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O ensino e a aprendizagem das funções racionais com a calculadora gráfica: uma experiência com alunos do 11ºano

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janeiro de 2015

Hélder Manuel da Silva Ribeiro

UMinho|20

15

Hélder Manuel da Silva Ribeir

o

Universidade do Minho

Instituto de Educação

O ensino e a aprendizagem das funções

racionais com a calculadora gráfica: uma

experiência com alunos do 11ºano

O ensino e a aprendizagem das funções racionais com a calculadora gráfica: uma e

xperiência com alunos do 1

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Relatório de Estágio

Mestrado em Ensino de Matemática no 3.º Ciclo

do Ensino Básico e no Ensino Secundário

Trabalho realizado sob a orientação do

Doutor Floriano Augusto Veiga Viseu

Universidade do Minho

Instituto de Educação

Hélder Manuel da Silva Ribeiro

O ensino e a aprendizagem das funções

racionais com a calculadora gráfica: uma

experiência com alunos do 11ºano

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AGRADECIMENTOS

Agradeço a todos os que contribuíram para que a concretização deste Relatório designadamente:

Ao meu supervisor, Doutor Floriano Augusto Veiga Viseu, pela sua constante predisposição, pelo seu apoio, pelas ideias e sugestões.

Ao meu orientador, doutor Marco Pereira pela sua ajuda, pela autonomia que sempre me disponibilizou, pelo entusiasmo e pelas suas críticas pertinentes.

A todos os professores da escola pelo excelente acolhimento que tiveram para comigo. Aos alunos da turma em estudo, pela simpatia e pelo excelente envolvimento nas tarefas que sempre tiveram ao longo da minha intervenção.

Ao meu colega de estágio, João Barros, pela amizade, ajuda prestada e pelo debate de ideias. Aos meus pais e à minha namorada pela força que me deram e por todo o apoio incondicional. Sem eles nada disto teria sido possível.

Aos meus amigos, pela presença constante tanto nos momentos de frustração como nos momentos de sucesso.

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O ENSINO E APRENDIZAGEM DAS FUNÇÕES RACIONAIS COM A CALCULADORA GRÁFICA: UMA EXPERIÊNCIA COM ALUNOS DO 11.º ANO

Helder Manuel da Silva Ribeiro

Mestrado em Ensino de Matemática no 3.º Ciclo do Ensino Básico e no Ensino Secundário Universidade do Minho, 2015

RESUMO

Este estudo teve como principal objetivo averiguar o contributo da calculadora gráfica no ensino e na aprendizagem das funções racionais numa turma do 11.º ano de Matemática A. Para concretizar este objetivo estabeleceram-se as seguintes questões de investigação: (1) Como utiliza o aluno a calculadora gráfica nas atividades de aprendizagem das funções racionais? (2) Que dificuldades manifestam os alunos no estudo das funções racionais? (3) Que perceções têm os alunos sobre a utilização da calculadora gráfica na sua aprendizagem das funções racionais? Para responder a estas questões recolheu-se informação através dos seguintes métodos de recolha de dados: entrevista; questionário; produções dos alunos e gravações de aulas.

Os tópicos abordados no estudo das funções racionais foram: funções do tipo y = a +

b cx+d, x ≠

−𝑑

𝑐 continuidade e assíntotas, restrição e prolongamento de uma função racional.

Da análise aos dados recolhidos constatou-se que os alunos recorreram com maior frequência à calculadora gráfica para confirmação dos resultados obtidos de forma analítica. Trata-se de um dos formatos de implementação da calculadora gráfica na sala de aula, que confere ao aluno um feedback importante de modo a dar-lhe incentivo e segurança na resolução de tarefas.

Os resultados obtidos permitem perceber que as dificuldades mais sentidas pelos alunos foram no subtema de restrição e prolongamento de funções racionais, embora tenham revelado também dificuldades em utilizar o conceito intuitivo de limite para determinar as assíntotas de gráficos de funções racionais, bem como na compreensão do conceito de continuidade. Relativamente às perceções dos alunos sobre a calculadora gráfica, verificou-se que estes a consideram importante para a sua aprendizagem, consideram-na útil para confirmar resultados, mas não dispensam o papel e o lápis nas suas resoluções.

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TEACHING AND LEARNING OF RATIONAL FUNCTION WITH GRAPHICAL CALCULATOR: AN EXPERIENCE WITH 11TH GRADE STUDENTS.

Helder Manuel da Silva Ribeiro

Masters in Teaching Mathematics in the 3rd Cycle of Basic Education Secondary Education Minho University, 2015

ABSTRACT

This study aimed to investigate the contribution of graphical calculator in teaching and learning of rational functions in a class of the 11th year of mathematics A. To achieve this goal

settled the following research questions: (1) How the student uses the graphical calculator in learning activities of rational functions? (2) What difficulties manifest students in the study of rational functions? (3) What perception has students about the use of graphical calculator in their learning of rational functions.

To answer these questions, information was collected through the following data collection methods: interview; questionnaire; productions of students and classes recordings.

Topics covered in the study of rational functions were: type functions y = a +c+db , x ≠

−𝑑

𝑐 , continuity and asymptotes and restriction and extension of a rational function.

The analysis of the data collected, was found that students have greater recourse to the graphing calculator to confirm the results obtained analytically. This is one of formats of the implementation of graphing calculator in the classroom, which gives the student an important feedback to give him encouragement and security in solving tasks.

The results allowed realizing that the difficulties experienced by most students were in the sub-theme of restriction and extension of rational functions, while they also have revealed difficulties in using the intuitive concept of limit to determine the asymptotes of rational functions graphics as well as in understanding the concept of continuity. Regarding the students' perceptions of the graphing calculator, it was found that these consider important to their learning, consider it useful to confirm results, but not exempt the paper and the pencil in its resolutions.

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INDICE DECLARAÇÃO ... ii RESUMO... v ABSTRACT ... vii INDICE ... ix INDICE DE TABELAS ... xi

INDICE DE FIGURAS ... xii

INDICE DE QUADROS ... xiii

CAPÍTULO 1 ... 1

INTRODUÇÃO ... 1

1.1. Tema, finalidades e questões de investigação ... 1

1.2. Pertinência ... 3 1.3. Estrutura do relatório ... 4 CAPÍTULO 2 ... 5 2.1. Enquadramento contextual ... 5 2.1.1. Caracterização da Escola ... 5 2.1.2. Caracterização da turma ... 6 2.2. Enquadramento teórico ... 8

2.2.1. O ensino das funções racionais ... 8

2.2.2. Calculadora gráfica no ensino e na aprendizagem de funções racionais ... 10

2.3. Estratégias de intervenção ... 12

2.3.1. Metodologias de ensino e aprendizagem ... 12

2.3.2. Estratégias de avaliação da ação ... 14

CAPÍTULO 3 ... 17

3.1. Conhecimentos prévios dos alunos sobre tópicos de funções ... 17

3.2. Prática pedagógica ... 23

3.2.1. Continuidade e assíntotas ... 24

3.2.2. Estudo de funções do tipo 𝑦 = 𝑎 +𝑐𝑥+𝑑𝑏 b, c ≠ 0 , x ≠−dc ... 28

3.2.3. Restrição e prolongamento de uma função racional ... 31

3.3. Avaliação da intervenção ... 35

CAPÍTULO 4 ... 41

4.1. Conclusões ... 41

4.1.1. Como utiliza o aluno a calculadora gráfica nas atividades de aprendizagem das funções racionais? ... 41

4.1.2. Que dificuldades manifestam os alunos no estudo das funções racionais? ... 42 4.1.3. Que perceções têm os alunos sobre a utilização da calculadora gráfica na sua

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aprendizagem das funções racionais? ... 42

4.2. Implicações para o ensino e aprendizagem ... 43

4.3. Recomendações e limitações... 45

BIBLIOGRAFIA ... 47

ANEXOS ... 51

Teste diagnóstico ... 53

Questionário final de aula ... 57

Questionário ... 61

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INDICE DE TABELAS

Tabela 1 - Média do desempenho dos alunos, na disciplina de Matemática, no 11.º ano. ... 7

Tabela 2- Conceção de função racional na perspetiva dos alunos ... 9

Tabela 3 - Objetivos das questões do teste diagnóstico. ... 17

Tabela 4- Distribuição das respostas dos alunos ao teste diagnóstico (n=21) ... 18

Tabela 5 - Síntese da intervenção. ... 24

Tabela 6 - Perceção dos alunos quanto aos aspetos positivos e negativas da utilização da calculadora gráfica no estudo das funções racionais ... 38

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INDICE DE FIGURAS

Figura 1 - Aproveitamento final dos alunos no ano anterior... 6

Figura 2 - Desempenho à disciplina de Matemática no ano anterior. ... 7

Figura 3 - Questão 1 do grupo I do teste diagnóstico ... 18

Figura 4 - Resolução do aluno A11 à questão 1 do grupo I do teste diagnóstico ... 19

Figura 5 - Resolução do aluno A2 à questão 1 do grupo I do teste diagnóstico ... 19

Figura 6 - Questão 2 do grupo I do teste diagnóstico ... 19

Figura 7 - Resolução do aluno A15 à questão 2 do grupo I do teste diagnóstico ... 19

Figura 8 - Resolução do aluno A11 à questão 2 do grupo I do teste diagnóstico ... 20

Figura 9 - Questão 3 do grupo I do teste diagnóstico ... 20

Figura 10 - Resolução do aluno A4 à questão 3 do grupo I do teste diagnóstico ... 20

Figura 11 - Questão 4 do grupo I do teste diagnóstico ... 21

Figura 12 - Questão 1 do grupo II do teste diagnóstico ... 21

Figura 13 - Resolução do Aluno A7 à questão 1.1 do grupo II do teste diagnóstico ... 22

Figura 14 - Resolução do aluno A3 à questão 1.2 do grupo II do teste diagnóstico ... 22

Figura 15 - Resolução do aluno A15 à questão 1.5 do grupo II do teste diagnóstico ... 23

Figura 16 - Tarefa 1 sobre o tópico continuidade e assíntotas ... 24

Figura 17 - Resolução dos alunos A3 e A19 à Tarefa 1 sobre continuidade e assíntotas ... 25

Figura 18 - Resolução dos alunos A15 e A16 à Tarefa 1 sobre continuidade e assíntotas ... 25

Figura 19 - Resolução dos alunos A6 e A8 à Tarefa 1 sobre continuidade e assíntotas ... 25

Figura 20 - Tarefa 2 relativa ao tópico de continuidade e assíntotas ... 26

Figura 21 - Resolução da tarefa 2 dos alunos A12 e A22 ... 26

Figura 22 - Resolução da tarefa 2 dos alunos A1 e A4. ... 27

Figura 23 - Projeção do emulador da calculadora gráfica ... 27

Figura 24 - Tarefa 3 ... 29

Figura 25 - Resolução à tarefa 3 alínea a) do aluno A15. ... 29

Figura 26 - Resolução à tarefa 3 alínea b) do aluno A13. ... 30

Figura 27 - formato de utilização da calculadora gráfica na resolução das tarefas da aula 8 do aluno A11. ... 30

Figura 28 - Formato de utilização da calculadora gráfica na resolução das tarefas da aula 8 do aluno A8. ... 31

Figura 29 - Tarefa 4 ... 32

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INDICE DE QUADROS

Quadro 1 - Formas de utilização da calculadora gráfica e respetivas dificuldades no desenvolvimento das questões a), b), c) e d) da tarefa 2 ... 28 Quadro 2 - Formas de utilização da calculadora gráfica e respetivas dificuldades no desenvolvimento das questões a), b) da tarefa 3. ... 31 Quadro 3 - Formas de utilização da calculadora gráfica e respetivas dificuldades no desenvolvimento das questões 1,2,3,4,5,6 da tarefa 4. ... 34 Quadro 4 - Número de alunos segundo as opções de resposta relativas ao tema das funções racionais (n=18) ... 35 Quadro 5 - Número de alunos segundo as opções de resposta relativas à calculadora gráfica ... 36

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CAPÍTULO 1 INTRODUÇÃO

Neste capítulo procede-se à apresentação do tema em estudo, evidenciando as suas finalidades e objetivos tratados, seguem-se algumas considerações sobre a pertinência do estudo no âmbito da Educação Matemática e, por fim descreve-se, de forma resumida, a estrutura do relatório.

1.1. Tema, finalidades e questões de investigação

O tema em estudo incide sobre o ensino e a aprendizagem das funções racionais com a calculadora gráfica. A escolha do tema deve-se à minha experiência enquanto aluno e à crença de que a calculadora gráfica constitui uma ferramenta fulcral no ensino e aprendizagem de conceitos matemáticos. Enquanto aluno do ensino secundário, constatei que o recurso a esta ferramenta era pouco frequente. A explicação gráfica do conceito matemático era geralmente feita no quadro, por vezes com gráficos pouco rigorosos, o que dificultava a minha compreensão. À medida que evoluí como aluno no mestrado de ensino de matemática no 3.º ciclo do ensino básico, surgiu a curiosidade de perceber de que forma os alunos utilizavam a calculadora gráfica e que perceções tinham da sua utilização.

O desenvolvimento da minha prática pedagógica acompanhada pela elaboração deste relatório possibilitou desenvolver um processo de investigação diretamente articulado com a prática educativa. Neste sentido, o desenvolvimento deste projeto visa, por um lado, a minha formação e, por outro lado, a melhoria das aprendizagens dos alunos no tema das funções racionais através de uma metodologia de ensino que valoriza a atividade dos alunos e a utilização da calculadora gráfica nas suas aprendizagens.

O estudo das funções tem-se revelado como um dos mais importantes na Matemática, assumindo não só um papel central e unificador nesta área do conhecimento mas também a sua compreensão torna-se indispensável a outros ramos das ciências, tais como a Física, Química, Biologia, Geografia ou Economia. No 11.º ano de escolaridade, os alunos quando iniciam o tema das funções racionais já possuem conhecimentos sobre o conceito de função, as propriedades das funções polinomiais e sobre o que resulta de transformações simples de funções. Ao longo desse estudo, emerge a relevância da articulação entre a representação analítica e a gráfica. O programa do 11.º ano (Ministério da Educação, 2002) aponta para a

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importância do aluno recorrer, por vezes, a uma destas representações e, por outras, à conexão entre ambas. É justamente na conexão entre estas duas representações que os estudantes apresentam muitas dificuldades, tais como apontam os estudos realizados por Ainsworth (1997), Duval (1988) e Tall (1994).

Admitindo uma das causas dessas dificuldades a metodologia de ensino e os recursos utilizados pelos professores de matemática, pareceu-me pertinente desenvolver neste projeto um método de ensino que despertasse interesse dos alunos. Uma maior ênfase na utilização da calculadora gráfica pode dar ao aluno um contributo importante para ultrapassar algumas das suas dificuldades de aprendizagem. Segundo Ponte (1995), a calculadora gráfica “incentiva o investimento no desenvolvimento de capacidades intelectuais de ordem mais elevada, como o raciocínio, a resolução de problemas e capacidade crítica, que se situam para além do cálculo e da compreensão de conceitos e relações matemáticas simples” (p. 23). Considerando a potencialidade da calculadora gráfica no desenvolvimento de algumas destas atividades, delineei as seguintes finalidades do meu projeto: (i) Promover ambientes de aprendizagem com ênfase na calculadora gráfica; (ii) Motivar os alunos nas aprendizagens do tema das funções racionais; e (iii) desenvolver competências que possibilitem os alunos aprender ao longo da vida.

Associadas às dificuldades sentidas pelos alunos na aprendizagem do tema das funções racionais poderá estar a forma como os alunos utilizam a calculadora gráfica. Apesar de existirem estudos em que “a utilização de calculadoras (…) em abordagens ativas e exploratórias da Matemática incentivam a curiosidade, o aumento de confiança e o gosto dos alunos por esta disciplina“ (Ponte, 1997, p. 121), existem outros estudos que identificam casos em que os “alunos não encaram favoravelmente a utilização da calculadora” (Ponte, 1997, p. 121). Deste modo, torna-se necessário ter presente, por um lado, as formas de utilização da calculadora gráfica no ensino e aprendizagem da matemática e, por outro, as perceções dos alunos sobre a sua utilização. Associada a esta problemática, formulei as seguintes questões de investigação:

1) Como utiliza o aluno a calculadora gráfica nas atividades de aprendizagem das funções racionais?

2) Que dificuldades manifestam os alunos no estudo das funções racionais?

3) Que perceções têm os alunos sobre a utilização da calculadora gráfica na sua aprendizagem das funções racionais?

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1.2. Pertinência

O recurso à calculadora gráfica tem reunido consenso das instâncias políticas quanto às suas potencialidades na educação matemática. Segundo o NCTM (2008), a utilização de materiais tecnológicos é “essencial no ensino e na aprendizagem da matemática; influencia a matemática que é ensinada e melhora a aprendizagem dos alunos. As tecnologias eletrónicas, calculadoras e computadores, constituem ferramentas essenciais para o ensino, a aprendizagem e o fazer matemática” (pp. 26-27). A calculadora gráfica além de ser um recurso considerado imprescindível no desenvolvimento de conceitos matemáticos, em especial o conceito de função, também é considerada de utilização obrigatória pelos programas atuais de Matemática do ensino secundário (Ministério da Educação, 2002).

Segundo Rocha (2000), existem poucos estudos relacionados com a forma como os alunos utilizam a calculadora gráfica, o que torna pertinente a sua identificação, uma vez que as ferramentas tecnológicas, como por exemplo as calculadoras gráficas, exigem métodos de ensino diferentes dos que habitualmente são designados por tradicionais. Em detrimento de uma conceção de ensino que valoriza a atividade do professor na transmissão aos alunos do conhecimento matemático, emerge hoje em dia a conceção de ensino que considera o envolvimento dos alunos como fator determinante na construção desse conhecimento. Por isso, a utilização da calculadora gráfica “nas aulas de matemática implica a tomada de decisões ao nível da organização do ensino e ao nível do próprio ensino” (Fernandes & Vaz, 1998, p. 43). Por tratar-se da integração de um recurso com outros meios já utilizados no ensino de matemática, é importante identificarmos as formas de utilização desta ferramenta na aprendizagem dos alunos, pois “como qualquer outro instrumento, pode, simplesmente, ser bem ou mal usado” (Ponte, 1989, p. 1). Segundo este autor, a calculadora gráfica é um instrumento rico de potencialidades e “proporciona a exploração de novas estratégias e métodos de trabalho, como a tentativa e erro e as aproximações sucessivas“ (idem). Contudo, não se pense que a integração da calculadora no ensino da matemática constitui a solução de todos os problemas uma vez que a calculadora gráfica também apresenta limitações. Segundo Borrões (1998), “o acesso a esta tecnologia não dá qualquer garantia de que o aluno se torne alfabetizado em matemática. As calculadoras e os computadores, quando se usam em matemática, são ferramentas que simplificam, mas não executam o trabalho” (p. 13).

De modo a desenvolver estratégias que conduzam a melhorias significativas no ensino/aprendizagem do tópico das funções racionais, importa averiguar as perceções dos alunos sobre a utilização da calculadora gráfica e as suas dificuldades. Sendo o conceito de

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função um dos mais importantes em Matemática e tendo em consideração que o seu estudo integra conceitos abstratos, é natural que os alunos tenham dificuldades em relacioná-los nas suas diferentes representações. Como futuro professor, é fundamental estar consciente dos obstáculos que o aluno se vê envolvido ao longo da sua aprendizagem de forma a criar estratégias de ensino adequadas.

1.3. Estrutura do relatório

O Relatório de Estágio encontra-se organizado em quatro capítulos. No capítulo I – Introdução, para além de se descrever em que consta cada capítulo do relatório de estágio, apresenta-se ainda o tema, as suas finalidades, os objetivos e a pertinência do estudo efetuado. No capítulo II – Enquadramento contextual e teórico, justifica-se a relevância do projeto segundo o contexto e a literatura. Este capítulo encontra-se dividido em três subcapítulos. No primeiro, enquadramento contextual, carateriza-se a escola e a turma onde se desenvolveu a intervenção de ensino. No segundo subcapítulo, enquadramento teórico, descrevem-se as estratégias de ensino e aprendizagem utilizadas na intervenção de ensino. Por último, apresentam-se as estratégias investigação/avaliação da ação usadas na avaliação do processo de intervenção.

No capítulo III – Intervenção pedagógica, descreve-se, documenta-se e avalia-se o processo da intervenção pedagógica. Inicialmente, é apresentada uma análise dos conhecimentos prévios dos alunos sobre tópicos de funções. Seguidamente, ilustram-se momentos da prática pedagógica e, por último, apresentam-se as perceções dos alunos sobre esta intervenção com a calculadora gráfica.

Por último, no capítulo IV – Conclusões, Implicações, Recomendações e Limitações, faz-se um sumário das principais conclusões deste estudo, procurando-faz-se dar resposta às questões de investigação inicialmente propostas. De seguida, referem-se as principais limitações do estudo e, por último, são referidas algumas considerações didáticas bem como algumas sugestões para futuros estudos.

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CAPÍTULO 2

ENQUADRAMENTO CONTEXTUAL E TEÓRICO

Este capítulo encontra-se dividido em três secções nas quais se descreve o contexto de intervenção — a escola e a turma — as metodologias e as estratégias utilizadas na concretização do projeto devidamente justificadas à luz do contexto e da literatura.

2.1. Enquadramento contextual

Este subcapítulo apresenta uma caracterização da escola e da turma onde se realizou o projeto de intervenção.

2.1.1. Caracterização da Escola

A escola secundária onde este estudo teve lugar situa-se no concelho de Amares. Esta escola oferece formações diversificadas em diferentes níveis de ensino, nomeadamente Cursos profissionais, Cursos científicos-humanísticos, Educação e Formação de Adultos (EFA) e Cursos de Educação e Formação para Jovens (CEF). Os alunos desta escola usufruem de boas condições a todos os níveis. As salas de aula apresentam-se equipadas com, no mínimo, um computador com ligação à Internet e um projetor multimédia. A escola tem ao seu dispor 9 salas de informática, 156 computadores e 7 quadros interativos. Dos quatro blocos que estruturam a escola, dois são relativos às salas de aula, outro integra os serviços administrativos e um outro é o pavilhão gimnodesportivo.

O projeto educativo da escola apresenta como princípio orientador a “formação integral do aluno enquanto cidadão livre, autónomo e responsável promovendo o desenvolvimento das suas capacidades cognitivas, motoras, artísticas, sociais e morais” (p. 15). Trata-se de uma orientação que visa criar condições que possibilitem fortalecer e alicerçar a autonomia pessoal dos seus alunos, a sua responsabilidade, autoestima e sentido crítico. A nível pedagógico, verifica-se neste documento uma preocupação da escola em dar prioridade ao apoio dos alunos às disciplinas com maior taxa de insucesso. Nas disciplinas de Português e Matemática A os alunos da escola têm apresentado um desempenho inferior à média nacional nos últimos três anos. Para combater esta problemática, ainda no projeto educativo, apontam-se estratégias tais como: “valorizar o papel do Gabinete de Apoio ao Aluno (…) [e dar] prioridade na constituição de equipas pedagógicas que acompanhem os alunos nos ciclos de estudo” (p. 17).

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A escola onde concretizei a minha prática pedagógica apresenta como principais pontos fortes a valorização das aprendizagens e a diversificação da oferta educativa, o que lhe confere capacidade de angariação de receitas próprias e bom empenho do pessoal docente e não docente na definição de estratégias que visam melhorar as aprendizagens. Por outro lado, apresenta debilidades no desempenho dos alunos do 9.º e 12.º ano nos exames nacionais, frágil participação dos encarregados de educação no ambiente escolar e deficiente cultura consolidada e participada de autoavaliação. Esta escola é também potenciadora de várias atividades que procuram incentivar os alunos na participação da vida escolar. Entre elas, destaca-se a equipa robótica da escola que se sagrou campeã do mundo de dança robótica (Robocup) pelo segundo ano consecutivo.

No que respeita à avaliação externa, esta escola foi avaliada em bom em todas as vertentes (prestação do serviço educativo, organização e gestão escolar, liderança, capacidade de autorregulação). Segundo o documento da avaliação externa da escola, é evidenciada uma preocupação quanto à garantia de que todos os alunos, mesmo os mais carenciados, tenham ao seu dispor uma calculadora gráfica, “fornecendo, em regime de empréstimo, a todos quantos não as possam adquirir” (p. 10).

De um modo geral, a escola é acolhedora e promove várias atividades lúdicas e formativas de forma a propiciar experiências de aprendizagens diversificadas.

2.1.2. Caracterização da turma

A turma onde decorreu a minha intervenção pedagógica era do 11.º ano de escolaridade e constituída por 9 rapazes e 12 raparigas. Os alunos da turma revelaram ser bem comportados, apesar de alguns deles serem bastante conversadores, e quase todos transitaram para o 11.º ano com aproveitamento a todas as disciplinas, como se pode verificar na Figura 1:

Figura 1 - Aproveitamento final dos alunos no ano anterior.

O aproveitamento dos alunos na disciplina de Matemática no 10.º ano foi também positivo, como ilustra a Figura 2:

19% 14% 67%

Aproveitamento final

Transitaram com uma classificação inferior a 10

Transitaram com duas classificação inferior a 10

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Figura 2 - Desempenho à disciplina de Matemática no ano anterior.

No ano letivo anterior, após diagnóstico das principais dificuldades dos alunos, o Conselho de Turma definiu como prioritário aumentar a qualidade das aprendizagens dos alunos que revelam mais dificuldades e criar hábitos de trabalho impulsionadores do sucesso. Nesse sentido, foram propostas estratégias de modo a proporcionar momentos de realização de tarefas escritas individuais ou em grupo. Para melhorar a organização de ideias e articulação de conteúdos, solicitou-se uma maior e melhor participação dos alunos em situação de sala de aula. Foram ainda incentivados os hábitos de estudo fora da sala de aula e a frequência das aulas de apoio disponibilizadas pelos professores da turma, para além do reforço do controlo dos trabalhos de casa.

No que diz respeito ao desempenho dos alunos na disciplina de Matemática ao longo do ano letivo (2012/13), em que decorreu a minha intervenção, a turma obteve uma média positiva nos três períodos. Em termos de género, as raparigas apresentaram, nos três períodos, uma média de desempenho superior à dos rapazes (Tabela 1).

Tabela 1 - Média do desempenho dos alunos, na disciplina de Matemática, no 11.º ano. 1.º Período (𝑥̅) 2.º Período (𝑥̅) 3.º Período (𝑥̅)

Turma 11,2 11,4 11,7

Raparigas 12,2 12,3 13,1

Rapazes 10,0 10,2 9,9

Em termos gerais, os alunos terminaram o ano letivo com aproveitamento a Matemática, o que mostra o gosto pela disciplina. Ao longo da minha intervenção pedagógica confirmei isso mesmo. Os alunos manifestaram recetividade às tarefas que lhes propus, assim como a maior parte deles procurou participar e envolver-se nas atividades das aulas.

Da análise das características da escola e da turma desde logo me apercebi que me deparava com as condições ideais para a concretização do meu projeto de intervenção. No entanto, tendo em conta que o meu colega de estágio implementou o seu projeto na mesma turma que eu, senti que os alunos estavam um pouco apreensivos devido à presença de três professores dentro da sala de aula, o que também foi referido por alguns estudantes em conversas informais que tive com eles.

76% 24%

Desempenho a Matemática

Transitou com aproveitamento a matemática Transitou com negativa matemática

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2.2. Enquadramento teórico

Este subcapítulo apresenta, numa primeira parte, a fundamentação teórica do projeto e, numa segunda parte, descrevem-se as metodologias e as estratégias de avaliação da ação desenvolvida.

2.2.1. O ensino das funções racionais

O tema relativo a funções racionais é iniciado no 11.º ano de escolaridade e conserva, no essencial, o tipo de abordagem relativa ao ano anterior. Segundo o programa do 11.º ano (Ministério da Educação, 2002), pretende-se neste ano escolar ampliar os conhecimentos do 10.º ano relativo ao tema funções. Como em qualquer tema em matemática, o estabelecimento de uma estratégia adequada de ensino que contemple diversos tipos de tarefa e momentos próprios para a sua exploração, reflexão e discussão entre todos os intervenientes na sala de aula faz com que o professor dê um passo importante na criação de oportunidades que potenciem as aprendizagens dos alunos. No estudo das propriedades das funções racionais emerge a relevância da articulação entre a representação analítica e a gráfica. Como sugere o programa de Matemática A do 11.º ano (Ministério da Educação, 2002), no estudo de algumas dessas propriedades os alunos recorrem, por vezes, a uma destas representações e, por outras, recorrem à conexão entre as duas representações.

Face a esta problemática, Carvalho, Ferreira e Ponte (2011) analisaram diferentes tarefas resolvidas por uma aluna do 11.º ano de Matemática envolvendo funções racionais. Esse estudo concluiu que a abordagem às diferentes formas de representação pode promover “a construção de imagens dinâmicas dos gráficos, contribuindo para uma maior flexibilidade no trabalho com essas funções” (p. 14). Por sua vez, Abrantes (1997) defende que o estudo das funções seja feito com ênfase no estabelecimento de relações entre as diferentes representações. Segundo Vinner e Dreyfus (1989), as tarefas que envolvem a conexão entre as diferentes representações são fundamentais na compreensão do conceito de função. Todavia, segundo Domingos (1994), a aprendizagem destes diferentes registos de representação não é fácil para os alunos e, por isso, revelam dificuldades, acabando por utilizar apenas uma representação. Por outro lado, também a noção de função racional constitui um obstáculo para a aprendizagem do tema. Parece simples resumir a noção de função com base na forma como esta aparece no nosso dia-a-dia (Domingos, 1994). No entanto, deve-se ir mais longe e o conceito deve tornar-se num objeto que a mente pode manipular (Sierpinska, 1992). Um estudo de Nair (2010), em que participaram dezanove estudantes, com o objetivo de perceber as suas

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noções sobre o conceito de função racional, as suas dificuldades e conceções erróneas, relativamente à noção de função racional, os autores organizaram as respostas dos alunos em três categorias (Tabela 2):

Tabela 2- Conceção de função racional na perspetiva dos alunos

Conceito de função racional Número

de respostas [Limitado] Conceito de

número  “Como um número racional ”  “os gráficos são bonitos”, “inteiros”, ”par”,

“simétrico”, “contínuos”, “descomplicados”. 15/19 Conceito de fração  Em forma de fração sem variável no

denominador, sempre contínuo.

 Sempre descontínua em algum lugar, gráfico aparece em várias peças, todas as funções racionais têm assíntotas verticais.

1/19 Conceito de

descontinuidade 3/19

Verifica-se que a conceção dos alunos de função racional se limita ao conceito de número. Neste estudo, os alunos evidenciaram ideias pouco claras e mostraram-se muito confusos nas suas respostas. Para a autora, “o estudo de funções racionais e das assíntotas dos seus gráficos, segue o estudo de funções, revelando-se como fundamentais no campo da matemática” (Nair, 2010, pp. 1-2). No entanto, as funções racionais é também um tema em “que os alunos raramente desenvolvem uma compreensão adequada” (Nair, 2010, p. 2). Ao longo deste estudo, os alunos evidenciaram dificuldades na conexão entre os conceitos de assíntota do gráfico de uma função e de limite; na identificação das assíntotas do gráfico de uma função recorrendo à expressão algébrica; no cálculo do domínio de uma função racional; e na construção analítica de uma função dada uma determinada assíntota horizontal.

Por outro lado, Domingos (1994) refere que “os alunos apresentam dificuldades em identificar o que é uma variável ou quais são as variáveis envolvidas no processo. Eles não analisam a situação, mas tomam-na como um todo” (p. 33). Na perspetiva deste autor, a noção de variável é um pré-requisito fundamental para uma completa compreensão das na sua globalidade. A causa dessas dificuldades deve-se ao facto de se tratar de conceitos abstratos e complexos (idem). Como forma de combater algumas dessas dificuldades, nomeadamente problemas de representação, o uso da calculadora gráfica pode ser uma forma prática de superar obstáculos.

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2.2.2. Calculadora gráfica no ensino e na aprendizagem de funções racionais

A tecnologia assume nos dias de hoje um papel indiscutivelmente importante na sociedade. O sistema educativo não lhe é indiferente e como consequência disso tem-se vindo a assistir a inúmeras alterações nomeadamente ao nível do currículo de Matemática. Segundo Hong (2000), o uso da calculadora gráfica nas escolas acarreta alterações inevitáveis nos métodos de ensino e consequentemente uma mudança nas aprendizagens da Matemática. A esse respeito, Cardoso (1995) acrescenta que o uso das calculadoras gráficas nas aulas de Matemática, para além de ter originado mudanças inevitáveis no relacionamento do aluno com a aprendizagem da disciplina, também provocou uma modificação dos “métodos memorizados que se esquecem facilmente para um desenvolvimento de capacidades mais duradouras como seja a compreensão e intuição matemática” (p. 30). Por outras palavras, o recurso a esta tecnologia requer que o professor trabalhe com os seus alunos novos aspetos da disciplina, tais como a resolução de problemas, a comunicação, o raciocínio matemático e as conexões. Essa opinião é partilhada por Ponte (1997), para quem a calculadora gráfica obriga a “relativização da importância das competências de cálculo e de simples manipulação simbólica, uma vez que o cálculo numérico e algébrico é realizado de forma mais eficiente pelas máquinas, que, neste domínio, superam o ser humano em rapidez e rigor” (p. 98). A utilização da calculadora gráfica no ensino da matemática veio alargar o leque de tarefas que o aluno pode resolver, uma vez que o liberta de procedimentos rotineiros e fastidiosos, deixando-o disponível para atividades mais enriquecedoras (Rocha, 1998). Essas alterações devem-se, sobretudo, ao reconhecimento das vantagens relativas ao uso da calculadora nas salas de aula. Vários estudos apontam nesse sentido. Por exemplo, Bigode (1998) conclui que “quando libertados do cálculo, os alunos conseguem se concentrar melhor nas relações entre os dados, nas condições e nas variáveis dos problemas. Em outras palavras, canalizam suas energias para o raciocínio” (p. 45). Por seu lado, o NCTM (2008) afirma que “a tecnologia é essencial no ensino e na aprendizagem da matemática; influencia a matemática que é ensinada e melhora a aprendizagem dos alunos” (p. 26).

O programa de Matemática do ensino secundário atualmente em vigor (Ministério da Educação, 2002) também refere que o uso de calculadoras gráficas nas atividades de aprendizagem de conteúdos matemáticos permite a “condução de experiências matemáticas, elaboração e análise de conjeturas” (p. 16) e cada aluno deve realizar “investigação e exploração de várias ligações entre diferentes representações para uma situação problemática” (p. 16). O programa refere também, por um lado, a importância da confrontação dos resultados teóricos

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com os da calculadora gráfica e, por outro lado, a relevância da descrição dos raciocínios e interpretação dos resultados nas tarefas que se pretende que sejam resolvidas com a calculadora gráfica (Ministério da Educação, 2002). Este recurso tecnológico também permite “que se trabalhe com um muito maior número de funções em que diversas características, como os zeros e os extremos, não se podem determinar de forma exata” (p. 16). A utilização da calculadora gráfica no processo de ensino-aprendizagem “é considerada como um campo privilegiado para o desenvolvimento de capacidades e de atitudes positivas” (Borrões, 1998, p. 29). Outros autores, como Borba e Penteado (2003), Scheffer et al. (2004), Cláudio e Cunha (2001), apoiam esta ideia e defendem que o uso da calculadora gráfica na sala de aula possibilita um melhor entendimento de fórmulas e conceitos matemáticos. Novas formas de representação, associadas à utilização da calculadora gráfica, desafiam o professor a integrá-las nas suas estratégias de ensino. Em particular, para o estudo das funções é fundamental que o aluno estabeleça relações entre tabelas, gráficos e símbolos, avaliando as vantagens e as desvantagens de cada representação e que adquiram a capacidade de passar informação de uma representação para a outra (NCTM, 2008).

Quanto às formas de implementar a calculadora gráfica na sala de aula, Waits e Demana (1994) referem três formatos: (i) abordagem analítica seguida da calculadora para verificar; (ii) abordagem com a calculadora seguida de uma abordagem analítica; e (iii) apenas uma abordagem usando a calculadora pois a resolução analítica é irrealizável ou mesmo impossível. De acordo com Waits e Demana (1994), a primeira forma de implementação da calculadora confere ao aluno feedback importante de modo a dar-lhe incentivo e segurança na resolução das tarefas. Na segunda, a calculadora assume o papel de mediador de conjeturas e hipóteses, fornecendo indícios importantes para a resolução analítica. Por último, a abordagem apenas com a tecnologia é justificada quando se torna impossível realizar a resolução com papel e lápis.

Waits e Demana (1994) defendem que as representações gráficas auxiliadas pelo uso da calculadora podem incentivar o aluno na manipulação algébrica. Domingos (1994) considera que a sobreposição de gráficos de várias funções é uma das funcionalidades da calculadora que possibilita “ajudar o aluno no estudo da influência dos vários parâmetros numa dada família de funções” (p. 44). Por outro lado, segundo Drijvers (1993), a utilização da calculadora gráfica permite não só facilitar os alunos na manipulação de um grande número de funções mas também no processo de conjeturas ajudando-o a construir a sua própria teoria. No entanto, um estudo realizado por Ruthven (1997) revela que o trabalho envolvendo a calculadora gráfica

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deve incluir também um forte sentido crítico na interpretação dos resultados obtidos e não apenas se limitar à questão do uso da ferramenta ou os contextos dessa utilização.

Tendo presente as vantagens e limitações da própria máquina, torna-se ainda necessário considerar um conjunto específico de dificuldades dos alunos que tende a decorrer da integração da calculadora gráfica no ensino das funções racionais. Um dos erros mais comuns dos alunos está ligado a questões de escala, mais especificamente na escolha de valores para a janela de visualização dos gráficos (Rocha, 2000). Por sua vez, Cavanagh (2006) menciona a tendência dos alunos pela escolha de valores simétricos e iguais nos dois eixos. Segundo o autor, esta preferência demonstra dificuldades em compreenderem o impacto que a escolha dos valores da escala tem na visualização do gráfico. Como exemplo disso mesmo, Como exemplo disso mesmo, Hector (1992) dá um exemplo da função racional x3−10x2+x+50

x−2 e as janelas de

visualização [−10, 10]×[−70, 70] e [−100, 100]×[−7000, 7000]. Verifica-se que a função racional com uma simples mudança de escala parece converter-se numa parábola. Face a esta problemática, é importante que o professor esteja atento às dificuldades associadas à utilização da calculadora pelos alunos de forma a chamar “continuamente a atenção para as discrepâncias entre, por exemplo, o gráfico que seria de esperar e aquele que é exibido pela calculadora gráfica” (Rocha, 2012, p. 119).

Sendo a calculadora gráfica de uso obrigatório na disciplina de Matemática e face às suas potencialidades educativas que lhe é reconhecida, ao longo do Ensino Secundário deve ser dada uma especial relevância à sua utilização de modo a despertar nos alunos o desenvolvimento de competências de raciocínio e pensamento matemático.

2.3. Estratégias de intervenção

Neste subcapítulo são descritas as estratégias de ensino e aprendizagem da intervenção recorrendo à literatura e ao contexto teórico para justificar a sua importância bem como a descrição das estratégias de avaliação da ação e a sua relevância na resposta aos objetivos propostos no projeto.

2.3.1. Metodologias de ensino e aprendizagem

Papel do professor e do aluno. Na concretização deste relatório, a forte convicção de que “aprender resulta sobretudo de fazer e de refletir sobre esse fazer” (Ponte, 2003, p. 16) manteve-se sempre presente ao longo da minha intervenção. Nos momentos em que os alunos resolviam as tarefas propostas, procurei dar-lhes o feedback necessário para que pudessem

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avançar nas suas resoluções, atuando como mediador da sua aprendizagem. Nos momentos de discussão da resolução das tarefas, procurei colocar questões aos alunos de forma a promover o diálogo, a discussão e a participação entre todos os intervenientes. Em relação ao papel dos alunos, procurei envolvê-los nas atividades de aprendizagem, conferindo-lhes alguma responsabilidade no seu processo de desenvolvimento cognitivo. Assim sendo, acredito numa filosofia de ensino que valoriza a atividade do aluno. As orientações atuais do programa de Matemática apontam no sentido da participação ativa entre alunos e professores sendo estes responsáveis na gestão e no processo de ensino e aprendizagem (Ministério da Educação, 2002).

Tarefas. A seleção das tarefas a realizar na sala de aula influencia o processo de ensino aprendizagem. Segundo Ponte (2005), “as tarefas são um elemento fundamental na caracterização de qualquer currículo, pois elas determinam em grande medida as oportunidades de aprendizagem oferecidas aos alunos” (p. 31). É dever do professor selecionar e organizar as tarefas a propor com o objetivo de desenvolver as competências requeridas. Assim, as tarefas propostas ao longo da minha intervenção apresentavam um grau de dificuldade variado: tarefas de natureza mais acessível, com o intuito da execução de um dado procedimento; tarefas de natureza mais desafiante, de forma a apelar à inteligência dos alunos incentivando-os a estabelecer as suas conjeturas e discutir sobre elas. Para que isso fosse possível, concedi o tempo que achei necessário para que os alunos tentassem resolver as tarefas.

Como o tema deste relatório se relaciona com o uso da calculadora gráfica, as tarefas apresentadas foram elaboradas visando, por um lado, concretizar os objetivos curriculares e, por outro, recolher informação que me permita responder às questões de investigação. Desta forma, é importante criar situações em que se desperte o interesse dos alunos no que se refere à utilização da calculadora gráfica. Neste sentido, é importante a escolha cuidadosa de tarefas que enquadrem a utilização deste recurso tecnológico de forma vantajosa e que motivem os alunos para a sua utilização. Tendo em conta esse objetivo, enfatiza-se a importância de propor tarefas mais incentivadoras de aprendizagem “onde as calculadoras gráficas assumem um papel importante na medida em que podem estabelecer conexões quando utilizadas como meios incentivadores do espírito de pesquisa e do espírito crítico” (Silva & Seixas, 2010, p. 147).

Torna-se urgente descobrir metodologias que “levem os alunos a encarar as tarefas matemáticas como algo d e s a f i a n t e , as aulas como um local de aprendizagem, mas onde se

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está com prazer, em que as práticas de socialização não sejam esquecidas em nome do cumprimento de conteúdos” (César, Loureiro & Rijo, 2000, p. 196).

2.3.2. Estratégias de avaliação da ação

De modo a a v a l i a r a minha intervenção pedagógica, recorri aos seguintes métodos de recolha de informação: teste diagnóstico; questionário; gravação de aulas; entrevista; e análise documental (reflexões, resoluções das tarefas realizadas pelos alunos).

Teste diagnóstico. O teste diagnóstico implementado antes da minha intervenção pedagógica teve como objetivo central o desenvolvimento de estratégias de forma a identificar os conhecimentos prévios que os alunos possuem sobre o tema e possíveis dificuldades. Segundo o Decreto-Lei n.º 139/2012 de 5 de Julho, “a avaliação diagnóstica visa facilitar a integração escolar do aluno, o apoio à orientação escolar e vocacional e o reajustamento de estratégias” (p. 3482). Este teste permitiu-me também ter a perceção sobre a destreza no manuseamento da calculadora gráfica por parte dos alunos. As tarefas propostas aos alunos ao longo da minha intervenção foram de encontro a essas perceções e dificuldades evidenciadas no teste diagnóstico.

O teste diagnóstico a p r e s e n t a -se dividido em dois grupos. O primeiro grupo é constituído por quatro perguntas de resposta direta, embora solicitem os alunos a explicar os seus raciocínios nas suas escolhas. O segundo grupo contém duas questões: a primeira questão é uma pergunta de desenvolvimento onde é dada a representação gráfica de uma função em que os alunos teriam de determinar o domínio, contradomínio, expressão analítica da função, análise da função dada e interpretação de um dado valor no contexto do problema. A segunda questão envolve a utilização da calculadora gráfica para o cálculo dos pontos de interceção do gráfico de duas funções.

Questionário. O questionário foi implementado no final da minha intervenção e teve o objetivo de recolher as perceções dos alunos da turma sobre a utilização da calculadora gráfica na aprendizagem de funções racionais e sobre as suas dificuldades neste tema. A estrutura do questionário apresenta três grupos. O primeiro grupo incide sobre questões de resposta fechada. Em cada questão deste grupo os alunos teriam de escolher cinco opções, seguindo a tipologia da escala de Likert: DT – Discordo totalmente, D – Discordo, I – Indiferente, C – Concordo e CT – Concordo Totalmente. As primeiras quatro questões tiveram como objetivo averiguar os conhecimentos dos alunos acerca do tema das funções racionais. As questões entre 5 e 11, inclusive, visaram a recolha de informação sobre a importância da calculadora

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gráfica na aprendizagem do tema. Nas restantes questões, até à 16, averiguam-se as perceções dos alunos quanto à utilização da calculadora gráfica na sua aprendizagem das funções racionais.

O segundo grupo é constituído por 5 questões. A primeira relaciona-se com a frequência do uso da calculadora no tema do relatório. As questões 2 a 4 relacionam-se com as formas de utilização da calculadora gráfica no estudo do tema das funções racionais segundo Waits e Demana (1994). A última questão diz respeito às dificuldades dos alunos no tema de funções racionais. Finalmente, o terceiro grupo contém duas questões de natureza aberta sobre os aspetos positivos e negativos da utilização da calculadora gráfica nas aprendizagens dos alunos.

A razão pela qual se utilizou este instrumento de investigação relaciona-se com a facilidade com que se interroga um número significativo de pessoas, num espaço de tempo relativamente curto.

Gravação de aulas. No sentido de recolher outro tipo de informação que não foi possível alcançar através de outros instrumentos de recolha de dados, as gravações de aulas permitiram registar comentários, questões e dúvidas dos alunos nas aulas. Com esse objetivo, foram gravadas três aulas. Para isso, recorri a um gravador (de som) visto que a câmara de filmar não foi autorizada pelo diretor da escola. Segundo Carvalho e Gonçalves (1999), este método de recolha de dados permite “uma tomada de consciência coletiva sobre o desenrolar de cada aula observando e discutindo atentamente o desempenho do aluno, do professor, do material didático e principalmente a interação entre eles” (pp. 1-2).

Entrevista. No final da minha intervenção pedagógica e depois de analisar o teor das respostas dos alunos ao questionário, deparei-me com algumas dúvidas em relação a algumas questões de investigação. No sentido de perceber a razão de algumas das respostas dos alunos, elaborei um guião de entrevista que foi posteriormente aplicado a seis alunos de diferentes níveis de desempenho: dois alunos com classificação no final do ano letivo anterior de 17 valores, um com 14 valores, um com 13 valores e dois com classificação negativa de 9 valores.

Análise documental. Outros instrumentos de recolha de informação utilizados foram as questões pós aula, as reflexões e as atividades realizadas pelos alunos ao longo da intervenção. No final de algumas aulas, solicitei aos alunos o preenchimento de um questionário final de aula contendo perguntas diretas sobre a utilização da calculadora gráfica nas atividades que realizaram na aula. As reflexões das aulas visam fornecer informações sobre a forma como esperava que fosse implementada a minha aula e antecipar possíveis dificuldades (pré-reflexão).

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Depois de analisada, permitiu-me ter a consciência do que falhou para posteriormente criar estratégias que possibilitassem colmatar essas falhas (pós-reflexão). A informação proveniente dessas reflexões ajudou-me a estruturar momentos das aulas analisadas neste projeto de intervenção.

Por sua vez, todas as resoluções relativas às tarefas realizadas nas aulas foram recolhidas no final de cada aula bem como outras resoluções realizadas ao longo da minha intervenção. Também as resoluções dos alunos nos dois testes de avaliação foram fotocopiadas. A resolução das atividades realizadas pelos alunos ao longo da minha intervenção permitiu, por um lado, identificar as suas dificuldades no tema das funções racionais e, por outro, analisar a influência da calculadora gráfica na resolução das tarefas e a sua predisposição para utilizá-la.

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CAPÍTULO 3

INTERVENÇÃO PEDAGÓGICA

Este capítulo, dividido em três secções, descreve, documenta e avalia o processo da intervenção pedagógica: Começa por analisar os conhecimentos prévios dos alunos sobre tópicos de funções, de seguida ilustra momentos da prática pedagógica e, por último, apresenta as perceções dos alunos sobre esta intervenção com a calculadora gráfica.

3.1. Conhecimentos prévios dos alunos sobre tópicos de funções

Para além do conhecimento do grupo turma desenvolvido ao longo das aulas assistidas e da consulta da documentação existente na escola relativa ao percurso escolar dos alunos nos anos letivos anteriores, elaborei em conformidade um teste diagnóstico (Anexo 1) incidindo sobre os seus conhecimentos de tópicos de funções. Este instrumento de recolha de informação caracteriza-se como estratégia usada para compreender as dificuldades dos alunos sobre a unidade temática em análise. A sua estrutura apresentava dez questões distribuídas por dois grupos com objetivos e níveis de compreensão distintos:

Tabela 3 - Objetivos das questões do teste diagnóstico.

Questões Objetivos

1. Compreender o conceito de função;

G

rupo

I 2. Esboçar o gráfico de uma função conhecidas algumas das suas propriedades;

3. Definir condições de modo a verificar determinado número de soluções numa

equação quadrática;

4. Compreender os conceitos de paridade e injetividade de uma função. Utilização do

gráfico de uma função para contextualizar um problema da vida real;

1.1. Identificar o domínio e contradomínio de uma função através da sua representação

gráfica;

1.2. Definir a expressão analítica de uma função a partir da sua representação gráfica;

G

rupo

II

1.3. Interpretar um dado valor da variável independente em contexto do problema apresentado;

1.4. Calcular o valor de x para um dado valor da função e interpretar esse valor tendo em

conta o problema;

1.5. Determinar entre que valores podem variar a variável x dado um intervalo de valores

da função apresentada;

2. Utilizar a calculadora gráfica para determinar as coordenadas dos pontos de

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Em geral, os alunos não revelaram dificuldades em identificar gráficos de funções, embora se evidenciassem falhas nas suas justificações. Os alunos não tiveram igualmente dificuldades em ler o domínio e o contradomínio das funções apresentadas a partir do respetivo gráfico, bem como utilizar a calculadora gráfica para determinar as coordenadas dos pontos de interseção dos gráficos de duas funções. No entanto, a maior parte dos alunos deu respostas incorretas às questões cujo objetivo era esboçar gráficos a partir de algumas propriedades previamente conhecidas do mesmo e também em definir condições de forma a verificar determinado número de soluções, o que revela alguma dificuldade de interpretação da questão em causa. De forma mais pormenorizada, determinou-se o número de alunos que responderam de forma correta, parcialmente correta, incorreta e não respondeu às questões do teste diagnóstico.

Tabela 4- Distribuição das respostas dos alunos ao teste diagnóstico (n=21)

Para averiguar a compreensão dos alunos sobre o conceito de função, o teste diagnóstico apresentava a seguinte questão:

Da análise à tabela 4, conclui-se que os 3 alunos que responderam incorretamente à Tipo de resposta Questões Grupo I Grupo II 1 2 3 4 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 2 Correta 7 1 0 0 18 1 11 5 1 13 Parcialmente correta 11 5 0 11 2 5 1 1 1 4 Incorreta 3 15 20 5 1 7 2 0 13 2 Não respondeu 0 0 1 5 0 8 7 15 6 2 Grupo I:Questão 1

Quais dos seguintes gráficos representam funções? Explica o teu raciocínio.

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questão 1, indicaram o gráfico II como sendo uma função como é o caso do alunoA11:

As respostas consideradas parcialmente corretas (11), os alunos indicam bem os gráficos que representavam funções. No entanto, 9 não apresentam qualquer justificação e 5 evidenciam confusões nos seus raciocínios como é o caso do aluno A2:

Nesta questão, os estudantes evidenciaram dificuldades nas explicações das suas respostas e também foram notórias dúvidas na própria definição de função.

No que respeita à questão 2 do grupo I, denotaram-se muitas dificuldades:

Se o esboço gráfico do aluno reuniu todas as condições (I, II e III), a resposta é considerada correta. Se se verificar duas é considerada parcialmente correta. Quando verifica uma ou nenhuma das condições referidas, a resposta é avaliada como incorreta. Nesse sentido, foram notórias muitas respostas incorretas (15), como é o caso do aluno A15:

Grupo I: Questão 2

De uma função 𝑓 sabe-se que: I) Df= IR+;

II) D′f= [−1 , 1];

III) A equação f(x) =12 admite uma e uma só solução. Represente uma possível representação gráfica de f.

Figura 4 - Resolução do aluno A11 à questão 1 do grupo I do teste diagnóstico

Figura 5 - Resolução do aluno A2 à questão 1 do grupo I do teste diagnóstico

Figura 6 - Questão 2 do grupo I do teste diagnóstico

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Tal resposta indicia que o aluno interpretou que a condição f(x) =12 representava a função e não revelou cuidado em garantir o contradomínio pretendido e o número de soluções que a equação f(x) =12 satisfazia. Apesar de alguns alunos atenderem ao domínio da função, outros alunos (5) tiveram dificuldades em conciliar as três condições, como ilustra o esboço gráfico efetuado pelo aluno A11:

Quanto à questão 3 do grupo I, não teve qualquer resposta correta:

Todos os alunos, exceto um que não apresentou qualquer resposta, responderam de forma incorreta. As dificuldades evidenciadas vão desde o desconhecimento da condição que possibilita a função quadrática ter duas raízes a erros na manipulação de expressões como de seguida se ilustra:

Figura 10 - Resolução do aluno A4 à questão 3 do grupo I do teste diagnóstico

A questão 4 do grupo I, à semelhança da anterior, também nenhum aluno respondeu de forma correta quanto à paridade e injetividade das quatro funções representadas graficamente, nem explicaram de forma clara os seus raciocínios:

Grupo I: Questão 3

Considere a função real de variável real definida por f(x) = 1 − x2. Sabendo que a equação

f(x) = k admite exatamente duas soluções reais, indique o conjunto de valores que k pode assumir.

Figura 8 - Resolução do aluno A11 à questão 2 do grupo I do teste diagnóstico

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Das 11 respostas parcialmente corretas, concluiu-se que 4 alunos classificaram corretamente a paridade e injetividade de todas as funções. No entanto não explicaram ou foram pouco claros na forma como chegaram às suas respostas, o que denota, uma vez mais, dificuldades em expressar os seus raciocínios. Os restantes 7 apenas classificaram corretamente alguns dos gráficos quanto à paridade e injetividade mas não explicaram de forma convicta as suas análises, o que prova que os conceitos de paridade e injetividade de uma função não estavam consolidados neste grupo turma.

Relativamente às questões do grupo II do teste diagnóstico, verificou-se maior número de respostas incorretas à questão 1.5. Por outro lado, observou-se maior número de não respostas na questão 1.4. Vejamos de seguida a questão 1 do grupo II:

Figura 12 - Questão 1 do grupo II do teste diagnóstico

Grupo I: Questão 4

Os seguintes gráficos representam funções. Classifique-os quanto à sua paridade e injetividade. Explica o teu raciocínio.

I II III IV

Grupo II

A D. Joaquina é proprietária de um pequeno estabelecimento onde dispõe de uma funcionária para o fabrico de pão-de-ló de Ovar por encomenda. No entanto, para fazer mais de 600 bolos por mês necessita de outra funcionária para ajudar. O gráfico seguinte mostra o lucro (L) da Dona Joaquina (no final do mês) em função do número de bolos que o seu estabelecimento fabrica.

1.1. Indique o domínio e o contradomínio de L.

1.2. Defina a função L através de uma expressão analítica.

1.3. Calcula L(0) e explica o significado desse valor no contexto do problema

1.4. Qual o número de bolos que são necessários fazer para que a Dona Joaquina não obtenha lucro nem prejuízo (arredonde este resultado às unidades).

1.5. Determina entre que valores podem variar o número de bolos que a D. Joaquina tem de fazer, por mês, para obter um lucro superior a 1000 euros.

Figura 11 - Questão 4 do grupo I do teste diagnóstico

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A questão 1.1 foi a que menos suscitou dúvidas dos alunos, uma vez que se apurou apenas 1 resposta incorreta pois o estudante atribuiu um intervalo de valores inadequado ao domínio e contradomínio da função L. As 2 respostas parcialmente corretas devem-se ao facto dos alunos apresentarem apenas os intervalos sem qualquer referência ao seu significado, o que evidencia dificuldades em escreverem notações matemáticas, como é o caso do aluno A7:

Figura 13 - Resolução do Aluno A7 à questão 1.1 do grupo II do teste diagnóstico

A questão seguinte (1.2) registou apenas 1 resposta assertiva, 7 incorretas e 8 não responderam. As restantes 5 foram avaliadas como parcialmente corretas pois apenas definiram um dos ramos da função considerando essa expressão a representação analítica da função em todo o seu domínio como é o caso do aluno A3:

Figura 14 - Resolução do aluno A3 à questão 1.2 do grupo II do teste diagnóstico

A questão seguinte (1.3), a par da 1.1, teve o maior número de respostas corretas (11), apesar de 7 alunos não terem respondido a esta questão. Constatou-se também duas respostas incorretas, devido a erros no cálculo de L(0), e uma parcialmente correta pois o aluno, embora tenha calculado bem o valor da função no ponto de abcissa 0, não explicou o seu significado no contexto do problema.

Já na questão 1.4, apenas 5 alunos responderam corretamente. Observou-se também que 15 alunos não responderam a esta questão e 1 calculou bem o valor da variável independente dado o valor da função, mas não justificou a sua resposta (parcialmente correta). Conclui-se, assim, que os estudantes demonstraram dificuldades na contextualização do problema e interpretação do gráfico apresentado.

Por sua vez, na questão 1.5, o cenário de alunos que não responderam (6) melhorou um pouco. No entanto a maioria dos alunos respondeu incorretamente, observando apenas o

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gráfico apresentado e sem qualquer justificação como é o caso do aluno A15:

Figura 15 - Resolução do aluno A15 à questão 1.5 do grupo II do teste diagnóstico Por último apresenta-se a questão 2 do grupo II:

A questão que solicitava o recurso da calculadora gráfica não foi reveladora de muitas dificuldades, o que denota que a generalidade dos alunos (13) estava à vontade no manuseamento da calculadora gráfica, nomeadamente no uso do comando que possibilita obter os pontos de interceção de duas funções na máquina e no cálculo da área de triângulos. No entanto, das 4 respostas parcialmente corretas, 3 apresentaram apenas as abcissas dos pontos A e B sem o cálculo da área do triângulo que era pedido e 1 não apresentou o arredondamento referido.

3.2. Prática pedagógica

Ao longo da minha intervenção pedagógica foram detetadas algumas lacunas e deficiências nas aprendizagens ao nível dos pré-requisitos com maior incidência nas primeiras aulas. Aos alunos com maior dificuldade foi dado um apoio mais individualizado mas promovendo sempre a aprendizagem dos temas uns com os outros.

Grupo II Questão 2

Considere a função 𝑔, de domínio IR, definida por 𝑔(𝑥) =1 4𝑥

4+1 3𝑥

3+ 2𝑥 − 1.

O gráfico da função 𝑔 , num referencial o.n. xOy, intersecta a recta de equação y = 5 em dois pontos.

Sejam A e B esses dois pontos, sendo o ponto A o que tem menor abcissa.

Determine a área do triângulo [AOB], recorrendo às capacidades gráficas da sua

calculadora.

Apresente o resultado arredondado às centésimas. Na sua resposta deve:

•indicar as abcissas dos pontos A e B, arredondadas às centésimas; •apresentar a área do triângulo [AOB], com o arredondamento pedido.

(39)

Tarefa 1

Considera os seguintes gráficos:

𝐷𝑓 = 𝐼𝑅\{0} 𝐷𝑔 = 𝐼𝑅 𝐷ℎ= 𝐼𝑅 𝐷𝑖= 𝐼𝑅

Da análise de cada um dos gráficos verifica-se que: (i) 𝑓 e 𝑔 são funções contínuas no seu domínio (ii) ℎ é descontínua em 𝑥 = 3

(iii) 𝑖 é descontínua em 𝑥 = 1

Com base nestas afirmações, indica quando uma função é contínua no seu domínio? E quando uma função tem pontos de descontinuidade?

De seguida apresento de forma resumida na Tabela 5 o processo de intervenção. Tabela 5 - Síntese da intervenção.

AULAS Tópicos

Aula 1e Aula 2 Estudo da função real de variável real 𝑓: 𝑥 →𝑥1. Aula 3 Conceito intuitivo de limite.

Aula 4 Aula Prática.

Aula 5 Continuidade e assíntotas.

Aula 6, 7 e 8 Estudo de funções do tipo y = a + b

cx+d, 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑 ∈ 𝐼𝑅, x ≠ −𝑑

𝑐 . Aula 9 Assíntotas oblíquas.

Aula 10 Simplificação de frações racionais; Equações e inequações fracionárias.

Aula 11 Restrição e prolongamento de uma função racional. Aula 12 Aula Prática.

Para ilustrar a minha intervenção, o trabalho do aluno e as estratégias implementadas descrevo alguns dos momentos mais significativos de três aulas lecionadas: aulas 5, 8 e 11.

3.2.1. Continuidade e assíntotas

O objetivo principal desta aula foi analisar as propriedades de funções racionais e do seu gráfico quanto à continuidade e às assíntotas verticais e horizontais. As assíntotas do gráfico de uma função racional traduziram-se, para os alunos, num novo conceito, apesar do estudo, na aula anterior, do conceito intuitivo de limite de funções do tipo 𝑦 =1𝑥. Relativamente à continuidade, os alunos trabalharam em pares a seguinte tarefa:

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O trabalho em pares foi importante para este tipo de tarefa pois não se tratava de uma mera aplicação ou exercício. A ideia era apelar aos conceitos previamente estudados e às suas intuições.

A realização desta tarefa suscitou alguma perplexidade muito por causa da afirmação (i):

Professor: Então já chegaram a alguma conclusão?

Aluno1: Estão a dizer que para ser contínua não posso levantar o lápis para

desenhar a função mas na (i) do enunciado diz que é contínua e eu preciso levantar o lápis.

É interessante evidenciar a diversidade de respostas dadas pelos alunos às questões, pois é reveladora das limitações que uma abordagem intuitiva apresenta nomeadamente em conceitos tão complexos como este. Vejamos algumas respostas dadas pelos pares formados pelos alunos A3 e A19, A15 e A16 e A6 e A8:

Figura 17 - Resolução dos alunos A3 e A19 à Tarefa 1 sobre continuidade e assíntotas

Figura 18 - Resolução dos alunos A15 e A16 à Tarefa 1 sobre continuidade e assíntotas

Figura 19 - Resolução dos alunos A6 e A8 à Tarefa 1 sobre continuidade e assíntotas

No que se refere às respostas dos pares de alunos, observaram-se respostas muito idênticas às acima mencionadas. Apenas duas respostas não mencionaram a palavra “interrupções”.

Para o estudo dos conceitos de assíntotas horizontais e verticais, os alunos realizaram a seguinte tarefa:

Imagem

Figura 2 - Desempenho à disciplina de Matemática no ano anterior.
Tabela 2- Conceção de função racional na perspetiva dos alunos
Tabela 3 - Objetivos das questões do teste diagnóstico.
Tabela 4- Distribuição das respostas dos alunos ao teste diagnóstico (n=21)
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Referências

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