INFORMÁTICA E EDUCAÇÃO MATEMÁTICA

D

i .1010U I 0],00010101.010111.011.101.01],0000101010),100101.01.0001.001011.00],00D1.0U010J.1J.O],],],OlOn0000101Dl,U0010J.01.00D1.0010UDOJ.OOO1.0},],OlOUJ,DUJ.DJ.O),],DOOOJ.010UJ.OO1.01.01000J.OOlOUODl,DOO),OU010J.01U001 I Ar t1"9O IJIfOOJ.01.D UOJ.OUDOOOJ,OJ,OUJ,OOlD1.DJ.OD010D],DJ,J,OD10DOJ.OU010],],],OU10J.DJ,J.0000J.0101},],OO1.010100010010],),00100010),10101.11.0],],),01.0),),00DOJ,OJ.OUJ.OD1DJ.0100D1,DOJ,DU0010001.01.1.OOJ.OJ.OOJ.OJ.D000010J,OUJ.OOJ,01.0 11oi~

INFORMÁTICA E EDUCAÇÃO

MATEMÁTICA

COMPUTER SCIENCE AND MATHEMATICAL EDUCATION

Prof. Dr. Saddo A

Almouloud

Pontifícia Universidade Católica de São Paulo - Puc - SP saddoag @pucsp.br Artigo I:

o

microc ramenta pl formativa e

.

Oestl

.

Torn~ apren

.

Tratal

.

Integl siona

.

Dimir Em gera papéis. Entl sumi-Ios, pc ele precisa:

.

Identl errôn

.

Obse aula,

.

Conh recim

.

Assol cepç2 quilit

.

Agir I dificu Édesejá' área tenhal suscetíveis percebemo aula, bem c por exempl bricas) ou e Houve u gência artifi te" seria suf esse model a ineficácia concepção. respostas d atingir a si~ erro. Portal deve-se ins I Segundo N. Bi dados didátic( O modelo epis dos comporta

11

* "o.OU_{\ A I} J.00010UOlO],),},01.J,],01.01.1.00001.01.01.UOO1.01.01.0001.001.01.1.001.0001.01.1.01.01.1.1.01.1.1.01.01.1.00001.01.01.1.1.001.01.01.0001.001.0UOO1.0001.01.1.01.0U1.01.1.1.01.0UO

I ReV1"sta de Informát1 "ca Apl1"cada 10 1.00),01.D no ,n

110m,,,_{1 A}

.

.~

A t . '110'1010 rt 1 90 ~iif-'I r 190

JN

s of comput~r lucation,

~ssof dJ,

luter sCience

iped

~por

~el)~w medla,$~ I I ~athema.ttcal' I 1-INTRODUÇÃO

O microcomputador se apresenta como uma fer-ramenta privilegiada para a avaliação somativa, formativa e diagnóstica. Elepossibilita:

.

O estudo do comportamento dos alunos;

.

Tornar os alunos autônomos na gestão de sua aprendizagem;

.

Tratar no tempo real uma parte da avaliação;

.

Integrar numerosas informações multidimen-sionais;

.

Diminuir o efeito emocional da avaliação. Em gera', o professor está encarregado desses papéis. Entretanto, ele encontra dificuldades em as-sumi-Ios, pois, numa classe numerosa e heterogênea, ele precisa:

.

Identificar o tipo de comportamento, certo ou errôneo, do aluno;

.

Observar a repetição e a freqüência, em sala de aula, desse comportamento;

.

Conhecer as condições e a história de seu apa-recimento;

.

Associar a esse comportamento uma

con-cepção ou um conjunto de situações para dese-quilibrá-Io;

.

Agir quase instantaneamente para superar as dificuldades encontradas pelos alunos.

Édesejável que as pesquisas desenvolvidas nesta área tenham realizações de programas educativos suscetíveis de atingir esses objetivos. No entanto, percebemos a importância do computador na sala de aula, bem como na formação não-acadêmica, como, por exemplo, nos lugares de trabalho (escolas ou fá-bricas) ou em formação individual a distância.

Houve um tempo em que os especialistas da inteli-gência artificialrespondiam que um modelo "inteligen-te" seria suficiente para avaliar e medir a diferença entre esse modelo e o do aluno. Na realidade, o fracasso ou a ineficácia dessa visão evidenciou os limites dessa concepção. Além do modelo comportamental' que as respostas dos alunos permitem observar, é necessário atingir a significação epistemológica da exatidão ou do

erro. Portanto, na leitura interpretada das respostas,

deve-se inserir o modelo epistêmico2 ainda nomeado

"modelo do aprendii', que é diferente de um submodelo

do "modelo inteligente". Esse modelo do aprendiz ne-cessitade uma reconstrução dos comportamentos ob-servados. Uma análise mais sistemática permite, às vezes, identificar as concepções dos alunos segundo as quais os processos se desenvolveram.

Isso impõe o desenvolvimento de um dispositivo informático relativamente complexo, tornando-se um verdadeiro instrumento de observação de comporta-mentos que uma análise psicológica e didática traduz em termos de procedimentos ou de processos. Mas, a fim de, por um lado, eliminar as causas acidentais ou locais dos erros dos alunos e, por outro lado, de for-mular um diagnóstico apoiando-se nas regularidades

comporta mentais, de várias origens e formas,

acha-mos indispensável utilizar as análises de dados

multidimensionais. Essas metodologias de análise de

dados multidimensionais têm a propriedade, ao con-trário de um teste inferencial, de poder tratar um im-portante número de dados e, a partir de um jogo de oposição, de servir de indicador diagnóstico. Assim, o microcomputador terá um importante papel no domí-nio de tratamento de dados: ele é analisador e revelador. Analisador porque ele fornece informações sobre o estado cognitivo do aluno, por meio dos comporta-mentos que permite recolher, pois essas informações são reveladas e integráveis como índices num

conjun-to coerente:

o modelodo aprendiz.

Segundo Valente (1993), dentre as possibilidades do computador em contextos educacionais, podemos relacionar:

.

Aprender a informática;

.

Aprender a programar;

.

Usar recursos informáticos projetados

especi-ficamente para o ensino;

.

Usar aplicações de base para o tratamento da

informação.

O mesmo autor, analisando essas possibilidades,

coloca:

"Ouso do computador como máquina de

ensi-nar, informatizando os métodos de ensino

tra-dicionais, tendo sobre o papel, lousa e giz as

vantagens das animações, som e repetições

sucessivas,para a melhorcompreensãopor

par-te do educando, caracpar-terizando o paradigma

instrucionista."

ISegundo N. Balacheff (BALACHEFF.1994b) é no nível comportamental que se trata de levar em conta os comportamentos do aluno como organização dos dados didáticos.

2Omodelo epistêmico é reconstruido pelo pesquisador (o didata por exemplo) a partir de um diagnóstico epistêmico. Este último consiste em uma interpretação dos comportamentos. eventualmente reconstruidos, do aprendiz para elaborar um modelo de seus conhecimentos. (BALACHEFF,1994b).

'''_{I A I} o

1

.

/

.

2OO5 IO:l.OOOIoO],],01.01.1.1.01.),),010),),00001010),),),001010100010010J.),001000J.0],],O:l.O),J.),01],101011,000010101.1].001.0101.000].001,011.00),00010],],olouJ.D1.UOloJ.J.D01.ouoooJ.

1I

RIm

!

OlOOOlO),lOlDllJ.OUlOJ.O),),ODD010J.OU1001DJ,OlDOOl0010UDOlOOOl01l010l110U1D10),J.00001010U),OOlOlDlDOOJ,OOlOllOOlOOOlOUOlOllJ,01.ll0l0),J.OOOOl010J.UOOlOJ,OlOOOlOOJ,OU001000l0U0101.01],),00),

1 Ar t1

.

9O rJwb:~

..:

.

.:

.

..

Ar t1

.

9O

U010:UODOOlOlD1UOOlDJ,OlOOOlOOlOUOO1.0001.0UOlO1.11.01.l10l0ll.DOOOlOlOU10D1.0J,OJ.OD010010U00100DJ.OllOl01UOlllDlO),),OODOJ,OlOUlC010J.OlOOO10(10),),OOJ.OQO),OJ.},DOlOlOO1.DJ.OOOOO101OJ.),],00J.01.0 1111J- " .. J'

Nesse contexto, o professor é treinado para usar um software, mantendo praticamente a mesma pos-tura utilizada em sala de aula.

Os programas abrangem finalidades diferenciadas, tais como aquisição de conceitos, desenvolvimento de habilidades básicas ou resolução de problemas.

O computador como ferramenta, auxiliando na construção do conhecimento: segundo Valente, a mu-dança nos paradigmas educacionais vem acompanha-da pela introdução de novas ferramentas tecnológicas. Assim sendo, não é suficiente que os educadores te-nham à sua disposição ou apenas saibam operar es-ses elementos tecnológicos, é preciso que aprendam a elaborar e a intervir significativamente no processo educativo.

Segundo o mesmo autor, "se o objetivo principal do processo educativo é oportunizar o desenvolvimento do processo de construção do conhecimento, com o aprendiz no centro do processo educativo, compreen-dendo conceitos e reconhecendo a sua aplicabilidade em situações por ele vivenciadas, defendemos a utili-zação do computador como ferramenta, facilitando a descrição, reflexão e depuração de idéias."

Neste artigo, analisaremos algumas das questões voltadas ao uso de um programa educativo para fins de ensino-aprendizagem. Eum software educativo será

considerado como um conjunto de recursos

informáticos desenvolvidos com o intuito de serem usados em contextos de ensino e aprendizagem.

Além disso, levando em consideração essas ques-tões, analisaremos as características importantes de dots softwares educativos (Cabri-géométre e DEFI),e a calculadora T181, bem como os entraves que im-põem ao aprendiz.

Nossa análise baseia-se nas noções de transposi-ção didática (Chevallard, 1991) e transposição informática (Balacheff, 1994).

I. DO SABER CIENTíFICO AO SABER

DO ALUNO: TRANSPOSiÇÃO DIDÁTICA

A criação de objetos de ensino é o resultado de um processo complexo de adaptação dos saberes de referência aos sistemas didáticos. Esse processo,

cha-mado

Transposição didática por Chevallard,conduz

à criação de objetos com suas caracterizações e seus funcionamentos próprios. Papel do matemático

Saber a ensinar

propostas

curriculares

Redação

de livros

didáticos,

preparação dê

seqüências

didáticaRelação

Transposição didática stricto sensu

Figura 1 Saber do aluno YvesCI dática con passa um

dessa

defil

do "saber

I O sabe que deve E ticos fixan Os obje ma educatl junto de c( Os objetos plinas do E culados lo~ Paratel de conhec nos, os es crever as articulaçõE ções. Eles I exemplo, ( "MatemáÜ ensino. Pr( com relaçl ricamente do ato da' Os livre

.

Dis~ refe

.

Prol

estr

SOrE

.

SerI prol

.

Expl grar Ressalt ber que Ci particular ber chama ceiro ato, Noqua sor deve9 seus conh escolar e transposiç uo..m.m m uo m.m m uo m 1 R . t d I f át . A 1. d 1.'9.

I Artigo ~mmu' ISquestões tOpara

fins

ucativo

será

recursos o deserem dizagem. ~ssas ques-ortantesde 'e eDEFI),

e

'es que

im- ~transposi-lnsposição .ABER )ÁTICA ~sultadode ,saberes de )Cesso, cha-ard,conduz lções e seus

o

ta Artigo

Yves Chevallard (1991) define a transposição di-dática como o conjunto de transformações por que passa um saber científico a ser ensinado. Através dessa definição, distingue-se bem "o saber científico" do "saber ensinado".

O saber a ensinar é aquele que o professor acha que deve ensinar após os livros didáticos e paradidá-ticos fixarem a interpretação do programa.

Os objetos a ensinar tendo sido designados, o siste-maeducativo é encarregado de traduzi-Ios em um con-junto de conhecimentos que os alunos deverão saber. Osobjetos do saber são, então, organizados em disci-plinas do ensino, estruturados numa progressão, arti-culados logicamente sem lacunas importantes.

Para tentar fazer do saber a ensinar um conjunto de conhecimentos estruturados e acessíveis aos alu-nos, os especialistas são, às vezes, obrigados a rees-crever as definições e propriedades, repensar as articulações lógicas e transformar certas demonstra-ções. Elespodem, também, inventar objetos novos (por ~xemplo, diagramas de flechas no ensino chamado de "Matemática Moderna"), que chamamos de objetos do

ensino. Produz-se uma descontextualização da noção

com relação aos problemas dos quais ela surgiu histo-ricamente. Esse conjunto de etapas constitui o segun-do ato da transposição didática.

Os livros didáticos visam, geralmente:

.

Disponibilizaraos alunos uma ferramenta de

referência para pesquisas eventuais;

.

Propor uma partição do programa em capítulos estruturados, permitindo aos alunos e profes-sores usá-Ios como referência;

.

Ser uma base de dados para os exercícios e os

problemas;

.

Explicitar um texto, expondo as noções do pro-grama.

Ressalta dos livros didáticos um certo tipo de sa-ber que contribui para a instalação de uma cultura particular nos alunos de uma mesma época. Esse sa-berchama-se o saber escolar. Sua elaboração é o

ter-ceiroato da transposição didática.

No quarto ato da transposição didática, o profes-sor deve gerenciar, adaptando os objetos a ensinar a seus conhecimentos próprios, inserindo-os no saber escolar e organizando-os no tempo. No estudo da transposição didática, devemos examinar se não

te-mos uma ruptura epistemológica entre o objeto do saber e o objeto do ensino, ou seja, se os dois só têm em comum uma nomenclatura e, nos casos extremos, uma linguagem pseudocientífica.

O professor dispõe de várias variáveis didáticas que vão transformar a situação de aprendizagem. Suas escolhas terão conseqüências sobre a percepção do saber que os alunos vão desenvolver e as concepções que eles vão forjar.

Sabem que todo o saber ensinado não é retido pelo aluno, o qual cumpre o quinto ato da transposição

didática, que é o de transformação do saber ensina-do em saber ensina-do aluno.

11. TRANSPOSiÇÃO INFORMÁTICA

O desenvolvimento dos ambientes informáticos e a introdução dessas tecnologias na escola e na formação de professores, são acompanhados de novos fenôme-nos do mesmo tipo que aqueles da transposição

didática.

Segundo Balacheff (1994), além dos entraves da transposição didática, temos aqueles da modelização

e da implementação informática: entraves da

modelização compatível, entraves ligados à lingua-gem informática e à capacidade das máquinas.

Destaca que os ambientes informáticos da apren-dizagem resultam de uma construção que é um lugar de "novas transformações" dos objetos do ensino. Os professores devem levar em consideração esse fato.

O autor analisa a seguinte problemática: um

com-putador propondo uma representação do mundo e

de seu funcionamento: que relação essa representa-ção tem com o mundo representado?

Uma "representação do mundo" não é o "mundo", pois essa representação tem propriedades herdadas, ao mesmo tempo, das escolhas de modelização que são feitas e das características dos meios semióticos

escolhidos. Por outro lado, como dispositivo material,

o computador impõe exigências que vão necessitar de uma transformação do "mundo" para que seja pos-sível implementar sua representação.

Balacheff (1994) introduz a noção de Transposi-ção informática para falar desse tratamento do co-nhecimento, que permite representá-Io e implementá-Io num dispositivo informático. No contexto do desen-volvimento do software educativo, essa transposição é importantíssima e significa, de fato, uma contextua-lização do conhecimento, que pode ter conseqüências importantes sobre os resultados das aprendizagens.

Ano r, nQ 1, jan/ jun 2005 ID1.0DO],O),),OlO),),1.DU),01.0),),ODDD1.DJ,D1.1.1.DO],O),01.0D01.001.0),],OO1.Da01.OJ.l,01.OJ,),),O),),),01.0),),ODU01.0J,01.1.1.0C),01.01.0001.00),O),),OO1.0OOlO),),O),01.1.1.0),),],01.D1.1.0010u'OOO), II!II

U01.o),),oOOO1.01.0),),),OOlO:1.01.0001.001.0U0010D01.0),),OlO1.UOlUOJ.OUOOOOlO.1.0UJ.OO1.0101.0D01001.01.1.001.00010),),01.0],),),O),),),O),01.)'OODOJ.O)'OU)'DD1.D1.D1.1.D1.DD1.D:UD~

RIm

!

01.0001.DU01.DU1.0),),),OJ.OUODOO1.0J.OJ.UOOJ.o),oJ,oaOJ,OOJ.OUOOlODOJ.O],),O],O),1.1.0],],),OJ,O],],OOOOJ.OlO),1,l,OOJ,OJ.OJ,OOOJ.OOJ.OUOO}.DQ01,OUD101U0111010),],000010101UOO1.010),ODOJ.001.0],),001.0001.0U010101UO01.

UOJ.OUDOOO1.D],OUJ.DOJ,OJ.01DOO1.00),OUOOJ.OOOJ.OU01.0),],),OU),01.0UOO001.010UJ.OOJ.01.0:U]OOJ,OOlOUDOJ.00010J,lO),OJ.U01.U01.0UOOOOJ,OlOU,),ODJ,01.0J.ODOJ.OO1.0UOO1.000J.OUOD1.UOOJ.OJ.OOOOU010UJ.OO),OlO I Ar t 1 9 o ~~tt~gtg~~1Ar t i 9o

11I. TRANSPOSiÇÃO DIDÁTICA E TRANSPOSiÇÃO INFORMÁTICA

Figura 2

Saber de referênc:la

Saber a ensinar

Especificação:

uma concepção do sa.ber

uma concepção do professor

[S~~ber implementadoJ Transposição 1 Implementação: representação interna à interface Transposição informática

Desenvolvimento do dispositivo informático

Sa.berensinado"

saber do aluno

.. "Transposição. didática."2"

Interação didática Este esquema explícita os passos principais da transposição informática.

O uso dos meios informáticos complexifica o esquema acima acrescentando nele todo o processo de concepção e de realização do software.

o esquema acima mostra em que nível a transpo-sição informática está situada no processo de trans-posição didática.

Uma vez que o conhecimento a ensinar é identifi-cado, resta a especificar a arquitetura do ambiente informático de aprendizagem, o que engaja as con-cepções dos "autores" sobre o conhecimento e os meios de seu ensino. Além disso, deve-se realizar a implementação do conhecimento levando em consi-deração as exigências e os entraves ligados às carac-terísticas do dispositivo informático.

Umdos problemas ligados ao desenvolvimento de ambientes informáticos de aprendizado informatizado é a especificação dos modelos dos conhecimentos, sua formalização e, finalmente, sua representação simbólica.

O problema da transformação dos conhecimentos nos processos de representação no ambiente informático é essencial, pois os fenômenos que lhe são associados são susceptíveis de se combinarem, de modo comple-xo, aos da transposição didática. O problema da

trans-posição informática é o do domínio de validade

epistemológica (Balacheff, 1994a) dos dispositivos

informáticos para a aprendizagem humana.

Para o desenvolvimento de um programa educativo (cf.parte transposição informática no esquema),

preci-sa-se da colaboração de especialistas de diferentes

áreas (informática,psicologia, didática da

matemáti-ca, ciências de educação etc.) para a elaboração de

modelos bastante explícitos, para serem

embarca-dos num sistema informático:

.

Modelos gerais de compreensão, de resolução

de problemas, de construção de conhecimentos;

·

Modelos específicos nos domínios ensinados; explicitando os aspectos relativos às aprendiza-gens;

·

Modelos pedagógicos para conceber a interação sistema-aluno, gerir as aprendizagens, adaptar-se a um aluno particular. (Monique Baron, 1993). Os psicólogos, por exemplo, podem analisar o fun-cionamento cognitivo do sujeito em situação de apren-dizagem. Essa contribuição pode abranger vários aspectos:

.

Ergonomiadas interfaces "homem - máquina"

(número de modalidades de representação das informações. ..);

.

Modelagem do sujeito em situação da aprendi-zagem (modelo de estratégias de resolução de problemas e modelos de aquisição de conheci-mentos);

.

Estu ção tratl proc

. Met(

ede

IV. QUE COMP 1) O pr de n tem nar? Seo rec escolhidoI tador e os trabalho,c gica. Éo ~ em função de quedisl professore re paraus, ando nacc Segund fessoresdi ca, e a SUê mental.A aspectodi nheciment maticame proporciol Enfim,a f( de conhec: mento sol maisdetal veis: lingu, cacionaisE

li

lODO),O}.).OJ,01.UO],1.1.D1.0UDDOO1.0],01.1.1.001010 1.0001001.0 ),),00 J.ooo ).0), 10 ],01), 1.0lUO 101 10000101.011. 1001.01.0),000100 I.OUOO1.000 10], 1.010], ),),0),),1010UO. .. o 110101100001010),],1001010100010010110010001.0110).0111.0).],101.0],100001.010),11001.01.0],,00010010110001000101101011101110],01),00001.01.0111.001.01011 Rev 1 sta de In f ormát 1 ca Ap11 cada h~"U1010u

l AnO I I -':1.1.001010 I A contri

.

Guia cas1 (Blo(

.

Auxl COSI

.

Pro obje

.

Conl pro

. Conl

liaçã

soei;

~i 9o E~~g~~Mgà~tt&gtgtMA r t i 9 o

imes

,ição

ica

.

Estudo do impacto dos modos de representa-ção mental (espacial, verbal etc.) sobre as

es-tratégias de resolução de problema e os

processos de aquisição;

.

Metodologia de experimentação, da avaliação e de validação (Mendelsohn, 1993).

Acontribuição das ciências da educação consiste em:

.

Guiar os construtores em propostas pedagógi-cas globais baseadas nas teorias pedagógipedagógi-cas (Bloom, Piaget, Vigotsky ...);

.

Auxiliar na definição dos objetivos pedagógi-cos precisos;

.

Propor métodos de ensino mais adequados aos objetivos fixados;

.

Conceber mecanismos dinâmicos de gestão da proposta curricular;

.

Conceber metodologias de observação e de ava-liação dos produtos nos diferentes contextos sociais (Dillenbourg, 1993).

IV. QUESTÕES SOBRE USO DE AMBIENTES

COMPUTACIONAIS EM SALA DE AULA

'entes

!máti-ão de

'arca-1) O primeiro questionamento que o professor de matemática deve fazer é: qual saber

ma-temático ou conhecimento queremos

ensi-nar? E como ensiná-Io?

Se o recurso informático for o suporte pedagógico escolhido pelo professor, ele deve saber que o compu-tador e os softwares educativos são ferramentas de trabalho, cujo uso precisa de uma estratégia pedagó-gica. É o professor que deve definir essa estratégia, em função dos objetivos do ensino e das ferramentas de que dispõe. Mas sabemos que a maioria de nossos professores não tem a devida formação que os prepa-re para usar o computador como ferramenta, auxili-ando na construção de conhecimentos.

Segundo Bernard Cornu (1992), a formação dos pro-fessores deve levar em conta a evolução da Matemáti-ca, e a sua abordagem de um ponto de vista experi-mental. A formação deve, também, levar em conta o aspecto didático: não basta um professor possuir co-nhecimentos matemáticos para que ele esteja auto-maticamente capaz de desenvolver situações que proporcionem ao aluno uma aprendizagem eficiente. Enfim, a formação deve comportar um certo número de conhecimento informático: um mínimo de conheci-mento sobre o material informático e uma formação mais detalhada sobre os principais softwares disponí-veis: linguagens, ferramentas gráficas, softwares edu-cacionais etc. Ilução mtos; ,ados; ldiza-ração aptar-993). :>fun- Ipren-lários iuína" odas lendi-~ode ,heci-I

Para Dubensky (1992), a maneira como um com-putador é utilizado depende de suas características particulares e das possibilidades que ele oferece, bem como de nossa compreensão dos desenvolvimentos cognitivos que se devem criar, para que o aprendiz aprenda um determinado conceito. A metodologia desenvolvida por um professor deve implicar em várias interações, como:

.

Sua compreensão do conceito a aprender e a compreensão do conceito esperado do apren-diz em um dado momento;

.

Nossa idéia do desenvolvimento cognitivo a "proporcionar" para aprender o conceito e aque-la realmente desenvolvida nas atividades dos aprendizes;

.

A epistemologia, tal como ela é em um deter-minado momento, e as modificações que de-vem ser feitas em função dos resultados das observações etc.

2) levando em consideração os objetivos do

ensino-aprendizagem

O objetivo do uso dos ambientes informáticos na educação é proporcionar ao aluno condições favoráveis à aquisição de conhecimentos e à superação das dificul-dades de ensino-aprendizagem. Por isso, deve-se pro-por situações suscetíveis de evoluir e de fazer evoluir o aluno segundo uma dialética conveniente. A constru-ção de tais situações vai necessitar da identificaconstru-ção de variáveis didáticas pertinentes sobre as quais podere-mos eventualmente organizar um salto informacional (Brousseau, 1986). O objetivo dessas situações será fa-zer evoluir as concepções errõneas dos alunos e fafa-zer aparecer suas concepções espontâneas frente às situa-ções envolvendo um dado conceito.

O professor, levando em consideração essa proble-mática, deve, antes de tudo, buscar respostas para as indagações a seguir, sabendo que a análise didática das respostas o ajudará na construção de situações-problema que atendam aos objetivos do ensino-apren-dizagem.

.

Qual ambiente informático utilizar?

.

Permite a construção de situações nas quais as variáveis são controláveis?

.

Permite a identificação e a interpretação dos erros e as condições de seu aparecimento?

.

Pode-se construir modelos dos processos errô-neos?

.

Pode-se construir situações didáticas nas quais esses processos seriam desequilibrados?

.

O uso desse ambiente permitirá alcançar os objetivos didáticos fixados pelo professor?

CIm

'

OJ.OODJ.OUOJ.01.J,),O],],),OlOJ.1DODOJ.OJ,OlJ,1.0010J.OJ,OOOl0010J.),0010D010],],OJ.D),UOU,10101.),D0001010),],),OOJ.01D],OOO1.001.0U001000J.O),J.CJ,01.11.0),],),OJ.O],J.OOOO1.0l01),],D01.01.010D01DOJ.OUOOlODOl0110101.0],),],001

1 Ar t 1.₉O ItlOOD10ur.l101J.lD10J.18

Ar t

1.101.0].100001.0101.1100].01010001.001011001.000],0),],010),],),0),),),0101).00001.0],01.11.00101010001001.0],),001.00010),),01.01.110111010],],00001010),11001.0100:1.0001.0010),),00),000),011,0010:1.001.0100000l01011J.OO),IJ10 11.101.01.100181001110010101

3) A respeito dos efeitos da transposição informática:

Os conhecimentos construídos pelo aluno numa interação com um dispositivo informático são susce-tíveis de ter características que as distinguem daque-las que seriam construídas em outro contexto. Por essa razão o professor deve proceder a uma análise didática e epistemológica (efeitos do contrato didáti-co e da transposição informática) dos didáti-conhecimentos

que os alunos apreenderiam num ambiente

informático. Deve-se então, procurar respostas para as seguintes indagações:

·

Quais são as limitações (ou entraves, exigências) que o software impõe ao usuário?

·

Quais comportamentos ele induz e qual ensi-no-aprendizagem ele permite efetivamente?

·

Quais são os efeitos do ensino-aprendizagem com um software educativo sobre os conheci-mentos construídos em sala de aula?

.

Quais são os efeitos da transposição informática do saber matemático sobre o conhecimento construído pelo aluno na interação com o dispo-sitivo informático?

4) A respeito do tipo de ajuda oferecido pelo software e do papel do professor

Os ambientes informáticos possibilitam a

apren-dizagem da formulação e da conceituação, mas

para

que isso aconteça de uma maneira eficiente, precisa-se deprecisa-senvolver situações didáticas nas quais as variá-veis não-matemáticas (por exemplo, manipulação do ambiente informático, aprendizagem da linguagem informática, problemas de memória, de interface etc.) influenciem menos o desenvolvimento das atividades de ensino-aprendizagem a serem trabalhadas com auxílio dessas ferramentas.

Além disso, um software educativo não é acompa-nhado de todos os parâmetros didáticos, nem de todo o ambiente pedagógico necessário ao ensino-apren-dizagem. No sistema didático saber-professor-apren-diz, o computador não traz uma quarta componente. Ele influencia cada uma das três componentes: o sa-ber matemático e o sasa-ber a ensinar, o professor e o ensino, e, enfim, o aluno e sua aprendizagem.

Para minimizar os efeitos perversos das variáveis de difícil controle e para uma melhor eficácia do uso do computador em sala de aula, é necessário que o professor preveja fases coletivas e fases individuais, fases com o professor e fases de trabalho individual. O computador introduz, também, elementos pa-rasitas no ensino e na aprendizagem. A informática traz seus próprios obstáculos, ela pode revelar ou reforçar obstáculos, pode provocar a interferência de obstáculos exteriores.

Respostas às seguintes questões deverão auxiliar o professor a encaminhar estratégias de ensino-apren-dizagem levando em consideração as variáveis didá-ticas pertinentes e os obstáculos (didáticos, epistemológicos...) a superar pelos alunos.

·

Que tipo de ajuda o software oferece ao aluno na resolução de problemas (mensagens, balan-ço etc.)?

·

Qual é a influência das características específi-cas do software e das variáveis didátiespecífi-cas das situações-problema?

·

Qual é o papel do professor na construção de situações didáticas?

·

Que organização da classe o professor deve prever (tempo necessário número de computa-dores, trabalho individual ou em grupo etc.)?

·

Qual é a influência dos aspectos puramente informáticos sobre o ensino-aprendizagem do conceito matemático em jogo?

dem~ passe tante Es rápid numé fatos visua deter possi melh, O com~ cendl ment prodl cimel decol dispc fesso aprer A carac modi gume

v. ANÁLISEDE DOIS AMBIENTES

INFORMÁTICOS

-

EFEITOS DA

TRANSPOSiÇÃOINFORMÁTICA

1. O software Cabri-géometre

O programa educativo Cabri-géometre foi desen-volvido no Laboratório de Estruturas Discretas e de Didática do IMAGna Universidade Joseph Fourier de Grenoble- França.

Ele é um ambiente informático aberto, no qual o usuário pode explorar um domínio particular e des-cobrir suas propriedades, com um mínimo de ajuda do sistema. Foi desenvolvido para a exploração do universo da geometria elementar.

.

.

.

.

Suas características

importantes

Duas características importantes desse ambiente informático são: a coexistência de primitivas de

cons-trução de desenho puro (ponto, retas, segmento,

cir-cunferência etc.), de primitivas geométricas (pontos, retas, segmento, circunferência etc.), e a manipula-ção direta do desenho. Por exemplo, desloca-se com o mouse um dos elementos básicos do desenho, este último deforma-se respeitando as propriedades geo-métricas que serviram a seu traçado e das proprieda-des que decorrem proprieda-desse traçado. Assim, se o proprieda-desenho foi traçado com primitivas de desenho-cabri, ele per-de suas propriedaper-des espaciais aparentes no seu es-tado original no momento do deslocamento de um de seus elementos.

O Cabri-géometre é um programa que permite cons-truir todas as figuras da geometria elementar que

po-.

.

.

.

.

Ar mentI usuár distin cabri-I'II!I J.DD010UOJ.O},],),DUJ.OJ,01.l,OOOOJ,OlOU10010101000),OOlO1.1.00100010U010),),),01},1.010),),000010),01.1.1.001.01.01.0001.001.0),),001.0001,0),),01011100],],),010),),° 1 R . d I f át . A 1. d IDlooD1I1411.1o),),),oJ.D],1. 1 A

luxiliar .apren- sdidá-:ticos,

dem ser traçadas numa folha de papel com régua e com-passo. É um programa com uma característica impor-tante: permite uma modificação dinâmica da figura.

Essa possibilidade de deformar permite o acesso rápido e contínuo a todos os casos, constituindo-se numa ferramenta rica de validação experimental de

fatos geométricos. É um programa que permite

visualizar a trajetória de um ponto que satisfaz a uma determinada propriedade geométrica. Esse fato, im-possível com papel e lápis, é fundamental para uma melhor compreensão da noção de lugar geométrico.

O deslocamento por manipulação direta é uma das componentes importantes de Cabri-géometre ofere-cendo uma retroação às ações do aluno. O desloca-mento permite uma retroação exterior mais rica na produção do aluno porque ela se apóia sobre conhe-cimentos geométricos. A vantagem do deslocamento decorre do fato de que essas retroações vêm de um dispositivo externo ao sujeito e independente do pro-fessor: elas são, assim, suscetíveis de fazer evoluir o aprendiz.

A versão 2 de Cabri-géometre conserva todas as características da versão 1, mas apresenta várias modificações em relação ao Cabri-géometre I. Eis al-gumas dessas modificações:

.

Uma nova gestão dos objetos de base: uma reta é definida seja por um ponto e uma direção, seja por dois pontos; por outro lado, uma cir-cunferência é definida por seu centro e um raio ou um ponto dado;

.

Uma gestão simplificada da noção de ponto;

.

Novosobjetos: sem i-reta, polígono regular, arco, cõnica;

.

O lugar geométrico: a opção "lugar geométri-co" fornece automaticamente lugares geomé-tricos que permanecem na tela;

.

A introdução de números e de uma calculadora e a ferramenta "transferência de medidas";

.

Geometria analítica: possibilidade de determi-nar as coordenadas de um ponto e equações de curvas;

.

Gestão do infinito permitindo trabalhar a geo-metria projetiva;

.

Introdução da noção de vetor;

.

Ferramentas que fornecem diretamente as prin-cipais transformações etc.

A riqueza das retroações que decorrem do desloca-mento permite diferentes interpretações pelo sujeito usuário do software. C. Laborde (Laborde et aI., 1994) distingue três níveis numa tarefa de construção de um cabri-desenho satisfazendo a dadas condições:

,aluno balan- pecífi-asdas ;ão de r deve nputa-~tc.)? mente emdo jesen-s e de 'ier de qualo e des-ajuda :ãodo biente ~ cons- to,cir-Dntos, lipula-~com p,este

~

geo- Irieda-~enho I per-u es-eum

cans-e

po-.

Pelo deslocamento, coloca-se o cabri-desenho

numa

posição particular que permite

reconhe-cer se o desenho procurado é obtido; neste ní-vel a interpretação se faz a partir da percepção;

.

Verifica-se que as propriedades geométricas do cabri-desenho não são alteradas por deslocamen-to de um elemendeslocamen-to do desenho.

Os autores observam que a interpretação de uma ausência de relação entre constituintes de um cabri-desenho pode ser interpretada em dois níveis:

.

Como uma ausência de relação de tipo físico ou mecânico ao nível de cabri-desenho, o sujeito se pergunta, no primeiro momento, sobre o cabri-desenho, deixando de lado o objeto geométrico;

.

Como a ausência de relação geométrica entre elementos do objeto geométrico representado pelo cabri-desenho, a retificação se fará pelo uso de primitivas geométricas, a fim de satisfazer uma finalidade geométrica;

.

Procura-se analisar geometricamente a trajetó-ria de certos elementos do cabri-desenho no des-locamento;

.

Para validar ou invalidar a construção com rela-ção à satisfarela-ção das condições pedidas;

.

Ou para encontrar os erros, nos casos cuja pro-dução seria reconhecida como inválida.

Limitações

do software

Cabri-géometre

Uma das principais limitações é que o

Cabri-géometre, sozinho, como todos os programas

educa-cionais, não garante uma aprendizagem eficiente, é

preciso incluí-Ionum dispositivo didático, no qual o

professor estará encarregado, entre outras tarefas, da

construçãodas situações-problemae do gerenciamento

da sala de aula.

O aluno, uma vez medindo em diversas posições

os elementos de sua figura, pode concluir que isso

substitui a prova matemática, ou seja, o

computa-dor já mostrou a veracidade e não há necessidade de

umajustificação matemática.

Limitações

do Cabri-géometre

I

O aluno,ao efetuar medições, poderá observar,em

algumas posições da figura, uma deficiênciaem

rela-ção às aproximações, pois Cabri-géometre trabalha

com uma casa após a vírgula, o que pode atrapalhar

em algumas situações que envolvam medições de

segmentos.

Amesma situação ocorre em relaçãoaos ângulos,

pois Cabri-géometre usa apenas o grau e não os seus

submúltiplos.

adaloJ,ooOJ.OJ.1.0l0J.!UOUJ.oJ.ou

l AnO I n2 ₁

J

.

a n/ J

.

Un 2OO5 IOlDODJ,01.1.01.D1.1.1.0J.),),OJ.OJ,J.ODDD1.01.0U1.00101010001001DUOO).ODO],OJ,J.010J.1.1.01U01.DUOODOJ.OJ.OU1.D010J.DJ.OOO1.00l0UODJ.DDO),OJ,),0).0),],10],],10],011.0010),),0001 lB1 1.100101,10000),OOOu1001010 1 I ),],010110DOO1.010),],),0010101000].00101.1.001.000101101.0],],],0),),},OJ.O],),ODOO1.0},O),),),OO1.0101.0DOJ.0010J,lOIJJ,OOO),OUD1.0U1.0J.UOJ.OJ.]'DDDD1.D1.0J.UOO]'D]'DUD]'DD1.DUO~

D

i I,no,no,ou, _Art OIoOOOJ.01.},O],OU10],].),OJ.OUOODOJ.OJ.OUJ.OOJ,OJ.01,DODJ,OOJ.onODJ.OOQ),0),),010),),],0],],),01D),),ODDO),010),),1o001.01.0100010010UOOJ,0001.01),OJ.oUJ.OUJ.OJ.DUOODOJ,OJ.DUJ.D01.01.0J.ooOJ.oOJ.OJ.].OIJJ,OOO1.DJ,1.0J,OJ.O),],},001

1 Ar t1

.

9O 1J10DO~

.\11I01.01. 1100101.01

],),0),0),),0000101.0J.1.J.OO1.01.010001.00],0),),001.0DO),O],),01.01.),),0),],),OJ.O),],OOD01.0J.C],],),OOlOJ,01.DOOIoOOJ.OUOOJ.ODOJ.OJ.J.01.0UlO),),],OJ.01.lODOO1.010},),),OD),OlOlOD010D1.D1.J.OO),ODO],OU.OOJ,OJ.0010l000DOJ.O10),),],00101.0 1J.1.0101

Também em relação à precisão gráfica, o desenho é composto de "pixeis", que podem transformar um triângulo, por exemplo, em uma verdadeira escadi-nha. O aluno, então, pode corrigir essa distorção do software e o professor pode chamar a atenção para

esse aspecto não-matemático.

Limitações do Cabri-géometre 11

Cuppens(1996)destaca algumas opções de Cabri

li, que podem se tornar problemáticas quando se usa o software:

.

A introdução dos números e da "transferência

de medidas" pode esconder a natureza real dos

objetos obtidos (por exemplo, comprimento de

uma circunferência ou a área de um disco não são noções evidentes para os estudantes);

.

A possibilidade de gerir o infinito que

possibili-ta o estudo da geometria projetiva pode, segun-do o autor, gerar situações incompreensíveis

para um usuário não experiente etc.

2 Caso da calculadora TI-81

Luc Trouche (1992), na sua tese de doutorado "A

propos de /'apprentissage des limites de fonctions dans

um environnement calculatrice:etude des rapports

entre processus de conceptualisation e processus

d'instrumentation",

analisa as relações entre processo de conceitualização e processo de instrumentalização, no que diz respeito à aprendizagem do limites de fun-ções no ambiente "calculadora".

O autor, entrevistando alunos e professores sobre as calculadoras gráficas, destaca o seguinte: para os alunos, uma calculadora gráfica demonstra (mostra) as propriedades de funções. Para os professores, uma calculadora gráfica é uma geringonça, que não tem nenhuma legitimidade matemática. No entanto, uns e outros concordam com um fato: o domínio dessa ferramenta não necessita de nenhuma aprendizagem particular.

O autor defende a tese inversa: a manipulação de uma calculadora gráfica não tem nada de natural e sua utilização arbitrária pode ter muito peso na cons-trução de conhecimentos matemáticos.

A pesquisa destaca uma sessão utilizando a TI-81 , para calcular o limite de

sen x - x x3

Os alunos fizeram as conjecturas: "No início, o li-mite parecia ser -0,2, depois há uma incerteza, de-pois o limite se estabiliza em zero". Numa segunda

sessão, o professor retoma o problema e prova que o limite é -1/6. A questão seguinte foi proposta aos alu-nos: Esseresultado é compatível com as observações feitas com a calculadoras?

O autor classifica as reações dos alunos em qua-tro categorias:

.

Há os alunos "perplexos", paralisados pela clara

contradição entre os resultados "máquina" e os resultados teóricos;

.

Há os alunos "exclusivos", que simplesmente

tro-cam os resultados "duvidosos" pelos resultados "certos". O resultado duvidoso, sendo evidente-mente, o menos legítimo. Se existe a palavra do professor contra a máquina, é o professor que tem razão. Mas se é o aluno contra a máquina...

.

Há os alunos "conciliadores", que "se viram" para

tornar tudo compatível: eles explicam que a má-quina tinha dado zero como limite, mas que zero não está longe de -1/6;

.

Há, enfim, os alunos "críticos" que vão retomar os

resultados sucessivosda máquina e constatar que ela dá um resultado conveniente quando se per-manece na zona de cálculos aceitáveis por ela. Quaisquer que sejam as atitudes dos alunos, está claro que a manipulação da calculadora gráfica tem

conseqüências na aprendizagem em foco. Desse

modo, fica claro que a utilização de calculadora não é neutra; ela tem uma influência importante na aquisi-ção dos conceitos essenciais da análise matemática.

3 Ej Exig Hi mad<

.

.

Exig< N mite infin

.

.

As e

.

.

Limites de uma função e calculadoras:

transposição informática

O autor, analisando os efeitos da transposição informática do ambiente "calculadora", evidencia as seguintesexigências:

.

Exigências ligadas ao uso de uma calculadora:

exigências internas: modalidades de existência, o universo interno, natureza da tela: os "pixeis"

.

Exigências de comando: nas operações que são

permitidas pela máquina, por exemplo, não exis-te um comando para o cálculo de "limiexis-te de fun-ção" (trata-sede uma parte das exigências ligadas à interface);

.

Exigências de organização: acesso aos

coman-dos, comparação das diferentes possibilidades de acesso, trata-se da organização da interface. A determinação dessa tríplice rede de exigências (internas, de comando e de organização) permitirá ter acesso à transposição informática.

.

Pi ça u capa I!I'!I10001.011010),],],0],),),010),],0000101.0),1.],001.01.01.00010010),],0010001.0U01.0UJ.O),),lOlOUOODOJ.OlO],),],OO),OlOlODOlOOlOJ,),OOlOOO),O),),010],),),01),),010),),° 1 R

.

t d I f át

.

A 1. d

.

Imes

lqueo osalu-vações

3 Efeitos da transposição

informática

n

qua-Exigências

internas

Háconfusão entre um número e seu valor

aproxi-mado:

.

Confusão entre ..[2 e um valor aproximado.

O mesmo acontece com 1t,e

a clara

a"e os

1

3.--1

3 (= -1.10-14) ltetro-IItados idente-Ivrado arque uina... 1"para !amá-lezero

não é mais igual a zero;

.

A calculadora dá um valor aproximado de In (ln(l + 10-3)), mas não identifica um número entre 1 e 1 + 10-3.

Exigências de comando

Não tem uma opção específica para cálculo de

li-mite de uma função, mas ela permite cálculos

infinitesimais para a derivada:

.

No registro gráfico;

.

No registro numérico. maros tarque ;e

per-rela.

s,está :a tem Desse lnãoé iquisi-lática.

As exigências de organização

.

Avariável"tira"a função: fixa-se uma variávele

obtém-se o valor correspondente da função;

.

Usa-sea visualização gráfica antes de calcular:

para obter-se uma informação bastante ampla

sobre uma função, é necessário começar pela

observação do gráfico;

.

Estudam-se comportamentos globais e não

lo-cais de uma função.

:>sição leiaas adora: tência, )ixeis" uesão Dexis- lefun-Igadas CONCLUSÃO

Para manter uma interação pertinente que favore-ça uma iniciativa real do aluno, a máquina deve ser capaz de levar em conta as intenções do aluno e as

pman-ades rface. ncias iráter

concepções que sustentem suas ações. O professor precisa estudar as possibilidades dos ambientes computacionais, a fim de identificar que tipo de ativi-dades pode-se desenvolver com os alunos.

Os sistemas tutoriais, por exemplo, não deixam bastante iniciativa aos alunos. O tutorial segue passo a passo a estratégia do aluno e lhe proíbe as ações ilícitas ou aquelas que poderiam conduzir às solu-ções não previstas. Pelo contrário, no caso dos micromundos (ambientes computacionais abertos), o professor tem a autonomia de construir e desenvol-ver as situações de ensino-aprendizagem, tendo em vista as limitações sintáxicas e léxicas do ambiente computacional considerado.

A idéia dos micromundos é fornecer ao aluno um conjunto de objetos elementares e um conjunto de ferramentas primitivas a partir dos quais ele pode construir objetos mais complexos no momento da execução da tarefa.

É importante destacar os seguintes fatos:

.

um micromundo oferece ao aluno um ambien-te rico, mas não pode sozinho garantir o pro-cesso ensino-aprendizagem de um determinado conteúdo. Para realizar esse objetivo, é preciso inclui-Io num dispositivo didático. São as carac-terísticas desse dispositivo que garantirão a aprendizagem esperada.

.

uma utilização bem pensada de um tutorial pode permitir uma aprendizagem, que pode ser com-provada pelo sucesso ou não dos alunos numa prova. Mas a significação dos conhecimentos aprendido nesse ambiente é questionável, pois o aprendiz não expressa explicitamente sua com-preensão própria; o tutorial é mais centrado no conhecimento de referência do que no conheci-mento que poderia ser disponibilizado ao alu-no. Uma segunda razão é que a aprendizagem mediante tutoriais pode conduzir o aluno a otimizar certas estratégias, por exemplo,

procu-rando

como obter uma melhor ajuda explícita

para resolver o problema proposto.

11

JUUllU010101 o.. OJ.0001DJ.J.DJoDU10UJ.DJ.O],],OOOOlOlOlUOOJ.01.01000100J.OUD0100D101),0),011.1.0),),),01011.0000101.0),],}.0010:l.01000100),0:l.100],00010],],0J.01.110:l.],1.0101.1.00:l,O).),000},

D

i

OlODD10U010],],],OU1.01.o],],oooO},01.0U1,DOJ,O],OlOOO],OO1.O],],OO),ODO),O],],OJ.01.1.L01.),),OJ.O),],OOOOlO),O),],),OOlOl(]J,0001.DOJ.OUOOJ.ooo],D1.J.O),O),),),O),},),OlOllOOOO},OJ,Oll1.00),OlOlOOD),OO),O),],OOlDDO),O),),01010],),],00), I Ar t₁

.

9O IJ]'OOD]'OUO~I' ),),01.D},lOOOO1.0),o),uOOJ.OJ.01.DOO1.001.O),),OOJ.ODOJ.OU01.01.],),O),),),OJ.o),),oooOJ.OJ,O),},}.OO1.DJoOlOODI.OO),O},),OOlOOO),O),),OlO),),),Ol),),(]),OJ.1.0QOOJ.01.0U1.OOJ.O),01.0DO),OOJ.O),),C01000),O),),[J010),C01.0],ODODDI.01.0101.1.001.01.0 IJ.)'O]'OUDIXII~

(REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS}~ AG ALMOULOUD,S.; GIORGIUTTI,I. DEFI: Outil didactique

et d'aide àla recherche en EIAO. Recherches en

Didactique des Mathématiques. Grenoble: LaPensée Sauvage

-

Éditions,

v.

14, n.1.2,p.139-163, 1994.

ARSAC,G.; DEVELAY, M. TIBERGHIEN,A. ta transposition

didactique en Mathérnatiques, en Physique, en Biologie.

Lyon:IREMet LlRDIS de Lyon, 1989.

BALACHEFF,N. Qidactjque et InteHigence ArtificieHe.

Recherches enDidactique des Mathématiques. Grenoble:

La Pensée Sauvage - Éd!tions, v. 14, n.1.2., 1994a,

BALACHEFF,N. Latránsposition informatlqiie. Notesur un noiiveaiiprobleme poliria didactiqÜe, iJla~!G.UEJTl.&

al..(org.): Vingt ans de didactjqlle des mat!1ématiqüesen

France, Recherches en Didactique des Mathéma~iques,

v. especial. La PenséeSaiJvageEditions, 364d70,1994b.

BALACHEFF,N.;BARON, G.L.; BARON, M.; DILLENBOURG, P.; GRAS, R.; MADAULE, F.; MENDELSOHN, P.; NGUYEN-XUAN, A.; NICAUD, j.F.; EIAO:points de vue des disciplines, In

Monica Baron, Régis Gras, jean-François Nicaud (1993) "org.". Envronements interactifs d' apprentissage avec

ordinateu., PRC-GDRIntelligence.Artificielle?GR

Didactique, jou~née EIAO-ENSde Cacham, EYROLLES,

p.7-14.

BROUSSEAU,G.; Fondements et méthodes

de Ia didactique des mathématiques. Recherches en Didactique des Mathématiques. Grenoble: LaPensée

Sauvage Editions, v.7, n.2, p.33-115, 1986.

BROUSSEAU,G..Pr6b!em.es de didactique des décimaux.

Re.cherche en Didactiqüe des Mathématiqües. Grenoble: La PeoséeSaÜlJageEditions, V.2.1,

p.37-127,1981

CHEVALLARD,Y.;jOHSUA,M. A. Unexemp.le

de Ia transposition didactique: Ia notion de distance. Recherches en Didactique des Mathématiques. Grenoble: La Pensée Sauvage Editions, v. 3.1, p.159-239, 1982.

CHEVALLARD,Y.;JOHSUA, M. A.; Latransposition

didactique. Gre..ooble.:La Pe.nsée Sauvage, 1991.

CORJIIU,B.L'évollltiondes mathématiqÜes efleÜr

enseignernent, "In" CORNU,B."(org.)'\ NoÜvelleE.ncYclopédie

Diderot: L'ordinateur potir enseigner .Iês mathématiques.

Paris: Presse Univers.itâire de "rance" 13-70, 1992.

CUPPENS, R. De Cabri-géometre 1à Cabri-géomêtre 11,

quelques problêmes épistemologiques et didactiques.

Université d' été Cabri-géometre de I' ordinateur à Ia

calculatrice. De nouveaux outils pour I' enseignement

de Ia géométriei IUFM de Grenob.l.e,IREMde Grenoble,

Laboratoire Leibniz-IMAG, Université joseph Fourier,

Grenoble, p.189-20 1, 1996.

c

c 5

DUBINSKY,E.; Utilisation de I'ordinateu.ràpartjrd'une

théorie de PiagetsurI'apprentissagedeconcepts

mathérnatique$."ln" CQRNU,B."«)[g.)". Nouvelle

El)cyclopédie Diderot: t'ordJ"ateur pour el)seig"er les

mathérnatiqiies, paris:Ptesse UnJyersitâlrede France,

237-270, 1992. e ~ e r a

GRAS,R,; AG ALMOULOUD,S,Letemps,anályseÜr de

comportements d'élelJes dansl'enlJitonnement DEFI.

Recherches en DidétCtiqUe des Métthématiques,

Grenoble: La PenséeSaUvage", EdJti()ns,v,14, n.1.2,

p.2S) -274,19Q4. E

C GRAS, R.; BOISNARD,D.; ALLEN, R.; NICOLAS, P.; TRILUNG,

L.Gestion inforrnatjsée de. problêrnes et de démarches

liées à I.eurrésolution, "!n\'CORN.U,B."(org.)'\. Nouvelle

EncyclopédieDiderot: L'ordi"ateur pourenseigner les

mathématiques,Paris: Presse Universita.ire de France,

P.20S-236, 1992.

LABORDE,C.; CAPPONI,B.; Cabri-géometre constituant

d'um milieupour I'apprentissage de Ia notion de figure

géometrique. Rechercheen Didactique des

Mathérnatiques. Grenoble: LaPenséeSauvage-Éditions,

v. 14, n. 1.2, p.165-210, 1994.

TROUCHEL. A propos de "apprentissage des limites de

fonctions dans un "environnement calculatrice": Etude

des rapports entre processus de. conceptualisation e

processus de instrumentalisation. These de I' Université

Montpellier 11, Sciences et Techniques du Languedoc,

Laboratolre Etude et Recherche sur I' Enseignement

Scientifique,1996.

VALENTE, J. k DiferenteS Usosdo compütador na

Educa-ção, in Valente, j; A,(org.), Computadores e

conhecimen-to, repensando aEdticação,UNICAMP-NIED,p.1"23, 1993.

VALENTE,j. A. Por que oCc>rnPUtador na

educaçãO?, in Valente, j. A"org.", CÔrnPutadores e

conhecimento, repensando a Educação, UNICAMP-NIED,

p.24-44, 199.3.

11

-IoODOJ.OU01D1UO),],),OlDJ,1.00001.01.O),),),OO1.0),01.0DOlOO1.0),],OO1.0D0),0),),01.0),),),0),),),0),(I),),0000101.0),],),00101010001.00],,01.100100D1OJ.1.0101UO),],101.01LD_{I Rev1}

.

_{sta de In formát 1}

.

ca Ap11'cada 1°J,OD01D ),],OlO),),ODD01.0),O),),),OO1.O),01.0001.00101.10D1,OOO},O},),OJ,O},),},01.UO101.1.00001.01.0}.1.100),01.01000),001.01.1.001.0001.0),),01.0),),),0),),),01.O),),ODD01.01.0},),),0010101 110101