Grafos: Aplicações ao Jogo.

Andreia Leite Gonçalves

Grafos:

Aplicações ao Jogo

Universidade Portucalense

Porto, 2007

Trab alh o realiz ado p or

Andreia Leite Gonçalves

Grafos:

Aplicações ao Jogo

Dissertação apresentada para a obtenção do grau de

Mestre em Matemática/Educação sob a orientação do

professor Doutor António Pascoal

Universidade Portucalense

Porto, 2007

Resumo

Ess en ci alm ent e est e trab alh o p ret end e faz er um a ab ord agem d e p ro blemas d e carácter lúd ico cuj a res olu ção pos sa s er relaci on ad a com a Teoria d e Grafo s. A Teo ri a d e Grafos é talv ez, d e ent re as t eori as m atem áti cas, aquela q ue m ais s e p ode usar com apli cações lúdi cas , com o p ro pósit o de resol ver o u com preend er jo go s. É uma t eo ri a rel ativ ament e recent e, nas cid a no sécu lo XVIII, e qu e ent ro u nos pro gram as do ens ino secu nd ári o n o fi m d o século XX. Duas razõ es im portantes p ara ess a ent rad a: a grand e apli cação p rát ica mas t am bém a pos si bilid ad e d e i ntroduzi r os con ceito s t eó ricos através d e uti lização d e jo gos. As sim, pret end e-s e com este trab alho perco rrer v ári os jo gos ond e a u tilização d e grafo s é notó ri a. Com o v eremos na p arte hi stó ri ca, o nas cim ento da Teo ria de Grafos d ev e-se a u m probl em a s em interess e m at em áti co, ap en as a um entretim ent o, o pro blem a d as pont es de Ko eni gsb erg.

No C apít ulo 1 é feita um a i ntrodu ção histó ri ca, d es env olv end o j á resu ltados impo rtant es q ue foram s en do est ab el eci dos d uran te os sécu los XV III, X IX e XX. Desd e Euler, p ass an do p or Hamilt on e at é m ais recen tem ente a demons tração do teo rema d as q uat ro co res po r App el e Haken. No C apít ulo 2 é feito um estu d o de carácter ped agó gico real çand o a com pon ent e did áti ca d o J o go, d id áti ca ess a q ue se fez qu est ão q ue esti ves se p resent e n es ta tese. No capí tulo 3 é ent ão d esenvo lvid o o asp ecto m atemát ico, nest e p articul ar a Teori a de Grafos , medi ant e a ap res entação de est ratégias p ara abo rdar al guns jo gos qu e serv em como ex em p los.

Agradecimentos

Agradeço ao m eu o rient ad or, Do uto r An tónio P as co al, as su gest ões qu e me foi dan do, o ap oio imp ortant e e cl aro o t rab al ho q ue t ev e em l er es tas págin as .

Qu em estu da mat em áti ca s ab e qu e ap ren de com os profess ores, fi ca agradecid a por iss o, mas t amb ém qu em ensin a m at emáti ca s ab e qu e ap rende com as di fi culd ades dos alu nos e t amb ém agrad eço aq uel es a quem ensi nei n est es últimos anos .

Estou t am bém agrad ecid a à mi nh a famí lia e ao m eu n am orado , p res entes nas ocasiõ es em q ue s ão precisos .

Índice

R E S U M O . . . 5 A GR A D E C I M E N T O S . . . 7 Í N D I C E . . . 9 I N T R O D U Ç Ã O . . . 1 1 C A P Í T U L O 1 : T E O R I A D E G R A F O S . . . 1 3 1 . 1 . CO N S I D E R A Ç Õ E S H I S T Ó R I C A S . . . 1 3 1 . 1 . 1 . E u l e r . . . 1 3 1 . 1 . 2 . V a n d e r m o n d e . . . 2 0 1 . 1 . 3 . H a m i l t o n . . . 2 3 1 . 1 . 4 . T e o r e m a d a s q u a t r o c o r e s . . . 2 5 1 . 1 . 5 . O c a r t e i r o c h i n ê s . . . 2 8 1 . 1 . 6 . O c a i x e i r o v i a j a n t e . . . 2 9 1 . 1 . 7 . P e r s e g u i ç õ e s e m f l i p p e r s . . . 2 9 1 . 2 . CO N S I D E R A Ç Õ E S T E Ó R I C A S. . . 3 0 C A P Í T U L O 2 : J O GO S . . . 3 3 2 . 1 . O J O G O E O S E R H U M A N O . . . 3 3 2 . 1 . 1 . O J o g o . . . 3 4 2 . 1 . 2 . T e o r i a d o s J o g o s . . . 3 5 2 . 1 . 3 . J o g o s d e i n f o r m a ç ã o p e r f e i t a e i m p e r f e i t a . . . 3 6 2 . 1 . 4 . J o g o s f i n i t o s e i n f i n i t o s . . . 3 7 2 . 1 . 5 . O s J o g o s e o n ú m e r o d e j o g a d o r e s . . . 3 7 2 . 1 . 6 . J o g o s d e s o m a z e r o e s o m a n ã o z e r o . . . 3 8 2 . 1 . 7 . O s J o g o s e a s p o s s i b i l i d a d e s d e v a r i a ç ã o . . . 3 8 2 . 1 . 8 . O s J o g o s e o s t i p o s d e r e g r a s . . . 3 9 2 . 1 . 9 . J o g o s d e a c a s o / d e t e r m i n i s t a s . . . 3 9 2 . 1 . 1 0 . A n á l i s e t r a n s a c i o n a l d o s J o g o s . . . 4 0 2 . 2 . O J O G O E A A P R E N D I Z A G E M. . . 4 0 2 . 2 . 1 . J o g o s d i d á c t i c o s e n ã o d i d á c t i c o s . . . 4 1 2 . 2 . 2 . O J o g o e i n t e r a c ç ã o s o c i a l . . . 4 1 2 . 2 . 3 . O J o g o e d e s e n v o l v i m e n t o a f e c t i v o - s o c i a l . . . 4 2 2 . 2 . 4 . O J o g o e d e s e n v o l v i m e n t o c o g n i t i v o . . . 4 3 2 . 2 . 5 . I n t e r a c ç õ e s e d e s e n v o l v i m e n t o a f e c t i v o - s o c i a l e c o g n i t i v o . . . 4 3 2 . 2 . 6 . R e p r e s e n t a ç õ e s s o b r e a m a t e m á t i c a . . . 4 4 2 . 3 . JO G O S D E MA T R I Z. . . 4 6

C A P Í T U L O 3 : E S T R A T É G I A S . . . 4 9 3 . 1 . EX E M P L O S TÍ P I C O S . . . 4 9 3 . 1 . 1 . L a b i r i n t o d e H a m p t o n . . . 4 9 3 . 1 . 2 . D e s e n h a r s e m l e v a n t a r o l á p i s : . . . 5 1 3 . 1 . 3 . O j o g o d o D o d e c a e d r o . . . 5 5 3 . 1 . 4 . C o l o r a ç ã o d e M a p a s . . . 6 3 3 . 2 . PO N G HA U KÍ. . . 7 2 3 . 3 . 4 - PL A N I F I C A Ç Õ E S D O CU B O. . . 8 1 3 . 3 . 1 . 1 º C a s o : . . . 8 3 3 . 3 . 2 . 2 º C a s o : . . . 8 6 3 . 3 . 3 . 3 º C a s o : . . . 8 8 3 . 3 . 4 . 4 º C a s o : . . . 8 9 3 . 3 . 5 . 5 º C a s o : . . . 9 0 3 . 3 . 6 . 6 º C a s o . . . 9 1 C O N C L U S Ã O . . . 9 3 B I B L I O G R A F I A . . . 9 5 Í N D I C E R E M I S S I V O . . . 9 7

Introdução

A Teori a d e Grafos é t alv ez, d e ent re as teori as m at emáticas , aqu el a qu e m ais s e pod e us ar com apli caçõ es lú dicas , co m o pro pósit o d e resol ver ou com preend er jo gos. É uma t eo ri a rel ati vam ent e recent e, n ascid a n o sécu lo XVIII, e qu e ent rou n os pro gram as do ens ino secu nd ári o n o fi m d o século XX. Duas razõ es im portantes p ara ess a ent rad a: a grand e apli cação p rát ica mas t am bém a pos si bilid ad e d e i ntroduzi r os con ceito s t eó ricos at ravés d e u tilização d e jo gos . De fact o, s ão inúm eros os ex em p los de aplicação práti ca de grafos. Não h á uma dist in ção cl ara ent re o qu e é apli cação práti ca e o q ue n ão é. Qu an do es crev emos apli cação p rát ica est amo s a falar d a resolu ção d e p ro bl emas em áreas fora d a matem áti ca. Qu alq uer situ ação q ue p o ssa ser mod elad a em fu nção d e est ad os e o nde h aj a alt eração d e est ad os ao lon go do temp o é p assí vel d e ser res olvi da medi ante a u tilização de grafos e, na su a forma mais simpl es , atrav és da p ro cu ra d e um camin ho q u e sim boliz a ess a m esm a t ransi ção ent re est ados , com o no caso dos labiri ntos. Muit as out ras situ açõ es ex igem algo mais , ex i ge-se u ma, ou v ári as , caract erís ticas a es se caminh o . Por ex empl o, po de-s e ter asso ci ad o a cad a caminh o u m cert o cu sto e pret en der descobri r o camin ho men os disp end ioso , o qu e acont ece em v ari ad os probl em as d e op timização, ou , pod emos precis ar d e d es co bri r um caminh o qu e p ass e p or t od as as ci dad es , como n o cas o do «p ro bl em a do caix ei ro vi aj ant e ». Hav en do um a clara tend ên ci a p ara a in clus ão d e con teúdo s p ro gramático s, n as dis cipl in as d e M at em áti ca, que evid en ci em essa apli cação práti ca, a Teo ri a d e Grafos , preen ch e ess a caract erí stica n a perfei ção. Além disso , a necessi d ad e cada v ez mai or de atrai r a at enção dos estu dant es, do ensi no secun dári o, para os temas a serem est udados to rn a o caráct er lú dico as so ciad o à utilização de jo gos ex cel ent e p ara a ap ren dizagem do tem a.

Assim , pret end e-s e com est e trab alh o p erco rrer vário s jo go s o nde a utiliz ação d e grafos é not óri a. Co mo v erem os n a p art e hist óri ca, o nascimento da Teo ri a de Grafos dev e-s e a u m p rob l em a s em i nt eress e mat em ático, apenas a um ent retim ento , o pro blema das pont es de Ko eni gsb erg. Posterio rm ent e, em term os cronol ó gi cos, muitas apli caçõ es i mportantes ho uv e d a t eo ria de grafos mas t amb ém vem os que vários jo gos p od em ser an alis ado s com recurs o a grafo s. O cas o m ais si mpl es, j á referi do, d os l ab iri nt os o nd e s e p ro cu ra uni cam en te a ex istên ci a d e um camin ho é o noss o pont o de parti da no d es envol vim ento d e est rat égi as p ara a an ális e d os jo gos. De fact o, em v ário s cas os, a próp ri a repres ent ação gráfi ca permit e encont rar m ais facilm ente o cami nh o e resolv er o p ro blema qu e s eri a m ais di fícil, a um hum an o, sem

utilização d os grafo s. Nest e t rab alho , essa rep resentação será muito us ad a m es mo para faz er referên ci a ao grafo em caus a e v ári as caract erí sti cas d o grafo s e torn am mais cl aras . No en tant o, p ara pod er chegar l á teremos d e t er d efini dos al guns con ceito s. Po sici on ar em termo s hist óricos o t em a do noss o t rabalho é o obj ectiv o do capítul o seguin te, on de v emos j á muit as con cl usõ es v álid as e de grand e imp ort ân ci a, quer t eóri ca q uer prática.

Capítulo 1:

Teoria de Grafos

1.1.

Considerações históricas

1.1.1. Euler

Muitos d os probl emas qu e propo rcio n aram o d es env olvi ment o d a Teo ri a d e Grafos tiv eram ori gem em jo gos e esses jo gos desp ertaram su fi ci ent em ent e o interess e dos m at em áti cos ao pon to de s e criar um a nov a teori a. Hi sto ri cam en te, a Teo ri a d e Grafos n asceu d e u m p ro bl em a, muit o con h eci do no s écul o XV III e q ue pod emos resumi r no segui nt e en un ciado: «Na cid ad e de Kön igsb erg, n a Prús si a, h á uma i lh a, A , ro d ead a p elo s do is b raço s do rio P regel. Ex istem s et e po nt es,

f e d c b

a, , , , , e g que cruzam os d ois braços d o ri o. A quest ão co nsist e em sab er s e

uma pesso a p od e realizar um p ass ei o d e t al forma qu e atrav es se cad a um a d as p on tes uma s ó v ez ». Na ci dad e d e Ko eni gsb erg, act ual mente K ali nin grado , o rio Pregel ram ifi ca-se em torno de uma ilh a, a ilha Kn eiph of, e ex ist em vári as pont es a li gar as margens, como s e p o de ver na fi gu ra ab ai x o, um a gravu ra p ubl icad a n o s éculo X V II.

Figura 1

Const a qu e a pop ulação d e Ko eni gsb erg ao p ass ear pel as pon tes cost umav a tentar faz er um p ercurso que p ass as se p el as po ntes t od as m as uma úni ca vez . Nu nca nin gu ém o co ns egui u e acredit av a-se qu e t al não era possí v el. Es te probl em a ch egou at é Leo nard E uler (17 07 -17 83 ), um m at emático s uí ço, qu e s e int eres sou p el o pro blema resol v end o -o e m ais im po rt ant e qu e i sso , gen eraliz and o-o. O p ai d e Eu ler era um m at em áti co mas qu e to davi a d ei x ou a m at em áti ca p ara s e d edi car a assu ntos rel i gio sos e p ret en dia qu e o filho s eguiss e o m esm o caminho . Po r i sso E uler inscrev eu -s e n a Uni v ersid ad e d e Basi lei a nos cu rso d e T eol o gi a e d e Hebrai co . Foi lá que, em co nt act o com m at em áti cos conceit uados , most ro u as s uas inv ul gares qualid ad es p ara a m at emática. Ao s 17 anos, qu and o t erm ino u os cu rso s referi do s, o seu p ai tento u que ele s e afas tass e da mat em áti ca m as a interv en ção de al gun s pro fess ores de m atemáti ca con venceram-no a d eix ar o filho p ross egui r o s estu dos n a área d a m at em ática. Assim , aos 1 9 anos , publi co u o s eu prim eiro t rabalho ori gin al e

ap resento u-o em 1 727 n a A cademia Frances a nu m co ncurs o sob re o tem a da mast reação do s nav i os. O s eu trab alh o n ão ganh ou e foi criti cado po r ser uni cam ent e teó ri co.

Eul er candid at ou -s e à cátedra d e Mat emáti ca no At en eu d e Basi lei a e n ão foi nom eado. M as o s s eus ami gos D an iel Bernou lli (170 0-178 2) e Ni col as Berno ulli (16 95 -17 26 ) qu e se tinh am est abel ecid o em S. Pet ersbu rgo p rop us eram um lu gar a Eul er e assim, a p art ir d e Maio de 17 27, Eul er p asso u a viv er na Rús sia, o nd e cas ou em 17 34 com K at harin a Gs ell e d a qu al tev e 13 filh os m as ap en as 5 p as saram da infân ci a. Em 1 740 Eul er era já um co n ceitu ado matem áti co ten do co nqui stado por duas v ezes , em 173 8 e 1 740 o G rand e Prém io d a A cad emi a d e Paris . A s ua fam a ori gino u um convi te para ir l eccio n ar p ara Berlim, co nvit e qu e recu sou ini ci alm en te. Mas d evi do aos tum ultos po líti cos n a Rússi a acabou p or i r para Berl im em J ulh o de 1741 . Qu an do, em 1 759, m orre o di rect or d a A cad emi a d e Berlim, E ul er ass um e a lideran ça d a A cad emia mas sem o tít ulo de P resid ent e. Em 176 6 regres sa a S. Pet ers bu rgo m as com eça a ter di fi culd ad es de vi são cegand o compl etament e em 1 7 71. Ap es ar diss o conti nu a a p rod uzir m at em ática cont an do com a aju da de um s eu fil h o, J ohann Alb recht Eul er e mais doi s mem b ros d a acad emi a d e S. Pet ers bu rgo , p ara os es crev er. Ap ós a mo rte d e Eul er em 178 3 , a A cad emi a de S. Pet ers bu rgo conti nu ou a publi car os s eus trab alh os d uran te cerca d e 5 0 ano s.

A co ntribui ção d e E uler p ara o d es en vo lvimento d a M at emática é eno rm e mas nest e t rab alho es tamos esp ecial mente interess ad os no mo do como el e res olv eu o pro blema d as pont es de Ko eni gsb erg.

A B C D a b c d e f g Figura 2

A fi gu ra acim a mo st ra um di agram a do pro blema tal co mo foi colo cado a E ul er mas ele procurou um a reso lu ção qu e p ermitiss e gen eraliz ação para um p robl em a que con sid eras se u m nú mero qu alq uer d e regi õ es d e terra e tam bém um n úm ero qu al quer de po nt es uni ndo -o s. No caso p arti cul ar d e Ko eni gsb erg t emos quat ro regiõ es d e terra e s ete pont es . D esi gnan do as regi õ es d e t erra po r letras m aiú s cul as, A, B, C e D, u ma caminh ad a pel as s ete p ont es s eri a rep resent ad a po r u ma seq uência de 8 l et ras maiú sculas ind ican d o as regiõ es de terra por ond e s e p as sava. Ass im, i r d e A para B por um a d as su as po ntes repres ent ar-se-i a po r A B. Como s e p ret endi a qu e se p ass asse por to das as po nt es uma ún ica v ez ent ão terí amo s de cons tru ir uma s eq uência co m oito l et ras, us and o as let ras A, B, C e D, ap arecen do a com bi nação A B (ou BA ) d uas vez es, poi s há d uas pont es entre as regi ões A e B. An alo gament e a comb in ação AC (ou CA ) ap areceri a duas v ezes, en qu ant o qu e ap areceria ap en as uma v ez qu al q uer uma das combi naçõ es AD (ou DA ), C D (ou DC ) e BD (ou D B). Eul er qui s p rim eiro an alis ar se ex istiria t al po ssibil id ad e pro curand o um a regra para ti rar ess a con clu s ão. Consid erand o agora o pro bl ema do p onto d e vi st a d e uma cert a região que ch am aremo s A e a qual est av a li gad a p or um d et erm in ado núm ero de p ont es, que

desi gn arem os po r n, pont es ess as qu e li gav am a região A a qualqu er out ra região,

que s erá s em pre d esi gnada po r X, i nd ep endent ement e qu al sej a. P retend emos anali sar

uma sequ ên ci a qu e repres ent e um a cam inh ad a po r ess as n pont es. S e n=1 ent ão

temo s de p ass ar por A ex actamente um a vez pois o p ercurs o ou com eça em A e acab a

pas saremos po r A d uas v ezes poi s s erá AX AX ou X AX A. S e n=5 as hip ót es es s ão

AX AX AX o u XA XA XA po rt ant o pass aremos po r A três v ezes . Mais geral mente, s e n

é imp ar ent ão a s eq u ên ci a t erá s emp re co mprim en to n+1, qu e s erá p ar, e metade dos

quais s ão A ’s s end o a o ut ra metade X ’s . Assim ex isti rão 2

1

+

n

A’s . Ora, no probl em a parti cul ar d as p ont es de Ko eni gsb erg ex i stem 5 p ont es qu e conduz em à região A da fi gu ra, p or is so ess a região tem de ap arecer 3 v ezes . O m esmo racio cíni o p erm ite el abo rar a tab ela s eguint e:

Tabela 1

Regi ão Nº de po ntes Nº de v ezes qu e aparece n a s eq uênci a

A 5 3

B 3 2

C 3 2

D 3 2

Terí amos d e form ar ent ão um a s equ ên ci a de co mp rimento oit o com t rês A’s, doi s

B’s, doi s C ’s e dois D’s . M as ist o é imp o ssív el p ois 3+2+2+2=9≠8.

Deste m odo fi ca res olvid o o fam oso p robl ema das po ntes de Ko eni gsb erg. No

ent ant o, Eul er an ali sou t am bém o cas o de n ser par separando -o em doi s caso s:

com eçar em A ou n ão começar em A. S e n=2 e com eça em A ent ão temos AXA,

hav en do doi s A’s m as s e n ão com eça em A ent ão temos XAX, hav end o ap en as um A.

Se n=4 e com eça em A temo s AXAXA, h av endo três A’s m as s e não com eça em A

ent ão temos XAXAX, h av en do ap en as do i s A’s. Em geral , s en do n p ar, o núm ero d e

vez es q ue ap arece o A é 2

n

se n ão se p art e de A e será 1

2+

n

se s e p arte d e A.

O mét odo p rop ost o ent ão po r Eul er p ara, n um cas o geral, decidi r s e ex ist e solu ção s eri a:

1º - d esi gn ar as d iferent es regi ões d e t erra p or l etras , A, B, C, D, .. .;

2º - t omar o n úm ero tot al d e pon tes, aumentá-lo de uma u nid ad e e es crev er o val or resu ltant e n a p art e sup erio r do papel;

3º - escrev er as let ras das regiõ es num a colun a e em frente d e cad a let ra o n úm ero de pon tes q ue cond u zem a cada região p arti cul ar;

5º - num a t erceira colun a colo car à fren te d e cad a núm ero p ar a su a met ad e e, à frent e d e cada nú mero ímp ar a m et ad e d a soma d ess e núm ero com um a unid ade;

6º - s omar os núm ero s d a t ercei ra colu na.

Se a som a ob tid a no 6º passo é sup erio r ao número ano tado no 2º pass o então não ex iste o t raj ect o p reten dido . S e a s oma é i gu al ao núm ero anot ado então ex iste o trajecto mas d ev e começar num a regi ão qu e n ão t en ha asteris co. Se a s om a é uma unid ad e meno r qu e o número anot ad o en t ão ex ist e o traj ecto mas d ev e começar n uma regi ão qu e t enh a as teris co.

No s eu trab alh o, Eu ler, ap resent a ai nd a um ex em plo fi ctí cio para mos trar como pro ced er no ut ros cas os. C onsi derand o a figura segui nte:

A B C D E F a b c d e f g h i j l m n o p Figura 3

Tem os ago ra quinz e pont es d esi gn ad as po r a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, l, m, n, o, e p,

que un em s eis regiõ es des i gn ad as po r A, B, C , D, E e F. Segui ndo o s passo s d es crit os atrás elabo ramos a s egu int e t ab el a:

Tabela 2

Núm ero tot al d e p ont es adicion ad o d e um a unid ad e

16 1

15+ =

Núm ero d e pon tes q u e con duz em a cad a regi ão

A * 8 4 B * 4 2 C * 4 2 D 3 2 E 5 3 F * 6 3 Soma: 16

Como a s oma d a t ercei ra colu na é i gu al ao núm ero an ot ad o n a p arte sup erio r ent ão é p ossív el efectuar um p as seio pass and o por to das as po ntes um a úni ca v ez mas ess e pass eio deve co meçar num a regi ão q ue não t en ha ast eri sco.

Eul er ap resent a tam bém , al ém d a justi fi cação d a ex istên ci a, um poss ív el traj ecto

nas con di çõ es p edid as: EaFbBcFdAeFfCgAhCiDjAmEnApBoElD. Aqui Euler alterou a

sua not ação i ndi can do p or letras minú scul as ent re as m ai úsculas as pont es q ue atravessam cada p ar d e regi ões . Isto mostra qu e el e p erceb eu rapid am ent e uma difi cul dad e n a not ação anteri orm ent e apres ent ad a. Actu alm en te só no cas o d e grafos simpl es (grafos sem lacet es n em arest as múltipl as ) é costum e indi car o s t rajecto s por uma s equ ên ci a ap en as de v érti ces. Bas eado n o raci ocí nio qu e fez p ara el aborar est e méto do, E uler, cont i nua ap resentand o um métod o mais sim p les. Ao co nt ar as po ntes para p reencher a s egund a col un a cad a po nte é cont ad a du as v ezes , pois s e el a un e as regiõ es X e Y é con t ad a um a vez n a regi ão X e out ra vez n a regi ão Y. Assim a so ma dos n úmero s d a s egund a colu na é n ecessari am ent e o d ob ro do núm ero d e p ont es, port an to um n úm ero par. S e ness a colu n a ex isti rem nú mero s i mpares s erá s emp re em núm ero p ar, cas o contrário a s oma seria ímp ar. Assim o núm ero d e regi ões sem ast eris co é s em pre p ar. A so ma d os nú m eros d a s egu nd a co l una adi ci on ad a de d uas unid ad es e p ost eri orment e divi did a po r d ois dá ob ri gat ori am ente o núm ero es crito na part e sup erio r d a t ab el a. Ora, s e n ão ex istirem regiõ es s em ast eri sco ent ão, n a tercei ra colun a, está sem pre m et ad e d o núm ero d a s egu nd a col un a, l o go a s om a da tercei ra colun a será inferio r ao núm ero es crito na p art e su perio r d a t ab el a e s erá semp re pos sív el at rav ess ar tod as as po ntes in d ep end ent em ent e d a regi ão on de se com ece. Se h á du as regiõ es s em asteris co ent ão o cam inh o p ret endid o será poss í vel des de q u e se com ece po r um a regi ão co m um núm ero ímp ar de po ntes. Com o, p ara preench er a t ercei ra colun a, s e co nsi dera n as regi õ es com asteris co a met ad e do núm ero d a s egu nd a col un a e, n as regi ões sem as teris co , a m etade do núm ero da segund a col un a adicion ado de uma uni d ad e ent ão a som a d ess as m et ad es s erá uma unid ad e su perio r ao núm ero de p ont es, l o go i gu al ao núm ero escrito n a p arte s up eri or da t ab ela. No ent ant o se o núm ero d e regi õ es sem ast eris co for su perio r a d ois en tão a s om a d a t erceira colun a j á é s up eri or ao núm ero d a p art e sup eri or d a tabel a l o go não ex isti rá o t raj ect o n as co ndi çõ es p ret end id as.

Depois d est as ex pli caçõ es E ul er d á ent ão as regras para n um caso geral av eri gu ar a ex istência dos t raj ectos d e fo rm a sim pl es:

- Se h á m ais de du as regiõ es com um nú mero ím par d e pont es en tão n ão ex ist e o trajecto n as condi çõ es p edid as ;

- Se h á só du as regi ões com u m núm ero ímpar d e pon tes en t ão ex iste o t raject o nas cond ições p edi das d esd e qu e s e co mece n um a d ess as du as regi ões ;

- Se n ão h á regiõ es com um núm ero ímpar d e po ntes en tão o t raject o nas con di çõ es pedid as ex iste ind ep en d ent em ente d a região o nd e s e co mece.

Eul er d av a aqui po r com plet a a resolu ção do prob lem a ini ci al ment e p rop osto . No ent ant o el e aind a t eceu al gu mas co nsid eraçõ es so bre o mo do de en cont rar o traj ecto nas s itu açõ es em qu e ess e traj ecto ex iste. Em prim ei ro l u gar dev e-s e el imin ar pon tes aos p ares qu and o es s e par li gue as mesmas regiõ es. Depois d e elimi nar tod os os p ares nest as condi ções fica fácil d etermi nar o traj ect o atrav és d as rest ant es po ntes. De seguid a é só aument ar o t rajecto d e mod o a pass ar pel as po nt es elimi nadas o qu e será semp re fácil .

1.1.2. Vandermonde

Em 1 771 Al ex an dre Vand ermon de (1 735 -17 96 ) p ubli co u um t rab alh o o nd e pro cu ra d es cob ri r t rajectos ao l on go d e p osições do pl ano e d o es paço . Para iss o el e divid e o pl ano em zonas o btid as p el a i nters ecção d e faix as cri ad as po r rect as paralel as o u planos paralel os no cas o do esp aço trid imensio n al. El e rep res ent a es sas zonas po r p ares ou terno s d e nú mero s inteiro s e us a ess as repres en taçõ es p ara resolv er os p rob lem as p rop osto s em lu g ar d as fi guras d as regi ões em caus a. Co mo ex empl o el e p articul ariz a ao cas o do mov iment o d os cav alos n o x ad rez, um probl ema que j á tin ha sid o res olvid o p or Eul er em 1759 . O p rob lem a é o s egui nt e: «C o mo p ode um cav al o d o x ad rez pass ar po r to das as casas um a úni ca v ez com eçand o e acab ando na mes ma? ». Vej am o s a res olu ção pro pos t a p or Van dermo nd e.

1 2 1 1 1 3 1 4 1 5 1 6 1 7 1 8 2 2 2 1 2 3 2 4 2 5 2 6 2 7 2 8 3 2 3 1 3 3 3 4 3 5 3 6 3 7 3 8 4 2 4 1 4 3 4 4 4 5 4 6 4 7 4 8 8 2 8 1 8 3 8 4 8 5 8 6 8 7 8 8 7 2 7 1 7 3 7 4 7 5 7 6 7 7 7 8 6 2 6 1 6 3 6 4 6 5 6 6 6 7 6 8 5 2 5 1 5 3 5 4 5 5 5 6 5 7 5 8 Figura 4

Tem os então qu e, u m traj ecto p el as 64 casas do tabul ei ro s erá um a reo rd en ação dos 6 4 p ares : 8 2 1 2 1 8 3 2 1 8 8 8 2 2 1 1 1 1 L L L L L L

, ob ed ecendo à regra do x ad rez para

o mo vim ento do cav alo , ist o é, a s egui r ao p ar

b a pod e es tar o p ar 2 1 ± ± b a ou 1 2 ± ± b a . Not am-se aqui sim etri as pois s e ti verm os d ois d es enh os de traj ecto do cav alo no tab ulei ro t en do um si do obti do d o out ro p or t ro ca d e 1 p or 8 , 2 por 7 , 3 po r 6, 5 p or 4 e vi ce-v ers a em ci ma, em b aix o, o u em am bos t em os d u as fi gu ras sim ét ri cas. O méto do propo sto po r Vand ermo nd e us a essas si met ri as. Devemos es col her ao acaso uma p rim eira cas a, no ex emp lo dele,

5 5

. A p arti r d es ta, p or s imet ri a, obt emo s m ais

três cas as , 5 4 , 4 5 e 4 4 . Vo ltan do ao 5 5

escol h em os, d e no vo ao acas o, um a cas a p ara

ond e s e poss a legalment e mov er o caval o, 3 4

e const ruím os as co rres pon d ent es

simet ri as, 3 5 , 6 4 e 6 5

. Di sp omos os pares em qu atro li nh as, n a prim eira um a sequ ên ci a de pares o bedecen d o à regra do m ovi ment o do cav alo e nas linh as in ferio res as co rres pon dent es s im etrias, com o repres entado ab aix o.

6 8 7 5 4 2 1 3 2 1 3 1 2 4 3 5 3 4 2 1 3 4 2 1 3 1 2 3 1 2 4 5

6 8 7 5 4 2 1 3 2 1 3 1 2 4 3 5 6 5 7 8 6 5 7 8 6 8 7 6 8 7 5 4 3 1 2 4 5 7 8 6 7 8 6 8 7 5 6 4 3 4 2 1 3 4 2 1 3 1 2 3 1 2 4 5 3 1 2 4 5 7 8 6 7 8 6 8 7 5 6 4 6 5 7 8 6 5 7 8 6 8 7 6 8 7 5 4

Podem os agora j ust apo r a p rim ei ra co m a q u art a, e a s eg und a com a t ercei ra obt end o, 3 1 2 4 5 7 8 6 7 8 6 8 7 5 6 4 6 5 7 8 6 5 7 8 6 8 7 6 8 7 5 4 6 8 7 5 4 2 1 3 2 1 3 1 2 4 3 5 3 4 2 1 3 4 2 1 3 1 2 3 1 2 4 5 3 1 2 4 5 7 8 6 7 8 6 8 7 5 6 4 3 4 2 1 3 4 2 1 3 1 2 3 1 2 4 5 6 8 7 5 4 2 1 3 2 1 3 1 2 4 3 5 6 5 7 8 6 5 7 8 6 8 7 6 8 7 5 4

Est as du as s equ ên ci as n ão s e pod em jus tap or ob ed ecend o à regra do mo vim ento do caval o, m as p odemos t en tar in tercal ar n a p rim ei ra seq uên cia a segu nda. Vand erm ond e fez iss o entre os t ercei ro e quarto p ar d a p rim ei ra,

4 2 e 2 1 . A s eq uên cia obtid a co rrespo nd e ao d es enh o d a fi gu ra ab aix o.

Figura 5

1.1.3. Hamilton

Em 7 d e Out ub ro de 1856 6, Wil liam Ham ilton, nu ma cart a des tinada ao seu ami go Grav es , comun icav a a su a d es co b ert a mais recen te, e qu e, no ano segui nte, deu ori gem a um jo go que foi v endi do a um grossi sta d e jo gos e puzzles. Hami l ton ch amo u ao jo go «Ic osian Gam e » d eriv ado d e um a p al av ra grega qu e si gni fi ca vi nte. Ess e jo go co nst av a d e um tabul ei ro com vint e furos unid os p or li nh as e v int e p eças, num erad as d e 1 a 20 , para col ocar n os fu ros, com o s e most ra n a fi gu ra ab aix o.

Figura 6

As regras d o jo go colo cavam vário s p ro blem as . Hav en do ap en as um j o gad or o obj ecti vo s eria col ocar as vi nte peças no s vint e fu ro s po r ordem , de m odo q ue d uas peças com núm eros con secu tivo s esti ves sem em furos qu e foss em u nid os por u ma linh a e além dis so a últim a t amb ém uni ria com a prim ei ra. No caso de h av er d ois jo gado res, o pri mei ro a jo gar colo cav a cinco p eças em ci nco fu ro s con secutivo s e o segund o jo gad or d ev eri a com plet ar a s eq uên ci a, s em pre em furo s li gado s, d e mod o a termin ar num fu ro li gad o com o i ní cio d a seq uência com eçad a pel o p rimeiro jo gad or. Qu alqu er qu e s ej a a jo gada do p rim ei ro jo gado r, o segun do t em s emp re p elo m en os duas p ossi bilid ad es de resp ost a b em su cedid a m as , em al guns casos , t em qu at ro hipót es es de resp ost a. Um o utro p robl em a, p ara doi s jo gadores, permit e ao prim eiro jo gado r colo car t rês peças em s equ ên ci a e es col he um furo dos v azio s on d e o adv ers ári o d ev erá t ermin ar a s equ ên ci a. Est e probl em a permi te ao segun do jo gad or ter u ma, du as ou q u atro hip óteses de res post a dep end en do d as es colh as d o pri mei ro jo gado r. No ent anto, o p rimeiro jo gado r pod e aind a fazer escolh as q ue não p ermit em qualqu er hi pót es e de resp ost a ao adv ers ário, ganh and o assim o jo go .

Como v erem os em s ecções post erio res, o que est á aqui em jo go é a d es cob ert a de trajecto s esp eci ais q ue fi caram co nh ecid os com o n om e d e Hamilt on.

1.1.4. Teorema das quatro cores

Depois do probl em a da pon tes d e Ko eni gsb erg, o t eo rem a d as qu atro co res é o mais famos o p ro blema d e Teori a de Grafos. Est e p ro bl ema tev e o ri gem , em 2 3 de Outu bro d e 185 2, n a co rrespo nd ên ci a ent re Hamilt on e Au gu sto De Mo rgan (180 6-1871 ), probl em a ess e que fo i levant ado po r um alu no d e De Mo rgan. O s eu en un ci ad o era ap rox imadam ent e o s egu int e: «p o rq ue raz ão, qu and o di vidimo s qu alq uer fi gura em zo nas colo rid as , de mod o q ue du as zonas qu e t enh am front eira com um fiq u em com co res diferent es, precis amo s, no máx imo, d e qu at ro co res ». Ess e al uno era Frederi ck Guth ri e mas realm ent e o cri ad or do p ro blema foi um seu i rm ão, Fran cis Guth ri e (183 1-189 9), qu e facilm ent e d eu um ex em plo d e um map a o nd e sejam necess ári as 4 co res, mas não p rov ou q ue n ão ex ist e n en hu m map a qu e ob ri gu e à utilização de mais d e 4 cores . Co nject u rou ess e facto e foi o p rim ei ro a falar na «co n j ect ura d as 4 co res ».

Posterio rm ent e fo ram muitos os m atemático s, cél eb res e menos cél eb res, qu e s e ded icaram a tent ar dem onst rar o t eo rema d as 4 co res. Art hur Ca yl e y (18 21 -1 895 ) publi co u em 187 9 u m arti go na Ro yal Geo graph ical So ciet y ond e ex pli cava as razões que o l ev av am a su p or qu e a conj ectu ra s eri a fals a e q ue n ão hav eri a mesm o nenh um núm ero mí nimo q ue foss e su fi cient e para col ori r qu alq uer map a. J á Al fred Kempe (18 49 -19 22 ), q u e fo i alu no de Ca yl e y, est av a con v en cido d o cont rário e pu bli cou mesm o um a prov a d o teo rem a das 4 qu at ro cores qu e se s upô s co rrect a du rant e o nze ano s, at é qu e P erc y Heawoo d (18 61 -19 5 5) l he apo ntou um erro na d emo nst ração. Nas próx im as lin has descrevemos ap rox imadament e o racio cí nio d e Kemp e. Co nsi dere-s e todo o m ap a j á col orido ex cepto um a reg ião , qu e falt a colo ri r. Sup onh amo s q ue es sa regi ão est á ro dead a p or qu atro o ut ras regi ões como n a fi gu ra abaix o.

?

A

(verde)

B

(amarelo)

D

(azul)

C

(vermelho) Figura 7

O t racej ado n a fi gura si mbol iza qu e «al g o s e p as sa » n o ex terior do d es enh o m as que n ão sabemos o qu ê. Ora, d uas coi sas po dem acont ecer n es se ex teri or. Ou as

regiõ es A e C se to cam tendo u ma front eira com um ou t al n ão acont ece. Se iss o não acont ecer ent ão pod emos colo ri -las amb as de verd e ou amb as de v erm elho lib ertan do uma co r para a regi ão cent ral. Iss o j á n ão pod e s er feito s e as regi ões tiv erem uma front ei ra comum. M as, t end o-a, ent ão ex istirá u ma cad ei a con tínu a d as regi ões A e C at é se t ocarem imp edindo qu e h aja uma fro nt eira comu m en tre as regiõ es B e D e pod emos us ar a m es ma cor agora n es tas regiõ es li bert and o t amb ém um a co r p ara a regi ão cent ral . Es te t ipo d e argum ent o ficou con hecid o como o méto do das cad ei as de Kem pe e é us ad o frequent ement e no s eu art i go ond e su põ e d emonst rar o teorem a das 4 co res. Kem pe t em de an alis ar vári as sit uaçõ es e Heawo od enco ntrou -lh e um erro no caso ond e ci nco regi ões rod ei am u ma região po r col orir. O arti go de Heawood n ão é ap en as destrutiv o, p ois Heawood most ra ain da qu e b ast am cinco cores para colo rir qualqu er mapa. Apesar dis so o t rab alh o de Heawoo d n ão foi acol hido com mu ito interess e e ho uv e at é vário s trab alho s p osteri ores qu e apres ent av am a d emo nst ração de Kemp e com o est ando co rrect a.

Depois do ins uces s o des ta dem onst ração p ass ou -s e a o lh ar para a T eo ri a d e Grafos d e out ra fo rm a e cons id era-s e qu e foi o atin gi r d a mat u rid ad e p ara um a teoria que era recent e. Os mat em áti cos não d esist iram de tentar pro var a con jectu ra das quatro cores , mas p rocu ro u-se fo rmu laçõ es alt ernat iv as d o p robl ema de mod o a p oder usar técni cas d e out ros ramos d a m at em ática. Ex emp lo diss o foi um arti go, ai nd a de Heawoo d o nd e el e tenta u sar sist em as d e co n gru ên ci as. Heawo od começa por con sid erar ap en as m ap as ond e não h á po ntos em qu e s e t oqu em m ais d e t rês p aís es e os p onto s o nd e s e t ocam t rês país es co rres pon dem aos v ért ices de um grafo cu jas arest as são as fro nt eiras un ind o doi s p aí ses . Dest e mo do define um grafo ch am ado triv al ent e, p or t odo s os vérti ces s erem i n cid ent es com t rês arest as. Depoi s sup õe que

a cad a v érti ce est á ass oci ad o um n úmero do conj unto

{

−1,+1

}

e el abo ra a s eguint e

pro posi ção: p ara cad a regi ão, a som a dos valo res ass o ciados aos vérti ces qu e limit am ess a regi ão é um mú ltiplo d e 3 se e só s e o map a s e pod e co lori r com, no m áx imo, quatro co res. Heawo od gastou m uito d o seu t empo a es tud ar si stem as d e con gru ên cias e publ icou mais arti gos d edi cados a es se tema m as nu nca co nseguiu grand e su cesso na utiliz ação dess es result ad os n a dem on stração da conj ectu ra das qu atro co res. No iníci o do s éculo XX ess en ci alm ent e p ro cu rava-s e a resol ução do p ro blema com argum ent os to poló g icos e al géb ri cos e eram esp ecial ment e o s mat em át icos am eri cano s qu e est udavam est e p ro blema. Oswald Vebl en (188 0-196 0) e George Bi rkh off (1 88 4-9 44 ) int eres saram-se t am bém muit o p el o p ro b lem as das q u atro co res e o s eu estud o d es envolv eu áreas d a m at emática como a Geom et ri a Proj ectiv a e a

Geometri a Diferen ci al. Em 1 912 Vebl en pub lica um arti g o «An appli catio n of modul ar equ ati ons i n an al ys is situs » e n o fim d es se arti go el e pró pri o ex plica em q ue sent ido o trab al ho del e pod e s er consi derado um a general ização d os sist em as d e con gruências de Heawoo d. No mesm o an o Bi rk ho ff p ubli ca u m arti go «A d etermi nan t fo rmul a fo r d e num ber o f wa ys o f col orin g a map » o nd e apli ca as t écni cas das cad eias de Kem pe e de reduti bilid ad e de mapas ond e s ão apres en tadas várias pro posi çõ es s ob re o modo de colo ri r map as m as a conj ectu ra das q uat ro co res con tinu av a p or d em o nstrar. Em 192 2, Phi lip Frank lin (189 8-1 965 ) pub lica um arti go «T h e fo ur col or p ro blem » na s eq uênci a dos trab al hos ant eri ores on de estu da v árias con fi guraçõ es de mapas e as poss ív eis si tuaçõ es de redu ção . Most ra ness e arti go que qualqu er mapa com um máx imo de 25 regi õ es po d e ser col ori do com q uat ro co res no máx imo.

Hassl er Whit n e y (1 907 -19 89 ) pu bli ca no Bull eti n of Am eri can M at hem ati cal Soci et y, em 19 32, um art i go «A l o gi cal ex pansi on in a math em ati cs ». Whi t ne y pro cu ra d es env olv er o seu t rab alh o d e mo do qu e po ss a us ar grafos e não mapas. P ara el e um a colo ração d e u m grafo é um a atrib uição d e co res aos v érti ces d o grafo de modo qu e v érti ces u nidos po r u ma arest a t enh am cores di ferent es e repres ent a por

( )

λ

M o número d e fo rm as de co lorir um d ad o grafo us and o λ co res. M é uma fun ção

polin omi al e é con h ecido p elo p olin ómi o cromático de um grafo. T amb ém Birk hoff volto u ao est udo d a co nj ect ura das q uat ro co res com um a abordagem s em elh ant e e

ap resent a um poli nó mio, n a vari áv el λ, m as em fu nção do nú mero d e regiõ es , n, d o

grafo. El e prov a qu e para n≥3 temos P_n

( ) (

λ

=

λ

λ

−1

)(

λ

−2

)(

λ

−3

)

n−3 para q ual qu er λ≠4.

O qu e s e p retend e é con clui r q ue 4 n ão é sol ução da eq uação, n a i ncó gni ta λ,

( )

λ

=0

n

P , qualqu er qu e sej a n≥3, pois daí deco rreri a o teo rema d as q uatro cores . Ora

isso acon teceri a se a ex press ão d e Bi rk ho ff foss e tam b ém v áli d a p ara λ=4.

A red utibil id ad e do s grafos era o camin h o traçado p ara demo nstrar o t eo rema d as quatro co res e foi n esse s enti do qu e s e trab alh ou. Depois d e Frankli n ter demon strado a val id ad e d o result ado p ara m ap as com um máx imo d e 25 país es , em 19 26, C. N. Re yn olds d emo nst ra o resu ltado para 2 7 país es , em 1 936 d e n ovo Frankli n d em ons tra para 31 paí ses, em 1938 , C. E. Win n d emo nst ra para 3 5 p aíses e em 1 96 8, O ys tein Ore e J o el St empl e d emo nst ram p ara 40 p aís es.

Em 197 6, Ken neth App el e Wolfgan g Haken cons egu em p rov ar qu e qu alq u er grafo é red utív el a uma de 14 78 con fi gurações b ási cas e u saram um pro gram a de com put ado r p ara an alisar a pos sibil id ad e d e col ori r es ses 1 4 78 m ap as com 4 co res,

no m áx imo. Es tava finalm en te «d emo nst rado » o t eo rema d as 4 co res. No ent an to est a dem onst ração n ão agrado u a tod os po r fazer us o da uti lização do co mput ad or. A necessid ade d e u tili zação d o comp utado r resu lta do facto d e s er im pos sív el ao ser hum ano no s eu t em po d e vi da an ali sar tod as as 14 78 con fi gu raçõ es. Po r is so os mat em áticos conti nu aram a in vesti gar o tema e, em 19 94, Paul D. Se ym our, Neil Roberts on, Daniel P. Sand ers, Robi n Tho mas cons eguem mos trar a p ossi bilid ad e de redu ção a 66 3 con fi guraçõ es m as ai nd a assim p recis am do aux ílio d e compu tado res para as an alis ar.

Perm an ece as sim em ab ert o a q uest ão d e en con trar um a demo nstração do t eo rem a das 4 cores qu e pos s a s er seguid a p elo ser h um ano do p rin cíp i o ao fim , s em utiliz ar o com put ado r para efectu ar a an ális e de to das as con fi guraçõ es pos sív eis.

1.1.5. O carteiro chinês

De al gum mo do relacion ad o com a q uest ão vist a i nici al ment e d e en co ntrar trajecto s qu e p ercorress em to d as as arest as d e um grafo est á um out ro p ro bl ema, que tamb ém fi co u fam os o em t erm os histó ri cos, qu e é o p robl em a do cart ei ro chin ês. Est e pro blema foi post o p elo m at em áti co chin ês Mei -Ko Kwan em1 962. É o s egu int e: “Um cart ei ro s ai do co rreio com as cart as p ara dist rib ui r na s ua área. Tem de p ercorrer tod as as ru as p el o meno s um a vez e pret end e es colh er um caminho t ão cu rto q uant o possí vel ”.

Se estiv ermo s p eran te u m grafo on de ex ista um t raject o q ue com ece e acab e no mesm o v érti ce, p as s and o po r to das as arestas, ent ão q u alqu er um d ess es t raject os serv e pois o camin h o mais cu rto s erá p assar um a úni ca v ez por cad a aresta. No caso de n ão ex isti rem trajectos n ess as con dições , ent ão p ara es co lher qu al o mais cu rto temo s d e ass oci ar a cad a arest a d o grafo um certo núm ero, cham ad o p eso , e p or i sso est amo s p erant e u m pro bl ema qu e l ida com grafos pesad os. C ad a ru a s erá repres ent ado po r u m a arest a e int ersecções ent re ruas correspon derão aos vérti ces. Para t rat ar o p ro blema t al com o foi col ocado ent ão a cad a arest a as so ci aremo s um núm ero q u e co rresp ond a ao com pri ment o des sa ru a. Pod emo s, no entanto , perceber aqu i um a gen eraliz ação a vári as s itu açõ es p ráti cas on de o p eso de cad a arest a s ej a um qu al qu er atri buto qu e s e pret en da opt i mizar.

1.1.6. O caixeiro viajante

Rel aci on ad o agora com os t rajecto s d e Ham ilton t em os o utro probl em a tamb ém histo ri cam ente fam o so q ue é o probl em a do caix ei ro vi ajant e: “Um caix ei ro viaj ante pret end e vi sit ar vári as lo cali dades um a ú nica v ez e regress ar à su a cid ad e. Pret en de faz ê-lo da man eira m ais eco nómi ca. ”

Est e p robl em a pod e ser mo del izad o p or um grafo p es ado e admitind o q ue ex ist e li gação ent re qu aisq uer du as d as l ocali d ad es ent ão p reci sam os de en co ntrar ci cl o s de Ham ilton num grafo com plet o e es ses caminho s ex isti rão s em pre. T rat a-s e d e ent re as vári as hipót es es en contrar o m eno s p es ado, ou po r s er o m ais curto, ou po r ser o men os d isp en dios o.

1.1.7. Perseguições em flippers

Mais recent em ent e, uma p romo ção d e v end as us ou j o gos b aseado s em m es as d e flip pers . O desafio em cada caso é en con trar um cami nh o à v olta d a mesa p ontu ando o mais poss ív el. Co n sideremo s a fi gu ra abaix o qu e repres ent a uma p ossí vel m es a de flip pers . 100 25 35 30 75 10 25 20 15 50 40 Figura 8

Est e jo go p od e ser resol vid o por et ap as, todas el as rel aci on ad as com T eo ria d e Grafos. Na pri mei ra et ap a con strói-se um grafo rep resentand o cad a q u adrado po r um vérti ce e arest as li gan do v érti ces de quadrad os qu e t en h am al gum l ad o co mum, port an to não se po de and ar n a diagon al n os flip pers . De s egu i da pret en de-s e const rui r um traject o pas sando uma úni ca vez po r cad a vérti ce de mo do a ati n gi r a maio r so ma de p ont os. C omo v eremos n a p art e t eó ri ca est e traj ecto co rres pond e a um camin ho de Ham ilton .

1.2.

Considerações teóricas

A repres ent ação v is ual dos ex emplo s at rás ap resentados é geralm en te su fi cient e para co mpreen der o con ceito de grafo e a su a pos sív el ap licação a sit u ações do quoti diano. No ent ant o, e ap es ar de nest e t rab alho est arm os int eres sados em apli caçõ es lú di cas, ao desenvo lv er u ma t eo ri a, e n eces sitando de d emon s trar ev ent uai s t eo remas, surge muit as v ezes a necessi dad e d e m at em atizar (l ei a-s e to rnar abst ractos ) cert os conceit os. Foi is so q ue acont eceu com a Teori a de Grafo s e os próx imos parágrafo s ap resent am a t eo ria qu e vamos n ecessit ar ao lon go d est e trab alho .

Um g rafo é um t erno

(

V, A,ϕ

)

ond e V e A são conjun tos fin itos não vazio s e

( )

V P

→ Α :

ϕ tal que

(

∀a∈A

)(

∃u,v∈V

) ( ) { }

:ϕa = u,v . Os el em en tos de V cham am -s e

vértices e os elem entos de A ch am am -s e ares tas . Uma arest a a p ara a qu al ex ist a

V

v∈ tal qu e ϕ

( ) { }

a = v ch ama-s e u m lacete. Qu and o, p ara u,v∈V temos mai s do que

um el em ent o em ϕ−1

(

{ }

u,v

)

ch am amos ares ta s múl tiplas a ess es el em entos. Um grafo

que n ão tenh a l acet es n em ares tas múl tipl as diz-s e um grafo si mples.

Sej am u,v∈V e a,b∈A. u e v dizem -s e v értices ad ja cen tes q uando ex iste c∈A

tal qu e ϕ

( ) { }

c = u,v . a e b diz em-se ares tas ad ja cen tes qu and o ex iste w∈V tal qu e

( ) ( )

a b

w∈ϕ ∩ϕ . O v ért ice v e a arest a a dizem -s e in cid en tes qu and o v∈ϕ

( )

a .

Um g rafo va zio é u m grafo s em ares tas e um grafo co mp leto é um grafo o nd e

quaisqu er d ois v érti ces disti ntos s ão adj acent es.

O g rau de um vérti ce v∈V defini -s e com o sen do 2i+ j ond e i é o n úmero de

lacet es in ci dentes com v e j é o número d e ares tas, qu e não sejam l acet es ,

inci dent es com v.

Um pas sei o é um a s equ ên ci a alt ernad a d e v értices e arest as que começa e acab a

com u m vérti ce e t al que, qu ais qu er doi s el em ento s co ns ecu tivos , ness a sequ ên cia,

são in ci dentes. O p assei o diz-s e fechado quan do o p rim eiro e o último v érti ce d essa

seq uência s ão o m es mo.

Um a talh o é u m p ass eio qu e não repete arest as.

Um ca minho é um p ass eio qu e n ão rep et e v érti ces.

Um ci rcuito é um p ass eio fech ado qu e p ass a po r tod as as arestas . Um a talho d e Euler é um at alho q ue pas sa po r to das as arest as. Um ci rcui to d e Eul er é um at alh o

Um ci clo é um p ass eio fech ado qu e n ão rep et e v érti ces i nterio res. Um ca minh o de Ha mil ton é um camin ho q ue pass a po r tod os o s v ért ices . Um cicl o de H a milton é

um cicl o q u e p ass a p or t odo s o s v érti ces.

Um grafo diz -s e eul eriano qu ando pos sui al gum circuito de E u ler.

Um grafo diz -s e ha miltoni ano qu and o p o ssui al gum ci clo d e Ham ilton .

Um grafo d iz-s e con exo qu ando , p ara qu aisq uer doi s v érti ces ex ist e u m p ass ei o

que com eça num v ért ice e acab a no out ro .

Dado um grafo p od emos cri ar, a parti r d el e, o utros grafo s. Aqui v amos precis ar das s egui nt es defini ções .

Sej a G=

(

V, A,Φ

)

um grafo e B⊂ A, não vazi o. Ch am amo s grafo eli mina çã o d e B

a um no vo grafo, qu e s e rep resent a po r G−B, e s e defin e p or G−B=

(

V*,A*,Φ*

)

ond e

V

V*= , A*= A\B e Φ*=Φ|A\B. Se B=

{ }

b repres en t a-se usu alm en te G−B po r G−b.

Port ant o t emos um novo grafo ond e se retiram as arest as qu e est ão em B mas

mant emo s t odos os v ért ices .

Send o a∈A co m Φ

( ) { }

a = u,v e u≠v cham amos g rafo contra cção d e a a um no vo

grafo, q ue s e rep resent a po r G⋅a, e qu e se d efin e p or G⋅a=

(

V*,A*,Φ*

)

o nde

{ }

u V

V*= \ , A*= A\

{ }

a e, p ara b∈A* se Φ

( ) { }

b = u,w d efi n e-s e Φ*

( ) { }

b = v,w e se

( )

b

u∉Φ defin e-s e Φ*

( ) ( )

b =Φ b . Na práti ca isto correspo nd e a elimin ar um a ares t a e a

junt ar os doi s v érti ces d ess a aresta nu m s ó.

De s egu id a d uas pro posi çõ es com m uit a utilid ad e práti ca e q ue s erão us ad as em al gum d os noss os ex empl os l údi cos po st erio res.

Prop osi ção:

Um grafo con ex o é euleri ano s e e s ó s e n ão tem v értices d e grau ímp ar.

Prop osi ção:

Num grafo co nex o ex istirá um a at alho d e E ul er s e e só s e, n o máx imo , ti ver dois vérti ces d e grau ímp ar.

Na fut ura secção o n de fo caremo s colo ração d e m ap as vamos precis ar da s egui nt e teo ri a.

Sej a G=

(

V, A,Φ

)

um grafo e _k∈N_{. Uma k -col oração d e vértices é uma fun ção}

{

k

}

V

vérti ces adj acent es então c

( ) ( )

u ≠c v , isto é, v érti ces adj acent es t êm co res diferent es.

G diz-se k -colo rív el quando p ossu i al gu ma k -col oração pró pri a. O nú mero

cro mático de um grafo , G , é o meno r val or d e k tal qu e G é k -colo rív el, e

repres ent a-s e p or

χ

( )

G .

Como j á tí nh amo s vi sto n a secção hi stó ri ca, a p arti r d o p rin cí pio d o s éculo X X, o «at aq ue » à d emo nst ração do t eo rem a d as qu at ro co res b as eav a-se n a uti lização de argum ent os t opol ó gicos e al géb ricos. Para ess e t rabal h o temos as s egui n tes defini çõ es e res ult ad os.

Num grafo G , para _k∈N_{, o nú mero de k -colo rações p róp ri as disti ntas}

repres ent a-s e po r

π

k

( )

G . A propo sição s eguin te é im edi at a a part ir d as d efi ni çõ es

env olvi das.

Prop osi ção:

Sej a G um grafo co m n vérti ces. S e G é vazio então, p ara _k∈N_{, temo s}

( )

n k G =k

π . Se G é com plet o en tão , p ara _k∈N_{, temo s}

( )

G =k×

(

k−1

) (

× k−2

)

×...×

(

k−n+1

)

k

π se k≥n, e πk

( )

G =0 s e k<n.

Vam os ago ra ap res entar doi s resul tados import antes na defi nição d e p olinó mio crom áti co e co ns equ ent em ent e na d et erm inação do núm ero cromáti co d e um grafo.

Prop osi ção:

Se G é um grafo si mples n ão v azio então, p ara qu alqu er arest a a temo s,

( )

G _k

(

G a

)

_k

(

G a

)

k =π − −π ⋅

π .

Prop osi ção:

Sej a G um grafo co m n v ért ices . E nt ão π_k

( )

G é um poli nómio móni co, n a

vari áv el k , de grau n de coefi ci ent es int ei ros s end o 0 o termo indep en d ent e. Al ém

disso os coefi ci ent es alt ern am em sin al.

Nas co ndi çõ es das pro posi çõ es ant erio res, o poli nómi o, n a variável k , π_k

( )

G ,

Capítulo 2:

Jogos

Fal ar em jo gos dum a fo rm a geral é falar em pens ar, em d iv ert ir-se, em relacionar-se com outros.

Na aprendizagem o jogo esteve sempre associado à ideia de transmitir conhecimentos duma forma mais leve e dinâmica, à ideia de quebrar uma certa monotonia e austeridade.

Neste sentido a temática do jogo já foi explorada das mais diversas formas e perspectivas.

2.1.

O jogo e o ser humano

O jogo t em, sob re a crian ça, o po der d e um exer cit ado r un iversa l: fa cili ta tant o o prog res so d e su a person alida de i nt egra l , co mo o pr ogr es so de cada u ma d e su as fun çõ es psi coló gi cas , int el ectuai s e mor a is.

Ja cqu in, 19 65

O jo go é um a acti vi dad e t ão ant i ga com o o H omem. El e est á li gad o ao imp ulso lúdi co do hom em, t raço d e pers on alid ad e qu e p ersist e d esd e a infân ci a até à id ade adu lta. Com o traço de p ers on alid ade el e encont ra a s ua fun d ament ação em característ icas bio ló gi cas, cultu rais e so ciais do s er hum an o.

Do p ont o d e vist a biol ó gi co o jo go ap arece relacio n ado com a diferent e com plex id ad e das h abilid ad es necess ári as para a so brev iv ên ci a. É p ossí vel const at ar que as esp écies bi oló gi cas mais avan çad as na es cala fil o genética b rin cam mais quando s ão adu ltas, com o po r ex emp lo o s leões. Nas esp écies in ferio res, como n o s insect os, ex ist e um a p as sagem rápid a ao est ado adult o, at rav és do trein o de hab ilid ad es. P arece assim qu e o jo go está li gado e é necessário à aqui si ção de est ratégias p ara um d es env olvim en to ad ul to, o nd e a com pl ex idad e t em lu gar.

No caso es pecí fi co d o hom em o p ap el do as pecto lúd ico é m ais am bí guo emb ora necess ári o. Uma co n seq uência d es ta n ecessid ad e é o efeito ap aren tem en te co nfli tu oso no t rabal ho hum an o, com o acti vid ad e d e s obrevi v ên cia. S e po r um l ado a com po nen te lúdi ca p arece indi sp ensável p ara se p od er adq uirir m aio r compl ex idade p ara t rab alh ar

e so brevi v er, po r ou t ro l ado a necessi dad e do lúdi co at ras a o momento d e est ar ap to a trab alh ar em p leno, com o adulto . A ssim, no s er hum ano est a dualid ad e jo go-trab alho , uma vez qu e est am os no top o d a es cal a d a com plex id ad e bioló gica, é am bí gu a e con flit uos a qu ant o à pro emi nência d e um ou o utro, qu ant o à o port uni dade d e cad a um e q uanto à conv en iên ci a o u n ão d a di stin ção en tre amb os.

Reflex o d est a am bi guid ad e são as p osi ções d e al gu ns auto res. Frei net criti ca o trab alho so b a fo rm a d e jo go ( j o go -t rab alh o ) e ad vo ga um t rabalho cri ativ o ( trab alho -jo go ), p ois p ara ele t ran sfo rm ar o trab alh o em jo go é adm itir impli cit ament e qu e o trabal ho é impo tent e p ara edu car e d ar realização p ess oal . Leif e Brun ell e (197 8) cri ticam t am bém a int erp en et ração ent re jo go e trabal ho, defend end o ant es u ma com pl ement ari dade. N o ent an to para K an gas e Sol omo n a distin ção en tre j o go e t rab alho é al go n eb uloso .

Todo s est ão de acordo qu e o jo go, no s er h um ano , co ntém característ icas q ue introduz em um el em ent o cultu ral e s ocial impo rtant e. É um d ado ad qui rid o qu e jo gar con tém el ementos d e soci alização e de aq uisi ção de regras e d e valo res. No ent ant o a questão d e qu al a contribui ção do j o go , do el em ent o lú di co, p ara esses asp ect os cult ural e so ci al j á n ão reún e cons ens o.

Se é verd ad e qu e o jo go cont ribu i p ara cri ar e desenvol v er mitos, sím bolo s e a ap rendiz agem d e reg ras, cont ri buin do p ara o conh ecim ent o d as cois as , d as relaçõ es ent re as cois as , e p ort ant o p ara a adap tação so ci al, a rel evân ci a dess e cont rib uto difere d e auto r para aut or.

2.1.1. O Jogo

Encarand o a p ersp ectiv a cu ltu ral e s o ci al d o j o go , p ró pria do ser hum an o, interess a referi r d uas característ icas fund am ent ais d o jogo, qu e o faz ser indis pens áv el tan to na su a cap acid ad e d e rep res ent ação e int erp ret ação do real, co mo na ap rend izagem do Hom em com o s er s ocial: o acaso e as regras.

Sobre o acaso , é evi den te es sa caract erís tica, s e olh armos em redo r. El a aparece nas form as d e o rgan ização d as estruturas vi vas , e em div ers as fo rm as do com portam ento so cial dos s eres hum anos.

Qu anto às regras, el as aparecem n as lei s natu rai s, n as int eracçõ es so ciais e n as tomadas d e d ecis ão , e s ão passív eis d e ap rendiz agem (ao con trário do acaso , do q ual ap en as pod em os est u dar as co ns equ ên ci as ).

Além des tas du as caract erísti cas fu ndamentais, ao an alisar-se u m jo go a persp ectiv a q u e s e t oma i mpli ca um a cl assifi cação e caract erização di ferent es e u ma an ális e diferen ciada para du as qu es tõ es fund am ent ais:

- Qu al o ob jecti vo d o J o go?

- Qu al d ev e ser o co mportam en to dos jo gado res?

Conform e n os sit uemos num a p ersp ecti va m ais est rutu ral o u mais t rans acio nal , assim o ên fas e será d ado à form a e regras do jo go e ao qu e o jo gad or d everá fazer, o u aos jo gadores n a s ua subj ectiv id ad e, no q ue efecti vament e faz em.

Mais esp eci ficam ent e, o J o go, no s entid o de act ivid ad e int electu al o rganiz ad a, com regras, int eracti vo, co m gan hos e p erdas p ara os jo gad ores, analis ado m ais na fo rma e n as regras, p ode s er estud ado t en do em co nta p arâm et ros como:

- A in fo rm ação d e cada jo gad or p erant e cad a j o gad a, - O n úmero d e j o gad ores,

- S e é i nfi nito ou fi n ito,

- S e d ep en d e o u n ão do acas o,

- A i guald ad e o u n ão de regras para cad a jo gado r,

- A tot al aus ên ci a o u não d e coop eração entre o s j o gado res,

- O m aio r o u m en or núm ero d e poss ibili d ad es perant e cad a j o gad a.

É n est a pers pecti va q ue ap arece a T eoria dos J o gos, num a pers pectiv a es tru tu ral .

2.1.2. Teoria dos Jogos

Uma fo rm a d e ab ord agem cent rada no j o go, cad a v ez mais d esen volv id a, é aqu el a que deu ori gem à t eo ri a dos jo gos , ten do po r fund o est ud os mat em áti cos . A sua ori gem s itu a-se na área d a tom ad a de d ecisõ es no campo d a eco nomi a, mas actu alm ent e alarga-s e cada vez m ai s a o utras ci ên ci as o nd e a tom ad a de deci são é fun dam ental.

Os s eus fund am en tos rem ont am a 1 928 , q uan do J ohn V on N eu mman d em onst ro u o teo rema mi nim ax bási co. C om a p ubli cação em 19 44 d e Theor y o f G ames and Eco nomi c Behavio r, de J ohn Vo n Neumm an e O sk ar Mo rgen st ern, most ro u-se qu e se pod em i nterp ret ar acont ecim entos so ci ais at rav és de jo gos de est ratégia.

Na t eo ria d os jo gos est es s ão anali sados de um a man ei ra est rutural , fo rm al. N el a são estud adas as vári as possi bili dades em t ermos d e núm ero d e j o gad ores, possi bilid ad es d e ganhos e perd as e est ratégi as co ndu cent es a tal, assim com o q ual a info rm ação di spo nív el.

A su a caract erísti ca domin ant e é analis ar o jo go t en do como press upos to aquil o que os jo gado res d everi am s er, obj ectiv a e racio nal mente, e não o qu e s ão , d e fo rma subj ectiv a e pes so al.

Na an ális e de jo gos segu ndo est a persp ectiv a muit as pos sib ilidades pod em s er con sid eradas, em fu nção d os p arâmetro s at rás assin al ad os. Al gu ns adq ui rem u ma rel evânci a es p eci al p ara es ta teoria.

Na T eo ri a do s J ogos um co n cei to fu ndamental é o con ceito d e es trat égi a, ent en dendo est a co m o "u ma d es crição co mplet a d e como um a pess oa d ev erá agi r sob quaisqu er ci rcun st ân ci as po ssív eis " (Davi s, p.2 7). O ra, p ara q ue s e po ss a defi nir u ma est ratégia é n ecess ário qu e:

- A i nformação d e cad a jo gado r p erante cad a jo gada sej a compl eta, p ara pod er estu dar tod as as alt ernati vas;

- O j o go s ej a finit o, isto é, o n úmero de alt ernat iv as a anali s ar sej a lim itado e o jo go acab e apó s um núm ero finit o d e l an ces;

- Cada jo gado r s aib a em q u e med id a é que os seus int eress es (para ganh ar) s e opõ em ao s d os o ut ro s jo gad ores .

Em t eo ri a, se um jo gad or t em est es con hecim ent os, el e po d e, d epoi s d e estud ar

tod as as pos sibi lidades, t om ar u ma decis ão , d efi nir um a est ratég ia,

ind ep end ent em ent e d aqu ilo qu e o utro j o gado r pl an ear fazer.

Neste s entid o o jo go é det ermin ad o, e s e fo r p ossí vel faz er u ma o pção d ep ois d e verificad as tod as as hipót es es diz-se qu e é u m jo go de form a norm al .

2.1.3. Jogos de informação perfeita e imperfeita

Nos jo gos de in fo rm ação p erfeit a part e-s e d o p ress upo sto qu e cad a j o gado r: - Po de racio nal mente co nceber de form a compl eta as s uas p oss ibilid ad es;

- Po ssui a in fo rm ação compl et a s ob re v an tagens e d es vantagen s d e cada es colh a; - T em indi cad or d e u tilid ad e, um v al or p ara o ganho ou p erd a.

Nos jo gos d e in fo rm ação imp erfeit a cad a parti cip an te, em cad a mo mento, n ão tem possi bilid ad e de co nhecer tod a a in fo rmação p ara fazer u ma d et ermin ad a es colh a, pois isso d ep end e d e es col h as d o ad vers ário.

Nestes jo gos d es emp enh am um p ap el im p ort ant e as rel açõ es i nterp ess oais, poi s a atitu de, a es col ha q ue o adv ers ário vai faz er, i nterfere com a es co lh a d o o utro. A defini ção d e uma estrat égi a ganh ado ra por um dos jo gad ores, a ex istir, lev ari a paradox alm en te o advers ário a adopt ar a mes ma est ratégi a, e en tão a est rat égi a

gan hado ra po deri a já n ão o s er. N es tas situ açõ es a an ális e p si coló gi ca p ode con di cion ar o ganh o ou p erd a d e um j o gador.

2.1.4. Jogos finitos e infinitos

Um jo go diz-s e fi ni to s e o núm ero d e alt ernat iv as a an ali s ar é limit ad o e s e termin a d ep ois d e u m núm ero d et erm in ado, finit o, de j o gad as; in finit o s e su ced er o con trário.

2.1.5. Os Jogos e o número de jogadores

Na Teori a d os J o gos uma di stin ção imp o rtant e é aqu el a qu e é feit a com b as e no núm ero d e j o gado res .

Os m ais sim ples, os indivi du ais, po r al g uns n ão con sid erado s jo go s, po dem ser en carad os como ten do a n atu reza p or p arcei ro (D avi s, 2 1). Est es jo gos , assu mi dos con tra a nat urez a, t êm es ta como p assiv a e d esi nt eres sada.

Podem s er agrup ad os em três cat egori as:

- A n atu reza n ão t em qual qu er papel. O jo gado r faz um a es col ha, e ess a escolh a det ermin a os acont eciment os (é o cas o d a con strução d e um p u zzle);

- A n atu rez a p art ici p a co m as l eis d o acas o. O jo gad or faz uma escolh a ini ci al e o acas o faz o resto, embo ra o jo gado r co nh eça p revi am ent e as p ro babili dades pertin ent es (é o caso do ap ost ad or num n úmero d a rol et a);

- S emelh ant e à ant erio r, o jo gado r n ão con hece previ am ent e as prob abili dades pertin ent es (é o caso do apo stado r em co rri das de cav alos q u e co rrem pel a p rim eira vez).

Nestes jo gos o qu e a t eo ri a dos jo gos pod e fazer é an ali sar qu ais as con sequ ên ci as de um a d et ermin ad a acção ex ecut ad a p or um in divíd uo, assumi ndo que el e q uer o m elh or res ultado poss ív el.

Nos jo gos com m ai s do qu e um p artici pan te ass umem es peci al rel evo aqu el es jo gados entre d ois p art ici pant es. N est es jo gos os i nteress es entre os doi s jo gad ores, des de com pletam en t e opo stos at é com pl et ament e co nv ergent es, cri am um a dis tin ção crucial p ara a teori a dos j o go s, cri and o o con ceito d e s om a zero.

Se s e con sid erar um con tínu o em q ue nu m ex tremo es tão os j o gos de som a nul a e no out ro os d e co nv ergência tot al , ent re esses ex tremo s est ão os de som a n ão n ula,