Computação simbólica em Maple no cálculo das variações

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Universidade de Aveiro 2006

Departamento de Matemática

Andreia Marques

Freitas Louro

Computação Simbólica em Maple

no Cálculo das Variações

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Universidade de Aveiro 2006

Departamento de Matemática

Andreia Marques

Freitas Louro

Computação Simbólica em Maple

no Cálculo das Variações

Dissertação apresentada à Universidade de Aveiro para cumprimento dos requisitos necessários à obtenção do grau de Mestre em Matemática, realizada sob a orientação científica do Prof. Doutor Delfim Fernando Marado Torres, Professor Auxiliar do Departamento de Matemática da Universidade de Aveiro.

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o j´uri

presidente Prof. Doutor Vitor Manuel Carvalho das Neves

Professor Associado da Universidade de Aveiro

vogais Prof. Doutora Margarida Maria Lopes da Silva Camarinha

Professora Auxiliar da Faculdade de Ciˆencias e Tecnologia da Universidade de Coimbra

Prof. Doutor Delfim Marado Torres

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agradecimentos Agrade¸co ao meu orientador, o Prof. Doutor Delfim Fernando Marado Torres, pela constante disponibilidade e por todo o apoio e motiva¸cão que me deu em todos os momentos da elabora¸cão desta disserta¸cão. O seu apoio cient´ıfico foi indiscut´ıvel e ser sua orientanda um enorme privilégio. Quero expressar também a minha gratidão à minha fam´ılia pela constante assistência e encorajamento que me deram ao longo de toda esta época de trabalho.

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Palavras-chave Cálculo das Varia¸cões, equa¸cão de Euler-Lagrange, Braquistócrona, Maple.

Resumo Ao longo desta disserta¸c˜ao vamos explorar o sistema de computa¸c˜ao

algébrica Maple 9.5, com a finalidade de identificar e ilustrar as suas potencialidades e fraquezas na área do Cálculo das Varia¸cões: uma aréa clássica da Matemática que estuda os métodos que permitem encontrar valores máximos e min´ımos de funcionais do tipo integral. Come¸camos por formular o problema elementar do Cálculo das Varia¸cões e por apre-sentar a resolu¸cão de diversos problemas solucionados pela aplica¸cão das condi¸cões necessárias de Euler-Lagrange. Parte dos problemas variacionais são normalmente resolvidos por recurso a estas condi¸cões, que são, em geral, equa¸cões diferenciais de segunda ordem, não lineares e de dif´ıcil resolu¸cão. De seguida, determinamos a funcional integral para o problema clássico da Braquistócrona e, depois de apresentarmos a formula¸cão matemática para o mesmo, mostramos como o podemos resolver sob o ponto de vista da teoria do Cáculo das Varia¸cões e do Maple. A extremal para o problema da Braquistócrona será apresentada na forma paramétrica e será calcu-lado o tempo de descida min´ımo para a curva encontrada. Finalmente, reformulamos o problema clássico da Braquistócrona restringindo a classe das fun¸cões admiss´ıveis e verificamos que, apesar do problema ter cerca de trezentos anos, existem questões sobre a Braquistócrona para as quais parece, ainda, não haver resposta.

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Keywords Calculus of Variations, Euler-Lagrange equation, Brachistochrone, Maple.

Abstract Along this dissertation we are going to explore the computer algebra system Maple 9.5, with the purpose of identify and illustrate its potentialities and weaknesses in the area of the Calculus of Variations: a classical mathe-matical area which studies the methods to get the maximum and minimum values of integral functionals. We start by formulate the elementary pro-blem of Calculus of Variations and by presenting the resolutions of some problems solved using the Euler-Lagrange necessary conditions. Most part of variational problems are usually solved with the help of this conditions, which are, in general, second order differential equations, nonlinear and hard to solve. After we determinate the integral functional for the classical Brachistochrone problem and, after we present its mathematical formula-tion, we show how we can solve it by the point of view of the Calculus of Variations and using Maple. The extremal for Brachistochrone problem will be presented in the parametric form and the minimum time of descent for such curve will be calculated. Finally, we reformulate the Brachistochrone classical problem by restricting the class of admissible curves noticing that, although the problem is three hundred years old, there are questions about Brachistochrone for which answers seems to be unknown.

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(11)

Conte´

udo

Introdu¸c˜ao 1

1 C´alculo das Varia¸c˜oes 5

1.1 Introdu¸c˜ao . . . 5

1.2 Problema Elementar do C´alculo das Varia¸c˜oes . . . 7

1.3 Equa¸c˜ao de Euler-Lagrange . . . 7

1.3.1 Alguns Casos de Integrabilidade da Equa¸c˜ao de Euler-Lagrange . . . . 10

1.4 Problema Isoperim´etrico . . . 22

1.5 Algumas extens˜oes do problema elementar . . . 25

1.5.1 Problema do cálculo das varia¸cões com duas variáveis dependentes . . 25

1.5.2 Problema do cálculo das varia¸cões com derivadas de ordem superior . 26 1.6 Conclusão . . . 31

2 O Problema da Braquist´ocrona 33 2.1 Introdu¸c˜ao . . . 33

2.2 Formula¸c˜ao do problema . . . 34

2.3 A Cicl´oide . . . 36

2.4 Solu¸cão da equa¸cão de Euler-Lagrange no caso da Braquistócrona . . . 38

2.4.1 Exemplos . . . 44

2.5 Conclus˜ao . . . 50

3 Variante do Problema da Braquist´ocrona 53 3.1 Introdu¸c˜ao . . . 53

3.2 Reformula¸c˜ao do problema da Braquist´ocrona . . . 54

3.3 Quest˜ao . . . 55

3.3.1 Interpola¸c˜ao racional de Thiele . . . 57

3.3.2 Exemplo . . . 58

3.4 Integra¸c˜ao da equa¸c˜ao de Euler-Lagrange . . . 60

(12)

Conclus˜ao 65

Apˆendices 69

A Fun¸c˜ao criada em Maple 69

B C´aculos Auxiliares 71

B.0.1 Polin´omio de Taylor . . . 71 B.0.2 C´alculos auxiliares relativos ao exemplo em §3.3.2 . . . 71

Bibliografia 75

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Introdu¸

c˜

ao

Os tempos actuais são tempos de profunda transforma¸cão tecnológica originada pela rápida evolu¸cão e difusão de novas tecnologias, em particular as associadas aos computa-dores e às comunica¸cões. Estas tecnologias estão a alterar significativamente não apenas os processos de produ¸cão de bens materiais mas também os processos de difusão das ideias e, consequentemente, os modos de viver em sociedade. São novas profissões que surgem, são novas áreas de conhecimento, novos materiais, instrumentos e formas de organiza¸cão do tra-balho que se afirmam. As aplica¸cões da tecnologia computacional incluem áreas tão diversas como a investiga¸cão cient´ıfica, a gestão das grandes empresas, o controlo dos processos de produ¸cão industrial, e o seu uso como meio de diversão ou como auxiliar da aprendizagem. Em todas as áreas que tem influenciado, a Informática sugeriu novos métodos de trabalho e ajudou à formula¸cão e resolu¸cão de novos problemas.

Nestes últimos anos temos visto o ”crescer”de uma matemática experimental, nomeada-mente, da utiliza¸cão de modernas tecnologias computacionais como ferramentas activas na investiga¸cão matemática: a ideia de que ”os verdadeiros matemáticos não recorrem a tecnolo-gias”come¸ca a estar ultrapassada.

Claramente um dos principais factores para tal crescimento ´e o desenvolvimento, cont´ınuo, de poderosos softwares matem´aticos.

As ferramentas computacionais têm sido usadas para encontrar resultados de exemplos es-pec´ıficos, gerar gráficos, efectuar cálculos e várias manipula¸cões algébricas, testar conjecturas e explorar caminhos que levem a efectuar demonstra¸cões formais [2].

Os recursos gráficos, numéricos e algébricos, aliados ao conhecimento dos conceitos en-volvidos e dos pré-requisitos, proporcionam um conjunto de ferramentas para a formula¸cão e testagem de conjecturas. Utilizar as ferramentas computacionais para testar conjecturas é um ”poupar tempo”para quem faz matemática uma vez que permite, rapidamente, pôr de parte ideias falsas. À medida que o computador simplifica os procedimentos algébricos e favorece a visualiza¸cão gráfica, permite-nos ir mais longe, questionando e explorando para além do que já foi constru´ıdo e apreendido.

O aparecimento de novos conceitos matemáticos e o encarar duma forma nova conceitos tradicionais poderão ser estimulados pela generaliza¸cão das técnicas de cálculo,

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processa-mento, armazenamento e escrita de informa¸cão pelos computadores. De facto, a tecnologia computacional tornou poss´ıvel o estudo de questões que seriam totalmente inabordáveis ape-nas por processos tradicionais, estimulou nova investiga¸cão, e voltou a dar importância a questões já anteriormente estudadas mas entretanto negligenciadas. O computador tem, a-ssim, todas as condi¸cões para exercer uma influência decisiva na evolu¸cão da Matemática como disciplina cient´ıfica, proporcionando o desenvolvimento de certas áreas de investiga¸cão e conduzindo ao apagamento relativo de outras [20].

Sendo útil para o trabalho de investiga¸cão matemática é também útil ao aluno que quer aprender matemática. Contrariamente a uma imagem ainda prevalecente, a introdu¸cão de novas tecnologias no processo de ensino/aprendizagem não tem que se traduzir necessaria-mente num ensino cem por cento computorizado. Pelo contrário, usado como ferramenta de trabalho ou como elemento de apoio à aprendizagem, ele poderá constituir mais um re-curso propiciador de novas experiências e actividades, traduzindo-se num ensino mais rico e estimulante. A tecnologia computacional pode ajudar os educadores a captar a aten¸cão dos alunos e a melhorar substancialmente o processo de aprendizagem pois: (i) acrescenta outra dimensão - visualiza¸cão - na apresenta¸cão de conceitos matemáticos; (ii) oferece aos alunos uma maior flexibilidade para explorar e descobrir ideias próprias; (iii) torna acess´ıveis tópicos mais avan¸cados.

Actualmente existem muitas aplica¸c˜oes e softwares matem´aticos que a tecnologia com-putacional torna acess´ıvel para todos os n´ıveis.

Um destes softwares é o Maple, que tem vindo a ser desenvolvido no Canadá desde 1981 pela Waterloo Maple Inc. e do qual existem, actualmente, várias versões.

O Maple faz parte de uma fam´ılia de ambientes computacionais apelidados de Sistemas de Computa¸cão Algébrica. A computa¸cão algébrica, também chamada de computa¸cão simbólica, é uma área de investiga¸cão moderna, que surgiu na segunda metade do século XX. O Maple é uma ferramenta matemática muito poderosa que permite realizar uma mir´ıade de cálculos simbólicos. Inclui um enorme número de comandos, dispon´ıveis em vários packages (para consultar a lista dos packages existentes, executamos o comando >?package), os quais nos permitem trabalhar em áreas como: Cálculo, Cálculo das Varia¸cões, Álgebra Linear, Equa¸cões Diferenciais, Geometria, Lógica, Estat´ıstica, entre outras. Inclui também a sua própria lin-guagem de programa¸cão cuja sintaxe é semelhante à do Fortran, Pascal e C e permite, ao utilizador, definir os seus próprios procedimentos.

Ao longo desta disserta¸cão iremos dedicar a nossa aten¸cão a alguns princ´ıpios do cálculo variacional, apresentando alguns problemas que resolveremos pelos métodos variacionais em conjunto com o Maple 9.5.

O Cálculo das Varia¸cões é uma área clássica da Matemática cujo objectivo é solucionar problemas de optimalidade em espa¸cos de fun¸cões, descrevendo as propriedades essenciais de tais solu¸cões. Esta área nasceu no século dezassete; desenvolveu-se nos séculos dezoito

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e dezanove; atingiu maturidade no século vinte; e cont´ınua extremamente activa em pleno século vinte e um. Desde o seu in´ıcio o cálculo das varia¸cões tem sido aplicado a uma mir´ıade de problemas f´ısicos, matemáticos, económicos e sociais.

Desde a Antiguidade que o Homem se tem preocupado com a determina¸cão de máximos e m´ınimos (em geral, com as solu¸cões óptimas em certo sentido) para um variedade de problemas de natureza geométrica ou f´ısica; mas só com os métodos da Análise Matemática desenvolvidos nos séculos XVII e XVIII se puderam atacar tais problemas de forma sistemática [1].

Do ponto de vista da matemática moderna, o cálculo das varia¸cões é parte da Análise Funcional e tem nela o mesmo papel que a teoria de máximos e m´ınimos de fun¸cões tem no cálculo elementar [23]. A diferen¸ca entre os cálculos diferencial e variacional é o dom´ınio dos respectivos objectos a serem maximizados ou minimizados. Enquanto o cálculo diferencial procura números com propriedades optimizadoras, o cálculo variacional procura fun¸cões com propriedades optimizadoras.

Na sua essência o objectivo do cálculo das varia¸cões é encontrar um caminho, uma curva ou uma superf´ıcie, para os quais uma determinada funcional tem um valor m´ınimo ou máximo. Os exemplos que se seguem são casos particulares do problema elementar do cálculo das varia¸cões: 1

Qual ´e a curva que liga dois pontos no plano, de comprimento m´ınimo?

Problema da Braquistócrona: Sendo A e B dois pontos num plano vertical, qual o caminho AM B que a part´ıcula móvel M atravessa em tempo m´ınimo, assumindo que a sua acelera¸cão ´

e apenas devida `a gravidade?2

Qual é a superf´ıcie de revolu¸cão de área m´ınima que passa por dois pontos fixos,(xa, ya)

e (xb, yb)?

No cálculo das varia¸cões minimizamos/maximizamos funcionais do tipo integral. As fun¸cões integrandas dependem de fun¸cões desconhecidas e suas derivadas. Como exemplo, a funcional associada ao problema elementar tem a forma

J[y(·)] = Z b

a

L(x, y(x), y0(x))dx.

Normalmente os problemas do cálculo das varia¸cões são resolvidos recorrendo à condi¸cão necessária de Euler-Lagrange (condi¸cão de optimalidade, primeiramente obtida por Euler e, mais tarde, novamente demonstrada por Lagrange, de modo mais rigoroso).

De um modo geral, a equa¸cão diferencial de Euler-Lagrange é uma equa¸cão não-linear, de segunda ordem (ou de ordem superior, quando os problemas variacionais envolvem derivadas

1

cf. §1.2, p´agina 7.

(16)

de ordem superior a um), de dif´ıcil resolu¸cão anal´ıtica. Uma forma de as simplificar consiste em obter os primeiros integrais das referidas equa¸cões, isto é, fun¸cões que são constantes ao longo de todas as solu¸cões da equa¸cão (no caso do problema da Braquistócrona, estudado no Cap´ıtulo 2, recorremos ao ”integral de energia”).

O sistema de computa¸cão algébrica Maple revelar-se-á muito útil não só na determina¸cão das equa¸cões de Euler-Lagrange mas também na resolu¸cão das mesmas.

No caso do problema da Braquistócrona, não é poss´ıvel obter uma solu¸cão expl´ıcita satis-fatória da equa¸cão de Euler-Lagrange. A extremal (solu¸cão da equa¸cão de Euler-Lagrange) para o problema da Braquistócrona, formulado matematicamente para dois pontos quaisquer A(x0, y0) e B(x1, y1) do plano vertical, será determinada na forma paramétrica.

A solu¸cão deste problema mostrou que tal curva é um arco de ciclóide, e não, como muitos pensavam, um segmento de recta.

O problema da Braquistócrona foi enunciado por Johann Bernoulli em 1696 e é conside-rado o embrião do Cálculo Variacional. Para além do problema clássico, muitas variantes do mesmo têm sido colocadas e resolvidas ao longo dos tempos.

Pretende-se com esta disserta¸cão, explorar o sistema de computa¸cão algébrica Maple 9.5, identificando e ilustrando as suas potencialidades e fraquezas na área do Cálculo das Varia¸cões.

De notar que, ao usar uma versão anterior ou posterior à versão 9.5 do Maple, os resulta-dos obtiresulta-dos podem não aparecer de forma idêntica à aqui apresentada: alguns comanresulta-dos do Maple 9.5não estão dispon´ıveis em versões anteriores; em versões posteriores alguns coman-dos poderão ser alteracoman-dos e serão certamente acrescentacoman-dos comancoman-dos novos.

No primeiro cap´ıtulo apresentamos alguns conceitos básicos da teoria do Cálculo Varia-cional. Formulamos o problema elementar do cálculo das varia¸cões e dedicamos o nosso estudo essencialmente às condi¸cões necessárias de Euler-Lagrange, mostrando como o sistema de computa¸cão algébrica Maple pode ser muito útil na abordagem destas questões.

O segundo cap´ıtulo será dedicado ao problema clássico da Braquistócrona. Formulamos o problema para um caso geral e come¸camos por determinar a funcional integral para o caso da braquistócrona. Depois de apresentarmos a formula¸cão matemática clássica do problema, resolvemo-lo usando a teoria do cálculo das varia¸cões em conjunto com o Maple. Exploramos ainda dois problemas concretos cujas solu¸cões serão eficazmente obtidas recorrendo a este sistema de computa¸cão algébrica.

Finalmente, no terceiro cap´ıtulo, reformulamos o problema clássico da Braquistócrona restringindo a classe das fun¸cões admiss´ıveis. Focaremos o nosso estudo essencialmente em dois sub problemas gerados por essa restri¸cão.

(17)

Cap´ıtulo 1

C´

alculo das Varia¸

c˜

oes

1.1 Introdu¸

c˜

ao

O Cálculo das Varia¸cões é uma área clássica da Matemática que estuda os métodos que nos permitem encontrar os valores máximos e m´ınimos de funcionais.

O Cálculo das Varia¸cões ”nasce”por volta de 1696 com o problema da Braquistócrona. A partir da´ı, vários resultados foram encontrados por alguns dos maiores matemáticos dos ´

ultimos 300 anos, como por exemplo: Euler, Lagrange, Legendre, Bolza, Hamilton, Bliss, Weierstrass e Jacobi. O seu estudo foi muito importante não só para a Matemática, mas também para outras áreas, como por exemplo, F´ısica, Engenharia, Biologia e Economia. A variedade e diversidade das aplica¸cões práticas desta teoria é surpreendente.

Alguns matemáticos preferem as datas 1728 ou 1744 para o nascimento da teoria do cálculo das varia¸cões em vez de 1697 (data em que foi publicada a solu¸cão para o problema de Braquistócrona). Em 1728, Leonard Euler (1707-1783) tinha já escrito Acerca de encontrar equa¸cões para curvas geodésicas e em 1744 publicou o seu livro de referência Método para descobrir linhas curvas que gozam da propriedade de máximo e m´ınimo, ou a solu¸cão do problema isoperimétrico tomada no sentido mais amplo poss´ıvel [23].

Euler desenvolveu um método para resolver problemas espec´ıficos e sistematizou-o num instrumento poderoso. Com este novo método ele foi capaz de estudar uma classe bas-tante generalizada de problemas. Na sua publica¸cão de 1744, mostrou a primeira condi¸cão necessária para m´ınimo, a agora chamada condi¸cão necessária de Euler-Lagrange.1

Apesar de ser verdade que pouco tempo depois a técnica de Euler foi superada pela de Lagrange, naquela época tudo isto era matemática completamente inovadora. Em 1755, Jean Louis Lagrange (1736-1813) enviou a Euler uma carta que mostrava como ele podia eliminar os métodos geométricos enfadonhos do seu processo. Depois de considerar o método de La-grange, Euler converteu-se instantaneamente, abandonou os seus antigos métodos geométricos

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e baptizou toda esta teoria pelo nome que agora utilizamos, o Cálculo das Varia¸cões, em honra ao método variacional de Lagrange.

Em 1786, Adrien Marie Legendre (1752-1833) apresentou uma disserta¸cão à Academia de Paris intitulada Sobre o método de distinguir máximos de m´ınimos no cálculo das varia¸cões. Legendre considerou o problema de determinar se uma extremal é um arco minimizante ou maximizante. Analisou a segunda varia¸cão de uma funcional, motivado pelo Teorema de Tay-lor. Legendre foi capaz de mostrar a condi¸cão necessária de segunda ordem _∂y∂2L02 ≥ 0 ao longo da curva minimizante e ∂_∂y2L02 ≤ 0 ao longo da curva maximizante; o que é surpreendentemente semelhante ao que conhecemos do cálculo elementar para o teste da segunda derivada.

Só passados cinquenta anos desde a descoberta inicial de Legendre, relativa à condi¸cão necessária da segunda varia¸cão, é que outro matemático se debru¸cou na tarefa de desenvolver esta teoria na direçcão das condi¸cões suficientes.

No in´ıcio dos anos 1870, Karl Weierstrass (1815-1897) deu à teoria do cálculo das varia¸cões uma revisão completa. Levou bastante tempo até estes resultados se tornarem amplamente conhecidos pelo resto da comunidade matemática.

Com o cálculo das varia¸cões numa posi¸cão estável e firme, ajudado pelo trabalho rigoroso da escola de Weierstrass, tudo estava preparado para a teoria se desenvolver ainda mais no decorrer do século vinte. Com base no trabalho realizado por Weierstrass, Oskar Bolza (1875-1942) e Gilbert Bliss (1876-1951) deram ao cálculo das varia¸cões uma estrutura matemática rigorosa.

Em pleno século vinte e um, o cálculo das varia¸cões continua extremamente activo.

Neste cap´ıtulo vamos trabalhar com o package VariationCalculus do Maple 9.5. Este package proporciona um conjunto de fun¸cões para a resolu¸cão de problemas do Cálculo das Varia¸cões.

Tendo em conta que a resolu¸cão dos problemas variacionais passa quase obrigatoriamente pela resolu¸cão das equa¸cões diferenciais de Euler-Lagrange, o nosso estudo ao longo deste cap´ıtulo será dedicado à fun¸cão EulerLagrange, do Maple, dispon´ıvel no referido package.

Serão estudados vários problemas por aplica¸cão da condi¸cão necessária de optimalidade de Euler-Lagrange, sendo sempre feita uma análise recorrendo ao sistema de computa¸cão algébrica Maple.

Come¸caremos por em §1.2 formular o problema elementar do cálculo das varia¸cões. Em §1.3 apresentaremos a equa¸cão de Euler-Lagrange que fornece uma condi¸cão necessária de optimalidade de uma dada funcional [24], [15].

(19)

Euler-Lagrange.

Em §1.4 faremos uma pequena abordagem sobre o problema isoperimétrico uma vez que o método utilizado para resolver este tipo de problemas será útil para melhor compreender a resolu¸cão apresentada para o problema considerado no exemplo 1.5.2, na seçcão §1.5.2.

Em §1.5.1 e §1.5.2 abordaremos duas extensões do problema elementar do cálculo das varia¸cões. Apresentaremos dois exemplos: um que envolve uma funcional que depende de duas fun¸cões; outro que envolve uma funcional que depende de derivadas de ordem dois.

1.2 Problema Elementar do C´

alculo das Varia¸

c˜

oes

O problema elementar do cálculo das varia¸cões consiste na determina¸cão de um extremante - um minimizante ou um maximizante - para uma funcional integral que depende da escolha de uma fun¸cão pertencente a uma determinada classe de fun¸cões, em particular fun¸cões cujos valores nos extremos de um dado intervalo real fechado são fixos.

Problema 1.2.1. Sejam a, b, a < b, A, B n´_{umeros reais e L : [a, b] × R × R −→ R uma fun¸c˜ao} cont´ınua. Considera-se o problema seguinte

J[x(·)] = Z b

a

L t, x(t), x0_(t)_{dt → min,} _{x(a) = A,} _{x(b) = B,} _(1.2.1)

onde o m´ınimo se procura no conjunto das fun¸cões duas vezes continuamente diferenciáveis no intervalo [a, b]: C2([a, b]). A este problema dá-se o nome de Problema Elementar do Cálculo das Varia¸cões.

Defini¸cão 1.2.2. À fun¸cão L chamamos Lagrangeano do problema elementar do cálculo das varia¸cões.

Defini¸cão 1.2.3. Diz-se que a fun¸cão ˜_{x(·) ∈ C}2_{([a, b]) dá um m´ınimo fraco local à funcional}

J (1.2.1) se existe > 0 tal que J[˜_{x(·)] ≤ J[x(·)] sempre que x(·) ∈ C}2([a, b]), x(a) = A, x(b) = B e max_t∈[a,b]_{|x(t) − ˜x(t)| + max}_t∈[a,b]_|x0_{(t) − ˜x}0_{| < .}

1.3 Equa¸

c˜

ao de Euler-Lagrange

O teorema que se segue dá uma condi¸cão necessária de m´ınimo fraco local.

Teorema 1.3.1. Seja_{x(·) ∈ C}2_{([a, b]) tal que J[x(·)] =}R_abL(t, x(t), x0_{(t))dt ´e m´ınimo. Ent˜}_ao

x(·) verifica a equa¸c˜ao de Euler-Lagrange: ∂L ∂x(t, x(t), x0(t)) − d dt ∂L ∂x0(t, x(t), x0(t)) = 0 (1.3.1)

(20)

Demonstra¸c˜ao. Vide e.g. [24, pp. 64-65].

Defini¸cão 1.3.2. Às solu¸cões das equa¸cões de Euler-Lagrange (1.3.1) dá-se o nome de ex-tremais.

Desenvolvendo a derivada total da equa¸c˜ao de Euler-Lagrange obtemos,

∂L ∂x − ∂2L ∂t∂x0 − ∂2L ∂x∂x0x0− ∂2L ∂x0_∂x0x00= 0.

A equa¸cão de Euler-Lagrange é, em geral, uma equa¸cão diferencial de segunda ordem, não linear e de dif´ıcil resolu¸cão.

Se a equa¸cão de Euler-Lagrange for uma equa¸cão diferencial de segunda ordem, a solu¸cão geral da equa¸cão x(t, c1, c2) contém duas constantes arbitrárias que são determinadas

uti-lizando as condi¸c˜oes de fronteira: x(a) = A e x(b) = B. O problema ∂L ∂x − d dt ∂L ∂x0 = 0, x(a) = A, x(b) = B

nem sempre tem solu¸cão (nesse caso conclu´ımos que (1.2.1) não tem solu¸cão) e, se a solu¸cão existe, pode não ser única (vários candidatos a minimizante).

Exemplo 1.3.3. Encontrar a extremal de Euler-Lagrange ˜_{x(·) associada `a funcional} J[x(.)] =

Z 0

−1(12tx(t) − (x

0_(t))2_)dt

quando sujeita `as condi¸c˜oes de fronteira

x(−1) = 1 e x(0) = 0. (1.3.2)

Neste caso L(t, x, x0_{) = 12tx − (x}0₎2 _{e a equa¸c˜ao de Euler-Lagrange toma a forma:}

12t − _dtd (−2x0_{(t)) = 0 ⇔ 12t + 2x}00_{(t) = 0}

´

E muito fácil resolver a equa¸cão diferencial anterior que, sujeita às condi¸cões (1.3.2), nos conduz à extremal

˜

x(t) = −t3

De notar que a fun¸cão ˜_{x(·) encontrada é apenas uma extremal, isto é, um candidato a} mini-mizante ou maximini-mizante. É para esta extremal que a funcional em apre¸co poderá, eventual-mente, assumir um extremo.

Como já foi referido, o package VariationalCalculus do Maple 9.5 proporciona um conjunto de comandos para a resolu¸cão de problemas do Cálculo das Varia¸cões. Para utilizar este package temos de o ”carregar”, executando o seguinte comando:

(21)

>with(VariationalCalculus):

Neste package temos dispon´ıvel a fun¸c˜ao,

EulerLagrange(L,t,x(t))

que devolve um conjunto com as equa¸cões de Euler-Lagrange para uma funcional do tipo (1.2.1). L representa o Lagrangeano, t a variável independente e x(t) uma fun¸cão desconhecida ou uma lista de fun¸cões. Esta fun¸cão do Maple permite lidar com funcionais com mais de uma variável dependente.

Os comandos

dsolve({ODE,ICs},x(t))

e

dsolve({sysODE,ICs},{funcs})

permitem resolver equa¸cões diferenciais e sistemas de equa¸cões diferenciais, respectivamente. ODE e sysODE representam a equa¸cão diferencial ordinária e o conjunto com um sistema de equa¸cões diferenciais ordinárias, respectivamente; ICs representa as condi¸cões iniciais; x(t) e funcs representam a fun¸cão (de uma variável) a determinar e o conjunto de fun¸cões a determinar, respectivamente.

O comando diff(a,x1, x2, ..., xn)devolve a derivada parcial da express˜ao a em ordem a

x1, x2,...,xn, respectivamente.

Segue então uma análise do problema apresentado no exemplo 1.3.3, feita no sistema de computa¸cão algébrica Maple. Come¸camos por carregar o package em memória e por definir o Lagrangeano L. >with(VariationalCalculus): >L:=(12*t*x(t)-diff(x(t),t)^2); L := 12 tx (t) − d dtx (t) 2

As respectivas equa¸cões de Euler-Lagrange são facilmente obtidas por intermédio do Maple: Utilizando o comando EulerLagrange obtemos um conjunto que contém a equa¸cão de Euler-Lagrange

(22)

eqEL := 12 t + 2 d 2 dt2x (t)

De notar que, por defeito, quando o segundo membro da equa¸cão é 0, o Maple devolve a equa¸cão sob a forma de expressão.

As extremais são obtidas resolvendo esta equa¸cão diferencial com as condi¸cões iniciais dadas. Recorremos ao comando Maple dsolve:

>dsolve({op(eqEL),x(-1)=1,x(0)=0},x(t));

x (t) = −t3

O comando op foi utilizado para extrair o elemento do conjunto eqEL.

1.3.1 Alguns Casos de Integrabilidade da Equa¸cão de Euler-Lagrange Em alguns casos particulares a equa¸cão de Euler-Lagrange admite integrais, isto é, fun¸cões Φ(t, x(t), x0_{(t)) que são constantes ao longo de todas as solu¸cões x(t), t ∈ [a, b], da equa¸cão}

de Euler-Lagrange. Isto dá a possibilidade de procurar a solu¸cão da equa¸cão diferencial Φ(t, x(t), x0_{(t)) = const, permitindo, desta forma, reduzir a ordem da equa¸cão e assim}

sim-plificar o problema.

Tal como Krasnov, [12], consideramos os seguintes cinco casos:

1o

Caso: A fun¸cão L não depende de x0_{(t), isto é, L = L(t, x(t)). Então a equa¸cão de}

Euler-Lagrange (1.3.1) reduz-se neste caso a: ∂L

∂x(t, x(t)) = 0.

Como esta equa¸cão não depende de constantes indeterminadas, será compat´ıvel com as condi¸cões de fronteira x(a) = A e x(b) = B, apenas em casos excepcionais.

Recorrendo ao sistema de computa¸cão algébrica Maple, ao aplicarmos a fun¸cão EulerLagrange ao Lagrangeano L(t, x(t)), obtemos a equa¸cão anterior.

>EulerLagrange(L(t,x(t)),t,x(t));

{D2(L) (t, x (t))}

Em Maple, o operador D representa o operador diferencial. Por intermédio do comando D(L)obtemos a derivada da fun¸cão L. Se L for uma fun¸cão de n argumentos, D[i](L) devolve a derivada parcial de L em ordem ao i-ésimo argumento. Então, D2(L) (t, x (t)) representa a

(23)

Exemplo 1.3.4. Determinar as extremais da funcional

J[x(t)] = Z 3

1 (3t − x(t))x(t)dt

sujeitas `as condi¸c˜oes de fronteira x(1) = 1 e x(3) = 9.

Recorrendo ao sistema de computa¸c˜ao alg´ebrica Maple:

>g:=(3*t-x(t))*x(t);

g := (3 t − x (t)) x (t) >eqEL:=EulerLagrange(g,t,x(t));

eqEL := {−2 x (t) + 3 t}

Como esta equa¸cão não é diferencial, vamos resolvê-la usando o comando solve.

>sol:=solve({op(eqEL)}, {x(t)}); sol := x (t) = 3 2t >subs(t=1,sol); x (1) = 3 2

A extremal x(t) = 3₂t não satisfaz a condi¸cão de fronteira x(1) = 1, logo este problema variacional não tem solu¸cão.

2o

Caso: A fun¸cão L é linear em rela¸cão a x0_{(t), isto é, L(t, x(t), x}0_{(t)) = M (t, x(t)) +}

N (t, x(t))x0_{(t). A equa¸cão de Euler-Lagrange será então da forma}

∂L ∂x − d dt ∂L ∂x0 = 0 ⇔∂M_∂x +∂N ∂xx 0₋ d dt(N ) = 0 ⇔∂M_∂x (t, x(t)) −∂N_∂t (t, x(t)) = 0, (1.3.3)

isto é, uma equa¸cão não diferencial que fornece, como no caso precedente, uma rela¸cão que só excepcionalmente satisfará as condi¸cões de fronteira.

Atrav´es do Maple:

(24)

L := M (t, x (t)) + N (t, x (t)) d dtx (t) >eqEL:=EulerLagrange(L,t,x(t));

eqEL := {D2(M ) (t, x (t)) − D1(N ) (t, x (t))} .

A equa¸cão devolvida pelo Maple é equivalente à equa¸cão (1.3.3). Se a tentarmos resolver através do comando dsolve (resolve equa¸cões diferenciais ordinárias) é-nos devolvida uma mensagem de erro uma vez que se trata de uma equa¸cão não diferencial.

>dsolve(eqEL,x(t));

Error, (inODEtools/inf o)N otanODEw.r.t.x(t)

Como vimos no Exemplo 1.3.4, devemos recorrer n˜ao ao comando dsolve doMaple mas sim ao comando solve.

Exemplo 1.3.5. Determinar, para a funcional

J[x(t)] = Z 1

0

(ex(t)+ tx0(t))dt,

as extremais sujeitas `as condi¸c˜oes de fronteira x(0) = 0 e x(1) = α, α > 0.

O Lagrangeano ´e da forma M (t, x(t)) + N (t, x(t))x0_{(t), com M (t, x) = e}x _{e N (t, x) = t.}

Sendo ∂M_∂x = ex e ∂N_∂t = 1, ent˜ao a equa¸c˜ao de Euler-Lagrange reduz-se, neste caso, a

ex(t)_{− 1 = 0} Recorrendo ao Maple, >eqEL:=EulerLagrange(exp(x(t))+t*diff(x(t),t),t,x(t)); eqEL :=nex(t)_{− 1}o >solve(eqEL,x(t)); {x (t) = 0}

A extremal x(t) = 0 não satisfaz a condi¸cão de fronteira x(1) = α (α 6= 0), logo este problema variacional não tem solu¸cão.

(25)

3o

Caso: A fun¸cão L não depende explicitamente de x(t), isto é, L = L(t, x0_{(t)). Então} ∂L

∂x(t, x0(t)) = 0 e a equa¸c˜ao de Euler-Lagrange tem a forma

d dt ∂L ∂x0(t, x0(t)) = 0 (1.3.4)

pelo que admite o integral de momento ∂L

∂x0 t, x0(t)

= const (1.3.5)

Ao aplicar o comando EulerLagrange a uma fun¸c˜ao L(t, x0_{(t)) verificamos que o Maple}

devolve a equa¸cão de Euler-Lagrange e o integral de momento, descritos acima. De notar que, nas equa¸cões dos integrais de momento e dos integrais de energia (este últimos serão abordados no quarto caso, página 17), as variáveis, Ki, devolvidas representam constantes de

integra¸cão arbitrárias. >EulerLagrange(L(t,diff(x(t),t)),t,x(t)); − (D1,2) (L) t, d dtx (t) − (D2,2) (L) t, d dtx (t) d2 dt2x (t) , D2(L) t, d dtx (t) = K1 Na nossa nota¸cão, (D1,2) (L) t, d dtx (t) + (D2,2) (L) t, d dtx (t) d2 dt2x (t) = 0

´e equivalente a escrevermos ∂2L ∂t∂x0(t, x

0_{(t)) +} ∂2L

∂x02(t, x

0_(t))x00_{(t) = 0}

que ´e a forma desenvolvida da equa¸c˜ao (1.3.4).

D2(L) t,_dtdx (t)= K1 ´e o integral de momento (1.3.5).

J[x(t)] = Z 2

1

x0_{(t)(1 + t}2_x0_(t))dt

sujeitas `as condi¸c˜oes x(1) = 3 e x(2) = 5.

O comando EulerLagrange devolve um conjunto, neste caso, com dois elementos. Tendo em conta que num conjunto não importa a ordem de ocorrência dos elementos, não devemos assumir que os conjuntos devolvidos pelo Maple obede¸cam ou mantenham determinada ordem. De maneira a identificarmos de imediato a ordem dos elementos devolvidos podemos, através do comando convert, obter uma lista - uma sequência ordenada de elementos entre parênteses rectos:

(26)

>eqEL:=convert(EulerLagrange(diff(x(t),t)*(1+t^2*diff(x(t),t)),t,x(t)),list); eqEL := −4 t d dtx (t) − 2 t 2d2 dt2x (t) , 1 + 2 t 2 d dtx (t) = K1

O Maple devolveu uma lista. O primeiro elemento da lista é a equa¸cão de Euler-Lagrange abaixo designada por eqEL[1]; o segundo elemento é o integral de momento, abaixo designa-do por eqEL[2]. Aplicandesigna-do o comandesigna-do dsolve à equa¸cão de Euler-Lagrange encontramos facilmente a extremal.

>dsolve({eqEL[1],x(1)=3,x(2)=5},x(t));

x (t) = 7 − 41 t

Aplicando o comando dsolve ao integral de momento, nada ´e devolvido.

>dsolve({eqEL[2],x(1)=3,x(2)=5},x(t));

O Maple fica provavelmente ”baralhado”a avaliar e a determinar as constantes. Em vez de introduzir as condi¸c˜oes iniciais no comando dsolve, vamos avali´a-las mais tarde.

>sol:=dsolve(eqEL[2],x(t));

sol := x (t) = −−

1

2+ 12K1

t + C1

Substituindo os valores de t e x(t), respeitantes às condi¸cões iniciais, na solu¸cão geral, sol, obtemos duas equa¸cões com duas incógnitas.

>sol1:=subs({x(t)=3,t=1},sol); sol1 := 3 = 1 2 − 1 2K1+ C1 >sol2:=subs({x(t)=5,t=2},sol); sol2 := 5 = 1 4 − 1 4K1+ C1

Resolvemos o sistema de equa¸c˜oes por interm´edio do comando solve.

>const:=solve({sol1,sol2},{K[1],_C1});

const := { C1 = 7, K1 = 9}

Finalmente, substituimos o valor das constantes na solu¸c˜ao geral, sol, e obtemos a extremal pretendida.

(27)

>subs({op(const)},sol);

x (t) = 7 − 41_t

Notamos que se derivarmos em ordem a t o integral de momento obtemos a equa¸c˜ao de Euler-Lagrange. Para vermos isto com o Maple utilizamos o comando diff

>diff(eqEL[2],t);

4 td

dtx (t) + 2 t

2 d2

dt2x (t) = 0

Podemos dizer que do ponto de vista matemático a dificuldade de determinar as extremais por intermédio da equa¸cão de Euler-Lagrange ou do integral é a mesma, mas do ponto de vista do Maple não: embora equivalentes, o Maple não resolve da mesma forma a equa¸cão de Euler-Lagrange e o integral de momento. Embora o processo utilizando o integral de momento envolva mais cálculos, obtivemos, como esperado, a mesma solu¸cão.

J[x(t)] = Z 2 1 r 1 + x0_(t)2 t dt

>eqEL:=convert(EulerLagrange(sqrt(1+diff(x(t),t)^2)/t,t,x(t)),list); eqEL :=    d dtx (t) _{2 d}2 dt2x (t) 1 + _dtdx (t)2 3 2 t + d dtx (t) q 1 + _dtdx (t)2t2 − d2 dt2x (t) q 1 + _dtdx (t)2t , d dtx (t) q 1 + _dtdx (t)2t = K1    >dsolve({eqEL[1],x(1)=0,x(2)=1},{x(t)}); x (t) = −p−t2_{+ 5 + 2}

Aplicando o comando dsolve à equa¸cão de Euler-Lagrange encontrámos facilmente a extremal. Recorrendo ao integral de momento,

>sol:=dsolve(eqEL[2],x(t)):

>sol1:=subs({x(t)=0,t=1},sol):

>sol2:=subs({x(t)=1,t=2},sol):

(28)

const :=C1 = 2, K1 = RootOf 5 Z2− 1, 0.4472135955

Vamos converter estas solu¸cões expressas como ”RootOf”, na forma de radical. Passamos então a ter o conjunto de solu¸cões const1.

>const1:=seq(convert(const[i],radical),i=1..2); const1 := K1 = 1 5 √ 5, C1 = 2 >simplify(subs(const1,sol)); x (t) = q − (t2_{− 5)}−1_t2 − 5 q − (t2_{− 5)}−1_{+ 2}

Esta extremal tem um aspecto diferente da extremal obtida acima. No entanto, para os valores em que t est´a definido neste problema (1 ≤ t ≤ 2) verificamos que as extremais s˜ao equivalentes. >x1:=-(-t^2+5)^(1/2)+2; x1:= − p −t2_{+ 5 + 2} >x2:=(-1/(t^2-5))^(1/2)*t^2-5*(-1/(t^2-5))^(1/2)+2; x2 := q − (t2_{− 5)}−1_t2_{− 5}q_{− (t}2_{− 5)}−1_{+ 2}

>simplify(x1-x2) assuming t>=1 and t<=2;

0

Exemplo 1.3.8. (Problema sem solu¸c˜ao) Determinar as extremais da funcional

J[x(t)] = Z 1

0

t2x0_(t)2_dt

>L:=t^2*diff(x(t),t)^2:

(29)

eqEL := −4 t_dtdx (t) − 2 t2d 2 dt2x (t) , 2 t 2 d dtx (t) = K1 >dsolve({eqEL[1],x(0)=0,x(1)=1},{x(t)});

Aplicando o comando dsolve à equa¸cão de Euler-Lagrange, introduzindo as condi¸cões de fronteira verificamos que nada é devolvido. Optando por avaliar as condi¸cões de fronteira num passo seguinte, obtemos uma solu¸cão geral, x(t):

>sol:=dsolve(eqEL[1],x(t));

sol := x (t) = C1 +

C2

t

Concluimos que esta extremal não satisfaz a condi¸cão x(0) = 0, logo este problema não tem solu¸cão.

4o _{Caso: A fun¸cão L não depende explicitamente de t, isto é, L = L(x(t), x}0_{(t)). Ao}

multiplicarmos a equa¸c˜ao de Euler-Lagrange ∂L ∂x x(t), x0(t) −_dtd ∂L ∂x0 x(t), x0(t) = 0 ⇔ ∂L_∂x(x(t), x0_{(t)) − x}0_(t) ∂2L ∂x∂x0(x(t), x0(t)) − x00(t) ∂2_L ∂x0_∂x0(x(t), x0(t)) = 0 (1.3.6) por x0_{(t), obtemos} d dt L(x(t), x0_{(t)) − x}0_(t)∂L ∂x0(x(t), x0(t)) = 0

A equa¸c˜ao de Euler-Lagrange admite ent˜ao o integral de energia

L x(t), x0(t)_{− x}0(t)∂L

∂x0 x(t), x

0_(t)_{= const} _(1.3.7)

Recorrendo ao sistema de computa¸cão algébrica Maple, aplicando a fun¸cão EulerLagrange ao Lagrangeano L (x(t), x0_{(t)) obtemos:} >EulerLagrange(L(x(t),diff(x(t),t)),t,x(t)); D1(L) x (t) , d dtx (t) − (D1,2) (L) x (t) , d dtx (t) d dtx (t) − (D2,2) (L) x (t) , d dtx (t) d2 dt2x (t) , L x (t) , d dtx (t) − d dtx (t) D2(L) x (t) , d dtx (t) = K1 onde D1(L) x (t) , d dtx (t) −(D1,2) (L) x (t) , d dtx (t) d dtx (t)−(D2,2) (L) x (t) , d dtx (t) d2 dt2x (t)

(30)

representa a equa¸c˜ao de Euler-Lagrange (1.3.6) e L x (t) , d dtx (t) − d dtx (t) D2(L) x (t) , d dtx (t) = K1

representa o integral de energia (1.3.7).

J[x(t)] = Z 1

0

x0_(t)x2_{(t) + x}0_(t)2_x(t)dt

>L:=diff(x(t),t)*x(t)^2+diff(x(t),t)^2*x(t); L := d dtx (t) (x (t))2+ d dtx (t) 2 x (t) >eqEL:=convert(EulerLagrange(L,t,x(t)),list); eqEL := " − d dtx (t) 2 − 2 d2 dt2x (t) x (t) , d dtx (t) (x (t))2+ d dtx (t) 2 x (t) − d dtx (t) (x (t))2+ 2 d dtx (t) x (t) = K1 >dsolve({eqEL[1],x(0)=1,x(1)=4},x(t)); x (t) = (7 t + 1)23 (1.3.8)

Utilizando agora o integral de energia:

>simplify(eqEL[2]); − d dtx (t) 2 x (t) = K1 >sol:=dsolve(eqEL[2],x(t)):

O comando dsolve devolve, neste caso, seis solu¸cões: quatro são imaginárias, logo não são consideradas; as restantes verificamos, através do procedimento seguinte, que são iguais.

(31)

x (t) = −1₄ 12 tK1 2_{− 12 C} 1 K12 2 3 K1 >sol[4]; x (t) = −1₄ −12 tK1 2_{+ 12 C} 1K12 2 3 K1 >simplify(rhs(sol[1])^3-rhs(sol[4])^3); 0

Consideramos apenas uma delas, por exemplo sol[1], e resolvendo pelo processo j´a anteri-ormente aplicado, >eq1:=subs({x(t)=1,t=0},sol[1]); eq1 := 1 = −1 4 −12 C1K12 2 3 K1 >eq2:=subs({x(t)=4,t=1},sol[1]); eq2 := 4 = −1₄ 12 K1 2_{− 12 C} 1 K12 2 3 K1

Executando o comando solve, imediatamente abaixo, nada nos é devolvido. Obteremos apenas uma solu¸cão aproximada para o problema pois, ao recorrermos, alternativamente, ao comando fsolve, serão atribu´ıdos valores decimais às constantes C1 e K1.

>const:=solve({eq1,eq2},{K[1],_C1}); const := >const:=fsolve({eq1,eq2},{K[1],_C1}); const := {K1 = −21.77777778, C1 = −0.1428571429} >subs(const,sol[1]); x (t) = 0.01147959184 (5691.259260 t + 813.0370374)23 (1.3.9) Verificamos facilmente recorrendo ao comando plot do Maple que (1.3.8) e (1.3.9) repre-sentam a mesma fun¸c˜ao.

(32)

>x1:=(7*t+1)^(2/3): >x2:=0.1147959184e-1*(5691.259260*t+813.0370374)^(2/3): >plot([x1,x2],t=0..1,color=[blue,red]); 0,6 0,4 2,5 0,2 0 3 3,5 1,5 t 1 0,8 4 2 1 5o

Caso: A fun¸cão L depende apenas de x0_{(t), isto é, L = L(x}0_{(t)). Então a equa¸cão de}

Euler-Lagrange reduz-se a

∂2_L

∂x0_∂x0x00= 0 (1.3.10)

e as extremais ser˜ao as rectas

x = c1t + c2

para quaisquer n´umeros c1 e c2.

Se aplicamos o comando EulerLagrange a uma fun¸c˜ao L(x0_{(t)), definida em Maple por}

>L(diff(x(t),t): >eqEL:=convert(EulerLagrange(L(diff(x(t),t)),t,x(t)),list); eqEL := −D(2)(L) d dtx (t) d2 dt2x (t) , D (L) d dtx (t) = K1, L d dtx (t) − d dtx (t) D (L) d dtx (t) = K2

(33)

este, al´em da equa¸c˜ao de Euler-Lagrange, D(2)(L) d dtx (t) d2 dt2x (t) = 0 devolve ainda:

i) D (L) _dtdx (t) = K1, isto é, o integral de momento _∂x∂L0(x0(t)) = K1, pois a fun¸cão L não depende explicitamente de x(t),

ii) L _dtdx (t)₋ _dtdx (t)D (L) _dtdx (t) = K2, isto ´e, o integral de energia L(x0(t)) −

x0_(t)∂L

∂x0(x0(t)) = K2, pois a fun¸c˜ao n˜ao depende explicitamente de t.

Ao aplicarmos o comando dsolve à equa¸cão diferencial de Euler-Lagrange, com as condi¸cões de fronteira arbitrárias x(a) = A e x(b) = B, obtemos a recta que passa pelos pontos (a, A) e (b, B) >dsolve({eqEL[1],x(a)=A,x(b)=B},x(t)); x (t) = (−B + A) t −b + a + −Ab + aB −b + a Exemplo 1.3.10. Determinar as extremais da funcional

J[x(t)] = Z b a p 1 + x0_(t)2_dt x(a) = A, x(b) = B

Este problema equivale ao estabelecimento do caminho mais curto entre os pontos (a, A) e (b, B). >f:=sqrt(1+diff(x(t),t)^2): >eqEL:=convert(EulerLagrange(f,t,x(t)),list); eqEL :=    d dtx (t) _{2 d}2 dt2x (t) 1 + _dtdx (t)23/2 − d2 dt2x (t) q 1 + _dtdx (t)2 , d dtx (t) q 1 + _dtdx (t)2 = K1, s 1 + d dtx (t) 2 − d dtx (t) 2 q 1 + _dtdx (t)2 = K2   A extremal ser´a, como esperado, a recta que passa por esses pontos.

(34)

>dsolve({eqEL[1],x(a)=A,x(b)=B},x(t));

x (t) = (A − B) t

a − b +

Ba − bA a − b Exemplo 1.3.11. Determinar as extremais da funcional

Z 1 0

(x0_(t)3_{− x}0_(t)2_)dt

Obtemos a equa¸cão de Euler-Lagrange e os integrais de energia e de momento por in-termédio da fun¸cão EulerLagrange

>eqEL:=convert(EulerLagrange(diff(x(t),t)^3-diff(x(t),t)^2,t,x(t)),list); eqEL := " −6 d dtx (t) d2 dt2x (t) + 2 d2 dt2x (t) , 3 d dtx (t) 2 − 2_dtdx (t) = K1, d dtx (t) 3 − d dtx (t) 2 − d dtx (t) 3 d dtx (t) 2 − 2_dtdx (t) ! = K2 #

Aplicando o comando dsolve `a equa¸c˜ao de Euler-Lagrange obtemos facilmente a extremal pretendida

>dsolve({eqEL[1],x(0)=0,x(1)=1},x(t));

x (t) = t

1.4 Problema Isoperim´

etrico

O primeiro problema deste tipo parece ter sido resolvido, na pr´atica, pela princesa fen´ıcia Dido.

Dido, depois do marido ter sido morto, fugiu para a África Mediterrânica, onde comprou, de um rei ingénuo, todo o terreno que pudesse ser inclu´ıdo pela pele de um boi. Depois de cortar a pele em tiras bem finas e amarrar as pontas umas às outras, ela encerrou uma parcela de terreno que veio a tornar-se na cidade-estado de Cartago [26]. O ”problema de Dido”pode ser colocado como se segue:

Concedida uma por¸cão da costa de África como fronteira, qual a maior área que pode ser inclu´ıda pelo per´ımetro dado que permanece?

(35)

Considerando-se a costa como um segmento de recta [a, b] e o interior da área como sendo circunscrito pelo gráfico da fun¸cão y(·), y(x) ≥ 0 e y(a) = 0 = y(b), obtemos o seguinte problema: maximizar a área

J = Z b

a

y(x)dx

sujeita `a restri¸c˜ao do per´ımetro Z b

a

p

1 + y0_(x)2_{dx = γ.}

A solu¸cão é um arco de circunferência de comprimento γ e que passa por a e b.

De facto, nos trabalhos dos cientistas da Grécia Antiga encontra-se a afirma¸cão que de entre todas as figuras isoperimétricas, isto é, as que têm o mesmo per´ımetro, o c´ırculo tem área máxima.

O problema de Dido pertence `a seguinte classe de problemas:

Problema 1.4.1 (Problema Isoperim´etrico). Encontrar o minimizante (ou maximizante) da funcional

F [y(·)] = Z b

a

f (x, y(x), y0(x))dx

onde as fun¸cões y(·) ∈ C2 _{devem satisfazer não só as condi¸cões de fronteira}

y(a) = A, y(b) = B,

como também a restri¸cão isoperimétrica

G[y(·)] = Z b

a

g(x, y(x), y0_{(x))dx = ξ,}

com ξ um n´umero dado.

Teorema 1.4.2. Seja _{y(·) ∈ C}2 um minimizante local para o problema isoperimétrico 1.4.1, que não é extremal da funcional _{G[·]. Então existe um número real λ tal que y(·) é extremal} de Euler-Lagrange do problema elementar do Cálculo das Varia¸cões.

J[y(·)] = F [y(·)] + λG[y(·)] = Z b

a

[f (x, y(x), y0_{(x)) + λg(x, y(x), y}0_{(x))]dx → min,}

y(a) = A, y(b) = B.

Demonstra¸c˜ao. Vide e.g. [26, pp. 55-57].

`

A luz deste teorema, o problema isoperimétrico 1.4.1 reduz-se a um problema sem restri-¸cões com Lagrangeano L(x, y, y0_{) = f (x, y, y}0_{) + λg(x, y, y}0_{). Em geral, a solu¸cão da equa¸cão}

(36)

de Euler-Lagrange tem duas constantes de integra¸cão mais a constante λ. As condi¸cões de fronteira y(a) = A, y(b) = B e a restri¸cão isoperimétrica dão três condi¸cões para a deter-mina¸cão destas constantes.

Exemplo 1.4.3. Determinar as extremais da funcional Z 1

0

(y0)2dx

sujeitas às condi¸cões de fronteira y(0) = 0, y(1) = 1 e à restri¸cão isoperimétrica R₀1xydx = 0. Como não existem extremais da funcional G[y(x)] = R₀1xydx, estamos nas condi¸cões do teorema 1.4.2 e, de acordo com o mesmo, este problema reduz-se a um problema com Lagrangeano

L(x, y, y0) = (y0)2+ λxy Recorrendo ao sistema de computa¸c˜ao alg´ebrica Maple:

>L:=diff(y(x),x)^2+lambda*x*y(x); L := d dxy (x) 2 + λ xy (x) >eqEL:=convert(EulerLagrange(L,x,y(x)),list); eqEL := λ x − 2 d 2 dx2y (x) >sol:=dsolve({op(eqEL),y(0)=0,y(1)=1},{y(x)}); sol := y (x) = 1 12λ x 3₊ 1 −₁₂1 λ x

Utlizando a restri¸c˜ao isoperim´etrica R₀1xydx = 0 determinamos o valor de λ: >y:=rhs(sol); y := 1 12λ x 3₊ 1 − 1 12λ x >i:=int(x*y,x=0..1)=0; i := −₉₀1 λ + 1 3 = 0 >solve(i,lambda);

(37)

30 Finalmente obtemos a extremal para o problema:

>y:=subs(lambda=30,y);

y := 5 2x

3

−3₂x

1.5 Algumas extens˜

oes do problema elementar

Algumas das extensões do problema elementar do cálculo das varia¸cões envolvem funcionais que dependem de derivadas de ordem superior a um, que dependem de várias fun¸cões e/ou que dependem de fun¸cões de várias variáveis [12].

Não é objectivo desta disserta¸cão explorar este tipo de problemas uma vez que no segundo e terceiro cap´ıtulos iremos apenas abordar problemas com derivadas de ordem um que envolvem funcionais que dependem de uma fun¸cão de uma variável.

No entanto, consideramos que a apresenta¸cão dos dois problemas que se seguem con-tribuem para ilustrar e identificar potencialidades e fraquezas não só da fun¸cão EulerLagrange, dispon´ıvel no package VariationalCalculus do Maple 9.5, bem como do próprio sistema de computa¸cão algébrica Maple.

1.5.1 Problema do cálculo das varia¸cões com duas variáveis dependentes No caso em que a funcional em (1.2.1) depende de n fun¸cões,

J[x1(·), ..., xn(·)] = Z b a L t, x1(t), ..., xn(t), x01(t), ..., x0n(t) dt,

a condi¸cão necessária de Euler-Lagrange é um sistema de n equa¸cões:

∂L ∂x1 − d dt ∂L ∂x0 1 = 0, · · · , ∂L ∂xn − d dt ∂L ∂x0 n = 0

A fun¸cão EulerLagrange, dispon´ıvel no package VariationalCalculus, permite traba-lhar com funcionais que envolvem mais de uma variável dependente. No exemplo que se segue exploraremos o caso particular cuja funcional depende de duas fun¸cões (n = 2).

Exemplo 1.5.1. Determinar as extremais do seguinte problema

J[x(t), y(t)] = Z 1 0 (x(t) + y(t) + x0(t)2+ y0(t)2_{) → min,} x(0) = 1, y(0) = 1, x(1) = 2, y(1) = 2.

(38)

Neste caso L(t, x, y, x0_{, y}0_{) = x+y +(x}0₎2_+(y0₎2_{. O sistema de equa¸c˜oes de Euler-Lagrange} toma a forma: _     ∂L ∂x −dtd ∂x∂L0 = 0 , ∂L ∂y −dtd ∂y∂L0 = 0 , ou seja _     1 − 2x00_{= 0 ,} 1 − 2y00_{= 0 .}

Resolvendo o sistema sujeito `as condi¸c˜oes enunciadas obtemos as extremais:      x(t) = 1₄t2+3₄t + 1 , y(t) = 1₄t2+3₄t + 1 .

Segue a resolu¸cão do problema recorrendo ao sistema de computa¸cão algébrica Maple. Come¸camos por definir o Lagrangeano L:

>L:=x(t)+y(t)+diff(x(t),t)^2+diff(y(t),t)^2: >eqEL:=convert(EulerLagrange(L,t,[x(t),y(t)]),list); eqEL := " 1 − 2 d 2 dt2x (t) , 1 − 2 d2 dt2y (t) , x (t) + y (t) − d dtx (t) 2 − d dty (t) 2 = K1 #

As extremais são obtidas resolvendo as duas equa¸cões diferenciais conjuntamente com as condi¸cões de fronteira dadas. Uma vez que temos um sistema de equa¸cões diferenciais, recorremos ao comando Maple dsolve:

>dsolve({eqEL[1],eqEL[2],x(0)=1,y(0)=1,x(1)=2,y(1)=2},{x(t),y(t)}); x (t) = 1 4t 2₊3 4t + 1, y (t) = 1 4t 2₊3 4t + 1

1.5.2 Problema do cálculo das varia¸cões com derivadas de ordem superior Sejam a, b, a < b, Ak, Bk, k = 0, n − 1, números reais e L : [a, b] × R1+m −→ R uma fun¸cão

continuamente diferenci´avel. Consideremos o problema seguinte

J[x(·)] = Z b

a

Lt, x(t), x0(t), ..., x(m)(t)_{dt → min,} (1.5.1) x(k)(a) = Ak, x(k)(b) = Bk, k = 0, n − 1, (1.5.2)

(39)

onde o m´ınimo se procura no conjunto das fun¸c˜oes 2n vezes continuamente diferenci´aveis no intervalo [a, b]: C2n([a, b]; R).

Para problemas do cálculo das varia¸cões com derivadas de ordem superior, as equa¸cões de Euler-Lagrange são generalizadas para:

∂L ∂x − d dt ∂L ∂x0 + d2 dt2 ∂L ∂x00 − ... + (−1) m dm dtm ∂L ∂x(m) = 0 (1.5.3)

Exemplo 1.5.2. Determinar as extremais do seguinte problema

J[x(t)] = Z 1 0 (x00_(t))2_{dt → min,} _(1.5.4) x(0) = 0, x(1) = 0, x0_{(0) = 0,} _x0_{(1) = 1.} (1.5.5)

Este problema envolve a derivada de ordem dois. Uma das limita¸cões da fun¸cão EulerLagrange é que só podemos obter as equa¸cões de Euler-Lagrange para problemas com derivadas de or-dem um, ficando de fora os problemas com derivadas de oror-dem superior a um, tal como é o caso do problema apresentado neste exemplo. A única maneira apresentada na ajuda disponi-bilizada pelo Maple 9.5 para o package VariationalCalculus, seria reduzir um problema com derivadas de ordem superior, a um equivalente apenas com derivadas de primeira ordem. No problema em mãos é poss´ıvel fazer tal redu¸cão da seguinte maneira: fazemos a substi-tui¸cão z = x0_{, impondo a condi¸cão} R1

0(z − x0)2dt = 0.

Tendo por base §1.4, resolvemos o problema Z 1

0

(z0(t)2_{+ λ(z(t) − x}0(t))2_{)dt → min}

x(0) = 0, x(1) = 0, z(0) = 0, z(1) = 1.

Trata-se de uma funcional que depende de duas fun¸c˜oes (neste caso o Lagrangeano tem duas vari´aveis dependentes x(·) e z(·)).

Recorrendo ao sistema de computa¸c˜ao alg´ebrica Maple e tendo por base o processo uti-lizado por Corless [5], vamos come¸car por definir o Lagrangeano L,

>L:=diff(z(t),t)^2+lambda*(z(t)-diff(x(t),t))^2:

(40)

eqEL := 2 λ d dtz (t) − d2 dt2x (t) , −2 λ z (t) − _dtdx (t) = K1, 2 λ z (t) − d dtx (t) − 2 d 2 dt2z (t) , − d dtz (t) 2 + λ z (t) − d dtx (t) 2 + 2 d dtx (t) λ z (t) − _dtdx (t) = K2

O comando EulerLagrange devolve duas equa¸cões de Euler-Lagrange e os respectivos dois integrais de energia. Tendo em conta a ordem dos elementos da lista devolvida, O Maple identifica as equa¸cões de Euler-Lagrange através dos comandos eqEL[1] e eqEL[3]:

>eqEL[1]; 2 λ d dtz (t) − d2 dt2x (t) >eqEL[3]; 2 λ z (t) − _dtd x (t) − 2 d 2 dt2z (t)

O operador $ no comando diff ´e utilizado para obter derivadas de ordem superior. Por exemplo,

>diff(x(t),t$3);

d3

dt3x (t)

Para resolver o sistema de equa¸c˜oes de Euler-Lagrange correctamente,      2 λ _dtd_{z (t) −} _dtd22x (t) = 0 2 λ z (t) −dtdx (t) − 2dtd22z (t) = 0 temos de eliminar λ da seguinte maneira:

>eq:=diff(eqEL[3],t); eq := 2 λ d dtz (t) − d2 dt2x (t) − 2 d 3 dt3z (t) >eq1:=isolate(eq,2*lambda*((diff(z(t), t))-(diff(x(t), t$2)))));

(41)

eq1 := 2 λ d dtz (t) − d2 dt2x (t) = 2 d 3 dt3z (t) >eq2:=subs(eq1,eqEL[1]); eq2 := 2 d3 dt3z (t)

Efectuando a substitui¸c˜ao seguinte obtemos, finalmente, a equa¸c˜ao de Euler-Lagrange 2_dtd44x (t) = 0 para a funcional (1.5.4): >eq22:=subs(z(t)=diff(x(t),t),eq2); eq22:= 2 d4 dt4x (t) >sol:=dsolve(eq22,x(t)); sol := x (t) = 1 6 C1t 3₊1 2 C2 t 2_{+ C} 3t + C4 (1.5.6)

Encontrada a solu¸c˜ao geral, que denominamos por sol, as constantes C1, C2, C3 e C4

são determinadas por intermédio das condi¸cões (1.5.5). Substituindo os valores de t e x(t) respeitantes às condi¸cões x(0) = 0 e x(1) = 0 na solu¸cão sol, obtemos duas equa¸cões com duas incógnitas: >sol1:=subs({x(t)=0,t=0},sol); sol1:= 0 = C4 >sol2:=subs({x(t)=0,t=1},sol); sol2 := 0 = 1 6 C1 + 1 2 C2 + C3 + C4

Substituindo os valores de t e x0_{(t) respeitantes `as condi¸c˜oes x}0_{(0) = 0 e x}0_{(1) = 1 em sold}

obtemos mais duas equa¸c˜oes com duas inc´ognitas:

>sold:=diff(sol,t); sold := d dtx (t) = 1 2 C1 t 2_{+ C} 2 t + C3 >sol3:=subs({diff(x(t),t)=1,t=1},sold);

(42)

sol3:= 1 =

1

2 C1 + C2 + C3 >sol4:=subs({diff(x(t),t)=0,t=0},sold);

sol4:= 0 = C3

Resolvendo um sistema de quatro equa¸c˜oes (sol1, sol2, sol3, sol4 ) com quatro inc´ognitas determinamos o valor das quatro constantes:

>const:=solve({sol1,sol2,sol3,sol4},{_C1,_C2,_C3,_C4});

const := { C2 = −2, C1 = 6, C3 = 0, C4 = 0}

Ao substituir o valor dessas constantes na solu¸c˜ao geral, encontramos a extremal pretendida.

>subs(op(const),sol);

x (t) = t3_{− t}2

Recorrendo a alguns art´ıficios, determin´amos a extremal do problema (1.5.4)-(1.5.5) que envolvia a derivada de ordem dois.

Uma vez que o Maple inclui a sua própria linguagem de programa¸cão, a limita¸cão do package VariationalCalculus apenas permitir trabalhar directamente com problemas com derivada de ordem um, poderia ser também ultrapassada se o utilizador criar as suas próprias fun¸cões.

Em [22], encontramos, entre outras, a defini¸cão de uma fun¸cão que permite obter as equa¸cões de Euler-Lagrange para funcionais do cálculo das varia¸cões de n variáveis de-pendentes e com derivadas até à ordem m, n e m ∈ N. Esta fun¸cão foi apelidada de ELnXmDX(n,m,L)e a sua defini¸cão pode ser encontrada na ´ıntegra no Apêndice A.

Resolvendo o mesmo problema, (1.5.4)-(1.5.5), e de acordo com [22], definimos, em Maple, o Lagrangeano L, não como expressão algébrica mas por uma fun¸cão:

>L:=(t,x,dx,d2x)->d2x^2;

L := (t, x, dx , d2x ) 7→ d2x2

Obtemos a equa¸cão de Euler-Lagrange por intermédio da fun¸cão ELnXmDX(n,m,L), para n = 1 e m = 2:

(43)

eqEL := 2 d 4 dt4x1(t) = 0 >sol:=dsolve(eqEL,x[1](t)); sol := x1(t) = 1 6 C1t 3₊1 2 C2t 2_{+ C3 t + C4}

Se repetirmos o processo aplicado a partir de (1.5.6) e tendo em conta que estamos agora a trabalhar com a vari´avel dependente x1, obtemos de novo a extremal x1(t) = t3− t2.

O problema do exemplo 1.5.1 em §1.5.1, poderia ser também facilmente resolvido através da fun¸cão ELnXmDX(n,m,L), para n = 2 e m = 1.

1.6 Conclus˜

ao

Para alguns casos particulares a equa¸c˜ao de Euler-Lagrange admite integrais,

Φ(t, x(t), x0(t)) = constante,

que permitem reduzir a ordem da equa¸cão e simplificar o problema. De entre os cinco casos de integrabilidade que estudámos, damos particular importância a dois: integral de energia e integral de momento, uma vez que são devolvidos em conjunto com as equa¸cões de Euler-Lagrange, sempre que estas os admitam, pela fun¸cão EulerLagrange do Maple.

Para este tipo de problemas, o cálculo das extremais, sob o ponto de vista do Maple, revelou-se mais simples recorrendo à equa¸cão de Euler-Lagrange do que utilizando os respec-tivos integrais. No entanto, no cap´ıtulo seguinte, só encontramos uma solu¸cão satisfatória para o problema da Braquistócrona através da resolu¸cão a partir do integral de energia.

`

A luz da abordagem feita sobre o problema isoperimétrico, resolvemos facilmente o proble-ma com derivada de ordem um, gerado a partir de um com derivada de ordem dois. Uproble-ma vez que a fun¸cão EulerLagrange do Maple só permite trabalhar com problemas variacionais de ordem um, a limita¸cão com que nos deparámos no problema do exemplo 1.5.2 foi ultrapassada com sucesso.

Em alternativa ao processo que utilizámos para resolver o referido problema, damos a conhecer uma fun¸cão, criada em [22], que permite obter as equa¸cões de Euler-Lagrange para funcionais de n variáveis dependentes e com derivadas até à ordem m.

(44)

(45)

Cap´ıtulo 2

O Problema da Braquist´

ocrona

2.1 Introdu¸

c˜

ao

O primeiro e, sem dúvida, o mais famoso problema associado ao desenvolvimento da teoria matemática do cálculo das varia¸cões é, como já foi referido, o problema da Braquistócrona:

Dados dois pontosA e B num plano vertical, qual o caminho AP B que a part´ıcula móvel P atravessa em tempo m´ınimo, assumindo que a sua acelera¸cão é apenas devida à gravidade?

Este problema foi baseado num problema semelhante estudado por Galileo Galilei (1564-1642) em 1638 no seu famoso trabalho Two New Sciences [9], [18]. Galileo descobriu que o movimento de uma part´ıcula ao longo de um segmento inclinado que une os pontos A e B demora mais tempo do que o movimento ao longo de uma linha quebrada formada por dois segmentos AC e CB, sendo C um ponto do arco de uma circunferência. Tal constata¸cão sugeriu-lhe naturalmente a questão da forma da linha de queda mais rápida, a qual Galileo pensou tratar-se de um arco de circunferência. No final do século XVII descobriu-se que esta dedu¸cão de Galileo estava errada.

Em Junho de 1696, Johann Bernoulli (1667-1748) publicou o problema da Braquistócrona como um desafio à comunidade matemática. Depois de enunciar o problema, Johann Bernoulli assegurou aos seus leitores que a solu¸cão para o problema era muito útil na mecânica e que não era uma recta mas antes uma curva muito familiar aos Geómetras. O prazo para entrega de respostas imposto por Johann Bernoulli foi até ao fim do ano 1696, altura em que ele prometeu publicar a sua própria solu¸cão. No final do ano, torna a publicar o desafio juntando-lhe um problema adicional de natureza geométrica e prolongou o prazo de entrega até à Páscoa de 1697. Aquando do in´ıcio do desafio, Johann Bernoulli também enviou o problema privadamente ao matemático Leibniz (1646-1716), numa carta datada de 9 de Junho de 1696. A 16 de Junho de 1696 recebeu uma solu¸cão completa como resposta. Foi na troca de correspondência entre Leibniz e Johann Bernoulli que surgiu o nome Braquistócrona

(46)

(brachistochrone, do grego brachistos, m´ınimo, e chronos, tempo) [8]. Em Maio de 1697 foi publicada, na Acta Eruditorum, a solu¸c˜ao do problema.

Johann Bernoulli, o seu irmão Jacob Bernoulli, Leibniz, Newton e l´Hôpital sugeriram diferentes métodos de resolu¸cão do problema que levavam ao mesmo resultado.

A curva que soluciona o problema da Braquistócrona é a ciclóide.

Neste cap´ıtulo exibiremos uma solu¸cão para o problema, não na linguagem geométrica de outros tempos mas sim recorrendo ao método desenvolvido por Euler e Lagrange, introduzido no cap´ıtulo anterior. Esta abordagem será feita recorrendo não só às ”ferramentas”do cálculo das varia¸cões mas também ao sistema de computa¸cão algébrica Maple 9.5, indo de encontro ao objectivo desta disserta¸cão.

Come¸caremos por, em §2.2, determinar a funcional integral para o problema da Braquis-tócrona e por apresentar uma formula¸cão matemática para o mesmo [6], [8].

Em §2.3 apresentaremos a defini¸cão e algumas propriedades da ciclóide, curva que solu-ciona o problema da Braquistócrona.

De seguida, em §2.4, determinaremos a solu¸cão, na forma paramétrica, da equa¸cão de Euler-Lagrange no caso da braquistócrona para dois pontos quaisquer, A(x0, y0) e B(x1, y1),

e calcularemos o tempo m´ınimo de descida ao longo da curva encontrada. O problema será também resolvido utilizando o Maple. As principais referências usadas nesta seçcão foram [7] e [25].

Consequentemente, em §2.4.1, apresentamos a solu¸cão de Euler-Lagrange no caso da braquistócrona para os valores espec´ıficos: A(0, 2), B(3, 1), num primeiro exemplo; A(1, 3), B(15, 1), num segundo exemplo. A análise destes dois problemas é feita utilizando o Maple e para cada um deles será também calculado o tempo m´ınimo de descida e serão tra¸cadas as curvas que são solu¸cão dos mesmos. No primeiro exemplo, compararemos ainda o tempo de descida da part´ıcula ao longo: da recta que passa por A e B; e do arco da circunferência com centro (3, c) que passa pelos dois respectivos pontos.

2.2 Formula¸

c˜

ao do problema

O problema da Braquistócrona consiste em determinar, dados dois pontos A e B num plano vertical, o caminho AP B que a part´ıcula móvel P atravessa em tempo m´ınimo, assumindo que a sua acelera¸cão é apenas devida à gravidade.

(47)

uma determinada curva γ corresponde um determinado valor T - tempo necess´ario para a part´ıcula chegar de A a B. O tempo, T , depende da forma da curva. O objectivo ´e encontrar a curva que corresponde ao tempo m´ınimo.

Usando um sistema de coordenadas apropriado, consideremos (x0, y0) e (x1, y1), com

x0 < x1 e y0> y1, as coordenadas dos pontos A e B, respectivamente. Consideremos a curva

arbitr´aria descrita pela equa¸c˜ao

y = y(x), x0≤ x ≤ x1.

A part´ıcula de massa m tem velocidade inicial nula e não está sujeita a atrito. Sabemos, segundo a lei de conserva¸cão de energia, que

1 2mv

2_{+ mgy = mgy}

0 (2.2.1)

onde g é a acelera¸cão da for¸ca da gravidade, v a velocidade da part´ıcula e y a sua ordenada. Então a velocidade é dada por

v =p2g(y0− y)

Por outro lado

v = ds dx com

ds =p1 + (y0₎2_dx

onde s(t) representa o comprimento do arco percorrido entre x0 e x1.

Combinando os resultados, o tempo T necess´ario para a part´ıcula deslizar de A(x0, y0)

até à posi¸cão final B(x1, y1) é dado por

T = Z AB dx = Z x1 x0 ds v = Z x1 x0 p 1 + (y0₎2 p 2g(y0− y) dx = _√1 2g Z x1 x0 s 1 + (y0₎2 y0− y dx.

O problema da Braquistócrona é então formulado matematicamente como se segue:

T [y(·)] = √1 2g Z x1 x0 s 1 + (y0_(x))2 y0− y(x) dx → min (2.2.2) y(x0) = y0, y(x1) = y1, y ∈ C2(x0, x1)

Mostraremos, em §2.4, que a extremal deste problema ´e um arco de uma cicl´oide (inver-tida).

(48)

2.3 A Cicl´

oide

A curva que resolve o problema da Braquistócrona é chamada de ciclóide, nome dado por Galileo (1564-1642), que se havia interessado por outras das suas propriedades no ´ınicio de 1600.

Ciclóide é a trajectória descrita por um ponto fixo P da circunferência quando esta rola, sem deslizar, sobre uma recta.

A ciclóide foi uma curva muito estudada no século XVII. O seu modo de gera¸cão e a descoberta das suas propriedades foram origem de inúmeras disputas entre os Geómetras da época, de tal forma que lhe chamavam a ”Helena dos Geómetras” [27].

Em 1634, o matemático francês Roberval prova que a área da ciclóide é exactamente o triplo da área do c´ırculo gerador. Porém, a publica¸cão de uma demonstra¸cão desse resultado só foi feita em 1644 por Torricielli, disc´ıpulo de Galileo. Em 1658, Christopher Wren publica a demonstra¸cão de que o comprimento de um arco de ciclóide é oito vezes o raio do c´ırculo gerador [17].

Outro problema interessante que também tem a ciclóide como solu¸cão é o problema da Tautócrona. Este facto foi descoberto e publicado por Christian Huygens (1629-1695) no Horologium oscillatorium em 1673 [27]. Huygens mostrou que se uma part´ıcula partir do repouso de um determinado ponto e deslizar, sob o efeito da gravidade, por uma ciclóide, o tempo que a part´ıcula demora a atingir o ponto mais baixo é independente do ponto de partida. Isto é, duas part´ıculas que partam ao mesmo tempo de dois pontos diferentes A e B, alcan¸cam o ponto C ao mesmo tempo.

Portanto a ciclóide é uma curva braquistócrona - menor tempo de descida de um ponto a outro - e uma curva tautócrona - igual tempo de descida de qualquer ponto até ao ponto de altura m´ınima; sendo estas as suas duas propriedades mais importantes.

A ciclóide que passa pela origem (0, 0) e é gerada pela circunferência de raio r é descrita, usualmente, na forma paramétrica pelo conjunto de pontos (x, y) com

(49)

     x = r(θ − sin θ) y = r(1 − cos θ) (2.3.1)

onde θ ≥ 0, pois, considerando a figura anterior, temos: x = |OT | − |P Q| = rθ − r sin θ y = |T C| − |QC| = r − cos θ

Recorrendo ao Maple, podemos obter a representa¸c˜ao da curva (2.3.1) para um valor de r, por exemplo, igual a 1₂.

O Maple tem dispon´ıvel a fun¸cão plot que permite fazer os mais variados gráficos. Entre as inúmeras possibilidades, o plot permite tra¸car gráficos de fun¸cões definidas parametrica-mente. >plot([1/2*(theta-sin(theta)),1/2*(1-cos(theta)),theta=0..infinity],-2..10,-2..2, scaling=constrained); -1 -2 10 8 6 4 2 0 2 -2 1 0

O primeiro, o segundo e o terceiro argumento do plot estão entre parênteses rectos e representam as fun¸cões reais em ordem ao parâmetro e a varia¸cão desse parâmetro. O quarto e quinto argumento do plot definem os intervalos dos eixos horizontal e vertical, respecti-vamente. Todas as outras op¸cões (tais como: cor, tipo de escala, t´ıtulo do gráfico, ...) devem ser colocadas depois da especifica¸cão dos intervalos dos eixos. Executando o comando >?plot[options] podemos consultar as op¸cões que temos dispon´ıveis para a fun¸cão plot.