Aula 00
Matemática para Soldado da PM MT
Prof. Arthur Lima, Prof. Hugo Lima
Sumário
SUMÁRIO ...2
APRESENTAÇÃO ... 3
COMO ESTE CURSO ESTÁ ORGANIZADO ... 5
CONJUNTOS NUMÉRICOS ... 6
NÚMEROSNATURAIS ... 6
NÚMEROSINTEIROS ... 7
Operações com números inteiros ... 7
NÚMEROSRACIONAIS... 20
Operações com números racionais ... 22
Frações e operações com frações ... 26
EXPRESSÕESNUMÉRICAS ... 33
DIVISIBILIDADE ... 36
NÚMEROSPRIMOSEFATORAÇÃO ... 38
MÚLTIPLOSEDIVISORES ... 40
Mínimo múltiplo comum (MMC) ... 40
Máximo divisor comum (MDC) ... 49
QUESTÕES DE PROVA COMENTADAS ... 55
LISTA DE QUESTÕES... 79
GABARITO ... 92
Apresentação
Olá, tudo bem? Sou o professor Arthur Lima. Seja muito bem-vindo a esse meu curso! Aqui no Direção Concursos sou responsável pelas disciplinas de Matemática, Raciocínio Lógico, Matemática Financeira e Estatística. Também sou um dos coordenadores do site.
Caso não me conheça, sou Engenheiro Aeronáutico pelo Instituto Tecnológico de Aeronáutica (ITA). Fui aprovado nos concursos de Auditor-Fiscal e Analista-Tributário da Receita Federal, e exerci o cargo de Auditor por 6 anos. Antes, fui engenheiro na EMBRAER S/A por 5 anos. Sou professor há 11 anos, sendo 4 em preparatórios para vestibular e 7 em preparatórios para concursos públicos. Ao longo deste tempo pude ver muitos alunos sendo aprovados nos concursos públicos mais disputados do país – e pude ver inúmeros alunos que tinham MUITA DIFICULDADE em exatas superarem o “trauma” e conseguirem excelentes desempenhos em suas provas. Espero que o mesmo aconteça contigo! Sempre me preocupo muito em atender os alunos com maior dificuldade, pois sei que o ensino de exatas no Brasil é muito ruim. Estaremos juntos nesta jornada até a sua APROVAÇÃO, combinado? E vamos encurtar este caminho! Também contaremos com a colaboração do professor Hugo Lima neste curso. Veja a apresentação dele abaixo:
Olá! Meu nome é Hugo Lima e sou Engenheiro Mecânico-Aeronáutico pelo Instituto Tecnológico de Aeronáutica (ITA). Trabalhei por 5 anos e meio na Força Aérea Brasileira, como oficial engenheiro, sendo que, no período final, tive que conciliar o trabalho com o estudo para o concurso da Receita Federal. Fui aprovado para o cargo de Auditor-Fiscal em 2012, cargo que exerço atualmente. Trabalho com concursos públicos desde 2014 sempre com as matérias de exatas!
É com MUITA ALEGRIA que iniciamos este curso de MATEMÁTICA. A programação de aulas, que você verá mais adiante, foi concebida especialmente para a sua preparação focada na PM-MT, para o cargo de Soldado. Tomamos por base o último edital, e cobriremos TODOS os tópicos exigidos pela banca, ok? Nada vai ficar de fora, este curso deve ser o seu ÚNICO material de estudo! E você também não perderá tempo estudando assuntos que não serão cobrados na sua prova. Deste modo, você aproveita o tempo da melhor forma possível, estuda de modo totalmente focado, e aumenta as suas chances de aprovação.
Você nunca estudou Matemática para concursos? Não tem problema, este curso também te atende. Nós veremos toda a teoria que você precisa e resolveremos centenas de exercícios para que você possa praticar bastante cada aspecto estudado. Nossa recomendação, nestes casos, é que você comece assistindo as videoaulas, para em seguida enfrentar as aulas em PDF. E fique à vontade para me procurar no fórum de dúvidas sempre que for necessário.
Caso você queira tirar alguma dúvida antes de adquirir o curso, basta me enviar um email ou um direct pelo Instagram:
Conheça ainda as minhas outras redes sociais para acompanhar de perto o meu trabalho:
Curso completo em VÍDEO
teoria e exercícios resolvidos sobre TODOS os pontos do edital
Curso completo escrito (PDF)
teoria e MAIS exercícios resolvidos sobre TODOS os pontos do edital
Fórum de dúvidas
Como este curso está organizado
Como já adiantei, neste curso nós veremos EXATAMENTE o que foi exigido pela banca no seu edital. Os tópicos cobrados foram os seguintes:
MATEMÁTICA 1. Números inteiros: algoritmos de quatro operações fundamentais no sistema decimal de numeração, divisibilidade e decomposição em fatores primos. 2. Razões e proporções, números racionais, operações e a relação de ordem entre números racionais, representação decimal dos números racionais. 3. Conceito de número irracional e a representação decimal dos números reais. 4. Regra de três simples e composta. 5. Geometria plana: cálculo de áreas, semelhança, relações métricas no triângulo retângulo e no círculo. 6. Funções do 1o e 2o grau e suas aplicações. 7. Função exponencial e suas aplicações. 8. Logaritmos: 8.1 Propriedades dos logaritmos. 8.2 Função logarítmica. 8.3 Aplicações dos logaritmos. 9. Análise Combinatória: arranjo, permutações, combinações. 10. Probabilidades. 11. Geometria espacial: áreas e volumes de prismas, cilindros, cones e pirâmides. 12. Trigonometria: arcos e ângulos, valores das funções trigonométricas de arcos notáveis, fórmulas de adição, subtração, duplicação e bissecção de arcos; resolução de triângulos. 13. Estatística (médias aritméticas, mediana, moda, variância e desvio-padrão).
Para cobrir este edital integralmente, o nosso curso está organizado da seguinte forma: Número
da aula
Data de
disponibilização Assunto da aula
0 20-Set Revisão de matemática básica em vídeo. Conjuntos numéricos.
1 30-Set Razões e proporções. Regra de três simples e
composta.
2 10-Out Teste de Direção
3 20-Out Equações
4 30-Out Funções
5 09-Nov Teste de Direção
6 19-Nov Análise Combinatória
7 29-Nov Probabilidade
8 09-Dez Teste de Direção
9 19-Dez Estatística básica
10 29-Dez Estatística (continuação)
11 08-Jan Geometria plana, espacial e trigonometria
12 18-Jan Teste de Direção
Que tal já iniciarmos o nosso estudo AGORA? Separei um conteúdo muito útil para você nesta aula demonstrativa, que são os Conjuntos Numéricos. Mas antes assista aos vídeos de revisão de matemática básica, ok? Bons estudos!
Conjuntos numéricos
NÚMEROS NATURAIS
Os números naturais têm esse nome por serem aqueles mais intuitivos, de “contagem natural”. Isto é, são aqueles construídos com os algarismos de 0 a 9. O símbolo desse conjunto é a letra N, e podemos escrever os seus elementos entre chaves:
N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22…}
As reticências indicam que este conjunto não tem fim, ou seja, existem infinitos números naturais. Apesar de incluído neste conjunto, o zero não é um número natural propriamente dito (pois não é um número de “contagem natural”). Por isso, utiliza-se o símbolo N* para designar os números naturais positivos, isto é, excluindo o zero. Vejam: N* = {1, 2, 3, 4…}
Alguns conceitos básicos relacionados aos números naturais:
• Sucessor: é o próximo número natural. Isto é, o sucessor de 2 é 3, e o sucessor de 21 é 22. E o sucessor do número “n” é o número “n+1”.
• Antecessor: é o número natural anterior. Isto é, o antecessor de 2 é 1, e o antecessor de 21 é 20. E o antecessor do número “n” é o número “n-1”. Observe que o número natural zero não possui antecessor, pois é o primeiro número desse conjunto.
• Números consecutivos: são números em sequência. Assim, {2,3,4} são números consecutivos, porém {2, 5,4} não são. E {n-1, n e n+1} são números consecutivos.
• Números naturais pares: {0, 2, 4...}. Número par é aquele que, ao ser dividido por 2, não deixa resto. Por isso o zero também é par. A propósito, todos os números que terminam em 0, 2, 4, 6 ou 8 são pares, ok? Os números pares podem ser representados sempre na forma 2.n, onde n é um número natural. Por exemplo, 10 é igual a 2.5, da mesma forma que 28 é igual a 2.14, e assim por diante.
• Números naturais ímpares: {1, 3, 5...}. Ao serem divididos por 2, deixam resto 1. Todos os números que terminam em 1, 3, 5, 7 ou 9 são ímpares, ok? Os números ímpares podem ser representados na forma 2n+1, onde n é um número natural. Por exemplo, o 15 é igual a 2.7+1, já o 29 é igual a 2.14+1.
Sobre pares e ímpares, vale a pena perceber que:
- a soma ou subtração de dois números pares tem resultado par. Ex.: 12 + 6 = 18; 12 – 6 = 6. - a soma ou subtração de dois números ímpares tem resultado par. Ex.: 13 + 5 = 18; 13 – 5 = 8.
- a soma ou subtração de um número par com outro ímpar tem resultado ímpar. Ex.: 12 + 5 = 17; 12 – 5 = 7.
- a multiplicação de números pares tem resultado par: 4 x 6 = 24. - a multiplicação de números ímpares tem resultado ímpar: 3 x 5 = 15.
- a multiplicação de um número par por um número ímpar tem resultado par: 2 x 3 = 6.
NÚMEROS INTEIROS
Os números inteiros são os números naturais e seus respectivos opostos (negativos). Isto é, Z = {...-12, -11, -10, -9, -8, -7, -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12...}
Observem que todos os números Naturais são também Inteiros, mas nem todos os números inteiros são naturais. Assim, podemos dizer que o conjunto de números naturais está contido no conjunto de números inteiros, isto é, N Z, ou ainda que N é um subconjunto de Z. O diagrama abaixo explicita esta relação entre N e Z:
Dentro deste conjunto, podemos destacar alguns subconjuntos de números. Vejam que os nomes dos subconjuntos são autoexplicativos:
a) Números Inteiros não negativos = {0,1,2,3...}. Veja que são os números naturais.
b) Números Inteiros não positivos = {… -3, -2, -1, 0}. Veja que o zero também faz parte deste conjunto, pois ele não é positivo nem negativo.
c) Números inteiros negativos = { … -3, -2, -1}. O zero não faz parte.
d) Números inteiros positivos = {1, 2, 3...}. Novamente, o zero não faz parte.
Operações com números inteiros
As quatro operações básicas que podemos efetuar com estes números são: adição, subtração, multiplicação e divisão. Vejamos em detalhes cada uma delas.
a) Adição:
A adição de dois números é dada pela soma destes dois números. Isto é, a adição de 15 e 6 é: 15 + 6 = 21
Você se lembra do método para se efetuar a soma de dois números? Vamos exercitar efetuando a soma 728 + 46. Primeiramente, você deve posicionar estes números um abaixo do outro, alinhados pela direita (casa das unidades):
728
+46
A seguir devemos começar a efetuar a soma pela direita. Somando 8 + 6 obtemos 14. Com isto, devemos colocar o algarismo das unidades (4) no resultado e transportar o algarismo das dezenas (1) para a próxima soma:
1
728
+46
4
Agora, devemos somar os dois próximos números (2 + 4), e adicionar também o número que veio da soma anterior (1). Assim, obtemos 7. Devemos colocar este número no resultado:
728
+46
74
Temos ainda o algarismo 7 na casa das centenas do número 728. Como o segundo número (46) não possui casa das unidades, podemos simplesmente levar este 7 para o resultado, obtendo:
728
+46
774
Chegamos ao nosso resultado final.
Vamos trabalhar uma questão de prova bem interessante? FCC – METRÔ/SP – 2014) O algarismo do milhar do resultado da soma
6+66+666+6666+66666+666666+6666666+66666666+666666666 é igual a
(B) 6. (C) 4. (D) 8. (E) 7. RESOLUÇÃO: Temos a soma:
Podemos começar esta soma, a partir da casa das unidades (direita). Somando as casas das unidades, temos 9 vezes o número 6, o que nos permite fazer rapidamente 9 x 6 = 54. Deixamos o 4 no resultado, e levamos o 5 para a próxima soma:
5
4
Somando as casas das dezenas, temos 8 x 6 = 48. Somando o 5 que veio da operação anterior, temos 48 + 5 = 53. Deixamos o 3 no resultado e levamos o 5 para a próxima operação.
34
Somando as casas das centenas, temos 7 x 6 = 42. Somando as 5 unidades que vieram da operação anterior, ficamos com 47. Deixamos o 7 no resultado e levamos o 4 para a próxima operação:
4
734
Somando as casas do milhar, temos 6 x 6 = 36. Somando com o 4 que veio da operação anterior, temos 36 + 4
= 40. Portanto na casa do milhar vai ficar um 0, indo o 4 para a próxima operação: 4
0734 Podemos parar esta soma por aqui, pois chegamos na casa do milhar. Resposta: A
Antes de conhecermos a próxima operação, vejamos as principais propriedades da operação de adição.
• propriedade comutativa: dizemos que a adição de números inteiros possui a propriedade comutativa, pois a ordem dos números não altera a soma. Isto é, 728 + 46 é igual a 46 + 728.
• propriedade associativa: ao adicionar 3 ou mais números, podemos primeiramente somar 2 deles, e a seguir somar o outro, em qualquer ordem, que obteremos o mesmo resultado. Logo, esta propriedade está presente na adição. Ex.:
2 + 5 + 7 = (2 + 5) + 7 = 2 + (5 + 7) = 14
• elemento neutro: dizemos que o zero é o elemento neutro da adição, pois qualquer número somado a zero é igual a ele mesmo. Ex.: 2 + 0 = 2; 45 + 0 = 45.
• propriedade do fechamento: esta propriedade nos diz que a soma de dois números inteiros SEMPRE gera outro número inteiro. Ex: a soma dos números inteiros 2 e 5 gera o número inteiro 7 (2 + 5 = 7).
b) Subtração: efetuar a subtração de dois números significa diminuir, de um deles, o valor do outro. Isto é, subtrair 5 de 9 significa retirar 5 unidades de 9, restando 4 unidades:
9 – 5 = 4
Acompanhe a subtração abaixo para relembrar o método para a subtração de números. Vamos efetuar a operação 365 – 97:
365 - 97
Observe que o primeiro passo é posicionar um número abaixo do outro, alinhando as casas das unidades. Começamos a efetuar a subtração a partir da casa das unidades. Como 5 é menor do que 7, não podemos subtrair 5 – 7. Devemos, portanto, “emprestar” uma unidade da casa das dezenas de 365. Levando este valor para a casa das unidades, temos 10 unidades, que somadas a 5 chegam a 15 unidades. Agora sim podemos subtrair 15 – 7 = 8, e anotar este resultado:
365 - 97 8
Devemos agora subtrair as casas das dezenas. Devemos subtrair 5 – 9, e não 6 – 9, pois já utilizamos uma unidade na primeira subtração acima. Como 5 é menor que 9, devemos novamente “pegar” uma unidade da casa das centenas de 365, e somar ao 5. Assim, teremos 15 – 9 = 6. Vamos anotar este resultado:
365 - 97 68
Agora devemos subtrair a casa das centenas. Veja que não temos mais um 3 na casa das centenas de 365, e sim 2, pois já usamos uma unidade na operação anterior. Como 97 não tem casa das centenas, basta levarmos este 2 para o resultado:
365 - 97 268
E se quiséssemos efetuar a subtração 97 – 365? Neste caso, como 97 é menor que 365, devemos: - subtrair o menor número do maior, isto é, efetuar a operação 365 – 97;
- colocar o sinal negativo (-) no resultado.
Desta forma, 97 – 365 = -268. Vejamos as principais propriedades da operação de subtração.
• propriedade comutativa: dizemos que a subtração de números NÃO possui a propriedade comutativa, pois a ordem dos números ALTERA o resultado. Como vimos acima, 365 – 97 = 268, já 97 – 365 = -268.
• propriedade associativa: a subtração NÃO possui essa propriedade, pois (A – B) – C pode ser diferente de (C – B) – A
• elemento neutro: o zero é o elemento neutro da subtração, pois, ao subtrair zero de qualquer número, este número permanecerá inalterado. Ex.: 2 – 0 = 2.
• propriedade do fechamento: a subtração de números inteiros possui essa propriedade, pois a subtração de dois números inteiros SEMPRE gera outro número inteiro.
• elemento oposto: para todo número A, existe também o seu oposto, com sinal contrário, isto é, -A. Exemplos de números opostos: 5 e -5, 29 e -29 etc. Também podemos dizer que o elemento oposto de A é aquele número que, somado a A, resulta em zero: A + (-A) = 0.
c) Multiplicação: a multiplicação nada mais é que uma repetição de adições. Por exemplo, a multiplicação 15 x 3 é igual à soma do número 15 três vezes (15 + 15 + 15), ou à soma do número 3 quinze vezes (3 + 3 + 3 + ... + 3). Vejamos como efetuar uma multiplicação:
57 x 13
Novamente alinhamos os números pela direita. Começamos multiplicando os números das unidades: 3 x 7 = 21. Deixamos o algarismo das unidades (1) no resultado, e levamos o algarismo das dezenas (2) para a próxima operação:
2
57 x 13
1
Agora devemos multiplicar os número das unidades do segundo número (3) pelo número das dezenas do primeiro número: 3 x 5 = 15. Antes de colocar este valor no resultado, devemos adicionar o 2 que veio da operação anterior: 15 + 2 = 17. Assim, temos:
57 x 13
171
Agora devemos multiplicar o algarismo das dezenas do segundo número (1) pelo algarismo das unidades do primeiro número (7): 1 x 7 = 7. Devemos levar este número para o resultado, entretanto devemos colocá-lo logo abaixo do algarismo das dezenas do segundo número (1). Veja:
x 13
171
7
A seguir, devemos multiplicar o algarismo das dezenas do segundo número (1) pelo algarismo das dezenas do primeiro número (5): 1 x 5 = 5. Assim, temos:
57 x 13
171
57
Por fim, devemos somar as duas linhas de resultado, obtendo: 57
x 13
171
+570
741
Veja que antes de efetuar a soma, colocamos um zero à direita do 57, transformando-o em 570. Fazemos isto porque este resultado (57) surgiu da multiplicação do algarismo das dezenas do multiplicador (13). Se fosse do algarismo das centenas do multiplicador, colocaríamos 2 zeros, e assim por diante.
É importante relembrar as regras de sinais na multiplicação de números. Você deve se lembrar que: SINAIS NA MULTIPLICAÇÃO
- a multiplicação de números de mesmo sinal tem resultado positivo. Ex.: 5 x 5 = 25, e (-5)x(-5) = 25. - a multiplicação de números de sinais diferentes tem resultado negativo. Ex.: 5x(-5) = -25.
Portanto, se tivéssemos multiplicado (-57) x 13, ou então 57 x (-13), deveríamos obter -741. E se tivéssemos multiplicado (-57) x (-13) deveríamos obter 741.
Vejamos as principais propriedades da operação de multiplicação:
• propriedade comutativa: a multiplicação possui essa propriedade, pois A x B é igual a B x A, isto é, a ordem não altera o resultado (ex.: 3 x 5 = 5 x 3 = 15).
• propriedade associativa: a multiplicação possui essa propriedade, pois (A x B) x C é igual a (C x B) x A, que é igual a (A x C) x B etc. Ex.: (2 x 3) x 4 = 2 x (3 x 4) = (4 x 3) x 2 = 24.
• elemento neutro: a unidade (1) é o elemento neutro da multiplicação, pois ao multiplicar 1 por qualquer número, este número permanecerá inalterado. Ex.: 5 x 1 = 5.
• propriedade do fechamento: a multiplicação possui essa propriedade, pois a multiplicação de números inteiros SEMPRE gera um número inteiro (ex.: 5 x 7 = 35).
• propriedade distributiva: apenas a multiplicação possui essa propriedade. Esta propriedade nos permite dizer que:
Ax(B+C) = (AxB) + (AxC)
Exemplificando:
5x(3+7) = 5x(10) = 50 ou, usando a propriedade:
5x(3+7) = 5x3 + 5x7 = 15+35 = 50
Veja comigo essa questão:
CONSULPLAN – Pref. Cascavel/PR – 2016) Considere a operação apresentada:
Qual é o valor de J para que a operação seja verdadeira? A) 3. B) 4. C) 5. D) 6. E) 7. RESOLUÇÃO:
Observe que nossa primeira multiplicação será J x J, e o resultado obtido deve terminar com o mesmo número J. Isto acontece com o 5 (pois 5x5 = 25) e 6 (pois 6x6 = 36), que são os dois valores possíveis para J. Veja como fica com cada um deles:
15 x 5 = 75 16 x 6 = 96
Fica evidente que o correto é considerar J = 6, pois o resultado deve começar com 9. Resposta: D
d) Divisão: quando dividimos A por B, queremos repartir a quantidade A em partes de mesmo valor, sendo um total de B partes. Ex.: Ao dividirmos 10 por 2, queremos dividir 10 em 2 partes de mesmo valor. No caso,
10 2 5
=
. Vamos relembrar como efetuar divisões com o caso abaixo, onde dividimos 715 por 18:Neste caso, chamamos o 715 de dividendo (número a ser dividido) e o 18 de divisor (número que está dividindo o 715). Como o divisor possui 2 casas (18), devemos tentar dividir as primeiras duas casas da esquerda do dividendo (71). Veja que 18x4 = 72 (que já é mais que 71). Já 18x3 = 54. Assim, temos:
715 |18
3
Devemos multiplicar 3 por 18 e anotar o resultado abaixo de 71, e a seguir efetuar a subtração: 715 |18
-54 3
17
Agora devemos “pegar” o próximo algarismo do dividendo (5): 715 |18
-54 3
175
Dividindo 175 por 18, temos o resultado 9. Devemos anotar o 9 no resultado, à direita, e anotar o resultado da multiplicação 9 x 18 abaixo do 175, para efetuarmos a subtração:
715 |18 -54 39
175
-162
13
Agora temos o número 13, que é inferior ao divisor (18). Portanto, encerramos a divisão. Obtivemos o quociente (resultado) 39 e o resto igual a 13. Dizemos que esta divisão não foi exata, pois ela deixou um resto.
Observe que o dividendo (715) é igual à multiplicação do divisor (18) pelo quociente (39), adicionada do resto (13). Isto é:
715 = 18 x 39 + 13
Como regra, podemos dizer que:
Use essa informação na próxima questão:
VUNESP – CRO/SP – 2015) Dividindo-se um determinado número por 18, obtém-se quociente n e resto 15. Dividindo-se o mesmo número por 17, obtém-se quociente (n + 2) e resto 1. Desse modo, é correto afirmar que n(n + 2) é igual a (A) 440. (B) 420. (C) 400. (D) 380. (E) 340. RESOLUÇÃO: Lembrando que:
Dividendo = divisor x quociente + resto Temos:
Dividendo = 18 x n + 15 Dividendo = 17 x (n+2) + 1 Como em ambos os casos o número (dividendo) é o mesmo:
18 x n + 15 = 17 x (n+2) + 1 18n + 15 = 17n + 34 + 1 18n – 17n = 35 – 15 n = 20 Assim, n.(n+2) = 20.(20+2) = 20.22 = 440. Resposta: A
As regras de sinais na divisão são as mesmas da multiplicação: SINAIS NA DIVISÃO - a divisão de números de mesmo sinal tem resultado positivo.
- a divisão de números de sinais diferentes tem resultado negativo.
Portanto, se tivéssemos dividido (-10) por 2, ou então 10 por (-2), deveríamos obter -5. E se tivéssemos dividido (-10) por (-2) deveríamos obter 5.
Vejamos as principais propriedades da operação de divisão:
• propriedade comutativa: a divisão NÃO possui essa propriedade, pois A / B pode ser diferente de B / A. Ex.: 2 / 5 = 0,4; e 5 / 2 = 2,5.
• propriedade associativa: a divisão NÃO possui essa propriedade, pois (A / B) / C pode ser diferente de (C / B) / A. Ex.: (2/5)/3 é diferente de (3/5)/2.
• elemento neutro: a unidade (1) é o elemento neutro da divisão, pois ao dividir qualquer número por 1, o resultado será o próprio número. Ex.: 5 / 1 = 5.
•
propriedade do fechamento: aqui está a grande diferença entre números inteiros. A divisão de números inteiros NÃO POSSUI essa propriedade, pois ao dividir números inteiros podemos obter resultados fracionários ou decimais (como no exemplo 2 / 100 = 0,02), que não pertencem ao conjunto dos números inteiros.Antes de prosseguirmos, veja mais essas questões:
FCC – CETAM – 2014) Analise as três afirmações relativas a operações com inteiros não negativos: I. Em uma divisão em que o maior resto possível é 8, o divisor é igual a 7.
II. Em uma divisão em que o dividendo é 88, e o quociente é igual ao divisor, o maior resto é igual a 7.
III. O produto de um número de quatro algarismos por outro de três algarismos terá, no máximo, 7 algarismos. Está correto o que se afirma APENAS em
(A) I e II. (B) I e III. (C) II e III. (D) II. (E) III. RESOLUÇÃO:
Vamos avaliar cada uma das afirmações. Vale lembrar que estamos tratando apenas de números inteiros não negativos, ou seja: 0, 1, 2, 3, 4, ... Note que este é simplesmente o conjunto dos números naturais.
I. Em uma divisão em que o maior resto possível é 8, o divisor é igual a 7. ERRADO, pois o resto sempre deve ser menor que o divisor.
II. Em uma divisão em que o dividendo é 88, e o quociente é igual ao divisor, o maior resto é igual a 7. Lembrando que:
Dividendo = divisor x quociente + resto, Como o divisor é igual ao quociente, podemos escrever:
Dividendo = divisor x divisor + resto 88 = divisor x divisor + resto Veja que o divisor por igual a 8, teríamos:
88 = 8 x 8 + resto 88 = 64 + resto
resto = 22, O que é impossível, pois o resto deve ser menor que o divisor. Por outro lado, se tivermos divisor igual a 9, ficamos com:
88 = 9 x 9 + resto 88 = 81 + resto
7 = resto Veja que, de fato, o maior resto é 7. Item CORRETO.
III. O produto de um número de quatro algarismos por outro de três algarismos terá, no máximo, 7 algarismos. Para verificarmos essa afirmação, basta multiplicar o maior número de 4 algarismos (9.999) pelo maior número de três algarismos (999): 9.999 x 999 = 9.999 x (1000 - 1) = 9999x1000 - 9999x1 = 9.999.000 - 9.999 = 9.999.000 - 10.000 + 1 = 9.989.000 + 1 = 9.989.001
Veja que esse número tem 7 algarismos, o que confirma a afirmação deste item. CORRETO. Resposta: C
FCC – SABESP – 2012) Uma montadora de automóveis possui cinco unidades produtivas num mesmo país. No último ano, cada uma dessas unidades produziu 364.098 automóveis. Toda a produção foi igualmente distribuída entre os mercados consumidores de sete países. O número de automóveis que cada país recebeu foi (A) 26.007 (B) 26.070 (C) 206.070 (D) 260.007 (E) 260.070 RESOLUÇÃO:
Como são 5 unidades produtivas, o total de automóveis produzidos será: 5 x 364.098 = 1.820.490 automóveis. Toda essa produção foi distribuída para 7 países. Vamos montar a divisão que resultará no número de automóveis que cada país recebeu:
Portanto, o total foi de 260.070 automóveis para cada país. Resposta: E
NÚMEROS RACIONAIS
Os números racionais são aqueles que podem ser representados na forma da divisão de dois números inteiros. Isto é, são aqueles números que podem ser escritos na forma (A dividido por B), onde A e B são números inteiros. Exemplos:
5
4 é Racional, pois é a divisão do número inteiro 5 pelo número inteiro 4.
−
154 é Racional, pois é a divisão do número inteiro -15 pelo número inteiro 9, ou a divisão de 15 por -9.
73 e -195 são Racionais, pois são a divisão dos números 73 e -195 pelo número 1.
Observe este último exemplo. Já tínhamos visto que qualquer número natural é também inteiro. E agora vemos que todo número inteiro é também racional! Isto porque qualquer número inteiro é o resultado da divisão dele mesmo por 1, podendo ser representado na forma 𝐴
1 (A dividido por 1, onde A é um número inteiro qualquer). Veja se este novo diagrama, contendo os números Naturais, Inteiros e Racionais, faz sentido para você:
O zero também faz parte dos Números Racionais (pode ser escrito na forma , concorda?). Porém, quando escrevemos um número racional na forma , o denominador (isto é, o número B) nunca é zero. Isto porque a divisão de um número por zero é impossível (exceto
0
0
, cujo valor é indeterminado).No conjunto dos Números Racionais, temos basicamente 3 tipos de números: • Frações. Ex.: , , etc.
Veja que este número decimal tem escrita finita, isto é, um número definido de casas após a vírgula. Por isso, ele também poderia ser escrito na forma . Neste caso, poderíamos representá-lo como ou mesmo simplificá-lo para .
• Dízimas periódicas. Ex.: 0,33333... ou simplesmente (a barra indica que o algarismo 3 repete-se indefinidamente).
As dízimas periódicas são consideradas racionais porque também podem ser escritas na forma . O número deste exemplo poderia ser escrito na forma . Existem métodos que nos permitem encontrar qual fração é equivalente a uma determinada dízima periódica. Outro exemplo de dízima periódica: 1,352525252...
ou .
Guarde isso:
A respeito disso, julgue as duas assertivas abaixo: FGV – CAERN – 2010) Julgue as afirmativas a seguir: I – 0,555... é um número racional
II – Todo número inteiro tem antecessor RESOLUÇÃO:
Repare que o número 0,555... é uma dízima periódica. Como vimos, as dízimas periódicas são um tipo de número RACIONAL. A afirmativa I está CERTA.
Seja qual for o número inteiro, sempre podemos subtrair 1 unidade dele, obtendo o seu antecessor. Por exemplo, o antecessor de 57 é o 56. O antecessor de 0 é -1. E o antecessor de -99 é o -100. A afirmativa II está CERTA também.
Resposta: C C
Veja comigo mais um exercício acerca dos números racionais:
FCC – SABESP – 2018) Os canos de PVC são classificados de acordo com a medida de seu diâmetro em polegadas. Dentre as alternativas, aquela que indica o cano de maior diâmetro é
Números
racionais
Frações
Decimais (finitos)
Dízimas
(A) 5/8. (B) 1/2. (C) 1 ¼. (D) 3/4. (E) 1 ½. RESOLUÇÃO:
Quando queremos comparar números racionais, o ideal é deixar todos na forma decimal. Isto é, dividir o numerador pelo denominador da fração. Veja:
5/8 = 0,4 ½ = 0,5
1 ¼ = 1 + 0,25 = 1,25 (repare que 1 ¼ significa 1 MAIS ¼) ¾ = 0,75
1 ½ = 1 + 0,5 = 1,5
Logo, o maior diâmetro será 1 ½ polegadas, que corresponde a 1,5 polegadas. Resposta: E
Operações com números racionais
Além do que já vimos ao trabalhar com os números inteiros, precisamos aprender agora a trabalhar com os números decimais, isto é, aqueles números que possuem “casas após a vírgula”. A manipulação deles é essencial para a resolução de diversas questões, motivo pelo qual você precisa saber somá-los, subtraí-los, multiplicá-los, dividi-los, elevá-los a potências e extrair raízes dos mesmos. Vejamos cada uma dessas operações em detalhes.
a) Adição de números decimais:
A adição de dois números decimais segue a mesma lógica da adição comum. Isto é:
- os números devem ser posicionados um embaixo do outro, com a vírgula logo abaixo da vírgula do outro, e as casas correspondentes uma embaixo da outra;
- as casas correspondentes devem ser somadas, começando da direita para a esquerda;
- à medida que forem sendo formadas dezenas, estas devem ser transferidas para a próxima adição (das casas logo à esquerda).
Vamos aplicar estes passos na adição de 13,47 e 2,9. Colocando os números um embaixo do outro, com a vírgula uma embaixo da outra, temos todas as casas correspondentes em uma mesma vertical:
13,47 + 2,9
Veja que a casa das unidades do primeiro número (3) está logo acima da casa das unidades do segundo número (2). A primeira casa decimal do primeiro número (4) está logo acima da primeira casa decimal do segundo (1). E assim por diante. Como não há casa decimal abaixo do 7, podemos considerá-la igual a 0. Agora,
basta começar a somar as casas correspondentes, começando pelas da direita, anotando o resultado. Quando houver a formação de dezenas (ex.: 4 + 9 = 13), a dezena (1) deve ser transferida para a próxima operação (3 + 2). Com isso, temos:
13,47 + 2,9 16,37 Vamos fazer uma questão juntos?
FCC – DPE/RS – 2017) Sabendo que o número decimal F é 0,8666 . . . , que o número decimal G é 0,7111 . . . e que o número decimal H é 0,4222 . . . , então, o triplo da soma desses três números decimais, F, G e H, é igual a (A) 6,111 . . . (B) 5,888 . . . (C) 6 (D) 3 (E) 5,98 RESOLUÇÃO:
Podemos resolver de forma aproximada, somando os números com 4 casas decimais:
0,8666
+ 0,7111
+ 0,4222
Veja que eu coloquei uma vírgula embaixo da outra, de modo que as casas decimais correspondentes também estão uma embaixo da outra. Começamos a soma pela direita, fazendo 6+1+2 = 9. Essa mesma soma se repete nas duas casas à esquerda. Na casa logo antes da vírgula, temos 8+7+4 = 19, de modo que devemos deixar o 9 e passar o 1 para a próxima casa, isto é, após a vírgula, ficando com:
0,8666
+ 0,7111
+ 0,4222 1,9999
Note que 1,9999 é aproximadamente 2. Se tivéssemos colocado mais casas decimais em nossos números, chegaríamos em algo com ainda mais casas decimais, como 1,9999999... Este número pode ser substituído por 2, pois ele fica tão próximo de 2 quanto a gente queira, é só ir colocando mais casas decimais na soma. O TRIPLO da soma é 3×2 = 6, que nos dá o gabarito na alternativa C.
Outra forma de resolver seria encontrando a fração geratriz de cada número decimal, o que me parece uma solução bem mais demorada e trabalhosa.
Resposta: C
b) Subtração de números decimais:
Aqui também devemos posicionar os números um abaixo do outro, com a vírgula do primeiro na mesma vertical da vírgula do segundo número. A seguir devemos subtrair as casas correspondentes, da direita para a esquerda. Vejamos:
13,47 - 2,9 10,57
Repare, neste exemplo, que no momento de efetuar a subtração 4 – 9 foi preciso pegar uma unidade da casa à esquerda do 4 (no caso, o 3) e “transformá-la” em uma dezena, somando-a ao 4. Assim, subtraimos 14 – 9, obtendo o resultado 5. A seguir, ao invés de subtrair 3 – 2, tivemos que subtrair 2 – 2 pois uma unidade do “3” já havia sido utilizada.
Pratique as subtrações de números decimais resolvendo esse exercício:
FGV – CODEBA – 2016) Durante três dias, o capitão de um navio atracado em um porto anotou a altura das marés alta (A) e baixa (B), formando a tabela a seguir.
A maior diferença entre as alturas de duas marés consecutivas foi (A) 1,0. (B) 1,1. (C) 1,2. (D) 1,3. (E) 1,4. RESOLUÇÃO:
Podemos ir calculando as diferenças entre os valores da tabela. Basta subtrairmos valores consecutivos. Veja: 0,3 – 1 = -0,7 1,1 – 0,3 = 0,8 0,2 – 1,1 = -0,9 1,3 – 0,2 = 1,1 0,4 – 1,3 = -0,9 1,4 – 0,4 = 1 0,5 – 1,4 = -0,9 1,2 – 0,5 = 0,7 0,4 – 1,2 = -0,8 1,0 – 0,4 = 0,6 Note que a maior diferença é 1,1.
Resposta: B
c) Multiplicação de números decimais:
Aqui aplicamos o mesmo procedimento da multiplicação comum, com duas observações:
- devemos posicionar os números assim como fizemos na adição e na subtração, isto é, com a vírgula de um logo abaixo da vírgula do outro.
- o número de casas decimais do resultado será igual à soma do número de casas decimais dos dois números sendo multiplicados. Assim você saberá posicionar a vírgula.
Vejamos o nosso exemplo:
13,47 x 2,9 12123 + 26940 39,063
Repare que a primeira linha abaixo do 2,9 refere-se à multiplicação de 13,47 por 9. Já a segunda linha refere-se à multiplicação de 13,47 por 2. Nesta linha há um 0 à direita porque o 2 está uma casa decimal à frente do 9. Efetuando a soma das duas linhas, obtém-se 39063. E, lembrando que existem 3 casas decimais nos números sendo multiplicados (duas em 13,47 e uma em 2,9), devemos ter 3 casas decimais no resultado, o que leva ao número 39,063.
d) Divisão de números decimais:
Para efetuar a divisão de números decimais, devemos inicialmente multiplicar ambos os números (divisor e dividendo) por uma potência de 10 (10, 100, 1000, 10000 etc.) de modo a retirar todas as casas decimais presentes. Após isso, é só efetuar a operação normalmente.
Para exemplificar, vamos dividir 3,5 por 0,25. Observe que o número que possui mais casas decimais é o divisor (0,25), possuindo 2 casas decimais. Assim, devemos multiplicar ambos os números por 100, de modo a retirar ambas as casas decimais:
3,5 x 100 = 350 0,25 x 100 = 25
Agora, basta efetuar a divisão de 350 por 25, que você sabe fazer, tendo como resultado o número 14. Faça a próxima questão comigo:
CESPE – CORREIOS – 2011) Suponha que uma pessoa compre 5 unidades de um mesmo produto, pague com uma nota de R$ 50,00 e receba R$ 15,50 de troco. Nessa situação, cada unidade do referido produto custa a) mais de R$ 7,50. b) menos de R$ 3,00. c) mais de R$ 3,00 e menos de R$ 4,50. d) mais de R$ 4,50 e menos de R$ 6,00. e) mais de R$ 6,00 e menos de R$ 7,50. RESOLUÇÃO:
Pagando 50 e recebendo 15,50 de troco, o valor efetivamente pago foi: Pagamento = 50 – 15,50 = 34,50 reais
Como foram adquiridas 5 unidades, então devemos dividir esse valor pago por 5. Para montar a divisão, vamos multiplicar 34,5 e 5 por 10. Fica:
Portanto, cada unidade custa 6,90 reais. Resposta: E
Trabalhe ainda os cálculos a seguir:
EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO – NÚMEROS DECIMAIS) Para fixar o que foi visto aqui, efetue as seguintes operações, cujo gabarito é fornecido em seguida.
a) 2,25 + 1,7 b) 2,25 – 1,7 c) 2,25 x 1,7 d) 2,25 / 1,5 e) 0,898 + 1,12 f) 0,898 – 1,12 g) 0,898 x 1,12 h) 0,898 / 0,01 Respostas: a) 3,95 b) 0,55 c) 3,825 d) 1,5 e) 2,018 f) -0,222 g) 1,00576 h) 89,8
Frações e operações com frações
Ao trabalhar com números racionais, recorrentemente estaremos lidando com frações, que nada mais são que operações de divisão. Escrever 25 é equivalente a escrever 2 ÷ 5. As frações estão constantemente
presentes na resolução de exercícios, motivo pelo qual é essencial lembrar como efetuamos cada operação com elas: soma, subtração, multiplicação e divisão.
a) Para somar ou subtrair frações, é preciso antes escrevê-las com o mesmo denominador, isto é, com um denominador comum. Este denominador é, simplesmente, um múltiplo comum entre os denominadores das frações originais. Falaremos sobre múltiplos adiante, de modo que aqui veremos apenas o básico. Vamos entender isto com o exemplo abaixo:
1
3
6
+
8
Veja o número 24 é um múltiplo de 6 (pois 6x4 = 24) e de 8 (pois 8x3 = 24). Para trocar o denominador da fração
1
6
para 24, é preciso multiplicar o denominador 6 por 4. Assim,também devemos multiplicar o numerador 1 por 4, para manter a fração. Portanto,
1
4
6
=
24
.Já para trocar o denominador da fração
3
8
para 24, é preciso multiplicar o denominador 8 por 3. Assim,também devemos multiplicar o numerador 3 por 3, para manter a fração. Portanto,
3
9
8
=
24
.Lembre-se disso: o mesmo número utilizado para multiplicar o denominador deve ser usado para multiplicar o numerador!
Agora sim podemos efetuar a soma, mantendo o denominador e somando apenas os numeradores:
1
3
4
9
4 9
13
6
8
24
24
24
24
+
+ =
+
=
=
Antes de avançarmos, pratique a soma de frações com essa questão: FGV – BANESTES – 2018) Na igualdade 35 + 203 + 253 = 100x o valor de x é: A) 59 B) 65 C) 77 D) 83 E) 87 RESOLUÇÃO:
Para somar as frações devemos colocá-las sobre um mesmo denominador. Veja que 100 é múltiplo comum de 5, 20 e 25. Logo: 20 x 3 100 + 5 x 3 100 + 4 x 3 100 = x 100 60 100 + 15 100 + 12 100 = x 100
87 100 = x 100 X = 87 Resposta: E
b) Para multiplicar frações, basta multiplicar o numerador de uma pelo numerador da outra, e o denominador de uma pelo denominador da outra. Veja nosso exemplo:
1 3
1 3
3
6 8
6 8
48
=
=
Pratique a multiplicação de frações: Resolva mais estes dois exercícios:
FCC – TRF/3ª – 2016) Seja A o quociente da divisão de 8 por 3. Seja B o quociente da divisão de 15 por 7. Seja C o quociente da divisão de 14 por 22.
O produto A . B . C é igual a (A) 3,072072072 . . . (B) 3,636363 . . . (C) 3,121212 . . . (D) 3,252525 . . . (E) 3,111 . . . RESOLUÇÃO:
Vamos multiplicar as divisões 8/3, 15/7 e 14/22, que correspondem ao produto A x B x C: 8 15 14 3 7 22 8 15 2 3 1 22 8 5 1 1 1 11 40 11 3, 63... = = = = Logo, A x B x C = 3,6363.. que corresponde à letra B. Resposta: B
c) Para dividir frações, basta multiplicar a primeira pelo INVERSO da segunda. Veja isso em nosso exemplo:
1
1
3
1 8
8
6
3
6
8
6
3
18
8
= = =
Exercite mais um pouco as operações com frações:
FCC – MANAUSPREV – 2015) Considere as expressões numéricas, abaixo. 1 1 1 1 1
2 4 8 16 32
A = + + + + e 1 1 1 1 1 3 9 27 81 243 B = + + + + O valor, aproximado, da soma entre A e B é
(A) 1. (B) 2,5. (C) 1,5. (D) 2. (E) 3. RESOLUÇÃO:
Para resolver essa questão você deve lembrar que só podemos somar frações que estejam escritas com o mesmo denominador. Assim, podemos fazer as seguintes somas:
1 1 1 1 1 2 4 8 16 32 A = + + + + 16 8 4 2 1 31 32 32 32 32 32 32 A = + + + + = 1 1 1 1 1 3 9 27 81 243 B = + + + + 81 27 9 3 1 121 243 243 243 243 243 243 B = + + + + = Portanto, 31 121 32 243 A B+ = +
Observe que 31/32 é aproximadamente igual a 1 (pois o numerador é praticamente o mesmo valor do denominador). E observe que 121 é aproximadamente a metade de 243, de modo que 121/243 é aproximadamente igual a ½, ou seja, 0,5. Portanto, esta soma é aproximadamente igual a 1 + 0,5 = 1,5. Com este cálculo aproximado, podemos marcar rapidamente a alternativa C.
Observe que, propositalmente, o examinador solicitou o valor aproximado da soma, afinal o cálculo exato da soma das duas frações seria bastante trabalhoso, a começar pelo fato que precisaríamos encontrar um denominador comum que fosse múltiplo de 32 e de 243.
Resposta: C
É interessante aproveitar que estamos conversando sobre frações para falar sobre simplificação. Observe a fração 188 logo acima. Perceba que tanto o numerador como o denominador podem ser divididos por um MESMO número: 2. Se dividirmos tanto o 8 como o 18 por 2, ficamos com a fração 49. Essa fração é
equivalente à anterior, porém tem números menores, o que geralmente facilita os cálculos. Portanto, guarde isso:
Podemos simplificar frações dividindo o numerador e o denominador pelo MESMO número
Será que podemos simplificar ainda mais a fração 49 ? Perceba que não é possível fazer essa simplificação, pois não existe um número natural capaz de dividir tanto o 4 como o 9. Dizemos que isso acontece porque os números 4 e 9 são primos entre si (isto é, não possuem nenhum divisor em comum). Por este motivo, dizemos que a fração 4
9 é uma fração irredutível, isto é, não pode ser mais simplificada / reduzida.
Resolva as próximas questões utilizando a simplificação de frações:
FGV – IBGE – 2016)
A distância da Terra ao Sol é de 150 milhões de quilômetros e esse valor é chamado de “1 unidade astronômica” (1UA). A estrela Sírius, a mais brilhante do céu, está a 81 trilhões de quilômetros do Sol. A distância de Sírius ao Sol em UA é:(A) 5.400; (B) 54.000; (C) 540.000; (D) 5.400.000; (E) 54.000.000.
RESOLUÇÃO:
Escrevendo 81 trilhões, temos 81.000.000.000.000 de quilômetros. Veja que 150 milhões de quilômetros são 150.000.000. Assim, o número de UA que representa a distância do Sol à estrela Sirius é:
N = 81.000.000.000.000 / 150.000.000
Podemos simplificar a fração dividindo o numerador e o denominador por 1.000.000 (um milhão). Basta “cortar” seis zeros de cada número, ficando:
N = 81.000.000 / 150 Podemos dividir numerador e denominador por 10, obtendo:
N = 8.100.000 / 15 Podemos dividir numerador e denominador por 3, obtendo:
N = 2.700.000 / 5
Está vendo que o denominador é 5? Neste caso, eu recomendo que você MULTIPLIQUE o numerador e o denominador por 2, pois assim o cálculo fica mais fácil. Veja:
N = 5.400.000 / 10 N = 540.000 quilômetros Resposta: C
VUNESP - PM/SP - 2015) A representação fracionária do resultado da operação 0,21875 − 0,15625 é a) 1/16
b) 3/16 c) 9/32 d) 7/32
e) 5/32
RESOLUÇÃO:
Fazendo a subtração, temos:
0,21875 - 0,15625 0,06250
Como as respostas são frações, devemos escrever este número na forma de fração. Veja que:
Precisamos agora simplificar essa fração. Podemos começar dividindo numerador e denominador por 5, sucessivas vezes. Ficamos com:
Temos nosso gabarito na alternativa A. Resposta: A
A dica abaixo é muito útil para a interpretação do enunciado das questões, isto é, para sermos capazes de passar a informação escrita no enunciado em língua portuguesa para a “linguagem matemática”:
DICA SOBRE FRAÇÕES
Trabalhando com frações, podemos substituir a expressão “de” pela multiplicação. Veja como:
- quanto é um terço de 1000? Ora, simplesmente
1
1000
3
!- e quanto é dois sétimos de 25? A resposta é
2
25
7
.- quanto vale um quarto da soma do número de homens (700) e de mulheres (600) presentes em um evento? Simplesmente
1
(700 600)
4
+
.- quanto vale 5/9 da diferença entre os números X e Y? Aqui, a resposta é dada pela expressão
5
(
)
9
X
−
Y
.Certifique-se de que você entendeu isso. Usaremos bastante ao longo dos exercícios! Veja este, por exemplo:
VUNESP – Câmara de São José do Rio Preto – 2015) Uma brincadeira antiga com números começava com a pergunta:
“Quanto é a metade de dois mais dois?”
E o interpelado quase sempre respondia com “2”, quando a resposta correta é “3”. Essa brincadeira usa a ordem de precedência dos operadores, que exige que a divisão venha antes da soma, quando não há parênteses envolvidos.
Usando a ordem de precedência dos operadores, e considerando que não há parênteses envolvidos, para a pergunta:
“Quanto é a décima segunda parte de mil duzentos e doze subtraída de doze vezes nove mais doze”? A resposta correta é (A) –151. (B) –85. (C) 5. (D) 120. (E) 762 RESOLUÇÃO:
Vamos por partes:
“décima segunda parte de mil duzentos e doze” = (121) x 1212 “doze vezes nove” = 12x9 + 12
Juntando:
“a décima segunda parte de mil duzentos e doze subtraída de doze vezes nove” = (1
12)x1212 – 12x9 Com mais o final:
“a décima segunda parte de mil duzentos e doze subtraída de doze vezes nove mais doze” = (121)x1212 – 12x9 + 12
= 101 – 108 + 12 = 113 – 108
= 5 Resposta: C
Agora veja como operações com frações podem aparecer em um problema de raciocínio matemático: FCC – DPE/RS – 2017) Carlos comeu a terça parte de uma pizza. Angelina chegou depois e comeu a metade do que Carlos havia deixado da pizza. Por último, Beatriz chegou e comeu o correspondente à metade do que Angelina havia comido. A fração que sobrou dessa pizza foi
(A) 1/6 (B) 3/8 (C) 2/9 (D) 1/5 (E) 1/12 RESOLUÇÃO:
Seja P o total da pizza. Como Carlos comeu 1/3 de P, a sobra foi: Sobra após Carlos = 𝑃 −𝑃3=3𝑃
3 −
𝑃
3=
2𝑃 3
Angelina comeu metade disto, sobrando a outra metade, isto é:
Sobra após Angelina = 12 𝑥 (2𝑃3) =2𝑃6 =𝑃3
Beatriz comeu metade do que Angelina havia comido. Isto é, Beatriz comeu = 12𝑥 [1 2𝑥 ( 2𝑃 3)] = 1 2𝑥 𝑃 3 = 𝑃 6
Após Angelina comer, havia sobrado P/3 da pizza. Como Beatriz comeu P/6, sobrou ainda: Sobra após Beatriz = 𝑃3−𝑃
6= 2𝑃 6 − 𝑃 6= 𝑃 6
Portanto, da pizza de tamanho P sobrou apenas a fração P/6, ou seja, sobrou 1/6 da pizza. Resposta: A
EXPRESSÕES NUMÉRICAS
Uma expressão numérica é uma sequência de números dispostos de acordo com sinais matemáticos, que indicam as operações a serem efetuadas. Veja um exemplo:
( 25+ −2) (9 3)− =7
4A resolução desse tipo de expressão é muito simples, desde que você se lembre das seguintes regras: 1. Primeiro resolver o que está dentro dos parênteses, depois o que está entre colchetes, e a seguir o que está entre chaves. 2. Primeiro resolver operações de radiciação ou potenciação, a seguir multiplicação ou divisão, e a seguir resolver operações de soma ou subtração.
Utilizando o nosso exemplo, veja que devemos inicialmente resolver as duas operações que encontram-se entre parênteencontram-ses. Dentro desencontram-ses parênteencontram-ses, veja que há uma operação de radiciação (
25
), que é a primeira a ser resolvida:
(5 2) (9 3)+ − −7
=4A seguir, resolvemos as demais operações dentro dos parênteses, obtendo:
7 6 −7
=4 Agora devemos resolver a multiplicação dentro dos colchetes:
42 7
− =
4
35 4
=
Por fim, resolvemos a divisão que se encontrava fora das chaves, obtendo: 35 4 =8, 75
Vale a pena lembrar aqui que uma fração é uma operação de divisão como outra qualquer, e se houver uma fração em sua expressão numérica, basta resolvê-la no momento que você resolveria aquela operação de divisão.
Importante: se tivermos operações equivalentes (somas/subtrações, ou multiplicações/divisões) em sequência, devemos resolvê-las na ordem que aparecem. Por exemplo, qual é o resultado correto da expressão:
20 ÷ 20 ÷ 5
O certo é resolver na ordem, ou seja, primeiramente dividir 20 por 20, obtendo 1, e então dividir o 1 por 5, obtendo 1/5 ou simplesmente 0,2. Isto é:
20 ÷ 20 ÷ 5 = 1 ÷ 5 = 0,2
ATENÇÃO, pois se você primeiramente quiser dividir segundo número 20 por 5, vai obter o resultado 4. Dividindo o primeiro 20 por 4, você obteria 5, ERRANDO o cálculo:
20 ÷ 20 ÷ 5 = 20 ÷ 4 = 5
Veja comigo as questões a seguir:
FGV – BANESTES – 2018) O resultado da operação 5 + 3 x 7 – 4 é: (A) 14. (B) 22. (C) 24. (D) 28. (E) 52. RESOLUÇÃO:
Devemos começar primeiro pela operação de multiplicação. Logo: 5 + 3 x 7 – 4 =
5 + 21 – 4
Agora, podemos fazer as operações na ordem que elas aparecem. Somando o 5 com o 21, e depois subtraindo 4, temos:
26 – 4 = 22 Resposta: B
FCC – TRT/11 – 2017) O valor que corresponde ao resultado correto da expressão numérica (132 – 112) / (122 / 3) / (102 – 92 – 42)
a) 2/5 b) 1/4 c) 3/4 d) 1/5 e) 1/3 RESOLUÇÃO:
Devemos começar resolvendo as potências dentro de cada parênteses: (132 – 112) / (122 / 3) / (102 – 92 – 42) =
(169 – 121) / (144 / 3) / (100 – 81 – 16) = Agora resolvemos as demais operações dentro dos parênteses
48 / 48 / 3 = 1 / 3 Resposta: E
FCC – CNMP – 2015) O resultado da expressão numérica
(
)
(
)
(
)
1
2
1
3
11 10
3
9
4
5
.
6 13 .
.
4 2 .
.
1 11 .
.
3
3
5
5
4
4
7
7
9
9
−
− +
−
− −
−
− +
−
− −
é igual a (A) - 4. (B) 8. (C) - 6. (D) 9. (E) - 12. RESOLUÇÃO:1
2
1
3
11 10
3
9
4
5
.( 6 13).
.( 4 2).
.( 1 11).
.
3
3
5
5
4
4
7
7
9
9
−
− +
−
− −
−
− +
−
− −
=
1
2
1
6
9
.7.
.( 6).
.10.
.
3
5
4
7
9
−
−
−
−
−
=
( )
1
2
1
6
.7.
.( 6).
.10.
.
1
3
5
4
7
−
−
−
−
− =
( )
1
2
1
6
.7.
.(6).
.10.
.
1
3
5
4
7
− =
( )
1
2
1
6
.1.
.(2).
.10.
.
1
1
5
4
1
− =
( )
1
1
1
6
.1.
.(1).
.10.
.
1
1
5
1
1
− =
( )
60
1
5
− =
( ) ( )
12 . − =112 − Resposta: E
VUNESP – PREF. GARÇA – 2018) Considere a resolução da expressão numérica
por uma aluna:
Analisando-se a resolução, é correto afirmar que
(A) há erro na passagem da linha 1 para a linha 2, apenas. (B) há erro na passagem da linha 2 para a linha 3, apenas. (C) há erro na passagem da linha 3 para a linha 4, apenas.
(D) há erro nas passagens da linha 1 para a 2 e da linha 2 para a 3, apenas. (E) não há erro em passagem alguma.
RESOLUÇÃO:
Observe que o cálculo foi feito corretamente. A aluna optou por aplicar a propriedade distributiva da multiplicação, multiplicando por ½ cada um dos termos da equação. Repare que, ao multiplicar o termo −82 por 1
2, obteve-se o valor de − 8
4, o que está correto. Feito isto, foi realizada primeiramente a operação de divisão, para só então serem realizadas as demais operações.
Resposta: E
DIVISIBILIDADE
Dizemos que um número é divisível por outro quando esta divisão é exata, não deixando resto nem casas decimais. Para saber se um número é divisível por outro, basta efetuar a divisão e verificar se existe resto. Ex.:
25 5 5
=
e o resto é ZERO, portanto 25 é divisível por 5.O problema surge quando queremos julgar, por exemplo, se o número 1765830275 é divisível por 5. Efetuar esta divisão à mão consome muito tempo. Para identificarmos rapidamente essa divisibilidade, existem os critérios de divisibilidade. Vamos passar por cada um deles rapidamente?
Divisibilidade por 1
Divisibilidade por 2
Os números PARES são divisíveis por 2. Vale lembrar que pares são os números que terminam em 0, 2, 4, 6 ou 8. Portanto, o número 365978 certamente é divisível por 2, afinal ele termina em 8, sendo um número par.
Divisibilidade por 3
Os números divisíveis por 3 são aqueles cuja SOMA DOS ALGARISMOS é divisível por 3.
Por exemplo, 257 é divisível por 3? Podemos somar os seus algarismos, obtendo 2+5+7 = 14. Como 14 NÃO é divisível por 3, podemos garantir que 257 também NÃO é divisível por 3.
E 801, será que é divisível por 3? Somando os algarismos, temos 8+0+1 = 9. Como 9 É divisível por 3, podemos garantir que 801 também É divisível!
Divisibilidade por 4
Para checar se um número é divisível por 4, basta olhar para o número formado pelos DOIS ÚLTIMOS dígitos.
Por exemplo, será que o ano de 2018 é divisível por 4? NÃO, pois o número formado pelos dois últimos dígitos é o 18, e sabemos que 18 não é divisível por 4.
E será que 1980 é divisível por 4? SIM, pois os últimos dígitos são 80, e este número é divisível por 4.
Divisibilidade por 5
Este é bem simples: qualquer número terminado em 0 ou em 5 é divisível! Assim, certamente 930 e 935 são divisíveis por 5, mas 934 não.
Divisibilidade por 6
Para saber se um número é divisível por 6, basta testar se ele é divisível por 2 e TAMBÉM é divisível por 3. Ou seja, os números pares divisíveis por 3 são também divisíveis por 6. Nenhum número ímpar é divisível por 6.
Será que 801 é divisível por 6? Certamente NÃO, pois embora seja divisível por 3 (vimos acima), ele não é par, de modo que não é divisível por 2.
Será que 642 é divisível por 6? Veja que este número é par, sendo divisível por 2. E é divisível por 3, afinal 6+4+2=12, que é um número divisível por 3. Logo, 642 é divisível por 6.
Divisibilidades por 7 e 8
Quanto ao 7 e 8, eu recomendo que você faça o “arroz com feijão”. Isto é, caso você queira testar se 97 é divisível por 7, o melhor a fazer é realizar rapidamente a divisão, identificando se há resto ou não. O mesmo vale para o 8 (mas neste caso é bom notar que nenhum número ÍMPAR é divisível por 8, portanto podemos descartar o 97).
Existem critérios de divisibilidade para 7 e 8, mas eles são muito trabalhosos, de modo que considero mais interessante você fazer a divisão.
Aqui temos uma situação parecida com a divisibilidade por 3. Basta SOMAR OS ALGARISMOS e checar se a soma é divisível por 9. Por exemplo, 729 é divisível por 9, afinal 7+2+9 = 18, que é um número divisível por 9.
Já 805 não é divisível por 9, pois 8+0+5 = 13.
Divisibilidade por 10
Essa é fácil! Qualquer número terminado em ZERO é divisível por 10. Assim, 790 certamente é divisível por 10, mas 791 não é.
Tabelão – critérios de divisibilidade
Veja na tabela abaixo a compilação dos critérios de divisibilidade que trabalhamos acima.
Divisor* Critério Exemplos
1 Todos os números 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8...
2 Números pares (terminados em um algarismo par) 0, 2,4, 28, 490, 522 etc.
3 Números cuja soma dos algarismos é divisível por 3 0, 3, 6, 9, 12 (1+2=3), 15 (1+5 = 6), etc.
4 Se o número formado pelos 2 últimos dígitos for
divisível por 4 0, 4, 8, 12, 16, 912, 1816 etc.
5 Números terminados em 0 ou 5 0, 5, 10, 65, 120, 1345 etc.
6 Números divisíveis por 2 e por 3 0, 6, 12, 924 (é par, e 9+2+4=15) etc.
9 Números cuja soma dos algarismos é divisível por 9 126 (1+2+6 = 9), 7155 (7+1+5+5=18) etc.
10 Números terminados em 0 0, 10, 20, 150, 270, 1580 etc.
*7 e 8 foram omitidos intencionalmente, pois possuem critérios muito difíceis, e praticamente não são cobrados.
NÚMEROS PRIMOS E FATORAÇÃO
Dizemos que um número é primo quando ele só pode ser dividido, sem deixar resto, por 1 e por si mesmo. Veja, por exemplo, o número 7. Como qualquer número, ele pode ser dividido por 1, tendo como resultado 7 e não deixando resto algum. Entretanto, experimente dividi-lo por 2, 3, 4, 5 ou 6, e verá que sempre há um resto diferente de zero. Apenas ao dividi-lo por 7 é que não encontraremos resto novamente. Portanto, 7 é um número primo, pois só é divisível por 1 e por ele mesmo. Diversos outros números possuem essa propriedade, como os listados abaixo:
{2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31...}
A título de curiosidade, repare que o 2 é o único número primo par. Todos os demais são ímpares. O 1 não é considerado número primo, ok? O menor número primo é o 2 mesmo.
Qualquer número natural pode ser representado como uma multiplicação de números primos. Por exemplo, 6 pode ser representado por 2 x 3. Este processo de transformar um número qualquer em um produto de números primos é chamado de fatoração.
Vamos fatorar o número 24. Devemos começar tentando dividi-lo por 2, que é o menor número primo. Esta divisão é exata (não possui resto), e o resultado é 12. Podemos dividir novamente por 2, tendo resultado 6, e dividir o 6 outra vez por 2, tendo resultado 3. Agora não é mais possível dividir por 2. Assim, devemos partir para o próximo número primo, que é o 3. Dividindo 3 por 3 temos resultado 1. Repare que para chegar no resultado 1 foi preciso dividir 24 por 2 em 3 etapas, e a seguir dividir por 3 em uma etapa. Portanto, 24 = 2 x 2 x 2 x 3, ou simplesmente 24 = 23 x 3. Visualize este processo abaixo:
Número
Fator primo
24 2
12 2
6 2
3 3
1 Logo, 24 = 23 x 3
Para praticar, vejamos a fatoração do número 450:
Número
Fator primo
450 2 225 3 75 3 25 5 5 5 1 Logo, 450 = 2 x 32 x 52
Vejamos ainda a fatoração do número 1001. Observe que ele não é divisível (ou seja, deixa resto) por 2, 3 ou 5. Apenas ao chegar o fator primo 7 é que conseguimos dividi-lo. Acompanhe abaixo:
Número
Fator primo
1001 7
143 11
13 13
1 Logo, 1001 = 7 x 11 x 13
A fatoração será muito útil na obtenção do Mínimo Múltiplo Comum e Máximo Divisor Comum entre dois números, como veremos a seguir.
MÚLTIPLOS E DIVISORES
Para a resolução de diversas questões que podem cair em sua prova, vale a pena você desenvolver a rapidez na obtenção de múltiplos e divisores de um dado número, calcular o mínimo múltiplo comum e máximo divisor comum entre dois números, e conhecer regras práticas para saber se um número é ou não divisível por outro (critérios de divisibilidade).
Mínimo múltiplo comum (MMC)
Os múltiplos de um número X são aqueles números que podem ser obtidos multiplicando X por outro número natural. Por exemplo, os múltiplos de 3 são: 3, 6, 9, 12, 15 etc. Repare que esses números podem ser obtidos multiplicando 3 por 1, 2, 3, 4 e 5, respectivamente. Quando temos 2 números X e Y, e listamos os múltiplos de cada um deles, podemos ter múltiplos em comum entre os dois. Exemplificando, vamos listar alguns múltiplos de 8 e de 12:
Múltiplos de 8: 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56, 64, 72 etc. Múltiplos de 12: 12, 24, 36, 48, 60, 72 etc.
Observe que os seguintes números são múltiplos de 8 e também de 12: 24, 48, 72. Isto é, são múltiplos em comum desses 2 números. O menor deles, neste caso o 24, é chamado de mínimo múltiplo comum (MMC) entre 8 e 12. O cálculo do MMC se mostra útil na resolução de diversos exercícios, como veremos adiante.
Cálculo do MMC por fatoração simultânea
Podemos obter rapidamente o MMC entre 2 ou mais números fazendo a fatoração simultânea dos dois números. O primeiro passo é montar uma tabela como esta abaixo, onde temos uma coluna para cada número (8 e 12) e uma coluna para os Fatores Primos:
Fatores Primos
8
12
2
Veja que eu já coloquei na tabela o fator primo 2, que é o menor de todos. Podemos dividir 8 e 12 por 2, obtendo 4 e 6. Podemos novamente dividir ambos os números por 2, obtendo 2 e 3. Veja isso na tabela:
Fatores Primos
8
12
2 4 6
2 2 3
Agora temos uma situação interessante: o 2 pode ser dividido por 2, mas o 3 não pode. Como proceder? Como o cálculo é de MMC, devemos dividir aquele número que é possível (2) e simplesmente copiar o outro. Atenção, pois essa é uma diferença importante em relação ao cálculo de MDC! Veja como ficamos:
Fatores Primos
8
12
2 4 6
2 2 3
2 1 3
A coluna do 8 já chegou no nosso “objetivo”, que é o valor 1. A coluna do 12 ainda precisa de mais uma divisão. Agora não dá mais para dividir ninguém por 2, motivo pelo qual tentamos o próximo fator primo, que é o 3. Ficamos com:
Fatores Primos
8
12
2 4 6
2 1 3
3 1 1
Logo, MMC = 23x3
Veja que chegamos ao objetivo, que é o valor 1 em cada coluna. Com isso, basta multiplicar os fatores primos para obter o MMC, como fiz acima, obtendo MMC = 23x3 = 8x3 = 24.
Compreendeu? Em síntese, os passos são os seguintes:
PASSOS PARA CALCULAR O MMC (FATORAÇÃO SIMULTÂNEA): 1 – Montar tabela com uma coluna para os fatores primos e colunas para cada um dos números;
2 – Começar a divisão dos números pelo menor fator primo (2) e só ir aumentando quando NENHUM dos números puder ser dividido;
LEMBRANDO QUE:
a) Se algum dos números não puder ser dividido, basta copiá-lo para a próxima linha;
b) O objetivo é fazer com que todos os números cheguem ao valor 1;
c) O MMC será a multiplicação dos fatores primos utilizados.
Esse método permite calcular o MMC de quantos números você quiser. Por exemplo, que tal calcularmos o MMC entre 30, 40 e 50? Veja a tabela:
Fatores Primos
30
40
50
2 15 20 25
Note que eu já preenchi a primeira linha, dividindo todos os números por 2. Vou continuar dividindo por 2, pois é possível dividir o 20. O 15 e 0 25 precisam ser copiados, pois não é possível fazer a divisão:
