Resolução: a) Para o valor eficaz durante um ciclo, teremos: ࣟ ௘௙ ൌ ቊ

Prof. A.F.Guimarães

Física 4

_–

Questões 02

Questão 1

Num certo gerador a f.e.m. é dada por:

ࣟ ൌ ͳͷͲ …‘•ሺʹߨ ή ͵ͲͲݐሻ. (a) Calcule a frequência das oscilações. (b) Determine o valor máximo da f.e.m.

Resolução:

a)Para a frequência teremos:

ߥ ൌ_ʹߨ߱

(1.1)

Logo, de (1.1), teremos:

ߥ ൌ͸ͲͲߨ_{ʹߨ ൌ ͵ͲͲݏ}ିଵ

(1.2)

Do enunciado da questão, podemos concluir que o valor máximo da f.e.m. é:

ࣟ௠ ൌ ͳͷͲܸ

(1.3)

Questão 2

Um capacitor de ͲǡͶͲߤܨ está ligado, como mostra a figura 2.1, a um gerador cuja f.e.m. máxima e dada por: ࣟ௠ ൌ ʹͲͲܸ. Calcule a

amplitude _݅௠ da corrente elétrica obtida supondo que a frequência angular possua os valores (a)

ͳͲͲݎܽ݀ ή ݏିଵ_{, (b) ͵͹͹ݎܽ݀ ή ݏ}ିଵ_.

Figura 2.1

Resolução:

a)Para ߱ ൌ ͳͲͲݎܽ݀ ή ݏିଵ_{, teremos:}

݅௠ൌ ࣟ_ܺ௠Ǣܺ஼ ൌ ሺ߱ܥሻିଵ

݅௠ ൌ ࣟ௠߱ܥ ൌ ʹͲͲ ή ͳͲͲ ή ͲǡͶ ή ͳͲି଺ ׵ ݅௠ൌ ͺ݉ܣ

(2.1)

b)Para _{߱ ൌ ͵͹͹ݎܽ݀ ή ݏ}ିଵ, teremos, de (2.1):

݅௠ ൌ ʹͲͲ ή ͵͹͹ ή ͲǡͶ ή ͳͲି଺ ׵ ݅௠ ؆ ͵Ͳ݉ܣ

(2.2)

Questão 3

Considere a figura 3.1. Suponha os seguintes

valores: ࣟ௠ ൌ ͶͲͲܸǡ ܮ ൌ ͲǡͶ݉ܪ‡ܺ௅ ൌ ͺȳ.

Determine: (a) a frequência angular de oscilação, (b) a frequência da oscilação, (c) a amplitude da corrente alternada e (d) o valor da corrente quando ݐ ൌ ͵ߨ ή ͳͲିସ_ݏ.

Figura 3.1

Resolução:

a)Tomando a expressão da reatância indutiva, teremos:

ܺ௅ ൌ ߱ܮ

(3.1)

Teremos:

߱ ൌܺ_{ܮ ൌ ʹͲ ή ͳͲ}௅ ଷ_{ݎܽ݀ ή ݏ}ିଵ

(3.2)

b)Tomando (1.1), teremos para a frequência:

ߥ ൌʹͲ ή ͳͲ_ʹߨ ିଷൌ ͵ͳͺ͵ǡͳݏିଵ

(3.3)

c)Para a amplitude de corrente teremos:

̱

C

ࣟ

̱

L

݅௠ ൌࣟ_ܺ௅௠ ൌ ͶͲͲ_{ͺ ൌ ͷͲܣ}

(3.4)

d)Considere que a tensão nos terminais do indutor é seja dada por:

ܸ௅ ൌ ࣟ௠ݏ݁݊ሺ߱ݐሻ

(3.5)

Assim, poderemos encontrar a intensidade de corrente para o indutor:

ܮ݀݅_{݀ݐ ൌ ࣟ}௠ݏ݁݊ሺ߱ݐሻ

݅ ൌࣟ_ܮ௠න ݏ݁݊ሺ߱ݐሻ݀ݐ ׵ ݅ ൌ െࣟ_{߱ܮ ܿ݋ݏ}௠ ሺ߱ݐሻ

(3.6)

Utilizando os dados numéricos no resultado de (3.6), teremos:

݅ ൌ െͷͲܿ݋ݏሺʹͲ ή ͳͲଷ_{ή ͵ߨ ή ͳͲ}ିସ_{ሻ ൌ െͷͲܣ}

(3.7)

Questão 4

Na figura 4.1, considere ܴ ൌ ͶǡͲȳǡ ܥ ൌ ͳͲߤܨǡ ܮ ൌ ͸Ͳ݉ܪǡ ߥ ൌ ͸Ͳܪݖ‡ࣟ௠ൌ ͵ͲͲܸ. Determine: (a) _ܺ஼, (b) _ܺ௅, (c) Z, (d) _݅௠, (e) _߶. Neste caso, _ࣟ௠ se adianta ou se atrasa em relação a _݅௠?

Figura 4.1

Resolução:

a)Para a reatância capacitiva, teremos:

ܺ஼ ൌ_{߱ܥ ൌ}ͳ _{ʹߨ ή ͸Ͳ ή ͳͲ}ͳ _ିହ ؆ ʹ͸ͷǡ͵ȳ

(4.1)

b)Para a reatância indutiva, teremos:

ܺ௅ ൌ ߱ܮ ൌ ʹߨ ή ͸Ͳ ή ͸Ͳ ή ͳͲିଷ؆ ʹʹǡ͸ʹȳ

(4.2)

c)Para a impedância, utilizando (4.1) e (4.2), teremos:

ܼ ൌ ඥܴଶ_{൅ ሺܺ௅െ ܺ஼ሻ}ଶ ܼ ؆ ξͳ͸ ൅ ͷͺͺͻͶ ׵ ܼ ؆ ʹͶʹǡ͹ȳ

(4.3)

d)Para a amplitude de intensidade de corrente, utilizando (4.3), teremos:

݅௠ ൌࣟ௠_{ܼ ؆ʹͶʹǡ͹ ൌ ͳǡʹͶܣ}͵ͲͲ

(4.4)

e)Para o ângulo de fase, utilizando (4.1) e (4.2), teremos:

߶ ൌ ܽݎܿݐ݃ܺ௅െ ܺ_ܴ ஼

߶ ൌ ܽݎܿݐ݃െʹͶʹǡ͸ͺ_Ͷ ׵ ߶ ؆ െͺͻι

(4.5)

Do resultado de (4.5), podemos concluir que _݅௠ precede _ࣟ௠.

Questão 5

Sabemos que o valor médio de ݏ݁݊ଶ_{ሺ߱ݐሻ vale}

0,5. Suponha que ߶ seja um ângulo de fase constante. Determine o valor médio (durante um período) das seguintes funções periódicas: (a)_{ݏ݁݊ሺ߱ݐሻܿ݋ݏሺ߱ݐሻ},

(b)_ݏ݁݊ଶ_{ሺ߱ݐ ൅ ߶ሻ}, (c)ܿ݋ݏଶ_{ሺ߱ݐ െ ߶ሻ,}

(d) _ݏ݁݊ଶ_{ሺ߱ݐ െ ߶ሻ ൅ ܿ݋ݏ}ଶ_ሺ߱ݐሻ.

Resolução:

a)Para o valor médio temos:

ݏ݁݊ሺ߱ݐሻܿ݋ݏሺ߱ݐሻ

തതതതതതതതതതതതതതതതതതതതതത ൌ ͳ_ʹߨන ݏ݁݊ሺ߱ݐሻܿ݋ݏሺ߱ݐሻ݀ሺ߱ݐሻଶగ

଴

ݏ݁݊ሺ߱ݐሻܿ݋ݏሺ߱ݐሻ

തതതതതതതതതതതതതതതതതതതതതത ൌ ͳ_ʹߨݏ݁݊ଶ_ʹሺ߱ݐሻቤ ଴ ଶగ

׵ ݏ݁݊ሺ߱ݐሻܿ݋ݏሺ߱ݐሻതതതതതതതതതതതതതതതതതതതതതത ൌ Ͳ (5.1)

̱

C

ࣟ

b)

ݏ݁݊ଶ_{ሺ߱ݐ ൅ ߶ሻ}

തതതതതതതതതതതതതതതതതത ൌ ͳ_ʹߨන ݏ݁݊ଶగ ଶ_{ሺ߱ݐ ൅ ߶ሻ݀ሺ߱ݐሻ} ଴

(5.2)

Podemos fazer uma mudança de variável:

ߚ ൌ ߱ݐ ൅ ߶ ֜ ݀ߚ ൌ ݀ሺ߱ݐሻ

(5.3)

Agora, substituindo (5.2) em (5.3), teremos:

ݏ݁݊ଶ_ሺߚሻ

തതതതതതതതതതത ൌ ͳ_ʹߨනଶగାథݏ݁݊ଶ_ሺߚሻ݀ߚ

థ

ݏ݁݊തതതതതതതതതതത ൌ ͳଶ_ሺߚሻ ʹߨ ൤

ߚ ʹ െ

ݏ݁݊ʹߚ Ͷ ൨థ

ଶగାథ

ݏ݁݊ଶ_ሺߚሻ

തതതതതതതതതതത ൌ ͳ_{ʹߨ ൤ߨ െ}ʹݏ݁݊߶ܿ݋ݏ߶_Ͷ ൅ʹݏ݁݊߶ܿ݋ݏ߶_Ͷ ൨ ׵ ݏ݁݊തതതതതതതതതതത ൌ ͳଶ_ሺߚሻ

ʹ (5.4)

c)De forma semelhante, ao que foi feito em (5.2), (5.3) e (5.4), teremos:

ܿ݋ݏଶ_{ሺ߱ݐ െ ߶ሻ} തതതതതതതതതതതതതതതതതത ൌ ͳ_ʹ

(5.5)

d)Levando em consideração (5.4) e (5.5), teremos:

ݏ݁݊ଶ_{ሺ߱ݐ െ ߶ሻ ൅ ܿ݋ݏ}ଶ_ሺ߱ݐሻ തതതതതതതതതതതതതതതതതതതതതതതതതതതതതതതതത ൌ ͳ

(5.6)

Questão 6

Sabemos que é nulo o valor médio de uma força eletromotriz dada por _{ࣟ ൌ ࣟ௠ݏ݁݊ሺ߱ݐሻ}. (a) Calcule o valor eficaz da f.e.m. durante um ciclo. (b)

Calcule o valor médio e o valor eficaz da f.e.m. para

a metade de um ciclo.

Resolução:

a)Para o valor eficaz durante um ciclo, teremos:

ࣟ௘௙ൌ ቊ_ʹߨͳ න ࣟଶగ ଶ_݀ሺ߱ݐሻ

଴ ቋ

భ మ

(6.1)

Utilizando a expressão do enunciado da questão, teremos:

ࣟ௘௙ൌ ࣟ௠ቊ_ʹߨͳ න ݏ݁݊ଶగ ଶ_{ሺ߱ݐሻ݀ሺ߱ݐሻ}

଴ ቋ

భ మ

ࣟ௘௙ൌ ࣟ௠൝_ʹߨͳ ቈ߱ݐ_{ʹ െ}ݏ݁݊ሺʹ߱ݐሻ_Ͷ ቉ ଴ ଶగ

ൡ

భ మ

׵ ࣟ௘௙ൌࣟ௠ ξʹ (6.2)

b)Para o valor médio, durante meio ciclo, teremos:

ࣟҧ ൌࣟ௠_ߨ න ݏ݁݊ሺ߱ݐሻ݀ሺ߱ݐሻగ

଴

ࣟҧ ൌࣟ௠_ߨ ሾെܿ݋ݏሺ߱ݐሻሿ଴గ

׵ ࣟҧ ൌʹࣟ௠_ߨ (6.3)

E para o valor eficaz:

ࣟ௘௙ ൌ ࣟ௠ቊͳ_ߨන ݏ݁݊గ ଶ_{ሺ߱ݐሻ݀ሺ߱ݐሻ}

଴ ቋ

భ మ

ࣟ௘௙ൌ ࣟ௠ቊͳ_ߨቈ߱ݐ_{ʹ െ}ݏ݁݊ሺʹ߱ݐሻ_Ͷ ቉ ଴ గ ቋ

భ మ

׵ ࣟ௘௙ൌࣟ௠ ξʹ (6.4)

Obs.: No enunciado da questão, como no enunciado original, na consta que é nulo o valor médio da força eletromotriz para um ciclo completo.

Questão 7

Considere um circuito RLC como o indicado na

figura 4.1. Utilize os seguintes dados: ܴ ൌ ͵ȳǡ ܺ௅ ൌ ͻȳǡ ܺ஼ ൌ ͷȳǡ ߥ ൌ ͸Ͳܪݖ݁ࣟ௠ ൌ ͳͲͲܸ.

Calcule: (a) a corrente máxima, (b) a corrente eficaz, (c) a potência dissipada, (d) a potência consumida, (e) o fator de potência, (f) a razão

ܺ௅Τܺ஼ para que a potência consumida seja máxima.

Resolução:

݅௠ ൌ ࣟ௠_ܼ

(7.1)

Em que Z é a impedância do circuito dada pela relação de (4.3). Assim, teremos:

݅௠ ൌ ͳͲͲ

ξͻ ൅ ͳ͸ൌ ʹͲܣ

(7.2)

b)A intensidade de corrente eficaz será:

݅௘௙ൌ ݅௠ ξʹൌ

ʹͲ

ξʹ؆ ͳͶǡͳͶܣ

(7.3)

c)A potência dissipada é dada por:

ܲത ൌ ܴ݅௘௙ଶ ൌ ͵ ήʹͲ_ʹ ଶ

ൌ ͸ͲͲܹ

(7.4)

d)A potência consumida é dada por:

ܲത ൌ ࣟ௘௙݅௘௙ܿ݋ݏ߶

(7.5)

Em que ߶ é dado pela expressão em (4.5). Dos dados fornecidos, teremos:

ݐ݃߶ ൌͶ_͵

(7.6)

E utilizando a expressão trigonométrica dada por:

ݏ݁ܿଶ_{߶ െ ݐ݃}ଶ_{߶ ൌ ͳ}

(7.7)

Assim, teremos:

ܿ݋ݏ߶ ൌ͵_ͷ

(7.8)

Agora, utilizando (7.5) e (7.8), teremos:

ܲത ൌͳͲͲ ή ʹͲ_ʹ ή͵_{ͷ ൌ ͸ͲͲܹ}

(7.9)

e)Vide (7.8).

f) Para a potência fornecida adquirir seu valor máximo, temos que o fator de potência, dado por (7.8), deve ser igual a unidade. Assim, teremos:

ݏ݁݊߶ ൌ Ͳ ֜ ݐ݃߶ ൌ Ͳ

(7.10)

De (4.5), teremos:

ݐ݃߶ ൌܺ௅ െ ܺ_ܴ ஼ ׵_ܺ஼ܺ௅ ൌ ͳ

(7.11)

Questão 8

Considere o circuito da questão anterior. Suponha que a potência fornecida a este circuito seja igual a 100 W. (a) Usando os valores de R, de L e de C indicados no problema anterior, calcule o

valor da frequência angular que produz a potência mencionada acima. Utilize neste cálculo o mesmo valor da f.e.m. máxima mencionada na questão anterior. (b) Qual deveria ser o valor da potência para que este circuito entrasse em ressonância?

Resolução:

a)Mantidas as condições, da questão anterior e utilizando (7.5), teremos:

ͳͲͲ ൌͳͲͲ ή ݅௠_ʹ ή͵_ͷ

׵ ݅௠ ൌ ͳͲ_{͵ ܣ}

(8.1)

Agora, utilizando (7.1), teremos:

ͳͲ ͵ ൌ

ͳͲͲ

ඨͻ ൅ ߱ଶ_{ቀͲǡͲʹͶ െ} ͳ ͲǡͲͲͲͷ͵ቁ

ଶ

׵ ߱ ؆ ͳǡ͸ ή ͳͲିଶ_{ݎܽ݀ ή ݏ}ିଵ

(8.2)

Em que, dos dados da questão anterior:

ܮ ൌ _{ʹߨߥ ൌ}ܺ௅ _{ʹߨ͸Ͳ ൌ ͲǡͲʹͶܪ}ͻ

E

ܥ ൌ_{ʹߨߥ ή ܺ஼}ͳ ൌ_{ʹߨ ή ͸Ͳ ή ͷ ൌ ͲǡͲͲͲͷ͵ܨ}ͳ

(8.4)

b)Para esse circuito entrar em ressonância, a frequência angular deve ser igual a _ሺܮܥሻିభమ. Desta forma, teremos _{ݐ݃߶ ൌ Ͳ} o que implica em

ܿ݋ݏ߶ ൌ ͳ. Logo, de (7.5), teremos:

ܲത ൌࣟ௠݅௠೘žೣ

ʹ

(8.5)

Em que ݅௠೘žೣ é a intensidade máxima de corrente, que é dada por:

݅௠_೘žೣ ൌ ࣟ௠_ܴ

(8.6)

Utilizando (8.6) em (8.5), juntamente com os dados numéricos fornecidos, teremos:

ܲത ൌࣟ_{ʹܴ ൌ}௠ଶ ͳͲͲ_{͸ ؆ ͳǡ͸͹ ή ͳͲ}ଶ ଷ_ܹ

(8.7)

Questão 9

Calcule o fator de potência para um circuito

RCL em série, para os seguintes dados: (a)

ܴ ൌ Ͳǡͷȳǡ ܺ௅ ൌ ͳͲହȳǡ ܺ஼ ൌ ͳͲȳ;(b)ܴ ൌ ͳȳǡ ܺ௅ ൌ ܺ஼;(c)ܴ ൌ ͲǡͲͳȳǡ ܺ௅ ൌ ʹȳǡ ܺ஼ ൌ ͳͲସȳ;(d)ܴ ൌ ʹȳǡ ܺ௅ ൌ ͵ȳǡ ܺ஼ ൌ Ͷȳ; (e) _{ܴ ൌ Ͳǡ ܺ௅ ൌ Ͳǡ ܺ஼ൌ Ͷȳ}.

Resolução:

a)O ângulo _߶ é dado pela expressão de (4.5). Utilizando a expressão dada em (7.7), teremos então para o fator de potência:

ܿ݋ݏ߶ ൌ ܴ

ඥܴଶ_{൅ ሺܺ௅െ ܺ஼ሻ}ଶ

(9.1)

Utilizando os dados numéricos, teremos:

ܿ݋ݏ߶ ൌ Ͳǡͷ

ඥͲǡͷଶ _{൅ ሺͳͲ}ହ _{െ ͳͲሻ}ଶ ൌ ͷ ή ͳͲ ି଺

(9.2)

b)Utilizando (9.1), juntamente com os dados numéricos, teremos:

ܿ݋ݏ߶ ൌ ͳ

ඥͳଶ_{൅ ሺͲሻ}ଶ ൌ ͳ

(9.3)

c)Utilizando (9.1), juntamente com os dados numéricos, teremos:

ܿ݋ݏ߶ ൌ ͲǡͲͳ

ඥͲǡͲͳଶ_{൅ ሺʹ െ ͳͲ}ସ_ሻଶ ൌ ͳ ή ͳͲ଺

(9.4)

d)Utilizando (9.1), juntamente com os dados numéricos, teremos:

ܿ݋ݏ߶ ൌ ʹ

ඥʹଶ_{൅ ሺ͵ െ Ͷሻ}ଶ ൌ Ͳǡͺͻ

(9.5)

e)Utilizando (9.1), juntamente com os dados numéricos, teremos:

ܿ݋ݏ߶ ൌ Ͳ

ඥͲ ൅ ሺͲ െ Ͷሻଶ ൌ Ͳ

(9.6)

Questão 10

Num circuito LRC, tal como o indicado na figura

4.1, temos: _{ܴ ൌ ʹͲȳǡ ܥ ൌ ʹͲߤܨ‡ܮ ൌ ͶǡͲܪ}. (a) Calcule a frequência de ressonância. (b) Para qual frequência angular a resposta é igual a metade da resposta máxima? Define-se a resposta como sendo medida pela corrente eficaz que atravessa o circuito.

Resolução:

a)Para a frequência angular de ressonância, temos:

Substituindo os dados numéricos, teremos:

߱ ൌ ͳ

ξͶ ή ʹͲ ή ͳͲି଺ ؆ ͳͳͳǡͺݎܽ݀ ή ݏିଵ

(10.2)

Assim, a frequência será:

ߥ ൌ_{ʹߨ ؆ ͳ͹ǡͺݏ}߱ ିଵ

(10.3)

b)Para determinar a frequência (ou as

frequências), temos:

݅௘௙ൌ ࣟ௘௙ ටܴଶ_{൅ ቀ߱ܮ െ ͳ}

߱ܥቁ ଶ

(10.4)

Como a resposta deve ser a metade de _{݅௘௙೘žೣ ൌ} ࣟ೐೑

ோ ,

teremos:

ࣟ௘௙ ʹܴ ൌ

ࣟ௘௙ ටܴଶ _{൅ ቀ߱ܮ െ ͳ}

߱ܥቁ ଶ

ܴଶ_{൅ ൬߱ܮ െ} ͳ ߱ܥ൰

ଶ

ൌ Ͷܴଶ

൬߱ܮ െ_߱ܥͳ ൰ଶ ൌ ͵ܴଶ

߱ܮ െ_{߱ܥ ൌ േܴξ͵}ͳ

׵ ܮ߱ଶ_{ט ܴξ͵ ή ߱ െ}ͳ ܥ ൌ Ͳ

(10.5)

O sinal _ט que aparece no resultado de (10.5) indica que teremos como resultado 4 frequências angulares, a saber: ߱ଵǡ ߱ଶǡ ߱ଷ‡߱ସ. Sendo que ߱ଵ ൌ െ߱ଷ݁߱ଶ ൌ െ߱ସ. Óbvio é que teremos apenas duas frequências angulares. Sem nenhum pretexto, utilizaremos o resultado de (10.5) com o sinal negativo e com o auxílio da fórmula de Báskhara resolveremos a equação. Assim, teremos:

Ͷ߱ଶ_{െ ͵Ͷǡ͸߱ െ ͷͲͲͲͲ ൌ Ͳ}

(10.6)

Cujas raízes serão dadas por:

߱ ൌ͵Ͷǡ͸ േ ඥ͵Ͷǡ͸ଶ_ͺെ Ͷ ή Ͷ ή ͷͲͲͲͲ ߱ଵ ൌ െͳͲ͹ǡ͸ݎܽ݀ ή ݏିଵǢ߱ଶ ൌ ͳͳ͸ǡʹͳݎܽ݀ ή ݏିଵ

(10.7)

Se utilizássemos o sinal positivo, em (10.5), teríamos como raízes:

߱ଷ ൌ ͳͲ͹ǡ͸ݎܽ݀ ή ݏିଵǢ߱ସ ൌ െͳͳ͸ǡʹͳݎܽ݀ ή ݏିଵ

(10.8)

Ou seja, as raízes serão:

߱ଵ ൌ ͳͲ͹ǡ͸ݎܽ݀ ή ݏିଵ_{‡߱ଶ ൌ ͳͳ͸ǡʹͳݎܽ݀ ή ݏ}ିଵ

(10.9)

Que conduz às frequências:

ߥଵൌ ͳ͹ǡͳʹݏିଵ‡ߥଶ ൌ ͳͺǡͷݏିଵ

(10.10)

Nessa condição de resposta, a diferença

߱ଶെ ߱ଵ ൌ ȟ߱, fornece a largura da curva de ressonância. No entanto, ficaremos com a primeira frequência como resposta da questão, ou seja, _{ߥଵ ൌ ͳ͹ǡͳʹݏ}ିଵ.

Questão 11

Num circuito série, como indicado na figura 4.1,

com uma combinação _{ܮଵܥଵܴଵ}, ocorre uma

ressonância com a mesma frequência de um outro circuito com os componentes _{ܮଶܥଶܴଶ}. Conectando-se em série todos os elementos destes dois circuitos obtemos um novo circuito série

ܮ௘௤ܥ௘௤ܴ௘௤. Determine para este novo circuito: (a) a indutância equivalente, (b) a capacitância equivalente, (c) a nova frequência angular de ressonância. (d) a frequência de ressonância depende dos valores de _ܴଵ e de _ܴଶ? (e) Se _ܮଵܥଵ fosse diferente de _ܮଶܥଶ, qual seria a frequência angular de ressonância do novo circuito?

Resolução:

a)A indutância equivalente para será dada por:

ܮ௘௤ൌ ܮଵ൅ ܮଶ

Em que (11.1) é o resultado de uma associação em série.

b)Para a capacitância equivalente (série) teremos:

ܥ௘௤ ൌ_ܥܥଵܥଶ ଵ൅ ܥଶ

(11.2)

c)Para a nova frequência angular teremos:

߱௡௢௩௔ൌ ൫ܮ௘௤ܥ௘௤൯ିଵଶ

(11.3)

Utilizando os resultados de (11.1) e (11.3), teremos:

߱௡௢௩௔ൌ ͳ

ቂሺܮଵ൅ ܮଶሻ ή ቀ ܥ_ܥଵଵܥଶ_{൅ ܥଶ}ቁቃ

భ మ

߱௡௢௩௔ൌ ͳ

ቂܮଵܥଵܥଶ_ܥ ൅ ܮଶܥଵܥଶ ଵ൅ ܥଶ ቃ

భ మ

(11.4)

Conforme foi relatado no enunciado da questão, temos:

߱ଵൌ ߱ଶ ֜ ܮଵܥଵ ൌ ܮଶܥଶ

(11.5)

Utilizando (11.5) em (11.4) teremos:

߱௡௢௩௔ൌ ͳ

ቂܣ ή ܥଶ൅ ܥଵ ܥଵ൅ ܥଶቃ

భ మ ൌ

ͳ ܣభమ

׵ ߱௡௢௩௔ൌ ߱ଵൌ ߱ଶ (11.6)

Em que _{ܣ ൌ ܮଵܥଵൌ ܮଶܥଶ}.

d)Pelo resultado de (11.6) podemos concluir que a nova frequência angular de ressonância é igual a frequência de ressonância do primeiro circuito que por sua vez é igual a frequência de ressonância do segundo. E nenhuma delas depende das resistências.

e)A nova frequência será dada apenas pela expressão de (11.3).

Questão 12

Mostre que, para frequências maiores do que a frequência de ressonância, o circuito é predominantemente indutivo, enquanto que para frequências menores do que a frequência ressonante é predominantemente capacitivo. O que significa isso? Como é que você interpreta isso?

Resolução:

Para circuitos indutivos temos:

ܺ௅ ൐ ܺ஼

(12.1)

Assim, podemos concluir que:

߱ܮ ൐_߱ܥͳ

׵ ߱ ൐ ͳ ξܮܥ

(12.2)

Em que ଵ

ξ௅஼ é a frequência de ressonância. Da

relação (12.1) teremos da expressão dada por (7.11):

ݐ݃߶ ൐ Ͳ ֜ ߶ ൐ Ͳ

(12.3)

O resultado (12.3) nos leva a concluir que a força eletromotriz precede a corrente em um diagrama de fasores. Para circuitos capacitivos temos:

ܺ௅ ൏ ܺ஼

(12.4)

Assim, podemos concluir:

߱ܮ ൏_߱ܥͳ

׵ ߱ ൏ ͳ ξܮܥ

(12.5)

ݐ݃߶ ൏ Ͳ ֜ ߶ ൏ Ͳ

(12.6)

De (12.6), podemos concluir que a corrente precede a força eletromotriz em diagrama de fasores.

Questão 13

Mostre que a amplitude das oscilações da carga (não da corrente) num circuito LRC como o da

figura 4.1 é dada por:

ݍ௠ ൌ_ඥሺఠమ_{௅ିଵ ஼}ࣟ_{Τ ሻ}೘మ_{ାሺఠோሻ}మ.

Para que valor de ߱ a amplitude ݍ௠ será máxima? Resolução:

A amplitude da intensidade de corrente no capacitor é dada por:

݅௠ ൌ ࣟ_ܺ஼௠

(13.1)

Em que, para o capacitor:

ࣟ௠ ൌݍ_ܥ௠

(13.2)

Agora utilizando (7.1), (13.1) e (13.2), teremos:

ݍ௠ ܥܺ஼ ൌ

ࣟ௠ ටܴଶ_{൅ ቀ߱ܮ െ ͳ}

߱ܥቁ ଶ

ݍ௠ൌ ܥࣟ௠

߱ܥ ή ටܴଶ_{൅ ቀ߱ܮ െ ͳ} ߱ܥቁ

ଶ

׵ ݍ௠ൌ ࣟ௠

ට߱ଶ_ܴଶ_{൅ ቀ߱}ଶ_{ܮ െ ͳܥቁ}ଶ (13.3)

Em que _{ܺ஼ ൌ} ଵ

ఠ஼. Para ߱ ൌ ሺܮܥሻ

ିభ_{మ, teremos:}

ݍ௠ ൌ_ܴ߱ࣟ௠

(13.4)

Questão 14

Largura da ressonância. Um circuito RLC em

série possui indutância L, resistência R e

capacitância C. A fonte ac possui amplitude de

voltagem V e frequência angular variável ߱. A) Quando ߱ for igual à frequência angular de ressonância _{߱଴ ൌ ሺܮܥሻ}ିభమ, qual será a amplitude ܫ_଴ da corrente através do circuito? B) Suponha que a frequência angular seja ligeiramente diferente de

߱଴. Então podemos escrever _{߱ ൌ ߱଴൅ ο߱}, onde

ȁο߱ȁ é muito menor do que _߱଴. Mostre que a impedância é aproximadamente dada por

ඥܴଶ_{൅ Ͷܮሺο߱ሻ}ଶ_{. (Dica: Use a série binomial} ሺͳ ൅ ݖሻ௡ _{ൌ ͳ ൅ ݊ݖ ൅ ݊ሺ݊ ൅ ͳሻ ݖ}ଶ_{Τ ൅ ڮʹ , válida}

para o caso _{ȁݖȁ ൏ ͳ}). C) Aplicando a expressão aproximada da impedância da parte (B), calcule os dois valores da frequência angular _{߱ ൌ ߱଴൅ ο߱} para os quais a amplitude da corrente é igual a metade do valor da ressonância. Explique por que esses resultados são válidos somente quando R é

muito menor do que ඥͶܮ ͵ܥΤ . D) A diferença entre as duas frequências angulares encontradas na parte (C) denomina-se largura da ressonância. Encontre uma expressão para a largura de ressonância no caso _{ܴ ൏൏ ඥͶܮ ͵ܥ}Τ . Use esse resultado e aquele encontrado na parte (A) para explicar por que a forma da curva de ressonância varia quando R diminui. E) Determine ܫ଴, a

frequência angular na ressonância e a largura da ressonância para um circuito RLC em série com

ܮ ൌ ʹǡͷͲܪǡ ܥ ൌ ͲǡͶͲͲߤܨܸ݁ ൌ ͳʹͲܸ

considerando: i) ܴ ൌ ͳͷǡͲȳ; ii) ܴ ൌ ͳǡͷͲȳ.

Resolução:

a)Utilizando (7.1), para _{߱଴ ൌ ሺܮܥሻ}ିభమ, teremos:

ܫ଴ ൌܸ_ܴ

(14.1)

b)Para resolver essa parte, faremos a seguinte mudança:

߱ ൌ ߱଴൅ ߚ

(14.2)

ܼ ൌ ඨܴଶ_{൅ ൬߱ܮ െ} ͳ ߱ܥ൰

ଶ

ܼ ൌ ඨܴଶ_{൅ ൤ሺ߱଴൅ ߚሻܮ െ} ͳ ሺ߱଴൅ ߚሻܥ൨

ଶ

ܼ ൌ ඪܴଶ_{൅ ൦ߚܮ ൅ ඨ}ܮ ܥ െቌඨ

ܥ ܮ ൅ ߚܥቍ

ିଵ

൪ ଶ

(14.3)

Agora, utilizaremos a expansão sugerida.

ቌඨܥ_{ܮ ൅ ߚܥ}ቍ ିଵ

ൌ ඨ_ܥܮ ۉ ۇͳ ൅ ߚܥ

ටܥܮی ۊ

ିଵ

؆ ඨ_ܥܮ൫ͳ െ ߚξܮܥ൯

(14.4)

Agora utilizando o resultado de (14.4) no resultado de (14.3), teremos:

ܼ ؆ ඩܴଶ_{൅ ቎ߚܮ ൅ ඨ}ܮ

ܥ െඨܮܥ ൅ ߚܮ቏ ଶ

׵ ܼ ؆ ඥܴଶ_{൅ Ͷܮ}ଶ_ߚଶ (14.5)

c)Para a metade da resposta máxima (conforme questão 10), teremos:

ܸ ʹܴ ൌ

ܸ ඥܴଶ_{൅ Ͷܮ}ଶ_ߚଶ Ͷܴଶ_{ൌ ܴ}ଶ_{൅ Ͷܮ}ଶ_ߚଶ

׵ ߚ ൌ േܴ_ܮඨ͵ Ͷ (14.6)

Assim, teremos:

߱ ൌ ߱଴േܴ_ܮඨ͵ Ͷ

(14.7)

d)Para a largura de ressonância, teremos:

ο߱ ൌ ʹȁߚȁ ׵ ο߱ ൌ ܴξ͵_ܮ

(14.8)

Em que ο߱ será a nossa largura de ressonância. Agora, da razão ఉ

ఠబ, teremos:

ߚ ߱଴ ൌ

ܴ

ܮඨ͵Ͷ ή ξܮܥ

׵_߱ߚ

଴ ൌ ܴ ή ඨ ͵ܥ Ͷܮ

(14.9)

Como ఉ

ఠబ ൏൏ ͳ, teremos:

ܴ ൏൏ ඨ_͵ܥͶܮ

(14.10)

De (14.8) podemos observar que à medida que a resistência diminui a largura da curva de ressonância também diminui.

e)Os valores de _ܫ଴, utilizando (14.1), para as respectivas resistências serão:

ܫ଴ଵହ ൌ ͺܣ‡ܫ଴ଵǡହ ൌ ͺͲܣ

(14.11)

Para as frequências angulares:

߱଴ଵହ ൌ ߱଴ଵǡହൌ ͳͲͲͲݎܽ݀ ή ݏିଵ

(14.12)

Para as larguras, utilizando (14.8):

ο߱ଵହൌ ͳͲǡͶݎܽ݀ ή ݏିଵ_{‡ο߱ଵǡହൌ ͳǡͲͶݎܽ݀ ή ݏ}ିଵ

(14.13)

Utilizando (14.8), ainda poderemos escrever a razão:

ο߱ ߱଴ ൌ

ܴξ͵ ߱଴ܮ

O gráfico da figura 14.1 mostra as duas curvas de ressonâncias para as respectivas resistências.

Figura 14.1

Podemos concluir da figura 14.1 que o pico aumenta para resistências pequenas, já a largura de ressonância diminui.

Obs.:

I.No item (b) preferi mudar a variável para poder usar ο߱ como largura da curva de ressonância. II.Para construir o gráfico da figura 14.1 utilizei a expressão dada em (10.4) com auxílio de uma planilha.

Questão 15

Observe as figura 15.1. Quais são (a) _{ܸ௕௖ǡ௘௙} e (b)

ܲത para o resistor R, em cada um dos casos

indicados?

Figura 15.1a

Figura 15.1b

Figura 15.1c

Resolução:

Para o caso da figura 15.1a:

ܸ௕௖ǡ௘௙ ൌࣟ௠ ξʹ

(15.1)

Para o caso da figura 15.1b:

ܸ௕௖ǡ௘௙ൌ ࣟ௠ቊ_ʹߨͳ ቈන ݏ݁݊ଶሺ߱ݐሻ݀ሺ߱ݐሻ గ

଴ ൅ න Ͳ

ଶ_݀ሺ߱ݐሻ ଶగ

గ ቉ቋ

భ మ

ܸ௕௖ǡ௘௙ൌ ࣟ௠ቊ_{ʹߨ ൤}ͳ ߱ݐ_{ʹ െ}ݏ݁݊ʹ߱ݐ_Ͷ ൨ ଴ గ ቋ

భ మ

׵ ܸ௕௖ǡ௘௙ ൌࣟ௠_ʹ (15.2)

0 10

20

30 40 50 60 70 80

600,00 800,00 1000,00 1200,00 1400,00

I (A)

Frequência angular (rad/s)

15 ohms

1,5 ohms

ͳǡͲͶݎܽ݀ ή ݏିଵ

ͳͲǡͶݎܽ݀ ή ݏିଵ

̱

ࣟሺݐሻ

R a

b c

d

+

-ܸ௕௖ ܸത௕௖ ൌ Ͳ ࣟ௠

߱ݐ

̱

R

a b c

d

+

-ܸ௕௖ ܸത௕௖ ൌ ࣟ௠Τߨ ࣟ௠

߱ݐ

̱

R

a b c

d

+

-ܸ௕௖ ܸത௕௖ ൌ ʹࣟ௠Τߨ ࣟ௠

Para o caso da figura 15.1c:

É semelhante ao caso da figura 15.1a. As duas expressões ao quadrado fornecem o mesmo resultado:

ܸ௕௖ǡ௘௙ൌ ࣟ௠ ξʹ

(15.3) Para a potência:

Caso da figura 15.1a, utilizando 15.1, teremos:

ܲത ൌܸ௕௖ǡ௘௙ଶ_{ܴ ൌ}ࣟ௠_ʹܴଶ

(15.4)

Caso da figura 15.1b, utilizando 15.2, teremos:

ܲത ൌܸ௕௖ǡ௘௙ଶ_{ܴ ൌ}ࣟ௠_Ͷܴଶ

(15.5)

Caso da figura 15.1c, utilizando 15.3, teremos:

ܲത ൌܸ௕௖ǡ௘௙ଶ_{ܴ ൌ}ࣟ௠_ʹܴଶ

(15.6)

Questão 16

Na figura 16.1, na qual ܴଵ൐൐ ܴଶ e tanto ܸ௘௡

como ܸ௦௔ são diferenças de potencial constantes,

mostre que o fator de atenuação, ܸ௦௔Τܸ௘௡ ؆ ܴଶΤܴଵ.

Compare com a figura 16.2 e a seguinte equação:

ܸ௦௔ǡ௠Τܸ௘௡ǡ௠ ൌ ܺ஼Τܺ௅, onde o fator de atenuação

(ca) é (aproximadamente) _ܺ஼Τ_ܺ௅. Discuta as analogias e as diferenças.

Figura 16.1

Resolução:

Da figura 16.1, podemos escrever:

ܸ௦௔ ൌ ܴଶή ݅

(16.1)

E também:

ܸ௘௡ ൌ ሺܴଵ൅ ܴଶሻ݅

(16.2)

Utilizando as equações (16.1) e (16.2), teremos:

ܸ௦௔ ܸ௘௡ ൌ

ܴଶ ܴଵ൅ ܴଶ

(16.3)

E como _{ܴଵ ൐൐ ܴଶ}, então teremos:

ܸ௦௔ ܸ௘௡ ؆

ܴଶ ܴଵ

(16.4)

Figura 16.2

Na figura 16.1 temos um circuito que atenua diferenças de potenciais em regime de corrente contínua. Na figura 16.2 o circuito funciona para atenuar de forma apreciável diferenças de potenciais variáveis no tempo.

Questão 17

Mostre que, para aplicações de alta tensão e baixa corrente (tal como as fontes de potência para os tubos de imagem de televisores), pode-se substituir o indutor L da figura 16.2 por um resistor “grande”, R, e ainda conseguir uma

substancial redução do componente ca de _ܸ௘௡ sem uma redução demasiadamente grande do componente cc.

Resolução:

Seja

ܸ௘௡ ൌ ܸ௘௡ǡ௠ݏ݁݊ሺ߱ݐሻ

(17.1)

ܴଵ

ܴ_ଶ

ܸ௘௡ ܸ௦௔

C L

E

݅ ൌ ݅௠ݏ݁݊ሺ߱ݐ െ ߶ሻ

(17.2)

Em que

݅௠ ൌ ܸ௘௡ǡ௠ ඥܴଶ_{൅ ܺ}

஼ଶ

(17.3)

Sendo _{ܴ ൐൐ ܺ஼}, então (17.3) se torna:

݅௠ ؆ܸ௘௡ǡ௠_ܴ

(17.4)

E utilizando (7.11), teremos:

ݐ݃߶ ൌ െܺ_ܴ஼

(17.5)

Em que utilizando o fato de ܴ ൐൐ ܺ஼, (17.5) se

torna:

ݐ݃߶ ؆ Ͳ ֜ ߶ ؆ Ͳ

(17.6)

Agora, utilizando (17.2), (17.4) e (17.6), teremos:

݅ ؆ܸ௘௡ǡ௠_{ܴ ݏ݁݊}ሺ߱ݐሻ

(17.7)

Agora, utilizando (17.7), podemos encontrar a carga no capacitor. Logo:

݀ݍ ݀ݐ ؆

ܸ௘௡ǡ௠

ܴ ݏ݁݊ሺ߱ݐሻ ݍ ൌܸ௘௡ǡ௠_ܴ߱ න ݏ݁݊ሺ߱ݐሻ݀ሺ߱ݐሻ

׵ ݍ ൌ െܸ_{ܴ߱ ܿ݋ݏ}௘௡ǡ௠ ሺ߱ݐሻ (17.8)

A diferença de potencial de saída será a diferença de potencial do capacitor, que é dada por ܸ௦௔ ൌ ௤_஼.

Logo, utilizando o resultado de (17.8), teremos:

ܸ௦௔ ൌ െܺ஼_{ܴ ܸ}௘௡ǡ௠ܿ݋ݏሺ߱ݐሻ

(17.9)

Então podemos concluir:

ܸ௦௔ǡ௠ ܸ௘௡ǡ௠ ൌ

ܺ஼ ܴ

(17.10)

Questão 18

Um filtro passa-alto. Uma aplicação do

circuito RLC em série consiste no uso de um filtro

passa-alto ou de um filtro passa-baixo, que filtram, respectivamente, os componentes de baixa frequência ou os componentes de alta frequência de um determinado sinal. Um filtro passa-alto é indicado na figura 18.1, onde a tensão de saída é tomada através da combinação LR. (A combinação LR representa uma bobina de indução que

também possui uma resistência, pois seu enrolamento é um fio com um comprimento muito grande.) Deduza uma expressão para ܸ௦௔Τܸ, a

razão entre a amplitude da tensão na saída e a amplitude de tensão da fonte, em função de frequência angular _߱ da fonte. Mostre que, quando _߱ é pequeno, essa razão é proporcional a

߱ e, portanto, é pequena, e mostre que ela tende a 1 no limite de frequências elevadas.

Figura 18.1

Resolução:

Utilizando (10.4), teremos para a intensidade de corrente eficaz:

݅௘௙ൌ ܸ௙௘௙ ටܴଶ_{൅ ቀ߱ܮ െ ͳ}

߱ܥቁ ଶ

(18.1)

̱

ܸி

R _L

Para a tensão eficaz de saída, teremos:

ܸ௦௔௘௙ൌ ݅௘௙ή ඥܴଶ൅ ሺ߱ܮሻଶ

(18.2)

Agora, utilizando (18.1) e (18.2), teremos:

ܸ௦௔௘௙ ܸ௙௘௙ ൌ ൦

ܴଶ_{൅ ሺ߱ܮሻ}ଶ ܴଶ_{൅ ቀ߱ܮ െ ͳ}

߱ܥቁ ଶ൪

భ మ

(18.3)

Que conduz a:

ܸ௦௔ ܸ ൌ ൦

ܴଶ _{൅ ሺ߱ܮሻ}ଶ ܴଶ_{൅ ቀ߱ܮ െ ͳ}

߱ܥቁ ଶ൪

భ మ

(18.4)

De (18.4), para frequências elevadas, teremos:

Ž‹ ఠ՜ஶ

ܸ௦௔

ܸ ൌ Ž‹ఠ՜ஶ൦

ܴଶ_{൅ ሺ߱ܮሻ}ଶ ܴଶ_{൅ ቀ߱ܮ െ ͳ}

߱ܥቁ ଶ൪

భ మ

Ž‹ ఠ՜ஶ

ܸ௦௔

ܸ ൌ Ž‹ఠ՜ஶ ۏ ێ ێ ێ

ۍ ܴଶൗ_߱ଶ൅ ܮଶ

ܴଶ ߱ଶ

ൗ ൅ ቀܮ െ ͳ_߱ଶܥቁଶ ے ۑ ۑ ۑ ې

భ మ

Ž‹ ఠ՜ஶ

ܸ௦௔ ܸ ൌቈ

ܮଶ ܮଶ቉

భ మ

ൌ ͳ

(18.5)

De (18.4), para frequências pequenas, tanto que

ܺ௅ ൏൏ ܴ, teremos:

ܸ௦௔ ܸ ؆൦

ܴଶ ቀ ͳ_߱ܥቁଶ

൪

భ మ

׵ ܸ_{ܸ ؆ ܴ߱ܥ}௦௔

(18.6)

Em (18.7), foi considerado que ܴ ൏ ܺ஼, para esse

regime de frequência.

Questão 19

Um filtro passa-baixo. A figura 19.1 mostra

um filtro passa-baixo (veja questão anterior); a tensão de saída é tomada através do capacitor do circuito RLC em série. Deduza uma expressão para

ܸ௦௔Τܸ, a razão entre a amplitude da tensão na

saída e a amplitude da tensão da fonte, em função da frequência angular _߱ da fonte. Mostre que, quando _߱ é grande, essa razão é proporcional a

߱ିଶ _{e, portanto, é muito pequena, e mostre que}

ela tende a 1 no limite de frequências pequenas.

Figura 19.1

Resolução:

A tensão de saída será dada por:

ܸ௦௔௘௙ൌ ܺ஼ ή ݅௘௙

(19.1)

Assim, de (18.1), teremos:

ܸ௦௔௘௙ൌ ܸ௙௘௙

߱ܥ ή ටܴଶ _{൅ ቀ߱ܮ െ ͳ} ߱ܥቁ

ଶ

(19.2)

Logo, poderemos escrever diretamente:

ܸ௦௔ ܸ ൌ

ͳ

߱ܥ ή ටܴଶ_{൅ ቀ߱ܮ െ ͳ} ߱ܥቁ

ଶ

(19.3)

Para frequências grandes ሺܺ_௅ ൐ ܴ‡ܺ௅ ൐൐ ܺ஼ሻ

teremos, de (19.3):

ܸ௦௔ ܸ ؆

ͳ ߱ଶ_ܮܥ

(19.4)

Para frequências pequenas ሺܺ_஼ ൐ ܴ‡ܺ஼ ൐൐ ܺ௅ሻ

teremos, de (19.3):

̱

ܸி

R _L

ܸ௦௔ ܸ ؆

ͳ

߱ܥ ή ටቀ ͳ_߱ܥቁଶ ൌ ͳ

(19.5)

Questão 20

Escreva a equação diferencial para um circuito

LC alimentado por uma f.e.m. harmônica do tipo

ܸ௠ݏ݁݊ሺ߱ݐሻ. Ache a solução desta equação em função do tempo. Seja ߱଴ ൌ ሺܮܥሻି

భ

మ e ߱ a frequência angular da fonte de alimentação; obtenha uma relação para ݍ௠ em função de ܸ௠ǡ ܮǡ ߱଴‡†‡߱.

Resolução:

Utilizando a lei das malhas, teremos:

ࣟ ൌ ܮ ή_{݀ݐ ൅}݀݅ _ܥݍ

(20.1)

Lembrando que ௗ௜

ௗ௧ൌ ௗమ_௤

ௗ௧మ, teremos:

ܮ݀_݀ݐଶݍ_ଶ ൅_{ܥ ݍ ൌ ܸ}ͳ ௠ݏ݁݊ሺ߱ݐሻ

(20.2)

Para a resolução de (20.2), tentaremos a seguinte função:

ݍ ൌ ܣݏ݁݊ሺ߱ݐሻ ֜݀_݀ݐଶݍ_ଶ ൌ െܣ߱ଶ_{ݏ݁݊ሺ߱ݐሻ}

(20.3)

Em que A é uma constante a ser determinada.

Utilizando as expressões de (20.3) em (20.2), teremos:

െܮܣ߱ଶ_{ݏ݁݊ሺ߱ݐሻ ൅ ܮܣ߱}

଴ଶݏ݁݊ሺ߱ݐሻ ൌ ܸ௠ݏ݁݊ሺ߱ݐሻ ׵ ܣ ൌ_ሺ߱ ܸ௠

଴ଶെ ߱ଶሻܮ

(20.4)

Assim, teremos:

ݍ ൌ ݍ௠ݏ݁݊ሺ߱ݐሻ

(20.5)

Em que ݍ é dado pelo resultado de (20.4).

Questão 21

O circuito RLC _{em paralelo}. Um resistor, um

indutor e um capacitor são ligados em paralelo com uma fonte ac com amplitude de voltagem V e frequência angular ߱. Suponha que a voltagem da fonte seja dada por ݒ ൌ ܸܿ݋ݏሺ߱ݐሻ. A) Mostre que a voltagem instantânea nos terminais de cada elemento _{ݒோǡ ݒ௅‡ݒ஼} em qualquer instante é a mesma da fonte _ݒ e que _{݅ ൌ ݅ோ൅ ݅௅൅ ݅஼}, onde _݅ é a corrente que passa na fonte e _{݅ோǡ ݅௅݁݅஼} são as correntes que passam no resistor, no indutor e no capacitor, respectivamente. B) Quais são as fases de _{݅ǡ ݅ோǡ ݅௅‡݅஼} em relação a _ݒ? Use fasores para representar as correntes ݅ǡ ݅ோǡ ݅௅‡݅஼. Sobre o

diagrama de fasores, mostre as fases dessas quatro correntes em relação a ݒ. C) Use o diagrama de fasores do item (B) para mostrar que a amplitude da corrente ܫ para a corrente ݅ que passa na fonte é dada por ܫ ൌ ඥܫ_ோଶ_{൅ ሺܫ}

஼െ ܫ௅ሻଶ. D)

Mostre que o resultado da parte (C) pode ser escrito na forma _{ܫ ൌ ܸ ܼ}Τ , com _{ͳ ܼΤ ൌ}

ඥͳ ܴ_{Τ ൅ ሺ߱ܥ െ ͳ ߱ܮ}ଶ _{Τ ሻ}ଶ_. Resolução:

A) Como temos uma ligação em paralelo, a voltagem para cada elemento será:

ݒோ ൌ ݒ௅ ൌ ݒ஼ ൌ ݒ

(21.1)

E para a corrente, teremos:

݅ ൌ ݅ோ൅ ݅௅ ൅ ݅஼

(21.2)

B)Para o resistor, teremos:

݅ோ ൌܸ_{ܴ ܿ݋ݏ}ሺ߱ݐሻ

(21.3)

Para o indutor, teremos:

ܮ݀݅௅_{݀ݐ ൌ ܸܿ݋ݏ}ሺ߱ݐሻ

݅௅ ൌ ܸ_ܮන ܿ݋ݏሺ߱ݐሻ݀ݐ

׵ ݅௅ ൌ_{߱ܮ ݏ݁݊}ܸ ሺ߱ݐሻ

Em (21.4), podemos efetuar a seguinte substituição: _{ݏ݁݊ሺ߱ݐሻ ൌ ܿ݋ݏ ቀ߱ݐ െ}గ

ଶቁ, assim,

teremos para (21.4):

݅௅ ൌ _{߱ܮ ܿ݋ݏ ቀ߱ݐ െ}ܸ ߨ_ʹቁ

(21.5)

Para o capacitor, teremos:

ݍ

ܥ ൌ ܸܿ݋ݏሺ߱ݐሻǢ݅஼ ൌ ݀ݍ ݀ݐ ݅஼ ൌ െܸ߱ܥݏ݁݊ሺ߱ݐሻ

(21.6)

Em (21.6) temos: െݏ݁݊ሺ߱ݐሻ ൌ ݏ݁݊ሺെ߱ݐሻ ൌ

ܿ݋ݏ ቀ߱ݐ ൅గ_ଶቁ. Então, teremos para (21.6):

݅஼ ൌ ܸ߱ܥܿ݋ݏ ቀ߱ݐ ൅ߨ_ʹቁ

(21.7)

Utilizando um diagrama de fasores:

Figura 21.1 – Diagrama de fasores

Observa-se da figura 21.1 e também dos conjuntos dos resultados (21.3) – (21.7) as fases dos fasores de cada corrente. Em azul, temos a corrente no resistor que se encontra em fase com a fonte V.

Em verde observamos a corrente no indutor que se encontra defasada de ഏ

మ௥௔ௗ com relação à fonte. Em vermelho a corrente no capacitor que se

encontra adiantada de ഏ

మ௥௔ௗ com relação à fonte. A corrente na fonte I possui uma fase dada por:

ݐ݃߶ ൌܫ஼_ܫെ ܫ௅

ோ

ݐ݃߶ ൌ ߱ܥܸ െ ܸ_ܸ ߱ܮ ܴ

׵ ݐ݃߶ ൌ ܴ ൬߱ܥ െ_߱ܮͳ ൰

(21.8)

C)Observa-se da figura 21.1 que a corrente que na fonte I é dada por:

ܫ ൌ ටܫோଶ൅ ሺܫ஼െ ܫ௅ሻଶ

(21.9)

D)Considerando que _{ܫ ൌ}௏_௓, temos de (21.9):

ටܫோଶ൅ ሺܫ஼െ ܫ௅ሻଶ ൌܸ_ܼ

׵ ͳ_{ܼ ൌ}ඨ ͳ_ܴଶ൅ ൬߱ܥ െ_߱ܮͳ ൰ଶ

(21.10)

O resultado (21.8) conduz a uma ressonância

ሺ߶ ൌ Ͳሻ quando:

߱ ൌ ሺܮܥሻିభమ (21.11)

Questão 22

A)Para qual frequência angular a amplitude da voltagem através do resistor atinge sue valor

máximo em um circuito RLC em série? B)Para qual

frequência angular a amplitude da voltagem através do indutor atinge seu valor máximo em

um circuito RLC em série? C)Para qual frequência

angular a amplitude da voltagem através do

capacitor atinge seu valor máximo em um circuito RLC em série?

Resolução:

ࡵࡾൌࢂ_ࡾ

ࢂ

࣓࢚

ࡵࡸൌ_࣓ࡸࢂ

ࡵ࡯ൌࢂ࣓࡯

࣊_ൗ૛ ࣊

૛

ൗ

࣊ ࣊_ൗ ࣊ ࣊

ࡵ࡯െࡵࡸ

ࡵ

A)A amplitude de voltagem no resistor em um circuito RLC em série é dada por:

ܸ௠ǡோ ൌܸ_{ܼ ή ܴ}

(22.1)

Em que Z é dado por (4.3). Assim, a amplitude

será máxima quando Z for mínimo. Logo:

ܼ ൌ ඨܴଶ_{൅ ൬߱ܮ െ} ͳ ߱ܥ൰

ଶ

ൌ ܴ’ƒ”ƒ߱ ൌ ሺܮܥሻିభమ (22.2)

B)A amplitude de voltagem no indutor é dada por:

ܸ௠ǡ௅ൌ ܸ_{ܼ ή ܺ}௅

(22.3)

Em que ܺ௅ ൌ ߱ܮ. Para encontrar a voltagem

máxima, efetuaremos a diferenciação de ܸ௠ǡ௅.

Assim teremos:

ܸ݀௠ǡ௅ ݀߱ ൌ ܸ ቎

݀ܺ௅

݀߱ ή ܼ െ ܺ௅ή ܼ݀_݀߱

ܼଶ ቏

ܸ݀௠ǡ௅ ݀߱ ൌ ܸ ۏ ێ ێ ێ ێ ێ ێ ۍ

ܮටܴଶ_{൅ ቀ߱ܮ െ ͳ} ߱ܥቁ

ଶ

െ߱ܮ ቀ߱ܮ െ ͳ߱ܥቁ ቀܮ ൅ ͳ ߱ଶ_ܥቁ ටܴଶ_{൅ ቀ߱ܮ െ ͳ}

߱ܥቁ ଶ

ܴଶ_{൅ ቀ߱ܮ െ ͳ} ߱ܥቁ ଶ ے ۑ ۑ ۑ ۑ ۑ ۑ ې (22.4)

Agora, fazendo ௗ௏೘ǡಽ

ௗఠ ൌ Ͳ, poderemos encontrar o

valor procurado para a frequência. Assim, sendo:

ܮඨܴଶ_{൅ ൬߱ܮ െ} ͳ ߱ܥ൰

ଶ

െ߱ܮ ቀ߱ܮ െ ͳ߱ܥቁ ቀܮ ൅ ͳ ߱ଶ_ܥቁ ටܴଶ_{൅ ቀ߱ܮ െ ͳ}

߱ܥቁ ଶ ൌ Ͳ

ܴଶ_{൅ ൬߱ܮ െ} ͳ ߱ܮ൰

ଶ

ൌ ߱ ൬߱ܮ െ_{߱ܮ൰ ൬}ͳ ܮ ൅_߱ͳ_ଶܥ൰

ܴଶ_െʹܮ ܥ ൅

ʹ ߱ଶ_ܥଶൌ Ͳ

׵ ߱ ൌ ඩ ͳ ܮܥ െ ሺܴܥሻ_ʹ ଶ

(22.5)

C)A amplitude de voltagem para o capacitor será:

ܸ௠ǡ஼ ൌܸ_{ܼ ή ܺ}஼

(22.6)

Em que _{ܺ஼ ൌ} ଵ

ఠ஼. Logo, de (22.6), teremos:

ܸ௠ǡ஼ ൌ ܸ

߱ܥටܴଶ_{൅ ቀ߱ܮ െ ͳ} ߱ܥቁ

ଶ

(22.7)

Para encontrar a voltagem máxima, efetuaremos a diferenciação de _ܸ௠ǡ஼. Assim teremos:

ܸ݀௠ǡ஼ ݀߱ ൌ ܸ ۏ ێ ێ ێ ۍ

െ_߱ͳ_ଶܥή ͳ ටܴଶ_{൅ ቀ߱ܮ െ ͳ}

߱ܥቁ ଶ൅

ͳ ߱ܥή

ቀ߱ܮ െ ͳ_{߱ܥቁ ቀܮ ൅߱}ͳଶ_ܥቁ

൬ܴଶ_{൅ ቀ߱ܮ െ ͳ} ߱ܥቁ ଶ ൰ య మ ے ۑ ۑ ۑ ې (22.8)

Com o mesmo procedimento anterior, teremos o valor procurado para a frequência. Assim, teremos:

െ ͳ

߱ටܴଶ_{൅ ቀ߱ܮ െ ͳ} ߱ܥቁ

ଶൌ

ቀ߱ܮ െ ͳ_{߱ܥቁ ቀܮ ൅߱}ͳଶ_ܥቁ

൬ܴଶ_{൅ ቀ߱ܮ െ ͳ} ߱ܥቁ

ଶ ൰

య మ

െ ቆܴଶ_{൅ ൬߱ܮ െ} ͳ ߱ܥ൰

ଶ

ቇ ൌ ߱ ൬߱ܮ െ_{߱ܥ൰ ൬}ͳ ܮ ൅_߱ͳ_ଶܥ൰

െܴଶ_൅ʹܮ

ܥ ൌ ʹ߱ଶܮଶ

׵ ߱ ൌ ඨ_ܮܥͳ െʹܴ_ܮଶଶ

(22.9)

Questão 23

Números complexos em um circuito. A voltagem através de um dado elemento em um circuito ac não está necessariamente em fase com a corrente que passa através desse elemento. Portanto, as amplitudes das voltagens através dos elementos ligados em uma dada malha do circuito não podem ser somadas algebricamente para se determinar a voltagem total. Um método geralmente usado para simplificar a análise de um circuito ac alimentado por uma fonte de tensão consiste em representar Z como um número complexo. A parte real do número complexo é a

resistência R da impedância e a reatância

um ramo o circuito com um resistor, um indutor e um capacitor em série, a impedância complexa é dada pelo número complexo _{ܼ௖௣௫ ൌ ܴ ൅ ݅ܺ}, onde

݅ଶ _{ൌ െͳ. Se a amplitude da voltagem através do}

ramo do circuito é _ܸ௖௣௫, definimos uma amplitude de corrente complexa através da relação

ܫ௖௣௫ ൌ ܸ௖௣௫Τܼ௖௣௫. A amplitude da corrente real é

dada pelo módulo da amplitude de corrente complexa, ou seja, _{ܫ ൌ ൫ܫ௖௣௫}כ _ܫ௖௣௫൯ଵ ଶΤ . O ângulo de fase _߶ da corrente em relação à voltagem da fonte é dado pela expressão ݐ݃߶ ൌ ܫ݉൫ܫ௖௣௫൯ ܴ݁൫ܫ௖௣௫ൗ ൯. As amplitudes das voltagens _{ܸோ௖௣௫ǡ ܸ௅௖௣௫‡ܸ஼௖௣௫} através do resistor, do indutor e do capacitor, respectivamente, são obtidas multiplicando-se

ܫ௖௣௫ por _{ܴǡ ݅ܺ௅‘— െ ݅ܺ஼}, respectivamente. Usando a representação complexa para as amplitudes das voltagens, a voltagem total através de um ramo do circuito é simplesmente dada pela soma algébrica das voltagens através de cada elemento do circuito: _{ܸ௖௣௫ ൌ ܸோ௖௣௫൅ ܸ௅௖௣௫൅ ܸ஼௖௣௫}. O valor efetivo de qualquer amplitude de corrente ou amplitude de voltagem é o valor absoluto da grandeza complexa correspondente. Considere o circuito RLC em série indicado na figura 23.1. Os

valores dos elementos dos circuitos da amplitude da voltagem da fonte e da frequência angular da fonte são indicados na figura. Analise o circuito usando o método dos números complexos. A) Determine a impedância complexa do circuito. Tome o valor absoluto desse número complexo para obter o valor de Z, a impedância efetiva do

circuito. B) Suponha que a amplitude da voltagem da fonte seja real e calcule a amplitude da corrente _ܫ௖௣௫. Determine a amplitude da corrente efetiva calculando o valor absoluto de ܫ௖௣௫. C)

Calcule o ângulo de fase _߶ da corrente em relação à amplitude da voltagem da fonte usando as partes reais e imaginárias do número complexo

ܫ௖௣௫, como explicado anteriormente. D) Calcule a

representação complexa das voltagens através do resistor, do indutor e do capacitor. E) Somando as respostas encontradas na parte (D), verifique se a soma desses números complexos é real e igual a 200 V, a tensão fornecida pela fonte.

Figura 23.1

Resolução:

A) Para a impedância complexa, teremos:

ܼ௖௣௫ ൌ ܴ ൅ ݅ ൬߱ܮ െ_߱ܥͳ ൰ ׵ ܼ௖௣௫ ൌ ͶͲͲ ൅ ݅͵ͲͲ

(23.1)

O módulo da impedância complexa será:

ܼ ൌ ඥͶͲͲଶ_{൅ ͵ͲͲ}ଶ _{ൌ ͷͲͲȳ}

(23.2)

B)Para a amplitude de corrente teremos:

ܫ௖௣௫ ൌ_{ͶͲͲ ൅ ݅͵ͲͲ ή}ʹͲͲ ͶͲͲ െ ݅͵ͲͲ_{ͶͲͲ െ ݅͵ͲͲ}

׵ ܫ௖௣௫ ൌ ͶͲͲ െ ݅͵ͲͲ_ͳʹͷͲ

(23.3)

O valor absoluto de _ܫ௖௣௫ será:

หܫ௖௣௫ห ൌ ܫ ൌξͶͲͲ_ͳʹͷͲଶ൅ ͵ͲͲଶ ൌ ͲǡͶܣ

(23.4)

C)Para o ângulo de fase:

߶ ൌ ܽݎܿݐ݃͵ͲͲ_{ͶͲͲ ؆ ͵͸ǡͺ͹ι}

(23.5)

D)Para as voltagens, teremos:

ܸோ௖௣௫ ൌ ܫ௖௣௫ή ܴ ൌ Ͳǡ͵ʹሺͶͲͲ ൅ ݅͵ͲͲሻ

(23.6)

ܸ௅௖௣௫ ൌ ܫ௖௣௫ή ݅ܺ௅ ൌ ͲǡͶሺെ͵ͲͲ ൅ ݅ͶͲͲሻ

(23.7)

ܸ஼௖௣௫ ൌ ܫ௖௣௫ή ሺെ݅ܺ஼ሻ ൌ Ͳǡ͸Ͷሺ͵ͲͲ െ ݅ͶͲͲሻ

(23.8)

E) Para a voltagem total, teremos, de (23.6)-(23.8):

ܸ ൌ Ͳǡ͵ʹሺͶͲͲ ൅ ݅͵ͲͲሻ ൅ ͲǡͶሺെ͵ͲͲ ൅ ݅ͶͲͲሻ ൅ Ͳǡ͸Ͷሺ͵ͲͲ െ ݅ͶͲͲሻ ׵ ܸ ൌ ʹͲͲܸ

(23.9)

ܸൌ ʹͲͲܸ ߱ൌ ͳͲͲͲݎܽ݀ήݏିଵ

̱

ܥൌ ͳǡʹͷߤܨ

Questão 24

Um transformado possui 800 espiras no primário e 20 espiras no secundário. (a) Supondo que o secundário constitua um circuito aberto e sabendo que _{ܸଵǡ௘௙ൌ ͳʹͲܸ}, calcule o valor eficaz da tensão do secundário. (b) Suponha agora que o secundário esteja ligado a uma carga resistiva

ܴ ൌ ͳͷȳ. Calcule os valores ݅ଵǡ௘௙݁݅ଶǡ௘௙. Suponha

um transformador ideal com _{߶ ൌ Ͳ}.

Resolução:

a)Para a tensão no secundário, teremos:

ܸଶǡ௘௙ൌ ܸଵǡ௘௙ήܰଶ_ܰ ଵ

ܸଶǡ௘௙ൌ ͳʹͲ ή_{ͺͲͲ ׵ ܸ}ʹͲ ଶǡ௘௙ ൌ ͵ܸ

(24.1)

b)Para as intensidades de correntes:

݅ଶǡ௘௙ ൌ ܸଶǡ௘௙_{ܴ ൌͳͷ ൌ ʹͲͲ݉ܣ}͵

(24.2)

ܸଵǡ௘௙݅ଵǡ௘௙ ൌ ܸଶǡ௘௙݅ଶǡ௘௙ ͳʹͲ݅ଵǡ௘௙ ൌ ͵ ή ʹͲͲ ׵ ݅ଵǡ௘௙ ൌ ͷ݉ܣ

(24.3)

Questão 25

Em um transformador, mostre que ݅ଵሺݐሻ no

primário permanece inalterada, se uma

resistência ܴᇱ_{ሾൌ ܴሺܰଵ ܰ} ଶ

Τ ሻଶ_{ሿ é ligada diretamente}

ao gerador, removendo-se o transformador e o secundário, Isto é, que se tem

݅ଵ ൌ_ோᇱࣟ.

Neste sentido, vemos que um transformador não apenas “transforma” diferenças de potencial e correntes, como também resistências. No caso mais geral, no qual a carga do secundário contém elementos capacitivos e indutivos, além de

resistivos, diz-se que um transformador

transforma impedâncias.

Resolução:

Utilizando a expressão dada em (24.1) e a conservação de energia:

ܸଵ݅ଵ ൌܸଶ ଶ ܴ

(25.1)

Assim, teremos:

݅ଵ ൌܸ_ܴଵ൬ܰଶ_ܰ ଵ൰

ଶ

(25.2)

Agora, para o primário utilizando ݅ଵ ൌ ௏_ோᇱభ, teremos:

ܴᇱ_{ൌ ܴ ൬}ܰଵ ܰଶ൰

ଶ

(25.3)

Questão 26

Casamento de impedância. Vimos na questão

anterior que um transformador pode servir como um dispositivo transformador de resistência (em geral, de impedâncias). Além disso, sabemos que a transferência de potência de um gerador ca (resistência interna r) para um carga resistiva R é

máxima quando _{ܴ ൌ ݎ}. Suponha que, _{ݎ ൌ}

ͳǡͲ݇ȳǡ ܴ ൌ ͳͲȳǡ ߱ ʹߨΤ ൌ ͸Ͳܪݖ‡ࣟ௘௙ൌ ͳʹͲܸ. Projete um transformador, a ser interposto entre o gerador de ca e a carga, que assegure máxima transferência de potência para R. Suponha um transformador ideal com ߶ ൌ Ͳ. Uma técnica como essa é utilizada quando, por exemplo, é necessário transferir potência eficientemente de um amplificador de áudio (impedância elevada) para um autofalante (impedância baixa).

Resolução:

Para o gerador transferir a máxima potência, teremos:

ݎ ൌ ܴԢ

(26.1)

Em que R’ é dada por (25.3). Logo:

ܰଶ ൌܰଵ_ͳͲ

(26.2)