Ministério da Educação
Universidade Federal do Rio Grande do Norte
Centro de Ensino Superior do Seridó – CERES
Secretaria de Educação à Distância – SEDIS
Especialização em Matemática para o Ensino Médio
A Criptografia no Ensino Fundamental e Médio
Andréa de Araújo Dantas
Ministério da Educação
Universidade Federal do Rio Grande do Norte
Centro de Ensino Superior do Seridó – CERES
Secretaria de Educação à Distância – SEDIS
Especialização em Matemática para o Ensino Médio
A Criptografia no Ensino Fundamental e Médio
Trabalho apresentado ao Programa do Curso de Especialização em Matemática para o Ensino Médio da Universidade Federal do Rio Grande do Norte em cumprimento às exigências legais para a obtenção do título de especialista.
Área de concentração: Matemática
Orientador:
Profº. Odilon Júlio dos Santos
Andréa de Araújo Dantas
Catalogação da Publicação na Fonte. UFRN / SISBI / Biblioteca Setorial Centro de Ciências Exatas e da Terra – CCET.
Dantas, Andréa de Araújo.
A criptografia no ensino fundamental e médio / Andréa de Araújo Dantas. - , Caicó, RN, 2016.
34 f. : il.
Orientador: Prof. Me. Odilon Júlio dos Santos.
Monografia (Especialização) – Universidade Federal do Rio Grande do Norte. Secretaria de Educação à Distância. Coordenação do Curso de Especialização em Ensino de Matemática para o Ensino Médio.
1. Ensino da matemática - Monografia. 2. Criptografia - Monografia. 3. Cartas código – Monografia. 4. Manipulação de cartas código - Monografia. 5. Criação de cartas código - Monografia. I. Santos, Odilon Júlio dos. II. Título.
Andréa de Araújo Dantas
Trabalho apresentado ao Curso de Especialização em Matemática para o Ensino Médio da Universidade Federal do Rio Grande do Norte em cumprimento às exigências legais para a obtenção do título de Especialista.
Área de concentração: Matemática
Banca examinadora:
Prof. Me. Odilon Júlio Andrade
Orientador
Prof. Me. Daniel Ecco
Examinador
Prof. Esp. Luciana Vieira Andrade
DEDICATÓRIA
Dedico este trabalho aos meus pais, ao meu irmão, aos meus amigos que sempre me apoiaram de alguma forma. Dedico ao meu esposo por sua paciência e apoio integral frente aos meus estudos.
AGRADECIMENTOS
A Deus, pois sem Ele não teria forças para essa longa jornada.
Aos meus pais Francisco e Maria Rosa e ao meu irmão Alexandre por acreditarem em mim.
Ao meu esposo Halison pelo carinho, a paciência e por sua capacidade de me trazer paz na correria de cada semestre.
Aos meus amigos Guilherme, Glícia, Kelvin, Lourdinha, Lércia, Terezinha e Sebastião, pelas alegrias, tristezas e dores compartilhadas.
Ao professor Odilon, por sua paciência e orientação imprescindível ao desenvolvimento deste trabalho.
Com todos vocês, as pausas entre um parágrafo e outro de produção melhoraram tudo o que tenho produzido na vida.
Por fim, agradeço a todos que de alguma forma me ajudaram a tornar realidade a conclusão deste trabalho.
“O livro da natureza foi escrito exclusivamente com figuras e símbolos matemáticos.”
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RESUMO
Neste trabalho, enveredamos pela análise do uso da criptografia no ensino de Matemática nos níveis fundamentais e Médio através da realização de exemplos de utilização prática dos conteúdos matemáticos do currículo base da Educação Básica como forma de visualização da amplitude dos caminhos matemáticos no processo de ensino-aprendizagem dentro do ambiente escolar. O estudo deste trabalho começa pela elucidação dos principais fatos históricos que contribuíram para o desenvolvimento da criptografia e das tecnologias como as conhecemos hoje. No decorrer do trabalho são apresentadas formas de construção de cartas códigos através da criptografia pelo uso de saberes matemáticos. Tudo isso possui como principal ponto de ancoragem a construção de um significado mais amplo de alguns conteúdos matemáticos que muitas vezes são apresentados de forma crua e sem nenhum atrativo que motive os alunos a desenvolverem conhecimentos em torno do que é ensinado. Por fim, abordam-se as principais aplicações da criptografia que se apresentam no nosso dia a dia e que muitas vezes não vemos a sua importância, tampouco vemos todo o universo matemático que existe por trás de uma simples mensagem emitida de um aparelho para outro.
Palavras-chave: Ensino da Matemática. Criptografia. Cartas Código.
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ABSTRACT
In this work, we embarked for examining the use of the cryptography in teaching mathematics in fundamental levels and East by performing examples of practical use of the mathematical content of the curriculum base of basic education as a form of amplitude of mathematical paths display in the teaching process learning with the school environment. The study of this work begins with the elucidation of the major historical events that contributed to the development of cryptography and technologies as we know them today. During the work forms of code letters construction are presented by encrypting the use of mathematical knowledges. All this has as main broader anchor point to build a meaning of some mathematical content that are often presented in raw form and without any attraction that motivate students to develop knowledge around what is taught. Finally, to address the main applications of cryptography that are presented in our day to day and often do not see its importance, nor do we see all the mathematical universe that exists behind a simple message sent from one device to another.
Keywords: Mathematics Teaching. Encryption. Letters Code. Handling letters code. Creating letters code.
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SUMÁRIO
1. INTRODUÇÃO 10
2. CAPÍTULO 1: Criptografia da carta código e fatos históricos 12
3. CAPÍTULO 2: Cartas códigos no estudo das operações básicas 17
4. CAPÍTULO 3: Cartas códigos no estudo das funções 21
5. CAPÍTULO 4: A criptografia que se encontra no dia a dia 28
6. CONCLUSÃO 32
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INTRODUÇÃO
Pensar o ensino da Matemática é encarar um conjunto histórico de tabus a serem quebrados para que o verdadeiro conhecimento seja produzido pelos educandos. Muitos são os caminhos que os conhecimentos matemáticos podem conduzir docentes e discentes dentro do universo da construção de saberes e, alguns destes caminhos serão abordados neste TCC como alternativas para um ensino cada vez mais renovado e interativo. Múltiplos caminhos, mas que levam a um único ponto de colisão.
Ter as múltiplas formas de um único saber na mão possibilita a qualquer indivíduo caminhar pelas nuances da Matemática com segurança e sem a possiblidade de ser comprometido pelos preconceitos que o ensino mecanizado permeou na educação por anos a fio. Grandes são as surpresas que o estudo da Matemática pode revelar aos discentes, daí ao docente cabe o grande papel de condutor e guia através dos caminhos da construção do saber.
Ensinar sempre foi uma das mais nobres e árduas tarefas designadas a todos que se dispõem a compartilhar o saber com os jovens aprendizes e dessa forma perpetuar o conhecimento e possibilitar a evolução dos conteúdos ensinados e aprendidos. Foi devido ao ensino da Matemática através dos tempos que o conhecimento do universo matemático alcançou o patamar que hoje se encontra e que irá possibilitar a constante evolução para se alcançar novos patamares de saber.
São desafios que levam à busca de novos saberes que solucionem o desafio e proponha novos. Quando se pensou em compartilhar uma mensagem sem que ela fosse lida pela pessoa errada, estava lançado o desafio do desenvolvimento de uma forma de escrever a mensagem de forma oculta. Nasciam assim as raízes da criptografia. A partir das primeiras eras das sociedades humanas organizadas, já se desenvolviam formas de ocultar mensagens que se destinavam a poucas pessoas. Outro grande impulso veio quando a máquina Enigma foi criada durante a Segunda Guerra Mundial e, desta forma, exigiu como contra resposta a criação do primeiro computador da história. O Colossos tinha como função quebrar a criptografia da máquina Enigma e, assim, auxiliar a Inglaterra na guerra.
Tudo isso, leva ao fato de que o ser humano só tende a aprender de forma clara e concisa quando se encontra diante de um desafio que prenda a sua atenção e o leve a buscar uma solução para tal desafio. Ensinar, pois, é desafiar de forma intensa e
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constante os discentes para que estes se mostrem instigados a buscarem os saberes que levem a solução do desafio.
Aos docentes, propor um desafio a sua turma é, antes de tudo, elucidar a natureza do saber que foi abordado durante as aulas e preparar o terreno para os saberes que ainda serão ensinados. Criar uma ponte entre saberes matemáticos e saberes criptográficos é aproximar dois universos que na verdade são um só. Seria impossível haver criptografia sem que antes houvesse Matemática.
Assim, chegamos ao objetivo deste trabalho. Ensinar em si nunca foi o desafio maior de um professor. O desafio se encontra em como ensinar de forma significativa um saber de qualquer que seja a área do saber. Este trabalho busca mostrar que exista uma ligação muito forte entre o ensino da Matemática e a criptografia. As formas de abordagens de tal ligação dentro da sala de aula se apresentam de inúmeras maneiras e podem ser exploradas infinitamente pelos docentes. No decorrer do texto serão apresentados exemplos de aplicações da criptografia na criação de cartas código que utilizam conhecimentos dos níveis fundamental e médio.
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CAPÍTULO 1
Criptografia da carta código e fatos históricos
Eleger um tema de aula de Matemática é algo que deixa margem para múltiplas interpretações dentro daquele conjunto de conhecimentos que se pretende favorecer a construção do conhecimento de forma significativa para os alunos. Chegou ao fim a era onde simplesmente fazia-se a transmissão mecânica de fórmulas e conhecimentos tão prontos e mastigados que chegam a ser coisas de um outro espaço de compreensão para o entendimento dos alunos. Desta forma não se trata se o docente ensina operações ou integrais avançadas. Trata-se da forma como o conteúdo é abordado e apresentado aos discentes.
Nas palavras da professora Bini (2016): “Entendo como professora, em sala de aula, que o maior desafio enfrentado atualmente é conquistar os alunos para que sejam reais parceiros na construção do conhecimento”. Assim, trabalhar o tema Cartas códigos pode remeter a muitas formas de abordar os conceitos e conteúdos matemáticos. Contudo, o processo de codificar mensagens como atividade lúdica traz à tona toda a criptografia e o jogo criptográfico que se estendem através da criação de uma carta código com operações simples que sejam.
Figura 1.1: Carta código publicada na Revista do Professor de Matemática pela professora Marcia Barbara Bini
A figura acima mostra o quanto simples pode ser um processo de modelagem de uma carta código e o tanto de diferença que essa forma de modelagem pode apresentar
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dentro do ambiente de construção do conhecimento que é a sala de aula. O que antes poderiam ser apenas operações Matemáticas repetitivas e mecânicas, agora se tornou a chave para decodificar a mensagem oculta na carta em questão. E nisso, chega-se a mais um ponto: toda codificação precisa de uma chave para ser decodificada.
A chave eleita pela professora Bini fornece as ferramentas para decodificar a carta da figura 1.1.
Figura 1.2: Chave de decodificação
Com a chave de decodificação e através dos cálculos, os alunos têm a oportunidade de chegar até a mensagem final. Com este exemplo, é possível perceber o quanto de criptografia pode estar envolvida em uma aula de Matemática e como esta criptografia pode tornar uma aula bem mais dinâmica e construtiva. Para tanto, é essencial conhecer um pouco mais dos fundamentos históricos e teóricos que envolvem o universo da criptografia.
O termo Criptografia foi cunhado a partir do grego krypto, que significa secreto ou oculto, juntamente com grafo que significa grafia. Desta forma, a criptografia é a atividade de escrever de forma oculta. Tal atividade remonta aos primeiros anos das sociedades humanas organizadas. Trata-se de codificar informações usando uma chave de codificação antes que elas sejam enviadas ou transmitidas ao seu receptor. O receptor por sua vez realizará a operação inversa usando a mesma chave para decodificar a mensagem antes codificada. Em termos matemáticos pode-se dizer que a criptografia usa de uma função para criptografar uma mensagem e utiliza da função inversa para decodificar esta.1
Os primeiros registros históricos que se têm sobre o uso da criptografia remonta à civilização egípcia onde vestígios de textos criptografados foram encontrados em achados arqueológicos. Os romanos também foram grandes usuários dos conhecimentos de criptografia. Estes usavam mensagens cifradas para transmitir planos de batalha e
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OLGIN, Clarissa de Assis; GROENWALD, Claudia Lisete Oliveira; Criptografia: Um tema gerador para os
conteúdos matemáticos no ensino fundamental, 2012, V seminário internacional de pesquisa em
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estratégias de guerra sem que seus planos fossem descobertos pelas forças inimigas caso a mensagem fosse interceptada.
Outra forma de cifrar mensagens muito utilizada no auge das sociedades grega e romana era o Citale espartano. Tal técnica consistia em escrever a mensagem em uma tira de couro enrolada em um bastão de madeira de certo diâmetro. Após escrita a mensagem, a tira de couro era desenrolada do bastão e utilizada como cinto com a mensagem oculta no verso. A decifração da mensagem só era possível com a utilização de um bastão de madeira de mesmo diâmetro que o bastão onde a mensagem foi cifrada. Este foi o primeiro aparelho militar de Criptografia conhecido. Datando do século V a.c. Outra cifra bem simples e eficiente foi utilizada pelo imperador romano Júlio César em tempos de guerra e para transmitir mensagens de interesse de poucos. A cifra ficou conhecida como Cifra de César e consiste em trocar a letra da mensagem por outra letra do mesmo alfabeto que estivesse três casas à frente da letra original.
Figura 1.3: Quadro com o método utilizado por Júlio César
Com a evolução constante das sociedades e o crescente conhecimento sobre criptografia sendo semeado às diversas partes do mundo, as cifras monoalfabéticas se tornaram demasiadamente simples e de fácil quebra para os criptologistas. A solução para tal impasse veio quando o diplomata francês Blaise Vigènere, no século XVI, criou uma cifra polialfabética. A mais conhecida das Cifras de Vigènere é a que utiliza 26 alfabetos cifrados. Tal cifra utiliza de uma palavra chave ao qual sem o devido conhecimento desta palavra torna-se quase inviável a leitura da mensagem cifrada. A tabela abaixo mostra a cifra de Vigènere.2
a b C d e f g h i j k l m n o p q r s t u v w x y z B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z A C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z A B D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z A B C E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z A B C D 2
MENEZES, Luiza de Abreu. CARVALHO, Marcos Pavani. Criptografia na sala de aula, X Encontro Nacional de Educação Matemática, Salvador, 2010.
16 F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z A B C D E G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z A B C D E F H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z A B C D E F G I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z A B C D E F G H J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z A B C D E F G H I K L M N O P Q R S T U V W X Y Z A B C D E F G H I J L M N O P Q R S T U V W X Y Z A B C D E F G H I J K M N O P Q R S T U V W X Y Z A B C D E F G H I J K L N O P Q R S T U V W X Y Z A B C D E F G H I J K L M O P Q R S T U V W X Y Z A B C D E F G H I J K L M N P Q R S T U V W X Y Z A B C D E F G H I J K L M N O Q R S T U V W X Y Z A B C D E F G H I J K L M N O P R S T U V W X Y Z A B C D E F G H I J K L M N O P Q S T U V W X Y Z A B C D E F G H I J K L M N O P Q R T U V W X Y Z A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S U V W X Y Z A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T V W X Y Z A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U W X Y Z A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V X Y Z A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W Y Z A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Z A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y
Uma das cifras criptográficas mais famosas da história foi criada por Arthur Scherbius. Tal cifra estava na composição da máquina de criptografia criada por Scherbius com o auxílio da tecnologia do século XX para sobrepor as técnicas de criptografia utilizadas durante a primeira Guerra Mundial. Tal máquina foi denominada de Enigma. Criada em 1918, a Enigma criptografava a mensagem de forma automática através de sinal elétrico interligado por circuitos internos.
Contando entre tomadas e misturadores de letras, a Enigma fornecia dez quatrilhões de possibilidades de cifrar uma única mensagem. Com tantas possibilidades de codificação, essa foi por muito tempo o trunfo dos Alemães durante a Segunda Guerra Mundial. Contudo, em 1943 o matemático inglês Alan Turing (1912-1954) juntamente com sua equipe deu início ao projeto Colossus. Financiado pelo governo britânico, Turing criou o primeiro computador da história que foi utilizado para decodificar as mensagens codificadas pela Enigma. Com isso, todo o desfecho da Segunda Guerra Mundial foi modificado.
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A partir da criação do Colossus e a quebra do código da Enigma, iniciou-se uma nova era na criptografia. Novos horizontes se abriram e hoje os computadores fazem uso de inúmeros recursos como equações Matemáticas e algoritmos para poderem cifrar as mensagens que lhe são inseridas.
Com isso, pode-se perceber os múltiplos patamares de abrangência que a criptografia possibilita dentro dos vários ambientes do saber. Em se tratando de aulas de Matemática o aproveitamento dos recursos ofertados pela Criptografia é extremamente enriquecedor para o ambiente de ensino e aprendizagem. Ao longo deste trabalho serão apresentadas atividades que terão como base a criação de cartas códigos, por parte dos alunos, que envolverão desde conceitos simples de operações aritméticas até o conhecimento de funções quadráticas, funções logarítmicas, funções exponenciais e matrizes.
Há nessas atividades um espaço aberto para a discussão de conceitos como Domínio da função, Imagem e contradomínio. A ideia de função inversa também é abordada uma vez que a decodificação de uma mensagem cifrada por função só pode ser efetuada através de sua função inversa.
Uma versão Matemática da Cifra de Vigènere também será utilizada em algumas atividades apresentadas. O objetivo é analisar a criptografia de cálculos e resultados matemáticos dentro da comunicação nos meios matemáticos.
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CAPÍTULO 2
Cartas códigos no estudo das operações básicas
A base de todos os estudos matemáticos é constituída em cima do entendimento das relações que os elementos matemáticos mantêm entre si e com o mundo físico ao mesmo tempo. Isto, no princípio do desenvolvimento dos conhecimentos matemáticos, ainda no seio das primeiras civilizações humanas, se deu através do processo de construção da lógica das operações básicas entre valores matemáticos.
Da mesma forma que não se pode subir uma escada pulando os degraus, é impossível elucidar o processo de ensino e aprendizagem de Matemática sem que se comece pela construção de uma base sólida de saberes voltados para a aprendizagem significativa das operações com os números. O patamar matemático das operações oferece infinitas possibilidades de abordagens diferentes para que o docente inove e renove a cada nova aula.
Uma carta código com uma mensagem criptografada é perfeitamente uma dessas formas de abordagem das operações. Trabalhar a codificação e decodificação de mensagens através da resolução de problemas matemáticos faz com que os discentes agucem cada vez mais o senso de curiosidade e ampliem sua criatividade quanto à utilização dos saberes matemáticos. Basta pensar o quão intrigante e estimulante para um discente é o fato dele juntamente com seus colegas decodificarem um código e revelarem o que antes estava oculto aos olhos do leitor.3
Vamos tomar o seguinte enunciado: Um famoso matemático disse essa frase sobre um dos principais números da Matemática. Qual é a frase?
[( ) ] ( )
( ) ( )
19 ( ) ( ) ( ) ( ) [( ) ] √ ( ) ( ) ( ) ( )
Numa primeira observação, qualquer pessoa pode pensar que as operações acima são apenas meros exercícios de repetição mecânica das operações Matemáticas, no entanto, o enunciado deixa bem claro que o conjunto de operações é, na verdade, uma mensagem codificada de um famoso matemático.
Para codificar ou decodificar qualquer mensagem, seja ela fácil ou difícil, é preciso ter o conhecimento da chave de codificação que foi utilizada para criptografar a mensagem. No caso da codificação acima, a chave usada para criptografar a frase foi a seguinte:
ALFABETO NÚMERO ALFABETO NÚMERO
A 1 O 15 B 2 P 16 C 3 Q 17 D 4 R 18 E 5 S 19 F 6 T 20 G 7 U 21 H 8 V 22 I 9 W 23 J 10 X 24
20
K 11 Y 25
L 12 Z 26
M 13
N 14
Tal chave de correção4 corresponde a uma função que associa a cada letra do alfabeto o número correspondente a sua posição dentro do alfabeto. Com isso, é possível introduzir dentro do ambiente escolar uma ideia bem desenvolvida de funções e de sua variabilidade de aplicações. O aprendizado das ideias iniciais de funções é algo que possibilita uma maior facilidade no aprendizado de conceitos mais complexos, conforme os patamares matemáticos são conquistados pelos educandos.
Voltando a nossa mensagem criptografada inicial, após os alunos resolverem as operações indicadas no exercício de criptografia, eles chegarão a uma sequência de números que serão utilizados para resolver o código. Tal sequência é:
26 5 18 15 5 19 19 5 14 1 4 1 17 21 5 5 20 21 4 15
Pela sequência de números e utilizando a ideia de função inversa o discente, com a orientação do professor, irá fazer o caminho inverso para decodificar a mensagem. Através da associação de cada número obtido como resultado das operações o processo de decifração irá revelar uma frase do matemático francês Charles-Ange Laisant (1841-1920). Tal frase é: “Zero, esse nada que é tudo”.
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A frase por si só já abre uma possibilidade de discussão sobre a importância do exercício em si e sobre o papel do zero na Matemática. Uma aula não deve estar presa a um único ponto de vista ou a uma única linha de pensamento e de conhecimento. O ensino da Matemática pode e deve estar aliado às discussões do dia a dia o da própria construção histórica dos saberes matemáticos.
A atividade de criptografia através da carta código de operações oferece um leque imenso de muitas outras aplicações dentro do ensino da Matemática. Pela abordagem das operações o ensino dos saberes matemáticos dentro do ensino fundamental torna-se mais interativo e construtivo. Aprender Matemática de forma significativa no ensino fundamental irá tornar o aprendizado no ensino médio bem mais elucidativo do que mecânico.
Os próximos capítulos serão voltados para cartas códigos com aplicações dentro dos conteúdos do ensino médio. A chave de criptografia será a mesma utilizada neste capítulo. A ideia é mostrar que de uma única chave de criptografia pode-se derivar inúmeras formas de ocultar uma mensagem e de aprender com todo esse processo.
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CAPÍTULO 3
Cartas códigos no estudo das funções
Nos primeiros estudos matemáticos do ensino médio três palavras geralmente são tidas como o terror dos conteúdos matemáticos abordados pelos docentes. Estamos falando de função, domínio e imagem. Estes são conceitos muitas vezes mal compreendidos dentro do universo de sala de aula e como consequência desta má compreensão segue uma repulsa por parte dos alunos quando o tema é o estudo das funções.
Todavia, as funções são tão presentes no cotidiano de qualquer um que conviva em uma sociedade organizada e mutante onde o fluxo de informações aumenta em proporção geométrica que o seu estudo se torna indispensável. Entender de forma elucidativa as definições gerais e específicas de funções leva o educando a ver o mundo que o rodeia de forma diferente e mais clara ante os saberes matemáticos.
Como já foi mencionado, a Matemática fornece uma multiplicidade de caminhos para o estudo de suas nuances e para o ensino de seus saberes. Cada caminho conduz de forma fidedigna a uma nova forma de ensino e aprendizagem sem, contudo, perder a originalidade do conteúdo a ser ensinado.
Pensar uma carta código baseada nos saberes do universo das funções é um caminho que permite abordar muitos temas que se desdobram dentro de cada subtema. Criptografar exige sempre uma chave que irá permitir a codificação da mensagem desejada. Neste ponto entra as funções e seu papel dentro da construção de uma carta código. Uma função qualquer pode ser definida como uma chave de codificação para uma mensagem definida.
No capítulo anterior foi visto que para decodificar uma mensagem codificada era necessário possuir a chave de criptografia e realizar o processo inverso e, desta forma, a mensagem seria revelada. Ao se usar uma função como chave de codificação é necessário utilizar sua função inversa como chave de decodificação. Assim, atividades de criação e resolução de cartas códigos feitas a partir de funções exigem do aluno e do professor o trabalho em equipe para a construção dos saberes em torno dos conteúdos de função, domínio da função, imagem da função, contra domínio da função e de função inversa.
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Para as cartas códigos que construiremos neste capítulo usaremos um alfabeto de criptografia diferente do utilizado no CAPÍTULO 2. O ponto base é mostrar que a cada nova atividade de criptografia através de cartas códigos é possível modificar também o alfabeto base como uma forma de intensificar o nível do código criado.
A ideia para este novo alfabeto é utilizar valores permutados duas posições em relação ao alfabeto base utilizado no capítulo anterior. Assim, o alfabeto para este capítulo será conforme o apresentado na tabela abaixo.
ALFABETO NÚMERO ALFABETO NÚMERO
A 3 O 17 B 4 P 18 C 5 Q 19 D 6 R 20 E 7 S 21 F 8 T 22 G 9 U 23 H 10 V 24 I 11 W 25 J 12 X 26 K 13 Y 27 L 14 Z 28 M 15 N 16
Vamos começar a construção da carta código de funções com o seguinte enunciado: François Fenelon (1651 – 1715) foi um poeta francês que proferiu a frase que se encontra criptografada abaixo.
57,42,189,114,777,42,434 – 2,354,522,42,189,42,434 – 354,522,42 – 434,42 – 29,114,569,42,393,477,42,218 – 18,282,218 – 317,393,282,9,189,42,218,2,434 – 354,522,42 – 42,29,522,18,2,218 – 2 – 2,189,218,2 – 42 – 42,189,42,569,2,218 – 282 – 42,434,317,114,393,114,477,282.
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Descabidamente, a sequência acima seria apenas um amontoado de números sem significado algum para qualquer um que não possua a informação que se trata de uma frase criptografada. Com isto o primeiro intuito de ocultar uma informação por meio de algum método de codificação é extremamente cumprido. O segundo intuito é o de decodificar a mensagem através da utilização da chave de decodificação.
Para o exemplo acima, o docente irá fornecer ao aluno a chave que foi utilizada para a codificação da frase expressa. Tal chave é:
A ideia inicial deste exercício é levar o aluno a buscar caminhos que levem à revelação do que está por trás da sequência de números. Tendo em mãos o alfabeto base e sabendo que o valor correspondente a cada letra assume a posição da variável a cada codificação o discente poderá planejar os passos iniciais para a decodificação da frase de Fenelon.
Durante o processo de decodificação, o professor deve auxiliar os alunos para que estes planejem de forma clara cada passo que irão dar com o intuito de que o resultado de todos seja a mesma mensagem. Neste ponto, é interessante que o professor mencione de forma clara os conceitos de domínio, imagem e função inversa.
O trabalho em cima destes conceitos leva o aluno a elucidá-los na prática o que conduz a uma aprendizagem bem mais profunda dentro deste campo de saberes matemáticos.
Dois pontos devem ser ressaltados dentro da resolução desta carta código. O primeiro é o caminho que pode levar à resolução através da simples observação de que cada valor separado por vírgula é na verdade a imagem de algum dos valores do domínio referente ao alfabeto base escolhido. O segundo ponto se alicerça em cima do conceito e construção da função inversa da função que foi utilizada como chave de codificação. Este segundo ponto será o foco para a resolução da criptografia da frase apresentada anteriormente.
Cabe ao docente relembrar ou apresentar aos discentes os processos que são utilizados para encontrar a função inversa de uma função qualquer. Aplicando um destes processos os educandos chegarão a seguinte função inversa:
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√
A partir da função inversa é possível decodificar a mensagem, pois como é de conhecimento de todos que estudam as funções no ensino básico, a função inversa utiliza a imagem da função original como domínio e retorna como imagem o domínio da função original. Eis um ponto importante que deve ser frisado pelo docente dentro do processo de decodificação da carta: o fato de existir um ciclo entre a função original, usada para codificar a mensagem, e a função inversa, usada para decodificar a mensagem. Tal ciclo deve ser elucidado de forma que os discentes entendam que as duas funções são inversas mutuamente. A única diferença aqui é, que trabalhando com cartas códigos de funções, uma faz e a outra desfaz.
Antes de decodificarmos a mensagem, vamos apontar o segundo caminho. Primeiro, é básico que os discentes entendam uma função aplicada a um de seus valores como uma equação de uma variável. Por exemplo, dada a função de decodificação
Tomando o valor na frase codificada, sabemos que este valor é na verdade a imagem do valor de que corresponde a alguma letra do alfabeto de codificação. Assim, o aluno pode fazer o caminho da substituição de valores. De fato:
Recai-se em uma equação do segundo grau o que se apresenta como um ótimo gancho para revisar os métodos de resolução de equações do segundo grau. Isso tudo mostra que os caminhos para a decodificação de qualquer criptografia brotam como estrelas em uma noite de lua. E, não importa o caminho tomado desde que o destino não seja alterado.
Por conveniência, vamos continuar o nosso processo de decodificação utilizando a função inversa ou substituição da imagem na função original, escolhendo sempre o melhor e mais rápido método. Esta, conforme já mencionado, consuma-se como a chave de decodificação da frase do poeta.
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Uma vez escolhida ou descoberta a chave para a decodificação, o próximo passo é observar a carta código. Neste exemplo, ocorreu a possibilidade de escrever a carta de uma forma diferente daquela apresentada no exemplo do CAPÍTULO 2. Isto porque ao se trabalhar com funções cada letra é codificada como um valor real e não como uma operação aritmética. Daí é possível interpretar padrões. Esse é um passo importante que o docente deve conduzir seus alunos a realizarem. A ideia é perceber que números iguais têm grande possibilidade de referir-se a letras iguais. Com isso, é possível montar uma sequência de valores a serem decodificados eliminando as repetições para atalhar o número de cálculos.
Vamos observar a tabela:
2 9 18 29 42 57 114 189 218
282 317 354 393 434 477 522 569 777 Esta é a sequência crescente de valores que aparecem na frase codificada. Eliminadas as repetições, os cálculos reduzem-se a aplicação destes valores na função inversa ou no método escolhido pelos discentes. Aplicando os valores da tabela acima na função inversa, podemos construir a seguinte tabela:
VARIÁVEL FUNÇÃO LETRA
2 √ A 9 √ B 18 √ C 29 √ D 42 √ E 57 √ F 114 √ I 189 √ L 218 √ M 282 √ O 317 √ P 354 √ Q
27 393 √ R 434 √ S 477 √ T 522 √ U 569 √ V 777 √ Z
Chegamos então ao mapa final que nos revelará a mensagem oculta pela criptografia. Agora é fácil o discente perceber que basta corresponder cada número da carta código à sua respectiva letra. Daí temos o seguinte texto: “Felizes aqueles que se divertem com problemas que educam a alma e elevam o espírito.”
De fato, um problema de criptografia envolvendo conhecimentos matemáticos sempre será um bom propulsor na elevação do espírito e da vontade de aprender de cada aluno que mergulhar de cabeça na sua resolução e de cada professor que se propuser a conduzir seus aprendizes por um dos tantos caminhos que a Matemática possui. Citando Luiza de Abreu Menezes e Marcos Pavani de Carvalho (2010):
”Acreditamos que o aprendizado só é possível se nos propusermos a realizar um trabalho que relacione a realidade e as expectativas dos nossos alunos, usando os diferentes recursos disponíveis que nos auxiliam no processo de ensino-aprendizagem da Matemática.”
No momento, pode haver o questionamento de que se trata apenas de mais uma atividade de cálculos com a diferença que está com uma roupagem nova. Mas esta é apenas a base da atividade. A verdadeira atividade ocorre quando o professor propõe aos seus alunos que eles se dividam em grupos e cada grupo escolha sua chave de criptografia e crie uma carta código. Após todos os grupos terem criado suas cartas códigos, é hora dos grupos trocarem de cartas e assim o jogo começa.
O objetivo do jogo é que um grupo decifre a mensagem do outro sem o intermédio imediato da chave de criptografia. Mas como? Cada grupo quando criar sua carta código irá ocultar a chave de criptografia sobre a face de um enigma ou problema matemáticos. Por exemplo, ao invés de simplesmente entregar a chave de criptografia, que é uma função, o grupo pode entregá-la sob a forma do gráfico que representa a função no plano cartesiano.
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Não é necessário que uma atividade esteja materialmente presa aos trejeitos sociais para que ela deserte o interesse dos educandos. O alicerce do jogo por si só já estimula uma parte do interesse, pois, competir de forma saudável é da natureza humana. Desde os primórdios competimos pela sobrevivência e pelo conhecimento. O pressuposto de descobrir o que está oculto e de, ao mesmo tempo, competir com seus semelhantes estimula de forma demasiada o interesse de qualquer indivíduo.
Este é apenas uma das atividades que pode ser proposta como jogo no ensino médio. A criatividade de alunos e professores é o fomento para a criação de mais uma infinidade de jogos que envolvam os saberes de funções e ao mesmo tempo o intrigante universo da criptografia. Vale salientar que qualquer função pode ser utilizada como uma chave de criptografia. O limite quem determina é o tamanho da imaginação fértil dos discentes.
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CAPÍTULO 4
A criptografia que se encontra no dia a dia
Recentemente, o aplicativo de celular, para troca de mensagens e arquivos, mais utilizado no mundo recebeu uma atualização e exibiu para seus usuários espalhados pelo mundo a seguinte mensagem:
As mensagens que você enviar para esta conversa e ligações agora são protegidos com criptografia de ponta-a-ponta, o que significa que elas não podem ser lidas ou ouvidas pelo WhatsApp ou por terceiros.
Figura 4.1
O aplicativo WhatsApp integra assim uma forma de segurança na troca de suas mensagens que possibilita o impedimento do vazamento e leitura de mensagens por aqueles aos quais tais mensagens não são destinadas. Em seu site oficial, o WhatsApp ainda exibe o seguinte comunicado esclarecendo um pouco mais a natureza da nova atualização:
A criptografia de ponta-a-ponta do WhatsApp está disponível quando você e as pessoas com as quais você conversa estão na versão mais recente do nosso
aplicativo. Muitos aplicativos criptografam
mensagens entre você e eles próprios, já a criptografia de ponta-a-ponta do WhatsApp assegura que somente você e a pessoa com a qual você está se
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comunicando podem ler o que é enviado e ninguém mais, nem mesmo o WhatsApp. Isto porque mensagens são criptografadas com um cadeado único, onde somente você e o destinatário possuem uma chave especial para abrir e ler a mensagem. E para uma proteção ainda maior, cada mensagem que você enviar possui um cadeado e uma chave. Tudo isso acontece automaticamente: não é necessário ativar configurações ou estabelecer conversas secretas especiais para garantir a segurança de suas mensagens.5
A base da mensagem de esclarecimento acima está no que define de fato a criptografia desde o seu princípio até os dias atuais. Para cifrar uma mensagem é preciso de uma chave que ativará um cadeado que só poderá ser aberto por aquele que possuir a mesma chave utilizada. Desta forma, um único destinatário conseguirá abrir a mensagem. Mesmo que esta mensagem seja interceptada por uma terceira pessoa, sua leitura será impossibilitada pela ausência da chave que abre o cadeado e revela o que até então está oculto.
Um passo triunfante no ensino da Matemática pode ser dado com a utilização deste exemplo de aplicação da criptografia em algo que está intimamente incorporado no dia a dia das pessoas inclusive dos estudantes. Com o advento do século XXI, o acesso a aparelhos tecnológicos se tornou mais viável a todas as classes sociais. O acesso a rede mundial de computadores, hoje, é algo que está difuso quase que no planeta inteiro. Cabe ao professor usar essas ferramentas e informações como mais uma forma de inovar e renovar na busca do saber e da aprendizagem deste saber por parte dos alunos.
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Figura 4.2
Incontáveis são operações, funções, combinações e muitas outras ferramentas Matemáticas são utilizadas para que a cada mensagem enviada por um usuário a outro seja gerada uma nova chave de criptografia. A base aqui não é entender a fundo o sistema de criptografia implementado pelo WhatsApp nos seus serviços, mas elucidar para os discentes o quão ampla pode ser a discussão dos saberes envolvidos na relação entre Matemática e criptografia.
A maior segurança criptográfica se encontra no sistema de chaves assimétricas. Tal sistema foi pouco a pouco sendo desenvolvido através dos tempos para aperfeiçoar a segurança na troca de mensagens entre computadores. A simplicidade e genialidade deste sistema encontram-se no fato de que a receita de criptografia em si é conhecida publicamente. No entanto, as chaves mesmo que reveladas também se encontram protegidas por uma terceira chave.
A criptografia de chaves assimétricas é utilizada por muitas entidades como uma ferramenta para proteção de suas informações e de seus clientes. Poucos param para pensar em qual a verdadeira função do aparelho que exibe uma sequência numérica e a cada espaço de tempo muda essa sequência de forma constante. Muitos bancos financeiros entregam a cada cliente um aparelho deste como uma segurança a mais nas transações bancárias que estes clientes irão realizar.
A sequência numérica nada mais é do que uma chave de criptografia que abre o cadeado que codifica os dados do cliente em questão. Outro exemplo bem comum de chave de criptografia de dados está na senha atribuída às contas bancárias. Tal senha
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quando ligada a um cartão magnético com chip de dados ativa o sistema de decodificação sempre que o cliente requeira alguma informação.
Além de sistemas e aplicativos que utilizam sistemas de criptografia de chaves assimétricas ou outro sistema de criptografia moderno podemos citar ainda alguns aparelhas eletrônicos que trazem como diferenciais sistemas que criptografam os dados de seu proprietário impedindo desta forma que algum invasor tenha acesso aos arquivos salvos no aparelho ou que alguém consiga quebrar a senha de acesso e visualize a interface do aparelho.6
Com tais exemplos, o docente pode abrir dentro do ambiente de sala de aula a construção de um debate e de pesquisas em torno da questão de como a criptografia e a Matemática estão intricadas no dia a dia de qualquer indivíduo. Desta forma, os discentes possuem as ferramentas para ancorar os saberes escolares no seu cotidiano o que, origina uma aprendizagem com muito mais sentido e significado.
Figura 4.3
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COUTINHO, S. C. Números inteiros e criptografia RSA, Universidade Federal do Rio de Janeiro, 2014.
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CONCLUSÃO
Ensinar pode ser tão fácil e tão difícil ao mesmo tempo. Professores estão há séculos tentando chegar a uma fórmula perfeita para que se possa realizar o ensino perfeito. Mas, a verdade é que não existe fórmula perfeita nem teoria infalível para se ensinar qualquer que seja o conteúdo de qualquer área do saber. Ensinar é um ato de conviver e conhecer quem está imerso nesse processo tão simples e tão mutante ao mesmo tempo.
Parafraseando o grande educador Paulo Freire, me atrevo a usar suas palavras onde ele diz que “quem ensina aprende ao ensinar e quem aprende ensina ao aprender”. Ninguém tem a capacidade de ensinar tudo a todos, mas todos têm a capacidade de estar em constate processo de tentativa e melhoras. Inovar e renovar leva sempre alunos e professores a estarem num constante processo de interação dentro e fora dos ambientes regulares de ensino.
Em se tratando do ensino da Matemática, o docente sempre irá encarar um muro de tabus e preconceitos que definem os conhecimentos matemáticos como um amontoado de caracteres sem nenhuma ligação com a realidade. Mas será mesmo que não existe ligação? A resposta é tão óbvia quanto a aversão que existe de muitos à Matemática. Muito do que se constrói nas sociedades modernas está de alguma forma, interligado ao universo matemático.
São tais ligações que devem ser inteiramente exploradas pelo docente de modo a puxar os discentes para o universo matemático sem, contudo, retirá-los de suas realidades cotidianas. Neste trabalho, ao explorar a ligação entre a criptografia e a Matemática, um novo espaço de construção de saber pôde ser visualizado e explorado.
Uma carta código pode até parecer um exercício simples de mecanização de saberes, mas não é. O desafio de quebrar um código ou de criar um código que não seja quebrado tão facilmente já se configura como um grande pressuposto para ligar a atenção dos alunos com o conteúdo trabalhado. Cada exercício proposto traz consigo um amplo leque para ser explorado por professores e alunos na construção de novos exemplos de exercícios.
Outro ponto forte discutido e que ancora muito bem a importância da criptografia no ensino fundamental e médio são os exemplos cotidianos de utilização da criptografia. Ver os conceitos matemáticos e criptográficos ocultos por trás de uma
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simples mensagem enviada de um aparelho eletrônico para outro leva à expansão do campo de visão daqueles envoltos no processo de ensino e aprendizagem dos conteúdos matemáticos.
Por fim, sabe-se que muito ainda há de se fazer, mas para toda caminhada é preciso manter passos constantes e confiantes. Educar apresenta-se nas mais variadas nuances. Para cada ambiente e meio social um novo processo de ensino deve ser aplicado. O que se ensina aqui de uma forma talvez não possa ser ensinado ali da mesma maneira. No entanto, as bases são as mesmas, a única diferença está em como serão erguidos os degraus.
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REFERÊNCIAS
BINI, Marcia Barbara. Carta código: Uma atividade para a sala de aula. Revista do professor de Matemática nº76, 2016.
COUTINHO, S. C. Números inteiros e criptografia RSA, Universidade Federal do Rio de Janeiro, 2014.
GROENWALD, Claudia Lisete Oliveira. FRANKE, Rosvita Fuelber. OLGIN, Clarissa de Assis. Códigos e senhas no ensino básico, Educação Matemática em revista.
MENEZES, Luiza de Abreu. CARVALHO, Marcos Pavani. Criptografia na
sala de aula, X Encontro Nacional de Educação Matemática, Salvador, 2010.
OLGIN, Clarissa de Assis. GROENWALD, Claudia Lisete Oliveira.
Criptografia: Um tema gerador para os conteúdos matemáticos no ensino fundamental, Anais do V Seminário Internacional de Pesquisa em Educação
Matemática, Petrópolis, 2012.
