Análise Envoltória de Dados
Análise Envoltória de Dados
João Carlos Soares de Mello
-UFF
Lidia Angulo Meza
-UFF
Eliane Gonçalves Gomes
-Embrapa
Luiz Biondi Neto
-UERJ
XXXVII Simpósio Brasileiro de Pesquisa Operacional
XXXVII Simpósio Brasileiro de Pesquisa Operacional
Gramado
Medidas de desempenho
Avaliação de desempenho de unidades
produtivas que transformam recursos em produtos
Medidas de desempenho
z Eficácia → capacidade de a unidade produtiva
atingir a produção que tinha como meta
z Produtividade → quociente entre o que foi
produzido (output) e o que foi gasto para produzir (input)
entrada saída ade
Medidas de desempenho
Produtividade
z Quando há múltiplas variáveis, há necessidade
de agregá-las em índices únicos
z ai e bj são coeficientes de escala z Como calculá-los? r r s s x b x b x b y a y a y a P + + + + + + = ... ... 2 2 1 1 2 2 1 1
Medidas de desempenho
Eficiência
z
z Conceito relativoConceito relativo
z Comparação entre o que foi realizado
(produzido/gasto) e o que poderia ter sido realizado por uma unidade de referência
Métodos paramétricos e não paramétricos Métodos de “mediocridade” e de excelência
Medidas de desempenho
Regressão: método paramétrico de
“mediocridade”
Outliers
são descartados0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 2 4 6 8 10 Input
Medida de excelência
OS → fronteira de
produção; máxima produção para cada nível de recurso Unidades na fronteira são tecnicamente eficientes B e C eficientes; A ineficiente Conjunto viável de produção Recurso A C Produto B O S
Tipos de fronteiras
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 2 4 6 8 10 Input OutputProdutividade X Eficiência
X Produtividade = Y/X A → ineficiente C → tecnicamente eficiente e de maior produtividade → Produtividade = dY/dX B → eficiente, masnão é mais produtiva
D → mais produtiva
que B, mas não é eficiente A C Y B O S D
Orientação a recursos
Em quanto os
recursos podem ser reduzidos sem alterar a produção Eficiência técnica = AB/AP X Y A B P D C f(x) f x)
P
(X
P,Y
P)B
(X
B,Y
B) →X
B = hX
PA
(0,Y
P) h =X
B/X
P =AB
/AP
Orientação a produtos
Em quanto os
produtos podem ser aumentados sem
alterar os recursos
Eficiência técnica =
CP/CD
Equivalente à anterior
somente sob certas condições Y A B P D C f(x) f(x) X
Outras orientações
y
A B P D Cf
(x
) A B P D Cx
)xx
Não sabemos calcular a eficiência A eficiência é um vetor?
1
input
, 1
output
y Y ef = a Xef ⇒ a = Yef /Xef a → produtividade da unidade eficiente = tg α Eficiência → produtividade de uma unidade comparada a de com uma unidadeeficiente Modelo CCR do envelope orientado a input x O ’ (hXO,YO) (Xef,Yef) O (XO,YO) O ” (0,YO) α ef O O O O O O ef P P a X Y X a Y X X O O O O Ef = = = / = 1 = " " '
Multidimensional
PPL
Função objetivo segue o conceito de Farrell Restrições garantem que é uma eficiência Será a mesma eficiência anterior?
s j r i ,v u n k , X ν ... X ν X ν Y u ... Y u Y u X ν ... X ν X ν Y u ... Y u Y u i j ik io j o j o jk jo j o j o io io o o o o jo jo o o o o ... 1 , ... 1 , 0 ... 1 1 a sujeito Max 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 = = ≥ = ≤ + + + + + + + + + + + +
Interpretação do modelo
Charnes, Cooper e Rhodes, 1978
Eficiência relativa é o quociente entre soma
ponderada dos
outputs
e soma ponderada dosinputs
Pesos são dados por um PPL de forma mais
benevolente para cada DMU
Modelo com proporcionalidade → alteração
em uma variável produz alteração proporcional em outra variável
∑
∑
= i i ik j j jk DMU v x y uEficiência k ← output virtual
Caso particular: 1
input
, 1
output
PPL Para
calcular
Neste caso particular as duas eficiências
coincidem
Demonstração geral usa dualidade
1
a
sujeito
Max
≤
k k O OvX
uY
vX
uY
ef O ef ef ef ef ef P P Ef P X Y ν u vX uY = = = = 1 / 1 1v
u
Exemplo: 1 input, 1 output
0 1 1 6 1 2 4 1 3 4 a sujeito 2 4 Max ≥ ≤ ≤ ≤ u,v v u v u v u v u D M U In pu t O u tpu t A 3 4 B 2 4 C 1 6 Analisando a DMU BSó a última restrição é ativa (folga nula)
Valor ótimo →
u
/v
=1/6Modelo DEA CCR
j,i v u n k x v y u x v y u Eff i j r i i ik s j j jk r i i i s j j j ∀ ≥ = ≤ ⎟⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ =∑
∑
∑
∑
= = = = 0, , ,..., 1 , 1 a sujeito Max 1 1 1 0 1 0 0 Problema de programação fracionária Calcula os pesos para
os inputs e outputs (vi e
uj)
Unidade 0 → unidade
em análise
Problema tem múltiplas
soluções ótimas → linearização
Modelo DEA CCR
Problema de
Programação Linear
Modelo dos Modelo dos
multiplicadores
multiplicadores
(determina conjunto de pesos e eficiência)
DMU é CCR eficiente se
Eff*= 1 e existe uma solução ótima com v* e
u* > 0 j,i v u k x v y u x v y u Eff i j r i i ik s j j jk r i i i s j j j ∀ ≥ ∀ ≤ − = =
∑
∑
∑
∑
= = = = 0, , , 0 1 a sujeito Max 1 1 1 0 1 0 0Exemplo
DMU Input 1 Input 2 Output
A 4 3 2 B 1 6 5 C 2 3 4 D 1 2 1 E 10 5 8 F 12 5 8
Exemplo
0 , , 0 5 12 8 0 5 10 8 0 2 1 1 0 3 2 4 0 6 1 5 0 3 4 2 3 4 a sujeito 2 Max 2 1 1 2 1 1 2 1 1 2 1 1 2 1 1 2 1 1 2 1 1 2 1 1 ≥ ≤ − − ≤ − − ≤ − − ≤ − − ≤ − − ≤ − − = + = v v u v v u v v u v v u v v u v v u v v u v v u EffA 1 0 , , 0 5 12 8 0 5 10 8 0 2 1 1 0 3 2 4 0 6 1 5 0 3 4 2 6 1 a sujeito 5 Max 2 1 1 2 1 1 2 1 1 2 1 1 2 1 1 2 1 1 2 1 1 2 1 1 ≥ ≤ − − ≤ − − ≤ − − ≤ − − ≤ − − ≤ − − = + = v v u v v u v v u v v u v v u v v u v v u v v u EffB 1Exemplo
Pesos
DMU Input 1 Input 2 Output Eficiência (%)
A 0,045 0,273 0,227 45,45 B 0,200 0,133 0,200 100,00 C 0,050 0,300 0,250 100,00 D 0,429 0,286 0,429 42,85 E 0,025 0,150 0,125 100,00 F 0,000 0,200 0,125 100,00
Exemplo: invariância com escala
D M U I n p u t 1 I n p u t 2 O u t p u t A 4 0 3 2 B 1 0 6 5 C 2 0 3 4 D 1 0 2 1 E 1 0 0 5 8 F 1 2 0 5 8 P e s o s D M U I n p u t 1 I n p u t 2 O u t p u t E f ic iê n c ia ( % ) A 0 , 0 0 4 5 0 , 2 7 3 0 , 2 2 7 4 5 , 4 5 B 0 , 0 2 0 0 0 , 1 3 3 0 , 2 0 0 1 0 0 , 0 0 C 0 , 0 0 5 0 0 , 3 0 0 0 , 2 5 0 1 0 0 , 0 0 D 0 , 0 4 2 9 0 , 2 8 6 0 , 4 2 9 4 2 , 8 5 E 0 , 0 0 2 5 0 , 1 5 0 0 , 1 2 5 1 0 0 , 0 0 F 0 , 0 0 0 0 0 , 2 0 0 0 , 1 2 5 1 0 0 , 0 0Representação gráfica
0 0,5 1 1,5 2 2,5 0 0,5 1 1,5 2 2,5 Input1/Outpút In p u t2 /Ou tp u t B C D E F A A e D ineficientes; B, C e E eficientes;F parece eficiente, mas menos eficiente que E; só consegue eficiência com um peso zero
Análise de resultados
B, C e E Pareto eficientes
F fracamente eficiente ou não Pareto eficiente Qualquer DMU em região da fronteira paralela
aos eixos tem a mesma designação
B e E admitem outro esquema de pesos
z DMU E: 0 para o input 1 e 0,2 para o input 2
Propriedade é válida para todos os vértices da
fronteira, chamados de DMUs extremo eficientes
Identificação de DMUs fracamente eficientes
A DMU F foi identificada graficamente
Necessita-se de um método algébrico para
problemas de maior dimensão
Solução → impedir pesos zero
Colocar restrição de que
u
ev
devem sermaiores ou iguais a ε (número não arquimediano)
z Na prática, número muito pequeno que o
PPL não arquimediano para F
0,01 , , 0 5 12 8 0 5 10 8 0 2 1 1 0 3 2 4 0 6 1 5 0 3 4 2 5 12 a sujeito 8 Max 2 1 1 2 1 1 2 1 1 2 1 1 2 1 1 2 1 1 2 1 1 2 1 1 ≥ ≤ − − ≤ − − ≤ − − ≤ − − ≤ − − ≤ − − = + = v v u v v u v v u v v u v v u v v u v v u v v u EffF 1 DMU Eficiência (%) nova (%) Eficiência A 45,45 45,45 B 100,00 100,00 C 100,00 100,00 D 42,85 42,85 E 100,00 100,00 F 100,00 98,00Exemplo 2
inputs
, 1
output
0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0 4,5 0,0 2,0 4,0 6,0 8,0 10,0 12,0 Input1/Output In put 2/ Out put E D C F B AModelo do Envelope
Baseado na redução do
input
, como vistoanteriormente
Caso haja mais de um
input
, aplica-se aredução de Debreu, ou seja, redução equiproporcional
Admite-se que se é possível produzir de
forma eficiente também é possível produzir de forma ineficiente (aumento de
inputs
ou redução deoutputs
) Admite-se que não há restrição quanto à
Modelo do Envelope
Se é possível produzir de forma eficiente um
vetor
Y
deoutputs
com um vetorX
deinputs
, então é possível produzir de forma eficiente um vetorkY
deoutputs
com um vetorkX
deinputs
Se é possível produzir de forma eficiente um
vetor
Y
1 eY
2 deoutputs
com,respectivamente, vetores
X
1 eX
2 deinputs
, é possível produzir de forma eficienteY
=Y
1 +Y
2outputs
comX
=X
1 +X
2inputs
A combinação linear de um conjunto de DMUs A combinação linear de um conjunto de DMUs
viáveis é uma DMU viável
Modelo do Envelope
Qualquer DMU eficiente pode ser descrita
como combinação linear de um conjunto de DMUs eficientes que contenha uma base (
r
+s
DMUs L.I.) Não sabemos quais são as eficientes → todas
as DMUs devem, à partida, entrar na combinação linear
Modelo do Envelope
Construção de uma DMU viável a partir de
DMUs existentes por combinação linear
Pela ineficiência, DMUs maior
input
e menoroutput
também são viáveisn n k k N n n k k N
Y
λ
Y
λ
Y
λ
Y
λ
Y
X
λ
X
λ
X
λ
X
λ
X
+ + + + + = + + + + + = ... ... ... ... 2 2 1 1 2 2 1 1 n n k k N n n k k N Y λ Y λ Y λ Y λ Y X λ X λ X λ X λ X + + + + + ≤ + + + + + ≥ ... ... ... ... 2 2 1 1 2 2 1 1Modelo do Envelope: redução de
inputs
Nova DMU deve manter o mesmo
output
ereduzir os
inputs
equiproporcionalmente por um coeficienteh
Deseja-se que a nova DMU tenha o menor
input
possível continuando viável, ou seja, que esteja na fronteira → deve-se minimizarh
, mantendo-se as restrições de viabilidade DMU obtida dessa forma é chamada de alvo
da DMU anterior e é eficiente
n n k k o n n k k o Y λ Y λ Y λ Y λ Y X λ X λ X λ X λ X h + + + + + ≤ + + + + + ≥ ... ... ... ... 2 2 1 1 2 2 1 1
Modelo do Envelope: redução de
inputs
0 ... ... ... ... a sujeito Min 2 2 1 1 2 2 1 1 ≥ + + + + + ≤ + + + + + ≥ k n n k k o n n k k o λ Y λ Y λ Y λ Y λ Y X λ X λ X λ X λ X h h h é a eficiência - Será a mesma do modelo dos
multiplicadores?
Quanto menor h, mais distante a DMU está da
fronteira
1/h é um indicativo da distância da DMU da
fronteira, chamada distância de Shephard (apesar de não ser uma métrica)
Exemplo
DMU Input 1 Input 2 Output
A 4 3 2 B 1 6 5 C 2 3 4 D 1 2 1 E 10 5 8 F 12 5 8
Exemplo
0 8 8 4 5 2 2 5 5 2 3 6 3 3 12 10 2 4 4 a sujeito Min ≥ + + + + + ≤ + + + + + ≥ + + + + + ≥ i F E D C B A F E D C B A A F E D C B A A A λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ h λ λ λ λ λ λ h h 0 8 8 4 5 2 8 5 5 2 3 6 3 5 12 10 2 4 12 a sujeito Min ≥ + + + + + ≤ + + + + + ≥ + + + + + ≥ i F E D C B A F E D C B A F F E D C B A F F λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ h λ λ λ λ λ λ h hExemplo
DMUs Eficiência h λA λB λC λD λE λF Folga
A 0,4545 0 0 0,2273 0 0,1364 0 S2=2
F 1 0 0 0 0 0 0 –
DMU A é ineficiente; alvo é uma combinação
linear das DMUs C e E que são os seus
benchmarks
DMU F é eficiente, mas não é o seu próprio
alvo → é fracamente eficientefracamente eficiente
Dualidade
0 , , 0 5 12 8 0 5 10 8 0 2 1 1 0 3 2 4 0 6 1 5 0 3 4 2 3 4 a sujeito 2 Max 2 1 1 2 1 1 2 1 1 2 1 1 2 1 1 2 1 1 2 1 1 2 1 1 ≥ ≤ − − ≤ − − ≤ − − ≤ − − ≤ − − ≤ − − = + = v v u v v u v v u v v u v v u v v u v v u v v u EffA 1 0 0 2 8 8 4 5 2 0 5 5 2 3 6 3 3 0 12 10 2 4 4 a sujeito Min ≥ ≥ − + + + + + ≥ − − − − − − ≥ − − − − − − i F E D C B A F E D C B A A F E D C B A A A λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ h λ λ λ λ λ λ h hModelo DEA CCR
Modelo primal → Modelo dos MultiplicadoresModelo dos Multiplicadores
z Determina conjunto ótimo de pesos (tradeoffs)
nº de restrições = nº de DMUs +1
nº de variáveis = nº de inputs + nº de outputs
Modelo dual → Modelo do EnvelopeModelo do Envelope
z Menor nº de restrições - implementação
computacional mais fácil
nº de restrições = nº de inputs + nº de outputs nº de variáveis = nº de DMUs + 1
z Determina quais unidades eficientes que
servem de referência para as ineficientes (mix) e a eficiência
Modelos DEA CCR/
Inputs
0’ x0’ y0 A x0 Input Output 0 B Fronteira eficiente Conjunto de possibilidades de produçãoResultados do modelo DEA CCR
Eficiência
Pesos/multiplicadores
Unidades de referência/
benchmarks
Intensidade da contribuição de cada unidade
de referência na formação do alvo
Alvos para
inputs
/outputs
Folgas parainputs
/outputs
É importante não só avaliar, mas também
É importante não só avaliar, mas também
promover a eficiência, estabelecendo metas
promover a eficiência, estabelecendo metas
(aumentar outputs, reduzir inputs ou ambos)
Modelo DEA BCC
Modelo CCR
z Retornos constantes de escala
z Válido para unidades operando em escala
ótima
Modelo BCC ou VRS (Banker, Charnes e Cooper,
1984)
z Substitui o axioma da proporcionalidade
pelo axioma da convexidade, soma dos lambdas igual a 1
z Fronteira côncava e linear por partes (
piece-wise linear) → impropriamente chamado “retornos variáveis de escala”
Modelo DEA BCC
Output 0’ x0’ y0 x0 0 A B Fronteira eficiente C Conjunto de possibilidades de produção InputModelo DEA BCC
Modelo CCR Eficiência = qr/qC Modelo BCC Eficiência = qs/qC 0 1 2 3 4 5 6 0 1 2 3 4 5 6 Empregados Vendas A B C D E F G q r sModelo DEA BCC/I
Modelo CCR/I Modelo BCC/I
k , λ j , λ y y i , λ x x h h k k n k jk jo n k ik k io o o ∀ ≥ ∀ ≥ + − ∀ ≥ −
∑
∑
= = 0 0 0 a sujeito Min 1 1 k λ λ j λ y y i λ x x h h k n k k n k jk k jo n k ik k io o o ∀ ≥ = ∀ ≥ + − ∀ ≥ −∑
∑
∑
= = = , 0 1 , 0 , 0 a sujeito Min 1 1 1Exemplo
DMU Input 1 Input 2 Output
A 4 3 2 B 1 6 5 C 2 3 4 D 1 2 1 E 10 5 8 F 12 5 8
Exemplo
0 1 0 2 8 8 4 5 2 0 5 5 2 3 6 3 3 0 12 10 2 4 4 a sujeito Min ≥ = + + + + + ≥ − + + + + + ≥ − − − − − − ≥ − − − − − − i F E D C B A F E D C B A F E D C B A A F E D C B A A A λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ h λ λ λ λ λ λ h h 0 1 0 2 8 8 4 5 2 0 5 5 2 3 6 3 5 0 12 10 2 4 12 a sujeito Min ≥ = + + + + + ≥ − + + + + + ≥ − − − − − − ≥ − − − − − − i F E D C B A F E D C B A F E D C B A F F E D C B A F F λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ h λ λ λ λ λ λ h hExemplo
DMUs EficiênciaBCC λA λB λC λD λE λF Folga
A 0,7778 0 0 0,3333 0,6667 0 0 S1=1,777
F 1 0 0 0 0 1 0 S2=2
Eficiências BCC são maiores ou iguais que as
eficiências CCR
Modelo DEA BCC/I
Envelope Multiplicadores k λ λ j λ y y i λ x x h h k k k k jk k jo k ik k io o o ∀ ≥ = ∀ ≥ + − ∀ ≥ −∑
∑
∑
, 0 1 , 0 , 0 a sujeito Min ℜ ∈ ∀ ≥ ≥ ∀ ≤ + + − = + =∑
∑
∑
∑
* * * , , 0 , 0 , 0 1 a sujeito Max u i j v u k u y u x v x v u y u Eff i j j j jk i i ik i i io j j jo oExemplo
ℜ ∈ ≥ ≤ − − + ≤ − − + ≤ − − + ≤ − − + ≤ − − + ≤ − − + = + + = * 2 1 1 2 1 * 1 2 1 * 1 2 1 * 1 2 1 * 1 2 1 * 1 2 1 * 1 2 1 * 1 0 , , 0 5 12 8 0 5 10 8 0 2 1 1 0 3 2 4 0 6 1 5 0 3 4 2 3 4 a sujeito 2 Max u v v u v v u u v v u u v v u u v v u u v v u u v v u u v v u u EffA 1 DMU A 0,7778 v 0,0000 u1 0,3333 u2 0,1111 u* 0,5556Modelo DEA BCC/I
ℜ ∈ ∀ ≥ ≥ ∀ ≤ + + =∑
∑
∑
∑
* * * , , 0 , 0 , 1 a sujeito Max u i j v u k x v u y u x v u y u Eff i j i i ik j j jk i i io j j jo oModelo DEA BCC/I
output input A B C u*=0 0 * ≤ + + −∑v x ∑u y u j j jk i i ik Hiperplanos suporte u*>0 u*<0 DB tem mais de um hiperplano suporte: qual escolher?
Orientação a
outputs
É possível atingir a eficiência mantendo os
inputs
constantes e multiplicando osoutputs
por um número
h
maior ou igual a 1 Neste caso, a eficiência é dada por 1/
h
A dedução é feita no Modelo do Envelope Obtém-se o Modelo dos Multiplicadores por
Dualidade
No modelo CCR as eficiências independem da
orientação; os outros resultados de DEA dependem da orientação
No modelo BCC todos os resultados de DEA
Orientação a
outputs
Output 0’ y0’ y0 0 x0 A CCR B y0’’ 0’’ C BCC InputModelo DEA CCR/O
Envelope Multiplicadores i j v u k y u x v y u x v Eff i j j j jk i i ik j j jo i i io o , , 0 , 0 , 0 1 a sujeito Min ∀ ≥ ≥ ∀ ≤ + − = =∑
∑
∑
∑
k λ j λ y y h i λ x x h k k jk k jo o k ik k io o ∀ ≥ ∀ ≥ + − ∀ ≥ −∑
∑
, 0 , 0 , 0 a sujeito MaxModelo DEA BCC/O
Envelope Multiplicadores ℜ ∈ ∀ ≥ ≥ ∀ ≤ + + − = + =∑
∑
∑
∑
* * * , , 0 , 0 , 0 1 a sujeito Min v i j v u k v y u x v y u v x v Eff i j j j jk i i ik j j jo i i io o k λ λ j λ y y h i λ x x h k k k k jk k jo o k ik k io o ∀ ≥ = ∀ ≥ + − ∀ ≥ −∑
∑
∑
, 0 1 , 0 , 0 a sujeito MaxModelagem em DEA
Escolha do modeloEscolha do modelo
z Comparação de tamanho das DMUs
z Geometria da superfície de “envelopamento”
dos dados, que tem relação com as medidas de eficiência
z Projeções de eficiência, ou seja, o caminho das
DMUs ineficientes até a fronteira de eficiência
CCR, BCC etc.
Orientação a inputs, a outputs, não orientado etc.
Modelagem em DEA
Escolha do modelo: propriedades dos
modelos
z Invariância com a escala de medida
z Melhor relação output i e input j é eficiente
z Maior output ou menor input: eficiente no BCC z BCC é invariante a translações a output
quando é orientado a input e vice-versa
Escolha das DMUsEscolha das DMUs
Software
SIAD SIAD –– Sistema Integrado de Apoio à DecisãoSistema Integrado de Apoio à Decisão
(http://www.uff.br/decisao) EMS EMS (http://www.wiso.uni-dortmund.de/lsfg/or/scheel/ems/) DEAPDEAP (http://www.uq.edu.au/economics/cepa/deap.htm)
Frontier AnalystFrontier Analyst
(http://www.banxia.com)
IDEALIDEAL
SIAD – Sistema Integrado de Apoio à Decisão
Modelos DEA avançados
Fronteira Invertida
z Inversão dos inputs com os outputs
z Representa uma visão pessimista em oposição
a uma visão otimista do DEA clássico
z Índice geral é a média entre eficiência clássica
e o complemento da eficiência invertida
z Bom índice significa que “a DMU é bem
avaliada no que é melhor e não é mal avaliada no que é pior”
Modelos DEA avançados
Restrições aos pesos
z DEA é extremamente benevolente e pode ter
pesos irreais
z Incorporação das preferências do decisor e/ou
opinião de especialistas
z Tipos
Restrições diretasRestrições diretas
Razões de pesosRazões de pesos
Restrições diretas
j,i v u Os u Oi Is v Ii k x v y u x v y u Eff i j j j i i i i r i i ik s j j jk r i i i s j j j ∀ ≥ ≤ ≤ ≤ ≤ ∀ ≤ − = =∑
∑
∑
∑
= = = = 0, , , 0 1 a sujeito Max 1 1 1 0 1 0 0 É difícil saber o significado
dos limites impostos aos pesos
Existe grande probabilidade
de o modelo ficar inviável
No modelo do envelope,
cada restrição eqüivale a uma variável extra
(multiplicador de Lagrange)
Restrição direta aos pesos
eqüivale a colocar folgas e excessos na função objetivo do modelo do envelope
Razões dos pesos
j,i v u Os u u Oi Is v v Ii k x v y u x v y u Eff i j i j i i i j i i r i i ik s j j jk r i i i s j j j ∀ ≥ ≤ ≤ ≤ ≤ ∀ ≤ − = =∑
∑
∑
∑
= = = = 0, , , 0 1 a sujeito Max 1 1 1 0 1 0 0 Restrições adicionaisindicam qual peso deve ser maior e por quanto
Menor problema de
inviabilidade
Faz comparação entre
pesos em vez de
julgamentos absolutos
Em alguns casos, a
correta interpretação das restrições exige prévia normalização das
Restrições à importância relativa
j,i v u β x v x v α ρ y u y u φ k x v y u x v y u Eff i j i r i i io io i i j s j j jo jo j j r i i ik s j j jk r i i i s j j j ∀ ≥ ≤ ≤ ≤ ≤ ∀ ≤ − = =∑
∑
∑
∑
∑
∑
= = = = = = 0, , , 0 1 a sujeito Max 1 1 1 1 1 0 1 0 0 Restrições à importânciarelativa de cada output e de cada input na
formação do output e
input virtual
Exige muita informação
do decisor
Pode ser usado junto com
métodos multicritério, por exemplo, MACBETH
Inviabilidade: decidir a
quem se aplicam as restrições
Aplicações
Descrição do problema
Escolha do modelo, variáveis, DMUs etc. Técnicas usadas para contornar as
deficiências de DMU (restrições aos pesos, fronteira invertida etc.)
Exemplo de aplicação I
Companhias Aéreas (Soares de Mello et al., 2003) Problemas
z Tipo de eficiência a ser medida
z Uso do modelo BCC colocava a Varig eficiente
sem nenhuma avaliação
Soluções
z Três modelos distintos: Vendas, Operacional e
Global
z Aumentar o número de DMUs → grupos e
anos diferentes
Exemplo de aplicação I
Combustível Capacidade da frota Pessoal de vôo Pessoal de vendas Pessoal total Passageiro.Km pago Passageiro.Km oferecido com eficiência M1, a DMU transforma em + com eficiência M2, a DMU transforma em com eficiência M3, a DMU transforma emExemplo de aplicação II
Avaliação educacional (Soares de Mello et al., 2003) Programas da COPPE: 12 DMUs
Enfoque de qualidade Variáveis
z Inputs: Teses de Mestrado e Teses de
Doutorado
z Outputs: Periódicos Nacionais, Periódicos
Internacionais, Congressos Nacionais,
Congressos Internacionais, Livros, Outros
Livros de DEA
COOPER, W.; SEIFORD, L.M.; ZHU, J. Handbook on
Data Envelopment Analysis (International Series in
Operations Research & Management Science). Boston: Springer, 2004.
COOPER, W.W.; SEIFORD, L.M.; TONE, K. Data
Envelopment Analysis: a comprehensive text with
models, applications, references and DEA-Solver Software. Boston: Kluwer Academic Publishers, 2000.
LINS, M.P.E.; ANGULO MEZA, L. Análise Envoltória de
Dados e perspectivas de integração no ambiente de Apoio à Decisão. Rio de Janeiro: Editora da
COPPE/UFRJ, 2000.
COELLI, T.J.; RAO, D.S.P.; BATTESE, G.E. An
Introduction to Efficiency and Productivity Analysis. Boston: Kluwer Academic Publishers, 1998.
CHARNES, A.; COOPER, W.W.; LEWIN, A.Y.; SEIFORD,
Referências citadas
BANKER, R.D.; CHARNES, A.; COOPER, W.W. Some models for
estimating technical scale inefficiencies in data envelopment analysis. Management Science, v. 30, n. 9, p. 1078-1092, 1984.
CHARNES, A.; COOPER, W.W.; RHODES, E. Measuring the
efficiency of decision-making units. European Journal of
Operational Research, v. 2, p. 429-444, 1978.
SOARES DE MELLO, J.C.C.B.; ANGULO MEZA, L.; GOMES, E.G.;
SERAPIÃO, B.P.; LINS, M.P.E. Análise de Envoltória de Dados no estudo da eficiência e dos benchmarks para companhias aéreas brasileiras. Pesquisa Operacional, v. 23, n. 2, p. 325-345, 2003.
SOARES DE MELLO, J.C.C.B.; GOMES, E.G.; ANGULO MEZA, L.;
SOARES DE MELLO, M.H.C.. Uma análise da qualidade e da produtividade de Programas de Pós-Graduação em Engenharia.
Ensaio - Avaliação e Políticas Públicas em Educação, v. 11,