TOP OTIM SEP A02 QS

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Edmarcio Belati AB C /E ng. de Energia – Tópic os de Otim iza çã o em SE P

TÓPICOS DE OTIMIZAÇÃO EM SEP E

APLICAÇÕES

1

➢Definições e Propriedades

➢ Busca Unidimensional:

Dicotômica, Fibonacci, Razão Aurea, Redução pela Metade, Newton, Bisseção, Falsa Posição, dente outros.

➢ Aplicações – Octave

Prof. Dr. Edmarcio Antonio Belati [email protected]

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Edmarcio Belati C /E ng. de Energia – Tópic os de Otim iza çã o em SE P

DEFINIÇÕES E PROPRIEDADES

✓ Definição 1 (ESPAÇO N-DIMENSIONAL)

𝑥 = (𝑥₁, 𝑥_2,. . . , 𝑥_𝑛) ∈ ℜ𝑛 Para 𝑥, 𝑦 ∈ ℜ𝑛 e 𝛼 ∈ ℜ,

𝑥 + 𝑦 = (𝑥₁ + 𝑦₁, 𝑥₂ + 𝑦₂, ⋯ , 𝑥_𝑛 + 𝑦_𝑛)

Forma matricial (preferencial) como vetor coluna:

𝑥 = 𝑥₁ 𝑥₂ ⋮ 𝑥_𝑛 𝑥 + 𝑦 = 𝑥₁ + 𝑦₁ 𝑥₂ + 𝑦₂ ⋮ 𝑥_𝑛 + 𝑦_𝑛 ℜ𝑛 = (ℜ × ℜ × ℜ ⋯ × ℜ 𝑛−𝑣𝑒𝑧𝑒𝑠 ) 2 𝛼𝑥 = (𝛼𝑥₁ + 𝛼𝑥₂, ⋯ 𝛼𝑥_𝑛) 𝛼𝑥 = 𝛼𝑥₁ 𝛼𝑥₂ ⋮ 𝛼𝑥_𝑛 Conjunto dos vetores de n componentes reais.

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✓ Definição 2 (CONJUNTO CONVEXO)

𝛼𝑥 + 1 − 𝛼 𝑦 ∈ 𝐶, ∀𝛼 ∈ 0; 1

Todos os pontos contidos entre a combinação linear de quaisquer dois pontos (linha que une os pontos

x

e

y

) pertencentes a um conjunto convexo estão contidos dentro deste conjunto.

Convexo Não-convexo

DEFINIÇÕES E PROPRIEDADES

3

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✓ Definição 3 (FUNÇÃO CONVEXA)

𝑓 𝛼𝑥𝑎 + (1 − 𝛼)𝑥𝑏 ≤ 𝛼𝑓 𝑥𝑎 + 1 − 𝛼 𝑓 𝑥𝑏

Para uma função escalar 𝑓 pode-se utilizar a interpretação geométrica da figura para a qual o valor da função é menor ou igual à sua aproximação linear entre dois pontos quaisquer

𝑥

𝑎 e

𝑥

𝑏_.

DEFINIÇÕES E PROPRIEDADES

4

𝑓 é uma função convexa sobre um conjunto convexo 𝐶 se para quaisquer 𝑥𝑎, 𝑥𝑏 ∈ 𝐶 e qualquer 𝛼 ∈ 0; 1

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Por outro lado, para uma função não convexa, mostrada na figura, o valor da função não é menor ou igual à sua aproximação linear para alguns valores entre

𝑥

𝑎 𝑒

𝑥

𝑏.

DEFINIÇÕES E PROPRIEDADES

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Se para quaisquer 𝑥𝑎, 𝑥𝑏 ∈ 𝐶, 𝑥𝑎 ≠ 𝑥𝑏 e qualquer 𝛼 ∈ 0; 1 a desigualdade é estrita (<), 𝑓 é uma função estritamente convexa.

f é uma função (estritamente) côncava sobre um conjunto

convexo 𝐶 se − 𝑓 for uma função (estritamente) convexa sobre 𝐶.

DEFINIÇÕES E PROPRIEDADES

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DEFINIÇÕES E PROPRIEDADES

▪ Algumas propriedades importantes de funções convexas:

a) A segunda derivada é sempre não negativa para qualquer

x

no intervalo;

b) Existe um único ponto de mínimo.

Um importante conceito relacionado ao tema otimização é a convexidade. Está propriedade quando presente numa função, garante que seu ponto de mínimo é global.

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Ex: A função

f(x) = |x|

não é diferenciável na origem.

Uma função não diferenciável é usualmente designada como 𝐶0_.

Já uma função que possua primeira derivada contínua (mas não a segunda derivada) é chamada de 𝐶1_{. De forma geral, a}

designação 𝐶𝑛 _{indica a continuidade até a n-ésima derivada.}

DIFERENCIABILIDADE DE UMA FUNÇÃO

8

Muitas técnicas de otimização utilizam derivadas na processo de busca da solução. É fundamenta o conhecimento das funções que compõem o problema na momento da aplicação das técnicas de otimização.

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CLASSIFICAÇÃO DAS FUNÇÕES

Contínuas

Descontínuas

Discretas

9

Diferente das técnicas clássicas de otimização, as meta-heurísticas podem ser aplicadas para qualquer tipo de função, desde que a modelagem do problema seja adequada (as meta-heurísticas não utilizam derivadas).

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CLASSIFICAÇÃO DAS FUNÇÕES

Funções monotônicas:

Uma função

f(x)

é monotônica se, para quaisquer dois pontos

x

₁ e

x

₂, tem-se que:

a) 𝑓(𝑥1) ≤ 𝑓(𝑥2) (monotonicamente crescente)

b) 𝑓(𝑥1) ≥ 𝑓(𝑥2) (monotonicamente descrescente)

monotônica crescente monotônica decrescente

10

Observação: Uma função não precisa ser contínua para ser monotônica.

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Edmarcio Belati AB C /E ng. de Energia – Tópic os de Otim iza çã o em SE P Funções Unimodais

Uma função 𝑓(𝑥) é unimodal no intervalo 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏 se e somente se ela é monotônica em ambos os lados do ponto de ótimo

𝑥

∗no intervalo.

Ex:

CLASSIFICAÇÃO DAS FUNÇÕES

11

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CONDIÇÕES DE OTIMALIDADE

Questão: Uma solução 𝑥∗ é de fato a solução ótima?

Definições:

• Uma função 𝑓(𝑥) definida em S possui seu mínimo global em 𝑥∗∗ ∈ 𝑆 se e somente se:

𝑓(𝑥∗∗) ≤ 𝑓(𝑥) , ∀ 𝑥 ∈ 𝑆

• Uma função 𝑓(𝑥) definida em 𝑆 possui seu mínimo local em 𝑥∗ ∈ 𝑆 se:

𝑓(𝑥 ∗) ≤ 𝑓(𝑥) , ∀ 𝑥 contido em um intervalo ε de 𝑥∗ ou seja, existe um 𝜀 > 0 tal que para qualquer 𝑥 satisfazendo |𝑥 − 𝑥∗| < 𝜀, tem-se que 𝑓(𝑥∗) ≤ 𝑓(𝑥).

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MÉTODO PARA DETERMINAÇÃO DO ÓTIMO

Como apresentado na AULA 01, existe um grande número de métodos para a determinação do ponto de ótimo para funções de uma única variável, conhecidos como Métodos de Busca

Unidimensionais que se dividem basicamente em duas

classes:

a) Métodos que não utilizam derivadas

Ex.: Busca Dicotômica, Busca Fibonacci, Razão Aurea, Redução pela

Metade, dentre outros.

b) Métodos que utilizam derivadas.

Ex.: Newton, Bisseção, Falsa Posição, dente outros.

Obs. A unimodalidade e a propriedade necessária à quase totalidade dos métodos.

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SEM DERIVADAS

Teorema:

Seja f estritamente unimodal no intervalo (𝑎, 𝑏) com mínimo em 𝑥∗. Sendo 𝑥₁ e 𝑥₂ dois pontos no intervalo, de tal forma que 𝑎 < 𝑥₁ < 𝑥₂ < 𝑏, tem-se que:

min 𝑓 𝑥 𝑥 ∈ 𝑅1

Seja o Problema:

14

✓Se 𝑓(𝑥₁) > 𝑓(𝑥₂), então 𝑥∗ ∈ (𝑥₁, 𝑏) ✓Se 𝑓(𝑥1) < 𝑓(𝑥2), então 𝑥∗ ∈ (𝑎, 𝑥2)

✓Se 𝑓(𝑥₁) = 𝑓(𝑥₂), então 𝑥∗∈ (𝑥₁, 𝑥₂) a x1 b ) (x f x 2 x * x a x1 b ) (x f x 2 x * x

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SEM DERIVADAS

Busca Dicotômica

Realiza a redução do intervalo com 2 avaliações da função objetivo. A partir do centro do intervalo de incerteza, a função é avaliada em dois pontos: 𝜆_𝑘 = 𝑎𝑘 + 𝑏𝑘 2 − 𝜀 𝜇_𝑘 = 𝑎𝑘 + 𝑏𝑘 2 + 𝜀 k a _b_k k  _k ) (x f x

Quando 𝑓(𝜆_𝑘 ) > 𝑓(𝜇_𝑘) , sabe-se que o ponto de mínimo não se encontra no intervalo [𝑎_𝑘, 𝜆_𝑘]. O novo intervalo de incerteza será [𝜆_𝑘, 𝑏_𝑘]. Caso 𝑓 𝜆_𝑘 < 𝑓(𝜇_𝑘), sabe-se que o ponto de mínimo não se encontra no intervalo [𝜇_𝑘, 𝑏_𝑘 ]. O novo intervalo de incerteza será [𝑎_𝑘 , 𝜇_𝑘].

Obs: Quanto menor for , maior será o intervalo descartado de cada vez. A escolha do valor do  pode comprometer a solução.

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Método de Redução pela Metade (Interval Halving):

Como o nome sugere, reduz o intervalo à metade a cada iteração. Valores iniciais: 𝑥_𝑚 = (𝑎 + 𝑏)/2 𝐿 = 𝑏 − 𝑎 𝑥₁ = 𝑎 + 𝐿/4 𝑥₂ = 𝑏 − 𝐿/4 16 Se 𝑓₁ < 𝑓_𝑚: 𝑏 ← 𝑥_𝑚 𝑥_𝑚 ← 𝑥₁ (atualizar 𝐿, 𝑥₁ e 𝑥₂) Se 𝑓₂ < 𝑓_𝑚: 𝑎 ← 𝑥_𝑚 𝑥_𝑚 ← 𝑥₂ (atualizar 𝐿, 𝑥₁ e 𝑥₂) Se 𝑓₁ > 𝑓_𝑚𝑒 𝑓₂ > 𝑓_𝑚: 𝑎 ← 𝑥₁ 𝑏 ← 𝑥₂ (atualizar 𝐿, 𝑥₁ e 𝑥₂)

SEM DERIVADAS

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Edmarcio Belati AB C /E ng. de Energia – Tópic os de Otim iza çã o em SE P 17

Método da sequência de Fibonacci:

Sequência de Fibonacci:

𝐹 = {1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89 … } 𝐹₀ = 𝐹₁ = 1

𝐹_𝑛+1 = 𝐹_𝑛 + 𝐹_𝑛−1, 𝑛 = 1,2, …

O algoritmo segue a mesma lógica da Busca Dicotômica, sendo que as avaliações de 𝑓(𝑥) passam a ser definidas por:

𝜆_𝑘 = 𝑎_𝑘 + 𝐹𝑛−𝑘−1

𝐹_{𝑛−𝑘+1} (𝑏𝑘 − 𝑎𝑘) 𝜇𝑘 = 𝑎𝑘 +

𝐹_𝑛−𝑘

𝐹_{𝑛−𝑘+1}(𝑏𝑘 − 𝑎𝑘) Novo intervalo de busca:

𝑓 𝜆_𝑘 < 𝑓(𝜇_𝑘), 𝑎_𝑘+1 = 𝑎_𝑘 𝑏_𝑘+1 = 𝜇_𝑘 𝜇_𝑘+1 = 𝜆_𝑘 𝜆_𝑘+1 = 𝑎_𝑘+1 + 𝐹𝑛−𝑘−2 𝐹_𝑛−𝑘 (𝑏𝑘+1 − 𝑎𝑘+1) Se Se 𝑎_𝑘+1 = 𝜆_𝑘 𝑏_𝑘+1 = 𝑏_𝑘 𝜆_𝑘+1 = 𝜇_𝑘 𝜇_𝑘+1 = 𝑎_𝑘+1 + 𝐹𝑛−𝑘−1 𝐹_𝑛−𝑘 (𝑏𝑘+1 − 𝑎𝑘+1) 𝑓 𝜆_𝑘 > 𝑓(𝜇_𝑘)

SEM DERIVADAS

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Edmarcio Belati C /E ng. de Energia – Tópic os de Otim iza çã o em SE P 18

Método da sequência de Fibonacci:

O valor de 𝐹_𝑛 é determinado considerando a precisão previa do resultado que quer ser obtido.

Como exemplo, adotando o intervalo de busca inicial [a₁ , b₁ ] = [1, 3] e precisão de 0,2.

𝐹_𝑛 > 𝑏0 − 𝑎0 𝑝𝑟𝑒𝑐𝑖𝑠ã𝑜 =

3 − 1

0,2 = 10 𝑛 = 6 (𝐹6 = 13 > 10) Assim, utilizaremos 𝐹_𝑛= 𝐹₆ para o uma solução com precisão 0,2

SEM DERIVADAS

Verifica-se que: lim

𝑛→∞

𝐹_𝑛+1

𝐹_𝑛 = 1,61803

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Método da Seção Aurea (Golden Section):

Consiste em uma forma bastante eficiente de eliminação de região.

Os valores de 𝑥₁ e 𝑥₂ são determinados de forma que a razão entre os pontos intermediários e os extremos seja sempre a mesma: Fazendo 𝑥_𝑢 = 1 e 𝑥_𝑙 = 0, tem-se: 1 −  = 2_, resultando em 𝑥₂ =  = 0,61803 e 𝑥₁ = 0,38197 19 𝑥₁ − 𝑥_𝑙 𝑥_𝑢 − 𝑥_𝑙 = 𝑥₂ − 𝑥₁ 𝑥_𝑢 − 𝑥₁

SEM DERIVADAS

 substitui em todas as iterações os valores das razões dos fatores de Fibonacci.

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É interessante observar que: 𝑥₂ = 0,61803 = 𝑥₁/𝑥₂

𝑥₁ = 𝑥₂2

x₂/x₁ = 1,61803 Número áureo (ou phi)

Foi usado no projeto de Notre Dame em Paris

Os artistas do Renascimento chamava de Porção Divina e usava para a beleza

e equilíbrio no design.

Seu uso pode ter começado muito cedo, com os egípcios na concepção das pirâmides

20

SEM DERIVADAS

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Após os cálculos de 𝑥₁ e 𝑥₂, cada novo valor reduzirá o intervalo a (1 − ) do intervalo anterior. Ou seja, caso o intervalo fosse reduzido à metade a cada novo cálculo de 𝑥, após 𝑛 cálculos o intervalo inicial se reduziria a (1

2)

𝑛/2_{. Segundo o Golden Section,}

esse mesmo intervalo seria reduzido a 𝜏𝑛−1.

Os métodos de eliminação de região necessitam apenas que a função seja unimodal. Pode-se portanto trabalhar com funções contínuas ou descontínuas, ou mesmo com variáveis discretas.

SEM DERIVADAS

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COM DERIVADAS

Método da Bisseção k a _b_k k  ) (x f x

Considerando, a cada iteração, o intervalo de busca [𝑎_𝑘, 𝑏𝑘] ,

avalia-se a derivada da função objetivo no ponto médio do intervalo, 𝜆_𝑘= 𝑎𝑘+𝑏𝑘

2 .

O novo interval é definido como segue, em um processo iterativo:

𝑓′(𝜆_𝑘 ) > 0 𝑓′ 𝜆_𝑘 < 0 𝑓′ 𝜆_𝑘 = 0 𝑎_𝑘+1 = 𝑎_𝑘 𝑏_𝑘+1 = 𝜆_𝑘 𝑎_𝑘+1 = 𝜆_𝑘 𝑏_𝑘+1 = 𝑏_𝑘 𝑥∗ = 𝜆_𝑘

𝑓′é a derivada da função. Note que o interval de busca é definido.

Modelagem para minimizar. Se for problema de maximizar, inverter os sinais.

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Edmarcio Belati AB C /E ng. de Energia – Tópic os de Otim iza çã o em SE P 23 Método de Newton

COM DERIVADAS

Considerando uma função 𝑓(𝑥), duas vezes diferenciável. Pode-se definir uma função quadrática equivalente no ponto 𝑥_𝑛, a partir da expansão em Série de Taylor de 𝑓(𝑥), truncada no termo quadrático:

𝑓_𝑇 𝑥 = 𝑓_𝑇 𝑥_𝑛 + Δ𝑥 ≈ 𝑓 𝑥_𝑛 + 𝑓′ 𝑥_𝑛 Δ𝑥+1

2𝑓′′ 𝑥𝑛 Δ𝑥 2

Queremos um Δ𝑥 tal que 𝑥_𝑛 + Δ𝑥 é um ponto estacionário de 𝑓. Usando essa expansão de Taylor como uma aproximação, podemos resolver para a Δ𝑥 correspondente à raiz da derivada da expansão:

0 = 𝑑 𝑑Δ𝑥 𝑓 𝑥𝑛 + 𝑓′ 𝑥𝑛 Δ𝑥+ 1 2𝑓′′ 𝑥𝑛 Δ𝑥 2 _{= 𝑓′ 𝑥} 𝑛 + 𝑓′′ 𝑥𝑛 Δ𝑥 Δ𝑥 = − 𝑓′ 𝑥𝑛 𝑓′′ 𝑥_𝑛

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Incrementando pelo Δ𝑥 , deve produzir um ponto relativamente próximo de um ponto estacionário efectiva de 𝑓. Neste ponto:

como 𝑛 tende para o infinito, 𝑥_𝑛 deve aproximar-se do ponto estacionário 𝑥∗ da função real 𝑓.

𝑥_𝑛+1 = 𝑥_𝑛 + Δ𝑥 = 𝑥_𝑛 − 𝑓′ 𝑥𝑛 𝑓′′ 𝑥_𝑛

COM DERIVADAS

O método de Newton também pode ser interpretado como a obtenção da raiz de 𝑓′ 𝑥 , ou seja, como a solução do problema:

(25)

Assim, tem-se que: 𝑥_𝑛+1 = 𝑥_𝑛 − 𝑔 𝑥𝑛

𝑔′ 𝑥_𝑛

𝑔 𝑥 = 𝑓′ 𝑥

Aproximação tangente _{Aproximação quadrática}

ሚ 𝑓 𝑥

𝑓 𝑥

Utilizado para encontar o valor da variável

quando 𝑔 𝑥 = 0. Também conhecido

como Newton-Raphson (objetivo de

estimar as raízes de uma função).

Aplicado para encontra o ponto extremo de uma função.

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Método da Falsa Posição (otimização)

Ao contrário do Método de Newton que usa informações da derivada segunda, o Método da Falsa Posição usa apenas informações da derivada primeira, a partir da seguinte aproximação para encontrar o extremo de uma função:

𝑓′′ 𝑥_𝑛 ≈ 𝑓′ 𝑥𝑛 − 𝑓′ 𝑥𝑛−1 𝑥_𝑛 − 𝑥_𝑛−1

Seguindo a mesma formulação do método de Newton, temos para cada processo iterativo:

𝑥_𝑛+1 = 𝑥_𝑛 − 𝑥𝑛 − 𝑥𝑛−1

𝑓′ 𝑥_𝑛 − 𝑓′ 𝑥_𝑛−1 𝑓′ 𝑥𝑛

𝑥_𝑛+1 = 𝑥𝑛−1𝑓′ 𝑥𝑛 − 𝑥𝑛𝑓′ 𝑥𝑛−1 𝑓′ 𝑥_𝑛 − 𝑓′ 𝑥_𝑛−1

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Método da Falsa Posição

Como no Método de Newton também pode ser interpretado como a obtenção da raiz da derivada da função objetivo ( 𝑓′ 𝑥 = 𝑔 𝑥 = 0 ).

Para esse caso, tem-se:

𝑥_𝑛+1 = 𝑥𝑛−1𝑔 𝑥𝑛 − 𝑥𝑛𝑔 𝑥𝑛−1 𝑔 𝑥_𝑛 − 𝑔 𝑥_𝑛−1

Note que nesse caso não é necessário utilizar derivadas

(28)

APLICAÇÃO

Considere o problema apresentado na Aula 01:

Deseja-se construir uma caixa com uma folha de papelão tamanho A4 (210 x 297 mm), que possibilite armazenar o maior volume possível:

𝑉 = (210 − 2𝑥)(297 − 2𝑥)𝑥

𝑉 = 4𝑥3 _{− 1014𝑥}2 _{+ 62370𝑥}

28

Função objetivo: Maximizar o volume V.

Restrições: 𝑥 ≥ 0 210 − 2𝑥 ≥ 0 𝑥 ≤ 105 297 − 2𝑥 > 0 𝑥 ≤ 148,5 0 ≤ 𝑥 ≤ 105 28

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Trabalho – 02

Para o problema apresentado no slide 28 e discutido na Aula 01, resolver

usando os seguintes algoritmos: Busca Dicotômica; Redução pela

Metade; Seção Áurea; Método de Newton, Falsa Posição e Bisseção. Obs. Na sequencia dois códigos exemplos (Newton e Seção Aurea)

29 Trabalho em grupo de até três alunos. A entrega do trabalho deverá ser via e-mail em arquivo pdf, contendo introdução, descrição das técnicas com as respectivas soluções e uma análise dos resultados (tabela comparativa). Também anexar os códigos dos algoritmos utilizados.

No e-mail colocar a descrição: Trabalho 2 – TOSEPA-nome(s) ; A data limite para entrega do trabalho é até o dia 04/10/2020; Endereço via e-mail: [email protected]

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IT x valor da FOB erro

1.000000000 37.189922481 1122829.955561798 249029.955561798 2.000000000 40.312866369 1128488.641581367 5658.686019569 3.000000000 40.423224042 1128495.104721160 6.463139794 4.000000000 40.423362197 1128495.104731255 0.000010095

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Edmarcio Belati AB C /E ng. de Energia – Tópic os de Otim iza çã o em SE P 33 IT a b 1.00000 0.00000 2.00000 24.78724 3.00000 24.78724 4.00000 34.25500 5.00000 34.25500 6.00000 37.87131 7.00000 37.87131 8.00000 39.25260 9.00000 40.10628 10.00000 40.10628 11.00000 40.10628 12.00000 40.30781 13.00000 40.30781 14.00000 40.38478 15.00000 40.38478 16.00000 40.41418 17.00000 40.41418 18.00000 40.41418 19.00000 40.42112 20.00000 40.42112 21.00000 40.42112 22.00000 40.42276 23.00000 40.42276 24.00000 40.42276 25.00000 40.42315 26.00000 40.42315 27.00000 40.42329 28.00000 40.42329 29.00000 40.42329 f1 f2 erro 64.89315 1128441.99074 870400.76106 64.89315 64.89315 983888.96372 1128441.67559 40.10591 49.57389 1128441.87047 1087272.25733 24.78666 49.57389 1107431.58432 1128441.75007 15.31890 43.72253 1128441.82450 1122881.69782 9.46754 43.72253 1124983.78609 1128441.77851 5.85122 41.48754 1128441.80693 1127900.93390 3.61623 41.48754 1127763.70865 1128441.78937 2.23494 41.48754 1128441.80022 1128471.70523 1.38126 40.95994 1128471.70080 1128343.43648 0.85366 40.63387 1128495.06195 1128471.70354 0.52759 40.63387 1128488.03578 1128495.06202 0.32606 40.50932 1128495.06198 1128491.19886 0.20152 40.50932 1128494.31715 1128495.06201 0.12454 40.46175 1128495.06199 1128494.32545 0.07697 40.46175 1128495.06014 1128495.06200 0.04757 40.44358 1128495.06199 1128494.88854 0.02940 40.43235 1128495.10251 1128495.06200 0.01817 40.43235 1128495.10208 1128495.10251 0.01123 40.42806 1128495.10251 1128495.09305 0.00694 40.42541 1128495.10464 1128495.10251 0.00429 40.42541 1128495.10454 1128495.10464 0.00265 40.42440 1128495.10464 1128495.10416 0.00164 40.42377 1128495.10473 1128495.10464 0.00101 40.42377 1128495.10471 1128495.10473 0.00063 40.42353 1128495.10473 1128495.10472 0.00039 40.42353 1128495.10473 1128495.10473 0.00024 40.42344 1128495.10473 1128495.10473 0.00015 40.42339 1128495.10473 1128495.10473 0.00009