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Análise Envoltória de Dados. João Carlos Soares de Mello - UFF Lidia Angulo Meza - UFF Eliane Gonçalves Gomes - Embrapa Luiz Biondi Neto - UERJ

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(1)

Análise Envoltória de Dados

Análise Envoltória de Dados

João Carlos Soares de Mello

-

UFF

Lidia Angulo Meza

-

UFF

Eliane Gonçalves Gomes

-

Embrapa

Luiz Biondi Neto

-

UERJ

XXXVII Simpósio Brasileiro de Pesquisa Operacional

XXXVII Simpósio Brasileiro de Pesquisa Operacional

Gramado

(2)

Medidas de desempenho

„ Avaliação de desempenho de unidades

produtivas que transformam recursos em produtos

„ Medidas de desempenho

z Eficácia → capacidade de a unidade produtiva

atingir a produção que tinha como meta

z Produtividade → quociente entre o que foi

produzido (output) e o que foi gasto para produzir (input)

entrada saída ade

(3)

Medidas de desempenho

„ Produtividade

z Quando há múltiplas variáveis, há necessidade

de agregá-las em índices únicos

z ai e bj são coeficientes de escala z Como calculá-los? r r s s x b x b x b y a y a y a P + + + + + + = ... ... 2 2 1 1 2 2 1 1

(4)

Medidas de desempenho

„ Eficiência

z

z Conceito relativoConceito relativo

z Comparação entre o que foi realizado

(produzido/gasto) e o que poderia ter sido realizado por uma unidade de referência

„ Métodos paramétricos e não paramétricos „ Métodos de “mediocridade” e de excelência

(5)

Medidas de desempenho

„ Regressão: método paramétrico de

“mediocridade”

„

Outliers

são descartados

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 2 4 6 8 10 Input

(6)

Medida de excelência

„ OS → fronteira de

produção; máxima produção para cada nível de recurso „ Unidades na fronteira são tecnicamente eficientes „ B e C eficientes; A ineficiente „ Conjunto viável de produção Recurso A C Produto B O S

(7)

Tipos de fronteiras

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 2 4 6 8 10 Input Output

(8)

Produtividade X Eficiência

X Produtividade = Y/X „ A → ineficiente „ C → tecnicamente eficiente e de maior produtividade → Produtividade = dY/dX „ B → eficiente, mas

não é mais produtiva

„ D → mais produtiva

que B, mas não é eficiente A C Y B O S D

(9)

Orientação a recursos

„ Em quanto os

recursos podem ser reduzidos sem alterar a produção „ Eficiência técnica = AB/AP X Y A B P D C f(x) f x)

P

(

X

P,

Y

P)

B

(

X

B,

Y

B) →

X

B = h

X

P

A

(0,

Y

P) h =

X

B/

X

P =

AB

/

AP

(10)

Orientação a produtos

„ Em quanto os

produtos podem ser aumentados sem

alterar os recursos

„ Eficiência técnica =

CP/CD

„ Equivalente à anterior

somente sob certas condições Y A B P D C f(x) f(x) X

(11)

Outras orientações

y

A B P D C

f

(

x

) A B P D C

x

)

xx

Não sabemos calcular a eficiência A eficiência é um vetor?

(12)

1

input

, 1

output

y „ Y ef = a Xef ⇒ a = Yef /Xef „ a → produtividade da unidade eficiente = tg α „ Eficiência → produtividade de uma unidade comparada a de com uma unidade

eficiente „ Modelo CCR do envelope orientado a input x O ’ (hXO,YO) (Xef,Yef) O (XO,YO) O ” (0,YO) α ef O O O O O O ef P P a X Y X a Y X X O O O O Ef = = = / = 1 = " " '

(13)

Multidimensional

„ PPL

„ Função objetivo segue o conceito de Farrell „ Restrições garantem que é uma eficiência „ Será a mesma eficiência anterior?

s j r i ,v u n k , X ν ... X ν X ν Y u ... Y u Y u X ν ... X ν X ν Y u ... Y u Y u i j ik io j o j o jk jo j o j o io io o o o o jo jo o o o o ... 1 , ... 1 , 0 ... 1 1 a sujeito Max 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 = = ≥ = ≤ + + + + + + + + + + + +

(14)

Interpretação do modelo

„ Charnes, Cooper e Rhodes, 1978

„ Eficiência relativa é o quociente entre soma

ponderada dos

outputs

e soma ponderada dos

inputs

„ Pesos são dados por um PPL de forma mais

benevolente para cada DMU

„ Modelo com proporcionalidade → alteração

em uma variável produz alteração proporcional em outra variável

= i i ik j j jk DMU v x y u

Eficiência k ← output virtual

(15)

Caso particular: 1

input

, 1

output

„ PPL „ Para

calcular

„ Neste caso particular as duas eficiências

coincidem

„ Demonstração geral usa dualidade

1

a

sujeito

Max

k k O O

vX

uY

vX

uY

ef O ef ef ef ef ef P P Ef P X Y ν u vX uY = = = = 1 / 1 1

v

u

(16)

Exemplo: 1 input, 1 output

0 1 1 6 1 2 4 1 3 4 a sujeito 2 4 Max ≥ ≤ ≤ ≤ u,v v u v u v u v u D M U In pu t O u tpu t A 3 4 B 2 4 C 1 6 Analisando a DMU B

Só a última restrição é ativa (folga nula)

Valor ótimo →

u

/

v

=1/6

(17)

Modelo DEA CCR

j,i v u n k x v y u x v y u Eff i j r i i ik s j j jk r i i i s j j j ∀ ≥ = ≤ ⎟⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ =

= = = = 0, , ,..., 1 , 1 a sujeito Max 1 1 1 0 1 0 0 „ Problema de programação fracionária

„ Calcula os pesos para

os inputs e outputs (vi e

uj)

„ Unidade 0 → unidade

em análise

„ Problema tem múltiplas

soluções ótimas → linearização

(18)

Modelo DEA CCR

„ Problema de

Programação Linear

„

„ Modelo dos Modelo dos

multiplicadores

multiplicadores

(determina conjunto de pesos e eficiência)

„ DMU é CCR eficiente se

Eff*= 1 e existe uma solução ótima com v* e

u* > 0 j,i v u k x v y u x v y u Eff i j r i i ik s j j jk r i i i s j j j ∀ ≥ ∀ ≤ − = =

= = = = 0, , , 0 1 a sujeito Max 1 1 1 0 1 0 0

(19)

Exemplo

DMU Input 1 Input 2 Output

A 4 3 2 B 1 6 5 C 2 3 4 D 1 2 1 E 10 5 8 F 12 5 8

(20)

Exemplo

0 , , 0 5 12 8 0 5 10 8 0 2 1 1 0 3 2 4 0 6 1 5 0 3 4 2 3 4 a sujeito 2 Max 2 1 1 2 1 1 2 1 1 2 1 1 2 1 1 2 1 1 2 1 1 2 1 1 ≥ ≤ − − ≤ − − ≤ − − ≤ − − ≤ − − ≤ − − = + = v v u v v u v v u v v u v v u v v u v v u v v u EffA 1 0 , , 0 5 12 8 0 5 10 8 0 2 1 1 0 3 2 4 0 6 1 5 0 3 4 2 6 1 a sujeito 5 Max 2 1 1 2 1 1 2 1 1 2 1 1 2 1 1 2 1 1 2 1 1 2 1 1 ≥ ≤ − − ≤ − − ≤ − − ≤ − − ≤ − − ≤ − − = + = v v u v v u v v u v v u v v u v v u v v u v v u EffB 1

(21)

Exemplo

Pesos

DMU Input 1 Input 2 Output Eficiência (%)

A 0,045 0,273 0,227 45,45 B 0,200 0,133 0,200 100,00 C 0,050 0,300 0,250 100,00 D 0,429 0,286 0,429 42,85 E 0,025 0,150 0,125 100,00 F 0,000 0,200 0,125 100,00

(22)

Exemplo: invariância com escala

D M U I n p u t 1 I n p u t 2 O u t p u t A 4 0 3 2 B 1 0 6 5 C 2 0 3 4 D 1 0 2 1 E 1 0 0 5 8 F 1 2 0 5 8 P e s o s D M U I n p u t 1 I n p u t 2 O u t p u t E f ic iê n c ia ( % ) A 0 , 0 0 4 5 0 , 2 7 3 0 , 2 2 7 4 5 , 4 5 B 0 , 0 2 0 0 0 , 1 3 3 0 , 2 0 0 1 0 0 , 0 0 C 0 , 0 0 5 0 0 , 3 0 0 0 , 2 5 0 1 0 0 , 0 0 D 0 , 0 4 2 9 0 , 2 8 6 0 , 4 2 9 4 2 , 8 5 E 0 , 0 0 2 5 0 , 1 5 0 0 , 1 2 5 1 0 0 , 0 0 F 0 , 0 0 0 0 0 , 2 0 0 0 , 1 2 5 1 0 0 , 0 0

(23)

Representação gráfica

0 0,5 1 1,5 2 2,5 0 0,5 1 1,5 2 2,5 Input1/Outpút In p u t2 /Ou tp u t B C D E F A A e D ineficientes; B, C e E eficientes;

F parece eficiente, mas menos eficiente que E; só consegue eficiência com um peso zero

(24)

Análise de resultados

„ B, C e E Pareto eficientes

„ F fracamente eficiente ou não Pareto eficiente „ Qualquer DMU em região da fronteira paralela

aos eixos tem a mesma designação

„ B e E admitem outro esquema de pesos

z DMU E: 0 para o input 1 e 0,2 para o input 2

„ Propriedade é válida para todos os vértices da

fronteira, chamados de DMUs extremo eficientes

(25)

Identificação de DMUs fracamente eficientes

„ A DMU F foi identificada graficamente

„ Necessita-se de um método algébrico para

problemas de maior dimensão

„ Solução → impedir pesos zero

„ Colocar restrição de que

u

e

v

devem ser

maiores ou iguais a ε (número não arquimediano)

z Na prática, número muito pequeno que o

(26)

PPL não arquimediano para F

0,01 , , 0 5 12 8 0 5 10 8 0 2 1 1 0 3 2 4 0 6 1 5 0 3 4 2 5 12 a sujeito 8 Max 2 1 1 2 1 1 2 1 1 2 1 1 2 1 1 2 1 1 2 1 1 2 1 1 ≥ ≤ − − ≤ − − ≤ − − ≤ − − ≤ − − ≤ − − = + = v v u v v u v v u v v u v v u v v u v v u v v u EffF 1 DMU Eficiência (%) nova (%) Eficiência A 45,45 45,45 B 100,00 100,00 C 100,00 100,00 D 42,85 42,85 E 100,00 100,00 F 100,00 98,00

(27)

Exemplo 2

inputs

, 1

output

0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0 4,5 0,0 2,0 4,0 6,0 8,0 10,0 12,0 Input1/Output In put 2/ Out put E D C F B A

(28)

Modelo do Envelope

„ Baseado na redução do

input

, como visto

anteriormente

„ Caso haja mais de um

input

, aplica-se a

redução de Debreu, ou seja, redução equiproporcional

„ Admite-se que se é possível produzir de

forma eficiente também é possível produzir de forma ineficiente (aumento de

inputs

ou redução de

outputs

)

„ Admite-se que não há restrição quanto à

(29)

Modelo do Envelope

„ Se é possível produzir de forma eficiente um

vetor

Y

de

outputs

com um vetor

X

de

inputs

, então é possível produzir de forma eficiente um vetor

kY

de

outputs

com um vetor

kX

de

inputs

„ Se é possível produzir de forma eficiente um

vetor

Y

1 e

Y

2 de

outputs

com,

respectivamente, vetores

X

1 e

X

2 de

inputs

, é possível produzir de forma eficiente

Y

=

Y

1 +

Y

2

outputs

com

X

=

X

1 +

X

2

inputs

„

„ A combinação linear de um conjunto de DMUs A combinação linear de um conjunto de DMUs

viáveis é uma DMU viável

(30)

Modelo do Envelope

„ Qualquer DMU eficiente pode ser descrita

como combinação linear de um conjunto de DMUs eficientes que contenha uma base (

r

+

s

DMUs L.I.)

„ Não sabemos quais são as eficientes → todas

as DMUs devem, à partida, entrar na combinação linear

(31)

Modelo do Envelope

„ Construção de uma DMU viável a partir de

DMUs existentes por combinação linear

„ Pela ineficiência, DMUs maior

input

e menor

output

também são viáveis

n n k k N n n k k N

Y

λ

Y

λ

Y

λ

Y

λ

Y

X

λ

X

λ

X

λ

X

λ

X

+ + + + + = + + + + + = ... ... ... ... 2 2 1 1 2 2 1 1 n n k k N n n k k N Y λ Y λ Y λ Y λ Y X λ X λ X λ X λ X + + + + + ≤ + + + + + ≥ ... ... ... ... 2 2 1 1 2 2 1 1

(32)

Modelo do Envelope: redução de

inputs

„ Nova DMU deve manter o mesmo

output

e

reduzir os

inputs

equiproporcionalmente por um coeficiente

h

„ Deseja-se que a nova DMU tenha o menor

input

possível continuando viável, ou seja, que esteja na fronteira → deve-se minimizar

h

, mantendo-se as restrições de viabilidade

„ DMU obtida dessa forma é chamada de alvo

da DMU anterior e é eficiente

n n k k o n n k k o Y λ Y λ Y λ Y λ Y X λ X λ X λ X λ X h + + + + + ≤ + + + + + ≥ ... ... ... ... 2 2 1 1 2 2 1 1

(33)

Modelo do Envelope: redução de

inputs

0 ... ... ... ... a sujeito Min 2 2 1 1 2 2 1 1 ≥ + + + + + ≤ + + + + + ≥ k n n k k o n n k k o λ Y λ Y λ Y λ Y λ Y X λ X λ X λ X λ X h h

„ h é a eficiência - Será a mesma do modelo dos

multiplicadores?

„ Quanto menor h, mais distante a DMU está da

fronteira

„ 1/h é um indicativo da distância da DMU da

fronteira, chamada distância de Shephard (apesar de não ser uma métrica)

(34)

Exemplo

DMU Input 1 Input 2 Output

A 4 3 2 B 1 6 5 C 2 3 4 D 1 2 1 E 10 5 8 F 12 5 8

(35)

Exemplo

0 8 8 4 5 2 2 5 5 2 3 6 3 3 12 10 2 4 4 a sujeito Min ≥ + + + + + ≤ + + + + + ≥ + + + + + ≥ i F E D C B A F E D C B A A F E D C B A A A λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ h λ λ λ λ λ λ h h 0 8 8 4 5 2 8 5 5 2 3 6 3 5 12 10 2 4 12 a sujeito Min ≥ + + + + + ≤ + + + + + ≥ + + + + + ≥ i F E D C B A F E D C B A F F E D C B A F F λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ h λ λ λ λ λ λ h h

(36)

Exemplo

DMUs Eficiência h λA λB λC λD λE λF Folga

A 0,4545 0 0 0,2273 0 0,1364 0 S2=2

F 1 0 0 0 0 0 0 –

„ DMU A é ineficiente; alvo é uma combinação

linear das DMUs C e E que são os seus

benchmarks

„ DMU F é eficiente, mas não é o seu próprio

alvo → é fracamente eficientefracamente eficiente

(37)

Dualidade

0 , , 0 5 12 8 0 5 10 8 0 2 1 1 0 3 2 4 0 6 1 5 0 3 4 2 3 4 a sujeito 2 Max 2 1 1 2 1 1 2 1 1 2 1 1 2 1 1 2 1 1 2 1 1 2 1 1 ≥ ≤ − − ≤ − − ≤ − − ≤ − − ≤ − − ≤ − − = + = v v u v v u v v u v v u v v u v v u v v u v v u EffA 1 0 0 2 8 8 4 5 2 0 5 5 2 3 6 3 3 0 12 10 2 4 4 a sujeito Min ≥ ≥ − + + + + + ≥ − − − − − − ≥ − − − − − − i F E D C B A F E D C B A A F E D C B A A A λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ h λ λ λ λ λ λ h h

(38)

Modelo DEA CCR

„ Modelo primal → Modelo dos MultiplicadoresModelo dos Multiplicadores

z Determina conjunto ótimo de pesos (tradeoffs)

Œ nº de restrições = nº de DMUs +1

Œ nº de variáveis = nº de inputs + nº de outputs

„ Modelo dual → Modelo do EnvelopeModelo do Envelope

z Menor nº de restrições - implementação

computacional mais fácil

Œ nº de restrições = nº de inputs + nº de outputs Œ nº de variáveis = nº de DMUs + 1

z Determina quais unidades eficientes que

servem de referência para as ineficientes (mix) e a eficiência

(39)

Modelos DEA CCR/

Inputs

0’ x0’ y0 A x0 Input Output 0 B Fronteira eficiente Conjunto de possibilidades de produção

(40)

Resultados do modelo DEA CCR

„ Eficiência

„ Pesos/multiplicadores

„ Unidades de referência/

benchmarks

„ Intensidade da contribuição de cada unidade

de referência na formação do alvo

„ Alvos para

inputs

/

outputs

„ Folgas para

inputs

/

outputs

„

„

É importante não só avaliar, mas também

É importante não só avaliar, mas também

promover a eficiência, estabelecendo metas

promover a eficiência, estabelecendo metas

(aumentar outputs, reduzir inputs ou ambos)

(41)

Modelo DEA BCC

„ Modelo CCR

z Retornos constantes de escala

z Válido para unidades operando em escala

ótima

„ Modelo BCC ou VRS (Banker, Charnes e Cooper,

1984)

z Substitui o axioma da proporcionalidade

pelo axioma da convexidade, soma dos lambdas igual a 1

z Fronteira côncava e linear por partes (

piece-wise linear) → impropriamente chamado “retornos variáveis de escala”

(42)

Modelo DEA BCC

Output 0’ x0’ y0 x0 0 A B Fronteira eficiente C Conjunto de possibilidades de produção Input

(43)

Modelo DEA BCC

Modelo CCR Eficiência = qr/qC Modelo BCC Eficiência = qs/qC 0 1 2 3 4 5 6 0 1 2 3 4 5 6 Empregados Vendas A B C D E F G q r s

(44)

Modelo DEA BCC/I

Modelo CCR/I Modelo BCC/I

k , λ j , λ y y i , λ x x h h k k n k jk jo n k ik k io o o ∀ ≥ ∀ ≥ + − ∀ ≥ −

= = 0 0 0 a sujeito Min 1 1 k λ λ j λ y y i λ x x h h k n k k n k jk k jo n k ik k io o o ∀ ≥ = ∀ ≥ + − ∀ ≥ −

= = = , 0 1 , 0 , 0 a sujeito Min 1 1 1

(45)

Exemplo

DMU Input 1 Input 2 Output

A 4 3 2 B 1 6 5 C 2 3 4 D 1 2 1 E 10 5 8 F 12 5 8

(46)

Exemplo

0 1 0 2 8 8 4 5 2 0 5 5 2 3 6 3 3 0 12 10 2 4 4 a sujeito Min ≥ = + + + + + ≥ − + + + + + ≥ − − − − − − ≥ − − − − − − i F E D C B A F E D C B A F E D C B A A F E D C B A A A λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ h λ λ λ λ λ λ h h 0 1 0 2 8 8 4 5 2 0 5 5 2 3 6 3 5 0 12 10 2 4 12 a sujeito Min ≥ = + + + + + ≥ − + + + + + ≥ − − − − − − ≥ − − − − − − i F E D C B A F E D C B A F E D C B A F F E D C B A F F λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ h λ λ λ λ λ λ h h

(47)

Exemplo

DMUs EficiênciaBCC λA λB λC λD λE λF Folga

A 0,7778 0 0 0,3333 0,6667 0 0 S1=1,777

F 1 0 0 0 0 1 0 S2=2

„ Eficiências BCC são maiores ou iguais que as

eficiências CCR

(48)

Modelo DEA BCC/I

Envelope Multiplicadores k λ λ j λ y y i λ x x h h k k k k jk k jo k ik k io o o ∀ ≥ = ∀ ≥ + − ∀ ≥ −

, 0 1 , 0 , 0 a sujeito Min ℜ ∈ ∀ ≥ ≥ ∀ ≤ + + − = + =

* * * , , 0 , 0 , 0 1 a sujeito Max u i j v u k u y u x v x v u y u Eff i j j j jk i i ik i i io j j jo o

(49)

Exemplo

ℜ ∈ ≥ ≤ − − + ≤ − − + ≤ − − + ≤ − − + ≤ − − + ≤ − − + = + + = * 2 1 1 2 1 * 1 2 1 * 1 2 1 * 1 2 1 * 1 2 1 * 1 2 1 * 1 2 1 * 1 0 , , 0 5 12 8 0 5 10 8 0 2 1 1 0 3 2 4 0 6 1 5 0 3 4 2 3 4 a sujeito 2 Max u v v u v v u u v v u u v v u u v v u u v v u u v v u u v v u u EffA 1 DMU A 0,7778 v 0,0000 u1 0,3333 u2 0,1111 u* 0,5556

(50)

Modelo DEA BCC/I

ℜ ∈ ∀ ≥ ≥ ∀ ≤ + + =

* * * , , 0 , 0 , 1 a sujeito Max u i j v u k x v u y u x v u y u Eff i j i i ik j j jk i i io j j jo o

(51)

Modelo DEA BCC/I

output input A B C u*=0 0 * ≤ + + −∑v x ∑u y u j j jk i i ik Hiperplanos suporte u*>0 u*<0 D

B tem mais de um hiperplano suporte: qual escolher?

(52)

Orientação a

outputs

„ É possível atingir a eficiência mantendo os

inputs

constantes e multiplicando os

outputs

por um número

h

maior ou igual a 1

„ Neste caso, a eficiência é dada por 1/

h

„ A dedução é feita no Modelo do Envelope „ Obtém-se o Modelo dos Multiplicadores por

Dualidade

„ No modelo CCR as eficiências independem da

orientação; os outros resultados de DEA dependem da orientação

„ No modelo BCC todos os resultados de DEA

(53)

Orientação a

outputs

Output 0’ y0’ y0 0 x0 A CCR B y0’’ 0’’ C BCC Input

(54)

Modelo DEA CCR/O

Envelope Multiplicadores i j v u k y u x v y u x v Eff i j j j jk i i ik j j jo i i io o , , 0 , 0 , 0 1 a sujeito Min ∀ ≥ ≥ ∀ ≤ + − = =

k λ j λ y y h i λ x x h k k jk k jo o k ik k io o ∀ ≥ ∀ ≥ + − ∀ ≥ −

, 0 , 0 , 0 a sujeito Max

(55)

Modelo DEA BCC/O

Envelope Multiplicadores ℜ ∈ ∀ ≥ ≥ ∀ ≤ + + − = + =

* * * , , 0 , 0 , 0 1 a sujeito Min v i j v u k v y u x v y u v x v Eff i j j j jk i i ik j j jo i i io o k λ λ j λ y y h i λ x x h k k k k jk k jo o k ik k io o ∀ ≥ = ∀ ≥ + − ∀ ≥ −

, 0 1 , 0 , 0 a sujeito Max

(56)

Modelagem em DEA

„

„ Escolha do modeloEscolha do modelo

z Comparação de tamanho das DMUs

z Geometria da superfície de “envelopamento”

dos dados, que tem relação com as medidas de eficiência

z Projeções de eficiência, ou seja, o caminho das

DMUs ineficientes até a fronteira de eficiência

ΠCCR, BCC etc.

Œ Orientação a inputs, a outputs, não orientado etc.

(57)

Modelagem em DEA

„ Escolha do modelo: propriedades dos

modelos

z Invariância com a escala de medida

z Melhor relação output i e input j é eficiente

z Maior output ou menor input: eficiente no BCC z BCC é invariante a translações a output

quando é orientado a input e vice-versa

„

„ Escolha das DMUsEscolha das DMUs

„

(58)

Software

„

„ SIAD SIAD –– Sistema Integrado de Apoio à DecisãoSistema Integrado de Apoio à Decisão

(http://www.uff.br/decisao) „ „ EMS EMS (http://www.wiso.uni-dortmund.de/lsfg/or/scheel/ems/) „ „ DEAPDEAP (http://www.uq.edu.au/economics/cepa/deap.htm) „

„ Frontier AnalystFrontier Analyst

(http://www.banxia.com)

„

„ IDEALIDEAL

(59)

SIAD – Sistema Integrado de Apoio à Decisão

(60)
(61)
(62)
(63)

Modelos DEA avançados

„ Fronteira Invertida

z Inversão dos inputs com os outputs

z Representa uma visão pessimista em oposição

a uma visão otimista do DEA clássico

z Índice geral é a média entre eficiência clássica

e o complemento da eficiência invertida

z Bom índice significa que “a DMU é bem

avaliada no que é melhor e não é mal avaliada no que é pior”

(64)

Modelos DEA avançados

„ Restrições aos pesos

z DEA é extremamente benevolente e pode ter

pesos irreais

z Incorporação das preferências do decisor e/ou

opinião de especialistas

z Tipos

Œ

Œ Restrições diretasRestrições diretas Œ

Œ Razões de pesosRazões de pesos

Œ

(65)

Restrições diretas

j,i v u Os u Oi Is v Ii k x v y u x v y u Eff i j j j i i i i r i i ik s j j jk r i i i s j j j ∀ ≥ ≤ ≤ ≤ ≤ ∀ ≤ − = =

= = = = 0, , , 0 1 a sujeito Max 1 1 1 0 1 0 0

„ É difícil saber o significado

dos limites impostos aos pesos

„ Existe grande probabilidade

de o modelo ficar inviável

„ No modelo do envelope,

cada restrição eqüivale a uma variável extra

(multiplicador de Lagrange)

„ Restrição direta aos pesos

eqüivale a colocar folgas e excessos na função objetivo do modelo do envelope

(66)

Razões dos pesos

j,i v u Os u u Oi Is v v Ii k x v y u x v y u Eff i j i j i i i j i i r i i ik s j j jk r i i i s j j j ∀ ≥ ≤ ≤ ≤ ≤ ∀ ≤ − = =

= = = = 0, , , 0 1 a sujeito Max 1 1 1 0 1 0 0 „ Restrições adicionais

indicam qual peso deve ser maior e por quanto

„ Menor problema de

inviabilidade

„ Faz comparação entre

pesos em vez de

julgamentos absolutos

„ Em alguns casos, a

correta interpretação das restrições exige prévia normalização das

(67)

Restrições à importância relativa

j,i v u β x v x v α ρ y u y u φ k x v y u x v y u Eff i j i r i i io io i i j s j j jo jo j j r i i ik s j j jk r i i i s j j j ∀ ≥ ≤ ≤ ≤ ≤ ∀ ≤ − = =

= = = = = = 0, , , 0 1 a sujeito Max 1 1 1 1 1 0 1 0 0 „ Restrições à importância

relativa de cada output e de cada input na

formação do output e

input virtual

„ Exige muita informação

do decisor

„ Pode ser usado junto com

métodos multicritério, por exemplo, MACBETH

„ Inviabilidade: decidir a

quem se aplicam as restrições

(68)
(69)

Aplicações

„ Descrição do problema

„ Escolha do modelo, variáveis, DMUs etc. „ Técnicas usadas para contornar as

deficiências de DMU (restrições aos pesos, fronteira invertida etc.)

(70)

Exemplo de aplicação I

„ Companhias Aéreas (Soares de Mello et al., 2003) „ Problemas

z Tipo de eficiência a ser medida

z Uso do modelo BCC colocava a Varig eficiente

sem nenhuma avaliação

„ Soluções

z Três modelos distintos: Vendas, Operacional e

Global

z Aumentar o número de DMUs → grupos e

anos diferentes

(71)

Exemplo de aplicação I

Combustível Capacidade da frota Pessoal de vôo Pessoal de vendas Pessoal total Passageiro.Km pago Passageiro.Km oferecido com eficiência M1, a DMU transforma em + com eficiência M2, a DMU transforma em com eficiência M3, a DMU transforma em

(72)

Exemplo de aplicação II

„ Avaliação educacional (Soares de Mello et al., 2003) „ Programas da COPPE: 12 DMUs

„ Enfoque de qualidade „ Variáveis

z Inputs: Teses de Mestrado e Teses de

Doutorado

z Outputs: Periódicos Nacionais, Periódicos

Internacionais, Congressos Nacionais,

Congressos Internacionais, Livros, Outros

(73)

Livros de DEA

„ COOPER, W.; SEIFORD, L.M.; ZHU, J. Handbook on

Data Envelopment Analysis (International Series in

Operations Research & Management Science). Boston: Springer, 2004.

„ COOPER, W.W.; SEIFORD, L.M.; TONE, K. Data

Envelopment Analysis: a comprehensive text with

models, applications, references and DEA-Solver Software. Boston: Kluwer Academic Publishers, 2000.

„ LINS, M.P.E.; ANGULO MEZA, L. Análise Envoltória de

Dados e perspectivas de integração no ambiente de Apoio à Decisão. Rio de Janeiro: Editora da

COPPE/UFRJ, 2000.

„ COELLI, T.J.; RAO, D.S.P.; BATTESE, G.E. An

Introduction to Efficiency and Productivity Analysis. Boston: Kluwer Academic Publishers, 1998.

„ CHARNES, A.; COOPER, W.W.; LEWIN, A.Y.; SEIFORD,

(74)

Referências citadas

„ BANKER, R.D.; CHARNES, A.; COOPER, W.W. Some models for

estimating technical scale inefficiencies in data envelopment analysis. Management Science, v. 30, n. 9, p. 1078-1092, 1984.

„ CHARNES, A.; COOPER, W.W.; RHODES, E. Measuring the

efficiency of decision-making units. European Journal of

Operational Research, v. 2, p. 429-444, 1978.

„ SOARES DE MELLO, J.C.C.B.; ANGULO MEZA, L.; GOMES, E.G.;

SERAPIÃO, B.P.; LINS, M.P.E. Análise de Envoltória de Dados no estudo da eficiência e dos benchmarks para companhias aéreas brasileiras. Pesquisa Operacional, v. 23, n. 2, p. 325-345, 2003.

„ SOARES DE MELLO, J.C.C.B.; GOMES, E.G.; ANGULO MEZA, L.;

SOARES DE MELLO, M.H.C.. Uma análise da qualidade e da produtividade de Programas de Pós-Graduação em Engenharia.

Ensaio - Avaliação e Políticas Públicas em Educação, v. 11,

(75)

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Referências

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