Modelos Cosmológicos na teoria de Rastall

CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS

PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇO EM FÍSICA

MAHAMADOU HAMANI DAOUDA

MODELOS COSMOLÓGICOS NA TEORIA DE

RASTALL

Modelos osmológi os na teoria de Rastall

Dissertação apresentada ao Programa de

Pós-Graduação em Físi a do Centro de

Ci-ên ias Exatas da Universidade Federal do

Espírito Santo, omo requisito par ial para

obtençãodoGraude doutoremCiên ias

Fí-si as.

Orientador: Prof. Dr. JúlioC. Fabris

Co-orientador: Prof. Dr. OliverF.Piattella

MAHAMADOU HAMANI DAOUDA

Dissertaçãoapresentada aoProgramade Pós-GraduaçãoemFísi adoCentrodeCiên ias

Exa-tas da Universidade Federal do Espírito Santo, omo requisito par ial para obtenção do Grau

doDoutor em Ciên iasFísi as.

Comissão Examinadora

Prof. Dr. JúlioC. Fabris

Universidade FederaldoEspírito Santo

Orientador

Prof. Dr. Oliver F. Piattella

Universidade Federal doEspírito Santo

Co-orientador

Prof. Dr. EugênioR. B. de Mello

Universidade FederaldaParaíba

Prof. Dr. Gilberto M. Kremer

Universidade Federal doParaná

Prof. Dr. Antnio A. R. Fernandes

Aosmeus Orientadores, o Professor JúlioC. Fabris e o Professor OliverF. Piattella.

A teoria de Rastall é uma modi ação da teoria da relatividade geral que onduz a uma

ex-pressãodiferentedausual para aleide onservação nosetor damatéria. Re entementetem-se

dis utido que tal teoria pode ter apli ações ao problema da energia es ura, já que um uido

sem pressão pode onduzir à a eleração do universo. Nesse trabalho onfrontamos a teoria de

Rastall om os dados do espe tro de potên ia. Os resultados indi am uma onguração que

reduz essen ialmentea teoria de Rastallà relatividadegeral, amenos que aleide onservação

não-usual se rera a um ampo es alar, situação onde outras ongurações seriam

eventual-mente possíveis. Uma uni ação de energia es ura e matéria es ura, é obtida se um ampo

es alar de interação não- anni a, inspirado pela teoria de Rastall da gravidade, for imposto.

Neste aso, épossíveluma on ordân ia om os testesde fundo e om o espe tro de potên ia.

Investigamos a evolução do poten ial gravita ional na teoria de Rastall om ampo es alar.

Para um modelo de uma úni a omponente, ateoria de perturbação,no alibrenewtoniano, é

onsistentesomentepara

γ = 1

,que éo limitedarelatividadegeral. Poroutro lado,é possível ter um modelo onsistente om

γ

6= 1

quando uma outra omponente, sob a forma de um uido perfeito, é introduzida. Introduzimos nesta teoria um modelo de dois uidos, uma das

omponentes representando a energiado vá uo ea outra amatéria sem pressão (porexemplo,

bárions mais a matériaes ura fria). O enário osmológi o é o mesmo que para o modelo de

Λ

CDM,nofundoeanívelperturbativolinear,aex eçãodeum aspe to: agoraaenergiaes ura pode aglomerar-se. Espe ulamos queistopode onduzir àpossibilidade de distinguiromodelo

The theory of Rastallisa modi ationof the generalrelativity theory thatleads toa dierent

expression, with respe t tothe usualone forthe onservationlaw. Re entlyit hasbeenargued

that su h theory an have appli ations to the problem of dark energy, sin e a uid without

pressure an lead the a eleration of the universe. In this work we onfront the theory of

Rastallwith the dataof the powerspe trum. Theresults indi atea ongurationthatredu es

essentially the theory of Rastall to general relativity, unless the not-usual onservation law

refers toa self-intera ting s alar eld , situation where other ongurations would be possibly

possible. Auni ation ofdarkenergy and darkmatter isobtained through su h non- anoni al

s alareld. Inthisin ase,itispossibleanagreementwiththe observationaltests. Weanalyze

the evolution of the gravitational potentialin the theory of Rastall with a s alar eld. Foran

one omponent model, the perturbation theory in the Newtonian gauge is onsistent only for

γ = 1

,that is,the limitof generalrelativity. On the otherhand, itis possibleto have a model onsistent with

γ

6= 1

whenanother omponent,inthe form ofa uid, isadded. We introdu e inthis theoryamodeloftwouids,oneofthe omponentsrepresentingthe va uumenergyand

anothermatterwithoutpressure(forexample,baryons). The osmologi als enarioisthe same

as the

Λ

CDM, in the ba kground and atthe linear perturbation level, ex epted for an aspe t: now the dark energy an agglomerate. We spe ulate that this an lead to the possibility to

1 Introdução geral 10

2 Relatividade geral, osmologia padrão e modelos de energia es ura 13

2.1 Relatividadegeral . . . 13

2.1.1 Espaço-tempo . . . 14

2.1.2 Tensores . . . 15

2.1.3 Conexão am ederivada ovariante . . . 16

2.1.4 Curvatura . . . 17

2.1.5 Métri a . . . 17

2.1.6 OPrin ipio Varia ional. . . 20

2.2 Cosmologia . . . 22

2.2.1 Do prin ípio osmológi o aomodelo de on ordân ia . . . 22

2.2.2 Métri a de Friedmann-Robertson-Walker . . . 23

2.2.3 Desvio para o vermelho. . . 25

2.2.4 Dinâmi a douniverso: equaçõesde Friedmann . . . 26

2.3 Modelos de energia es ura . . . 35

3 Teoria das perturbações osmológi as 38 3.1 Perturbações osmológi as newtonianas. . . 38

3.2 Perturbações osmológi as: relatividadegeral . . . 44

3.2.1 Perturbações namétri ae notensor energia-momento . . . 46

3.2.2 Transformaçõesde alibre . . . 48

3.2.3 Transformação do alibre das perturbações es alares damétri a . . . 49

3.2.4 Perturbação do tensorde energia-momento . . . 51

3.2.5 Calibrenewtoniano . . . 51

3.2.6 Calibresín rono . . . 54

4.4 Os ilaçõesda a ústi adobárion (BAO) . . . 64

5 Dinâmi a osmológi a do modelo de Rastall 66 5.1 Modelo de Rastall. . . 66

5.2 Dinâmi a osmológi a do modelo de Rastall . . . 68

5.3 Dinâmi ado fundo . . . 69

5.4 Análise perturbativa: Fluidoperfeito . . . 70

5.5 Modelo de dois uidos . . . 71

5.6 Perturbaçõeslineares nomodelo de dois uidos . . . 73

5.7 Modelo Campoes alar daTeoria de Rastall . . . 75

5.7.1 Análise perturbativado ampo es alar. . . 75

5.8 Con lusão . . . 80

6 O modelo de uni ação om ampo es alar de Rastall 82 6.1 A velo idadedosom do ampoes alar nateoria de Rastall . . . 82

6.2 Con lusão . . . 87

7 Evolução do poten ial gravita ionalna teoria Rastall om ampo es alar 91 7.1 Teoria de Rastall om ampoes alar . . . 91

7.2 Evolução do poten ialgravita ional . . . 92

7.3 Opapel de uma omponente tipouido. . . 94

7.4 Con lusão . . . 98

8 Cosmologia de Rastall e o modelo

Λ

CDM 100 8.1 Cosmologia de Rastall . . . 100 8.2 Pequenas perturbações . . . 103 8.2.1 Calibrenewtoniano . . . 104 8.3 Regimenão-linear . . . 106 8.4 Con lusão . . . 108 9 Con lusão 109

Capítulo 1

Introdução geral

Esta tese é dedi ada à modelização osmológi a da teoria de Rastall [1℄ que é um modelo de

gravidade modi ada para o qual o tensor energia-momento não é onservado. A tese está

organizada daseguinteforma:

Capítulo 2

Des reveremosoquadroteóri onoqualins reve-seestatese. Apresentaremosasnoçõesbási as

darelatividadegeral. Iremosfazerumabreverevisãodomodelo osmológi opadrão,falaremos

sobre amatériaes uraeda energiaes ura,in luindoaonalasevidên ias dasuasexistên ias.

Capítulo 3

Apresentaremos os prin ípios dateoria das perturbações lineares osmológi as. Começaremos

om a dis ussão não relativísti a e on luiremos om a dis ussão relativísti a geral, onde

es-tudaremos diversos asos nos alibres newtonianoe sín rono, a partirdas fórmulas damétri a

(2.57), dotensor de energia-momento(2.59), e das equações de Einstein (2.67).

Capítulo 4

Neste apítulorevisaremososmaisimportantesfenmenos osmológi osquepermitemtestaras

Capítulo 5

Apresentaremos a teoria de Rastall, derivando algumas relações osmológi as. Um modelo

om dois uidos será desenvolvido. O espe tro de potên ia da matéria será determinado na

representaçãohidrodinâmi aeparao asoondeumdosuidosestárepresentadoporum ampo

es alar de interação.

Capítulo 6

Nesse apítulo iremos analisar e reproduzir o modelo de gás Chaplygin utilizando a teoria de

Rastall om um ampoes alar. Dis utiremosa velo idade dosom nestateoria.

Capítulo 7

Introduziremoso ampoes alarnão- anni o de Rastall. Investigaremos aevoluçãodo

poten- ialgravita ional. Mostraremos que no aso emque o onteúdo energéti o for des rito apenas

por um ampo es alar não- anni o,o modelosó é onsistente quando

γ = 1

.

Capítulo 8

Introduziremosummodelo omdoisuidos,emqueumados omponentesrepresentaaenergia

dová uo ea outra a matériasem pressão. Mostraremos que o enário osmológi o éo mesmo

paraomodelode

Λ

CDM,nofundoeanívelperturbativolinear,àex eçãodeumaspe to: agora aenergiaes urapode aglomerar-se. Espe ularemosqueistopode onduzir auma possibilidade

de distinguir osmodelos a nível perturbativonão-linear.

Capítulo 9

Apresentaremos nossas on lusões.

Esta tese resultounos seguintes trabalhos ientí os:

•

C.E. Batista , Júlio C.Fabris , M. Hamani Daouda. Testing the Rastall's theory using matter power spe trum. Il Nuovo imento della So ietà italiana di si a. B , v. 125, p.

•

Júlio C. Fabris , Thaisa C. Guio , M. Hamani Daouda , Oliver F. Piattella. models for the generalized Chaplygin gas and the stru ture formation onstraints. Gravitation

Cosmology, v. 17,p. 259271, 2011.

•

JúlioC. Fabris , M. Hamani Daouda , Oliver F. Piattella. Note on the Evolution of the Gravitational Potential in Rastall S alar Field Theories. Physi s Letters B.2012

•

C.E.Batista,M.HamaniDaouda,JúlioC.Fabris,OliverF.PiattellaDaviC.Rodrigues. Rastall Cosmology and the CDM Model 2011. Physi al Review. D, Parti les, Fields,

Capítulo 2

Relatividade geral, osmologia padrão e

modelos de energia es ura

Neste apítulo, omeçamos apresentando asnoçõesbási as da relatividadegeral. Emseguida,

iremos fazer uma breve revisão do modelo osmológi o padrão e falaremos sobre a matéria

es ura e energiaes ura,in luindo aonal as evidên iasda existên iadas mesmas.

2.1 Relatividade geral

Prin ípio da relatividade geral:

Na teoria newtoniana e na relatividade restrita, as leis da físi a são es ritas em referen iais

ditos iner iais

1

e emde referen iaisen rotação. Por outrolado nateoriadarelatividadegeral,

formulada num espaço-tempo 4-dimensional, que não é xado a priori, as equações devem

guardar suas formas por transformação gerais de sistemas de oordenadas. Chamamos a isto

de prin ípio da ovariân ia geral.

Como é natural, deveremos exigir que a formulação de uma teoria gravita ional seja tal

que,lo almente, obtenhamos a relatividade restrita, e no aso de ampos muito fra os e

velo- idades pequenas, muito menores que a da luz, os resultados oin idam om os da gravitação

newtoniana.

1

2.1.1 Espaço-tempo

Consideremos agora omoas quantidades fundamentaisse omportamsob uma transformação

geral de oordenadas.

Vetores

Considere-se aseguintetransformação de oordenadas:

x

µ

→ ¯x

ν

_(x

µ

_),

(2.1)

onde

x

¯

ν

são funções diferen iáveis e não degeneradas de

x

µ

, e o índi e

µ

varia de

0, 1, 2, 3

. A matriz de transformação é dada por

∂ ¯

x

ν

∂x

µ

sendo o determinante

|

∂ ¯

x

ν

∂x

µ

| 6= 0

, (o ja obiano da transformação de oordenadas); assim

x

µ

são funções diferen iáveis de

x

¯

ν

e não degeneradas. A matriz

∂x

µ

∂ ¯

x

′ν

é ainversa de

∂ ¯

x

′ν

∂x

µ

:

X

µ

∂ ¯

x

µ

∂x

ν

∂x

α

∂ ¯

x

µ

= δ

α

ν

,

(2.2) onde

δ

α

_ν

=







1 α = ν

0 α

_{6= ν}

,

(2.3)

é o

δ

de Krone ker. Os diferen iaise asbases de vetores transformam-se de a ordo om

d¯

x

ν

=

∂ ¯

x

ν

∂x

µ

dx

µ

_,

(2.4)

∂

∂ ¯

x

ν

=

∂x

µ

∂ ¯

x

ν

∂

∂x

µ

.

(2.5)

Umabasede vetoresde umespaçoéuma oleçãode vetorestalque adavetorpodeser es rito

de uma forma úni a omo ombinação linear dos vetores de base. Um es alar, ou tensor de

ordemzero, édenido omo umaquantidade quenão muda portransformação de oordenada:

¯

φ = φ.

(2.6)

Um vetor ontravariante, ou tensor ontravariante de primeira ordem, é denido omo uma

quantidade quese transforma omo um diferen ial:

¯

A

µ

=

∂ ¯

x

µ

∂x

ν

A

ν

_.

(2.7)

Um vetor ovarianteédenido omo uma quantidade que se transformadaseguinteforma:

¯

B

µ

=

∂x

ν

∂ ¯

x

µ

B

ν

.

(2.8)

Consequentemente, aderivada de um es alaré um vetor ovariante.

2.1.2 Tensores

Um tensor é denido omo uma quantidade que se transforma omo um produto tensorialde

vetores:

¯

T

µν...

ασ...

=

∂ ¯

x

µ

∂x

β

∂ ¯

x

ν

∂x

γ

...

∂x

λ

∂ ¯

x

α

∂x

ζ

∂ ¯

x

σ

T

βγ...

λζ...

.

(2.9)

Um tensor é dotipo

(α, σ)

setem

α

índi es ontravariantes e

σ

índi es ovariantes. O es alar é um tensor do tipo

(0, 0)

, um vetor ontravariante é um tensor do tipo

(1, 0)

, e um vetor ovarianteé um tensor dotipo

(0, 1)

. Uma ombinação linearde dois tensores dotipo

(α, σ)

é um tensordotipo

(α, σ)

. Oprodutotensorialdedois tensoresdos tipos

(α

1

, α

2

)

e

(σ

1

, σ

2

)

éum tensor do tipo

(α

1

+ σ

2

, α

1

+ σ

2

)

. Os índi es do tensor ( ontravariante ou ovariante) podem ser simetrizados:

T

(µν...α)

=

1

n!

X

π

T

π(µ)π(ν)...π(α)

,

(2.10) ouanti-simetrizados:

T

[µνα...α]

=

1

n!

X

π

T

π(µ)π(ν)...π(α)

sign(π),

(2.11)

onde

π

éumapermutaçãodeíndi es,

sign(π)

éosinaldapermutaçãoe

n

éonúmerodeíndi es simetrizados ouanti-simetrizados. A ontração de um tensor do tipo

(α, σ)

gera um tensordo tipo

(α

− 1, σ − 1)

:

T

′

µν...

_µσ...

=

∂x

′

_µ

∂x

β

∂x

′

_ν

∂x

γ

...

∂x

λ

∂x

′

_µ

∂x

ζ

∂x

′

_σ

T

βγ...

λζ...

=

∂x

′

_ν

∂x

γ

...

∂x

ζ

∂x

′

_σ

δ

λ

β

T

′

_βγ...

λζ...

=

∂x

′

_ν

∂x

γ

...

∂x

ζ

∂x

′

_σ

T

βγ...

βζ...

.

(2.12)

2.1.3 Conexão am e derivada ovariante

Diferen iação ovariante dos tensores

A derivada ovariante de um vetor

A

µ

édenida omo

A

µ;α

= A

µ,α

− Γ

µ α

σ

A

σ

,

(2.13)

onde

Γ

σ

µ α

é onexão am. Exigindo que

A

µ;α

seja um tensor, podemos mostrar que, numa transformação de sistema de oordenadas, obtém-se

Γ

′ ν

_{µ α}

=

∂x

′

_ν

∂x

γ

∂x

σ

∂x

′

_µ

∂x

β

∂x

′

_α

Γ

γ

σ β

+

∂x

′

_ν

∂x

γ

∂

2

_x

γ

∂x

′

_α

∂x

′

_µ

,

(2.14)

o quemostra que

Γ

ν

µ α

não é um tensor. No aso de um ampoes alar,

φ

;µ

= φ

,µ

,

(2.15)

onde

, µ =

∂

∂x

µ

. Supondoqueaderivada ovariantedoprodutodedois tensoresobedeçaàregra de Leibniz, omo aderivada ordinária,istoé

(T U)

;µ

= T

;µ

U + T U

;µ

,

(2.16)

então

(A

α

B

α

)

;µ

= A

α;µ

B

α

+ A

α

B

α

;µ

= A

α,µ

B

α

− Γ

σ µ

α

A

α

B

σ

+ A

α

B

α

;µ

.

(2.17)

Consequentemente, obteremos aderivada ovariantede um vetor ontravariante:

B

α

;µ

= B

α

,µ

+ Γ

σ µ

α

B

σ

.

(2.18)

A regrade Leibniz (2.16),igualmenteimpli aquea derivada ovariantede um tensoré igualà

soma da derivada ordinária orrespondente desses tensores e os termos om as onexões ans

para ada índi e:

T

µν...

_ασ...;β

= T

µν...

_ασ...,β

+ Γ

_{γ β}

µ

T

γν...

ασ...

+ Γ

γ β

ν

T

µγ...

ασ...

+

· · · − Γ

γ

α β

T

µν...

γσ...

− Γ

γ

σ β

T

µν...

αγ...

− . . . .

(2.19)

2.1.4 Curvatura

Tensor de Curvatura

O omutador de derivadas ovariantes de um vetor éum tensordado pela seguinte expressão,

[

∇

ν

,

∇

α

]B

µ

= R

µ

βνα

B

β

(2.20)

onde, onsequentemente, temos

R

µ

βνα

daseguinteforma:

R

µ

_βνα

= ∂

ν

Γ

β α

µ

− ∂

α

Γ

β ν

µ

+ Γ

σ ν

µ

Γ

β α

σ

− Γ

σ α

µ

Γ

β ν

σ

,

(2.21)

que é hamado de Tensor de Curvatura.

R

µ

βνα

é anti-simétri onos índi es

ν

,

α

. O omutador das derivadas ovariantes de um vetor ovarianteé

[

∇

ν

,

∇

α

]A

µ

=

−R

β

µνα

A

β

,

(2.22)

e avariaçãodotensor de urvatura é dada pelaexpressão,

δR

µ

_ασβ

= (δΓ

_{α β}

µ

)

;σ

− (δΓ

α σ

µ

)

;β

.

(2.23)

onde

δΓ

é a variaçãofun ional da onexão.

2.1.5 Métri a

Tensor métri o

Amétri aéumtensorsimétri o ovariantedesegundaordemquenospermitedeniradistân ia

ouintervalo innitesimalentre dois pontos:

ds

2

= g

µν

dx

µ

dx

ν

,

(2.24)

onde

Em umavariedade riemanniana,a derivada ovariantedamétri a énula:

g

µν;α

= g

µν,α

− Γ

µ α

σ

g

σν

− Γ

ν α

σ

g

νσ

= 0,

(2.26)

que impli a na existên ia de uma onexão úni a e bem denida, a onexão métri a (que é

idênti a aos símbolosde Christoel)dada por:

Γ

β

µ ν

=

1

2

g

βα

_(g

αµ,ν

+ g

αν,µ

− g

µν,α

)

(2.27)

Esta onexão étambém onhe idapor onexão de Levi-Civita oupor onexãode Riemann. A

inversa da métri a

g

µν

é denida pela seguinte relação:

g

µν

g

µα

= δ

α

ν

.

(2.28)

A métri aasso ia índi es ovariante e ontravariante omo:

A

µ

_{= g}

µν

_A

ν

,

(2.29)

B

µ

= g

µν

B

ν

.

(2.30)

Das denições de onexão métri a (2.27) e do tensor de Riemann (2.23), vêm as seguintes

propriedadesalgébri as:

R

µνασ

=

−R

µνσα

,

R

µνασ

=

−R

νµασ

,

R

µνασ

= R

ασµν

.

(2.31)

AssimotensordeRiemanntem

20

omponentes independentes, em4dimensões. Da ontração de dois índi esdo tensorde Riemann,podemosdenir o tensorde Ri i:

o qual é simétri o por denição. Contraindo a expressão da denição do tensor de Riemann

(2.23), obtemosas omponentes dotensor de Ri i

R

µν

= Γ

µ ν,α

α

− Γ

µ α,ν

α

+ Γ

µ ν

σ

Γ

σ α

α

− Γ

µ α

σ

Γ

σν

α

.

(2.33)

A variação dotensor de Ri i édada por

δR

µν

= (δΓ

µ α

σ

)

;σ

− (δΓ

µ σ

σ

)

;α

.

(2.34)

O es alar de Ri i, ou es alarde urvatura, é dado por

R = R

µν

g

µν

.

(2.35)

Uma importante propriedade das omponentes do tensor de Riemann são as identidades de

Bian hi:

R

µ

_β[να;σ]

= 0,

(2.36)

R

γ

_[νασ]

= 0.

(2.37)

Aequação(2.37)levaasimetriados índi esdotensorde Ri i. Contraindoessasequações om

o tensor métri o,resultaem

R

βα;σ

+ R

µ

βασ;µ

− R

βσ;α

= 0,

(2.38)

R

νσ

− R

σν

= 0,

(2.39)

Contraindomais uma vez (2.38) om a métri a,obtemos aseguinteequação da onservação

G

µ

_ν;µ

= 0,

(2.40)

onde

G

µν

= R

µν

−

1

2

g

µν

R,

(2.41)

é hamadode tensor deEinstein, oqualésimétri o(edes reve aspropriedadesgeométri asdo

K

, em um espaçomaximalmentesimétri o[2℄ , édado por:

R

µνασ

= K(g

µα

g

νσ

− g

µσ

g

να

)

(2.42)

2.1.6 O Prin ipio Varia ional

Ação de Einstein-Hilbert e as equações de movimento

Assim omo as equações da me âni a lássi a,as equações de Einsteinpodem ser deduzidas a

partir de um prin ípiovaria ional. Con entremo-nos primeirono aso de um ampo

gravita i-onal. Opontode partidaserá a ação de Einstein-Hilbert om um termode matéria

S =

−

1

2κ

Z

R

√

−gd

4

_{x + S}

m

.

(2.43)

Essa ação pode ser onsiderada omo um fun ional dos ampos gravita ional e de matéria.

A variação da ação (2.43) em relação às omponentes da métri a

g

µν

, usando a identidade

δ

√

_{−g = −}

1

₂

√

_−gg

µν

δg

µν

,nos forne e

δS =

−

1

2κ

Z 

δR

µν

g

µν

√

−g + R

µν

δg

µν

√

−g −

1

2

R

√

−gg

µν

δg

µν



d

4

x +

+

Z

T

µν

√

−gδg

µν

d

4

x ,

(2.44)

onde

T

µν

éo tensor energia-momento,denido daseguinteforma:

T

µν

=

−

2

√

−g

δS

m

δg

µν

.

(2.45)

Integrando par ialmente oprimeiro termono lado direitode (2.44),e usando(2.40),temos

Z

δR

µν

g

µν

d

4

x =

Z

_

(δΓ

σ

µ ν

)

;σ

− (δΓ

µ σ

σ

)

;ν



g

µν

d

4

x

=

₋

Z

(g

µν

_;σ

δΓ

_{µ ν}

σ

_{− g}

µν

_;ν

δΓ

_{µ σ}

σ

)d

4

x = 0,

(2.46) onde

g

µν

=

√

−gg

µν

,

(2.47)

éadensidademétri a ontravariante omderivada ovariantenula

g

µν

;σ

= 0

. Igualando

δS = 0

em(2.44),podemos nalmentees rever

G

µν

= κT

µν

(2.48) ou

R

µν

= κ



T

µν

−

1

2

T g

µν



,

(2.49)

onde

T

µν

é o tensor energia-momento que des reve o onteúdo material e

T

é seu traço. As equaçõesdeEinstein(2.48)e(2.40),impli am,por onseguinte,a onservaçãodotensor

energia-momento ou, emoutras palavras,que adivergên ia de

T

µν

seja nula:

T

µν

;µ

= 0 .

(2.50)

O tensor mais simples que satisfaz esta lei de onservação é a própria métri a. De fato, as

equações de Einstein nos dão liberdade para adi ionar um termo onstante multipli adopela

métri a. A res enta-se então um termo suplementar na equação de Einstein, dependendo

li-nearmente dotensor métri o eda onstante osmológi a

Λ

. Podemos es rever as equaçõesde Einstein om onstante osmológi ada seguinte forma:

G

µν

+ Λg

µν

= κT

µν

,

(2.51)

onde a onstante osmológi a

Λ

pode ser vista omo uma termogeométri o.

Originalmentea onstante osmológi a foi introduzida por Einsteinem

1917

, para onstruir uma representação de um universo estáti o na relatividade geral. A onstante osmológi a

opera omo uma pressão negativa ontra a gravidade, de modo que os dois efeitos possam se

equilibrar. Contudo, após a des oberta da expansão do universo por Hubble, om a medida

da re essão das velo idades de galáxias distantes, Einstein abandonou a ideia de adi ionar o

termoassuasequações. Depoisde

1998

,a onstante osmológi areviveu omoumaformulação de energia es ura responsável pela a eleração da expansão do universo. Do ponto de vista da

2.2 Cosmologia

Nesta seçãoforne eremosasferramentasbási as da osmologiapara ompreendera históriada

expansão douniverso. Dis utiremosentão aprimeiraevidên ia atual para a eleração ósmi a.

2.2.1 Do prin ípio osmológi o ao modelo de on ordân ia

Cosmologia padrão

A osmologiapadrãoébaseada noPrin ípio Cosmológi o,quedizqueouniverso éhomogêneo

e isotrópi o, pelo menos em grandes es alas. A dinâmi a do universo é regida pelas equações

de Einsteinno modeloBigBang quente. Essemodelosupõequeouniversoantigamenteestava

num estadode densidadeetemperaturamuita altas,apartirdoqual,oespaço-tempo omeçou

a evoluir. Desde então, o universo atravessou um pro esso de expansão e de resfriamento,

passando de um estado extremamente quente e denso para um estado frio e rarefeito. A

temperaturahoje é

T = 2, 75K

[4℄ eadensidade

ρ

0

≃ 10

−29

_g/cm

3

. Este modeloé apoiadopor

dados observa ionais fortes, tais omo:

•

A expansão do universo, observada por Hubble em

1929

[5℄. O universo en ontra-se em expansãouniforme, omadistân iamédiaentre osseus onstituintes(supostos

distribuí-dos uniformemente) aumentando om uma velo idade

V = H

0

D

, a lei de Hubble;

H

0

é hamado de onstante de Hubble,

D

éa distân iaentre os onstituintes.

Diferentes estimativasde

H

0

estãona faixade

65

− 70

kms

−1

Mp

−1

. É usualdenir uma

quantidadeadimensional

h

queéa onstantede Hubbleemunidadesde

100

k

ms

−1

Mp

−1

[6℄:

H

0

= 100

hkms

−1

Mp

−1

_{= 2.1332h}

_{× 10}

−42

GeV

,

(2.52)

O inverso da onstante de Hubble é hamadode tempo de Hubble

t

H

=

1

H

0

= 9.78

_{× 10}

9

h

−1

anos

,

(2.53)

impli ando naidade douniverso

Avelo idadedaluzmultipli adopelotempode Hubbleéadistân ia(ou raio)de Hubble

D

H

=

c

H

0

= 3000h

−1

Mp

.

(2.55)

•

Anu leossínteseprimordial[7℄,fusãodoselementoslevesduranteostrêsprimeirominutos douniverso quando atemperaturaera alta.

•

A radiação ósmi a (CMB)prevista em

1950

por Gamow e seus olaboradores Alphers e Hermanne dete tada em

1965

por Penzias e Wilson [8℄.

•

A formaçãodas grandes estruturas. Naturalmente,observamos inomogeneidadee irregu-laridadesnas regiõeslo ais douniverso, estrelas egaláxias. Elas res eram om o tempo

om ainstabilidadegravita ionalde distribuiçãodamatéria,queeramais homogêneano

passado. Então,asinomogeneidadespodemser onsideradas omopequenasperturbações

que evoluem nouniverso globalmentehomogêneo.

2.2.2 Métri a de Friedmann-Robertson-Walker

Am de poder utilizar a teoria da relatividade geral omo quadro do modelo osmológi o e

deduzir as leis da dinâmi a do universo, é ne essário impor vín ulos: as simetrias induzidas

pelo prin ípio osmológi o e pela expansão do universo. Consideramos este sistema sendo

des ritopor um espaço-tempo omo

R

× M

, onde

R

representa adireçãotemporale

M

é uma variedade tridimensional homogênea e isotrópi a. O elemento de linha (2.24) pode ser es rito

naforma:

ds

2

= dt

2

− a(t)

2

_γ

ij

(x

k

)dx

i

dx

j

,

(2.56)

denindo

a(t)

omoofatordees ala,

γ

ij

éamétri atridimensionalqueéfunçãouni amentedas oordenadas do espaço

x

i

_{(i = 1, 2, 3)}

e o tempo

t

asso iado a ada hipersuperfí ietipo-espaço é o tempo ósmi o. A ortogonalidade entre geodési as e hipersuperfí ies espa ias, traduz-se

no fato de serem nulos os oe ientes

g

0i

. O prin ípio osmológi o tem omo onsequên ia matemáti a,que ada hipersuperfí ieespa ialapresentauma urvatura onstante. Oelemento

de linha ompleto que des reve bem a dinâmi adouniverso pode ser es rito(

c = 1

):

ds

2

= dt

2

_{− a}

2

(t)



dr

2

1

_{− kr}

2

+ r

2

_dθ

2

_{+ r}

2

_sin

2

_θdφ

2



,

(2.57)

que é a métri a de Friedmann-Robertson-Walker, om os três asos possíveis para urvaturas

k = 0, +1,

₋₁

, modelos planos,esféri os fe hados eabertos, respe tivamente.

• k = +1

orresponde a um espaço esféri o fe hado,de volume nito e urvatura positiva. O espaço-tempo apresenta uma topologia do tipo ilíndri o,

R

× S

3

,

R

representando o eixotemporale

S

3

atri-esfera,

• k = 0

orrespondeaumespaçoaberto,volumetotalinnitoe urvaturanula. Atopologia doespaço é denida por

R

× R

3

onde

R

3

é oespaço eu lidiano,

• k = −1

orresponde a um espaço hiperbóli o tridimensional, aberto om volume total innitoe urvatura onstantenegativa.

Da mesma maneira, as simetrias induzidas pela homogeneidade e pela isotropia do universo

impõem um tensor energia-momentoda estrutura de um uido perfeito. Um uido perfeito é

um uido para o qualexiste um referen ialem que

T

ν

µ

édiagonal:

T

_µ

ν

=





ρ

0

0

_−pδ

i

j





,

(2.58)

onde

ρ = ρ(t)

e

p = p(t)

de a ordo om a homogeneidade. Assimtemos que

T

µν

= (ρ + p)u

µ

u

ν

− pg

µν

,

(2.59)

onde,

ρ = T

0

0

é a densidade de energia da matéria,

p

é a pressão e

u

µ

= (1, 0, 0, 0)

é quadri-velo idade no referen ial o-móvel. Os omponentes de matéria e energia do universo são,

essen ialmente, omo veremos mais a frente, matéria es ura (DM), radiação (fótons ,

2.2.3 Desvio para o vermelho

Admitiremos,noquesegue,queageometriadouniversosejades ritapelamétri adeF

riedmann-Robertson-Walker. Apropagaçãodaluzfaz-seaolongodegeodési asnulas,quese ara terizam

através de um intervalonulo,

ds

2

_{= 0}

. Nestas ondições, estandooseixos oordenados

orienta-dos de modoa termosuma propagação radial, tiramosde (2.57)a relação

dt

a(t)

=

±

dr

√

1

_{− kr}

2

,

(2.60)

apli ando o sinal (

−

) ao aso de um raio luminoso que se dirija da fonte para o observador. Suponhamos que este raio foi emitido no instante

t = t

1

, num ponto de oordenada radial

r = r

1

; integrando a relaçãoanterior

Z

t

0

t

1

dt

a(t)

=

−

Z

dr

√

1

− kr

2

= f (r

1

) ,

(2.61) onde a função

f (r

1

) =



















arcsin r

1

para

k = +1,

r

1

para

k = 0,

sinh

−1

r

1

para

k =

−1,

éindependentedotempo,poisas oordenadas são o-móveis. Se tivermosdois raios luminosos

emitidosem instantes de tempo su essivos

t

1

e

t

1

+ dt

1

ere ebidos em

t

0

e

t

0

+ dt

0

, obtemos

Z

t

0

+dt

0

t

0

dt

a(t)

=

Z

t

1

+dt

1

t

1

dt

a(t)

,

(2.62) ouseja,

dt

0

a(t

0

)

=

dt

1

a(t

1

)

,

(2.63) o queimpli a em

dt

0

dt

1

=

ν

1

ν

0

=

a(t

0

)

a(t

1

)

,

(2.64)

sendo

ν

1

e

ν

0

as frequên ias emitida e observada, respe tivamente. A expansão do universo onduz a um aumentono omprimentode onda observado, istoé,odesvio para overmelhoda

luzde uma fonte distante. Deniremos odesvio para o vermelho osmológi o

z

omo sendo

z =

a(t

0

)

a(t

1

)

− 1 .

(2.65)

Odesviopara overmelho

z

éusadogeralmente omo oindi ador pelotempo ósmi o

t

,porque podesermedidoporumdeterminadoobjetoastrofísi o. Sealuzemissoradeumobjetodistante

é emitida e o observador dete ta o omprimento de onda esti ado por um fator de

(1 + z)

, o objeto teria uma distân ia que orresponde ao desvio para o vermelho

z

. O omprimento de onda físi oda luzemissorano tempo

t

é dado por:

λ

s

= a(t)λ ,

(2.66)

onde

λ

é o omprimento de onda o-móvel. Como o universo expande,

a(t)

aumenta om o tempo. As quantidades o-móveisnão mudam om a expansão douniverso.

2.2.4 Dinâmi a do universo: equações de Friedmann

Formulação

Para termosuma des rição mais ompleta douniverso, esequisermos ompreender ouniverso

presenteapartirde suahistóriapassada,éne essário onhe eradinâmi adesua evolução,que

é nos dada pelas equações de Einstein, suplementadas pelo prin ípio osmológi o, o qual nos

permitededuziroelementodelinhade Friedmann-Robertson-Walker. AsequaçõesdeEinstein

om o termode onstante osmológi a, têm a seguinte forma:

G

µν

= R

µν

−

1

2

g

µν

R = 8πG



T

µν

−

Λ

8πG

g

µν



= 8πGT

tot

µν

,

(2.67)

onde

G

µν

étensor de Einstein,

R

µν

é Tensor de Ri i,

T

tot

µν

éo tensorenergia-momentoe

R

éa es alarde urvatura. Assim, para onstruiromodelo osmológi opadrãodouniverso,devemos

umuidoperfeito(2.59),asequaçõesdeEinstein(2.67)reduzem-seaduasequaçõesdiferen iais

independentes para ofator de es ala

a(t)

. A omponente0-0daequação de Einstein onduz à equação de Friedmann:

˙a

2

a

2

= 8πG

1

3

ρ

−

k

a

2

+

Λ

3

.

(2.68)

A segunda equação de Einstein onduz à

¨a

a

=

−4πG

1

3

(ρ + 3p) +

Λ

3

.

(2.69)

Pre isaremos, ainda, da equação da onservação do tensor energia-momento. Combinando as

Eqs. (2.68) e(2.69), obtemosa onservação daenergia:

d(ρa

3

) =

_−pd(a

3

) ,

(2.70)

a qualpode ser derivada diretamenteda Eq (2.50)

T

_;ν

µν

=

∂T

µν

∂x

ν

+ Γ

µ

λν

T

λν

+ Γ

ν

λν

T

µλ

= 0 ,

(2.71)

daqual, para

ν = 0

, obtemos:

˙ρ + 3

˙a

a

(ρ + p) = 0 .

(2.72)

Denindo a equaçãode estadobarotrópi a

p = ωρ ,

(2.73)

onde

ω

é uma onstante, aEq. (2.72) pode ser rees rita omo

d ln ρ

da

=

−3

1 + ω

Graças à equação de estado (2.73) e à equação da onservação (2.72), obtemos a evolução da

densidade de ada omponente emfunção de

a(t)

:

ρ

∝ a

−3(1+ω)

_.

(2.75)

Usando à equação (2.68),obtemoso fator de es ala emfunção dotempo:

a

_{∝ t}

3(1+ω)

2

,

(2.76)

onde

ω

6= −1

. Dois asos importantes são os que dizem respeito a um universo dominado por matéria(tambémdita de poeira) ea um universo dominadoporradiação.

Para a fase de matéria(

ω = 0

),temos (

p = 0

)

ρ

m

∝ a

−3

.

(2.77)

A equação a ima é interpretada omo adiminuição da densidade de energiadevido àdiluição

donúmerode partí ulas de orrenteda expansãodo universo.

Para a fase de radiação (

ω =

1

3

), temos

ρ

r

∝ a

−4

.

(2.78)

Note que a densidade de energia da radiação de res e mais rapidamente que a densidade de

energia da matéria. Isto de orre do fato de que, embora a densidade numéri a dos fótons

de resça damesmaformaqueadas partí ulasnão-relativísti as,existe umfatoradi ional

a

−1

,

pois osfótons perdem energiadevido aodesvio para overmelho.

Umaoutraequaçãode estadorelevanteem osmologiaéadeumuniversodominadoporuma

onstante osmológi a. Nesse aso

ω =

−1

e a densidade de energia

ρ

é uma onstante, e temos então

a

∝ exp(Ht) ,

(2.79)

de densidade denido omo

Ω

i

(t) =

ρ

i

ρ

cr

=

8πGρ

i

3H

2

,

(2.80) onde

ρ

cr

=

3H

2

8πG

é a hamada densidade ríti a. A equação de Friedmann, onsiderando omo omponentes douniverso a radiação(fótons

+

neutrinos)

+

a matéria(es uraebarini a)

+

e a onstante osmológi a, pode ser es rita omo

H(z)

2

= H

₀

2

[Ω

m

(1 + z)

3

+ Ω

r

(1 + z)

4

+ Ω

k

(1 + z)

2

+ Ω

Λ

] .

(2.81)

Tomando

z = 0

e

H(z = 0) = H

0

obtemos

Ω

m

+ Ω

r

+ Ω

k

+ Ω

Λ

= 1,

onde

Ω

k

=

k

a

2

_H

2

.

(2.82)

Note que das observações resulta que

Ω

r

≪ Ω

m

, assim o parâmetro de densidade da matéria relativísti a

Ω

r

é omitido geralmente em estudos em tempos re entes. Esta equação liga a urvatura do universo

Ω

k

ao onteúdo de matéria

Ω

m

e à onstante osmológi a

Ω

Λ

. Deste jeito, onhe endo a soma

Ω

m

+ Ω

Λ

= Ω

tot

épossíveldeterminar a geometria douniverso:

• Ω

tot

< 1

:

k = 1

, universo fe hado,

• Ω

tot

= 1

:

k = 0

, universo plano,

• Ω

tot

> 1

:

k =

−1

, universo aberto.

Omodelo osmológi o,des ritonos parágrafospre edentes, onhe eu grandessu essos omo

a expansão do universo, a nu leossíntese primordial e a radiação ósmi a de fundo. Contudo,

um erto número de observações não podem ser expli adas utilizando este modelo. Podemos

noti ar aqui três problemas: problema do horizonte, da planitude e da homogeneidade, os

quais são tratadosgeralmenteno ontexto domodeloina ionário.

O modelo

Λ

CDM

densidadelagrangianaqueées rita omo

f (R) = R

−2Λ

. Eletratadeformaseparadaamatéria es ura sem pressão e a energia es ura. Nesta seção, vamos men ionar às observações mais

re entes quetêm permitidovin ularo mais pre isamentepossívelos parâmetros osmológi os,

onduzindoassimaomodelode on ordân ia

Λ

CDM.Comodes revemosnaseção pre edente, adinâmi adouniverso, viaequaçõesdeFriedmann,égovernadapelosparâmetros osmológi os

que ara terizamseu onteúdo e asua geometria.

Radiação

Sendopropor ionalà

a

−4

, adensidadede radiaçãoéatualmentenegligen iável:

Ω

r

h

2

_{= 2, 47}

_×

10

−5

.

Matéria barini a

Anu leossíntese primordialpredizaabundân iadeHélio,DeutérioeLítiotambém. Essevalor

é onsistente om os dados obtidos mediante ál ulos da abundân ia de bárions, a partir das

observações das utuações de temperatura na radiação ósmi a de fundo, feitas pelo satélite

WMAP. A análise feita om os dados da nu leossíntese indi a que

Ω

b

h

2

_{= 0, 02}

,

Ω

b

= 0, 0456

se

h

= 0, 7

.

Matéria es ura

Além da existên ia dos bárions, fótons e neutrinos, existe uma outra omponente exóti a,

não barini a, hamada de matéria es ura, que é in luída para dar onta do problema da

formação de estruturas no universo (além de outras motivações). Essa matéria es ura, da

mesma forma que a energia es ura, ainda não foi dete tada experimentalmente. A expressão

matériaes ura, foi usada para des rever matériasem pressão(não-relativísti a)que interage

de forma muito fra a om as partí ulas da matéria usual. A existên ia da matéria es ura foi

indi adapelaprimeiravezem

1933

porFritzZwi ky,que omparouasvelo idadesdedispersão das galáxias no aglomerado de Coma om a massa das estrelas observadas. Uma vez que a

matériaes ura não emitea radiaçãoeletromagnéti a,sua presença é dete tadaprin ipalmente

da energia es ura), gerando as estruturas lo ais que são observadas no universo. Ela tem um

papel ru ial para a formação de estruturas em grandes es alas no universo, omo galáxias

e aglomerados de galáxias. Em

2005

, a dete ção de pi o das os ilações a ústi as barini as (BAO) no desvio para o vermelho médio

z = 0, 35

[9℄, das observações de galáxias vermelhas luminosasna SDSS (Sloan DigitalSky Survey) indi a um valoraproximativo de

Ω

m

= 0, 273

.

Nos anos

1970

-

1980

, existiam dois modelos de matéria es ura ompletamente opostos que estavam em ompetição: o modelo top-down, que onsiderava as estruturas maiores,

aglo-meradose super-aglomerados, formando-se primeiro eposteriormentefragmentando-se em

ga-láxias; o modelo bottom-up, que onsiderava as menores estruturas formando-se primeiro e

seguidamente aglomerando-se para formarem as maiores. Estes dois modelosdiferen iavam-se

pela natureza das utuações primordiais, a partir das quais desenvolveram-se as estruturas, e

de espé ies de matériaes ura.

As perturbações geradas no ini io da história do universo e que darão origem às estruturas

observadas podem ser de diferente natureza. Existem utuações de densidade, a ompanhadas

tambémporutuaçõesde pressãoede temperaturaquemantémaentropia onstante.

Chama-se esse tipo de utuação de adiabáti a. Nestas utuações, o número de fótons permane e

propor ionalao número de partí ulas de matéria. No modo isotérmi o, os fótons não seguem

a matéria e não utuam. A temperatura permane e por onseguinte onstante. Este modo

era tomado sobretudo em onsideração antes da medida efetiva das anisotropias da radiação

ósmi adefundo. DesdequeseobservouutuaçõesdetemperaturanaCMB,osmodelos

não-adiabáti os mais onsiderados são os modelos de utuações de iso- urvatura, que onservam

a urvatura e a massa uniforme. Provavelmente a ombinação desses dois tipos de modos

independentes de utuaçõesse aproximaàrealidade.

Cada tipo de utuação é asso iada a um tipo de matériaes ura: seja a matéria es ura fria

(CDM-Cold Dark Matter)seja amatériaes ura quente(HDM-Hot DarkMatter). O aráter

quente ou frio está rela ionadoà velo idade médiadas partí ulas quandodesa oplam-sedo

plasmaprimitivo,ondefótons, bárions ematériaes uraestão emequilíbrio. Neutrinossão por

onseguinte os melhores andidatos para onstituir a matéria es ura quente. Sua velo idade

relativísti a, impede que as utuações da matéria em pequena es ala resça. Atualmente, o

maiores.

A eleração ósmi a e energia es ura

A des oberta que aexpansão do universo é a elerada foi feita primeiramentepor Riess (1998)

[10℄ e por Perlmutter (1999) [11℄, om as observações de supernovas do tipo Ia (SNeIa). A

fonte para esta a eleração ósmi a douniverso éa energiaes ura. Apesar de muitos anos de

pesquisa (veja por exemplo,as revisões[1216℄) sua origem aindanão foi identi ada.

Aenergiaes ura éuma omponentedistintadamatériaordinária omoa barini ae a

radi-ação, no sentido que ela tem uma pressão negativa e tem a ara terísti a de não se aglomerar

em pequenas es alas estando, portanto, distribuída de forma mais homogênea que a matéria

es ura(nãobarini a). Essapressãonegativa onduz àexpansãoa eleradadouniverso

neutra-lizandoaforçagravita ional. AsobservaçõesdesupernovasdotipoIa(SNeIa)mostraramque

aproximadamente

70%

da energia atual do universo onsiste da energia es ura. O andidato mais simples para a energia es ura é a onstante osmológi a. Se a onstante osmológi a é

responsável pela a eleração ósmi a atual, pre isamos en ontrar um me anismo para obter o

valor minús uloe onsistente om as observações.

Am de distinguir esta variedade de modelos da energia es ura, é importante impormos

limitações, usando dados observa ionais tais omo o SN Ia, CMB, e estrutura em grandes

es alas (LSS). Geralmente, a maneira mínima de in luir a energia es ura nesta estrutura é

adi ionaruma nova omponentede uido perfeito, om equação de estado,

ω

X

= p

X

/ρ

X

, onde

ω

X

é a parâmetro da equação de estado,

p

X

é a pressão e

ρ

X

é a densidade de energia. Isso é uma boa medida para des rever a propriedade da energia es ura a nível do fundo. Então

podemosrees rever a equação de Friedmann emtermos do parâmetrode Hubble

H(z)

.

H(z)

2

= H

₀

2

[Ω

m

(1 + z)

3

+ Ω

r

(1 + z)

4

+ Ω

k

(1 + z)

2

+ Ω

X

X(z)] ,

X(z) =

ρ

X

(z)

ρ

X

(0)

.

(2.83)

Exigindo a onsistên iada Eq (2.83)e

z = 0

,

H(z = 0) = H

0

forne e

Ω

m

+ Ω

r

+ Ω

k

+ Ω

X

= 1 .

(2.84)

Note que para uma onstante osmológi a temos

X(z) = const

,

p

X

=

−ρ

X

, que resulta em

Talvez a primeira tarefa da investigação da energia es ura seja de dete tar desvios de

ω

X

da ordem do valor

−1

, para en ontrar se a energia es ura pode ser identi ada om a onstante osmológi a ou não. As observações de SN Ia forne eram a informação daexpansão ósmi a

em torno do desvio para o vermelho

z . 2

, pela medida de distân ias da luminosidade das fontes. Apresença de energiaes ura onduz aumdeslo amentodaposiçãodos pi osa ústi os

emanisotropiasdaCMB,assim omo umaalteraçãodoespe trodaCMBemgrandeses alas

om hamado aisto efeito integrado Sa hs-Wolfe [17℄.

OsdadosapenasdaCMB,nãosãosu ientespara olo arlimitaçõesfortesnaenergiaes ura.

A análise ombinadado SN Ia e CMB pode forne er limitesna equação de estado de

ω

X

e a fraçãoatualdadensidade

Ω

X

daenergiaes ura[18℄. Adistribuiçãodaaglomeraçãodasgaláxias emes ala muito grandeno éu,forne e igualmenteas informaçõesadi ionaisnas propriedades

da energia es ura [1921℄. Isto igualmente deu-nos um outro teste independente da energia

es ura. Da análise ombinada do SN Ia, CMB, e BAO, o grupo de WMAP [18℄ obteve o

intervalo

−1, 097 ≤ ω

X

≤ −0, 858

a

95%

denívelde onança,supondoumaequaçãode estado onstante. A onstante osmológi a (

ω

X

=

−1

) é onsistente om os dados observa ionais atuais, quando algunsmodelos de energiaes ura tem sido ex luídos pelas observações.

Da inação a energia es ura

A osmologiamoderna revela que uma outra a eleração ósmi a hamada inação o orreu

nouniverso passado, antes da faseda radiação. A ideia da inaçãofoi proposta originalmente

no prin ípio dos anos 80 [2225℄ para resolver diversos problemas osmológi os tais omo:

problemas da planitude e do horizonte. A inação, forne e igualmenteum me anismo ausal

para a origem da estrutura em grandes es alas no universo. As anisotropias da temperatura

na radiação ósmi o de fundo (CMB), observada pelo satélite COBE em 1992 [4℄, mostrou

que o espe tro dautuação é quase invariantede es ala, onsistente om as previsõesteóri as

do espe tro de potên ia da perturbação da densidade, originada das utuações quânti as de

um ampo es alar durante a inação. Depois de

2003

, o grupo WMAP, forne eu dados observa ionais, om pre isãoelevada, dasanisotropiasdaCMB[18,26,27℄,oquedeu umforte

apoiopara a existên ia doperíodoina ionário, damesma formaque aenergia es ura.

mais rapidamente doque aquela da matéria não-relativísti a(matériaes ura e as barini as),

a fase da radiação é seguida pela épo a da matéria, em torno do desvio para o vermelho

z = 3000

. A temperaturadas anisotropiasobservadas por COBE e pelo WMAP,o orreram naúltimasuperfí iedeespalhamentoemqueelétronsforamligadospelohidrogênioparaformar

átomos. Após este desa oplamento, os fótons puderam mover-se livremente sem experimentar

a dispersão de Thomson. Odesa oplamento orresponde ao desvio para overmelho daordem

de

z = 1090

. De a ordo om o WMAP e a partir de dados omo em [18℄, as omponentes daenergia naépo a dodesa oplamentosão a matériaes ura (

63%

),a radiação(

25%

), (fótons (

15%

), neutrinos (

10%

)),amatériasbarini a(

12%

)e umaquantidade desprezívelde energia es ura.

A formação de estruturas (galáxias e aglomerados) omeçou na fase da matéria, isto é,

quando a matéria es ura omeçou a dominar a densidade da energia total do universo. A

matéria barini a igualmente ontribui na formação das estruturas em grandes es alas, em

erta medida. Obviamente, asestruturas observadas são feitas de matériabarini a. Durante

a fase da matéria, a densidade da energia es ura é negligen iável se omparada àquela da

matéria es ura, am de permitir su iente res imento da estrutura em grande es ala. Se a

energiaes urafora oplada omamatériaes ura,atravésde algumainteração( omono enário

de a oplamento da quintessên ia [28,29℄), então a energia es ura igualmente afeta a história

passada daexpansão douniverso, assim omo a formaçãodas estruturas emgrandeses alas.

Enquanto a densidade de energia da matéria es ura evolui omo

ρ

m

∝ a

−3

, a densidade

de energia es ura é quase onstante no tempo (

ρ

x

∝ a

−n

om

n

provavelmente perto de

0

). O iní io da a eleração ósmi a o orre em torno do desvio para o vermelho

z

∼ 1

, embora haja ainda uma in erteza para seu valor pre iso, devido à dependên ia do modelo. Vivemos

então em uma fase espe ial da a eleração ósmi a na história da expansão do universo. O

problema daa eleração daexpansãodouniverso omeçar aoredordotempoatual, é hamado

frequentemente de problema da oin idên ia. A era da radiação é posterior a uma fase de

2.3 Modelos de energia es ura

Seaorigemdaenergiaes uranãofora onstante osmológi a,pode-sepro uraralgunsmodelos

alternativos para expli ar a a eleração ósmi a hoje. As perguntas a respeito da natureza

da matéria es ura e da energia es ura são dois problemas fundamentais da osmologia atual.

Nenhumarespostaaindafoien ontrada, enumerososmodelostentamelu idarestasperguntas.

As investigações re entes para resolver os enigmas da matéria es ura e da energia es ura, do

modelo osmológi o padrão,seguem prin ipalmenteduas direções: uma primeiraaproximação

se on entra na introdução espe í a das novas fontes no tensor momento-energia

T

µν

, sendo que uma delas deva ter uma pressão negativa no lado direito das equações de Einstein, e

onstituiassimumdesaoparaafísi adepartí ulas;enquantoaoutrainvo aumamodi ação

da geometria do espaço-tempo (o lado esquerdo das equações de Einstein), restringindo-se

sobretudo a algumasmodi ações dateoria dagravitação subja ente.

Por exemplo, um ampo es alar fundamental des revendo um uido exóti o é onsiderado,

e estudado sobre uma base fenomenológi a. A palavra exóti o provém do fato que tal uido

deve violar propriedades padrões dos uidos ( ondições de energia) de maneiraa satisfazer os

dadosobserva ionais. Osprin ipaismodelosrepresentativosqueperten em aesta lasse sãoos

amposes alares dinâmi os(quintessên ia) [3044℄, os amposes alares om termos inéti os

não anni os (modelos de

k

-essên ia) [4547℄ e nalmente os modelos de uidos [48,49℄. A quintessên ia utiliza ampos es alares om poten iais que variam lentamente, ao passo na

k

-essên ia éa energia inéti a do ampoes alar que onduz à a eleração.

Poderíamos também des rever fenomenologi amente as duas omponentes es uras através

de uma úni a equação de estado espe í a. Tais modelos são onhe idos na literatura omo

modelosdequartessêen iaouUDM.Oprotótipodosmodelosdequartessên iasãobaseadosem

um uido perfeito om uma equaçãode estadoespe í a, omoo modelo dogás de Chaplygin

[50℄ e sua generalização [48℄, que pode ser obtida a partir de uma densidade lagrangiana om

um poten ialadequado. Osmodelosde Chaplygintêm sidotestados om dadosobserva ionais

de SNeIa, lentes gravita ionais, rádio galáxias e fração de bárions [5153℄. Houve muitas

tentativas de onstruir um modelo de ampo es alar para a energia es ura, baseados nafísi a

Ri i de ordens superiores [5860℄, as teorias Es alares-Tensoriais [29,6163℄, e os modelos

braneworld[12,64℄. UmaalteraçãopossíveldoCDMédes ritoporumadensidadelagrangiana

não-linearemtermos de

R

, queé hamado Teoria

f (R)

.

As teorias Es alares-Tensoriais orrespondem a teorias em que o es alar de Ri i

R

a opla a um ampo es alar

φ

, om uma forma da a oplamento

F (φ)

× R

hamado de a oplamento não-mínimo. Ela in lui a teoria de Brans-Di ke [65℄ e a Gravidade Dilatni a [66℄ omo asos

espe í os. Há também a possibilidade de expli ar a a eleração ósmi a através de teorias

de dimensões extras: por exemplo modelos de braneworld propostos por Dvali, Gabadadze e

Porrati (DGP) [64℄.

Exemplo: gás de Chaplygin

Nesta seção, dis utimoso arquétipodos modelosde uni açõesdaenergiaes ura edamatéria

es ura. O gás de Chaplygin é um uido que pode onduzir à a eleração ósmi a no futuro e

que tem aseguinteequação de estado

p =

−

A

ρ

,

(2.85)

ondeAéuma onstantepositiva. Ogás generalizadode Chaplygintem umaequaçãodeestado

p =

₋

A

ρ

α

.

(2.86)

Usando as equações (2.86) e(2.72), resulta em

ρ

c

= ρ

c0

g(a)

1

1+α

,

g(a) = ¯

A +

(1

− ¯

A)

a

3(1+α)

,

(2.87) onde

A =

¯

A

ρ

1+α

_c0

éuma onstante. A equação de estado dogás generalizado de Chaplyginé

ω =

p

ρ

=

−

A

ρ

α+1

=

−

1

1 +

A

_A

¯

(1 + z)

3(1+α)

.

(2.88)

O gás generalizadode Chaplygin omporta-se omo a matériano passado

e omo uma onstante osmológi a nofuturo

ρ

_{≃ const , ω ≃ −1 ,}

por

a

≪



¯

A

A



_3(1+α)

1

.

(2.90)

O modelo original do gás de Chaplygin orresponde a

α = 1

. Uma onstante osmológi a orresponde a

α = 0

e

A = 1

¯

. Ogás de Chaplyginforne e uma possibilidade interessante para a uni ação da energia es ura e da matéria es ura. Lo almente o uido pode se aglomerar

enquanto, ao mesmo tempo, pode permane er omo uma omponente homogênea a grandes

es alas. Outra vantagem é que este modelo, a nível das equações de base, des reve bem a

distân ia de luminosidade observada através das supernovas tipo Ia [67,68℄. Porém, a nível

perturbativo o espe tro de potên ia das perturbações de densidade possui grandes os ilações

[69℄, quenão apare em no espe tro de potên ia de massa observado, muito embora isto ainda

Capítulo 3

Teoria das perturbações osmológi as

Apresentamos neste apítuloos prin ípiosdateoria linear das perturbações osmológi as.

Co-meçaremos om adis ussão nãorelativísti ae on luiremos omadis ussão relativísti ageral,

onde estudaremosdiversos asos no alibre newtonianoenosín rono, a partirdas fórmulasda

métri a (2.57),dotensor energia-momento(2.59), edas equações de Einstein (2.67).

3.1 Perturbações osmológi as newtonianas.

A teoria newtoniana, omo uma aproximação limite da relatividadegeral, é somente apli ável

em osmologia para es alas dentro doraio de Hubble, onde os efeitos da urvatura do

espaço-tempo são negligen iáveis. Neste ontexto, analisamossomente as perturbações da densidade

na omponentenão-relativísti a. Perturbaçõesnamatéria,emtodasases alas,exigemateoria

relativísti a ompleta. Assim, torna-se laro queaanálise newtonianaapli a-sesomente àfase

material do universo. Aqui, apresentaremos a ideia da instabilidade de Jeans, usando omo

exemplo simplesum uido não-relativísti osujeito à expansão ósmi a.

As equações gerais do uido

Para omeçarmos, onsideraremos algumas ideias fundamentais que se apli am a ambas as

teorias, newtonianae relativísti a. Seguindo areferên ia [70℄, modelamoso universo omo um

uido. Um on eito adi ionalimportanteéode observador o-móvel,quesegue aexpansãodo

um tempouniversal om

t

, onsideramosum uido om a densidade

ρ(~x, t)

e apressão

p(~x, t)

, movendo-se om a velo idade

V

~

no poten ial gravita ional

Φ(~x, t)

. Sua evolução é governada pelas equações

∂ρ

∂t

+ ~

∇.(ρ~V ) = 0 ,

(3.1)

∂ ~

V

∂t

+ (~

V .~

∇)~V +

1

ρ

∇p + ~∇Φ = 0 ,

~

(3.2)

~

∇

2

Φ

_{− 4πGρ = 0 .}

(3.3)

Asexpressões(3.1),(3.2)e(3.3)des revemasequaçõesda ontinuidade,deEulerede Poisson.

Umelementode uidotemposição

~

r(t) = a(t)~x

, om

~x

o-móvelevelo idade

V =

~

da

dt

~x =

d~

r

dt

=

H(t) ~

r(t)

onde usamos

˙~x = 0

( o-móvel). Aderivadaemrelaçãootempo,aolongodatrajetória doelementoé:

d

dt

=

∂

∂t

+

dx

i

dt

∂

∂x

i

=

∂

∂t

+ (~

V

· ~

∇) .

(3.4)

As perturbações são introduzidasda seguinte forma:

ρ(t, ~x) = ρ

(0)

(t) + δρ(t, ~x) ,

p(t, ~x) = p

(0)

(t) + δp(t, ~x) ,

~

V (t, ~x) = ~v

(0)

(t) + δ~v(t, ~x) ,

Φ(t, ~x) = Φ

(0)

+ δΦ(t, ~x) .

(3.5) om,

~v

(0)

_{= H(t)~r}

e

Φ

(0)

₌

2G ¯

ρ(t)x

2

3

,onde

δ~v(t, ~x)

éavelo idadepe uliare

δΦ(t, ~x)

éopoten ial gravita ional pe uliar das perturbações da densidade de matéria

δρ(t, ~x)

. Sendo a pressão homogênea,elanão ontribuianíveldabase. Podemoses reverasequaçõespelasperturbações

de primeira ordem omo:

∂δ

∂t

+

1

a

∇δv = 0 ,

~

(3.6)

∂δ~v

∂t

+ Hδ~v +

c

2

s

aρ

(0)

∇δ +

~

1

a

∇δΦ = 0 ,

~

(3.7)

∇

2

_δΦ

_{− 4πGa}

2

_ρ

(0)

_{δ = 0 ,}

(3.8)

onde

δ

≡ δρ/ρ

(0)

éo ontrastedadensidadee

c

s

=

δp

δρ

éavelo idadedosom. Osresultados(3.6 )-(3.8) determinam ompletamente o omportamento das perturbações da densidade. Quando

ombinados onduzem a uma equação diferen ial de segunda ordem que des reve a evolução

linear do ontraste da densidade. Em parti ular, tomando a derivada temporal de (3.6) e

usando asEqs. (3.7), (3.8), en ontramos

∂

2

_δ

∂t

2

−

c

2

s

a

2

∇

2

_{δ =}

−2H

∂δ

_∂t

+ 4πGρ

(0)

δ .

(3.9)

A ima supomos a gravidade newtoniana, a qual exige a dominação da matéria, além de uma

onstante osmológi a nula. Contanto que as es alas sejam menores que a do horizonte, a

Eq. (3.9) pode des rever as perturbaçõesda matériana presença de um fundo radiativooude

uma onstante osmológi a.

Aequação(3.9)éumaequaçãodepropagaçãodeonda omdoistermosextrasdoladodireito,

um devido àexpansão douniverso eo outrodevido à gravidade. Consequentemente, énatural

pro urar soluções de onda plana daseguinteforma:

δ =

Z

˜

δ

_{(~k )}

(t)e

i~k ·~

x

d

3

_k

(2π)

3/2

,

(3.10) onde

δ

˜

(~k )

= ˜

δ

(~k )

(t)

,

k

=

√

_k

α

k

α

é aquantidade asso iada ao número de onda o-móvele

k

α

é o vetor de onda. Com a de omposiçãode Fourier de Eq. (3.9) obtemos

d

2

_δ

˜

(k )

dt

2

=

−2H

d˜

δ

(k )

dt

+



4πGρ

(0)

−

c

2

s

k

2

a

2



˜

δ

(k )

,

(3.11)

a qual determina a evolução do modo perturbativo

k

. O primeiro termo no lado direito da Eq. (3.11) é devido à expansão e sempre suprime o res imento de

˜

δ

(k )

. O segundo reete o onito entre a força da pressão e a gravidade. Quando

4πGρ

(0)

_{≫ c}

2

s

k

/a

2

é a gravidade dominante. Por outrolado, é apressão quedominase

c

2

s

k

2

/a

2

≫ 4πGρ

(0)

. Oponto

4πGρ

(0)

₌

c

2

s

k

2

/a

2

denea es ala de omprimento

λ

J

= c

s

r

_π

Gρ

(0)

,

(3.12) onde

k =

2πa

λ

J