Modelos de Randall Sundrum e Estabilização do Raio da Dimensão Extra

64 

Texto

(1)

CENTRO DE CIˆENCIAS DEPARTAMENTO DE F´ISICA

PROGRAMA DE P ´OS-GRADUAC¸ ˜AO EM F´ISICA

RAIMUNDO IVAN DE OLIVEIRA JUNIOR

Modelos de Randall Sundrum e Estabilizac

¸˜

ao do

Raio da Dimens˜

ao Extra

FORTALEZA - CE 2017

(2)

Modelos de Randall Sundrum e Estabilizac

¸˜

ao do

Raio da Dimens˜

ao Extra

Disserta¸c˜ao de Mestrado apresentada ao Programa de P´os-Gradua¸c˜ao em F´ısica da Universidade Federal do Cear´a como requisito parcial para a obten¸c˜ao do t´ıtulo de Mestre em F´ısica. ´Area de concentra¸c˜ao: F´ısica da mat´eria condensada.

Orientador: Prof. Dr. Geov´a Maciel de Alencar Filho Co-orientador: Prof. Dr. Ricardo Renan Landim de Carvalho

(3)

Biblioteca Universitária

Gerada automaticamente pelo módulo Catalog, mediante os dados fornecidos pelo(a) autor(a)

O51m Oliveira Júnior, Raimundo Ivan de.

Modelos de Randall Sundrum e estabilização do raio da dimensão extra / Raimundo Ivan de Oliveira Júnior. – 2017.

54 f. : il. color.

Dissertação (mestrado) – Universidade Federal do Ceará, Centro de Ciências, Programa de Pós-Graduação em Bioquímica, Fortaleza, 2017.

Orientação: Prof. Dr. Geová Maciel de Alencar Filho. Coorientação: Prof. Dr. Ricardo Renan Landim de Carvalho.

1. Geometria deformada. 2. Dimensões extras. 3. Escala Planck. 4. Escala TeV. I. Título. CDD 572

(4)

Modelos de Randall Sundrum e Estabilizac

¸˜

ao do

Raio da Dimens˜

ao Extra

Disserta¸c˜ao de Mestrado apresentada ao Programa de P´os-Gradua¸c˜ao em F´ısica da Universidade Federal do Cear´a como requisito parcial para a obten¸c˜ao do t´ıtulo de Mestre em F´ısica. ´Area de concentra¸c˜ao: F´ısica da mat´eria condensada.

Aprovada em 15/09/2017

BANCA EXAMINADORA

Prof. Dr. Geov´a Maciel de Alencar Filho (Orientador) Universidade Federal do Cear´a (UFC)

Prof. Dr. Roberto Vinhaes Maluf Cavalcante Universidade Federal do Cear´a (UFC)

Prof. Dr. Makarius Oliveira Tahim Universidade Estadual do Cear´a (UECE)

(5)
(6)

A Deus por me dar for¸cas para seguir enfrentando os obst´aculos. A minha querida m˜ae, Luzia Oliveira Lima, pelo apoio incondicional. A minha namorada, Claudiane Chagas da Silva, pela paciˆencia e dedica¸c˜ao.

Ao professor Dr. Makarius Oliveira Tahim, por me fazer acreditar que eu era capaz. Ao professor Dr. Geov´a Maciel de Alencar Filho, pela paciˆencia e disponibilidade em me ajudar.

Ao professor Dr. Carlos William de Ara´ujo Paschoal, por me ajudar em um dos momentos mais dif´ıceis durante essa jornada.

A todos os integrantes do CREU: Raul Crowley, Rodrigo Almeida, Francisco Eman-nuel, Wendel Macedo, Emanuel Wendel, Luis Felipe, Jason, Stanley Frota, Ancelmo Pi-nheiro e M´arcio, pela ajuda nos momentos de d´uvidas (n˜ao foram poucos).

(7)

Nessa disserta¸c˜ao estudamos os modelos Randall Sundrum Tipos I e II e a estabiliza¸c˜ao do raio da dimens˜ao extra. Tanto o tipo I quanto o II foram elaborados por Lisa Randall e Ramman Sundrum. O tipo I foi desenvolvido para resolver o problema da hierarquia de gauge ( grande discrepˆancia entre a escala de energia do modelo padr˜ao (103 GeV )

e a escala de energia da gravidade (1019 GeV ) . O tipo II trata, detalhadamente, o

comportamento da gravidade. Iniciamos falando dos modelos de dimens˜oes extra que antecederam os modelos de Randall Sundrum: Kaluza-Klein, Arkani-Hamed-Dimopoulos-Dvali (ADD) e o modelo de Rubakov (O Universo como uma parede de dom´ınio). Em seguida, fazemos uma revis˜ao dos trabalhos de Lisa Randall e Ramman Sundrum. Ap´os isso, focamos no problema da estabiliza¸c˜ao do raio. Esse problema surge no modelo tipo I. Por fim, explicamos a solu¸c˜ao dada para ele: O mecanismo de Goldberger Wise. Palavras-chave: Geometria Deformada, Dimens˜oes Extras, Escala Planck, Escala TeV, Branas.

(8)

In this dissertation we study The Randall Sundrum models type I and II and the sta-bilization of the radius of the extra dimension. Both the types were elaborated by Lisa Randall and Ramman Sundrum. The type I was developed to solve the gauge hierarchy problem (big discrepancy between the energy scale of the standard model(103GeV ) and

the energy scale of the gravity (1019GeV ) . The type II explain, in details, the

beha-vior of the gravity. We begin speaking of the extra dimensions models that preceded the Randall Sundrum model: Kaluza Klein, Arkani-Hammed- Dimopoulus-Dvali (ADD) and the Rubakov’s model ( The universe as a domain wall). Then, we make a review of the Lisa Randall and Ramman Sundrum papers. After that,we focus on the problem of the stabilization of the radius. This problem arises in the type I model. Lastly, we explain the solution that was created to it: The Goldberger Wise mechanism.

(9)

3.1 Potencial escalar em fun¸c˜ao do campo . . . 16

3.2 Solu¸c˜ao do tipo parede de dom´ınio . . . 17

3.3 Densidade de energia da parede de dom´ınio localizada em z=0 . . . 18

4.1 Simetria Orbifold . . . 21

4.2 Setup do modelo Randall Sundrum . . . 21

4.3 A gera¸c˜ao de uma hierarquia exponencial . . . 28

5.1 Potencial Gravitacional V (z) . . . 36

(10)

1. Introdu¸c˜ao . . . 1

2. Modelo de Kaluza-Klein . . . 4

2.1 Introdu¸c˜ao . . . 4

2.2 Condi¸c˜ao Cil´ındrica . . . 6

2.3 Decomposi¸c˜ao de KK . . . 8

2.3.1 Decomposi¸c˜ao do campo escalar . . . 9

2.3.2 Escala Pequena . . . 10

3. Modelo ADD e o Universo Como uma Parede de Dom´ınio . . . 11

3.1 Escala Natural de Energia . . . 11

3.2 O Modelo ADD . . . 14

3.3 O Universo Como Uma Parede de Dom´ınio . . . 15

3.4 Densidade de Energia da Brana . . . 17

4. Modelo Randall-Sundrum Tipo I . . . 20

4.1 A configura¸c˜ao do Modelo . . . 20

4.1.1 A m´etrica . . . 21

4.2 A¸c˜ao e Equa¸c˜oes de Movimento . . . 23

4.3 Implica¸c˜oes F´ısicas . . . 25

5. Modelo Randall Sundrum Tipo II . . . 30

5.1 Modos Gravitacionais . . . 30

5.2 Equa¸c˜oes de Einstein Linearizadas . . . 31

5.3 Equa¸c˜ao Tipo Schrodinger . . . 34

5.3.1 Modo-zero . . . 37

5.3.2 Modos Massivos . . . 39

5.4 Espectro Gravitacional . . . 41

5.5 Limite Newtoniano . . . 43

6. Estabiliza¸c˜ao do Raio da Dimens˜ao Extra . . . 46

6.1 Mecanismo de Goldberger Wise . . . 46

6.2 A¸c˜ao Proposta e equa¸c˜oes de movimento . . . 47

6.3 O sistema gravidade-escalar . . . 49

7. CONCLUS ˜OES E PERSPECTIVAS . . . 51

(11)

1. Introdu¸

ao

A F´ısica sempre tenta dar explica¸c˜oes para os fenˆomenos naturais atrav´es da cons-tru¸c˜ao de modelos. Esses modelos s˜ao vers˜oes simplificadas da natureza, no intuito de descrevˆe-la da melhor maneira poss´ıvel. Um dos mais bem sucedidos modelos j´a cria-dos na F´ısica ´e o modelo padr˜ao das part´ıculas elementares. Ele descreve as part´ıculas elementares do nosso universo, bem como as intera¸c˜oes entre elas [1].

De acordo com esse modelo existem quatro intera¸c˜oes fundamentais na natureza, a saber: Forte, fraca, eletromagn´etica e gravitacional. Nele existem basicamente dois tipos de part´ıculas: Os f´ermions e os b´osons. Os primeiros s˜ao part´ıculas com spin semi-inteiro enquanto que os b´osons tem spin inteiro. De maneira simples, os f´ermions s˜ao as part´ıculas que constituem a mat´eria e os b´osons s˜ao as part´ıculas que transmitem as for¸cas.

Este modelo ´e uma teoria de campos consistente com a mecˆanica quˆantica e a re-latividade especial [2]. Ele consegue descrever muito bem as intera¸c˜oes forte, fraca e eletromagn´etica, mas falha ao tentar descrever a gravidade. Esse ´e apenas um de seus problemas, ele possui muitos outros, de car´ater experimental e te´orico. Os problemas de car´ater experimental s˜ao: Oscila¸c˜oes de neutrinos, assimetria mat´eria-antimat´eria, mat´eria escura e infla¸c˜ao c´osmica. Os problemas de car´ater te´orico s˜ao: Origem da massa das part´ıculas, excesso de parˆametros livres, problema de hierarquia da fam´ılia de l´eptons e problema da hierarquia de gauge.[1]

Neste texto trataremos basicamente do problema da hierarquia de gauge. Esse pro-blema trata da grande discrepˆancia entre a escala de energia da intera¸c˜ao gravitacional ( 1019GeV ) e a escala de energia do modelo padr˜ao(escala eletrofraca) (103GeV ). A

primeira ´e conhecida como escala de Planck. Nessa escala a intera¸c˜ao gravitacional seria da mesma ordem que as outras trˆes intera¸c˜oes na escala T eV , que ´e a escala de energia do modelo padr˜ao. De acordo com o modelo padr˜ao existe uma part´ıcula que d´a massa para

(12)

todas as outras [2], o b´oson de Higgs. No entanto, o pr´oprio b´oson de Higgs tem massa. Surge ent˜ao a pergunta: Quem d´a massa para o b´oson de Higgs? (isso ´e um parˆametro livre na teoria). Nos modelos de grande unifica¸c˜ao ´e necess´ario duas quebras espontˆaneas de simetria, uma na escala T eV e outra na escala GeV . Dessa forma s˜ao necess´arios dois b´osons de Higgs; um com energia da ordem de (103GeV ) e outro com massa da ordem

de (1019GeV ). As raz˜oes para essa disparidade de massa s˜ao imposi¸c˜oes experimentais,

isto ´e, a hierarquia MPl

Mw ∼ 10

16 deve existir para reproduzir efeitos f´ısicos observ´aveis em

baixas energias.[2]

O grande Gap de energia entre a escala eletrofraca e a escala de Planck, necessita um ”fine tunning”da ordem de 16 d´ıgitos [3]. Mas o que significa o fine tunning? Basicamente isso significa que temos que colocar os parˆametros a m˜ao em ordem de conciliarmos a teoria com a experiˆencia. Isso pode ser entendido melhor atrav´es de um ”toy model”. Suponha que observamos uma part´ıcula atrav´es de um experimento e encontramos para sua massa um valor de Mexp ≈ 1.100GeVc2 (massa experimenttal). No entanto, essa mesma

medida, de acordo com a teoria quˆantica de campos, tem que sofrer uma corre¸c˜ao da ordem de 1019GeV . Isso independentemente da massa te´orica (prevista na lagrangeana

cl´assica). Naturalmente esperamos que a massa te´orica da part´ıcula deveria coincidir, aproximadamente, com o experimento Mexp ≈ Mteo. Mas um simples c´alculo nos mostra

que n˜ao ´e isso o que acontece. A massa experimental ´e dada por Mexp = Mteo+ δmquantum,

onde δmquantum corresponde a corre¸c˜ao quˆanica. Dessa forma, Mteo≈ Mexp− δmquantum ≈

1.100GeV − 1019GeV . Isso mostra que um ajuste de 16 d´ıgitos se faz necess´ario. Isso nos

mostra que precisamos de teorias alternativas para explicar o problema da hierarquia de gauge.[3]

Temos ent˜ao a pergunta: como gerar essa hierarquia de energias? Existem trˆes modelos que prop˜oe uma solu¸c˜ao para esse problema. O primeiro ´e o modelo Technicolor. este modelo prop˜oe uma F´ısica de part´ıculas em que n˜ao existem campos escalares como part´ıculas fundamentais. Dessa forma o higgs n˜ao existe e consequentemente a hierarquia tamb´em n˜ao. O segundo modelo ´e a supersimetria. Neste se prop˜oe o acr´escimo de part´ıculas na teoria. Ele ainda esta sendo testado. Por fim, existem os modelos baseados

(13)

em dimens˜oes extras.

O primeiro modelo de dimens˜ao extra criado para tentar resolver o problema da hi-erarquia ´e o modelo de Arkani-Hamed Dimopoulos e Dvali (ADD) [4]. Em 1998 ADD propuseram um modelo com duas dimens˜oes extras grandes, da ordem de 1mm, e uma hipersuperf´ıcie onde n´os vivemos. Eles consideravam que a gravidade se diluia no grande volume da dimens˜ao extra. Dessa forma a hierarquia, em 4D, entre a escala de Planck e a escala elerofraca seria apenas aparente. No entanto, isso apenas transferiu a hierarquia de um lugar para outro. Pois ao considerar uma dimens˜ao extra grande resolvia a hierarquia entre as escalas de energia, mas criava a hierarquia entre os tamanhos das dimens˜oes ex-tras. Naturalmente esperava-se uma dimens˜ao extra da ordem do comprimento de Planck LP l≈ 10−33cm . [5]

O outro modelo de dimens˜ao extra foi criado por Lisa Randall e Raman Sundrum, em 1999. Eles propuseram uma dimens˜ao extra que, diferente da proposta de ADD, era compacta. Nesse modelo existem duas branas, uma em que ”vive”a gravidade e outra onde os campos do modelo padr˜ao ficam confinados, nosso universo. A hierarquia entre as escalas ´e gerada apenas com argumentos de geometria, atrav´es de um fator exponencial que ´e colocado na m´etrica que descreve o modelo. Antes de estudarmos com detalhes o modelo Randal Sundrum, veremos outros modelos de dimens˜oes extras que surgiram antes do RS: O modelo de kaluza-Klein, Rubakov Shaposhnikov (Universo como uma parede de dom´ınio) e Arkani-Hamed, Dimopoulos e Dvali (ADD).

(14)

2. Modelo de Kaluza-Klein

Um dos primeiros modelos de dimens˜ao extra foi criado por Theodor Kaluza e Oscar Klein. A inten¸c˜ao desse modelo ´e unificar a gravidade com o eletromagnetismo. Isso ´e feito supondo uma dimens˜ao extra do tipo espa¸co. Nesse modelo o tensor m´etrico de um espa¸co tempo curvo 5-dimensional ´e decomposto em um tensor m´etrico de um espa¸co curvo 4-dimensional, o potencial vetor do eletromagnetismo e um campo escalar. A proposta do modelo ´e muito boa, mas aparece inconsistˆencias muito fortes na teoria. A equa¸c˜ao de movimento para o campo escalar φ s´o ´e consistente no caso em que FµνFµν = 0. O raio

de compactifica¸c˜ao dessa teoria ´e muito pequeno, o que faz com que a escala de energia da teoria seja muito grande, impossibilitando a detec¸c˜ao da dimens˜ao extra. Isso motiva o surgimento de outras teorias de dimens˜oes extras. Faremos nesse cap´ıtulo uma breve revis˜ao da teoria de KK.

2.1 Introdu¸c˜ao

Em 1914 Gunnar Nordstrom unificou o eletromagnetismo e a gravidade Newtoni-ana [6]. Ele fez isso utilizando um tensor de energia momento totalmente sim´etrico em um espa¸co de Minkowski de 5 dimens˜oes. Para n´os, isso pode n˜ao ser muito relevante, uma vez que ele usou a relatividade Newtoniana, a qual sabemos que n˜ao ´e correta. No entanto, vale lembrar que ele fez isso antes do descobrimento da teoria da relatividade geral.

Sete anos depois em 1921 o matem´atico Theodor Kaluza descobriu que o tensor m´etrico de um espa¸co curvo 5-dimensional pode ser decomposto em um tensor m´etrico de um espa¸co curvo 4-dimensional, o potencial vetor do eletromagnetismo e um campo escalar. Kaluza enviou seu trabalho para Einstein que encorajou o mesmo a public´a-lo.

(15)

da quinta dimens˜ao), que n˜ao era bem explicada pelo mesmo. ´E ai que entra o F´ısico Oscar Klein. Ele d´a uma explica¸c˜ao sobre a condi¸c˜ao cil´ındrica propondo que a quinta dimens˜ao ´e pequena e peri´odica e compactada em forma de um c´ırculo. Se a quinta dimens˜ao ´e um c´ırculo, ela pode ser feita t˜ao pequena que a m´etrica n˜ao depende mais dela.

A teoria de Kaluka-Klein (KK) buscava unificar a gravidade de Einstein com o ele-tromagnetismo de Maxwell por meio da inclus˜ao de uma dimens˜ao extra do tipo espa¸co. Dessa forma o conjunto completo das coordenadas em um espa¸co-tempo (4 + 1)− dimen-sional seria (xµ, y) com µ = 0, 1, 2, 3 .

Nessa teoria o espa¸co 5-dimensional seria composto apenas pela gravidade [7]. Dessa forma n˜ao teriamos mat´eria e as equa¸c˜oes de Einstein em 5-D seriam:

GAB = 0. (2.1)

Aqui (A, B = 0, 1, 2, 3, 5) representam os ´ındices da m´etrica gAB em 5-D.

Ao considerarmos quatro coordenadas espaciais e uma do tipo tempo, pode-se dividir a m´etrica da seguinte forma:

gµν(µ, ν = 0, ..., 3) a m´etrica do espa¸co tempo ordin´ario 4-dimensional;

gµ5 = g5ν um 4-campo vetorial;

g55 = φ um campo escalar. Dessa forma podemos parametrizar gAB, considerando

φ = 1, da seguinte forma: ˜ gAB =    gµν + AµAν Aµ Aν 1    (2.2) e a m´etrica inversa: ˜ gAB =    gµν −Aµ −Aν 1 + A µAµ   . (2.3)

(16)

2.2 Condi¸c˜ao Cil´ındrica

Em sua teoria Kaluza considerou uma condi¸c˜ao cil´ındrica [7]: a derivada da m´etrica gAB com rela¸c˜ao a dimens˜ao extra ´e nula

∂gAB

∂x5 = 0. (2.4)

Segundo ele isso era devido ao fato de n˜ao vermos a dimens˜ao extra, todos os fenˆomenos f´ısicos observ´aveis ocorrem em 4-D. Posteriomente Klein deu uma melhor explica¸c˜ao para essa condi¸c˜ao. Ele supˆos que a dimens˜ao extra fosse compactada em um c´ırculo de raio muito pequeno que n˜ao poderia ser observado para energias menores que 1019GeV .

Podemos calcular o escalar de Ricci em 5-D da mesma forma que fazemos em 4-D. Primeiro calculamos os simbolos de Christoffel, onde os termos n˜ao nulos s˜ao:

˜ Γ5 µν = 1 2∇µAν+ ∇νAµ− AσF σ µAν − AσFνσAµ ; (2.5) ˜ Γσ µ5 = 1 2F σ µ; ˜ Γ5µ5 = −1 2AσF σ µ; ˜ Γσ µν = Γ σ µν + 1 2(AµF σ ν + AνFµσ); ˜ Γσ µσ = Γ σ µσ+ 1 2AσF σ µ.

Onde Fµν = ∂µAν − ∂νAµ e ∇ denota a derivada covariante. Com as conex˜oes em

m˜aos os tensores de Ricci n˜ao nulos s˜ao:

˜ R55 = − 1 4FγηF γη; (2.6) ˜ Rµ5 = − 1 2∇σF σ µ − 1 4AµFγηF γη; ˜ Rµν = Rµν − 1 42 Aµ∇σF σ ν + Aν∇σFµσ − F σ µFνσ− FνσFµσ+ AµAνFγηFγη .

(17)

De forma que o escalar de Ricci ´e dado por: ˜ R = ˜gABR˜AB = R + 1 4FγηF γη . (2.7)

Utilizando uma a¸c˜ao de Einstein Hilbert em 5-D,

S5D =

Z

d5xp−˜g ˜R. (2.8)

De 2.2 temos que det˜gAB = detgµν, logo √−˜g = √−g, substituindo essa condi¸c˜ao e 2.7

em 2.8, obtemos: S5D = Z d5x√−g  R + 1 4FγηF γη  . (2.9)

Podemos integrar a dimens˜ao extra, obtendo uma a¸c˜ao puramente 4-dimensional

S4D= V Z d4x√−g  R + 1 4FγηF γη  . (2.10)

Onde V ´e o volume de S1. Ao variarmos a a¸c˜ao 2.10 encontramos

Gµν = 8πGTµνEM. (2.11) Onde TEM µν = gµν FαβFαβ 4 − F α

µFνα ´e o tensor energia-momento do eletromagnetismo e

Fαβ = ∂αAβ− ∂βAα, corresponde ao tensor eletromagn´etico de Maxwell.

Reduzimos assim a a¸c˜ao de Einstein-Hilbert 5-dimensional a soma de uma a¸c˜ao gra-vitacional 4-dimensional e a a¸c˜ao de Maxwell [8]. Dessa forma o eletromagnetismo e a gravidade em quatro dimens˜oes s˜ao unificados, sendo diferentes aspectos da gravidade em um espa¸co-tempo com uma dimens˜ao extra compacta.

A teoria de KK parece totalmente consistente, mas ela n˜ao ´e. Se para nossa m´etrica inicial tivesemos considerado uma m´etrica em que n˜ao fizessemos φ = 1 inicialmente, por exemplo: gAB =    gµν − k2φ2AµAν −kφ2Aµ −kφ2A ν φ2   , (2.12)

(18)

Ter´ıamos as seguintes equa¸c˜oes de movimento: Gµν = k2φ2 2 T EM µν − 1 φ[∇µ(∂νφ) − gµνφ] ; (2.13) ∇µFµν = −3∂ µφ φ ; φ = k 2φ3 4 FµνF µν.

Agora se escolhermos φ = cte , as duas primeiras equa¸c˜oes acima s˜ao exatamente a equa¸c˜ao de Einstein e a equa¸c˜ao de Maxwell:

Gµν = 8πGTµνEM (2.14)

∇µFµν = 0.

No entanto, a terceira equa¸c˜ao s´o ´e consistente quando FµνFµν = 0.

N˜ao nos preocuparemos muito com as inconsistˆencias da teoria de KK. Vamos apre-sentar a decomposi¸c˜ao de KK e encontrar a escala de energia natural dessa teoria. ´E essa escala que motiva o surgimento dos cen´arios de branas.

2.3 Decomposi¸c˜ao de KK

Em 1926 o F´ısico Oscar Klein fez algums aperfei¸coamentos na teoria de Kaluza. Ele supˆos que a quinta dimens˜ao deveria ter a topologia de um c´ırculo e a escala de compri-mento muito pequena. Discutiremos agora os efeitos dessa hip´otese.

Se a quinta dimens˜ao tem a topologia de c´ırculo, um campo escalar φ(xµ, y) tem a

propriedade φ(xµ, y) = φ(xµ, y + 2πR), onde R ´e o raio da dimens˜ao extra. Na realidade,

qualquer campo ser´a peri´odico na dimens˜ao extra. Assim podemos expand´ı-los em s´erie de Fourier:

(19)

gµν(xµ, y) = X n g(n)µν(x µ )einyR ; (2.15) φ(xµ, y) = X n φ(n)(xµ)einyR ; Aµ(xµ, y) = X n A(n)µ (xµ)e iny R .

Onde n refere-se ao n-´esimo modo de Fourier. Os campos s˜ao independentes da dimens˜ao extra apenas para n = 0. Que ´e conhecido como modo zero.

2.3.1 Decomposi¸c˜ao do campo escalar

Por quest˜ao de simplicidade mostraremos a decomposi¸c˜ao do campo escalar sem massa em modos de KK na quinta dimens˜ao. A decomposi¸c˜ao para outros campos(vetorial, tensorial e spinorial) ´e semelhante.

A a¸c˜ao para um campo escalar sem massa em 5-D ´e dada por:

S = Z d5x1 2g M N ∂Mϕ(xM)∂Nϕ(xN) , (2.16)

onde gM N = ηµνdxµdxν + dy2 ´e a m´etrica 5-dimensional, com xM ∼ (xµ, y) e y ∈ S1.

Devido a periodicidade da dimens˜ao extra, podemos expandir o campo em uma s´erie de Fourier: ϕ(xµ, y) = √1 2πR ∞ X −∞ φ(n)(xµ)einyR . (2.17) Substituindo 2.17 em 2.16 obtemos S = Z d4x1 2 X n  ∂µφ(−n)∂µφ(n)+ n2 R2φ (−n)φ(n)  . (2.18)

Como ϕ(xµy) ´e real, temos φ(−n) = φ(n)†

, de modo que a a¸c˜ao efetiva em 4-D ´e:

S = Z d4x 1 2∂µφ (0)µ φ(0)+ ∞ X n=1 1 2  ∂µφ(n)∂µφ(n) † + n 2 R2φ (n)φ(n)† ! . (2.19)

(20)

Vemos que obtemos a a¸c˜ao efetiva para um campo escalar n˜ao massivo em 4-D, o modo zero da expans˜ao, e uma s´erie infinita de campos cuja a massa ´e dada por m(n)= Rn. Os

modos dessa expans˜ao s˜ao ditos modos de KK e a s´erie infinita de campos massivos ´e chamada de torre de KK.

Se considerarmos um campo escalar massivo com massa m0 na quinta dimens˜ao, a

massa dos modos de KK ser´a m2

(n)= m2(0)+ n R

2

. Quando o n´umero de dimens˜oes extras ´e arbitr´ario, temos m2

(n)= m2(0)+ n1 R 2 + n2 R 2

+ ... . Cada modo carrega uma energia da ordem de n

R (massa de repouso), e assim, n˜ao podem ser excitados para energias abaixo

desse patamar. Do ponto de vista quadrimensional cada modo de KK mn = Rn pode ser

interpretado como um tipo diferente de part´ıcula.

2.3.2 Escala Pequena

Se R for muito pequeno, a energia necess´aria para estimular modos com n 6= 0 seria muito grande, fora do alcance experimental atual. Dessa forma, apenas o modo zero pode ser detectado.

Poderemos observar a dimens˜ao extra quando os aceleradores chegarem a energias da ordem E ∼ 1

R. Dessa forma para tentar explicar o fato de que at´e agora nenhuma

dimens˜ao extra foi observada, adota-se como escala de compactifica¸c˜ao a escala de Planck

LP l =

 ~G c3

12

≈ 1, 6x10−35m. (2.20)

Dessa forma a massa dos estados excitados seria da ordem da escala de Planck, MP ≈ 1019GeV . Tal escala de compactifica¸c˜ao impede que os experimentos atuais nos

ace-leradores de part´ıculas, que tˆem energias da ordem de 1T eV , detectem sinais da existˆencia de outras dimens˜oes.

(21)

3. Modelo ADD e o Universo Como uma Parede de Dom´ınio

No cap´ıtulo anterior vimos que a escala de energia gerada no modelo de KK ´e muito grande, impossibilitando a detec¸c˜ao da dimens˜ao extra. Dessa forma surgem outros mo-delos de dimes˜oes extras propondo um tamanho maior para as mesmas. Um modelo bastante conhecido ´e o modelo de Arkani-Hamed Dimopoulos e Dvali (ADD). Nele se prop˜oe a existˆencia de dimens˜oes extras grandes (≈ 1mm) dessa forma a escala de ener-gia ´e menor e as dimens˜oes extras poderiam ser detectadas. Esse modelo n˜ao obteve sucesso pois as dimens˜oes extras n˜ao foram detectadas e ele n˜ao resolveu por completo o problema que se propˆos, que era o problema da hierarquia. Ele resolveu o problema da hierarqua entre as escalas de energia, mas criou outra hierarquia, agora entre os tama-nhos das dimens˜oes extras. Neste cap´ıtulo tamb´em falaremos de como gerar uma brana (hipersuperf´ıcie 4-dimensional que ´e considerada como sendo o nosso universo). A brana ´e gerada atrav´es da solu¸c˜ao tipo kink para a equa¸c˜ao de movimento de um campo escalar.

3.1 Escala Natural de Energia

Vimos que na teoria de KK n˜ao ´e poss´ıvel fazer a detec¸c˜ao da dimens˜ao extra. No entanto, se compararmos a a¸c˜ao de Einstein-Hilbert em teorias n-dimensional com a a¸c˜ao de Einstein-Hilbert usual em 4-D, podemos encontrar o tamanho para dimens˜ao extra. Consequentemente, encontramos a escala de energia em que os efeitos podem ser detectados em quatro dimens˜oes. A a¸c˜ao de Eintein-Hilbert n-dimensional ´e [9]

S4+n ∼

Z

d4+nxp−g(4+n)R(4+n). (3.1)

A dimens˜ao de massa de S4+n´e −n − 2. Mas como sabemos, a a¸c˜ao necessita ser

(22)

Planck fundamental M∗. Dessa forma a a¸c˜ao de Einstein-Hilbert n-dimensional fica:

S4+n = −M∗n+2

Z

d4+nxp−g(4+n)R(4+n). (3.2)

Precisamos saber como a a¸c˜ao usual de Einstein-Hilbert

S4 = −MP L2

Z

d4xp−g(4)R4 (3.3)

esta contida na express˜ao n-dimensional. Assumindo que o espa¸co-tempo 4-dimensional ´e plano e que a dimens˜ao extra ´e compacta. Temos as seguintes rela¸c˜oes:

p −g(4+n)= rnp−g4 e R(4+n) = R4. (3.4) Substituindo 3.4 em 3.2, temos S4+n = −M∗n+2 Z dV rn Z d4xp−g4R4. (3.5)

O fator R dV rn ´e o volume da dimens˜ao extra que ´e denotado por V

n. Assumindo a

compactifica¸c˜ao da dimens˜ao extra como um toro Vn= (2πr)n . Temos ent˜ao,

S4+n = −M∗n+2Vn

Z

d4xp−g4R4. (3.6)

Comparando 3.6 com 3.3, obtemos:

MP l2 = M∗n+2Vn= Mn+2(2πr)n. (3.7)

Assumindo que os campos de gauge vivem na dimens˜ao extra, podemos fazer um procedimento parecido com o anterior para obtermos os acoplamentos de gauge. A a¸c˜ao para campos de gauge em altas dimens˜oes pode ser escrita como

S(4+n) = − Z d4+nx 1 4g2 ∗ FM NFM N p g(4+n). (3.8)

(23)

Onde g∗ ´e a constante de acoplamento dos campos de gauge em altas dimens˜oes. ´E

razo´avel se pensar que a parte quadridimensional do Field-Strength esta inclusa no tensor de altas dimens˜oes FM N. Fazendo novamente a integral na dimesns˜ao extra obtemos:

S4 = − Z d4xVn 4g2 ∗ FµνFµνp−g4. (3.9)

Assim a rela¸c˜ao entre os acoplamentos dos gauges efetivos com os gauges em altas di-mens˜oes ´e: 1 g2 ef f = Vn g2 ∗ . (3.10)

Vamos agora ver as consequˆencias de 3.7 e 3.10. Assumindo-se que a mesma F´ısica que d´a a intensidade do acoplamento gravitacional, tamb´em d´a o acoplamento de gauge, g ∼ 1

M∗n/2

. Dessa forma, temos

1 g2 4

= VnMn ∼ rnMn (3.11)

MP l2 = VnM∗n+2 ∼ rnM∗n+2,

isso nos leva a r ∼ M1P l. Dessa forma em uma teoria natural de altas dimens˜oes r ∼

1 MP l.

Assim n˜ao se tinha muita esperan¸ca de encontrar evidˆencias de uma dimens˜ao extra. Esse era o pensamento que se tinha at´e os anos 90. No entanto, esse resultado foi alcan¸cado considerando-se que todos os campos se propagam na dimens˜ao extra. Se considerarmos que os campos de gauge ficam localizados em uma hipersuperf´ıcie denominada brana, podemos encontrar um tamanho maior para a dimens˜ao extra.[9]

Se considerarmos que apenas a gravidade se propaga na dimens˜ao extra, teremos um valor maior para essa dimens˜ao. Mas qu˜ao grande ela tem que ser? Considerando apenas a gravidade se propagando na dimens˜ao extra, teriamos uma nova F´ısica apenas na escala gravitacional. Assim as restri¸c˜oes no tamanho da dimens˜ao extra estariam ligadas as medidas da gravidade.

A gravidade ´e muito dif´ıcil de ser testada para distˆancias pequenas. Para grandes distˆancias ela domina. Mas, a medida que vamos diminuindo a distˆancia ela vai perdendo

(24)

for¸ca. At´e o presente momento ela so foi testada at´e 0.1mm. Dessa forma a dimens˜ao extra tem que ser menor que isso uma vez que se ela fosse dessa ordem de grandeza ja teriam encontrado evidˆencias dela.

Desde que temos a rela¸c˜ao M2

P l ∼ M∗n+2rn, se r > M1P l , a escala fundamental de

Planck M∗ seria reduzida para MP l. Qu˜ao baixo poderia M∗ ir? Se M∗ < 1T eV , isso

implicaria que a gravidade quˆantica devia ja ter detectado algum aspecto de dimens˜ao extra. Como nenhuma evidˆencia foi encontrada, tem-se que impor que M∗ ≥ 1T eV . Dessa

forma o valor mais baixo (maior valor poss´ıvel para a dimens˜ao extra) seria M∗ ∼ 1T eV .

Esse modelo ´e chamado de ”Modelo de Grandes Dimens˜oes Extras”e foi proposto por Arkani-Hamed, Dimopoulus e Dvali (ADD).

3.2 O Modelo ADD

Qu˜ao grande seria o raio da dimens˜ao extra se M∗ fosse da ordem de 1T eV ?

Rever-tendo a express˜ao M2 P l∼ M∗n+2rn. temos 1 r = M∗  M∗ MP l n2 = (1T eV )10−32n , (3.12)

onde usamos M∗ ∼ 103GeV e MP l ∼ 1019GeV . Considerando que 1GeV−1 = 2x10−14cm,

obtemos r ∼ 2x10−17x1032 ncm.

Para n = 1 temos o absurdo resultado r = 2x1015cm, que claramente n˜ao pode

ser poss´ıvel. Para n = 2, obt´em-se r = 2mm. Isso tamb´em n˜ao seria poss´ıvel pois o experimento mais preciso realizado para a gravidade tem-se r ∼ 0, 2mm = 1012 1

T eV.

Para n > 2 o tamanho da dimens˜ao extra ´e menor que 10−6cm, e isso pode ser um

tamanho poss´ıvel para a dimens˜ao extra. Assim para n ≥ 2 M∗ ∼ 1T eV ´e de fato uma

possibilidade que pode ser testada. Se M∗ fosse realmente da ordem de 1T eV n˜ao existiria

Problema da Hierarquia. A intera¸c˜ao gravitacional seria mais fraca em 4-D porque ela se dilui no grande volume da dimens˜ao extra.

No modelo ADD s˜ao consideradas 2 dimens˜oes extras compactadas em um 2-toro ou 2-esfera. Nesse modelo considera-se que os campos do modelo padr˜ao est˜ao localizados

(25)

na brana at´e a ordem de energia da teoria (1T eV ). Acima dessa energia eles se propagam para o Bulk (uma esp´ecie de volume 5-dimensional).

A largura da brana ´e dada por δ ∼ T eV1 , de acordo com 3.12 r ∼ 10

16T eV−1, uma

nova hierarquia surge. Agora n˜ao mais uma hierarquia entre escalas de energia, mas sim entre o tamanho da brana e o tamanho da dimens˜ao extra.

3.3 O Universo Como Uma Parede de Dom´ınio

Anteriormente falamos da mat´eria ficar confinada em uma hipersuperf´ıcie denominada de brana. Mas como ´e gerada essa brana? No cap´ıtulo seguinte, onde falaremos do modelo Randall- Sundrum, as branas s˜ao colocadas a m˜ao. N˜ao existe um processo que gere as mesmas. No entanto, ´e poss´ıvel gerar uma brana atrav´es de um campo escalar [10]. Consideremos um campo escalar φ = φ(xµ, z) cuja a¸c˜ao ´e dada por:

S = Z d4xdz 1 2 ∂Aφ∂ A φ − V (φ)  . (3.13)

No intuito de obtermos uma solu¸c˜ao tipo kink, consideramos o seguinte potencial:

V (φ) = λ

2

8(φ

2

(26)

Figura 3.1: Potencial escalar em fun¸c˜ao do campo

Fonte: Adaptado Rubakov et al. [10].

Podemos observar que existem dois valores de menor energia φ = v e φ = −v. Para φ = 0 temos um m´aximo inst´avel. Ao variarmos a a¸c˜ao 3.13, obtemos:

5φ + dV (φ) dφ = 0. (3.15) Onde 5 =  − ∂ 2 ∂z2 ,assim temos φ− ∂ 2φ ∂z2 + λ2 2 φ(φ 2 − v2) = 0. (3.16)

Buscando obter uma solu¸c˜ao conhecida na literatura como parede de dom´ınio, con-sideramos uma solu¸c˜ao estacion´aria e que dependa apenas da dimens˜ao extra. Assim a equa¸c˜ao de movimento reduz-se a:

−d 2φ dz2 + λ2 2 φ(φ 2 − v2) = 0. (3.17)

A solu¸c˜ao para essa equa¸c˜ao tem a forma [7] :

φ(z) = tanh λvz 2



(27)

Graficamente temos:

Figura 3.2: Solu¸c˜ao do tipo parede de dom´ınio

Fonte: Adaptado de Rubakov et al. [11].

Atente para o fato de que φ(z −→ −∞) = −v e φ(z −→ ∞) = v. ´E por isso que essa solu¸c˜ao ´e conhecida como parede de dom´ınio, porque ela separa os dois estados de menor energia do campo. Ou seja, ela liga os dois estados fundamentais φ = v em z = ∞ e φ = −v em z = −∞. ´E comum tamb´em atribuir-se o nome de kink para essa solu¸c˜ao. ( um kink ´e um defeito topol´ogico que separa dois espa¸cos, cada um com um v´acuo diferente).

3.4 Densidade de Energia da Brana

Vamos agora ver qual ´e a densidade de energia desse kink. Seja H0 a Hamiltoniana ou

densidade de energia no 4-volume, podemos definir a densidade de energia no 3-volume como:

σ = Z ∞

−∞

(28)

Uma vez que H0 ´e a energia dividida por 4-volume.

Como ´e do nosso conhecimento, a hamiltoniana pode ser escrita da seguinte forma H0 = π ˙φ − L, onde π = ∂L∂ ˙φ ´e o momento canonicamente conjugado a φ. Dessa forma,

temos para o campo escalar:

H0 = 1 2(∂Aφ) 2+ λ2 8 (φ 2 − v2)2 (3.20)

observe que φ = v e φ = −v s˜ao solu¸c˜oes da equa¸c˜ao de movimento 3.17 com energia zero, pois para essa solu¸c˜ao H0 = 0 . Considerando a solu¸c˜ao tipo kink para φ , 3.18

encontramos H0 = 1 4 λ2v4 cosh(λvz 2 ) , (3.21)

onde a representa¸c˜ao gr´afica ´e dada por:

Figura 3.3: Densidade de energia da parede de dom´ınio localizada em z=0

Fonte: Adaptado de Alex et al. [7].

Dessa forma vemos que a energia est´a concentrada em torno de z = 0. Quanto maior for λ, maior a concentra¸c˜ao de energia e menor a expessura do kink. Podemos dizer que λ ´e uma escala que pode ser entendida como o inverso da expessura da parede de dom´ınio.

(29)

Agora que conhecemos H0 , podemos calcular a densidade de energia da parede de

dom´ınio. De acordo com 3.19, temos:

σ = Z ∞ −∞ 1 4 λ2v4 cosh(λvz 2 ) dz = 2λv 3 3 . (3.22)

No limite λ −→ ∞ a expessura da parede de dom´ınio vai a zero, isso se σ for mantido constante. Nesse caso a parede de dom´ınio da origem a uma estrutura denominada 3-brana.

(30)

4. Modelo Randall-Sundrum Tipo I

Neste cap´ıtulo estudamos o modelo Randall-Sundrum tipo I. Esse modelo foi criado para resolver o problema da hierarquia, uma vez que o modelo ADD n˜ao obteve sucesso. Nesse modelo considera-se a existˆencia de uma dimens˜ao extra, mas diferentemente do modelo ADD, essa dimens˜ao ´e compactada em um c´ırculo. Lisa Randall e Ramman Sundrum prop˜oem um fator de deforma¸c˜ao na m´etrica de Minkowski, e ´e justamente esse fator que faz aparecer a hierarquia entre as escalas de energia.

4.1 A configura¸c˜ao do Modelo

O modelo Randall Sundrum considera o espa¸co tempo com 5 dimens˜oes. Sendo quatro do tipo espa¸co e uma do tipo tempo. Nesse modelo considera-se a existˆencia de duas p-branas , onde p ´e o n´umero de coordenadas espaciais da brana, no nosso caso p = 3, e uma dimens˜ao temporal. Uma dessas branas ´e o nosso universo, enquanto que a outra ´e um universo paralelo ao nosso. Esses dois universos possuem escalas de energia diferentes. O primeiro estando na escala T eV e o segundo na escala GeV .

A dimens˜ao extra ´e compactada em um c´ırculo [5] ver figura 4.1, parametrizada por um ˆangulo φ e com simetria (x, φ) → (x, −φ). Formalmente o modelo ´e construido no S1/Z

2 orbifold [12]. Onde S1 ´e a esfera unidimensional e Z2 ´e o grupo multiplicativo {1,–

1} [5]. Tomamos o dom´ınio de φ como sendo de −π a π, mas a m´etrica fica completamente definida se pegarmos apenas valores no intervalo 0 ≤ φ ≥ π. Os pontos fixos do orbifold φ = 0 e φ = π s˜ao os pontos onde est˜ao localizadas as duas branas. De forma simples podemos pensar essas branas como sendo as fronteiras do espa¸co tempo 5-dimensional chamado de Bulk ver figura 4.2, com o nosso universo situado em φ = π e a outra brana em φ = 0. Essas branas, caracterizadas por coordenadas xµ, suportam teorias de campos

(31)

presos na brana localizada em φ = π e o ´unico campo que consegue se propagar na dimens˜ao extra ´e o campo gravitacional.

Figura 4.1: Simetria Orbifold

Fonte: Adaptado de Gabella et al. [5].

Figura 4.2: Setup do modelo Randall Sundrum

Fonte: Adaptado de Gabella et al. [5].

4.1.1 A m´etrica

O modelo ´e baseado na relatividade geral de Einstein, logo teremos que fazer uso das ferramentas b´asicas dessa teoria. A primeira coisa que devemos ter em mente ´e: Qual ´e a m´etrica que descreve esse modelo? Em um espa¸co tempo curvado, composto do tempo t,

(32)

a p-brana xi e a dimens˜ao extra φ. A geometria do espa¸co-tempo curvado ´e descrito pela

m´etrica:

ds2 = gM NdxMdxN (4.1)

= gµνdxµdxν + 2gµφdxµdφ + gφφdφ2

= g00dt2+ 2g0idtdxi+ gijdxidxj+ 2gµφdxµdφ + gφφdφ2

Onde os ´ındices Romanos ma´ısculos (M, N, ..., p, p + 1) s˜ao os ´ındices do Bulk (D = p + 2), os ´ındices gregos (µ, ν, ... = 0, 1, ..., p) s˜ao os ´ındices do espa¸co tempo da brana e os ´ındices relacionados somente as coordenadas da membrana s˜ao os ´ındices Romanos min´usculos (a, b, ...i, j, k, ..., p). A dimens˜ao extra ´e transversa a brana.

Considera-se a m´etrtica como sendo diagonal. Ou seja, elementos da forma dxµdφ e

dtdxi s˜ao eliminados. Isso se deve as simetrias que o modelo leva em considera¸c˜ao. Termos

da forma dxµdφ s˜ao eliminados devido a simetria orbifold, e termos da forma dtdxi s˜ao

nulos devido as simetrias de revers˜ao temporal (t → −t) e espacial (xi

→ −xi).

Basicamente, vamos procurar solu¸c˜oes para as equa¸c˜oes de Einstein em 5D que estejam de acordo com o mundo real. Ou seja, impomos que a m´etrica deve preservar a invariˆancia de Poncar´e: O universo em 4D derivado dessa teoria deve ser plano e est´atico. Isso nos leva a propor um Ansatz para a m´etrica da forma:

ds2 = e−2σ(φ)ηµνdxµdxν + r2cdφ2 (4.2)

Onde ηµν = dia(−1, 1, 1, 1) ´e a m´etrica de Minkowski. O fator exponencial ´e colocado

nessa m´etrica propositalmente. Veremos que ele ´e quem vai fazer com que surga a hie-rarquia entre as escala T eV e GeV . Devido o fator exponencial depender da dimens˜ao extra, essa m´etrica ´e n˜ao fator´avel. Ou seja, n˜ao podemos escrevˆe-la como um produto da m´etrica de Minkowski com um manifold da dimens˜ao extra.

(33)

As condi¸c˜oes de contorno impostas sobre a m´etrica de fundo s˜ao:

gµνvis ≡ gµν(xµ, φ = π) , gocuµν ≡ gµν(xµ, φ = 0) (4.3)

Levando em considera¸c˜ao `a constante cosmol´ogica em 5D Λ que, diferentemente da constante cosmol´ogica em 4D, n˜ao precisa ser nula ou mesmo pequena. Vamos agora mostrar qual a a¸c˜ao fundamental para esse modelo.

4.2 A¸c˜ao e Equa¸c˜oes de Movimento

A a¸c˜ao que descreve esse modelo satisfatoriamente ´e composta por trˆes partes: Uma relativa a gravidade e outras duas referente as duas branas. Usamos os termos Svis e Socu

para representar as a¸c˜oes nas branas vis´ıvel e oculta, respectivamente.

S = Sgravidade+ Svis+ Socu (4.4)

Sgravidade = Z d4x Z π −π dφ√−g{−Λ + 2M3R} Svis = Z

d4x√−gvis{Lvis− Vvis}

Socu =

Z

d4x√−gocu{Locu− Vocu}

Para cada Lagrangeana na 3-brana temos um potencial de v´acuo que funciona como uma fonte de gravidade. O modelo foi inicialmente construido para a gravidade pura, dessa forma n˜ao vamos considerar que as branas possuam mat´eria, logo Lvis= Locu = 0.

Usando o princ´ıpio de Hamilton variamos a a¸c˜ao acima com rela¸c˜ao a m´etrica do Bulk. Variando a a¸c˜ao gravitacional, obtemos:

δSgravidade= Z d4x Z π −π dφδgM N Λ 2 √ −ggM N + 2M3√−g  RM N− R 2gM N  (4.5)

(34)

A varia¸c˜ao das a¸c˜oes nas branas vis´ıvel e oculta tem como resultado: δSvis= − Z d4x Z π −π dφδgM N −1 2 √ −gvisgvisµνδ µ Mδ ν NVvis  δ (φ − π) (4.6) δSocu= − Z d4x Z π −π dφδgM N −1 2 √ −gocugµνocuδ µ Mδ ν NVocu  δ (φ)

Ao juntarmos as duas equa¸c˜oes anteriores, obtemos a seguinte equa¸c˜ao de movimento: √ −g  RM N− 1 2gM NR 

= −4M1 3[Λ√−ggM N + Vvis√−gvisgvisµνδ µ Mδ

ν

Nδ (φ − π) + (4.7)

Vvis√−gvisgµνvisδ µ Mδ

ν Nδ (φ)]

Essa ´e a equa¸c˜ao de Einstein 5-dimensional. O nosso objetivo agora ´e resolver essa equa¸c˜ao usando o Ansatz para a m´etrica. A resolu¸c˜ao dessa equa¸c˜ao vai nos fornecer a fun¸c˜ao σ(φ) que foi proposta na m´etrica. Esse fator de deforma¸c˜ao ´e o que vai ser respons´avel por gerar a hierarquia entre as duas escalas. O coeficiente rc presente na

m´erica ´e independente de φ , ele ´e o raio de compactifica¸c˜ao da dimens˜ao extra. Usando o nosso Ansatz para a m´etrica 4.2. Obtemos duas equa¸c˜oes de movimento, uma referente a dimens˜ao extra e outra relacionada ao espa¸co 4-dimensional.

6σ′2 r2 c = −Λ 4M3, (4.8) 3σ′′ r2 c = Vocu 4M3r c δ(φ) + Vvis 4M3r cδ(φ − π). (4.9) A solu¸c˜ao para a equa¸c˜ao 4.8 consistente com a simetria orbifold φ → −φ ´e:

σ = rc|φ|

r −Λ

24M3 (4.10)

,

Omitimos a constante aditiva que aparece por que ela pode ser englobada em um rescalonamento de xµ. Claramente vemos que a solu¸c˜ao s´o faz sentido se Λ<0, o modelo

(35)

da geometria AdS5. Basicamente esse ´e um espa¸co com constante cosmol´ogica negativa.

Calculando a primeira e a segunda derivada dessa fun¸c˜ao obtemos:

σ′ = r csng(φ) r −Λ 24M3 (4.11) σ′′ = 2rc r −Λ 24M3[δ(φ) − δ(φ − π)], (4.12)

substituindo 4.12 na 4.9 obtemos a seguinte rela¸c˜ao entre os pontenciais:

Vocu = −Vvis = 24M3k, Λ = −24M3k2, (4.13)

Onde M ´e um parˆametro de massa natural da quinta dimens˜ao, Λ ´e a constante cosmol´ogica em 5-D e k ´e uma escala de energia da ordem da escala de Planck. Essas rela¸c˜oes entre os potenciais nas branas e o termo cosmol´ogico do Bulk s˜ao necess´arios para obter-se uma solu¸c˜ao que respeite a invariˆancia de Poincar´e em 4-D. Isso ´e tido na teoria como um ”fine-Tunning”. Ou seja, s˜ao termos colocados a m˜ao no intuito de obter um universo em 4-d est´atico. Poder´ıamos escolher outros valores para Vvis e Vocu, sendo

perfeitamente poss´ıvel obtermos um universo em 4-D n˜ao plano. Ap´os substituirmos 4.10 em 4.2, obtemos nossa solu¸c˜ao final para a m´etrica do Bulk:

ds2 = e−2krc|φ|η

µνdxµdxν + rc2dφ2. (4.14)

O raio de compactifica¸c˜ao rc ´e efetivamente uma constante de integra¸c˜ao nessa m´etrica.

4.3 Implica¸c˜oes F´ısicas

Embora estejamos considerando uma dimens˜ao extra em nosso modelo, evidˆencias de dimens˜oes, al´em das quatro que estamos adaptados, ainda n˜ao foram encontradas [12]. Portanto, precisamos ver quais as implica¸c˜oes F´ısicas desse modelo. Em outras palavras, quais os resultados que obtemos na teoria efetiva ao fazer a redu¸c˜ao dimensional? Precisamos saber a rela¸c˜ao entre os parˆametros da teoria F´ısica efetiva, de baixas energias

(36)

(T eV ), com os parˆametros associados com a quinta dimens˜ao; M, k e rc.

O primeiro passo ´e encontrar flutua¸c˜oes sem massa em torno da nossa solu¸c˜ao 4.14. Isso vai nos dar o campo gravitacional da nossa teoria efetiva[12]. Eles s˜ao os modos-zero dessa solu¸c˜ao e tˆem a forma:

ds2 = e−2kT (x)|φ|[ηµν+ hµν(x)]dxµdxν+ T2(x)dφ2. (4.15)

Aqui, hµν representa flutua¸c˜oes tensoriais em torno do espa¸co de Minkowski e ´e chamado

de gr´aviton na teoria efetiva em 4-D. Percceba que a m´etrica 4.15 ´e localmente igual a m´etrica 4.14 , desde que qualquer m´etrica suave em 4-D,

˜

gµν(x) ≡ ηµν + hµν(x), (4.16)

´e localmente Minkokwskiana, enquanto que qualquer fun¸c˜ao real suave T (x) ´e localmente constante.

O raio de compactifica¸c˜ao rc, ´e o valor esperado de v´acuo do campo modular T (x).

Como em muitas teorias de dimens˜oes extras, ´e importante que o campo modular T (x) seja estabilizado para um valor esperado de v´acuo rc , com uma massa de pelo menos

10−4eV . Isso ´e um problema essencial da teoria; estabiliza¸c˜ao das distˆancias entre as duas

branas [13] [14]. Isso ser´a tratado com mais detalhes em um cap´ıtulo seguinte.

Para entendermos se a supress˜ao exponencial realmente ´e ´util para resolver o Pro-blema da Hierarquia, precisamos saber como a escala efetiva da gravidade se comporta com rela¸c˜ao a dimens˜ao extra. Obtemos essa informa¸c˜ao ao analisarmos como a a¸c˜ao gra-vitacional em 5-D contˆem a a¸c˜ao gragra-vitacional em 4-D. Focamos no termo de curvatura, pois com ele podemos obter a escala da intera¸c˜ao gravitacional. Substituindo 4.15 na a¸c˜ao da gravidade e fazendo as mudan¸cas necess´arias na m´etrica, no seu determinante e no tensor de Ricci: (˜gµν = ηµν+ hµν , g = detgM N ,√−g = rce−4krcφ√−˜g e R ⊃ e2krcφR)˜

obtemos: Sef e ⊃ Z d4x Z π −π dφ2M3rce−2krc|φ|p−˜g ˜R (4.17)

(37)

onde ˜R ´e o tensor de Ricci 4-dimensional obtido apartir de ˜gµν(x) , em contraste com

o tensor de Ricci R 5-dimensional, obtido de gM N(x, φ). Devido as flutua¸c˜oes em 4-D

n˜ao dependerem de φ (os campos na teoria efetiva dependem apenas de x) , podemos fazer a integra¸c˜ao explicita em φ e obtemos uma a¸c˜ao puramente 4-dimensional. Ap´os a integra¸c˜ao em φ obtemos:

Mpl2 = M

3

k [1 − e

−2krcπ], (4.18)

este ´e um resultado importante.

Ele nos revela que a massa de Planck efetiva M2

pl , depende fracamente de rc no limite

de grande krc. Embora a exponencial tenha um papel pouco importante na determina¸c˜ao

da escala de Planck 4-dimensional, ela tem um papel muito importante na determina¸c˜ao do setor vis´ıvel da massa.

Para determinar a lagrangeana dos campos de mat´eria, precisamos saber o acopla-mento dos campos nas 3-branas com os campos gravitacionais de baixa energia [12], particularmente precisamos saber quem ´e ˜gµν. Fazendo uma transforma¸c˜ao conforme na

m´etrica , temos:

gµν = e−2krcφ˜gµν. (4.19)

E usando 4.3, obtemos:

gvis

µν = e−2krcπ˜gµν (4.20)

gvis = detgvis

µν = e−8krc πg˜

p−gvis = p−e−8krcπg =˜ p−˜ge−4krcπ.

Vamos considerar um campo de Higgs fundamental, posssuindo a seguinte a¸c˜ao:

Svis⊃

Z

d4x√−gvis{g µν

(38)

onde o parˆametro v0 ´e um parˆametro de massa. Fazendo uma renormaliza¸c˜ao na fun¸c˜ao

de onda H → ekrcπH e H→ ekrcπHe utilizando as rela¸c˜oes entre as m´etricas acima ,

obtemos:

Sef e ⊃

Z

d4xp−˜g{˜gµνD

µH†DνH − λ(|H| − e−2krcπv02)2}. (4.22)

Essa ´e a a¸c˜ao de um Higgs escalar normal , exceto pelo valor esperado de v´acuo (VeV) v2 = v2

0e−2krcπ que ´e exponencialmente suprimido. Como o (VeV) nos da todos os

parˆametros de massa no modelo padr˜ao, isto significa que todos os parˆametros de massa s˜ao submetidos a uma supress˜ao exponencial na segunda brana. Se o valor da massa do B´oson de Higgs ´e da ordem da escala de Planck, o b´oson de Higgs f´ısico pode ser suprimido na escala TeV. Obtendo a seguinte massa F´ısica:

m = m0e−krcπ (4.23)

A supress˜ao exponencial pode ser melhor entendida fazendo-se `a an´alise da figura:

Figura 4.3: A gera¸c˜ao de uma hierarquia exponencial

(39)

Em conclus˜ao, podemos ver que em uma teoria onde todos os parˆametros da dimens˜ao extra (M ,Λ, Vocu, v ) s˜ao determinados pela escala de planck, uma hierarquia exponencial

´e gerada naturalmente entre a escala fraca e da gravidade. Dessa forma o modelo Randall Sundrum fornece uma solu¸c˜ao original para o Problema da Hierarquia.

´

E importante notarmos que se tomarmos a segunda brana infinitamente distante da segunda, a massa de Planck efetiva continua finita, veja 4.18. Isso nos revela que podemos ter uma dimens˜ao extra infinita e ainda continuamos a sentir `a gravidade da maneira normal. Dessa forma podemos dizer que `a gravidade est´a localizada em torno da brana em φ = 0. Esse caso onde podemos considerar apenas uma brana, inicialmente, ´e conhecido como modelo Randall Sundrum tipo II. A partir de agora voltaremos nossa aten¸c˜ao para esse modelo.

(40)

5. Modelo Randall Sundrum Tipo II

O modelo Randall Sundrum tipo II lida, basicamente, com a gravidade. Veremos que a gravidade como sentimos no nosso mundo ´e dada, quase que totalmente, pelo modo zero de Kaluza-Klein (gr´aviton). A contribui¸c˜ao dos outros modos de K.K s˜ao insignificantes, pelo menos, para os experimentos que conseguimos realizar at´e o momento. Veremos que no limite Newtoniano, o modelo reproduz, em 4-D, o potencial Newtoniano. Mostrando assim que o mesmo ´e consistente.

5.1 Modos Gravitacionais

Para entendermos como a gravidade funciona no modelo Randall Sundrum temos que encontrar express˜oes para os gr´avitons, que s˜ao pequenas flutua¸c˜oes em torno da m´etrica de fundo dada por:

ds2 = e−2k|y|ηµνdxµdxν + dy2, (5.1)

observe que fizemos a seguinte mudan¸ca na m´etrica; dy = rcdφ e rc|φ| = |y|. As express˜oes

expl´ıcitas para o gr´aviton ser˜ao encontradas atrav´es da solu¸c˜ao das equa¸c˜oes de Einstein linearizadas.

Por conveniˆencia, trabalharemos com uma m´etrica conformalmente plana ( proporci-onal ao espa¸co plano). Para fazermos isso definimos uma nova vari´avel para `a dimens˜ao extra, z, relacionada com y da seguinte forma:

(41)

integrando essa equa¸c˜ao, obtemos como resultado:

e−2k|y|= 1

(k |z| + 1)2. (5.3)

Com essa nova coordenada a m´etrica ´e dada por

ds2 = 1

(k |z| + 1)2(ηµνdx µ

dxν+ dz2).

Para enfatizarmos o fato de a m´etrica ser conformalmente plana reescrevemo-a como

ds2 = e−2A(z)ηM NdxMdxN.

Usamos x5 = z e a fun¸c˜ao A(z) dada por:

e−2A(z) = 1

(k |z| + 1)2, (5.4)

e dessa forma A(z) = ln(k |z|+1). Como vamos precisar mais adiante, daremos a primeira e a segunda derivada de A(z) :

A′(z) = sgn(z)k k |z| + 1 (5.5) e A′′(z) = 2k(δ(z) − δ(z − Lz)) k |z| + 1 − k2 (k |z| + 1)2. (5.6)

5.2 Equa¸c˜oes de Einstein Linearizadas

Para continuar nossos c´alculos vamos trabalhar com as equa¸c˜oes de Einstein lineari-zadas. Quando duas m´etricas est˜ao relacionadas por uma transforma¸c˜ao conforme,veja [15] por exemplo, gM N = e−2Ag˜M N podemos usar a seguinte f´ormula para os tensores de

(42)

Einsteins relacionados: GM N(gM N) = ˜G(˜gM N) + (n − 2)[ ˜∇MA ˜∇NA + ˜∇M∇˜NA − (5.7) ˜ gM N( ˜∇R∇˜RA − n − 3 2 ∇˜RA ˜∇ R A)],

onde n ´e o n´umero de dimens˜oes espaciais. Nesse caso a m´etrica perturbada tem a seguinte forma

gM N = e−2A(ηM N+ hM N) (5.8)

e n = 5, dessa forma o tensor de Einstein tem como resultado,

GM N = ˜GM N+ 3[∂MA∂NA + ∂M∂NA − ˜ΓRM N∂RA (5.9)

−˜gM N(∂R∂RA − ˜ΓRRS∂ S

A − ∂RA∂RA)].

O simbolo de Christoffel de ordem linear ´e facilmente encontrado, basta aplicarmos ˜

gN M = ηM N+ hM N na sua forma tradicional, e encontramos:

˜ ΓRM N = 1 2(∂Mh R N + ∂NhRM − ∂ R hM N), (5.10)

aqui usamos ηM N para levantar ´ındices. Para simplificar os c´alculos vamos trabalhar com

alguns gauges importantes. S˜ao eles: as flutua¸c˜oes n˜ao tˆem componentes na dimens˜ao extra hM5 = 0, as flutua¸c˜oes que geram o gr´aviton s˜ao perpendiculares ao mesmo ∂µhµν =

0 e o tra¸co dessas flutua¸c˜oes ´e nulo ηµνh

µν = hµν = 0.

As flutua¸c˜oes em torno da m´etrica de Minkowski representam um tensor sim´etrico 5x5 , hM N. O mesmo possui 15 graus de liberdade. No entanto, levando em considera¸c˜ao

os gauges acima ralatados, o n´umero de graus de liberdade das flutua¸c˜oes tensoriais se reduz de 15 para 5. Ainda levando em considera¸c˜ao esses gauges, o segundo s´ımbolo de Christoffel em (5.9) anula-se. Enquanto que o primeiro se reduz a 1

2∂ 5h

M N. Al´em do

(43)

por : ˜ GM N = − 1 2∂R∂ R hM N. (5.11)

Nosso pr´oximo passo ´e calcular a componente µν do tensor de Einstein linearizado. Substituindo M N por µν, os simbolos de Christoffel e calculando as derivadas em (5.9) :

Gµν = − 1 2∂R∂ Rh µν + 3 2h ′ µνA ′ − 3(ηµν+ hµν)(A′′− A′2). (5.12)

Agora temos que calcular o outro lado da equa¸c˜ao de Einstein GM N = k2TM N. Ou

seja, temos que calcular o tensor de energia momento para `a m´etrica pertubada. Tendo aten¸c˜ao no fato de que o determinante da m´etrica induzida na brana esta relacionado com o determinente da m´etrica completa por:

gM N = e−2Ag˜M N (5.13)

g = e−2Agi

−gi = eA√−g,

onde i = 1, 2 s˜ao ´ındices referentes as duas branas. Os ´ındice 1 esta relacionado com a brana oculta e o ´ıdice 2 com a brana vis´ıvel. As a¸c˜oes nas branas s˜ao agora dadas por:

Socu = −

Z

d4x√−geA(z)Vocu = −

Z d4x

Z

dz√−geA(z)Vocuδ(z) (5.14)

Svis = −

Z

d4x√−geA(z)Vvis= −

Z d4x

Z

dz√−geA(z)Vvisδ(z − Lz).

Usando a defini¸c˜ao do tensor energia momento :

TM N = − 2 √ −g δSM δgM N, (5.15)

(44)

podemos calcular os tensores de energia momento em cada brana. S˜ao eles:

Tµνocu = −eA(z)Vvisδ(z)gµν (5.16)

Tµνvis = −eA(z)Vocuδ(z − Lz)gµν.

Dessa forma, levando em considera¸c˜ao a constante cosmol´ogica Λ em 5-D, a segunda parte da equa¸c˜ao de Eisntein ´e:

k2Tµν =

1

4M3[−Λ − Vocue A(z)

δ(z) − VviseA(z)δ(z − Lz)]gµν. (5.17)

Lembrando das rela¸c˜oes Vvis = −Vocu = 24M3k e Λ = −24M3k2 , bem como 5.5 , 5.6 e

5.8 temos: k2Tµν = [6k2e−2A− Vvis 4M3e −A (δ(z) − δ(z − Lz))](ηµν + hµν) (5.18) k2T µν = [6A′2− Vvis 4M3e −A(δ(z) − δ(z − L z))](ηµν+ hµν) k2Tµν = 3(A′2− A′′)(ηµν+ hµν).

Juntando 5.12 com `a equa¸c˜ao anterior:

−12∂R∂Rhµν+

3 2h

µνA′(z) = 0. (5.19)

5.3 Equa¸c˜ao Tipo Schrodinger

Uma forma de resolver 5.19 ´e transformando-a numa equa¸c˜ao tipo Schrodinder. Para fazermos isso temos que nos livrar das primeiras derivadas h′

µν, atrav´es do seguinte

rees-calonamento:

(45)

onde α ´e uma constante. Resolvendo a primeira parte da equa¸c˜ao 5.19 referente a ´ındices da dimens˜ao extra: −1 2∂5∂ 5h µν = − 1 2e αA[αA′′h µν + 2αA′h′µν+ α2A′2hµν+ h′′µν]. (5.21)

A parte relativa ao espa¸co tempo, ainda relacionado a primeira parte da equa¸c˜ao 5.19 ´e dada por: −12∂λ∂λhµν = − 1 2e αA ∂λ∂λhµν. (5.22)

O segundo termo de 5.19, fica

3 2h ′ µνA ′(z) = 3 2e αA(αA′2h µν+ h′µνA ′(z)). (5.23)

Juntando 5.21, 5.22 e 5.23 e ap´os algum algebrismo, chegamos em

−1 2∂R∂ R+ 3 2 − α  A′h′µν + 3 2α − 1 2α2  A′2 1 2αA ′′  hµν = 0 (5.24)

Escolhemos α = 32, de modo `a anular h′

µν, obtendo: −1 2∂R∂ Rh µν+  9 8(A ′)2 − 3 4A ′′  hµν = 0 (5.25)

Fazemos agora uma redu¸c˜ao de Kaluza-Klein para quatro dimens˜oes. Para fazer isso, precisamos aplicar uma separa¸c˜ao de vari´aveis. Escrevemos as flutua¸c˜oes gerais como uma superposi¸c˜ao de modos : hµν(x, z) = ∞ X n=0 hn µνψn(z), (5.26)

e fazendo a redu¸c˜ao chegamos nas duas equa¸c˜oes:

hnµν = m2nh n

(46)

e −ψ′′n(z) +  9 4A ′2 (z) −32A′′(z)  ψn(z) = m2nψn(z) (5.28)

A equa¸c˜ao 5.28 ´e uma equa¸c˜ao do tipo schrodinger com potencial dado por:

V (z) = 15 4 k2 (k |z| + 1)2 − 3k(δ(z) − δ(z − Lz)) k |z| + 1 . (5.29)

O gr´afico do potencial de 5.29 tem a forma:

Figura 5.1: Potencial Gravitacional V (z)

Fonte: Adaptado de Gabella et al. [5].

As condi¸c˜oes de contorno que as solu¸c˜oes da equa¸c˜ao 5.28 v˜ao obedecer, s˜ao obtidas integrando-se essa equa¸c˜ao para pequenos dom´ınios em torno das branas. Para a brana em z = 0 temos: Z 0+ 0− dz(−ψn′′+ V ψn) = Z 0+ 0− dzm2ψn −ψn′(0+) + ψn′(0−) − 3kψn(0) = 0.

(47)

A fun¸c˜ao de onda tem que ser uma fun¸c˜ao par sob a transforma¸c˜ao z → −z, isso devido a simetria orbifold. Dessa forma, a derivada primeira da fun¸c˜ao ´e ´ımpar: ψ′

n(0−) =

−ψ′

n(0+). A condi¸c˜ao de contorno na brana em z = 0 ´e ent˜ao:

ψ′

n(0) = −

3k

2 ψn(0). (5.30)

De forma similar, chegamos a condi¸c˜ao de contorno na brana T eV :

ψ′n(Lz) = −

3k

2(kLz + 1)ψn(Lz). (5.31)

5.3.1 Modo-zero

O modo-zero ´e a solu¸c˜ao de uma equa¸c˜ao tipo Shcrodinger com mn= 0;

−ψ0+  9 4A ′2 − 32A′′  ψ0 = 0. (5.32)

Fazendo ψ0 = eλA e substituindo em 5.32, obtemos :

 λ + 3 2  A′′+ A′2  λ2 − 94  = 0. Isso nos mostra que λ = −32. Ou seja, ψ0(z) = e−

3

2A(z), ou ainda:

ψ0(z) = (k |z| + 1)−

3

2. (5.33)

Vemos que o modo zero tem uma fun¸c˜ao de onda cujo pico ocorre em z = 0 [5]. Como iremos ver, as intera¸c˜oes gravitacionais s˜ao mediadas predominatemente pelo modo-zero. A gravidade ´e ent˜ao localizada na brana de Planck, enquanto que na brana TeV sentimos apenas a ”cauda”dessa fun¸c˜ao de onda. Dessa forma, no modelo Randall-Sundrum, a explica¸c˜ao para a fraqueza da gravidade est´a relacionada ao fato dela estar localizada longe de onde vivemos. Isso contrasta com o modelo ADD, que explica a fraqueza da gravidade devido ela se diluir no grande volume da dimens˜ao extra.

(48)

localizado, veja figura abaixo. Para fazermos isso vamos considerar a a¸c˜ao de Einstein-Hilbert em 5-D

Z

d5x√−gR, (5.34)

com o tensor de Ricci dado por sua forma linearizada R ∼ h ∼ ηµν

hµν , e com as

devidas modifica¸c˜oes no determinante da m´etrica devido a transforma¸c˜ao conforme. O modo zero ´e normaliz´avel, isso significa que podemos fazer

Z ∞ −∞dz |ψ(z)| 2 <∞ (5.35) Z dze−3A Z d4xe−Ap ˜−gηµνhµν Z dze−4A Z d4x−gR.

Integrando na dimens˜ao extra, obtemos:

Z L 0 dze−4A = Z L 0 dze−4ln(k|z|+1) (5.36) Z L 0 dze−4A = −4 k{1 + (k |z| + 1)[ln(k |z| + 1) − 1]} .

(49)

Figura 5.2: Localiza¸c˜ao do gr´aviton em torno da brana de Planck

Fonte: Adaptado de Gabella et al. [5].

5.3.2 Modos Massivos

A fun¸c˜ao de onda para os modos massivos de KK ´e:

−ψ”n(z) +  15 4 k2 (k |z| + 1)2 − 3k(δ(z) − δ(z − Lz)) k |z| + 1  ψn(z) = m2nψn(z). (5.37)

Com excess˜ao do modo zero, que tem energia zero, os outros modos de KK n˜ao est˜ao ne-cessariamente localizados nas branas, dessa forma eles podem estar ao longo da dimens˜ao extra. Resolveremos agora a equa¸c˜ao 5.37 na regi˜ao fora das branas.

Dessa forma `a equa¸c˜ao 5.37, fica:

ψn′′(z) +  m2n− 15k2 4(k |z| + 1)2  ψn(z) = 0. (5.38)

Essa ´e uma equa¸c˜ao de bessel de segunda ordem, cuja solu¸c˜ao geral ´e dada por:

ψn(z) =  |z| +1 k 12 ζ2  mn  |z| + 1 k  . (5.39)

(50)

solu¸c˜ao geral ´e dada por: ψn(z) =  |z| +k1 12  anJ2  mn  |z| + 1k  + bnY2  mn  |z| +k1  . (5.40)

Aqui an e bn s˜ao coeficientes a serem determinados.

Para determinar esse coeficientes usamos os limites assint´oticos de J2 e Y2 para

peque-nos valores de mn|z|, a condi¸c˜ao de contorno 5.30 e uma mudan¸ca de vari´avel U = |z|+k1.

No limite assint´otico para valores pequenos de mn|z| encontramos os valores de J2 e Y2

dados por: J2  mn  |z| +k1  ≈ m 2 n 8  |z| +k1 2 (5.41) Y2  mn  |z| + 1k  ≈ −1ππ1 4 m2 n |z| +1k 2.

Com esses resultados e a mudan¸ca de vari´avel U = |z| + 1

k , o que leva a dU

dz = sng(z),

e fazendo sng(z) = 1 , pois estamos considerando a regi˜ao `a direita da brana em y = 0, encontramos os seguintes resultados para a fun¸c˜ao de onda e a derivada primeira dos modos de KK : ψn(z) =  |z| +k1 12 ( an m2 n 8  |z| + 1k 2 − bn 1 π + 1 π 4 m2 n |z| + 1k 2 !) (5.42) ψn′(z) = 1 2  |z| + 1 k −12 ( an m2 n 8  |z| +1 k 2 − bn 1 π + 1 π 4 m2 n |z| +1k 2 !) + (5.43)  |z| + 1k 12 ( an m2 n 8  |z| +k1  + bn 8 πm2 n 1 |z| + 1k 3 )

E usando a condi¸c˜ao de contorno 5.30, encontramos o seguinte valor para an:

an = 4k2b n m2 nπ . (5.44)

(51)

Dessa forma ficamos com a fun¸c˜ao de onda dada por: ψn(z) = Nn  |z| +k1 12  Y2  mn|z| + 1 k  + 4k 2 m2 nπ J2  mn  |z| +1k  . (5.45)

Onde Nn ´e uma constante de normaliza¸c˜ao. Como mkn>1 o termo com J2 domina a

express˜ao da fun¸c˜ao de onda.

Usando a condi¸c˜ao de normaliza¸c˜aoRL

−L|ψ| 2 dz = 1 , encontramos: Nn = r π 2 πm 5 2 n 4k2√L. (5.46)

Dessa forma `a aproxima¸c˜ao para `a fun¸c˜ao de onda dos estados de KK no limite de grande mn|z| ´e: ψn(z) = cos mn|z| − 5π4  √ L . (5.47) 5.4 Espectro Gravitacional

Se considerarmos as duas branas, teremos duas condi¸c˜oes de contorno. Dessa forma, podemos quantizar as massas dos modos de KK. A derivada da fun¸c˜ao de onda 5.40, sem considerar as aproxima¸c˜oes feitas nos limites de grande e pequeno mn|z| ´e, de acordo com

[16], dada por: ψ′ n(z) = mn  |z| + 1 k 12  anJ1  mn  |z| + 1 k  + bnY1  mn  |z| + 1 k  + (5.48) −3 2  |z| + 1 k −12  anJ2  mn  |z| + 1 k  + bnY2  mn  |z| + 1 k  .

Utilizando as condi¸c˜oes de contorno 5.30 e 5.31, juntamente com a equa¸c˜ao acima, obtemos a seguinte equa¸c˜ao:

J1 mn k  Y1  mn  |z| +1 k  − Y1 mn k  J1  mn  |z| + 1 k  = 0. (5.49)

(52)

di-mens˜ao extra, lembrando a equa¸c˜ao 5.4, temos:

z + 1 k ≈

ekz

k . (5.50)

Podemos escrever ent˜ao:

J1  mn  |z| +k1  ≈ J1  mn ekz k  (5.51) Y1  mn  |z| + 1k  ≈ Y1  mn ekz k  .

Na aproxima¸c˜ao para massas pequenas mn

k ≪ 1, as fun¸c˜oes de bessel do primeiro tipo

comportam-se, como: J1 mn k  ≈ mkn (5.52) Y1 mn k  ≈ lnm2knmkn.

Numericamente −Y1(x) ≫ J1(x). Como mkn ≪ 1 o primeiro termo em 5.49 ´e nulo, e no

segundo, devido −Y1(x) ≫ J1(x) , temos que:

J1  mn  |z| +k1  = 0 (5.53) J1  mn ekL k  = 0 Jn= mnekL k mn= e−kLJnk

Onde Jn s˜ao so zeros da fun¸c˜ao de bessel J1(Jn) = 0 .

Como k ´e um valor da ordem da escala de Plack, e o fator exp(−kL) na brana TeV foi fixado para resolver o problema da hierarquia, as massas dos estados de KK s˜ao da ordem de TeV. Isso implica na possibilidade da observa¸c˜ao de ressonˆancias individuias dos primeiros estados de KK em colisores de part´ıculas, em um futuro pr´oximo.

(53)

5.5 Limite Newtoniano

Vamos verificar se as intera¸c˜oes gravitacionais mediadas pelos modos gravitacionais encontrados anteriormente est˜ao de acordo com as leis de Newton. Para fazer isso, consi-deramos um acoplamento m´ınimo da mat´eria com a gravidade e procuramos valores para as constantes de acoplamento.

A a¸c˜ao ´e composta por uma parte referente a gravidade, e uma parte devido as in-tera¸c˜oes entre a gravidade e a mat´eria.

S = Sg+

Z

d4xdy√−gLM(Φ, gM N), (5.54)

onde Φ s˜ao campos que residem na brana. Para pequenas perturba¸c˜oes em torno da m´etrica de fundo:

gM N = e−2AηM N −→ gM N′ = e−2A(ηM N + hM N). (5.55)

Expandimos a lagrangeana de mat´eria em s´erie de Taylor at´e primeira ordem;

LM(Φ, gM N′ ) = LM(Φ, gM N) + hµνδL M δg′ µν g′ µν=gµν + O(h2). (5.56)

Usando a defini¸c˜ao do tensor de energia momento e a f´ormulapdet(ηµν + hµν) = 1 +h2+

O(h2) onde h = gµνh µν e de 5.55 temos ; √ −g = e−A e p−g′ =−g  1 + h 2 + O(h 2)  . (5.57)

Multiplicando ambos os lados de 5.57 pela lagrangiana de mat´eria;

p−g′L(Φ, g′ M N) = √ −g  LM(φ, gM N) + hµνδL M δg′ µν +h 2LM(Φ, gM N)  + O(h2). (5.58)

Utilizando o tensor energia momento chegamos ao resultado:

p−g′L(Φ, g′ M N) = √ −g  LM(φ, gM N) − 1 2hµνT µν  . (5.59)

(54)

Aqui utilizamos o seguinte resultado em 5.59: −12hµνTµν = − 1 2hµν  −LMgµν− 2δL M δgµν  (5.60) −12hµνTµν = L Mh 2 + hµν δLM δgµν

O termo de acoplamento da gravidade com `a mat´eria ´e hµνTµν . Fazendo uma

decom-posi¸c˜ao de KK, reescalonado o modo zero e acrescentando o termo da gravidade massiva (gravidade de Pauli Fierz), gravidade devida aos modos massivos de KK. temos:

L(Φ, gM N′ ) = LM(Φ, gM N) + M3 X n LP F(hnµν(x)) − X n e32Aψn(z) 2 h n µν(x)T µν . (5.61)

Fazendo uma redefini¸c˜ao no campo, com o intuito de obter a constante de Newton corre-tamente; hn µν(x) −→ 1 √ M3h n µν(x), (5.62) obtemos: LM(Φ, g) = LM(Φ, η) + M3 X LP F(hnµν(x)) − Xe 3 2Aψn(z) 2√M3 h n µν(x)T µν . (5.63)

De onde podemos tirar a constante de acoplamento da gravidade com a mat´eria:

an=

e32Aψn(z)

2√M3 . (5.64)

Podemos agora calcular o potencial gravitacional entre duas part´ıculas com unidade de massa na brana TeV. Isso ´e o potencial est´atico gerado pela troca do modo zero e dos modos massivos de KK. Como no caso da intera¸c˜ao Yukawa, criada para descrever as intera¸c˜oes nucleares entre pr´otons e neutrons devido a troca de p´ıons. [17], este potencial ´e dado por:

V (r) = − ∞ X n=0 a2 n 4π e−mnr r . (5.65)

(55)

Utilizando a equa¸c˜ao anterior, 5.64 e 5.33 podemos chegar na express˜ao para o poten-cial devido o modo zero;

V0(r) = −

Gn

r . (5.66)

Onde Gn ´e a constante de Newton, isso reproduz a gravidade em 4-D. Com `a ajuda da

nossa aproxima¸c˜ao para a fun¸c˜ao de onda para os modos massivos de KK 5.47. temos que o potencial mediado pelo nth gr´aviton massivo na brana TeV ´e:

Vn(r) = − GN r k 3L2 zcos2(mn|Lz| − 5π 4 )e −mnr. (5.67)

Para distˆancias da ordem 10−13 essa contribui¸c˜ao j´a se torna negligˆenci´avel. para

identificarmos essa contribui¸c˜ao na gravidade devido aos modos massivos, precisamos de uma energia muito grande. Experimentos gravitacionais chegam a 1mm. Em conclus˜ao, a gravidade no modelo RS corresponde efetivamente a contribui¸c˜ao do modo zero.

(56)

6. Estabiliza¸

ao do Raio da Dimens˜

ao Extra

Neste cap´ıtulo trataremos de um dos problemas que surgem no modelo Randall Sun-drum; a distˆancia entre as branas. O tamanho da dimens˜ao extra ´e escolhido convenien-temente para resolver o problema da hierarquia. Aqui apresentamos um mecanismo, no qual o tamanho da dimens˜ao extra ´e fixado dinamicamente.

6.1 Mecanismo de Goldberger Wise

Tratamos at´e agora o raio da dimens˜ao extra como um parˆametro. Ou seja, escolhemos isso apropriadamente para resolver o problema da hierarquia. Isso gera alguns problemas. Como o raio da dimens˜ao extra n˜ao ´e fixado dinamicamente, ele flutua, isso gera um campo escalar sem massa na teoria efetiva [9]. Como os campos escalares na teoria efetiva que conhecemos s˜ao todos massivos, isto gera uma inconsistˆencia no modelo. Dessa forma o raio da dimens˜ao extra tem que ser estabilizado com o intuito de gerar um campo escalar massivo na teoria efetiva.

A maneira mais simples e elegante de estabilizar o raio foi proposta por Goldenberg Wise [13], e ´e conhecido como Mecanismo de Goldenberger Wise (GW). Se queremos estabilizar o raio de maneira n˜ao arbrit´aria, temos que fazer isso dinamicamente.

Suponhamos que existem diferentes for¸cas. Sendo que algumas delas for¸cam o raio a ser muito grande, enquanto que outras for¸cam ele a ser muito pequeno. Espera-se que essas for¸cas estabilizem-se em um certo valor, e dessa forma podemos encontrar um m´ınimo est´avel para o raio.

O mecanismo proposto por GW usa um campo escalar que se propaga ao longo da dimens˜ao extra. Em cada brana que limita a quinta dimens˜ao existe um potencial para este campo escalar. O m´ınimo para esses potenciais na brana TeV e na brana GeV s˜ao diferentes. Isso faz com que o valor esperado de v´acuo do campo escalar mude ao longo

Imagem

temas relacionados :