U M A RELAÇAO ENTRE EXPOENTES DE LYAPUNOV E ENTROPIA

ALEXANDRE DE SOUZA FERNANDES

UM A RELAÇAO ENTRE EXPOENTES

DE LYAPUNOV E ENTROPIA

U N IV E R S ID A D E F E D E R A L D E U B E R L A

n

D IA

F A C U L D A D E D E M A T E M A

t

IC A

ALEXANDRE DE SOUZA FERNANDES

UM A RELACAO ENTRE EXPOENTES

DE LYAPUNOV E ENTROPIA

D issertação apresentada ao Programa de Pós-

Graduação em Matematica da Universidade Federal de

Uberlândia, como parte dos requisitos para obtençao do

título de M E S T R E E M M A T E M Á T IC A .

*

Á rea de C on cen tração: Matematica.

Linha de Pesquisa: Sistemas Dinâmicos.

O rien tador: Prof. Dr. Thiago Aparecido Catalan.

U B E R L A

n

D IA - M G

F363r

2017

Dados Internacionais de Catalogaçao na Publicaçao (CPI)

Sistema de Bibliotecas da UFU, MG, Brasil.

Fernandes, Alexandre de Souza, 1990

-Uma relaçao entre expoentes de Lyapunov e entropia / Alexandre

de Souza Fernandes. - 2017

68 f. : il.

Orientador: Thiago Aparecido Catalan.

Dissertaçao (mestrado) - Universidade Federal de Uberlândia. Pro­

grama de Pós-Graduacao em Matematica.

Inclui bibliografia.

1. Matematica - Teses. 2. Entropia - Teses. 3. Teoria ergodica -

Teses. 4. Lyapunov, Funcoes de - Teses. I. Catalan, Thiago Aparecido.

II. Universidade Federal de Uberlandia. Programa de Pós-Graduacao

em Matemótica. III. Título.

UNIVERSIDADE FEDERAL DE UBERLÂNDIA

f a c u l d a d e

d e

m a t e m á t ic a

PROGRAMA DE PÓS-GRADUAçÃO EM MATEMÁTICA

Av. João Naves de Ávila, 2121, Bloco 1F, Sala 1F 152

Campus Santa Mônica, Uberlândia - MG, CEP 38400-902

ALUNO: Alexandre de Souza Fernandes.

NÚMERO DE MATRÍCULA:

11512MAT001.

ÁREA DE CONCENTRAÇÃO: Matemática.

LINHA DE PESQUISA: Sistemas Dinâmicos.

PÓS-GRADUAÇÃO EM MATEMÁTICA:

Nível Mestrado.

TITULO DA DISSERTAÇÃO:

Uma relação entre expoentes de Lyapunov e entropia.

ORIENTADOR:

Prof. Dr. Thiago Aparecido Catalan.

Esta dissertação foi

APROVADA

em reunião pública realizada na Sala 1F119, Bloco

1F, Campus Santa Mônica, em 24 de março de 2017, às 13h30min, pela seguinte Banca

Examinadora:

Prof. Dr. Alexander Eduardo Arbieto Mendoza

UFIU - Universidade Federal do Rio de Janeiro

; , • 1

Prof. Dr. Jean Venato Santos

UFU - Universidade Federal de Uberlândia

Dedicatória

Agradecimentos

Meus agradecimentos serao específicos, porém objetivos:

Agradeço a minha primeira família, “a grande farofa”. Aquela que me transborda.

Aquela que viu meu preludio, meu meio, e estarão comigo ate meu desfecho.

Agradeço ao meu pai, Jose Rubens, por nunca desistir de mim, agradeco minha mae,

Maria Cristina, por mostrar o exemplo mais intenso, mais simples e mais absurdo possível

de amor e carinho que ja presenciei. Agradeco a minha irma, Aliucha, por ser um exemplo

de forca e companheirismo, mais ainda, mostrar que apesar das diferencas (e brigas) entre

irmaos, sempre poderão se amar, se respeitar e cuidar um do outro.

Agradeco minha segunda família, os “brabos” , meus amigos/irmãos Agostinho, Lucas,

Gian, Felipe, Rafael, Fernando, ítalo, Valdecir. Por toda nossa historia. Por todas as

aventuras e desventuras que passamos juntos.

Agradeco aos meus amigos que fiz em Uberlandia, em especial dois grandes, Douglas

e Ueslei, um sendo meu conterrâneo e outro um “verdadeiro” exemplo de mineiro. Sao

grandes amigos pois ambos me ensinaram as maiores lições de vida, a de sempre prezar

pelos outros nao esperando absolutamente nada em troca e, de ser autentico, a de nao ser

um total “cliche”.

Agradeco aos meus professores e amigos que fiz na graduacão e mestrado em ma­

temática da Universidade Federal de Uberlandia. Aos meus amigos de Augusto, Danilo,

Suelen, Wagner, Guilherme, Jose Lucas, Edmilson, Magna, Davidson, Javier, Julian,

Aloísio, Paulo Victor e Ana Maria pelos momentos de assistencia e auxílio nos estudos

e pelos momentos de alegria e descontraçcãao. Aos professores, por todos os ensinamentos

academicos e sociais, alem de apresentarem a maior das ciencias, a do conhecimento. Em

particular, agradeço ao meu orientador Thiago Aparecido Catalan pela conclusao deste

trabalho.

Agradeco a Capes pelo auxílio financeiro durante todo o curso de mestrado.

FERNANDES, A. S.

Uma relação entre expoentes de Lyapunov e entropia.

2016. - 66p.

Dissertação de Mestrado, Universidade Federal de Uberlândia, Uberlândia-MG.

R esu m o

Nesta dissertaçao, vamos estabelecer uma relaçao entre os expoentes de Lyapunov, da­

dos pelo teorema Ergodico Multiplicativo de Oseledets, e a entropia metrica, dada pela

definição de Komolgorov-Sinai. Para tal utilizaremos como ferramentas o estudo de te­

oria ergódica. Pelo meio, buscamos analisar e demonstrar o teorema multiplicativo de

Oseledets, tendo em vista caracterizar os expoentes de Lyapunov em uma variedade Ri-

emmaniana compacta e por fim, apresentaremos a desigualdade de Ruelle, resultado final

que faz esta relacão entre os expoentes positivos e a entropia metrica de um sistema

ergodico.

FERNANDES, A. S.

A relation between Lyapunov exponents and entropy.

2016. - 66p.

M. Sc. Dissertation, Federal University of Uberlandia, Uberlandia-MG.

A b stra ct

In this dissertation, we are going to stabilish a relation between Lyapunov exponents, given

by Oseledets Multiplicative Ergodic Theorem, and metric entropy, owing to the definition

given by Komolgorov-Sinai. For this, we are going to use as tools the study of ergodic’s

theory. By the middle, we want to analise and demonstrate the Oseledets multiplicative

theorem, that categoryzes the Lyapunov’s expoents of a compact Rimmenian manyfold

and finally, introduce the Ruelle’s inequallity, the final result that stabilished the relation

between the positive expoents and the metric entropy of a ergodic sistem.

SUMÁRIO

R esu m o

vii

A b stra ct

viii

In trod u çã o

1

1 T eoria ergod ica

3

1.1 Medida Invariante e o teorema ergódico de B ir k h o ff...

3

1.2 E n trop ia ...

8

1.2.1 Entropia M e t r ic a ...

8

1.2.2 Medida e Entropia C o n d icio n a l... 12

1.2.3 Particao Geradora ... 20

1.2.4 Entropia de uma funcao com respeito a uma medida invariante . . . 21

1.2.5 Equivaiencia E r g o d ic a ... 26

1.2.6 A entropia como um invariante

... 27

2 E x p oen tes de L yapu n ov e o T eorem a de O seledets

29

2.1 Pontos regulares e o expoente de Lyapunov... 29

2.2 Demonstracao do Teorema de Oseledets para c o c ic lo s ... 31

2.2.1 Demonstraçao da primeira etapa: Medida Total... 32

2.2.2 Demonstraçao da segunda etapa: Mensurabilidade... 36

2.2.3 Demonstraçao do Lema 2 .1 0 ... 44

2.2.4 Demonstracao do Lema 2 .1 1 ... 56

3 A desigualdade de R u elle

61

INTRODUÇÃO

Com seus estudos sobre estabilidade de soluções de equações diferenciais em sistemas

dinâmicos, a parte fundamental do trabalho do matematico russo Aleksandr Mikhailovich

Lyapunov (1857-1918) foi desenvolver um metodo que estuda o comportamento assintotico

da contraçao ou expansao de um ponto ao longo de sua orbita. O expoente de Lyapunov

(caso nao for nulo) visa estabelecer uma previsibilidade deste comportamento assintotico.

Sobre os trabalhos envolvendo leis da termodinamica, a conservacao de energia e entro­

pia, o matematico russo Yakov Sinai, observou que os sistemas conservativos da mecanica

classica verificam a lei da conservacao da energia e estão ligados a hipótese da ergodici-

dade. Mais ainda, notou que a divergencia exponencial de orbitas originada em pontos

proximos esta relacionada a entropia positiva nos sistemas dinamicos. Foi daí então que

Valery Oseledets, aluno de pos-graduaçao orientando de Sinai, se interessou pelo problema

de divergâencia exponencial.

Aqui, propomos em primeiro lugar medir a complexidade de um sistema, a saber cal­

cular sua

entropia,

onde utilizamos a definRao dada pelos matematicos sovieticos Andrey

Komolgorov e Sinai que buscavam definir de maneira adequada o calculo da entropia de

um sistema na Teoria Ergodica. Uma outra boa forma de medir a complexidade de um

sistema e atraves dos expoentes de Lyapunov. Assim sendo, e natural buscar uma relacao

entre expoentes de Lyapunov e entropia.

CAPÍTULO 1

TEORIA ERGODICA

Neste capítulo vamos relembrar algumas definições e resultados da teoria ergódica,

necessárias para introduzir de maneira mais apropriada os resultados principais da dis-

sertaçao. Tais definicoes e resultados podem ser vistas na referencia bibliográfica [7].

1.1 Medida invariante e o teorema ergódico de Birkhoff

Apresentaremos nesta secão, definicoes e resultados importantes necessarias para o

conceito de ergodicidade. Será considerado no espaco mensurável X, medidas boreleanas

p que no nosso caso seráo medidas de probabilidade, isto e, p(X) = 1.

D efin ição 1.1.

Seja

(X,

A,

p)

um espaço de medida. Dizemos que uma medida

p

e

invariante por uma função

f : X — > X

se

p(E) = p (f-1 (E)),

para todo conjunto mensurável

E C X.

Dizemos também que

f

p reserva

p

e, em particular, que o subconjunto mensuravel

E C X

e invariante por

f

(ou

f

-invariante) com respeito a medida

p.

D efin içao 1.2.

Seja

(X, A , p)

um espaco de medida. Considerando

f : X — > X

uma

funcao mensuravel e

E

um conjunto mensuravel de X, definimos pot

Tn(E,x) = - # { j e { 0 , 1 , . . . , n — 1}; f ’ (x) 6 E}

n

1 n—1

Tn(E,x) = - y X í ( f (x)),

n j=0

sendo

x E

a função característica em

E.

Dizemos que o tem po m édio de perm an ên cia

da orbita de

x

em

E

e dado por

t

(E,

x

)

_{nlim Tn(E,x).}

---- »TO

D efin ição 1.3.

Uma funcao

p : X

— >

R

é dita invariante por uma função

f : X

— >

X

com respeito a uma medida

p

(ou simplesmente f-in va rian te)se para p-quase todo ponto

x

G X

vale

p ( f ( x ) ) = p (x ).

Al ém disso, dizemos que um conjunto mensurável

E C X e

invariante se sua funcão caracteréstica

x E

é uma funcão invariante.

T eorem a 1.4.

[Birkhoff] Seja

f : X — > X

uma função mensuravel e

p

uma medida de

probabilidade invariante por f

. Dada qualquer funçao integravel

(p : X — > R

o limite

1 n—1

<p(x) = lim — V" cp(E(x))

n—

n í —

_j=0

existe para

p

-quase todo ponto

x

G X.

Além disso, funcão

p

definida desta forma é

integravel e

p (x)dp(x)

p(x)dp(x).

C orolã rio 1.5.

Seja

f : X

— >

X

uma função mensuravel e

p

uma medida de probabilidade

invariante por f. Dada qualquer funcao integravel

(p : X — > R,

temos que

P (

x

) = cp (f(x))

para p-q.t.p.

x

G X.

Antes de demonstrar o corolário, precisamos do seguinte lema:

Lem a 1.6.

Seja

f : X — > X

uma aplicacao mensuravel e considere o espaço de probabili­

dade

(X, A , p)

com

p

invariante sobre f. Considerando a função

C : X — > R

uma funcao

mensuravel tal que

C o f — C

é p-integravel. Entao

lim — C o f n = 0,

para p-q.t.p

x G X.

n—

n

Demonstraçao:

Como C o f — C e p-integrável por hipótese, o limite dado no Teorema

1.4 definido pela funçpo p : X — > R

n—1

cp(x) = lim — V" (C o f — C)(T(x))

n—

n

'

existe para p-q.t.p. x

G

X. Assim,

n —1

cp(x) = lim -

( C o f - C ) ( f ’ (x))

n — í+ro n '

j=0 n —1

lim - V ( C ( fj+1( x ) ) - C ( C ( x ) )

n — í+ro n '

j=0

' n —2 n —1

= um - y q e w D + q r w i - r q f w i

J = 0 n—2

j=0 n —1

= lim - 5 ~ C ( f i +lM ) ) + C ( f " M ) - y C ( f i ( x ) ) - C ( x )

n — í+ro n ' ^--- *---J = 0

n—1

j=1 n—1

= lim - y C(fJ(x))) + C(fn(x)) —

y~

C(fJ(x)) — C(x)

n — í+ro n ' ^---

*---J=1 j=1

= lim —C(fn( x ) ) — lim — C(x)

n — í+ro n n — í+ro n

= lim — ( C o f n)(x).

n — í+ro n

Agora para cada 5

>

0, e olhando para o conjunto

\

x

G

X; — |C

o

fn(x)| > õ f , obte­

mos

p (

{

x

G

X; — |C o fn(x)| > õ j j = p í j x

G

X; —C

o

fn(x) > 5 ou —C o fn(x) < —õ

n

n

n n

= p ({x

G

X; C

o

fn(x)

>

nõ ou C

o

fn(x)

<

—nõ})

= p ( { x

G

X; C

o

fn(x)

G

(—n õ , n õ ) C}

= p f n

o

C 1 (—nõ, n õ )C

= p (C —1 (—nõ, n õ ) C).

Assim, fazendo n tender à infinito, temos que p (C —1 (—nõ, n õ ) C) tendera a zero. Como

õ > 0 foi tomado de modo arbitrario, podemos concluir que (C

o

fn) /n converge para zero

(em medida), quando n tender a infinito.

Como o limite ((C

o

fn) ( x ) ) /n existe para p-q.t.p. x

G

X, temos que este limite devera

ser zero. Isto e,

lim — C o f n = 0,

n — í+ro n

Demonstração (Corolário 1.5):

Por definição,

1 n

cp(f(x )) = lim -

Y

cp(P(x))

n j=i

i n—1

i

= lim — y cp(p(x)) + - [cp(fn(x)) - cp(x)]

j=0

= p(x) + lim — [cp(fn(x)) — cp(x)].

n—

n

Pelo Lema 1.6, tomando C = p , temos que ( p ( f n(x)) — p ( x ) ) / n tende à 0, quando n

tende a infinito, para p-q.t.p. x G X. Isto encerra a demonstraçào. ■

D efin ição 1.7.

Seja

(X, A , p)

um espaço de probabilidade. A medida de probabilidade

p

diz-se ergodica para a funçao

f : X — > X

(ou que

f

diz-se ergodica relativamente a

p,

ou

que o sistema

(f, p)

é ergodico) se as médias temporais dadas pelo Teorema de Birkhoff

coincidem em quase todo ponto com as medias espaciais, isto e,

P (x)

lim —

n—

n

n—1

Y

p (f

(x))

p d p

para toda funcão integmvel

p : X

— >

R

em p-q.t.p.

x G X.

Veremos a seguir um importante resultado que nos diz um pouco mais sobre ergodici-

dade, tanto nas varias maneiras equivalentes que podemos defini-la quanto a entender o

seu significado.

P ro p o siçã o 1.8.

Seja

p

uma probabilidade invariante de uma aplicação

f : X — > X

mensumvel As seguintes condicoes sao equivalentes:

(1) Para todo conjunto mensumvel

E C X

tem se

t

(E,

x

)

= p(B)

para p-q.t.p

x G X.

(2) Para todo conjunto mensumvel

E C

X, a função

t

(E, ■)

é constante para p-q.t.p.

x G X.

(3) Para toda funcao integmvel

p : X — > R

tem-se

p (x) =

p d p

para p-q.t.p.

x G X.

(4) Para toda função integrável

p : X — > R,

a media temporal

p : X — > R

e constante

para

p -

q.t.p.

x G X.

(5) Toda funcao integmvel

f

-invariante

^ : X — > R

tem-se

^ (x ) =

x G X.

(

6

) Toda função integrável

f

-invariante

^ : X — > R é

constante em

(a-

q.t.p.

x G X.

(7) Para todo subconjunto invariante

A

de

X

tem se que

p(A) = 0

ou

p(A) = 1.

Demonstração

•• (1) ^ (2) Imediato!

(2)

(3 ) Teorema 1.4.

(3) ^ (4 ) Consequência do Teorema 1.4.

(4) ^ (5 ) Como ^ e integravel em particular, temos da hipótese em (4 ) que

4 (x)

n—1

lim — V" r))(T(x))

—

n

4 d p ,

(1.1)

em p-q.t.p. x

G

X. Pela invariância de ^ por f, obtemos ^ ( f j(x)) = ^ (x ) em p-q.t.p.

x

G

X, para todo j

G

N. Assim, da equação (1.2) temos que

1 n—1 i n—1 i

iH x) =

hm — V" r))(P(x))

=

lim — y

\|>(x) = lim — (ru|>(x)) = 4>(x),

j=0 j=0

concluindo que

4 (x )

4 d p

(1.2)

em p-q.t.p. x

G

X.

(5) =A (6 ) Imediato!

(6) =A (7) Considere x A a funçao característica no subconjunto invariante A de X,

isto e, x A(x) = 1 se x

G

A, ou x A(x) = 0 se x / A, e p ( f -1(A)) = p(A) para p-q.t.p.

x

G

X.

Em particular, considerando que ^ = x A, temos da hipotese em (6) que x A e invariante

por f, e integravel e x A e constante em p-q.t.p. x

G

X. Mais ainda, temos que

t

(A,

■

) e

constante em p-q.t.p. x

G

X, isto e, p(A) = 0 ou p(A) = 1.

( 7 H (5) Seja ^ : X — > R uma funcao integravel e f-invariante. Considere todo

conjunto

Ec = {x G X; 4 ( x ) < c}.

(1.3)

Temos que

e um conjunto invariante. Logo, a hipotese implica que

G

{

} para

todo

G

R. Como a funcão

e nao-decrescente, isto e, existe

G

R tal que

p ( E c/) = 0

, para todo

e

para todo

>

.

Então

em

-q.t.p.

( 5 H (3 ) Como temos que a media temporal e invariante por f (Corolário 1.5), a

implicação segue de imediato aplicando o Teorema 1.4.

(3) tó (1) A media de visita e uma media temporal (da função característica em E),

provando assim a implicacao.

Como (7) implica (5), (5) implica (3) e (3 ) implica (1), temos que (7) implica (1),

finalizando a demonstracao. ■

A proposiçao que apresentaremos a seguir e uma consequencia do Teorema 1.4 que

garantira um resultado importante, necessario para o teorema de Oseledets que veremos

no próximo capítulo.

1.2 Entropia

1.2.1 Entropia Métrica

Nesta seçao, vamos introduzir o conceito de en trop ia m étrica (com respeito a uma

medida p invariante) de uma função mensuravel f : X — > X, a qual sera denotada por

M f ) .

Antes disto, vamos introduzir o espaco das sequencias de d símbolos. Alguns sistemas

modelam sequencias de experimentos aleatórios em que o resultado de cada experimento e

independente dos demais. Supoe-se que em cada experimento ha um numero finito de re­

sultados possíveis, designados por 1 ,2 , . . . , d, com probabilidades p(1 ), p(2), . . . , p(d)

de ocorrerem, sendo

p(1) + p(2) +---+ p(d) = 1.

Consideremos

Ld

o conjunto das sequências

ot

= (<xn)neg, onde cada

otn

G

[1, 2 , . . . , d].

Definiremos a seguir subconjuntos particulares de Ed, assim como uma importante função

nesse conjunto, a famosa funçao

shift.

D efin ição 1.9.

Seja Ld o conjunto das sequências oç

= (cxn)nez

com

d

símbolos. Será

chamado de

cilindro

o subconjunto

[k, . . . , l; ak, . . . , cq] = {a; a k = ak, . . . , oq = a j ,

onde

k, l

G

Z, com

k

<

l,

e cada

an

G

[ 1 , 2 , . . . , d].

Definimos a seguinte medida sobre cilindros:

sendo ai

G

[ 1 , 2 , . . . , d], para todo i

=

k , . . . , l. Heurísticamente, a probabilidade de um

evento composto

a k = ak; a k+1 = ak+1 , . .. , a l = al

e o produto das probabilidades de cada um deles. Em outras palavras, os resultados

sucessivos independem entre si.

Vamos considerar agora em Ed, a a-algebra B gerada pelos cilindros. A família B0 das

unioes disjuntas finitas dos cilindros e uma algebra.

D efin ição 1.10.

Seja

E G B0

uma união disjunta finita de cilindros

C1, . . . , CN,

definimos

p(E) = b ( Ci) + ■ ■ ■ + p( CN ) •

Assim temos uma medida de probabilidade na a-algebra B gerada por B

0

que é uma

extensao de

p-

Chamaremos

p

a

medida de Bernoulli

, definida por

p(1), . . . ,

p(d)-D efin ição 1.11.

Seja Ld o conjunto das sequências oç

= (<xn)neg

com

d

símbolos. A

aplicacão

v : I d — > I d

dada por

v ( ( a n)nGZ) — (a n+1)nsZ

é chamada de

deslocamento

(ou ’’shift”)

a esquerda

, que corresponde à translação no

tempo-Alem da família dos cilindros gerar a a-algebra B, note que a pré-imagem de um

cilindro ainda e um cilindro. De fato, se C = [k, . . . , l; ak, . . . , al], entao

“v-1 (C) = [k + 1, . . . , l + 1; ak, . . . , av] = {a; a k+1 = ak, . . . , oq+1 = a j.

Assim, temos

p (v 1 (C)) = p ( a k) ...p(aO = p(C).

Pela igualdade acima, junto com o fato da medida de Bernoulli em

B

ser única, a-

aditiva em

B0

e, como definimos p, pelo lema a seguir teremos que ela e invariante para

v.

L em a 1.12.

Seja

f : X — > X

uma transformação mensurável e

p

uma medida finita em

X.

Suponha que exista uma sub-aigebra geradora I da a-aigebra de

X

tal que para todo

E

G l

,

temos

p(E) = p (f-1(E)).

Entao o mesmo vale para todo conjunto mensumvel

E,

Agora daremos um pequeno exemplo que motivará a definição de entropia métrica.

M otiva çã o: Representando o lançamento de uma moeda, podemos considerar v e Z

2

tal que v : I 2 — > I 2, com

{

0, se o lançamento der cara.

1, se o lançamento der coroa.

Desta forma, consideremos:

n = numero de lançamentos.

p = possibilidade de sair cara.

1-p = possibilidade de sair coroa.

Constatamos que p .n e (1 -p ).n representa a media de caras e coroas em n lancamentos,

respectivamente. Assim a sequencia típica de caras e coroas de cada termo e

(pp'n.(1 — p ) (1-p)'n) = e(p'log PC1-?) logO-p))-™.

Assim, o numero p logp + (1 — p) log(1 — p) representa a taxa exp on en cia l desta

sequencia típica com respeito à n.

D efin içao 1.13.

Seja

A

um conjunto não vazio. Uma

partição

de um conjunto

A e

qualquer colecão

P

de subconjuntos não vazios de

A

dotada da seguinte propriedade: todo

elemento de

A

pertence a um e apenas um dos elementos de

P.

Assim uma colecão de conjuntos

P = A 1, A 2, . . . , A n

e uma

partição

(finita) do

conjunto

A

, se as seguintes condiçães forem simultaneamente satisfeitas:

(

1

)

At =

0

, para

i

= 1 , 2 , .. ., n;

(2)

A t C A,

para

i = 1 , 2 , .. . , n

(

3

)

A = A

1

U A

2

U ■ ■ ■ U An;

(4)

A 1, A 2, . . . , A n

são mutuamente disjuntos, isto e,

A t fl Aj =

0, para

i =

j

, com

i, j = 1, 2, . . . , n

.

D efin içao 1.14.

Seja

(X, A , p)

um espaço de probabilidade e

f : X — > X

uma

trans-formacao que preserva a medida de probabilidade

p

no espaço mensurável

X

. Tomando

P

H

( P ) = - ^ p(C) log(p(C))

E xem p lo: (Shift de B ern ou lli) Considere o espaço de símbolos Z

e a partição P

por cilindros de tamanho n, ou seja, se C

P

, então

C = [0, . . . , n - 1; a

, . . a

].

Consideremos p a medida de Bernoulli para o vetor de possibilidades p = (p

, . . . , p

).

Mostremos a seguir que

H

(P

) = —n.

p

logp

Antes de tudo, dada uma partiçao P = {C

, . . . , C

} de um conjunto X, vamos mostrar

que H

(P)

log d. Melhor dizendo, a entropia de P assumira valor máximo quando ela

for perfeita, isto e, p(C

) = 1/d, para todo i = 1 , . . . , d.

P ro p o siçã o 1.15. H

(P)

assume valor máximo quando

P

é perfeita, isto e,

P = { C b . . . , C d}

com

p ( Q ) =

d

para todo

i = 1 , . . . , d.

Demonstração:

Seja ^ : [0, oo) — > R tal que

Í

x log x, se x > 0

0, se x = 0

d

x = (x

, . . . , x

) e ^ x

= 1.

i=1 i=1

Vamos encontrar o mínimo da função f. Defina g : R

— > R com

g(x

, .. . ,x

) = 1

— Y _

x

= 0.

Pelo Teorema do Multiplicador de Lagrange, existe À

R tal que

V

f(x

. . . , x

) = À

g(x

, . . . , x

).

Desta forma,

isto e

logxi + 1 = —À, então xi = e x p ( - 1 — À),

d

para todo i

=

1 , . . . , d. Substituindo o valor de xi em

xi = 1, temos

i=1

d

y~

exp(—1 — À)

i=1

1 rá exp (—1 — À)

1

d

—À

l o g , d

+ 1

xi

exp log

1

d

+ 1 — 1

1

d ’

d

para todo i = 1 , . . . , d. Então, a funçao — f(xp . . . , x d) = —

^ (x i) assumirá valor

i=1

maximo quando xi = 1/d, para todo i = 1 , . . . , d.

Em outras palavras, a entropia de P assumirá valor máximo quando P for perfeita. ■

1.2.2 Medida e Entropia Condicional

Nesta parte, trabalharemos com medida e entropia de duas partições mensuráveis

de um espaço X, tal que seus elementos se relacionam do ponto de vista de conjuntos.

Desta forma, podemos definir o conceito de medida e entropia condicional, que relaciona

uma particao com a outra. Tambem definiremos uma outra particao que refinara ambas,

facilitando o cálculo da entropia de uma particão relacionada com a outra.

No mais, isso ajudará definirmos entropia metrica de uma funçao que preserva uma

medida invariante. Em vista disto, introduziremos a definicao da

função informação

de

uma partiçao de X, que dependera de uma medida invariante p. Isso nos dará uma outra

definiçao de entropia de uma particao sobre esta funçao, alem do que, outra importante

finalidade da funçao informacao e de poder relacionar uma particão a outra, facilitando

na definiçao de entropia condicional.

D efin icao 1.16.

Seja

I

e

J

conjuntos finitos, consideremos duas partições do espaço X,

P = (C

a

; a

G

I}

e

Q = (D

p

; p

G

J}.

Dizemos que a partiçõo Q refina P (ou que

P e

denotada por

p(A|B), e

dada por

p(A|B)

p (A n B)

M-(B)

Seja (X, A , p) um espaço de probabilidade e P = (C a; a G I} e Q = (Dp; p G J} duas

partições mensuraveis de X. Denotaremos a partição P V Q por

P V Q = {C a fl Dp; para todo a G I e |3 G J}.

Note que a partiçao P V Q refina ambas as partiçoes P e Q.

D efin ição 1.18. (a)

A função

IP : X — > R

dada por

Ip (x) = - log(p(Ca(x)));

é chamada fu n çã o in form a çã o da partição

P

de X, com

Ca(x)

sendo o elemento

da partição

P = (C a; a G I}

que contem x.

(b )

A função

I

p

,

q

: X — > R

definida por

I

p

,

q

(x) = - log(p (C a(x)|Dp(x))),

e chamada fu n çã o in form a çã o da partição

P|Q

de X, onde

Ca(x)

e

Dp(x)

são

os elementos das particoes

P = (C a; a G I}

e

Q = (Dp; p G J},

os quais contém x.

Atraves da função informação IP de uma partição P de X, definimos

Em vista disto, definimos

H ^P)

IPdp.

X

H,(P|Q)

IP,Qd P)

X

como sendo a en trop ia con d icion a l da partiçao P com respeito à Q. Notemos que se

considerarmos a partiçao Q = {X}, entao H

(P|Q) = H

(P).

Seja P

p

= (C

n D

; a G I} a partiççaão de um çonjunto D

G Q e p

a medida

çondiçional de P em relaçao à D

, isto e, p

(C

) = p (C

|D

), çom a G I.

Se x G D

, entao x G C

n D

para algum a G I. Assim,

H^ ( P

p ) = - X P|

(C

) log (P|

(C

)) =

— ^ _

P(C

|D

) log(P(C

|D

))

e pela definição de Hp(P|Q), temos

2 > ( D 6) H„6 (pD„ ) = - £ p(Dß) ^ p ( C jD ß ) log(p (C a|Dß)) = Hp(P|Q),

ßeJ

ßeJ

aei

concluindo que

H , ( P | Q ) = X d(Dß)H^ß(P

p

).

ßeJ

D efin ição 1.19.

Dizemos que duas partições

P

e

Q

são indepen den tes se

p (C a n Dß) = p(Ca).p(Dß),

para todo

Ca G P

e

Dß G Q.

P ro p o siçã o 1.20.

Seja

(X, A , p)

um espaço de probabilidade. Seja

P = {C a; a G I},

Q = {Dß; ß G J} e R = {Ey;

y

G K}

partiçães finitas e ‘mensuraveis de X. Então

(ã) 0 < - log ^ sup { p(Ca) } j < Hp(P) < log(#P).

Além disso,

Hp(P) = log(#P)

se,

e somente se,

P é

perfeita, ou seja,

p (C a/) = p (C a),

para todo a,

a

' G I.

(b) P e Q

sao independentes se, e somente se,

0 < Hp(P|Q) < Hp(P).

(ç) Hp(P|Q) = 0

se, e somente se,

P < Q.

(d )

Se

Q < R,

então

Hp (P|R) < Hp(P|Q).

(e) Hp(P V Q|R) = Hp(P|R)+ Hp(Q|P V R).

Em particular, se

R = {X},

então

Hp(P V Q) = Hp(P) + Hp(Q|P).

(f) Hp(P V Q|R) < Hp(P|R)+ Hp(Q|R).

Em particular, se

R = {X},

então

Hp(P V Q) < Hp(P) + Hp(Q).

(g) Hp(P|R) < Hp(P|Q) + Hp(Q|R).

(h )

Seja

À

uma outra medida de X, então para toda partição mensurável

P

de

X

em

relação a

p

e À, e para todo

p G [0,1],

temos

Demonstração:

(a) Se Hp(P) = 0, entao P = {X} (mod 0) e nada temos o que fazer.

Portanto, suponhamos que Hp(P) > 0, então existem a, a

'

G I tais que p (C a), p (C a/) G

(0,1).

Mostremos primeiramente que

Da definição de IP, temos

log sup { p(Ca) }

asl

< H ( P ) .

inf I

= inf {I

(x); x G X}

= inf { - log p (C

); a G I }

= - sup { - ( - log p (C

) ); a G I }

= - log (sup { p (C

) }

.

Assim,

H

p

(P) =

IPdp >

inf IPdp = inf IP.

dp = inf I

.p(X) = - log ( sup { p (C

) }

(1.4)

Para mostrar que H

p

(P)

<

log(#P), lembramos que a entropia assume valor máximo

quando P e perfeita (Proposiçao 1.15). Seja P

'

= {C

1, . . . , C

k

} uma partição perfeita, isto

e, quando p ( Q ) = p(C

j

), para todo i, j = 1 , . . . , k , tal que log(#P) = lo g (# P '). Assim,

H

(P) < H

(P') = lo g ( # P ') = log(#P),

(1.5)

para toda partiçao P de X.

Segue de (1.4) e (1.5) que

0 < - log ^sup { p(Ca) } j < Hp(P) < log(#P).

(b) Antes de demonstrarmos este item, precisamos de dois resultados:

P ro p o siçã o 1.21.

Seja

(a.j)jgN, (bj)jgN C R

duas sequências tais que

0 < bj < aj

e

oo oo

L a = L bj,

então

aj = bj,

para todo

j G N.

j=i

j=i

Demonstração:

Suponha que exista j0 G N tal que bj0 < aj0, então

£

aj =

(X

j + aj0 >

(X

j + b j0 >

(X

j + bj0 =

X

b j ,

j=1

\j=jo /

\j=jo /

\j=jo /

j=1

o que e absurdo! Logo,

a

j =

b

j, para todo

j

G N. ■

P ro p o siçã o 1.22.

Seja

aj > 0,

com

j = 1, . . . , n

tal que

aj = 1

e

* : (0, oo)

j=i

uma funcao estritamente convexa. Se

R

(

i

* I ^ a

X

i = ^ a

^ (x

),

então

x

= x

= ■ ■ ■ = x

.

Demonstração:

Demonstremos por induçao.

(k = 2) Suponha que exista x 1 e x2 com x 1 = x2. Como a2 = 1 — a1 e por * ser

estritamente convexa, temos

* ( a ^ + a2x2) = * ( a ^ + (1 — a1)x2)

< a ^ ( x 1 ) + (1 — a 1 ) ( * f o ) )

= a 1 * f a ) + a 2 * f e )

o que contradiz a hipótese. Logo x 1 = x2.

(k = n + 1) Suponha a hipotese seja valida para k = n, então:

4» (

Y

OjXj) = 4> f(l - an_i)

( Y -

— ---- Xj) + an+1xn+1

'.

=

)

V

I

C a

+

)

I

i .

Tome y = ^ ^ ( a

/ (1 — a

+ 1 ))x

. Se y = x

, entao pela convexidade de * , temos

'n+1

* ( L

* ((1 — an

+1

)y + an+

1

xn+

1

) < (1 — an+

1

) * ( y ) + an+

1

xn

+1

contradizendo a hipotese. Se y = xn+1, entao pela hipotese de induçao para y , temos que

x 1 = ■ ■ ■ = xn = y = xn+1, como queríamos demonstrar. ■

Voltando a demonstração de (b), e utilizando a funcao * : (0, oo)

1.22, temos

R da Proposiçao

0 < H^PIQ) =

—Y _

k ( D

) ^ * ( P ( C

|D

))

<

-■ y

^ I y ^ ( c

D

)

= - Y _

MP-(C

))

= H ^P ).

Pela Proposição 1.21, temos

L L

P-(D

)^ ( p ( C j D

)) =

L

*

I

L p ( D

)p (C

|D

)

e

e

e

V

e

se, e somente se,

y

p (D

)^ (p (C

j

D

)) = ^

I

y_

p ( D

)p (C

|D

)

I

,

peJ V PeJ J

para todo a

I. Agora pela Proposição 1.22, a igualdade acima e verdadeira se, e somente

se,

p ( C jD

) = p (C

|D

),

para todo P, P

J. Isto implica que

p (C

|D

)

y _

p (D

) p ( C j D

) = p (C

),

isto e,

p (C

D

) = p (C

) .p ( D

),

para todo p

' G

J.

(c) Como

£(x)

0, para todo x

X e pela injetividade da função log, temos

^ ^ ( C j D

)) = 0

&

log(^(C

D

)) = log(b(D

))

&

b (C

D

) =

( D

)

P

Q (mod 0).

(d )

Como Q

R, temos que R V Q = R, assim para concluirmos o resultado basta

mostrar que H

(P|Q V R)

H

(P|Q). Agora, observe que

H

(P|Q) = ^ q (D

)H ^ (P)

com H^p(P) = - ^ pp(Ca) log(pp(Ca)) =

p (C a|Dp) log(p (C a|Dp)). Alem disso,

ael

ael

h

„8 (P|R)

< H^p (P), pela primeira parte deste item, o resultado segue da seguinte afirmaçao.

A firm ação: H (P|Q V R)

= y _

b(Dp)H^p (P|R).

PeJ

Demonstração:

Temos que

^ p (D p )H ^ (P | R ) = ^ p(Dp)

PeJ

PeJ

£ ^p(Ey)H(86,Y (P)

.YeK

y

^ ( D

^

b

(E

)Y _

P(

)T (C

) log(p(

)y (C

))

e

e

e

y

^(

D

p

^

b

(E

) ^ P

(C

|E

) log(p

(C

|E

))

e

X

(

Í

M

)Y _

bp(Ca n Ey) ^

í

pp(Ca n Ey)

PeJ YeK a

e

^

P( D

P

E

)Y _

b

E

bp(Ca El Ey) ^

b

(E

y

)

)

/ b ( C

n D

n

E

y

) \

PeJ YeK a

e

^

(E

)

M-(Pp)

p

(E

y

n Dp)

V

b(Dp)

X b ( D p ) X

PeJ

p (C a n Dp n Ey)

/ p (C a n Dp n

e

y)\

0gV

^ y C D p )

)

b(Ca n Dp n

E

y

)'

b(Dp)

b(Ca n Dp n

E

y

)

L

_{p (E y n D y ) ----}

n

( C

_{_ fr}

n D

n E

_{/ log 1}

C / b ( C

n D

₁

n E

_"

ael PeJ YeK

P(E

y

n Dp)

b(Dp n

E

y

)

■

y _

p

(E

y

n

D

y

^ ^

b (C

|E

n D

) log (b (C

|E

n D

))

= H^(P|Q V R).

(e) Por definição,

H|j.(P V Q|R)

= ~ Y _

dCE

W ^ ( C

n D

|E

))

PeJ yeK

■ X ^ Í C

n D

n E

) log

PeJ yeK

^ ^ ( C

n D

n E

) log

PeJ yeK

> ( c a n Dp n

e

y )\

.

p

W

)

V ( c a n Dp n Ey) i

4

C a n E y) '

(J.(Ey)

(J.(Ca nEy)

^ ^ ( C

n D

n E

) log

^ ^ ( C

n D

n E

) log

PeJ yeK

M.(CanD«nEy )

IK C E d Ë

— J ~ 2 _

aeI

PeJ

yeK

M-fCoíflEy)

Y_

p(Cq n Dp)4>([i(Dp|ca

v

Ey)) -

Y_

p(Ca n

e

y) iog

0 ^

aeI PeJ yeK

aeI yeK

=

H^(Q|P V R) + H^(P|R).

(f) Como P V R refina R (R < P V R), temos por (b ) e (e) que

H|

(Q|P V R) < H

(Q|R)

e

H^(P V Q|R) = H (Q |P V R) + H^(P|R),

respectivamente. Desta forma, temos

H|j.(P V Q|R) = H^(Q|P V R) + H^(P|R) < H^(Q|R) + H^(P|R).

(g) Pelos itens (e) e (f), temos que

Em vista disto

Hp(P|Q) + Hp(Q|R) = (Hp(P V Q) - Hp(Q)) + (Hp(Q V R) - Hp(R))

= Hp(P V Q) + Hp(R|Q) — Hp(R)

= Hp(P V Q V R) — Hp(R|P V Q )) + Hp(R|Q) — Hp(R)

> Hp(P V Q V R) — Hp(R)

> Hp(P V R) — Hp(R)

= Hp(P|R).

(h ) Pela convexidade da função

temos

pHp(P) + (1 — p)H A(P) = —p

I

^ ^ ( p ( C a))

I

— (1 — p)

I

^ ^(A(Ca))

V asi

/

\

aSl

<

—Y _

^ ( ( p p + (1 — P)A)(Ca))

aSl

Hpp+(1—p)A(P)-Isto termina a demonstraçao da Proposição 1.20. ■

1.2.3 Partição Geradora

D efin ição 1.23.

Dada uma função

f : X — > X

e uma partição

P

de

X.

(a)

Denotemos por

n

1

(

n

1

Pn

= \/

f

1 (P) = i p| f

^(C);

para todo

C G P

i

0

^ i

0

(b)

Uma partiçao

P é

dita uma partição geradora se \J

f i (P)

gera a o-álgebra de

i

A, com

(X,

A,

p)

um espaço de medida e

f

uma função invertével. Caso,

f

não seja

invertével, entao pede-se que

f

i (P)

gere a o-algebra.

i

0

E x em p lo 1.24.

Considere o espaço

I d

das sequências de

d

símbolos,

v+

a função des­

locamento a direita (isto é,

v + (a n) = a n—i,

para todo

n G Z )

e

P = {C1, . . . , Cd}

a

partiçao dos cilindros de tamanho

1.

A partição

P é

geradora, pois dado um cilindro

C

f - i (Ck); k

G

(1, . . . , d } j .

Então, temos que

C

G

Pn

e todo cilindro de tamanho

n

e exatamente n-interseções

finitas de cilindros de tamanho

1

, isto e, P é geradora.

1.2.4 Entropia de uma função com respeito a uma medida inva­

riante

Aqui nesta seção, relembremos o conceito de uma medida invariante por uma função

mensur avel f em X. Uma medida de probabilidade p e invariante por f se para todo

conjunto mensuravel E de X, temos

n —1

C = [ 0 ,..., n — 1; a

, . . a

] = <j

f]

p(E) = p (f—'(E)).

Denotemos por M ( f ) o conjunto das medidas (de probabilidade) invariantes pela

transformacao f.

Na sessao anterior, definimos entropia de uma particao mensuravel P. Se p for inva­

riante para f, não e difícil notar que

H

(P) = H

(f-

(P)).

Antes de definirmos entropia de uma partiçao P com respeito à uma função f e, entropia

de f com relaçao à uma medida invariante p, precisamos provar um importante resultado.

P ro p o siçã o 1.25.

Sejam

{X, A , p}

um espaço de probabilidade e

P

uma partição

X.

Temos que o limite

lim

n

œ

H p ( P n )

n

existe.

Para demonstrarmos a proposicão, provaremos que a sequencia (an/ n ) ngN e conver­

gente, se (an)neN e subaditiva (isto e, dados m ,n

G

N entao am+n

<

am + an). Em

seguida, mostraremos que a sequencia (Hp(Pn))ngN ser a tambem subaditiva, concluindo

assim a demonstracao da Proposiçao 1.25.

Lem a 1.26.

Toda

( — )

é

convergente, se

(an)nSN

é subaditiva.

V n ZneN

a

= a

< a

+ a

< q.a

+ a

.

Assim,

a

a

aT

n

n

Fixando m , temos

lim

sup — <

lim

sup

H---= lim

sup

,

n— soo TX n — soo — Tl n — soo —

q q

pois r tambem esta fixado. Note que quando n — > + o o , então q — > + o o , então

de modo que

Conclui-se então que

e, em particular,

..

n

m .q + r

lim — = lim --- = m ,

n — iœ

q

q

a m a m

lim sup —— = — .

n — soo — TU

a n a m

lim sup — < —

n — iœ n "m

a

a

lim sup — < lim ml — .

n — iœ

n

—

m

Por definicao, temos que (an/ n ) ngN e convergente.

Demonstracao

(P ro p o siçã o 1 .2 5 ): Pelo lema anterior, basta provarmos que a sequencia

(H|

(P

))

gN e subaditiva.

A firm ação: A sequenciã (H

(P

))

gN é subaditiva.

Por definiçao de funcao invariante e pelo item (f) da Proposição 1.20, temos

H|j.(Pm+n)

/m + n —1 \

H ^ / f

(P)J

(

V f

(p) v v f

1(

p

)

=

V f - i (P) V f -m ( V

= H

(P

V f -

(P

))

< H

(P

) + H

(f—

(P

))

= H

(P

) + H

(P

). ■

Agora faz sentido definirmos a entropia de uma partiçao P finita com respeito a f e, a

entropia de uma funçao f em relaçao a uma medida invariante p.

D efin ição 1.27.

A entropia de uma função f com respeito à partição

P

finita e uma

medida

p e

M f . P ) = i - K

_n

D efin ição 1.28.

A entropia de uma funçao f com respeito a uma medida

p e

h

(f) = sup h

(f,P),

p

com

P

uma partição finita de

X.

A seguir, veremos exemplos de como calcular esta entropia, a de uma funçao com

respeito a uma particão e de uma funcao com respeito a uma medida invariante.

E x em p lo 1.29.

Neste exemplo vamos fixar

p

a medida de Bernoulli com respeito ao vetor

de probabilidade

(p

, . . . , p

),

considerando

I

o espacos das sequências com

d

símbolos,

v+

a função deslocamento à direita e

P

a partição dos cilindros

C

de tamanho 1. Observe

que este exemplo esta atrelado a se provar um resultado anterior.

Como ja foi visto,

n —1 f n—1 yn \ / x—if

Pn = V f —i(P) = J p| f(C); C £ P

i=0

i=0

í

uma particao por cilindros de tamanho

n

e (como já calculamos anteriormente)

Hp(Pn) = —n. ^ pi log pi.

i=1

Dessa maneira,

M f , P ) = lim Ü A d = Um - n L f - . P . i o S P .

n—

n

n—

n

^ P i log Pi = Hp(P).

E x em p lo 1.30.

Seja

Ra : S1

— >

S1

a rotação de ângulo a e

p

a medida de Lebesgue em

S1.

Repare que a medida de Lebesgue e invariante sobre a rotação

Ra

e que uma partição

P

do círculo com

k

elementos é determinada por uma sequência

pi, . . . , p k

de pontos de

S1.

Em vista disto, note tambem que se denotarmos por

então a partição

determinada pelo conjunto de pontos

e

Note que a interseção entre

e

pode ser não vazia. Então

# C n < k + # C n—1 < ■ ■ ■ < n . k .

Pela continuidade da funçao

(e pelo item

da Proposicão 1.20), temos

h p ( f , P ) = lim H p ( P n ) 1 1

n < li m — l o g ( # P n ) < li m — l o g ( k .n ) = 0 .n — n n — n

Logo, a entropia de

em relacão a medida de Lebesgue

sempre nula, pois

ar­

bitraria.

O bservação:

(1)

V e r e m o s a fr e n te a lg u n s r e s u lt a d o s e p r o p r ie d a d e s b o a s s o b r e e n t r o p ia q u e , p o r e x e m ­ p lo , c o m p le t a r a o o c á lc u lo d a e n t r o p ia d o s d e s lo c a m e n t o s d e B e r n o u lli. E m p a r t ic u la r , s e r ã o n e c e s s a r io s n a d e m o n s t r a c a o d a d e s ig u a ld a d e d e R u e lle , r e s u lt a d o q u e v e r e m o s n o te r c e ir o e u lt i m o c a p ít u lo d e s t a d is s e r t a c a o .

P ro p o siçã o 1.31.

Para todo

temos

Caso

for invertével, temos

para todo

A n t e s d e d e m o n s t r a r a p r o p o s ic a o , p r o v e m o s u m le m a i m p o r t a n t e q u e p o s s u i b o a s p r o p r ie d a d e s .

L em a 1.32.

Sejam

uma particao finita de

uma funçao e

Entãao,

h p ( f , P ) = li m H p ( P | V f —i ( P ) ) ._{^ n — ^ v} i=1

n—1

O bservação:

Demonstração:

Usando o item (e) da Proposição 1.20 junto com o fato de p ser

invariante, temos

/n —1 n—1 n -1

H ,

(

) =

v

(

p

) +

h

J

p

\

v

(

n =

(

) +

h

J

p

\ y

(

p

)

vi=1

i=1

i=1

para todo n

N. Desta forma, repetindo o processo anterior indutivamente, temos

Hp(Pn) = Hp(P) + ^

h

J

p

| V (P)

k=1

'

i=1

Por consequência,

n—1

M f » P ) = lim -H^(Pn) = Hm —Hp(P) H

y~

Hp ( P | V f_i(P) ) •

k=1

Pelo item (d ) da Proposição 1.20, a sequência Hp P

\ y

f i (P) I I

ê decrescente,

i=1

€N

e portanto, lim H

( P

\ y

f

(P) 1 existe.

i=1

Isto garante que a media dos termos an = Hp P

\ y

f l ( P n tambem converge a este

limite quando n — > + o o . Portanto, temos

1

i=1

M f . p) =

„

ü s l

- L

a . ( p I V f J (p)J = , M m 3 (p I y fú P )j •

k=1

i=1

Demonstração

(P ro p o siçã o 1 .3 1 ): Tomemos g = f k e seja P uma partiçao finita de

X. Temos que

k n -1 n -1 /k —1 \ n -1

P

=

f

(P) =

f

V f

(P) = \/ g

(P

).

Pelo Lema 1.32, segue que

k h p ( f , P ) = lim —Hp(Pkn) = H p (g ,P k).

(1.6)

Como P

P

, temos que h

(g, P)

kh

(f, P)

h

(g), para P qualquer, em particu­

lar, para o supremo das particoes. Assim,