Note que v2 =tr·v2′ com v′2 =ar+ar+1t+· · ·∈/ qA∗.

Nestas condi¸c˜oes temos que (qA∗ _{: v) = (qA}∗ _{: v}′

2). De fato, (qA∗ : v) ⊆ (qA∗ : v2′)

pois se f _∈ (qA∗ _{: v) temos que f v =f(v}

1+v2) = f(v1 +trv2′) = f v1+trf v′2 ∈ qA∗; e como

f v1 ∈qA∗ temos tamb´em que trf v2′ ∈qA∗, o que nos leva a concluir que f v′2 ∈qA∗ e portanto

f _∈ (qA∗ _:v′

2). Reciprocamente, temos que (qA∗ :v)⊇(qA∗ : v2′) pois se f ∈(qA∗ : v2′) temos

quef v′

2 ∈qA∗.Comof v =f(v1+v2) =f(v1+trv′2) =f v1+trf v2′ ef v1 ∈qA∗ ent˜aof v∈qA∗,

nos levando assim af _∈(qA∗ _:v).

Podemos ent˜ao escrever p′ _{= (qA}∗ _{:w) em quew=w}

0+w1t+· · · com w0 ∈/ q,e como

√

qA∗ _=pA∗ _{temos que pA}∗

⊆p′.

Seja agora f =b0+b1t+· · · ∈p′\pA∗, sendos o menor ´ındice tal quebs∈/p. Escreva

f =f1+f2 comf1 =b0+b1t+· · ·+bs−1ts−1 ∈pA∗; ent˜ao temosf2 =f−f1 =bsts+bs+1ts+1+

· · · ∈p′ _\pA∗ _{com b}

s ∈/ p. Temos ainda que f2 =bsts+bs+1ts+1+· · · = ts(bs+bs+1t+· · ·) e

comop′ ´e primo ets_{∈/ p}′ _{temos (b}

Logo, (bs+bs+1t+· · ·)·w∈qA∗ e portanto bsw0 ∈q. Masq´e um ideal p-prim´ario, e

comobs∈/p temos que ar ∈q, o que nos leva a uma contradi¸c˜ao.

Assim, pA∗ _{⊇ p}′_{, e portanto qA}∗ _{possui um ´unico primo associado, isto ´e, qA}∗ _{´e um}

idealpA∗_-prim´ario.

3.11Lema. SejaA um anel noetheriano contendo os n´umeros irracionais e sejaΓuma fam´ılia de deriva¸c˜oes de A. Ent˜ao o ideal I ´e Γ-diferenci´avel se, e somente se, IA∗ _{´e invariante por}

{etD_{/D ∈Γ}.}

Demonstra¸c˜ao. Considere queIA∗ _{´e invariante, e seja a}

∈I e D_∈Γ; ent˜ao temos que

etD(a) = 1_·a+tDa+ t

2

2!D

2_a+

· · ·=a+ta′+_{· · · ∈}IA∗.

Logo, fica claro que a′ _{= Da}

∈ I para qualquer valor de a _∈ I, e assim I ´e Γ-diferenci´avel.

Reciprocamente temos que seI ´e Γ-diferenci´avel,D(I)_⊂I para cadaD_∈Γ.Portanto,

seα_∈IA∗_{, α=}P

aıtı com aı ∈I temos que

etD(α) = 1_·α+t_·D(α) + t

2

2!D

2_{(α) +}

· · ·

com D(α) _∈ I para todo D _∈ Γ. Escrevendo Dn_{(α) = α}

n com αn ∈ I, a express˜ao acima se resume etD_{(α) =} P

αn · t

n

n! pertencendo claramente a IA

∗_{, sendo assim Γ-invariante por}

{etD_{/D ∈Γ}.}

Podemos concluir ent˜ao que tendo um idealD-diferenci´avel, o seu estendido ´e invariante

por uma express˜ao escrita em fun¸c˜ao deD. Logo, garantimos a diferenciabilidade de ideais por

meio da invariˆancia dos seus estendidos.

3.12 Teorema. Seja A um anel noetheriano e seja Γ uma fam´ılia de deriva¸c˜oes em A e I

um ideal Γ-diferenci´avel com p₁, . . . ,p_s seus primos associados. Ent˜ao p₁, . . . ,p_s s˜ao ideais

Γ-diferenci´aveis; al´em disto I pode ser escrito como uma intersec¸c˜ao q1 ∩ · · · ∩ qs de ideais

38

Demonstra¸c˜ao. Seja I = q1 ∩ · · · ∩qs com qı prim´arios associados a pı onde ı = 1, . . . , s.

Ent˜ao

IA∗ _{= (q}

1∩ · · · ∩qs)A∗ =q1A∗∩ · · · ∩qsA∗

ondeqıA∗ ´e prim´ario compıA∗ seu primo associado.

Aplicando o automorfismoetD _{comD∈Γ,n´os temos quee}tD_(IA∗_{) =e}tD_(q

1A∗)∩ · · · ∩

etD_(q

sA∗) onde etD(qıA∗) ´e prim´ario e etD(pıA∗) ´e seu primo associado, ı= 1, . . . , s.

Pelo lema 3.11 IA∗ _{´e invariante e temos tamb´em que e}tD _{permuta p}

ıA∗, ou seja,

etD_(p

ıA∗) =pA∗.

Ent˜ao se a_∈pı,aplicando o automorfismo descrito acima temos queetD(a) =a+ta′+

. . ._∈A∗_p

 agora com a∈p e da´ıpı ⊂p.

Mas por outro lado temos que pıA∗ =e−tD(pA∗) e portanto p ⊂pı o que nos leva a

pı=p.

Agora suponha prı

ı ⊂ qı com ı= 1, . . . , s e fixe a seq¨uˆencia (r1, . . . , rs). Ent˜ao IA∗ = q1A∗∩ · · · ∩qsA∗ e (pıA∗)rı ⊂qıA∗.

Considere agora todas as representa¸c˜oes deIA∗ _=q′

1∩ · · · ∩q′scom q′ı prim´ario e sendo

pıA∗ seu primo associado. Tome a seguir a interse¸c˜ao de todas estas representa¸c˜oes em que

(pıA∗)rı ⊂q′ı.

Seja IA∗ _{= q}

1 ∩ · · · ∩qs. Ent˜ao qı ´e prim´ario com pıA∗ o seu primo associado e se

IA∗ _{= q}′

1 ∩ · · · ∩q′s ´e uma outra representa¸c˜ao ent˜ao qı ⊂ q′ı. Aplicando o automorfismo etD com D_∈Γ,vemos que qı⊂etD(qı).

De forma an´aloga temos que qı ⊂ e−tD(qı) e da´ı temos que qı ´e invariante pelo

auto-morfismo.

Seja qı ∩ A = q∗ı. Ent˜ao q∗ı ´e prim´ario com pı seu primo associado, e ´e claro que

(pı)rı _⊂q∗

ı e q∗ıA∗ ⊂qı com ı= 1, . . . , s.

Como IA∗

∩A = I obtemos que IA∗ _{= q}∗

1A∗ ∩ · · · ∩ q∗sA∗ com uma propriedade importante: qı ⊂q∗ıA∗.

Assim, se I ´e um ideal Γ-diferenci´avel e decompon´ıvel, existe uma decomposi¸c˜ao

prim´aria, cujas componentes prim´arias s˜ao Γ-diferenci´aveis. O teorema acima ´e existencial,

ou seja, prova que existe uma decomposi¸c˜ao prim´aria cujas componentes prim´arias s˜ao

Γ-diferenci´aveis, mas n˜ao fornece qual decomposi¸c˜ao assume esta propriedade. Em primeiro lugar

desenvolveremos alguns resultados encontrados como conseq¨uˆencia deste teorema.

3.13 Corol´ario. Se A n˜ao tem ideal pr´oprio primo e Γ-diferenci´avel ent˜ao, ´eΓ-simples. 3.14 Corol´ario. Se I ´e um ideal Γ-diferenci´avel, ent˜ao √I ´e Γ-diferenci´avel.

Demonstra¸c˜ao. Se I ´e diferenci´avel, temos que todos os seus primos associados s˜ao

Γ-diferenci´aveis. Assim sep1, . . . ,pn s˜ao os ideais primos associados a I e como a intersec¸c˜ao de

ideais Γ-diferenci´aveis ´e Γ-diferenci´avel, temos que√I =p1∩ · · · ∩pn ´e Γ-diferenci´avel.

Exemplo 3.6. Seja A = R[x, y] e I um ideal de A dado por I = (x2_{, xy). A fam´ılia}

de deriva¸c˜oes Γ : (x)_∂x∂ + (y)_∂y∂ preserva I e, de acordo com o ´ultimo teorema, deve preservar

tamb´em os primos associados a I.

De fato, como temos que I = (x2_{, xy) = (x)∩(x}2_{, y) = (x)∩[(x, y)]}2_{, os seus primos}

associados s˜ao (x) e (x, y) e tais ideais s˜ao preservados por Γ pois para D _∈ Γ, D := g1x_∂x∂ +

g2y_∂y∂ com g1, g2 ∈A, obtemos :

i) D(x) =g1x_∂x∂ (x) +g2y_∂y∂ (x) =g1x∈(x)

ii) D(y) = g1x_∂x∂(y) +g2y_∂y∂(y) = g2y∈(y).

Neste caso(x)_∩(x2_{, y)´e uma decomposi¸c˜ao prim´aria paraI cujas componentes prim´arias}

j´a s˜ao Γ-diferenci´aveis. Observe que para f, h_∈A temos que:

i) D(f x) =g1x_∂x∂ (f x) +g2y_∂y∂ (f x) =

g1x∂f_∂x+g1f +g2y∂f_∂y

x_∈(x)

ii) D(f x2_{+hy) =D(f x}2_{) +D(hy) = 2f g}

1+g1x∂f_∂x +g2y∂f_∂y

x2_+g

1x∂h_∂x+g2y∂h_∂y +g2h

y_∈

40

Para o exemplo acima, a decomposi¸c˜ao prim´aria encontrada j´a possu´ıa componentes

prim´arias diferenci´aveis. Como isto nem sempre acontece, dado um ideal diferenci´avel,

pre-cisamos determinar uma forma de encontrar a decomposi¸c˜ao prim´aria cujas componentes s˜ao

diferenci´aveis.

Para ideais principais monomiais que s˜ao Γ-diferenci´aveis, temos uma maneira simples

de encontrar as componentes prim´arias Γ-diferenci´aveis, pois escrevendo este ideal como

inter-sec¸c˜ao de dois ideais quaisquer monomiais e principais preservamos a diferenciabilidade para a

fam´ılia Γ de deriva¸c˜oes.

3.15 Proposic¸˜ao. Seja A = k[x1, . . . , xn] e seja I um ideal Γ-diferenci´avel com I = (m) =

(m1 · m2) = (m1) ∩(m2) onde m, m1, m2 ∈ A s˜ao monˆomios. Ent˜ao (m1) e (m2) s˜ao Γ

-diferenci´aveis.

Demonstra¸c˜ao. Seja m = xr1_{1 · · ·}xrn

n com algum rı 6= 0, ı = 1, . . . , n. Ent˜ao temos que

I = (m) = (xrı

ı )∩(xr22 · · ·xrnn).

Considere Γ =_{Dλ}λ∈Λ uma fam´ılia de deriva¸c˜oes tal que I ´e Γ-diferenci´avel.

Temos que (xı) ´e Γ-diferenci´avel pois ´e um primo associado a I, com rı 6= 0. Assim

(xrı

ı ) ´e Γ-diferenci´avel pois D(xrıı) = rıxırı−1D(xı), e como D(xı) ⊂ (xı), podemos escrever

D(xı) = f xı onde f ∈A.Logo D(xrıı) =rıxırı−1D(xı) = rıf xırı ∈(xrıı).

Suponha m=m1·m2 = (x

rı1 ı1 · · ·x

r_ıl ıl )·(x

r_ıl+1 ıl+1 · · ·x

rın

ın )

Calculemos Dλ(m1) = Dλ(x

rı1 ı1 · · ·x

r_ıl ıl ) =

l

X

=1

rıx

rı1 ı1 · · ·x

rı−1 ı · · ·x

rı

ı Dλ(xı)

Como os primos m´ınimos de I, _{(xı)/xı ∈ supp{m}}, s˜ao Γ-diferenci´aveis, temos que

Dλ(xı) ∈ (xı para todo xı ∈ supp{m1}. Portanto para cada xı ∈ supp{m1} temos que

Dλ(xı) =hıxı para hı ∈A.

Logo Dλ(m1) =

l

X

=1

rıhıx

rı1 ı1 · · ·x

r_ıl ıl =

l

X

j=1

rıhı

! m1.

Assim, Dλ(m1)∈(m1) para qualquerDλ ∈Γ. De forma an´aloga temos queDλ(m2)∈

(m2) para qualquer Dλ ∈Γ.

· · · ∩(xrn

n ), e suas componentes ser˜ao diferenci´aveis.

Se o ideal diferenci´avel n˜ao ´e principal, mesmo que possamos escrevˆe-lo como uma

intersec¸c˜ao de ideais gerados por monˆomios, esta decomposi¸c˜ao pode n˜ao preservar

diferencia-bilidade como mostra o exemplo abaixo.

Exemplo 3.7. Considere o ideal I de R[x1, x2, x3, x4, x5] dado por

I = (x1x2, x2x3, x3x4, x4x5, x1x5, x2x4, x3x5).

Seja D:=x4_∂x1∂ . Observe que D preserva o ideal I.

Podemos escrever I como uma intersec¸c˜ao de dois ideais I1 e I2 da forma:

I1 = (x1, x2x3, x3x4, x4x5, x1x5, x2x4, x3x5)

I2 = (x2, x2x3, x3x4, x4x5, x1x5, x2x4, x3x5)

onde I =I1∩I2.

Observe que I1 ou I2 n˜ao s˜ao necessariamente preservados porD. Para provarmos isto

basta aplicar a deriva¸c˜ao acima nos geradores de I1 e I2.

Neste caso temos que o ideal I2 ´e D-diferenci´avel. Em I1 temos que D(x1) =x4 ∈/ I1;

portanto I1 n˜ao ´e diferenci´avel.

3.16 Proposic¸˜ao. Seja I _⊂ A =R[x1, x2, . . . , xn] um ideal monomial Γ-diferenci´avel e Jı = [Dλ(xı)]_⊂(I :I :xı),ondeDλ ∈Γ.SeH´e um ideal, tal queJı⊂H,ent˜aoH´eΓ-diferenci´avel.

Demonstra¸c˜ao. Sejaxr1₁ xr2_{2 · · ·}xrn

n e seja Dλ ∈Γ uma deriva¸c˜ao. Ent˜ao temos que :

Dλ(xr1₁ xr2_{2 · · ·}xrn

n ) = n

X

ı=1

rıxr11 · · ·xrı

−1

ı · · ·xrnnDλ(xı).

Como Dλ(xı)_∈Jı temos que Dλ(xı)∈ H e consequentemente Dλ(xr11 x

r2

2 · · ·xrnn)∈H. Logo H est´a sendo preservado por Γ e ent˜ao temos que H ´e Γ-diferenci´avel.

Observe que nem todos os ideais prim´arios associados a ideais primos diferenci´aveis