Microeconomia2Grad NA1 EG

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MICROECONOMIA 2

Departamento de Economia, Universidade de Bras´ılia

Notas de Aula 1 – Gradua¸c˜

ao

Prof. Jos´

e Guilherme de Lara Resende

1 Equil´ıbrio Geral com Trocas

1.1 Introdu¸

c˜

ao

Na teoria de equil´ıbrio parcial, estudamos o funcionamento do mercado de um bem isoladamente. Agora vamos estudar o funcionamento de uma economia como um todo. De modo geral, a demanda e a oferta de um bem dependem não somente do pre¸co deste bem, mas também dos pre¸cos de outros bens da economia. Essa rela¸cão de dependência entre os mercados torna o estudo de uma economia mais complicado. Esse estudo é chamado equil´ıbrio geral.

A ideia da mão invis´ıvel de Adam Smith pode ser interpretada como uma sociedade formada por indiv´ıduos com interesses próprios interagindo por meio de trocas de bens e servi¸cos leva a uma situa¸cão de equil´ıbrio eficiente:

“Every individual...generally, indeed, neither intends to promote the public interest, nor knows how much he is promoting it. By preferring the support of domestic to that of foreign industry he intends only his own security; and by directing that industry in such a manner as its produce may be of the greatest value, he intends only his own gain, and he is in this, as in many other cases, led by an invisible hand to promote an end which was no part of his intention” (Adam Smith, A riqueza das Na¸c˜oes, Livro IV, Cap´ıtulo II, p. 477).

Veremos que essa ideia est´a relacionada ao conceito de eficiˆencia de Pareto e ao Primeiro Teorema do Bem-estar.

Outras questões importantes com rela¸cão a este tópico são: • Defini¸cão: o que é um equil´ıbrio.

• Existência: sob que condi¸cões podemos garantir que um equil´ıbrio existe. • Unicidade: sob que condi¸cões o equil´ıbrio será único.

• Estabilidade: desvios do equil´ıbrio tendem ao equil´ıbrio ou n˜ao.

Walras no final do século XIX argumentou a existência de equil´ıbrio nos moldes de demanda igual à oferta. Porém há um erro na argumenta¸cão de Walras. Esse erro foi apontado e corrigido por Wald em 1935, que provou a existência de equil´ıbrio sob condi¸cões bastante restritivas (utilidades separáveis, utilidade marginal decrescente para todos os bens, etc). Debreu e Arrow (1954) e McKenzie (1954) provaram a existência de equil´ıbrio em um mercado competitivo, sob condi¸cões bem mais gerais do que as de Wald.

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A hipótese fundamental no estudo de equil´ıbrio geral é a de mercados competitivos. Isso implica que os agentes da economia (consumidores e firmas) são tomadores de pre¸cos.

Hipóteses Comportamentais. A hipótese de mercados competitivos pode ser posta como: 1. Para cada bem, existe um grande número de firmas e consumidores atuando no seu mercado; 2. Consumidores maximizam a utilidade, sujeita à restri¸cão or¸camentária, onde tomam os pre¸cos

dos bens como dados;

3. Firmas maximizam lucros, dada a sua tecnologia e tomando os pre¸cos dos insumos e dos bens produzidos como dados.

Outras hipóteses importantes são referentes a ausências de: 1. Custos de transa¸cão,

2. Externalidades, 3. Bens p´ublicos,

4. Problemas de informa¸c˜ao.

Vamos supor nesta se¸cão que não exista um mercado formal (ou seja, que não exista um sistema de pre¸cos). Logo, todas as intera¸cões entre os diversos agentes da economia são realizadas por meio de trocas voluntárias (“barter economy”).

Também não lidaremos neste momento com a questão de produ¸cão. Cada indiv´ıduo da economia recebe uma dota¸cão inicial de bens. Vamos representar pelo vetor ei _{∈ R}n

+ a dota¸c˜ao inicial dos n

bens do consumidor i, i = 1, . . . , I.

O caso de dois indiv´ıduos e dois bens, I = 2 (nesse caso vamos representar os dois consumidores por A e B, para facilitar a nota¸c˜ao) e n = 2, pode ser analisado graficamente por meio da caixa de Edgeworth.

A dota¸c˜ao total de uma economia, eT_{, ´}_{e a soma das dota¸c˜}_{oes iniciais dos indiv´ıduos da economia.}

No caso de dois consumidores e dois bens, temos que eT = eA+ eB, onde ei = (ei₁, ei₂), i = A, B. Defini¸cão: Caixa de Edgeworth. A caixa de Edgeworth é uma representa¸cão gráfica dessa economia, onde cada ponto da caixa possui quatro coordenadas, duas referentes ao indiv´ıduo A e duas referentes ao indiv´ıduo B.

A dimensão (o tamanho) da caixa é definida pela dota¸cão total de bens na economia. Um ponto na caixa representa uma poss´ıvel distribui¸cão de dota¸cão entre os participantes da economia, sem desperd´ıcios. Todas as poss´ıveis distribui¸cões de bens na economia estão representadas na caixa.

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0A 6 -0B ? s s eA 2 eA 1 s s eB 2 eB 1 s e = (eA, eB) Bem 1 Bem 2

Para completarmos a caracteriza¸cão dessa economia, temos que especificar as preferências in-dividuais. Representamos estas preferências por meio de fun¸cões de utilidade. Supondo que todas as preferências sejam bem comportadas, obtemos um mapa de curvas de indiferen¸ca que preenche a caixa de Edgeworth, para cada indiv´ıduo.

0A 6 -0B ? s s eA₂ eA 1 s s eB₂ eB₁ s e = (eA, eB)

Suponha que existam I indiv´ıduos e n bens. Cada indiv´ıduo é representado por uma rela¸cão de preferência i_{(ou, equivalentemente, por uma utilidade u}i_{) e uma dota¸c˜}_{ao inicial e}i_{. Vamos denotar}

por I o conjunto dos consumidores, I = {1, . . . , I}. A cole¸cão E = (ui, ei)I_i=1 representa uma economia de trocas (ou economia de trocas puras ou economia de trocas simples, sem produ¸cão). Defini¸cão: Aloca¸cão. Vamos denotar por e = (e1, . . . , eI) a distribui¸cão de dota¸cões na economia e por x = (x1_{, . . . , x}I_{) uma aloca¸}_c˜_{ao dessa economia. Portanto, uma aloca¸c˜}_{ao para a economia E}

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Defini¸cão: Aloca¸cão Fact´ıvel. Dizemos que a aloca¸cão x = (x1_{, . . . , x}I_{) ´}_{e fact´ıvel se ela exaure}

a dota¸cão total de cada bem na economia. Logo, para cada bem, a quantidade consumida é igual ao total dispon´ıvel. O conjunto das aloca¸cões fact´ıveis, denotado por F (e), é dado por:

F (e) = ( x | I X i=1 xi = I X i=1 ei )

Para o caso de dois consumidores, A e B, a aloca¸c˜ao x = (xA_{, x}B_{), com x}A _{= (x}A

1, xA2) e

xB _{= (x}B

1, xB2), ser´a fact´ıvel se:

Bem 1: xA₁ + xB₁ = eA₁ + eB₁ Bem 2: xA₂ + xB₂ = eA₂ + eB₂

1.2 Eficiˆ

encia de Pareto

Dizemos que uma aloca¸cão fact´ıvel é Pareto-eficiente se não for poss´ıvel melhorar (estritamente) pelo menos um indiv´ıduo sem piorar ninguém.

Defini¸cão: Aloca¸cão Pareto-Eficiente. A aloca¸cão fact´ıvel x ∈ F (e) é Pareto-eficiente (ou Pareto-ótima ou eficiente de Pareto) se não existir nenhuma outra aloca¸cão fact´ıvel y ∈ F (e) tal que yi i _xi_{, para todo i ∈ I, e y}j j _xj_{, para pelo menos um j ∈ I (em termos de utilidade:}

ui_(yi_{) ≥ u}i_(xi_{), para todo i ∈ I, e u}j_(yj_{) > u}j_(xj_{), para pelo menos um j ∈ I).}

Dado que as trocas na economia são feitas de forma voluntária, se a economia se encontra em uma aloca¸cão Pareto-eficiente, não será poss´ıvel mudar essa aloca¸cão. Portanto, as aloca¸cões Pareto-eficientes são candidatas naturais ao equil´ıbrio da economia.

Observa¸c˜oes sobre o Crit´erio de Pareto:

• Uma outra maneira de interpretar: aloca¸cões de recursos em que não é poss´ıvel fazer com que todos melhorem ou que não é poss´ıvel fazer com que alguém melhore sem que pelo menos uma outra pessoa piore são aloca¸cões Pareto ótimas.

• Aloca¸cões eficientes de Pareto são aloca¸cões em que todos os ganhos de troca se exauriram. Logo não existem mais trocas mutualmente vantajosas para serem feitas.

• Em geral há um conjunto grande de pontos Pareto ótimos em uma economia. Dizer que a economia deve estar em um ponto Pareto ótimo é um ju´ızo de valor, mas o mais fraco ju´ızo de valor que se pode fazer a respeito da situa¸cão da economia.

• O critério de Pareto apenas diz que não deve haver perdas ou desperd´ıcios na economia, ele não diz nada sobre a distribui¸cão de riqueza de uma sociedade. Se a sociedade partir de uma dota¸cão inicial de recursos muito desigual, é provável que a aloca¸cão de equil´ıbrio seja também desigual, mesmo sendo eficiente.

Defini¸cão: Curva de Contrato. A curva de contrato é o conjunto de todas aloca¸cões Pareto eficientes da economia. Essa curva também é chamada conjunto de Pareto.

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0A 6 -0B ? s e = (eA, eB) s s Curva de Contrato

Para o caso de dois consumidores, A e B, uma aloca¸cão eficiente de Pareto pode ser vista como uma aloca¸cão onde um dos agentes está tão bem quanto poss´ıvel, dada a utilidade do outro agente. Se as utilidades dos dois agentes forem bem comportadas, então as aloca¸cões fact´ıveis no interior da caixa de Edgeworth em que as TMS dos dois agentes são iguais definem as aloca¸cões Pareto eficientes, ou seja, a curva de contrato.

Portanto, em uma aloca¸cão Pareto eficiente, as taxas marginais de substitui¸cão entre dois bens devem ser iguais entre os consumidores (se não fosse o caso, existiria alguma troca que melhoraria um dos consumidores sem piorar o outro – observe a figura acima). Note que isso vale para utilidades bem comportadas e aloca¸cões no interior da caixa de Edgeworth.

Exemplo: Suponha dois consumidores, A e B, que possuem dota¸c˜oes iniciais representadas por eA= (ex_A, ey_A) e eB = (ex_B, ey_B), e utilidades Cobb-Douglas denotadas por:

uA(xA, yA) = xαAyA1−α e uB(xB, yB) = xβBy 1−β B

Igualando a TMS dos dois consumidores, obtemos: T M SA(xA, yA) = αyA (1 − α)xA = βyB (1 − β)xB = T M SB(xB, yB)

Lembrando que toda aloca¸cão Pareto eficiente é fact´ıvel e que as aloca¸cões fact´ıveis satisfazem xA+ xB = eTx e que yA+ yB = eTy, obtemos: αyA (1 − α)xA = β(e T y − yA) (1 − β)(eT x − xA)

Resolvendo essa equa¸c˜ao, encontramos yAem fun¸c˜ao de xA, de modo que define a curva de contrato.

Suponha que as utilidades dos dois indiv´ıduos são iguais (logo, α = β). Então a última expressão acima se torna: αyA (1 − α)xA = α(e T y − yA) (1 − α)(eT x − xA) ⇒ yA = eT_y eT x ! xA,

ou seja, a curva de contrato será uma reta, qualquer que seja a utilidade Cobb-Douglas considerada (isso não ocorrerá se as utilidades dos dois indiv´ıduos forem distintas).

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Defini¸cão: Conjunto de Possibilidade de Utilidade. O conjunto de possibilidade de utilidade (CPU) ilustra combina¸cões de utilidades poss´ıveis de serem obtidas, dados os recursos da economia. Na fronteira da CPU são representadas combina¸cões de utilidades geradas por aloca¸cões Pareto eficientes. Mais ainda, toda aloca¸cão Pareto eficiente possui uma representa¸cão da utilidade gerada na fronteira de possibilidade de utilidade (FPU).

6 -uB uA Fronteira de Possibilidade de Utilidade

Vamos definir um conceito ainda mais forte do que o de aloca¸cões Pareto eficientes. Dada uma aloca¸cão fact´ıvel qualquer, vamos assumir que coalizões (grupos de indiv´ıduos) que possam obter uma aloca¸cão melhor entre si, então eles realizam trocas para alcan¸car essa melhora. Esta ideia é formalizada nos conceitos a seguir.

Defini¸cão: Bloqueio. Seja S ⊂ I uma coalizão de consumidores. Dizemos que S bloqueia a aloca¸cão fact´ıvel x ∈ F (e) caso exista uma aloca¸cão y tal que:

1. P

i∈Syi =

P

i∈Sei, e

2. yi i _xi _{para todo i ∈ S, com pelo menos um j ∈ S tal que y}j j _xj_.

Uma aloca¸cão para a qual não existe nenhuma coalizão que a bloqueie, ou seja, em que para todo S ⊂ I não exista y ∈ F (e) tal que yi i _xi _{para todo i ∈ S, com pelo menos uma preferˆ}_encia

estrita, é chamada aloca¸cão não bloqueável.

Note que aloca¸cões ineficientes são bloqueadas pela coalizão formada por todos os indiv´ıduos da economia (S = I). Logo, toda aloca¸cão não-bloqueável é Pareto-eficiente (a volta não é válida em geral).

Defini¸cão: Núcleo. O conjunto das aloca¸cões não bloqueáveis, denotado por C(e), é chamado núcleo da economia E .

As aloca¸cões no núcleo de uma determinada economia de trocas puras são as candidatas naturais para serem alcan¸cadas por meio de uma sequência de trocas voluntárias. Porém para isso ocorrer há um exigência informacional gigantesca para cada participante da economia.

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1.3 Equil´ıbrio em Economias de Trocas

Vamos supor a partir de agora que as transa¸cões são efetuadas em mercados competitivos, onde cada consumidor maximiza o seu bem-estar, dados os pre¸cos que observa. Vamos continuar assumindo que não exista produ¸cão na economia. Logo, cada consumidor recebe uma dota¸cão inicial de bens, que pode ser vendida e da´ı usada para adquirir outra cesta de bens.

Portanto, o sistema de pre¸cos é o instrumento alocativo de uma economia de mercado. Ele determina o valor de cada dota¸cão inicial e, consequentemente, quais cestas de bens estão dentro da possibilidade de consumo de cada indiv´ıduo.

Suponha I consumidores, I = {1, . . . , I} denota o conjunto dos I consumidores. Suponha tamb´em que as preferˆencias i _{de cada consumidor i ∈ I s˜}_{ao representadas por uma fun¸c˜}_{ao de}

utilidade ui bem comportada (cont´ınua, estritamente crescente e estritamente quasecˆoncava). O problema do consumidor i, no caso de dois bens apenas, ´e:

max

xi 1,xi2

ui(xi₁, xi₂) s.a. p1xi1+ p2xi2 ≤ p1ei1+ p2ei2,

onde ei _{= (e}i

1, ei2) ´e a dota¸c˜ao inicial do consumidor i.

Resolvendo o problema do consumidor, encontramos a sua demanda xi(p, p · ei), onde para o caso de dois bens temos que xi_{(p, p · e}i_{) = (x}i

1(p, p · ei), xi2(p, p · ei)). Note que a renda do

consumidor agora ´e end´ogena e depende dos pre¸cos vigentes na economia.

0A 6 -0B ? @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ s xA s xB se = (eA, eB)

obs: xi_{: demanda bruta de i, i = A, B}

Observe que no sistema de pre¸cos representado na figura acima, cada um dos dois consumidores está maximizando a sua utilidade dada a restri¸cão or¸camentária que enfrenta, em que essa restri¸cão é determinada pelo sistema de pre¸cos. Porém, a economia não está em equil´ıbrio: há um excesso de oferta do bem 1 e um excesso de demanda do bem 2.

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Vimos que o n´ıvel de pre¸cos representado na figura acima não iguala a demanda à oferta, para nenhum dos dois bens. Nesse caso, dizemos que os mercados não se equilibram ou se exaurem. Logo, a economia está em desequil´ıbrio. O equil´ıbrio será obtido via ajuste de pre¸cos, que faz com que a demanda se iguale à oferta para todos os bens da economia. Essa situa¸cão é chamada equil´ıbrio de mercado, ou equil´ıbrio competitivo, ou equil´ıbrio Walrasiano. Pre¸cos que alcan¸cam o equil´ıbrio são chamados pre¸cos de equil´ıbrio. A aloca¸cão resultante é chamada aloca¸cão de equil´ıbrio (ou aloca¸cão de equil´ıbrio Walrasiano).

Defini¸cão: Excesso de Demanda Agregada. A fun¸cão de excesso de demanda (ou excedente de demanda) agregada do bem k é definida como:

zk(p) = I X i=1 xi_k(p, p · ei) − I X i=1 ei_k.

O vetor de excesso de demanda agregada ´e:

z(p) = (z1(p), . . . , zn(p)) .

Observe que zk(p) = 0 equivale a: I X i=1 xi_k(p, p · ei) = I X i=1 ei_k

Ent˜ao, aos pre¸cos p, se zk(p) = 0, a demanda de mercado pelo bem k iguala a oferta de mercado

desse bem. Se z(p) = 0, onde 0 = (0, . . . , 0) denota o vetor de zeros, ent˜ao os mercados de todos os bens est˜ao em equil´ıbrio.

Defini¸c˜ao: Equil´ıbrio. O vetor de pre¸cos p∗ ´e um equil´ıbrio Walrasiano se z(p∗) = 0.

Propriedades da Fun¸c˜ao Excesso de Demanda. Se para cada consumidor i ∈ I, ui _´_e

bem-comportada, ent˜ao, para todo p 0, temos que:

1. (Continuidade) z(·) é cont´ınua em p. Se um pre¸co varia em uma quantidade pequena, o excesso de demanda agregada varia por uma quantidade pequena. O excesso de demanda será cont´ınuo se as demandas individuais forem cont´ınuas. Também, se cada consumidor for tomador de pre¸co e sua demanda for pequena em rela¸cão à demanda de mercado, então mesmo que a demanda individual seja descont´ınua, a demanda agregada poderá ser cont´ınua. 2. (Homogeneidade) z(αp) = z(p), para todo α > 0. Apenas pre¸cos relativos importam – podemos normalizar os pre¸cos e usar um numerário. Logo, não podemos determinar o valor dos pre¸cos absolutos de equil´ıbrio da economia. Se existem n pre¸cos na economia, apenas n − 1 pre¸cos serão independentes. No caso de dois bens, podemos normalizar um deles em 1 e apenas encontrar o pre¸co relativo de equil´ıbrio do outro bem.

3. (Lei de Walras) p · z(p) = 0. O valor do excesso de demanda agregada é sempre zero, quaisquer que sejam os pre¸cos de mercado. Consequentemente, se existem n mercados na economia, e n − 1 mercados estão em equil´ıbrio, então necessariamente o último mercado estará em equil´ıbrio. Portanto, para o caso de dois bens, precisamos verificar o equil´ıbrio apenas para um dos mercados (uma vez que se um mercado estiver em equil´ıbrio, o outro automaticamente também estará em equil´ıbrio).

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Um vetor de pre¸cos é um equil´ıbrio se a demanda agregada se igualar à oferta agregada em todos os mercados da economia. A questão fundamental é sobre a existência de equil´ıbrio, ou seja, sob quais condi¸cões podemos garantir a existência de um vetor de pre¸cos tal que os consumidores maximizem a sua utilidade, dados esses pre¸cos, e demanda agregada iguala oferta agregada? O próximo teorema responde essa questão.

Teorema de Existência de Equil´ıbrio. Se as utilidades de cada consumidor forem bem-comportadas e se a dota¸cão total de cada bem for positiva, então existirá (pelo menos) um vetor de pre¸cos p 0 tal que os mercados de todos os bens estejam em equil´ıbrio.

Defini¸cão: Aloca¸cão de Equil´ıbrio Walrasiano. Seja p∗ um equil´ıbrio Walrasiano para a economia E = (i, ei). O vetor x(p∗) é chamado uma aloca¸cão de equil´ıbrio Walrasiano, onde temos que:

1. (Maximiza¸c˜ao dos Consumidores) x(p∗) = (x1_(p∗_{, p}∗_{· e}1_{), . . . , x}I_(p∗_{, p}∗_{· e}I_{)) ´}_{e o vetor com}

as cestas ótimas de cada consumidor, quando os pre¸cos são p∗ e a renda do consumidor i, i = 1, . . . , I, é p∗· ei_;

2. (Equil´ıbrio) Os mercados de todos os bens est˜ao em equil´ıbrio: X i∈I xi_k(p∗, p∗· ei) = X i∈I ei_k, ∀k = 1, . . . , n. 0A 6 -0B ? @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ s Aloca¸c˜ao de equil´ıbrio s xA∗₂ xB∗₂ s xA∗ 1 xB∗ 1 se

A caixa de Edgeworht ilustrada na figura acima mostra um vetor de pre¸cos de equil´ıbrio, que leva os consumidores A e B, a partir de suas dota¸c˜oes iniciais, representadas no ponto e na caixa, `

a aloca¸cão de equil´ıbrio x = (xA∗, xB∗), na qual ambos os consumidores estão maximizando o seu bem-estar e os mercados dos dois bens estão em equil´ıbrio.

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2 Economias com Produ¸

c˜

ao

2.1 Introdu¸

c˜

ao

Vamos introduzir firmas no modelo de equil´ıbrio geral desenvolvido anteriormente. A produ¸cão e, portanto, a oferta agregada, são consequências do comportamento maximizador de lucros das firmas. Logo, a quantidade de bens dispon´ıveis para consumo não será mais fixa e dependerá da decisão de produ¸cão das firmas. O lucro das firmas é distribu´ıdo aos consumidores, os proprietários das firmas. Vamos caracterizar firmas por meio da tecnologia de produ¸cão que possuem. Na análise de equil´ıbrio geral é mais conveniente representar a tecnologia de uma firma usando o conceito de conjunto de possibilidade de produ¸cão, em vez de representá-la usando o conceito de fun¸cão de produ¸cão.

Suponha que existam J firmas. O conjunto de possibilidade de produ¸cão da firma j, denotado por Yj _{⊂ R}n, com n bens, é o conjunto de todas as combina¸cões de insumos e produtos dispon´ıveis para a firma. Um vetor yj _{∈ Y}j _´_{e chamado plano de produ¸}_c˜_{ao. Vamos usar a conven¸c˜}_{ao de que}

se o bem k for um insumo l´ıquido (a firma usa mais desse bem do que é capaz de produzir), a coordenada k de yj será negativa (y_kj < 0). Se o bem k for um produto l´ıquido da firma (a firma produz mais desse bem do que o consome no processo produtivo), então a coordenada k de yj _ser´_a

positiva (yj_k> 0). 6 -x2 x1 * Conjunto de Possibilidade de Produ¸c˜ao (convexo)

Dado o vetor de pre¸cos p ≥ 0, a firma j escolhe o plano de produ¸c˜ao que maximiza lucros: max

yj_∈Yj p · y

j

(1) Esse problema é similar ao problema de maximiza¸cão de lucros em termos de fun¸cões de produ¸cão, só que agora escrito em termos de conjuntos de possibilidade de produ¸cão.

Propriedades da fun¸cão lucro e oferta ótima. Se o conjunto de possibilidade de produ¸cão (CPP) Yj satisfizer certas condi¸cões, então, para todo vetor de pre¸cos p 0, a solu¸cão do problema da firma (1) acima será única e cont´ınua (denotada por yj_{(p)). Al´}_{em disso, a fun¸c˜}_{ao lucro, Π}j_{(p) =}

p · yj_{(p), ser´}_{a bem-definida e cont´ınua.}

O vetor yj(p) é chamado fun¸cão de oferta da firma j, em sentido amplo, já que engloba não somente os bens que a firma produz, mas também os bens que a firma utiliza como insumos.

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2.2 Eficiˆ

encia T´

ecnica e FPP

Suponha que existam dois produtos, X e Y , produzidos por duas firmas distintas, que usam dois fatores de produ¸cão, capital, K e trabalho, L. Suponha que as quantidades de capital e trabalho estão fixas. Podemos construir uma caixa de Edgeworth para produ¸cão, onde uma firma é representada no vértice sudoeste da caixa e a outra firma é representada no vértice noroeste da caixa. Representamos as isoquantas de ambas as firmas na caixa. Pontos de tangência destas isoquantas representam pontos de eficiência produtiva ou eficiência técnica. Podemos então definir uma curva de contrato para a produ¸cão.

01 6 -02 ? s s s Curva de Contrato para Produ¸c˜ao

Observe que na curva de contrato para a produ¸cão, as taxas marginais de substitui¸cão entre os insumos são iguais para ambas as firmas. Logo, em pontos de eficiência técnica, as taxas marginais de substitui¸cão entre dois insumos quaisquer são iguais entre firmas, mesmo que estas firmas produzam bens diferentes (assumindo fun¸cões de produ¸cão bem comportadas e aloca¸cões no interior da caixa). Podemos construir o seguinte conceito a partir da curva de contrato para a produ¸cão:

Defini¸cão: A fronteira de possibilidade de produ¸cão (FPP) mostra a quantidade máxima do bem Y que a sociedade pode produzir, para qualquer quantidade do bem X produzida.

Pontos na FPP representam a quantidade máxima do bem X que pode ser produzida para certa quantidade do bem Y . Pontos que estão sobre a FPP, tais como o ponto B na figura abaixo, são os pontos de eficiência técnica ou eficiência produtiva. Pontos no interior da FPP, tais como o ponto A na figura abaixo, são ineficientes no sentido técnico. Nos pontos sobre a FPP, a taxa marginal de substitui¸cão técnica entre dois insumos é igual para todas as firmas, quaisquer que sejam os bens que elas produzam, assumindo que a tecnologia de produ¸cão seja “bem-comportada”.

Podem existir pontos de eficiência técnica que não representem aloca¸cões Pareto eficientes. Porém, toda aloca¸cão Pareto eficiente está necessariamente associada a um ponto de eficiência técnica.

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6

-Bem Y

Bem X Fronteira de Possibilidade de Produ¸c˜ao

sA sB

A FPP tem inclina¸cão negativa devido à escassez de recursos. Se estamos no ponto B na figura acima e queremos produzir mais do bem X, precisamos abrir mão de um pouco de bem Y (a sociedade realoca alguns dos recursos usados na produ¸cão de Y para a produ¸cão de X). Portanto, a escassez de fatores de produ¸cão implica que a FPP é negativamente inclinada.

Defini¸c˜ao: O custo marginal do bem X ´e o custo de produzir uma unidade adicional de X, expresso em unidades do outro bem que deixa de ser produzido:

CM gX,Y = − dY dX F P P

O formato da curva da FPP reflete como o custo marginal de um bem muda com a quantidade do outro bem sendo produzida. Esse custo de oportunidade marginal da FPP é chamado taxa marginal de transforma¸cão dos bens. Essa taxa mede a taxa pela qual um bem pode ser transformado em outro, no sentido de que os fatores de produ¸cão são realocados da produ¸cão de um dos bens para a produ¸cão do outro bem.

Portanto, o custo marginal de produ¸cão de um bem em termos de outro bem é dado pela inclina¸cão da FPP. Uma FPP com inclina¸cão constante (isto é, uma reta) significa que este custo marginal é constante, independente da quantidade produzida. Uma FPP côncava significa que este custo marginal aumenta quanto mais desse bem é produzido. Ou seja, quanto maior a produ¸cão de vinho, para produzir mais um litro de vinho, temos que abrir mão de uma quantidade maior de pão.

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2.3 Equil´ıbrio

Os consumidores são modelados como antes, por meio de uma fun¸cão de utilidade e de uma dota¸cão inicial, que inclui bens ou servi¸cos que o consumidor oferece ao mercado, como trabalho, por exemplo. Com a inclusão de firmas na análise, precisamos descrever a distribui¸cão dos lucros dessas firmas na economia. Vamos denotar por θij _{a fra¸c˜}_{ao da firma j que o consumidor i det´}_em.

Devemos ter que:

0 ≤ θij ≤ 1, ∀i ∈ I, j ∈ J , e X

i∈I

θij = 1, ∀j ∈ J .

Um consumidor possui duas fontes de renda: a sua dota¸cão de bens e servi¸cos e a quantidade de a¸cões de firmas que possui. A restri¸cão or¸camentária do consumidor i se torna então:

p · xi ≤ p · ei₊X

j∈J

θijΠj(p) = mi(p),

onde mi_{(p) denota a renda do consumidor i. O problema do consumidor i ´}_{e portanto:}

max

xi_∈Rn +

ui(xi) s.a. p · xi ≤ mi_(p) ₍₂₎

Resolvendo este problema, encontramos as demandas ´otimas dos consumidores, o que permite calcular a demanda de mercado.

Com a introdu¸cão das a¸cões das firmas, completamos a caracteriza¸cão da economia, que pode ser denotada por E = (ui_{, e}i_{, θ}ij_{, Y}j₎

i∈I,j∈J (chamada economia de propriedade privada).

A fun¸c˜ao excesso de demanda agregada do bem k ´e agora dada por: zk(p) = X i∈I xi_k(p, mi(p)) −X j∈J yj_k(p) −X i∈I ei_k,

e o vetor de excesso de demandas ´e denotado por:

z(p) = (z1(p), . . . , zn(p)) .

O vetor de fun¸cões excesso de demanda agregada definido para economias com produ¸cão con-tinua satisfazendo as mesmas três propriedades que eram satisfeitas no caso de uma economia de trocas puras: 1) continuidade, 2) homogeneidade, e 3) lei de Walras. Essas propriedades possuem as mesmas interpreta¸cões e implica¸cões que vimos anteriormente.

Considere a economia de propriedade privada E = (ui_{, e}i_{, θ}ij_{, Y}j₎

i∈I,j∈J. Suponha que cada

util-idade individual satisfaz certas propriedades (por exemplo, é bem-comportada) e que o conjunto de possibilidade de produ¸cão de cada firma satisfaz certas hipóteses (por exemplo, apresenta retornos decrescentes de escala). Suponha também que y +P

i∈Ie

i _{0 para algum vetor de produ¸c˜}_ao

agregada.

Nesse caso, podemos garantir que existe pelo menos um vetor de pre¸cos p∗ 0 tal que o vetor de excessos de demanda seja igual a zero, z(p∗) = 0. A aloca¸cão de equil´ıbrio para uma economia com produ¸cão deve descrever além das cestas de consumo de cada indiv´ıduo, os planos de produ¸cão ´

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Defini¸c˜ao: Aloca¸c˜ao de Equil´ıbrio. Seja p∗ um equil´ıbrio para E = (ui_{, e}i_{, θ}ij_{, Y}j₎

i∈I,j∈J. O

par de vetores (x(p∗), y(p∗)) ´e uma aloca¸c˜ao de equil´ıbrio Walrasiano, onde temos que:

1. (Maximiza¸cão dos Consumidores) x(p∗) = (x1(p∗), . . . , xI(p∗)) é o vetor com as cestas ótimas de cada consumidor, quando os pre¸cos são p∗e a renda do consumidor i, i = 1, . . . , I, é mi_(p∗_);

2. (Maximiza¸cão das Firmas) y(p∗) = (y1(p∗), . . . , yJ(p∗)) é o vetor com os planos de produ¸cão ´

otimos de cada firma j, quando os pre¸cos s˜ao p∗;

3. (Equil´ıbrio) Os mercados de todos os bens est˜ao em equil´ıbrio: X i∈I xi_k(p∗) =X i∈I ei_k+X j∈J y_kj(p∗), ∀k = 1, . . . , n.

A figura abaixo ilustra uma situa¸cão de equil´ıbrio, considerando uma economia com um único consumidor. Observe que se a condi¸cão de tangência não for satisfeita, isso significa que a taxa na qual o consumidor está disposto a trocar um dos bens pelo outro é diferente da taxa na qual esse bem pode ser transformado no outro. Então existe a possibilidade de melhorar o bem-estar do consumidor, ao se rearranjar a produ¸cão. Portanto, se a condi¸cão de tangência não for satisfeita, a aloca¸cão não será Pareto eficiente.

6 -Bem Y Bem X FPP s Y∗ X∗ Curva de Indiferen¸ca @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @_@ N´ıvel de Pre¸cos de Equil´ıbrio

Observa¸c˜oes Importantes:

• A figura acima deixa claro que nem todo ponto de eficiência técnica será Pareto eficiente, mas todo ponto Pareto eficiente será tecnicamente eficiente.

• Uma aloca¸cão Pareto eficiente satisfaz as seguintes três condi¸cões:

1. Eficiˆencia nas trocas: As taxas marginais de substitui¸c˜ao entre quaisquer dois bens devem ser iguais.

2. Eficiência técnica ou produtiva: Para todas as firmas, as taxas técnicas de substitui¸cão entre quaisquer dois insumos devem ser iguais.

3. Eficiência no mix de produtos: A taxa técnica de transforma¸cão entre dois bens deve ser igual à taxa marginal de substitui¸cão dos consumidores.

(15)

Exemplo 1. Suponha uma fronteira de possibilidade de produ¸c˜ao para os bens X e Y representada pela equa¸c˜ao cX2 _{+ dY}2 _{= e. A fun¸c˜}_{ao de utilidade do agente representativo desta economia ´}_e

uma Cobb-Douglas u(X, Y ) = XαYβ. Então a taxa marginal de substitui¸cão (TMS) entre os dois bens, em valor absoluto, é:

|T M S| = ∂u(X, Y )/∂X ∂u(X, Y )/∂Y =

αY βX

Já o valor absoluto da taxa marginal de transforma¸cão (TMT) entre os dois bens pode ser encon-trado usando o Teorema da Fun¸cão Impl´ıcita, definindo f (X, Y ) = cX2_{+ dY}2_{− e:}

dY dX = ∂f (X, Y )/∂X ∂f (X, Y )/∂Y = cX dY Igualando o valor absoluto da TMS ao da TMT, obtemos:

αY βX = cX dY ⇒ Y 2 ₌ βc αd X2 ⇒ Y = r βc αd ! X

Note que se α = β e c = d, então a solu¸cão ótima consiste em X = Y . Os valores de X e Y podem ser encontrados substituindo a rela¸cão ótima derivada acima entre X e Y na FPP, cX2_{+ dY}2 _{= e:}

cX2+βcX 2 αd = e ⇒ X 2 = αde αcd + βc ⇒ X ∗ = s αde αcd + βc

A quantidade ótima de Y pode ser obtida usando a rela¸cão ótima entre X e Y acima e o valor ´

otimo de X encontrado acima, o que leva a Y∗ = pβce/(αcd + βc). J´a os pre¸cos de equil´ıbrio podem ser encontrados fazendo px/py = |T M S(X∗, Y∗)| = |T M T (X∗, Y∗)|, o que resulta em:

px py = αY ∗ βX∗ = cX∗ dY∗ ⇒ px py =r αc βd Voltando ao caso em que α = β e c = d, ent˜ao px/py = 1.

Exemplo 2: Economia de Robinson Crusoe. Suponha uma economia com dois bens, formada por apenas um indiv´ıduo e uma firma. A utilidade do consumidor ´e:

u(h, y) = h1−βyβ,

com 0 < β < 1. Vamos supor que a dota¸c˜ao inicial do consumidor ´e eT _{= (T, 0). A tecnologia da}

firma é descrita pela fun¸cão de produ¸cão y = hα, com 0 ≤ h ≤ b, b > T e 0 < α < 1. O problema da firma é:

max

h≤0 ph

α_{− wh,}

onde p é o pre¸co do bem final e w é o salário. A solu¸cão do problema da firma resulta em: hf =αp w _1−α1 e yf =αp w _1−αα O lucro ótimo é: π = π(w, p) = 1 − α α wαp w _1−α1 ≥ 0 .

(16)

O problema do consumidor ´e: max

h,y≥0h

1−β_yβ _s.a. _{py + wh = wT + π(w, p).}

A solu¸c˜ao do problema do consumidor ´e: hc= (1 − β) wT + π(w, p) w e yc = β wT + π(w, p) p

Como apenas pre¸cos relativos importam, vamos normalizar p∗ = 1. Pela lei de Walras, basta verificarmos a condi¸c˜ao de equil´ıbrio de um dos mercados para determinar o pre¸co w de equil´ıbrio. No mercado h, temos que hf _{+ h}c_{= T resulta em:}

hf + hc= T ⇒ w∗ = α 1 − β(1 − α) αβT

1−α .

(17)

3 Bem-Estar Social

3.1 Eficiˆ

encia de Pareto

Vimos que o princ´ıpio básico de eficiência usado em economia é o critério de Pareto, que formaliza a ideia de que se na situa¸cão social A um indiv´ıduo fica melhor e nenhum fica pior comparado à situa¸cão B então a situa¸cão A é melhor para a sociedade do que a situa¸cão B. Ou, se na situa¸cão social A, todos os membros da sociedade estão melhores comparados à situa¸cão B, então, a situa¸cão A é melhor para a sociedade que a situa¸cão B. O critério ou princ´ıpio de Pareto também pode ser formalizado da seguinte maneira.

Defini¸cão: Uma aloca¸cão social A é Pareto-dominada pela aloca¸cão B se a aloca¸cão B é fact´ıvel e nenhum agente fica pior, e pelo menos um fica melhor, na aloca¸cão B que na aloca¸cão A.

Defini¸cão: Uma aloca¸cão fact´ıvel é Pareto ótima (ou eficiente de Pareto) se não é Pareto-dominada por nenhuma outra aloca¸cão fact´ıvel.

Uma aloca¸cão eficiente de Pareto satisfaz as seguintes três condi¸cões (“em situa¸cões bem-comportadas”:

• Eficiˆencia nas trocas: as taxas marginais de substitui¸c˜ao entre quaisquer dois bens devem ser iguais.

• Eficiência produtiva: para todas as firmas, as taxas técnicas de substitui¸cão entre os insumos devem ser iguais.

• Eficiência no mix de produtos: a taxa marginal de transforma¸cão entre dois bens deve ser igual à taxa marginal de substitui¸cão dos consumidores.

3.2 Os Dois Teoremas de Bem-Estar

O Primeiro e o Segundo Teoremas do Bem-Estar são resultados cruciais sobre bem-estar em economias de mercado. Os dois teoremas respondem à pergunta em que sentido e sob quais condi¸cões mercados competitivos levam à eficiência econômica e quando qualquer situa¸cão de eficiência pode ser alcan¸cada por um mercado competitivo.

Primeiro Teorema do Bem-Estar. Toda aloca¸cão de equil´ıbrio Walrasiano é Pareto-ótima. O Primeiro Teorema do Bem-Estar afirma que todo equil´ıbrio Walrasiano satisfaz o critério de Pareto, ou seja, todo equil´ıbrio em concorrência perfeita é Pareto ótimo. Logo, não existe nenhum rearranjo de recursos (ou seja, nenhuma mudan¸ca na produ¸cão ou no consumo) tal que alguém possa melhorar sua situa¸cão sem ao mesmo tempo piorar a situa¸cão de outro. Portanto, o mercado agindo sozinho alcan¸ca uma situa¸cão de equil´ıbrio Pareto ótima, mesmo com cada agente econômico agindo de modo ego´ısta, no sentido de buscar apenas o seu próprio bem-estar. Este resultado está relacionado com a famosa “mão invis´ıvel ” de Adam Smith. Observe que a aloca¸cão de equil´ıbrio pode ser bastante desigual e ainda assim ser Pareto eficiente.

Segundo Teorema do Bem-Estar. Sob certas hipóteses, se x é Pareto-eficiente, então x é uma aloca¸cão de equil´ıbrio Walrasiano para algum pre¸co p de equil´ıbrio, após uma redistribui¸cão adequada de dota¸cões iniciais.

(18)

O Segundo Teorema Fundamental do Bem-Estar diz que, “sob certas condi¸cões”, toda aloca¸cão Pareto ótima pode ser obtida pela economia de mercado, por meio de uma redistribui¸cão adequada das riquezas iniciais dos agentes.

Portanto, o teorema implica que qualquer aloca¸cão Pareto-ótima pode ser atingida por meio do mecanismo de mercado descentralizado, ou seja, não é necessário haver um planejador cen-tral. O próprio mercado pode alcan¸car a aloca¸cão desejada, sendo necessária somente a correta redistribui¸cão de recursos na economia. Neste sentido, é poss´ıvel dizer que o segundo teorema do bem-estar permite a separa¸cão dos problemas de eficiência econômica e de distribui¸cão dos bens na sociedade.

O segundo teorema do bem-estar supõe uma série de hipóteses para a sua validade. As mais importantes e restritivas são relacionadas a questões de convexidade. Primeiro, as preferências dos consumidores devem ser convexas. Segundo, o conjunto de produ¸cão de cada firma deve ser convexo (é poss´ıvel relaxar esse requerimento, mas devemos ter que o conjunto de possibilidade de produ¸cão agregado da economia seja convexo). Isso elimina a possibilidade de que o teorema seja válido na presen¸ca de retornos crescentes de escala (pelo menos de maneira geral para toda a economia).

Falhas de mercado são situa¸cões que invalidam os teoremas de bem-estar. Em particular, se alguma falha estiver presente, não podemos afirmar que a aloca¸cão de recursos e bens alcan¸cada por uma economia de mercado satisfa¸ca o critério de eficiência de Pareto.

Exemplos de falhas de mercado: • Bens P´ublicos;

• Externalidades; • Poder de mercado; • Informa¸c˜ao Imperfeita.

3.3 Aloca¸

c˜

oes Justas

Seja x = (xA, xB) uma aloca¸cão qualquer. Dizemos que o indiv´ıduo i inveja a cesta do indiv´ıduo j caso ele prefira a cesta de j à sua própria cesta. Por exemplo, dizemos que o indiv´ıduo A inveja a cesta de B caso uA_(xB

1, xB2) > uA(xA1, xA2).

Defini¸cão: Aloca¸cão Equitativa. Uma aloca¸cão equitativa é uma aloca¸cão para a qual nenhum indiv´ıduo inveja a cesta de outro indiv´ıduo.

Defini¸cão: Aloca¸cão Justa. Uma aloca¸cão justa é uma aloca¸cão equitativa e eficiente.

Podemos mostrar que sempre existirá pelo menos uma aloca¸cão justa: a aloca¸cão de equil´ıbrio obtida de uma divisão igualitária de recursos será uma aloca¸cão justa.

(19)

Leitura Recomendada

• Varian, caps. 31 - “Trocas” e 32 - “A Produ¸c˜ao”.

• Pindick e Rubinfeld, cap. 16 - “Equil´ıbrio Geral e Eficiˆencia Econˆomica”. • Nicholson e Snyder, cap. 13 - “General Equilibrium and Welfare”.

Exerc´ıcios

1. Desenhe a caixa de Edgeworth para as economias descritas abaixo, ilustrando as dota¸cões iniciais, as curvas de indiferen¸ca que passam por essas dota¸cões e as aloca¸cões descritas nos itens.

(a) Economia 1: uA _{= x}A

1xA2, uB = xB1x2B, eA = (3, 7), eB = (7, 3). Aloca¸c˜oes: (xA, xB) =

((2, 5), (8, 5), (˜xA, ˜xB) = ((0, 3), (10, 7), (ˆxA, ˆxB) = ((6, 6), (6, 6).

(b) Economia 2: uA = xA₁xA₂, uB = min{xB₁, xB₂}, eA _{= (4, 5), e}B _{= (11, 5). Aloca¸c˜}_oes:

(xA_{, x}B_{) = ((12, 3), (3, 7), (˜}_xA_{, ˜}_xB_{) = ((10, 5), (5, 5), (ˆ}_xA_{, ˆ}_xB_{) = ((3, 6), (2, 7).}

(c) Economia 3: uA _{= x}A

1 + xA2, uB = min{xB1, xB2}, eA = (4, 5), eB = (6, 15). Aloca¸c˜oes:

(xA, xB) = ((5, 8), (5, 12), (˜xA, ˜xB) = ((10, 5), (0, 15), (ˆxA, ˆxB) = ((3, 13), (7, 7). 2. Para as economias descritas nos itens da quest˜ao anterior, responda:

(a) Quais aloca¸c˜oes s˜ao fact´ıveis?

(b) Descreva a curva de contrato para cada uma dessas economias. Ilustre graficamente a curva de contrato na caixa de Edgeworth.

(c) Descreva as aloca¸cões no núcleo de cada uma dessas economias. Ilustre graficamente o núcleo na caixa de Edgeworth.

3. Suponha uma economia com dois consumidores, A e B, com utilidades definidas sobre cestas de dois bens, x e y, denotadas por uA(xA, yA) = x

1/2 A y

1/2

A e uB(xB, yB) = xByB. As dota¸c˜oes

iniciais de A e B s˜ao eA= (6, 4) e eB = (4, 6).

a) Desenhe a caixa de Edgeworth para essa economia, ilustrando as dota¸cões iniciais. b) Descreva os conjuntos das aloca¸cões fact´ıveis e das aloca¸cões Pareto eficientes. Descreva

as aloca¸cões que estão no núcleo desta economia. c) Determine os pre¸cos de equil´ıbrio para esta economia.

d) Normalize o pre¸co do bem y em 1. Mostre que para os pre¸cos de equil´ıbrio encontrados no item anterior, temos que de fato demanda iguala oferta no mercado dos dois bens. 4. (NS) Suponha que existam apenas trˆes bens, denotados por x1, x2 e x3, em uma economia

sem produ¸cão. As fun¸cões de excesso de demanda agregada pelos bens 2 e 3 são: z2(p) = − 3p2 p1 +2p3 p1 − 1 , z3(p) = 4p2 p1 − 2p3 p1 − 2 .

(a) Mostre que essas fun¸cões são homogêneas de grau zero nos pre¸cos.

(b) Use a Lei de Walras para mostrar que se z2(p) = z3(p) = 0, ent˜ao z1(p) tamb´em deve

ser igual a zero. Vocˆe consegue calcular z1(p) usando a lei de Walras?

(c) Resolva esse sistema de equa¸c˜oes para encontrar os pre¸cos relativos de equil´ıbrio p2/p1

(20)

5. (P1-2/18) Suponha uma economia com dois consumidores, A e B, com utilidades definidas sobre cestas de dois bens, x e y, denotadas por uA(xA, yA) = x2AyA2 e uB(xB, yB) = xByB. As

dota¸c˜oes iniciais de A e B s˜ao eA = (12, 8) e eB = (8, 12).

as aloca¸cões que estão no núcleo desta economia. c) Determine os pre¸cos de equil´ıbrio para esta economia.

d) Normalize o pre¸co do bem y em 1. Mostre que para os pre¸cos de equil´ıbrio encontrados no item anterior, temos que de fato a demanda ´e igual `a oferta no mercado dos dois bens.

e) Calcule a aloca¸cão de equil´ıbrio Walrasiano. Ela é uma aloca¸cão justa? Explique intu-itivamente a razão da sua resposta.

6. (PS-2/18) Considere uma economia sem produ¸c˜ao com dois bens, x e y. Suponha que existam apenas dois indiv´ıduos, A e B, com fun¸c˜oes de utilidade dadas por uA(x, y) = xy2 e uB(x, y) =

min{x, y} e dota¸c˜oes eA= (10, 20) e eB = (20, 10).

a) Descreva o conjunto de aloca¸cões fact´ıveis, o conjunto de aloca¸cões Pareto-ótimas e o núcleo dessa economia.

b) Determine as fun¸c˜oes de demanda dos dois consumidores. c) Determine a rela¸c˜ao de pre¸cos de equil´ıbrio.

d) Normalizando o pre¸co do bem y em 1, verifique que de fato os dois mercados se equilibram aos pre¸cos encontrados no item c).

e) Determine a aloca¸c˜ao de equil´ıbrio e verifique se ela ´e justa.

7. (P1-1/19) Suponha uma economia com dois consumidores, A e B, com utilidades definidas sobre cestas de dois bens, x e y, denotadas por uA(xA, yA) = x2AyA2 e uB(xB, yB) = xB+ yB.

As dota¸c˜oes iniciais de A e B s˜ao eA = (6, 4) e eB = (4, 6).

as aloca¸cões que estão no núcleo desta economia.

c) Determine os pre¸cos de equil´ıbrio para esta economia (dica: lembre-se que no equil´ıbrio, os pre¸cos relativos serão iguais às taxas marginais de substitui¸cão em valor absoluto para os dois consumidores).

d) Calcule a aloca¸cão de equil´ıbrio Walrasiano. Ela é uma aloca¸cão justa? Explique intu-itivamente a razão da sua resposta.