Protecção máxima de redes de telecomunicações

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Universidade de Aveiro Departamento deElectrónica, Telecomunica¸cões e Informática, 2010

Jorge Miguel

Saavedra dos Santos

Oliveira

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Universidade de Aveiro Departamento deElectrónica, Telecomunica¸cões e Informática, 2010

Jorge Miguel

Saavedra dos Santos

Oliveira

Protec¸c˜

ao M´

axima de Redes de Telecomunica¸c˜

oes

Disserta¸cão apresentada à Universidade de Aveiro para cumprimento dos requesitos necessários à obten¸cão do grau de Mestre em Engenharia Electrónica e Telecomunica¸cões, realizada sob a orienta¸cão cient´ıfica de Prof. Dr. Amaro Fernandes de Sousa, Professor Auxiliar do Departamento de Electrónica, Telecomunica¸cões e Informática da Universidade de Aveiro

Apoio financeiro da FCT e do FSE no ˆambito do III Quadro Comunit´ario de Apoio.

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o j´uri / the jury

presidente / president Professora Doutora Ana Maria Perfeito Tom´e

Professora Associada do Departamento de Electrónica, Telecomunica¸cões e In-formática da Universidade de Aveiro (por delega¸cão da Reitora da Universidade de Aveiro)

vogais / examiners committee Professor Doutor Pedro Mendes Ferr˜ao Sim˜oes Patr´ıcio

Professor Auxiliar do Departamento de Matem´atica da Universidade da Beira In-terior (arguente principal)

Professor Doutor Amaro Fernandes de Sousa

Professor Auxiliar do Departamento de Electrónica Telecomunica¸cões e Informática da Universidade de Aveiro (orientador)

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agradecimentos / acknowledgements

Ao meu orientador, pela paciˆencia, empenho e orienta¸c˜ao cient´ıfica ao longo do desenvolvimento deste trabalho.

`

A Margarida, pela colabora¸cão na fase final do trabalho e por nunca desistir. Aos meus pais e à minha irmã, pelo apoio incondicional.

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Palavras-Chave PBB-TE, Redes de telecomunica¸cão, Optimiza¸cão, Engenharia de Tráfego, Proteçcão de Tráfego

Resumo Esta disserta¸cão aborda o problema da gestão de recursos de redes de tele-comunica¸cões que permitam melhorar o n´ıvel de proteçcão a falhas na rede. O objectivo é minimizar as cargas das liga¸cões de uma rede com proteçcão de tráfego baseada em dois percursos de encaminhamento, um percurso de servi¸co e um percurso de proteçcão, o mais disjuntos poss´ıvel.

Para atingir este objectivo, foram desenvolvidos algoritmos heur´ısticos que fazem uso do algoritmo de Dijkstra para a obten¸cão de percursos de custo m´ınimo e do algoritmo de Suurballe para a obten¸cão de pares de percursos disjuntos de custo m´ınimo, para mapear túneis de tráfego numa rede de telecomunica¸cões. Os algoritmos foram implementados na linguagem C. Verificou-se que é poss´ıvel, recorrendo aos algoritmos de optimiza¸cão imple-mentados, reduzir as taxas de utiliza¸cão máxima de várias liga¸cões da rede, reorganizando os túneis de tráfego existentes, com pouca penaliza¸cão para a taxa média de utiliza¸cão das liga¸cões da rede. Isto permite que no caso de uma falha numa liga¸cão, o seu tráfego seja mais facilmente acomodado pelo resto da rede sem que os seus utilizadores se apercebam.

O trabalho desenvolvido nesta disserta¸c˜ao permite aos operadores de redes de telecomunica¸c˜oes reduzir os custos na melhoria da sua rede fazendo um reaproveitamento dos recursos existentes e ao mesmo tempo minimizando o impacto para os seus utilizadores no caso de falhas na rede.

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Keywords PBB-TE, Telecommunication Networks, Optimization, Traffic Engineering, Traffic Protection

Abstract This dissertation addresses the problem of resource management in telecom-munications networks allowing for the improvement of protection against network failures. The goal is to minimize the link loads in a network with traffic protection based on two forwarding paths, one service path and one protection path, as disjoint as possible.

To reach this goal, heuristic algorithms were developed making use of Dijks-tra’s algorithm to obtain lowest cost paths and Suurballe’s algorithm to ob-tain lowest cost pairs of paths, to map traffic tunnels in a telecommunica-tions network. These algorithms where implemented in the C programming language.

The computational results show that, resorting to the implemented opti-mization algorithms, it is possible to reduce the highest loads of several network links, by reorganizing the existing tunnels, with little penalty on the average link load of the network. This allows that, in the case of one link failure, the traffic is more easily accommodated through the remaining links of the network with no impact noticed by its users.

This work enables telecommunication network operators to reduce its network updating costs through a better utilization of the existing resources and, at the same time, minimizing the impact to its users in the event of network failures.

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Conte´

udo

Conte´udo i

Lista de Figuras iii

Lista de Tabelas v

1 Introdu¸c˜ao 1

1.1 Enquadramento e Motiva¸c˜ao . . . 1

1.2 Objectivos . . . 2

1.3 Conte´udo . . . 3

2 Especifica¸cão da configura¸cão da rede 5 2.1 Introdu¸cão . . . 5

2.2 Especifica¸c˜ao do ficheiro de entrada . . . 5

2.3 Rede utilizada . . . 7

3 Determina¸c˜ao do balanceamento da carga da rede 9 3.1 Introdu¸c˜ao . . . 9

3.2 Algoritmos . . . 9

4 Optimiza¸c˜ao da carga da rede 13 4.1 Introdu¸c˜ao . . . 13

4.2.1 Pesquisa local . . . 14

4.2.2 Pesquisa local com m´ultiplas situa¸c˜oes iniciais . . . 15

4.2.3 Gera¸cão de sequências aleatórias de números distintos . . . 16

4.2.4 Algoritmo de ordena¸c˜ao Quicksort . . . 17

4.2.5 Algoritmo de Dijkstra . . . 18

4.2.6 C´alculo dos custos das liga¸c˜oes . . . 22

4.2.7 Obten¸c˜ao do percurso de custo m´ınimo da lista de predecessores . . . 24

5 Optimiza¸cão de novos túneis 27 5.1 Introdu¸cão . . . 27

5.2.1 Algoritmo de Suurballe para percursos disjuntos nas liga¸c˜oes . . . 29

5.2.2 Transforma¸cão de custos . . . 30 5.2.3 Obten¸cão de caminhos disjuntos a partir de um conjunto de liga¸cões . 30

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5.2.4 Algoritmo de Suurballe para percursos disjuntos nos n´os . . . 33

5.2.5 Algoritmo geral para determinar um par de percursos . . . 35

5.2.6 Algoritmo de optimiza¸c˜ao de novos t´uneis . . . 35

6 Apresenta¸cão e discussão dos resultados computacionais 39 6.1 Introdu¸cão . . . 39

6.2 Solu¸c˜oes iniciais vs. Optimiza¸c˜ao global . . . 40

6.3 Optimiza¸c˜ao parcial vs. Optimiza¸c˜ao global . . . 41

6.3.1 Cenário A . . . 41 6.3.2 Cenário B . . . 42 6.3.3 Cenário C . . . 42 7 Conclusão 45 Bibliografia 47 Apêndices A Túneis configurados A1 B Resultados A3

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Lista de Figuras

2.1 Rede utilizada . . . 7

4.1 Matriz de adjacˆencia da configura¸c˜ao de teste . . . 21

4.2 Vectores de adjacˆencia correspondentes dos n´os 1 e 2 . . . 22

4.3 Nós intermédios e liga¸cões adjacentes de um percurso de um túnel . . . 23

5.1 Exemplo 1 contra utiliza¸c˜ao do algoritmo de Dijsktra 2 vezes . . . 28

5.2 Exemplo 2 contra utiliza¸c˜ao do algoritmo de Dijsktra 2 vezes . . . 28

5.3 Exemplo de obten¸c˜ao de um percurso a partir de 2 conjuntos de liga¸c˜oes . . . 30

5.4 Transforma¸cão de custos e duplica¸cão de nós, primeiro passo . . . 34

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Lista de Tabelas

6.1 Carga inicial nas 5 piores liga¸c˜oes nos cen´arios A2, B3 e C4 . . . 40

6.2 Carga após optimiza¸cão de túneis novos . . . 41

6.3 Valores das 5 piores cargas no cen´ario A com as 2 opera¸c˜oes . . . 41

6.4 Valores das 5 piores cargas no cen´ario B com as 3 opera¸c˜oes . . . 42

6.5 Valores das 5 piores cargas no cenário C com as 4 opera¸cões . . . 43 A.1 Túneis utilizados . . . A1 B.1 Cenário A . . . A3 B.2 Cenário B . . . A5 B.3 Cenário C . . . A7

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Cap´ıtulo 1

Introdu¸

c˜

ao

1.1 Enquadramento e Motiva¸

c˜

ao

O crescente aumento dos requisitos de largura de banda faz com que as tradicionais re-des de comuta¸cão de circuitos synchronous digital hierarchy/optical network (SDH/SONET) sejam inadequadas ao elevado volume de tráfego baseado em pacotes. Assim, existe um inte-resse, por parte dos operadores, em migrar para uma tecnologia que se adapte a este tipo de tráfego. A Ethernet é uma tecnologia baseada em comuta¸cão de pacotes e a sua ubiquidade torna-a mais barata que a tecnologia das tradicionais redes de transporte [1].

Uma rede de operador necessita de tempos de recupera¸cão a falhas muito reduzidos e que, em caso de falha em algum elemento da rede, os restantes elementos consigam assegurar o funcionamento cont´ınuo desta. As redes Ethernet não respondem de forma adequada a estes requisitos pois são lentas na recupera¸cão de falhas e não apresentam um mecanismo de proteçcão de tráfego expl´ıcito.

As redes locais baseadas em Ethernet tiram partido das facilidades de auto-configura¸c˜ao desta tecnologia. Numa rede deste tipo s˜ao determinadas, automaticamente pelos switches, ´

arvores de suporte. Estas árvores apresentam um caminho único entre qualquer par ori-gem/destino e não formam ciclos de encaminhamento. As liga¸cões que não fazem parte da ´

arvore são utilizadas em caso de falhas na rede, sendo a árvore de suporte reconfigurada. A introdu¸cão do protocolo IEEE 802.1w Rapid Spanning Tree Protocol (RSTP) [2] permite a reconfigura¸cão da árvore de suporte, em caso de falha na rede, em menos de um segundo[3]. Para assegurar uma melhor utiliza¸cão dos recursos da rede, foi elaborado o protocolo IEEE 802.1s Multiple Spanning Tree Protocol (MSTP) [4] que utiliza várias árvores de suporte para distribuir melhor o tráfego por toda a rede[3].

Estes protocolos, que contribu´ıram para a populariza¸cão da Ethernet pela facilidade e eficiência de auto-configura¸cão, não são facilmente escaláveis e eficientes nas grandes redes dos operadores[5], o que constitui um obstáculo à adop¸cão desta tecnologia. Além disso, os mecanismos de gestão que funcionam em redes de pequena escala não funcionam necessaria-mente nas redes dos operadores [5].

Assim, para a tecnologia Ethernet ser considerada uma alternativa vi´avel face `as redes SDH/SONET, esta necessita, entre outros, de:

• Permitir a desactiva¸cão dos protocolos de configura¸cão automática e da aprendizagem automática de endere¸cos;

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• Apresentar independência de gestão e transparência entre o espa¸co de endere¸camento do cliente e do operador;

• Implementar gest˜ao centralizada de recursos;

• Implementar proteçcão de tráfego com gestão centralizada e tempos reduzidos de recu-pera¸cão a falhas.

A necessidade descrita no primeiro ponto já é facilitada pela maior parte dos equipamentos de n´ıvel empresarial[5]. Os protocolos IEEE 802.1ad Ethernet Provider Bridging[6] e IEEE 802.1ah Provider Backbone Bridges [7] visam satisfazer a exigência indicada no segundo ponto. O primeiro protocolo adiciona a cada pacote um campo VLAN ID independente do campo VLAN ID do cliente. O segundo realiza o encapsulamento de endere¸co MAC à entrada da rede do operador para que os switches interiores não necessitem conhecer os endere¸cos MAC externos.

O protocolo IEEE 802.1Qay Provider Backbone Bridges - Traffic Engineering (PBB-TE)[8] dirige-se à necessidade exposta nos dois últimos pontos. Este protocolo define a cria¸cão de percursos de encaminhamento entre os vários pontos de origem e destino de tráfego, assim como o suporte de proteçcão 1:1, para cada um dos percursos de encaminhamento. São defini-dos percursos de servi¸co, utilizadefini-dos em situa¸cão de opera¸cão normal, e percursos de proteçcão, utilizados em situa¸cão de falha. A alternância entre estes pares de percursos previamente con-figurados é o mecanismo que permite uma recupera¸cão rápida perante situa¸cões de falha. A optimiza¸cão de todos os percursos de encaminhamento definidos habilita a acomoda¸cão de todo o tráfego afectado por uma falha num elemento da rede, pela restante rede.

1.2 Objectivos

O objectivo global desta disserta¸cão é melhorar a utiliza¸cão dos recursos de uma rede com gestão centralizada baseada no protocolo IEEE 802.1Qay PBB-TE, através da optimiza¸cão dos seus túneis de encaminhamento. Um operador de telecomunica¸cões poderá utilizar os resultados deste estudo num sistema de apoio à gestão de uma rede, por forma a minimizar as piores cargas dessa rede, com vista a aumentar a sua robustez. Pode ainda, perante a necessidade de acrescentar novos percursos de encaminhamento, criá-los de uma forma optimizada logo à partida.

Para atingir o objectivo global é necessário fazer a determina¸cão do balanceamento de carga da rede. Isto não representa uma optimiza¸cão, mas é um processo necessário antes de se executarem os algoritmos de optimiza¸cão numa rede com túneis já existentes. Este é o primeiro objectivo desta disserta¸cão.

Para um operador de redes de telecomunica¸cões pode não ser desejável alterar os percursos de servi¸co dos túneis da rede pois isto afecta o funcionamento normal da rede. Assim, o objectivo seguinte é fazer a optimiza¸cão apenas dos percursos de proteçcão de todos os túneis de uma rede. Para isto é necessário calcular percursos de custo m´ınimo na rede.

Um operador de rede pode necessitar de configurar novos túneis de encaminhamento na rede, com e sem proteçcão. Deste modo, o último objectivo é determinar a forma de configurar novos túneis na rede de forma optimizada. Assim, é preciso determinar a forma de calcular pares de percursos de custo m´ınimo numa rede.

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1.3 Conte´

udo

Esta disserta¸cão está organizada em sete cap´ıtulos. O cap´ıtulo 2 especifica os dados de entrada dos diferentes problemas e apresenta a forma de estrutura¸cão dos dados para aplica¸cão dos algoritmos utilizados nesta disserta¸cão. É apresentada a rede utilizada nos testes dos algoritmos. O cap´ıtulo 3 apresenta a forma como é determinado o balanceamento da carga da rede. O cap´ıtulo 4 apresenta o procedimento de optimiza¸cão dos percursos de proteçcão da rede através dos algoritmos de pesquisa local e de obten¸cão de percursos de custo m´ınimo, com vista à minimiza¸cão das piores cargas. São ainda descritos os algoritmos de suporte. No cap´ıtulo 5 descreve-se o mecanismo de configura¸cão de novos percursos de encaminhamento na rede, de forma optimizada, utilizando algoritmos de obten¸cão de pares de percursos disjuntos de custo m´ınimo. No cap´ıtulo 6 são analisados os resultados obtidos em diferentes cenários e avaliada a eficiência dos algoritmos nessas situa¸cões. O cap´ıtulo 7 apresenta as conclusões mais relevantes desta disserta¸cão e aborda os poss´ıveis desenvolvimentos futuros.

(22)

(23)

Cap´ıtulo 2

Especifica¸

c˜

ao da configura¸

c˜

ao da

rede

2.1 Introdu¸

c˜

ao

Nesta disserta¸cão, considera-se uma abstraçcão das redes Ethernet. As redes são conside-radas como um conjunto de nós e de liga¸cões onde são mapeados túneis de encaminhamento. Os nós são os pontos de origem e destino de tráfego e as liga¸cões são conexões f´ısicas entre dois nós. Os túneis são conexões virtuais entre dois nós, podendo atravessar várias liga¸cões.

Assim, uma rede é definida por um grafo G = (N, L) em que |N | representa o número de nós da rede e |L| o número de liga¸cões. Cada par não ordenado {il, jl} representa uma liga¸cão l bidireccional entre o nó i ∈ N e o nó j ∈ N . As liga¸cões também podem ser representadas por dois pares ordenados, um arco (il, jl) no sentido de i para j e um arco (jl, il) no sentido de j para i. Estas defini¸cões são utilizadas ao longo de toda a disserta¸cão.

Os túneis são liga¸cões lógicas, bidireccionais, entre pares de nós origem/destino com um requisito de largura de banda espec´ıfico. Cada túnel pode ter apenas um percurso de servi¸co definido, utilizado em situa¸cão de funcionamento normal, ou dois percursos, um de servi¸co e um de proteçcão usado numa situa¸cão de falha que afecte o percurso de servi¸co. Quando um túnel é definido na rede, reserva-se a largura de banda requisitada pelo túnel, em cada uma das liga¸cões que este atravessa, em ambos os sentidos. Os requisitos de largura de banda de um túnel podem ser diferentes em cada um dos seus sentidos. O conjunto T representa o conjunto de túneis t existentes na rede. Define-se ainda o conjunto Υ, como o conjuntos dos túneis τ que se pretendem mapear na rede.

2.2 Especifica¸

c˜

ao do ficheiro de entrada

Conhecidos os elementos constituintes de uma rede, o programa necessita que lhe seja fornecida a configura¸cão da rede em que irá operar, através de um ficheiro de entrada. O ficheiro de entrada deve incluir, pela ordem apresentada, o número de nós da rede; o número de liga¸cões da rede; o número de túneis configurados na rede e número de túneis a adicionar à rede.

De seguida, o ficheiro de entrada deve especificar a configura¸cão f´ısica e a configura¸cão lógica da rede.

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Configura¸c˜ao f´ısica

• Lista dos n´os da rede n ∈ N , especificados por: IDn – ID do n´o.

• Lista das liga¸c˜oes da rede l ∈ L, especificadas por: IDl – ID da liga¸c˜ao;

il – ID do primeiro nó extremo da liga¸cão; jl – ID do segundo nó extremo da liga¸cão; capl – Capacidade da liga¸cão em Mbps. Configura¸cão lógica

• Lista dos t´uneis configurados na rede t ∈ T , especificados por: IDt – ID do t´unel;

it – ID do primeiro nó extremo do túnel; jt – ID do segundo nó extremo do túnel;

VALORt – variável booleana que indica se o túnel tem ou não proteçcão;

bt – Reserva de recursos do primeiro nó extremo para o segundo nó extremo, em Mbps; b_t – Reserva de recursos do segundo nó extremo para o primeiro nó extremo, em Mbps; nst – Número de liga¸cões do percurso de servi¸co;

npt – (Opcional) Número de liga¸cões do percurso de proteçcão;

PSt – Lista de IDs das liga¸cões do percurso de servi¸co, ordenadas do primeiro nó extremo para o segundo nó extremo;

PPt – (Opcional) Lista de IDs das liga¸cões do percurso de proteçcão, ordenadas do primeiro nó extremo para o segundo nó extremo.

• Lista dos t´uneis novos τ ∈ Υ, especificados por: IDτ – ID do t´unel;

iτ – ID do primeiro nó extremo do túnel; jτ – ID do segundo nó extremo do túnel;

VALORτ – variável booleana que indica se o túnel tem ou não proteçcão;

bτ – Reserva de recursos do primeiro nó extremo para o segundo nó extremo, em Mbps; b_τ – Reserva de recursos do segundo nó extremo para o primeiro nó extremo, em Mbps; As listas de IDs dos percursos dos túneis devem conter as liga¸cões pela ordem que são percorridas, desde o primeiro nó extremo até ao segundo nó extremo. Este requisito permite tornar alguns algoritmos mais eficientes, como é mostrado mais à frente.

No momento da leitura da informa¸cão pelo programa, os IDs dos nós, das liga¸cões e dos túneis são armazenados. Em todos os cálculos são utilizados os ´ındices atribu´ıdos aos elementos da rede, pela ordem de leitura.

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2.3 Rede utilizada

A rede utilizada nos testes do programa foi a rede representada na figura 2.1. Na figura, os números em cada nó identificam o ID do nó e os números ao lado de cada liga¸cão identificam o ID da liga¸cão. Esta rede é constitu´ıda por 18 nós e 33 liga¸cões e apresenta um grau médio de 3,6(6). A configura¸cão da rede escolhida apresenta uma caracter´ıstica comum numa rede de transporte: tem um núcleo em que as liga¸cões apresentam elevada capacidade de largura de banda enquanto que nas zonas periféricas, a capacidade é menor. Nesta rede, é sempre poss´ıvel determinar dois percursos disjuntos nos nós entre qualquer par de nós origem/destino.

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Cap´ıtulo 3

Determina¸

c˜

ao do balanceamento da

carga da rede

3.1 Introdu¸

c˜

ao

A primeira fun¸cão implementada neste trabalho foi a determina¸cão do balanceamento de carga da rede. Esta fun¸cão não realiza qualquer optimiza¸cão mas é necessária a sua execu¸cão antes da execu¸cão de todos os outros algoritmos para determinar o balanceamento actual da rede. São utilizados apenas os túneis já configurados na rede para determinar o balanceamento da carga. Se o ficheiro de entrada contiver túneis novos estes são ignorados. Esta fun¸cão calcula a percentagem de utiliza¸cão das liga¸cões da rede na configura¸cão de servi¸co e na configura¸cão de carga máxima. A carga da configura¸cão de servi¸co é obtida considerando apenas os percursos de servi¸co dos túneis e indica a taxa de utiliza¸cão das liga¸cões na situa¸cão de funcionamento normal da rede. A configura¸cão de carga máxima é obtida quando se incluem os percursos de proteçcão no cálculo da carga. Estes valores representam um limite máximo de utiliza¸cão de cada liga¸cão, em caso de uma falha numa liga¸cão.

O resultado da tarefa de balanceamento de carga é a percentagem de utiliza¸cão, actual e máxima, das liga¸cões, em ambos os sentidos.

3.2 Algoritmos

O algoritmo 3.2.1 representa o algoritmo que adiciona as reservas de um dos percursos de um túnel t à carga das liga¸cões atravessadas por esse túnel t. a representa o nó actual, it e jt representam o primeiro e segundo nós extremo do túnel t, respectivamente. P atht representa o conjunto de liga¸cões de um dos percursos, de servi¸co ou de proteçcão, do túnel t. il e jl representam o primeiro e o segundo nós extremo da liga¸cão l, respectivamente. Entenda-se por sentido directo o sentido do primeiro para o segundo nó extremo e o inverso o sentido do segundo para o primeiro nó extremo. Cl representa a carga da liga¸cão l no sentido directo, de il para jl e Cl representa a carga no sentido inverso, de jl para il. bt e bt representam as reservas de recursos do túnel t no sentido directo e inverso, respectivamente.

Este algoritmo é executado para cada um dos percursos, o de servi¸co e o de proteçcão, de todos os túneis. O algoritmo come¸ca por definir o nó actual a como sendo o primeiro nó extremo do túnel t. De seguida, para a primeira liga¸cão do percurso verifica se o nó a

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Algoritmo 3.2.1Adicionar reservas de um percurso de um t´unel `a rede

1: a ← i_t

2: _{for each} l ∈ P ath_t _do 3: _if a = i_l _then 4: C_l← C_l+ b_t 5: C l← Cl+ bt 6: a ← j_l 7: else 8: C l← Cl+ bt 9: C_l← C_l+ b t 10: a ← i_l 11: _{end if} 12: _{end for}

corresponde ao primeiro nó extremo il dessa liga¸cão ou ao segundo, nó jl. Se corresponder ao primeiro, então a liga¸cão é percorrida no sentido directo, bt é adicionada à liga¸cão nesse sentido e b_t é adicionada à liga¸cão no sentido inverso. O outro extremo da liga¸cão actual l passa a ser o nó actual a, neste caso, o segundo nó extremo, nó jl. Se o nó actual a corresponder ao segundo nó extremo da liga¸cão, então significa que o sentido directo do túnel t percorre essa liga¸cão no seu sentido inverso. Consequentemente, bt é adicionada à carga da liga¸cão no sentido inverso e b_t é adicionada à carga da liga¸cão no sentido directo. O nó actual a passa a ser o outro extremo da liga¸cão l, neste caso, o primeiro nó extremo il. Estas opera¸cões sucedem-se por ordem, para cada uma das liga¸cões do conjunto P atht, ou seja, da primeira para a última liga¸cão l de um percurso do túnel t.

Este algoritmo só funciona quando o conjunto de liga¸cões de um percurso de um túnel lhe é fornecido pela ordem pela qual as liga¸cões desse percurso são percorridas, do primeiro nó extremo para o segundo nó extremo. Ao estarem ordenadas, o algoritmo só tem de avan¸car para a liga¸cão seguinte no percurso e determinar o sentido em que são aplicadas as reservas. Se as liga¸cões não aparecessem ordenadas, o algoritmo teria primeiro que determinar qual a liga¸cão seguinte, no conjunto das liga¸cões do percurso. Como este algoritmo não é utilizado apenas na determina¸cão do balanceamento da carga da rede, mas também noutras opera¸cões que são discutidas mais à frente, é importante que este seja eficiente, pelo que, se considerou razoável o requisito de o ficheiro de entrada apresentar o conjunto de liga¸cões de um percurso de forma ordenada.

A carga de servi¸co corresponde à carga, em cada sentido, de cada liga¸cão da rede na situa¸cão em que os únicos percursos activos na rede são os de servi¸co. A carga máxima é obtida considerando os percursos de servi¸co e de proteçcão activos. Os valores de carga máxima representam o limite superior da carga que pode ser atingido numa liga¸cão, quando todos os percursos de servi¸co e de proteçcão dessa liga¸cão estão activos.

Com o algoritmo de adi¸cão de reservas de um percurso genérico P atht à rede, pode ser constru´ıdo o algoritmo que permite determinar o balanceamento da carga na rede. Este algo-ritmo apresenta-se em 3.2.2. CSle CMlrepresentam as cargas de servi¸co e máximas,respectivamente, de uma liga¸cão l ∈ L, no sentido directo. CS_l e CM_l representam as cargas de servi¸co e máximas, respectivamente de uma liga¸cão l ∈ L, no sentido inverso. Os túneis com pro-teçcão, t com VALORt= 1, constituem o conjunto Tp ⊂ T .

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Algoritmo 3.2.2Determina¸c˜ao do balanceamento de carga 1: _{for each} l ∈ L do 2: CS_l← 0 3: CS l← 0 4: _{end for} 5: for each t ∈ T do

6: Adicionar reservas do t´unel t no percurso PS_t `a rede 7: _{end for} 8: _{for each} l ∈ L do 9: CM_l ← CS_l 10: CM l ← CSl 11: _{end for} 12: for each t ∈ T_p do

13: Adicionar reservas do t´unel t no percurso PP_t `a rede 14: end for

as reservas de todos os túneis t ∈ T nas liga¸cões l ∈ PSt. As cargas máximas são inicializadas com os valores das cargas de servi¸co. São adicionadas as reservas de todos os túneis com proteçcão t ∈ Tp nas liga¸cões dos percursos de proteçcão l ∈ PPt.

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(31)

Cap´ıtulo 4

Optimiza¸

c˜

ao da carga da rede

4.1 Introdu¸

c˜

ao

A fun¸cão de optimiza¸cão da carga da rede tem como objectivo minimizar os valores das piores cargas da rede. Isto tornará uma rede mais robusta no que respeita à susceptibilidade a falhas, uma vez que permite uma melhor acomoda¸cão do tráfego da rede, em situa¸cões de imprevis´ıvel crescimento de tráfego. O pior caso acontece quando todos os requisitos de tráfego crescem simultaneamente. Se a pior carga de uma liga¸cão da rede for a, com 0 < a < 1, então todos os requisitos de tráfico podem crescer simultaneamente até (1 − a)/a, antes de haver congestionamento na rede. Se a segunda pior carga da mesma rede for b, com 0 < b < a, todo o tráfego que não use a pior liga¸cão pode crescer até (1 − b)/b, sem que a rede fique congestionada. Assim, interessa minimizar não só a pior carga, mas também minimizar todas as cargas subsequentes entre todas as solu¸cões em que as piores cargas anteriores são m´ınimas. O problema de optimiza¸cão que aqui se considera assume que apenas se podem alterar os percursos de proteçcão dos túneis. Isto é importante para um operador, pois os túneis de proteçcão não são utilizados quando não há falhas, pelo que não existe impacto na rede se estes forem alterados. A altera¸cão dos percursos de servi¸co dos túneis pode requerer uma reconfigura¸cão com impacto para o funcionamento normal da rede.

´

E necessário que, sempre que poss´ıvel, os percursos de proteçcão se mantenham disjuntos dos percursos de servi¸co, tanto ao n´ıvel dos nós como das liga¸cões. Sem disjuntividade é imposs´ıvel garantir proteçcão em caso de qualquer falha.

O ficheiro de entrada deve incluir uma lista de túneis existentes na rede com as respectivas reservas e percursos. Após a leitura do ficheiro de entrada, e antes de se averiguar uma solu¸cão em que sejam minimizadas as piores cargas da rede, é determinado o balanceamento de carga. No final, o resultado desta tarefa permite estabelecer a percentagem de utiliza¸cão, actual e máxima, das liga¸cões, em ambos os sentidos, assim como a lista de túneis da rede com os novos percursos de proteçcão. Se o ficheiro de entrada incluir túneis novos, estes são ignorados.

Esta tarefa utiliza o algoritmo de pesquisa local com múltiplas situa¸cões iniciais para atingir o objectivo. Defina-se solu¸cão vizinha da solu¸cão actual como uma solu¸cão que só difere da actual num percurso de um túnel. Um algoritmo de pesquisa local é um algoritmo que analisa todas as solu¸cões vizinhas da solu¸cão actual e, entre estas, escolhe a melhor que é também melhor que a actual. De seguida, o processo repete-se a partir da análise de todas as solu¸cões vizinhas. Quando já não existir uma solu¸cão vizinha melhor que a actual, o algoritmo pára. Se se partir sempre do mesmo estado inicial, o algoritmo vai terminar sempre na mesma

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solu¸cão. Um algoritmo de pesquisa local com múltiplas situa¸cões iniciais encontra várias solu¸cões, comparando-as a cada nova solu¸cão encontrada para definir a melhor. Primeiro, utiliza-se como solu¸cão inicial a configura¸cão da rede lida do ficheiro da entrada. Mais à frente, neste cap´ıtulo, é descrito um método para determinar diferentes solu¸cões iniciais.

4.2 Algoritmos

4.2.1 Pesquisa local

O algoritmo 4.2.1 reflecte a implementa¸cão efectuada. Relembre-se que, como definido no cap´ıtulo 2, T representa o conjunto dos túneis t e adicionalmente defina-se um subconjunto Tp ⊂ T dos túneis t com VALORt = 1. M representa a melhor solu¸cão até ao momento e A a solu¸cão actual. PPt representa o percurso de proteçcão do túnel t. PA representa um qualquer percurso de proteçcão. O s´ımbolo ≺ representa a opera¸cão de “lexicograficamente menor que”.

Inicialmente, a melhor solu¸cão é a actual. O passo seguinte consiste em remover, para cada túnel definido na configura¸cão da rede, as reservas do seu percurso de proteçcão. De seguida, é encontrado um novo percurso de proteçcão de custo m´ınimo e as reservas deste novo percurso são adicionadas à rede. Esta nova configura¸cão é vizinha da actual uma vez que apenas um percurso de proteçcão é alterado.

Algoritmo 4.2.1Pesquisa local

1: M ← A 2: Ordenar cargas de M 3: _do 4: melhoria ← false 5: _{for each}t ∈ T_p _do 6: PA ← PP_t

7: Remover reservas do t´unel t no percurso PP_tem A

8: PP_t← Percurso de proteçcão de custo m´ınimo para o túnel t 9: Adicionar reservas do túnel t no percurso PP_t em A

10: Ordenar cargas de A 11: _if A ≺ M then

12: M ← A

13: melhoria ← true 14: _{end if}

15: Remover reservas do t´unel t no percurso PP_tem A 16: PP_t← PA

17: Adicionar reservas do t´unel t no percurso PP_t em A 18: _{end for}

19: if melhoria = true then

20: A ← M

21: _{end if}

22: while melhoria = true

Para determinar se uma nova configura¸cão é melhor ou não que a actual, as cargas de todas as liga¸cões de cada configura¸cão são ordenadas numa lista, por ordem decrescente, e

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comparadas carga a carga. A melhor configura¸cão é aquela com a lista de cargas lexicogra-ficamente menor. Numa compara¸cão, elemento a elemento, dos elementos da lista, a lista lexicograficamente menor é aquela que apresentar, para os dois primeiros elementos diferen-tes encontrados, o menor valor entre esses elementos. Se o primeiro elemento das listas for diferente, a lista que tem o menor elemento é lexicograficamente menor. Se os primeiros i elementos forem iguais então a lista que tiver o menor elemento i + 1 é a menor.

Cada solu¸cão vizinha encontrada é comparada com a melhor solu¸cão vizinha até ao mo-mento e, no caso de ser melhor, substitui a anterior. Após serem testadas todas as solu¸cões vizinhas, considera-se a solu¸cão actual a correspondente à melhor solu¸cão vizinha encontrada e o algoritmo repete-se até que não seja poss´ıvel encontrar uma solu¸cão melhor. As reservas de largura de banda de um percurso de um túnel t são adicionadas à rede usando o algo-ritmo 3.2.1. A remo¸cão das reservas de um percurso de um túnel é efectuada com o mesmo algoritmo, mas as opera¸cões de adi¸cão são substitu´ıdas por subtraçcões.

´

E necessário determinar a forma de cálculo de percursos de custo m´ınimo para os túneis, o que será abordado na seçcão 4.2.5.

4.2.2 Pesquisa local com m´ultiplas situa¸c˜oes iniciais

Como anteriormente descrito, uma pesquisa local que comece sempre na mesma situa¸cão inicial termina sempre na mesma solu¸cão. No entanto esta pode não ser a melhor. Na tenta-tiva de encontrar solu¸cões ainda melhores, foi implementado um algoritmo de pesquisa local com múltiplas situa¸cões iniciais. As diferentes situa¸cões iniciais são geradas removendo os percursos de proteçcão de todos os túneis assim como as suas reservas e, de seguida, calcu-lando, por uma ordem aleatória, novos percursos de proteçcão de custo m´ınimo para todos os túneis. Uma vez que se procuram percursos de custo m´ınimo, os percursos já calculados influenciam os percursos ainda por calcular, o que conduz a configura¸cões diferentes, se a ordem de cálculo dos percursos for diferente.

O algoritmo implementado para a pesquisa local com múltiplas situa¸cões iniciais é o 4.2.2. T representa o conjunto dos túneis t e Tp ⊂ T é um subconjunto de túneis t com VALORt= 1. INC guarda a solu¸cão incumbente, a melhor até ao momento. A representa a solu¸cão actual, M guarda a melhor solu¸cão encontrada numa pesquisa local. Este algoritmo é repetido durante um tempo máximo, MAXTIME, definido pelo utilizador. tempo guarda o tempo decorrido até ao momento.

A primeira solu¸cão a ser testada é a configura¸cão lida do ficheiro de entrada, que é salva como solu¸cão incumbente INC. Inicializa-se o contador de tempo e, de seguida, é gerado um vector com |Tp| números aleatórios, sem repeti¸cão, com os ´ındices dos túneis t ∈ Tp, que determina a ordem de cálculo dos novos percursos de proteçcão PPt. De seguida, removem-se todas as reremovem-servas dos percursos de proteçcão. Neste caso, como o objectivo é remover todas as reservas de todos os túneis nos percursos de proteçcão, podemos considerar-se que as cargas máximas são iguais às da configura¸cão de servi¸co, que foram calculadas anteriormente, durante a opera¸cão de balanceamento de carga, em vez de remover as reservas túnel a túnel. Os próximos passos são, pela ordem determinada anteriormente, calcular |Tp| novos percursos de proteçcão de custo m´ınimo para os |Tp| túneis e executar o algoritmo de pesquisa local 4.2.1. Se a solu¸cão obtida neste algoritmo for melhor, ou seja, lexicograficamente menor que a incumbente, então esta é a nova solu¸cão incumbente. Se o tempo máximo MAXTIME tiver sido atingido, o algoritmo termina. Enquanto não o tiver sido, volta a repetir-se o procedimento, a partir da gera¸cão de uma nova sequência de números aleatórios.

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Algoritmo 4.2.2Pesquisa local com m´ultiplas situa¸c˜oes iniciais

1: INC ← A 2: tempo ← 0 3: do

4: _{for each}t ∈ T_p _do

5: Remover reservas do t´unel t no percurso PP_tem A 6: end for

7: Gerar ordem aleat´oria dos ´ındices t ∈ T_p 8: _{for each}t ∈ T_p pela ordem anterior do

9: PP_t← Percurso de proteçcão de custo m´ınimo para o túnel t 10: Adicionar reservas do túnel t no percurso PP_t em A

11: _{end for}

12: Executar pesquisa local, algoritmo 4.2.1 13: _if M ≺ INC then

14: INC ← M

15: end if

16: Actualizar tempo

17: _while tempo < MAXTIME

Nos algoritmos anteriores, 4.2.1 e 4.2.2, falta esclarecer como é efectuada a gera¸cão de sequências de números aleatórios distintos, a ordena¸cão das cargas por ordem decrescente, assim como o cálculo de percursos de custo m´ınimo, que se descrevem nas seçcões 4.2.3, 4.2.4 e 4.2.5, respectivamente.

4.2.3 Gera¸cão de sequências aleatórias de números distintos

Um método para criar as sequências pretendidas é armazenar os números que vão sendo sorteados se e só se ainda não tiverem sido armazenados, até serem armazenados todos os números. Quando restam poucos números para armazenar, pode ser muito demorado sortear os números em falta, especialmente se a sequência a gerar for de grandes dimensões, situa¸cão em que a probabilidade de cada número espec´ıfico ser sorteado é reduzida. Tomando em considera¸cão a possibilidade de que nem todos os túneis de uma rede têm necessariamente proteçcão e que, por isso, os números que compõe a sequência não correspondem necessaria-mente a todos os números entre 1 e |T |, recorreu-se ao seguinte procedimento.

1. Colocar os n n´umeros a serem sorteados num vector n´umeros;

2. Criar um vector escolhidos, com dimensão n, preenchido com zeros. Este vector vai indicar, em cada posi¸cão, os ´ındices já sorteados;

3. Sortear um n´umero i entre 1 e n;

4. Obter o ´ındice do enésimo zero do vector escolhidos, assinalar esse ´ındice como escolhido e colocar o número sorteado no vector com a ordem aleatória ordem;

5. Gerar novo número até n menos o número de itera¸cões do algoritmo decorridas até ao momento e repetir o procedimento a partir do passo 3 até todos os números estarem no vector ordem.

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Este algoritmo também é utilizado na fun¸cão de optimiza¸cão de novos túneis. Assim, o pseudo-código da implementa¸cão, que gera uma ordena¸cão aleatória de números correspon-dentes aos ´ındices dos túneis com proteçcão, apresenta-se no algoritmo 4.2.3. nprot representa o número de túneis da rede que têm proteçcão, count conta o número de túneis que ainda não foram sorteados, numeros é um vector constitu´ıdo pelos ´ındices dos túneis que têm pro-teçcão, escolhidos representa os números já sorteados, numero armazena o valor sorteado e o vector ordem contém a sequência final de números. random(1,count) é uma fun¸cão que gera números aleatórios inteiros entre 1 e count.

Algoritmo 4.2.3Gerar sequência aleatória de números distintos

1: _{for each} t ∈ (T_p∪ Υ_p) do 2: numeros ← numeros ∪ t 3: _{end for} 4: _for n ← 1 to nprot do 5: escolhidos_n← 0 6: _{end for} 7: count ← nprot 8: while count > 0 do 9: numero ← random(1,count) 10: i ← 0 11: contador ← 0

12: _whilecontador < numero do 13: _if escolhidos_i = 0 then 14: contador ← contador + 1 15: _{end if} 16: i ← i + 1 17: end while 18: escolhidos_i ← 1 19: ordem nprot−count← numerosi 20: count ← count − 1 21: end while

4.2.4 Algoritmo de ordena¸c˜ao Quicksort

O algoritmo de ordena¸cão Quicksort[9] foi o algoritmo de ordena¸cão escolhido por ser conhecido pela sua eficiência computacional. Este algoritmo apresenta, geralmente, um tempo médio de execu¸cão inferior aos dos outros algoritmos de ordena¸cão[10]. No pior caso, o tempo de execu¸cão aumenta quadraticamente em fun¸cão do número de elementos a ordenar e, nesta situa¸cão, o algoritmo Quicksort não é o melhor [10]. O pior caso deste algoritmo aparece para sequências quase ordenadas [11]. Como este algoritmo pode ser utilizado para uma qualquer configura¸cão de uma rede, há um número elevado de possibilidades para as sequências de cargas. Uma vez que o número de sequências quase ordenadas é muito inferior ao das sequências desordenadas, a probabilidade de ocorrer o pior caso é muito baixa. Assim, considerando o tempo médio de execu¸cão e não o tempo do pior caso, foi escolhido este algoritmo.

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ordenando cada parti¸cão. Ao algoritmo é dado o ´ındice do primeiro e do último itens a ordenar. O valor na posi¸cão intermédia de cada parti¸cão da lista é escolhido como pivot para essa parti¸cão. No caso de uma ordena¸cão decrescente, o algoritmo irá percorrer a parti¸cão, inicialmente da esquerda para a direita, até encontrar um primeiro número menor que o pivot ou atingir o limite direito da parti¸cão. De seguida, percorre a parti¸cão da direita para a esquerda, até encontrar um segundo número maior que o pivot ou atingir o limite esquerdo da parti¸cão. Quando encontra dois números que satisfa¸cam as condi¸cões e, se o ´ındice do primeiro número for inferior ou igual ao ´ındice do segundo, o algoritmo troca os números de posi¸cão. Quando o ´ındice do primeiro número é maior que o ´ındice do segundo, o algoritmo recorre a si próprio para ordenar os dois subintervalos da lista: o subintervalo entre o limite esquerdo da lista e o ´ındice do segundo número e o subintervalo entre o ´ındice do primeiro número e o limite direito da lista.

O implementa¸cão do Quicksort apresenta-se no algoritmo 4.2.4. Quicksort é uma fun¸cão que aceita, como parâmetros de entrada, os ´ındices dos limites esquerdo e direito do vector a ordenar.

Algoritmo 4.2.4Quicksort(lef t, right)

1: ind ← j lef t+right 2 k 2: pivot ← v_ind 3: i ← lef t 4: j ← right 5: do

6: _whilev_i > pivot and i < right do 7: i ← i + 1

8: end while

9: _whilev_j < pivot and j > lef t do 10: j ← j − 1 11: end while 12: _if i ≤ j then 13: troca(v_i, v_j) 14: i ← i + 1 15: j ← j − 1 16: _{end if} 17: while i ≤ j 18: _if lef t < j then 19: Quicksort(lef t, j) 20: end if 21: _if i < right then 22: Quicksort(i, right) 23: end if 4.2.5 Algoritmo de Dijkstra

Para determinar os novos percursos de custo m´ınimo na rede foi utilizado o algoritmo de Dijkstra[12].

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O algoritmo de Dijkstra é um algoritmo de pesquisa em grafos, desenhado para encontrar os percursos mais curtos entre um nó origem de um grafo e todos os outros nós do mesmo grafo. Se às liga¸cões entre os vários nós forem atribu´ıdos custos não negativos, o algoritmo permite encontrar o percurso de custo m´ınimo entre dois nós. Este algoritmo pode ser adaptado para encontrar o caminho mais curto entre um par de nós origem/destino de um grafo se se interromper o algoritmo, assim que este encontre o caminho mais curto para o nó destino.

O funcionamento do algoritmo de Dijkstra para encontrar o percurso de custo m´ınimo de um nó origem o para um nó destino d é o seguinte:

1. Atribuir custo 0 ao nó o e +∞ a todos os outros nós; 2. Marcar todos os nós como não seleccionados;

3. Considerar como nó actual o nó o; 4. Marcar o nó actual como seleccionado;

5. Para cada nó i não seleccionado, vizinho do nó actual, calcular a soma do custo da liga¸cão para esse nó vizinho com o custo do nó actual;

6. Se o custo calculado for inferior ao registado em cada n´o vizinho, atribuir esse custo como novo custo desse n´o;

7. Se o nó destino tiver sido marcado como seleccionado, o algoritmo termina. Se não, repete-se o procedimento, a partir do ponto 4, escolhendo-se para nó actual o nó com menor custo para o nó origem o.

O algoritmo implementado é apresentado no algoritmo 4.2.5. Quando o nó destino é seleccionado, é percorrido o percurso inverso assinalado com os menores custos, desde o nó destino d ao nó origem o, para obter o percurso de custo m´ınimo entre os dois nós.

Considerando o custo de cada liga¸cão um valor entre 0 e 1, o custo máximo seria obtido na situa¸cão em que o percurso passa por todos os nós e teria um valor igual ao número de nós menos um, |N | − 1. Assim, o “infinito” foi definido como sendo o número de nós |N |, que é um valor maior que o limite superior para o custo de um percurso de custo m´ınimo.

Na situa¸cão em que o percurso de servi¸co é uma liga¸cão directa entre os dois nós, para garantir que o percurso de proteçcão é disjunto, é necessário que o algoritmo não considere o nó destino d como nó vizinho na primeira itera¸cão ou o algoritmo poderia terminar nesta itera¸cão com um percurso de proteçcão igual ao percurso de servi¸co. Ignorando o nó destino d nesta situa¸cão, o algoritmo prosseguirá normalmente a partir de um nó vizinho sem usar a liga¸cão directa entre os nós origem/destino. O teste realizado na linha 8 do algoritmo 4.2.5 verifica se o percurso de servi¸co é uma liga¸cão directa. A primeira itera¸cão do algoritmo é efectuada de forma diferente consoante o resultado deste teste e apresenta-se entre as linhas 8 e 24. Se o percurso não é directo, a primeira itera¸cão é normal, se não, verifica-se se o nó vizinho não é nó destino (linha 17 do algoritmo).

Considerando estas limita¸cões, a implementa¸cão do algoritmo apresenta-se em 4.2.5. O vector S representa o conjunto dos nós seleccionados, o vector p indica, em cada posi¸cão correspondente a um nó, o seu predecessor no percurso com origem no nó o e o vector c contém os custos dos vários nós. |N | indica o número de nós da rede, a indica o nó actual, cij o custo da liga¸cão do nó i para o nó j e ci indica o custo do nó origem para o nó i.

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Algoritmo 4.2.5Dijkstra

1: S ← {} // Nenhum nó ainda foi seleccionado 2: p ← {} // Não estão ainda definidos predecessores 3: for i = 0 to |N | do

4: c_i← ∞ 5: _{end for}

6: c_o ← 0 // custo para o nó inicial é zero 7: S_o ← 1 // selecciona o nó inicial 8: _if túnel de servi¸co não é directo then 9: whilenó i é vizinho do nó actual a do 10: _if c_i > c_a+ c_ia _then 11: c_i ← c_a+ c_ia 12: p_i← a 13: end if 14: _{end while} 15: else

16: whilenó i é vizinho do nó actual a do

17: _if S_i 6= d // Se o nó não é o nó destino then 18: if c_i> c_a+ c_ia then 19: c_i← c_a+ c_ia 20: p_i ← a 21: end if 22: end if 23: _{end while} 24: _{end if}

25: a ← i para qual c_i ´e m´ınimo

26: S_a← 1 // Marcar como seleccionado 27: _while S_d= 0 do

28: for eachi ∈ vizinhan¸ca de a do

29: _if S_i = 0 // Se o n´o ainda n˜ao foi seleccionado then 30: _if c_i> c_a+ c_ia _then 31: c_i← c_a+ c_ia 32: p_i ← a 33: _{end if} 34: end if 35: _{end for}

36: a ← i para qual c_i ´e m´ınimo 37: S_a← 1 // Marcar como visitado 38: _{end while}

(39)

O desempenho do algoritmo de Dijkstra é afectado pela estrutura de dados em que se armazenam as liga¸cões[13]. A forma tradicional é uma matriz de adjacência em que os ´ındices das linhas e das colunas correspondem aos nós da rede. Na interseçcão de cada par de nós é colocado o custo da liga¸cão entre esses nós. Se não existir uma liga¸cão entre um determinado par de nós, o valor do custo é infinito. Na interseçcão de um nó com ele próprio é colocado o custo zero. Na figura 4.1 apresenta-se a matriz de adjacência da rede utilizada nos testes do programa (figura 2.1). c representa a existência de uma liga¸cão com um custo diferente de zero. Isto cria uma matriz com um elevado número de valores descartáveis que, apesar disso, são

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 1 0 c ∞ c ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ c 2 c 0 c c ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ c 3 ∞ c 0 ∞ c ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ c ∞ 4 c c ∞ 0 c ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ c ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ 5 ∞ ∞ c c 0 c c ∞ ∞ ∞ ∞ c ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ 6 ∞ ∞ ∞ ∞ c 0 c ∞ c ∞ c ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ 7 ∞ ∞ ∞ ∞ c c 0 c c ∞ ∞ c ∞ c ∞ ∞ ∞ ∞ 8 ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ c 0 c c ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ 9 ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ c c c 0 c c ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ 10 ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ c c 0 c ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ 11 ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ c ∞ ∞ c c 0 ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ 12 ∞ ∞ ∞ ∞ c ∞ c ∞ ∞ ∞ ∞ 0 c c ∞ ∞ ∞ ∞ 13 ∞ ∞ ∞ c ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ c 0 c c c ∞ ∞ 14 ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ c ∞ ∞ ∞ ∞ c c 0 c ∞ ∞ ∞ 15 ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ c c 0 c ∞ ∞ 16 ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ c ∞ c 0 ∞ ∞ 17 ∞ ∞ c ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ 0 c 18 c c ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ c 0 Figura 4.1: Matriz de adjacˆencia da configura¸c˜ao de teste

analisados pelo algoritmo enquanto este procura os nós vizinhos do nó actual e o respectivo custo. Uma solu¸cão proposta é a de condensar a informa¸cão da matriz de adjacência. Se se eliminarem todas as liga¸cões não existentes, é poss´ıvel representar apenas a informa¸cão necessária através de listas ligadas[13] ou de vectores de adjacência[14]. As listas ligadas são muito dependentes de ponteiros e o espa¸co de memória ocupado não é necessariamente cont´ınuo. Os vectores de adjacência tiram partido das arquitecturas actuais dos computadores que são eficientes no acesso à memória em blocos, pelo que foram a solu¸cão escolhida. É criado um vector de adjacência para cada nó da rede, em que cada posi¸cão contém uma estrutura de dados com um vizinho desse nó e o custo da liga¸cão entre os dois nós. Os vectores de adjacência correspondentes às duas primeiras linhas da matriz de adjacência da figura 4.1 apresentam-se na figura 4.2.

O algoritmo de Dijkstra cria um vector em que o nó predecessor de cada nó i no caminho da origem o é armazenado na posi¸cão i do vector, correspondente ao ´ındice do nó que lhe foi atribu´ıdo durante a leitura do ficheiro de entrada. É então necessário determinar como obter o percurso em termos de liga¸cões, partindo da lista de nós predecessores, assim como calcular os custos das liga¸cões.

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1 2 c1,2 4 c1,4 18 c1,18 2 1 c2,1 3 c2,3 4 c2,4 18 c2,18

Figura 4.2: Vectores de adjacˆencia correspondentes dos n´os 1 e 2

4.2.6 C´alculo dos custos das liga¸c˜oes

O custo das liga¸cões deve ser, nesta versão do Dijkstra, não negativo. Para se normalizar o custo em todas as liga¸cões e atendendo à possibilidade de poderem apresentar diferentes capacidades, o custo de cada liga¸cão será baseado na sua taxa de utiliza¸cão, considerando que o percurso do túnel t irá passar por essa liga¸cão. O custo de cada liga¸cão é uma fun¸cão das cargas nessa liga¸cão, Cl e Cl, das reservas de largura de banda em ambos os sentidos, directo bte inverso bt, da capacidade da liga¸cão capl e de um expoente e:

f (Cl, Cl, bt, bt, capl, e) = max Cl+ bt capl ,Cl+ bt capl e (4.1) A inclusão do expoente e permite evidenciar a diferen¸ca de custo. Como descrito na literatura, um bom valor para o expoente e é 5 [15]. Desta forma, o algoritmo de Dijkstra opta sempre pelas liga¸cões de menor custo, mesmo quando o percurso total inclui muitas liga¸cões. Como as liga¸cões são bidireccionais e uma falha numa liga¸cão afecta os dois sentidos, o custo de uma liga¸cão será, para cada sentido, o maior dos custos individuais de cada sentido.

L representa o conjunto das liga¸cões da rede, cij e cji representam o custo da liga¸cão no sentido directo e inverso, respectivamente, CMl e CMl representam a carga total da liga¸cão no sentido directo e inverso, respectivamente, bt e bi a reserva de largura de banda de um túnel no sentido directo e inverso, respectivamente. caplindica a capacidade máxima de cada liga¸cão l ∈ L. O custo de utilizar a liga¸cão l é armazenado em cl

Algoritmo 4.2.6Cálculo dos custos das liga¸cões para um percurso de um túnel t

1: _{for each} l ∈ L do 2: c_ij ← CMl+bt capl 3: c_ji← CMl+ bt capl 4: c_l← [max(c_ij, c_ji)]5 5: _{end for}

Se os custos totais calculados segundo o algoritmo 4.2.6 forem utilizados no algoritmo de Dijkstra sem qualquer altera¸cão, o percurso calculado é efectivamente aquele com custo m´ınimo, mas não se pode garantir que este seja disjunto do percurso de servi¸co já configu-rado. Isto derrota o objectivo de se assegurar proteçcão em caso de uma falha na rede. Se

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se penalizarem os custos das liga¸cões que fazem parte do percurso de servi¸co, o algoritmo determinará preferencialmente percursos de proteçcão que são disjuntos nas liga¸cões dos per-cursos de servi¸co. Isto não evita que os percursos sejam também disjuntos ao n´ıvel dos nós, o que é necessário para precaver eventuais falhas de um nó. Uma solu¸cão para colmatar esta falha é penalizar também os custos das liga¸cões que entram ou saem dos nós utilizados pelo percurso de servi¸co, as liga¸cões adjacentes ao percurso. Como um percurso disjunto nos nós é necessariamente disjunto nas liga¸cões, este tipo de percursos deve ser prioritário. Se a sua obten¸cão não for poss´ıvel dá-se, em seguida, preferência a percursos disjuntos somente nas liga¸cões.

A figura 4.3 representa uma rede com um percurso de servi¸co de um túnel configurado, do nó 1 para o nó 8. Os nós intermédios do percurso do túnel estão assinalados com quadrados, as liga¸cões que fazem parte do percurso são as liga¸cões mais grossas e as liga¸cões adjacentes aparecem a tracejado.

1

2

3

4

5

6

7

8

Figura 4.3: Nós intermédios e liga¸cões adjacentes de um percurso de um túnel Sabendo que, quando os custos das liga¸cões se encontram entre 0 e 1, o custo máximo de um percurso é igual ao custo do pior caso, que corresponde à passagem desse percurso por todos os nós e é igual a |N | − 1, foi atribu´ıdo um custo igual a |N | às liga¸cões que entram ou saem dos nós intermédios do percurso de servi¸co (liga¸cões a tracejado na figura 4.3). Às liga¸cões que fazem parte do percurso de servi¸co, o custo atribu´ıdo foi igual a 2 × |N |2

. Este valor é maior que o limite superior para um percurso de custo m´ınimo que utilize todas as liga¸cões adjacentes de um percurso de um túnel que atravessa todos os nós e é igual 2 × (|N | − 2) × |N | + 2. Num percurso de custo m´ınimo, cada nó só pode ser atravessado uma vez e, por isso, podem ser utilizadas, no pior caso, por cada nó intermédio do percurso de servi¸co, duas liga¸cões, uma de entrada no nó e outra de sa´ıda. Neste caso, serão usadas 2 × (|N | − 2) liga¸cões adjacentes ao percurso de servi¸co e mais duas liga¸cões não adjacentes para fazer a liga¸cão com estas. Isto obriga a que os nós do percurso de servi¸co sejam utilizados apenas quando for imposs´ıvel obter um percurso não disjunto nos nós, uma vez que o custo de utiliza¸cão das liga¸cões adjacentes ao percurso de servi¸co ou do próprio percurso é superior ao custo máximo de não as utilizar.

Usando 2 × (|N | − 2) × |N | + 2 para o custo nas liga¸cões do percurso de servi¸co, garante-se que estas só serão utilizadas em casos extremos, em que só é poss´ıvel obter um percurso não disjunto nas liga¸cões.

Assim, o algoritmo resultará sempre em percursos o mais disjuntos poss´ıvel, sejam disjun-tos nos nós, nas liga¸cões ou não completamente disjuntos.

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A representa¸cão do “infinito” no algoritmo de Dijkstra (4.2.5), considerando os novos custos para as liga¸cões não limitados entre 0 e 1, não pode ser agora |N |. O pior caso é não existir disjun¸cão em nenhuma liga¸cão e serem percorridos todos os nós, pelo que o valor máximo é (|N | − 1) × (2 × (|N | − 2) × |N | + 2). O “infinito” é então representado por 2 × |N |3

, que ´e um valor maior que o limite superior para o custo de um percurso de custo m´ınimo.

Considerando as altera¸cões aos custos, o novo algoritmo para cálculo dos custos das liga¸cões de um percurso de proteçcão de um túnel t é o apresentado em 4.2.7. Ladj ⊂ L representa o conjunto das liga¸cões adjacentes ao percurso de servi¸co do túnel t, PSt.

Algoritmo 4.2.7Cálculo actualizado de custos das liga¸cões para um percurso de um túnel t

1: _{for each} l ∈ L do

2: _if l 6∈ (L_adj∪ PS_t) then

3: c_l← custo segundo o algoritmo 4.2.6 4: _{else if} l ∈ L_adj _then

5: c_l← |N | 6: else

7: c_l← 2 × |N |2 8: _{end if}

9: end for

4.2.7 Obten¸c˜ao do percurso de custo m´ınimo da lista de predecessores

Partindo de uma lista que contém os nós predecessores relativos aos percursos de custo m´ınimo da origem para todos os nós e conhecendo o nó destino, obtém-se o percurso entre o par origem/destino da forma descrita no algoritmo 4.2.8. Considere-se, inicialmente, o nó actual a como sendo o nó destino d. Seguindo a cadeia de predecessores, enquanto existir um predecessor do nó a no caminho para o nó origem, o algoritmo vai comparar o par não ordenado de nós actual e predecessor do nó actual {a, pa} com o par não ordenado de nós extremos de cada uma das liga¸cões l {il, jl}. Quando os pares coincidirem, pode afirmar-se que essa liga¸cão faz parte do percurso origem/destino e o nó actual passa a ser o seu nó predecessor. PCM representa o percurso de custo m´ınimo a ser determinado.

(43)

Algoritmo 4.2.8Obten¸c˜ao de um percurso partindo de uma lista de n´os predecessores l ← 1 a ← d PCM ← {} while∃pa do if {a, pa} = {il, jl} then PCM ← PCM ∪l a ← pa end if l ← l + 1 if l > |L| then l ← 1 end if end while

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(45)

Cap´ıtulo 5

Optimiza¸

c˜

ao de novos t´

uneis

5.1 Introdu¸

c˜

ao

A fun¸cão para configura¸cão de novos túneis de forma optimizada baseia-se na fun¸cão de optimiza¸cão dos percursos já existentes, apresentada no cap´ıtulo anterior. Esta fun¸cão necessita que lhe sejam fornecidos um conjunto de túneis novos Υ e admite a existência de um conjunto de túneis já configurados T . Se não forem fornecidos pedidos de túneis novos e só existirem túneis já configurados, o programa não devolve qualquer resultado.

Defina-se, de forma similar ao conjunto Tp, o conjunto Υp ⊂ Υ, no qual os túneis τ ∈ Υ têm proteçcão, VALORt = 1. Primeiro, são calculadas as cargas das liga¸cões, considerando apenas os túneis configurados. De seguida, são calculados, por uma ordem aleatória, um percurso de servi¸co para os túneis novos τ ∈ Υ \ Υp ou dois percursos, um de servi¸co e um de proteçcão, para cada um dos novos túneis τ ∈ Υp. São calculadas as cargas nesta configura¸cão, que passa a constituir a solu¸cão incumbente. De seguida, é utilizado o algoritmo de pesquisa local em que são alterados os percursos de cada túnel. Neste caso, a solu¸cão é considerada vizinha da actual se diferir desta apenas num túnel, seja num ou nos dois percursos, para os túneis τ ∈ Υp ou no percurso de servi¸co para os restantes. Durante o tempo definido pelo utilizador, é realizada a pesquisa local com múltiplas situa¸cões iniciais até ser devolvida a melhor solu¸cão encontrada.

O cálculo de dois novos percursos para um túnel pode ser efectuado de diferentes formas. Uma primeira versão é baseada na aplica¸cão do algoritmo de Dijkstra, duas vezes consecutivas.

Algoritmo 5.1.1Calcular 2 percursos aplicando o algoritmo de Dijkstra

1: Calcular custos das liga¸c˜oes, algoritmo 4.2.6 2: Dijsktra, algoritmo 4.2.5

3: Calcular custos das liga¸c˜oes incluindo o primeiro percurso, algoritmo 4.2.7 4: Dijkstra, algoritmo 4.2.5

´

E necessário recalcular os custos das liga¸cões após a obten¸cão do primeiro percurso, caso contrário, na segunda utiliza¸cão do Dijkstra é obtido o mesmo percurso. Esta op¸cão devolve dois percursos mas, ainda que seja poss´ıvel obter percursos completamente disjuntos ou dis-juntos apenas nas liga¸cões, não é garantido que os percursos escolhidos sejam disjuntos nem que sejam o par de percursos de custo m´ınimo. Considere-se a figura 5.1 que apresenta uma

(46)

rede em que se pretende determinar dois percursos disjuntos, de custo m´ınimo, do nó 1 para o nó 6. Os custos das liga¸cões aparecem assinalados ao lado de cada liga¸cão. O primeiro percurso de custo m´ınimo já se encontra assinalado pelas linhas mais grossas.

1

2

3

4

5

6

2 1 1 1 1 1 2

Figura 5.1: Exemplo em que a execu¸c˜ao duas vezes consecutivas do algoritmo de Dijkstra n˜ao resulta num par de percursos disjuntos

Executando duas vezes o algoritmo de Dijkstra não se obtêm dois percursos disjuntos, embora a rede os suporte. A primeira execu¸cão calcula o percurso de custo m´ınimo igual a 3 que percorre o conjunto de nós {1, 3, 4, 6}. Para o segundo percurso é imposs´ıvel não incluir uma liga¸cão do primeiro percurso. Isto não é óptimo, uma vez que se procura proteçcão máxima, o que implica a máxima disjuntividade poss´ıvel.

Considere-se a figura 5.2 que apresenta uma rede em que se pretende determinar dois percursos disjuntos, de custo m´ınimo, do nó 1 para o nó 6. Os custos das liga¸cões aparecem assinalados ao lado de cada liga¸cão. O primeiro percurso de custo m´ınimo já se encontra assinalado pelas linhas mais grossas. Para a determina¸cão do segundo percurso, consideram-se as altera¸cões de custos para as liga¸cões que fazem parte do primeiro percurso e para as liga¸cões adjacentes ao percurso, definidas no cap´ıtulo 4. Executando duas vezes o algoritmo

1

2

3

4

5

6

2 1 1 1 1 1 2 5 4

Figura 5.2: Exemplo em que a execu¸c˜ao duas vezes consecutivas do algoritmo de Dijkstra n˜ao resulta num par de percursos de custo m´ınimo

de Dijkstra não se obtém um par de percursos de custo m´ınimo. A primeira execu¸cão calcula o percurso de custo m´ınimo igual a 3 que percorre o conjunto de nós {1, 3, 4, 6}. A segunda execu¸cão calcula o percurso de custo m´ınimo igual a 6 que percorre o conjunto de nós {1, 2, 6}.

(47)

O custo total é de 9. O par de percursos de custo m´ınimo seria constitu´ıdo pelos percursos que percorrem os nós {1, 2, 4, 6} e os nós {1, 3, 5, 6}. Ambos têm custo 4, sendo o total de 8, que é menor que 9. Não se obtendo o par de percursos de custo m´ınimo, o objectivo de minimiza¸cão das piores cargas não é atingido.

Assim, a segunda versão baseia-se no algoritmo de Suurballe [16, 17] para percursos dis-juntos nas liga¸cões. Esta versão serviu como ponto de partida para a terceira, que utiliza um algoritmo mais complexo, o de Suurballe para percursos disjuntos nos nós. Na seçcão seguinte apresentam-se as duas versões do algoritmo de Suurballe.

5.2 Algoritmos

5.2.1 Algoritmo de Suurballe para percursos disjuntos nas liga¸c˜oes

O algoritmo de Suurballe para percursos disjuntos nas liga¸cões baseia-se no algoritmo de Dijkstra para encontrar cada um dos percursos de custo m´ınimo, mas realiza uma trans-forma¸cão de custos entre as duas execu¸cões necessárias. Considere-se a rede definida no cap´ıtulo 2 pelo grafo G = (N, L) e as defini¸cões de liga¸cões e arcos a´ı referidas. Considere-se ainda ci como o custo de um caminho de um nó origem o para um nó destino i e cij como o custo de um arco do nó i para o nó j. O algoritmo de Suurballe para percursos disjuntos nas liga¸cões é descrito de seguida:

1. Determinar o conjunto M1 dos arcos que pertencem ao primeiro percurso de custo m´ınimo entre o n´o origem o e o n´o destino d;

2. Determinar os percursos de custo m´ınimo do n´o origem o para todos os outros n´os i da rede;

3. Realizar uma transforma¸c˜ao de custos:

cij =    +∞ , se (i, j) ∈ M1 cij + ci− cj , se (i, j) /∈ M1 e (j, i) /∈ M1 0 , se (j, i) ∈ M1

4. Determinar o conjunto M2 dos arcos que pertencem ao segundo percurso de custo m´ınimo de o para d tendo em considera¸c˜ao os novos custos;

5. Do conjunto M = M1∪ M2 retirar todos os arcos que correspondem à mesma liga¸cão ou seja, os arcos cujos nós extremos são os mesmos.

Na transforma¸cão de custos, quando uma liga¸cão é utilizada num percurso, o arco no sentido em que foi utilizada passa a ter custo infinito e o arco do sentido inverso recebe o custo zero. Os arcos que não fazem parte do primeiro percurso sofrem a transforma¸cão indicada. Por fim, o conjunto resultante contém os arcos dos quais podem ser obtidos os dois percursos disjuntos de custo m´ınimo.

A implementa¸cão do algoritmo de Suurballe para percursos disjunto nas liga¸cões apresenta-se em 5.2.1. No programa deapresenta-senvolvido, as liga¸cões são representadas apenas pelo par não ordenado {il, jl} pelo que, os conjuntos M1 e M2 contêm as liga¸cões e não os arcos.

Inicialmente, os custos são calculados de forma idêntica aos calculados para o algoritmo de Dijkstra. De seguida, é executado o algoritmo de Dijkstra, 4.2.5, mas o critério de paragem da

(48)

Algoritmo 5.2.1Suurballe para percursos disjuntos nas liga¸c˜oes

1: Calcular custos das liga¸c˜oes, algoritmo 4.2.6 2: Dijkstra, algoritmo 4.2.5

3: Calcular conjunto M₁

4: Realizar transforma¸c˜ao de custos 5: Dijkstra, algoritmo 4.2.5

6: Calcular conjunto M₂

7: Obter 2 percursos de protec¸c˜ao a partir de M = M₁∪ M₂

linha 27 é alterado para que o algoritmo só termine quando todos os nós da rede estiverem no conjunto de nós já seleccionados, conjunto S, em vez de terminar logo que o conjunto S inclua o nó destino d. Partindo da lista de nós predecessores resultante do algoritmo de Dijkstra, é obtido o conjunto M1. De seguida, realiza-se a transforma¸cão de custos e encontra-se um novo percurso de custo m´ınimo. Após ser determinado o conjunto M2, obtêm-se os dois percursos disjuntos de custo m´ınimo a partir do conjunto M = M1∪ M2.

O cálculo dos custos e o algoritmo de Dijkstra já são conhecidos. Os conjuntos M1 e M2 são obtidos da forma descrita em 4.2.7, a partir da lista de nós predecessores. É então necessário determinar a forma de fazer a transforma¸cão de custos e de obter os dois percursos de custo m´ınimo a partir dos dois conjuntos.

5.2.2 Transforma¸c˜ao de custos

O algoritmo 5.2.2 descreve a implementa¸cão da transforma¸cão de custos. sizeM 1 indica o número de liga¸cões no percurso M1. status é um vector em que, em cada ´ındice, corres-pondente a uma liga¸cão l entre il e jl, é registado se essa liga¸cão é utilizada pelo primeiro percurso no sentido (il, jl) ou no sentido (jl, il). a e d correspondem ao nó actual e ao nó destino, respectivamente.

Para cada liga¸cão entre il e jl do percurso, se a liga¸cão for utilizada no sentido (il, jl) recebe status1 e no sentido oposto recebe status2. De seguida, para todas as liga¸cões, os custos em ambos os sentidos são calculados segundo a transforma¸cão descrita na seçcão 5.2.1.

5.2.3 Obten¸c˜ao de caminhos disjuntos a partir de um conjunto de liga¸c˜oes

Para encontrar os dois percursos disjuntos a partir dos conjuntos M1 e M2 e simultane-amente, eliminar as liga¸cões que aparecem nos dois conjuntos, implementou-se o algoritmo 5.2.3. M1 e M2 foram reunidos numa matriz; a liga¸cão i do percurso M1 é dado por M1i e a liga¸cão i do percurso M2 é dada por M2i.