E
STUDO DE
M
EDIDAS DE
M
ITIGAÇÃO
DA
V
ELOCIDADE
C
RÍTICA EM
V
IAS
F
ÉRREAS DE
A
LTA
V
ELOCIDADE
A
NDRÉF
ILIPEB
ASTOSD
IASDissertação submetida para satisfação parcial dos requisitos do grau de
MESTRE EM ENGENHARIA CIVIL —ESPECIALIZAÇÃO EM GEOTECNIA
Orientador: Professor Doutor Pedro Miguel Barbosa Alves Costa
Tel. +351-22-508 1901 Fax +351-22-508 1446 miec@fe.up.pt
Editado por
FACULDADE DE ENGENHARIA DA UNIVERSIDADE DO PORTO
Rua Dr. Roberto Frias 4200-465 PORTO Portugal Tel. +351-22-508 1400 Fax +351-22-508 1440 feup@fe.up.pt http://www.fe.up.pt
Reproduções parciais deste documento serão autorizadas na condição que seja mencionado o Autor e feita referência a Mestrado Integrado em Engenharia Civil –
2019/2020 - Departamento de Engenharia Civil, Faculdade de Engenharia da Universidade do Porto, Porto, Portugal, 2020.
As opiniões e informações incluídas neste documento representam unicamente o ponto de vista do respetivo Autor, não podendo o Editor aceitar qualquer responsabilidade legal ou outra em relação a erros ou omissões que possam existir.
A meus Pais e irmão
Os dias prósperos não vêm por acaso. São granjeados, como as searas, como a fadiga e com muitos intervalos de desalento.
AGRADECIMENTOS
Na fase final deste percurso longo e árduo pelo qual anseei que chegasse, fica um sentimento agridoce. Por um lado o orgulho de conseguir concluir um objetivo de vida pelo qual trabalhei muito para o atingir, por outro, finalizar um ciclo longe das pessoas que me acompanharam fruto da situação em que o mundo se encontra. Sinto que não é o final feliz pelo qual toda a gente espera pacientemente no fim do seu percurso académico. No entanto, só tenho que estar orgulhoso de mim e agradecer a todos os que me apoiaram e acreditaram que iria ser bem sucedido.
No âmbito desta dissertação quero agradecer profundamente ao Engenheiro Alexandre Pinto por ter sido incansável. Mostrou-se sempre disponível para me ajudar no que fosse preciso e disponibilizou a sua workstation, sendo esta a sua uma das suas ferramentas de trabalho, que se tornou na minha melhor amiga durante a realização da dissertação. Acreditou que eu era capaz de estar à altura de um desafio como este, motivando-me sempre nos momentos mais complicados.
Quero agradecer também ao Professor Doutor Pedro Alves Costa pela exemplar orientação, sempre disposto a ajudar no que fosse necessário e também pelo facto ter acompanhado com entusiasmo as diferentes fases de evolução da dissertação.
Quero agradecer a toda a minha família por me chamarem engenheiro quando na verdade não o era dando-me força e motivação para alcançar o objetivo principal destes 5 anos de faculdade.
Aos meus amigos de infância que me tornaram na pessoa que sou hoje, não me deixando fugir dos meus objetivos e acreditando que eu teria o potencial para ser uma pessoa bem sucedida, a eles devo-lhes muito.
Quero agradecer também a todas as amizades que fiz no meu percurso académico, com especial apreço à malta de especialidade.
Não podia deixar de falar no meu ano, 015, que me chateou todos os dias para ir tomar café, beber uma cerveja, conversar, discutir, dançar, tudo a que tive direito da parte deles e se não falasse deles ia acabar por ter problemas. Animaram-me e acompanharam-me nos momentos mais difíceis e as melhores memórias que levo para a vida deste percurso, eles estão lá, sempre. São amigos para a vida, o sucesso que eles me desejam, eu desejo-lhes o dobro. Obrigado por estes 5 anos incríveis, sem vocês a vida académica não faria qualquer sentido.
Por fim, o maior agradecimento de todos. Obrigado pai, obrigado mãe e obrigado Nuno, se concluir os estudos para mim é motivo de orgulho enorme, nem quero imaginar para vocês. Sei que desejavam muito ver-me de cartola e com uns copos a mais...também eu. O mais importante é que está prestes a sair o primeiro engenheiro da família.
RESUMO
A presente dissertação apresenta um estudo de medidas de mitigação da velocidade crítica em maciços solicitados por cargas móveis de alta velocidade. Para realizar o estudo, recorre-se a um modelo numérico com formulação 2.5D, capaz de modelar os diferentes cenários geotécnicos e também o material circulante.
Numa fase inicial da dissertação, apresentam-se as bases teóricas e os conceitos relacionados com a propagação de vibrações no solo. De seguida, descreve-se a formulação baseada no Método dos Elementos Finitos do Modelo 2.5D MEF-PML e aborda-se a questão das fronteiras artificiais.
De modo a introduzir o parâmetro a estudar nesta dissertação, faz-se uma breve introdução ao conceito de velocidade crítica e quais as medidas de mitigação existentes para aumentar este valor nos diferentes maciços.
Na fase final da dissertação, realiza-se um estudo de sensibilidade que tem como objetivo otimizar o tempo de cálculo e o custo comutacional. Este estudo de sensibilidade permite definir a geometria das diferentes malhas e cenários a calcular no caso de estudo. Posteriormente, estuda-se o impacto que a variação das características geométricas e mecânicas do reforço acarretam na resposta dos diferentes cenários geotécnicos relativamente à velocidade crítica.
ABSTRACT
This dissertation presents a study of critical velocity mitigation measures in masses requested by high-speed mobile loads. To perform the study, a 2.5D numerical model is used, capable of modeling the different geotechnical scenarios and also the rolling stock.
In an initial phase of the dissertation, the theoretical bases and concepts related to the propagation of vibrations in the ground are presented. Next, the formulation based on the Finite Element Method of Model 2.5D MEF-PML is described and the issue of artificial boundaries is addressed.
In order to introduce the parameter to be studied in this dissertation, a brief introduction is made to the concept of critical speed and what mitigation measures exist to increase this value in the different masses.
In the final phase of the dissertation, a sensitivity study is carried out with the aim of optimizing the calculation time and the computational cost. This sensitivity study allows to define the geometry of the different meshes and scenarios to be calculated in the case of the study. Subsequently, the impact that the variation of the geometric and mechanical characteristics of the reinforcement have on the response of the different geotechnical scenarios to the critical speed is studied.
ÍNDICE GERAL
ESTUDO DE MEDIDAS DE MITIGAÇÃO DA VELOCIDADE
CRÍTICA EM VIAS FÉRREAS DE ALTA VELOCIDADE ... I
1
INTRODUÇÃO ... 1
ENQUADRAMENTO DO TEMA ... 1
OBJETIVOS DA DISSERTAÇÃO ... 3
ORGANIZAÇÃO DA DISSERTAÇÃO... 4
2
PROPAGAÇÃO
DE
ONDAS
GERADAS
POR
TRÁFEGO
FERROVIÁRIO ... 5
TIPOS DE ONDA EM MEIOS ELÁSTICOS ... 5
2.1.1.ONDAS GERADAS POR TRÁFEGO FERROVIÁRIO ... 5
2.1.1.1. Ondas Volúmicas... 6
2.1.2.ONDAS SUPERFICIAIS ... 8
REFLEXÃO E REFRAÇÃO DE ONDAS ... 10
2.2.1.NA SUPERFÍCIE LIVRE ... 10
2.2.1.1. Ondas P e SV ... 10
2.2.2.INTERFACES COM CONTRASTE DE RIGIDEZ ... 11
DISPERSÃO E ATENUAÇÃO DE ONDAS ... 12
2.3.1.DISPERSÃO ... 12
2.3.2.AMORTECIMENTO GEOMÉTRICO ... 13
2.3.3.AMORTECIMENTO MATERIAL ... 14
MECANISMOS DE EXCITAÇÃO ... 15
3
MODELAÇÃO
DA
RESPOSTA
DINÂMICA
DO
SISTEMA
VIA-ATERRO-MACIÇO ... 19
GENERALIDADES ... 19
APLICAÇÃO DE TÉCNICAS TRANSFORMADAS NA RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS DINÂMICOS 20 3.2.1.CONSIDERAÇÕES GERAIS ... 20
3.2.2.EXEMPLOS DE APLICAÇÃO ... 21
3.2.2.1. Oscilador com 1 Grau de Liberdade (1 G.L.) ... 21
3.2.2.2. Viga de Winkler: Carga Impulsiva Parada ... 24
3.2.2.3. Viga de Winkler: Carga Unitária Móvel ... 26
MODELO 2.5DMEF-PML ... 28
3.3.1.GENERALIDADES ... 28
3.3.3.TRATAMENTO DE FRONTEIRAS ARTIFICIAIS –PML(PERFECT MATCHED LAYERS) ... 30 3.3.4.MODELO 2.5DMEF-PML ... 33 3.3.5.OTIMIZAÇÃO DE CÁLCULO ... 35 3.3.6.ACOPLAMENTO DA VIA FÉRREA ... 37 3.3.6.1. Generalidades ... 37 3.3.6.2. Via em Laje ... 38
3.3.6.3. Modelação dos Elementos da Via ... 40
3.3.6.4. Simulação do Material Circulante (Comboio) ... 42
4
MEDIDAS DE MITIGAÇÃO PARA INCREMENTO DA
VELOCIDADE CRÍTICA ... 43
VELOCIDADE CRÍTICA ... 43
4.1.1.CONCEITO BASE ... 43
4.1.2.DETERMINAÇÃO DA VELOCIDADE CRÍTICA ... 44
4.1.3.VELOCIDADE CRÍTICA NOS DIFERENTES TIPOS DE MACIÇOS ... 45
MEDIDAS DE MITIGAÇÃO PARA INCREMENTO DA VELOCIDADE CRÍTICA ... 49
4.2.1.CONSIDERAÇÕES GERAIS ... 49
4.2.2.COLUNAS DE JET GROUT ... 50
4.2.3.COLUNAS DE BRITA ... 52
4.2.3.1. Métodos Não Vibratórios ... 52
4.2.3.2. Métodos Vibratórios ... 53
CONSIDERAÇÕES FINAIS... 53
5
CASO DE ESTUDO ... 55
DESCRIÇÃO GERAL ... 55
INFLUÊNCIA DA DIMENSÃO TRANSVERSAL SIMULADA ... 55
5.2.1.CONSIDERAÇÕES GERAIS ... 55
5.2.2.MACIÇO GEOTÉCNICO COM VIA SUPERFICIAL ... 56
5.2.3.MACIÇO GEOTÉCNICO COM ATERRO E LAJE DE BETÃO À SUPERFÍCIE ... 59
5.2.4.CONSIDERAÇÕES FINAIS ... 61
INFLUÊNCIA DA ALTURA ENTERRADA DE UM SISTEMA COM COLUNAS DE JET-GROUT ... 61
5.3.1.CONSIDERAÇÕES GERAIS ... 62
5.3.2.CENÁRIO HOMOGÉNEO... 62
5.3.2.1. Cenário não reforçado ... 62
5.3.2.2. Influência da profundidade do reforço ... 64
5.3.2.3. Influência da rigidez do reforço ... 68
5.3.3.2. Influência da profundidade do reforço ... 70
5.3.3.3. Influência da possança do estrato superior ... 72
5.3.3.4. Influência do contraste de rigidez ... 74
5.3.4.CONSIDERAÇÕES FINAIS ... 75
6
CONCLUSÕES ... 77
CONCLUSÕES FINAIS ... 77 RESENHA DE APRENDIZAGEM ... 78 DESENVOLVIMENTOS FUTUROS ... 787
BIBLIOGRAFIA ... 81
ÍNDICE DE FIGURAS
Figura 1.1 - Caminho de ferro do Barreiro [CMBARREIRO (2020)]. ... 1 Figura 1.2 - Comboios: a) Maglev [JRAILPASS (2020)]; b) TGV [EURAIL (2020)]. ... 2 Figura 1.3 – Rede europeia de alta velocidade e projeção para as próximas décadas [UIC (2020)]. .... 3 Figura 2.1 - História temporal dos deslocamentos à superfície de um maciço num ponto a determinada distância da fonte [COSTA, Pedro Miguel Barbosa Alves (2011)]... 5 Figura 2.2 - Movimento das partículas induzido pela propagação de ondas P (adaptado de [COSTA, Pedro Miguel Barbosa Alves (2011)]). ... 6 Figura 2.3 - Movimento das partículas induzido pela propagação de ondas S (adaptado de [COSTA, Pedro Miguel Barbosa Alves (2011)]). ... 7 Figura 2.4 - Componentes no plano e fora do plano do deslocamento induzido pela propagação de ondas S (adaptado de [COSTA, Pedro Miguel Barbosa Alves (2011)]). ... 7 Figura 2.5 - Movimento das partículas induzido pela propagação das ondas de Rayleigh (adaptado de [COSTA, Pedro Miguel Barbosa Alves (2011)]). ... 8 Figura 2.6 - Contribuição dos diferentes tipos de ondas para os deslocamentos de um maciço semi-indefinido, elástico, homogéneo e isotrópico face a uma solicitação harmónica aplicada numa sapata circular (adaptado de [COSTA, Pedro Miguel Barbosa Alves (2011)]). ... 9 Figura 2.7 - Movimento das partículas induzido pela propagação das ondas L (adaptado de [COSTA, Pedro Miguel Barbosa Alves (2011)]). ... 10 Figura 2.8 - Reflexão das ondas P na superfície livre de um maciço semi-indefinido (adaptado de [COSTA, Pedro Miguel Barbosa Alves (2011)]). ... 10 Figura 2.9 - Reflexão de ondas SV na superfície livre de um maciço semi-indefinido (adaptado de [COSTA, Pedro Miguel Barbosa Alves (2011)]). ... 11 Figura 2.10 - Reflexão de ondas SV na superfície livre para ângulos de incidência superior ao crítico (adaptado de [COSTA, Pedro Miguel Barbosa Alves (2011)]). ... 11 Figura 2.11 - Reflexão e refração de ondas em interfaces: a) incidência de ondas P; b) incidência de ondas SV; c) incidência de ondas SH (adaptado de [COSTA, Pedro Miguel Barbosa Alves (2011)]). 12 Figura 2.12 - História temporal de deslocamentos verticais em dois pontos à superfície do maciços: a) Maciço homogéneo; b) Maciço estratificado (adaptado de [COSTA, Pedro Miguel Barbosa Alves (2011)]). ... 13 Figura 2.13 - Configuração geométrica da frente de onda em maciços semi-indefinidos e homogéneos: a) ondas volúmicas; b) ondas superficiais (adaptado de [COSTA, Pedro Miguel Barbosa Alves (2011)]). ... 14 Figura 2.14 - Modelo de Kelvin-Voigt (adaptado de [COSTA, Pedro Miguel Barbosa Alves (2011)]). . 15 Figura 2.15 - Mecanismo de excitação quasi-estático (adaptado de [PINTO, Alexandre Manuel Gonçalves Castanheira (2016)])... 17 Figura 2.16 - Mecanismo de excitação dinâmica (adaptado de [PINTO, Alexandre Manuel Gonçalves Castanheira (2016)]). ... 17
Figura 3.1 – Metodologia de resolução de problemas elastodinâmicos através do MIT [(COSTA, Pedro
Miguel Barbosa Alves, 2011)]. ... 19
Figura 3.2 - Resposta Transiente. ... 20
Figura 3.3 – Oscilador com 1 G.L. ... 21
Figura 3.4 - Impulso de Ricker: a) Registo no domínio da frequência; b) Registo no domínio do tempo. ... 23
Figura 3.5 - Resposta do oscliador no domínio da frequência. ... 23
Figura 3.6 - Resposta do oscilador no domínio do tempo. ... 24
Figura 3.7 - Viga de Winkler. ... 24
Figura 3.8 - Exemplo de uma resposta no domínio do tempo para um determinado x (adaptado de [PINTO, Alexandre Manuel Gonçalves Castanheira (2016)]). ... 26
Figura 3.9 - Exemplo de uma resposta no domínio do espaço para um determinado instante temporal (adaptado de [PINTO, Alexandre Manuel Gonçalves Castanheira (2016)]). ... 26
Figura 3.10 - Representação esquemática dos principais passos da aplicação do método dos elementos finitos 2.5D [COSTA, Pedro Miguel Barbosa Alves (2011)]. ... 29
Figura 3.11 - Elementos discretizado por elementos finitos (adaptado de [ERLINGSSON, Sigurður (1995)]). ... 29
Figura 3.12 - Representação da disposição dos elementos discretizados pelo MEF e pelo PML. ... 31
Figura 3.13 - Representação esquemática da atenuação de uma onda no interior de uma camada PML (adaptado de [LOPES, C (2015)]). ... 31
Figura 3.14 - Representação dos termos da expressão do campo de deslocamentos: a) termo uk1, ω; b) e − ak1x´. ... 32
Figura 3.15 - Representação de uma onda dentro de uma camada PML. ... 33
Figura 3.16 - Estrutura Invariante MEF-PML. ... 33
Figura 3.17 - Fluxograma de análise do modelo de interação (adaptado de [SOARES, Paulo Jorge Brochado (2018)]). ... 34
Figura 3.18 - Esquema da simetria geométrica do sistema... 36
Figura 3.19 - Fluxograma da otimização de cálculo (adaptado de [SOARES, Paulo Jorge Brochado (2018)]). ... 36
Figura 3.20 - Resposta do sistema em função do número de onda: a) Parte real calculada; b) Parte real duplicada; c) Parte imaginária calculada; d) Parte imaginária duplicada (adaptado de [SOARES, Paulo Jorge Brochado (2018)]). ... 37
Figura 3.21 - Vias Ferroviárias (adaptado de [MARQUES, J. (2013)]). ... 38
Figura 3.22 - Tipos de vias : a) Balastrada; b) Não Balastrada (adaptado de [LEE, Jae-IkOH, Kyu-Hwan e PARK, Yong-Gul (2020)]). ... 38
Figura 3.23 - Conceções da via em laje (adaptado de [PAIXÃO, A e FORTUNATO, E (2009)]). ... 39 Figura 3.24 - Tipos de apoios discretos e apoios contínuos (adaptado de [OLIVEIRA, Ana Filipa Firmino
Figura 3.25 - Diferentes tipos de de carril: i) Apoio discreto (pontual); ii) Apoio contínuo (embebido)
(adaptado de [MATIAS, SR (2014)]). ... 40
Figura 3.26 – Viga sobre maciço de fundação: a) modelo tridimensional; b) modelo com rigidez equivalente [(COSTA, Pedro Miguel Barbosa Alves, 2011)]. ... 40
Figura 3.27 – Modelo semi-analítico de via não balastrada [(COSTA, Pedro Miguel Barbosa Alves, 2011)] ... 41
Figura 3.28 - Representação esquemática da modelação dos elementos carril e palmilha (adaptado de [SOARES, Paulo Jorge Brochado (2018)]). ... 42
Figura 4.1 - Exemplo de uma curva de amplificação do deslocamento. ... 44
Figura 4.2 - Exemplo de aplicação do MCD (adaptado de [SOARES, Paulo Jorge Brochado (2018)]). ... 44
Figura 4.3 - Evolução do coeficiente de amplificação dinâmica do deslocamento vertical do carril para maciços não dispersivos [(COSTA, Pedro Miguel Barbosa Alves, 2011)]. ... 45
Figura 4.4 - Maciço Homogéneo e Semi-indefinido ([SOARES, Paulo Jorge Brochado (2018)]). ... 46
Figura 4.5 - Representação dos deslocamentos do terreno homogéneo e da via sujeitos à passagem de uma carga unitária com uma velocidade de circulação de: a)70m/s; b)93 m/s; c)112 m/s. ... 47
Figura 4.6 – a) Maciço Inversamente Dispersivo; b) Maciço Dispersivo (adaptado de [SOARES, Paulo Jorge Brochado (2018)]). ... 48
Figura 4.7 - Representação dos deslocamentos do terreno heterogéneo e da via sujeitos à passagem de uma carga unitária com uma velocidade de circulação de: a)105m/s; b)150 m/s; c)180 m/s... 49
Figura 4.8 - Esquema representativo da execução de colunas de Jet Grouting (adaptado de [RAILSYSTEM (2020)]). ... 51
Figura 4.9 - Sistemas de Jet Grouting (adaptado de [RAILSYSTEM (2020)]). ... 51
Figura 4.10 - Método tradicional de execução de uma coluna de brita (adaptado de [DOMINGUES, Tiago Sarmento Sabino (2006)]). ... 52
Figura 4.11 - Esquematização do método de vibrosubstituição com top feed method (adaptado de [COLLINGROUP (2020)]). ... 53
Figura 5.1 – Dimensões incluídas nos estudos de sensibildade. ... 55
Figura 5.2 – Esquema de aplicação da carga em cenários simétricos. ... 56
Figura 5.3 - Representação esquemática da tipificação heterogénea. ... 57
Figura 5.4 - Malha de elementos finitos para o cenário com 5 metros de largura livre. ... 58
Figura 5.5 – Curvas de amplificação do deslocamento para: a) Perfil homogéneo com Cs=80 m/s; b) Perfil heterogéneo; c) Perfil homogéneo com Cs= 200 m/s. ... 58
Figura 5.6 - Representação esquemática da tipificação heterogénea. ... 59
Figura 5.7 - Malha de elementos finitos para o cenário com 5 metros de largura livre. ... 59
Figura 5.8 – Curvas de amplificação do deslocamento para: a) Perfil homogéneo com Cs=80 m/s; b) Perfil heterogéneo; c) Perfil homogéneo com Cs= 200 m/s. ... 60
Figura 5.10 - Curvas de amplificação do deslocamento para perfil com Laje e Aterro : a) Cs=80 m/s; b)
Cs=200 m/s; c) Cs=80 e 200 m/s. ... 61
Figura 5.11 - Tempo de cálculo para as diferentes dimensões para uma dada velocidade. ... 61
Figura 5.12 - Disposição geométrica das colunas. ... 62
Figura 5.13 – Esquema ilustrativo do cenário homogéneo. ... 63
Figura 5.14 – Curva de amplificação do deslocamento para o cenário homogéneo. ... 63
Figura 5.15 – Esquematização do campo de deslocamentos no cenário homogéneo para uma velocidade de 78 m/s: a) Vista; b) Planta. ... 64
Figura 5.16 - Esquema ilustrativo do cenário homogéneo reforçado. ... 64
Figura 5.17 - Esquema de Homogeneização: a) Global; b) Local. ... 65
Figura 5.18 - Curva de amplificação do deslocamento para os cenários homogeneizados local e globalmente ... 66
Figura 5.19 – a) Esquema ilustrativo do reforço com as diferentes profundidades; b) Curvas de amplificação do deslocamento para diferentes profundidades do reforço. ... 67
Figura 5.20 – Campo de deformações para uma carga que circula a 78 m/s: a) Cenário homogéneo não reforçado; b) 3 metros de reforço; c) 4 metros de reforço; d) 5 metros de reforço; e) 6 metros de reforço. ... 68
Figura 5.21 – Curvas de amplificação do deslocamento para diferentes valores de rigidez do reforço. ... 68
Figura.5.22 - Esquema ilustrativo do cenário homogéneo. ... 69
Figura.5.23 - Curva de amplificação do deslocamento para o cenário heterogéneo... 69
Figura 5.24 - Esquematização do campo de deslocamentos num solo heterogéneo para uma velocidade próxima da crítica: a) Vista; b) Planta. ... 70
Figura.5.25 – a) Esquema ilustrativo do reforço com as diferentes profundidades; b) Curvas de amplificação do deslocamento para a possança de 4 metros ... 71
Figura 5.26 - Campo de deformações para uma carga que circula com a velocidade crítica: a) Cenário heterogéneo não reforçado; b) 3 metros de reforço; c) 4 metros de reforço; d) 5 metros de reforço; e) 6 metros de reforço. ... 72
Figura 5.27 – Variação da possança do primeiro estrato: a) 4 metros; b) 3 metros; c) 5 metros. ... 72
Figura 5.28 - a) Representação do cenário; b) Curvas de amplificação do deslocamento para a possança de 3 metros. ... 73
Figura 5.29 - a) Representação do cenário; b) Curvas de amplificação do deslocamento para a possança de 5 metros. ... 73
Figura 5.30 – Curvas de amplificação do deslocamento para as diferentes possanças: a) 3 metros; b) 4 metros; c) 5 metros. ... 74
Figura 5.31 - a) Representação do cenário; b) Curvas de amplificação do deslocamento para um contraste de rigidez menor ... 74
ÍNDICE DE QUADROS
Quadro 3.1 - Características do Oscilador de 1 G.L. ... 21
Quadro 4.1 - Propriedades mecânicas dos elementos ... 46
Quadro 4.2 – Propriedades mecânicas dos elementos ... 48
Quadro 5.1 - Valores das propriedades mecânicas dos elementos. ... 56
Quadro 5.2 - Valores das propriedades mecânicas do Jet Grout. ... 62
Quadro 5.3 - Valores das propriedades mecânicas dos elementos. ... 63
Quadro.5.4 – Valores das propriedades homogeneizadas. ... 66
Quadro 5.5 - Valores resultantes da homogeneização. ... 70
Quadro 5.6 - Propriedades mecânicas do estrato inferior e das colunas homogeneizadas. ... 74
SÍMBOLOS E ACRÓNIMOS E ABREVIATURAS
P – Ondas P; S – Ondas S;
R – Ondas Rayleigh; L – Ondas de Love;
𝐶𝑃 – Velocidade das ondas P [m/s];
𝐶𝑆 – Velocidade das ondas S [m/s];
𝐶𝑅 – Velocidade das ondas de Rayleigh [m/s];
𝜌 – Massa Volúmica [Kg/m3];
𝜆 e 𝜇 – Constantes de Lamé; E – Módulo de Elasticidade [MPa]; 𝜈 – Coeficiente de Poisson [];
SV – Decomposição das ondas S que induzem deslocamentos das partículas inscritos no plano vertical da direção de propagação da onda;
SH – Decomposição das ondas S que induzem deslocamentos das partículas inscritos no plano horizontal da direção de propagação da onda;
𝜃𝑃 – Ângulo das ondas P [rad];
𝜃𝑆 – Ângulo das ondas S [rad];
k – Constante do material []; K* - Rigidez Complexa;
𝜂 – Coeficiente de viscosidade [Pa.s]; G – Módulo de distorção [Pa];
MIT – Método dos Integrais Transformados; f – Frequência [Hz];
T – Período [s];
FFT – Fast Fourier Transform;
IFFT – Inverse Fast Fourier Transform; k1 – Número de onda [m-1];
Ω – Frequência [rad/s];
PML – Perfect Matched Layers;
2.5D MEF-PML – Método dos elementos finitos tratados com fronteiras artificiais PML´s, com discretização apenas da secção transversal;
c – Amortecimento;
ccr – Amortecimento Crítico;
𝜉 – Coeficiente de Amortecimento;
ts – Desfasamento do impulso ao instante inicial; td – Tempo de duração do impulso;
EI – Rigidez flexional longitudinal do carril [Nm2];
MEF – Método dos Elementos Finitos; EF – Elementos Finitos;
MCD – Método das Curvas de Dispersão; 𝜔 – frequência da excitação [rad].
1
INTRODUÇÃO
ENQUADRAMENTO DO TEMA
O transporte ferroviário surgiu no século XVIII a par da revolução industrial. Numa fase inicial, os caminhos de ferro tinham como única utilidade o transporte de carvão no ambiente mineiro, estando limitados em termos de velocidade. No entanto, este tipo de transporte sofreu uma tremenda evolução, quer a nível de utilidade, quer a nível tecnológico. O primeiro meio de transporte a circular em caminhos de ferro foi a conhecida locomotiva, movida a vapor através da queima de carvão. Em meados do século XIX, o transporte ferroviário emerge na Europa como meio de transporte essencial de matérias primas entre os diferentes países, sendo que posteriormente, assumiu também um papel importante no transporte de pessoas. Como tal, este transporte foi extremamente utilizado e necessário na I e II guerras mundias, permitindo a movimentação rápida de armamento e tropas para os locais mais necessários. Em Portugal, o primeiro caminho de ferro surge em 1856, tendo como objetivo criar uma rede que ligaria Lisboa e o Carregado, sendo que a sua construção demorou cerca de meio século a ser realizada. Na Figura 1.1 está ilustrado um dos primeiros caminhos de ferro em Portugal, localizado na zona do Barreiro.
Figura 1.1 - Caminho de ferro do Barreiro [CMBARREIRO (2020)].
Para além dos tradicionais comboios e respetivas vias férreas, surgiu na segunda metade do século passado um novo conceito, que se denomina de linhas de alta velocidade. A primeira linha de alta velocidade nasce no Japão, em 1964, com 515.5 km de extensão e apenas vinte anos depois, surge a primeira linha de alta velocidade na Europa, em França.
Mais recentemente, na década de 80 do século passado, Portugal esteve estagnado no âmbito dos transportes ferroviários, pois os apoios recebidos pela entrada na Comunidade Europeia foram utilizados maioritariamente na ampliação da rede rodoviária.
Atualmente, o transporte ferroviário está extremamente desenvolvido, fruto da necessidade de acompanhar a expansão da população mundial, a pressão económica exercida em relação à sua competitividade e o desenvolvimento de novas fontes de energia utilizadas na propulsão dos comboios. Nos dias de hoje, existem comboios com as mais diferentes características, por exemplo, o comboio de levitação magnética Maglev no Japão e talvez o mais conhecido na Europa, o TGV com tração convencional. Estes comboios atingem velocidades elevadíssimas de 603 km/h e 575 km/h, respetivamente e estão ilustrados na Figura 1.2.
a) b)
Figura 1.2 - Comboios: a) Maglev [JRAILPASS (2020)]; b) TGV [EURAIL (2020)].
O futuro do transporte ferroviário passa não só pela construção de novas linhas e ligações entre cidades, como também passa pela reconstrução das linhas existentes de modo a permitirem comboios de maiores velocidades. Na Figura 1.3 está representada uma possível previsão para a rede ferroviária europeia no ano de 2025.
Figura 1.3 – Rede europeia de alta velocidade e projeção para as próximas décadas [UIC (2020)].
O aumento das velocidades de circulação destes comboios traz consigo associados alguns problemas, sendo o mais relevante no âmbito desta dissertação, o problema da dinâmica. As vibrações induzidas por este patamar de velocidades, superiores à velocidade de propagação de ondas nos solos, provocam deformações que poderão ser inaceitáveis em termos de segurança e conforto. Como tal, atualmente a engenharia ferroviária tem em mãos uma grande responsabilidade em determinar soluções e medidas de mitigação que tornem este avanço tecnológico aplicável e sustentável.
OBJETIVOS DA DISSERTAÇÃO
Visto que existe interesse em aumentar cada vez mais a velocidade dos comboios, é imperativo a criação de vias capazes de suportar tais velocidades. O fenómeno de amplificação de deslocamentos, surge quando é atingida a chamada “velocidade crítica do sistema” e este fenómeno pode originar deformações na via férrea que podem colocar a via disfuncional, assim como também, danificar as edificações que se encontram nas proximidades.
O objetivo da presente dissertação é estudar as medidas de mitigação da velocidade crítica nas vias férreas de alta velocidade. Para tal, são utilizados modelos numéricos, visto que estes problemas são de resolução extremamente complexa. É realizado também um estudo complementar, cujo objetivo, é melhorar a eficiência deste tipo de análises.
ORGANIZAÇÃO DA DISSERTAÇÃO
Em concordância com os objetivos desta dissertação, primeiramente são explicados os conceitos teóricos que estão na base dos cálculos efetuados. Depois são apresentados os métodos utilizados e o respetivo caso de estudo.
A dissertação está dividida em 6 capítulos.
O primeiro capítulo engloba a introdução do tema, os objetivos da dissertação e a respetiva organização. O segundo capítulo apresenta, de forma sucinta, a teoria da propagação de ondas, a qual serve de base para os capítulos que se seguem.
No terceiro capítulo começa o estudo e modelação de casos simples, tendo como base a aplicação de técnicas transformadas na resolução de problemas dinâmicos. As modelações permitem perceber o comportamento dinâmico dos elementos. É também apresentado o modelo 2.5D, que consiste no método dos elementos finitos com tratamento artificial das fronteiras (PML).
O quarto capítulo pretende elucidar o leitor acerca do tema da velocidade crítica e respetivas medidas de mitigação.
No capítulo cinco inicia-se o caso de estudo, onde se pretende estudar diversas medidas de mitigação da velocidade crítica.
O capítulo seis corresponde à parte final do estudo, onde estão apresentadas as conclusões finais dos estudos realizados.
2
PROPAGAÇÃO
DE
ONDAS
GERADAS
POR
TRÁFEGO
FERROVIÁRIO
TIPOS DE ONDA EM MEIOS ELÁSTICOS
2.1.1.ONDAS GERADAS POR TRÁFEGO FERROVIÁRIO
As vibrações induzidas no meio estão associadas a perturbações que acumulam energia potencial e cinética, dando origem à propagação de ondas. As perturbações têm duas origens: origem natural, por exemplo os sismos; origem humana, como por exemplo o tráfego ferroviário de alta velocidade. Estas perturbações podem alterar o estado de repouso das partículas que constituem um dado maciço, principalmente, quando são induzidas vibrações associadas a ações dinâmicas.
As ações dinâmicas originam vários tipos de ondas que se propagam no meio. Existem duas famílias principais de ondas, as quais englobam todos os outros tipos existentes, as ondas superficiais e as ondas volúmicas.
Se um determinado maciço for sujeito a uma ação dinâmica, é possível distinguir diversas ondas analisando a história temporal do deslocamento de um ponto à superfície desse mesmo maciço. As diversas ondas apresentam velocidades de propagação diferentes, assim como configurações de vibração distintas. A Figura 2.1 retrata exatamente o que foi descrito anteriormente, ou seja, para um dado ponto, as ondas são percecionadas umas após as outras, sendo que as primeiras a serem percecionadas são as que possuem uma velocidade de propagação maior.
Figura 2.1 - História temporal dos deslocamentos à superfície de um maciço num ponto a determinada distância da fonte [COSTA, Pedro Miguel Barbosa Alves (2011)].
As ondas que têm uma velocidade de propagação maior são as ondas P, são conhecidas também como primárias ou de compressão. As segundas a serem percecionadas são as ondas S, são consideradas ondas de corte ou distorcionais. Por fim, existem as ondas R ou ondas Rayleigh. O desfasamento entre a
chegada dos diferentes grupos de ondas é tanto maior, quanto maior for a diferença entre as velocidades de propagação dos grupos de ondas e vice-versa.
2.1.1.1. Ondas Volúmicas
As ondas volúmicas são constituídas pelos tipos de onda S e P, as únicas que se propagam num meio homogéneo e indefinido. Importante referir que as ondas S e as ondas P propagam-se de forma desacoplada [LOPES, C (2015)]. Como já foi referido anteriormente, as ondas P são as que possuem uma velocidade de propagação mais elevada. Como tal, verifica-se que o comportamento de uma onda P passa por movimentos contrativos e dilatativos no sentido de propagação da onda, aplicados nas partículas. As deformações no meio que estas ondas implicam, são deformações unicamente volumétricas, não provocando qualquer distorção. As ondas P são também conhecidas como ondas de compressão, devido ao movimento induzido e também ondas primárias por ter a maior velocidade de propagação. A Figura 2.2 representa esquematicamente as deformações do meio originadas pela propagação de ondas P.
Figura 2.2 - Movimento das partículas induzido pela propagação de ondas P [COSTA, Pedro Miguel Barbosa Alves (2011)].
A velocidade de propagação das ondas P, representada por CP na Figura 2.2, depende exclusivamente
da massa volúmica e das propriedades elásticas do meio. Sendo 𝜌 a massa volúmica do meio e 𝜆 e 𝜇 as constantes de elasticidade de Lamé, as quais são obtidas através das expressões 2.1 e 2.2 respetivamente, conseguimos obter a expressão que permite calcular a velocidade de propagação das ondas P. As constantes de Lamé são dependentes do módulo de elasticidade do meio (E) e do coeficiente de Poisson (𝜐).
𝜆 = 𝜈∗𝐸
(1+𝜐)(1−2𝜐) (2.1)
𝜇 = 𝐸
2(1+𝜐) (2.2)
𝐶𝑝= √ 𝜆+2𝜇
𝜌 (2.3)
Após a chegada das ondas P ao ponto de observação, as segundas a serem percecionadas são as ondas S, também conhecidas como ondas distorcionais ou de corte. Estas ondas apresentam uma velocidade de propagação, CS, inferior a CP. Tratam-se de ondas volúmicas, que ao contrário das ondas P, provocam
deformações a volume constante das partículas o que torna o movimento das partículas distinto do movimento induzido pelas ondas P. O comportamento das partículas aquando da passagem destas ondas está esquematizado na Figura 2.3.
Figura 2.3 - Movimento das partículas induzido pela propagação de ondas S [COSTA, Pedro Miguel Barbosa Alves (2011)].
O movimento induzido pelas ondas S no meio apresenta uma componente normal e outra componente paralela à direção de propagação da onda. É possível então dividir as ondas S em dois tipos de ondas distintos, ondas SV, quando o deslocamento das partículas ocorre no plano vertical e ondas SH, quando o deslocamento é normal ao plano vertical de propagação. Para uma melhor compreensão deste fenómeno, o movimento destas ondas está esquematizado na Figura 2.4.
Figura 2.4 - Componentes no plano e fora do plano do deslocamento induzido pela propagação de ondas S (adaptado de[COSTA, Pedro Miguel Barbosa Alves (2011)]).
Tal com as ondas P, num meio homogéneo e isotrópico, a velocidade de propagação das ondas S, CS,
depende exclusivamente da massa volúmica e da elasticidade do meio, sendo calculada através da expressão 2.4.
𝐶𝑠= √ 𝜇
𝜌 (2.4)
Como ambos os tipos de ondas S e P dependem das mesmas características, é possível relacionar as suas velocidades através do coeficiente de Poisson:
𝐶𝑠
𝐶𝑝= √
(1−2𝜈)
(2−2𝜈) (2.5)
Devido ao facto de os dois tipos de ondas não apresentarem dependência entre a velocidade de propagação e a frequência de excitação, estas onda designam-se por não dispersivas [LOPES, C (2015)], conceito que irá ser abordado posteriormente na dissertação.
2.1.2.ONDAS SUPERFICIAIS
Tal como o nome indica, ondas superficiais são ondas que se propagam à superfície do terreno. No entanto, existem ondas superficiais que podem penetrar em profundidade caso o comprimento de onda seja elevado.
As ondas com maior destaque e interesse nesta dissertação são as ondas R, ou ondas Rayleigh. Estas ondas propagam-se à superfície com uma velocidade de propagação ligeiramente inferior à das ondas S, resultado da interação entre ondas P e SV com a superfície livre. Verifica-se que as deformações induzidas no meio envolvente é uma mistura das deformações provocadas separadamente pelas ondas P e SV, ou seja, resulta em deformações volumétricas e distorcionais. Esta junção de fenómenos, origina movimentos elípticos inseridos em planos normais à superfície livre e paralelos à direção de propagação da onda. Pode-se também afirmar, que a componente vertical do deslocamento é maior do que a componente horizontal [LOPES, C (2015)]. O movimento das partículas induzido pela propagação das ondas R está esquematizado na Figura 2.5.
Figura 2.5 - Movimento das partículas induzido pela propagação das ondas de Rayleigh [COSTA, Pedro Miguel Barbosa Alves (2011)].
Do ponto de vista da energia, quando uma ação dinâmica é aplicada à superfície de um maciço semi-indefinido, a energia reparte-se de modo desigual pelos diferentes tipos de ondas. Se a zona onde é aplicada a carga apresenta uma dimensão reduzida relativamente ao comprimento de onda das ondas S, a maior parte da energia é transportada pelas ondas R. No caso em que área carregada apresenta uma dimensão superior ao comprimento de ondas das ondas S, a maior parte da energia é transportada através das ondas volúmicas [COSTA, Pedro Miguel Barbosa Alves (2011)].
Para um meio homogéneo e semi-indefinido, a velocidade de propagação das ondas R pode ser calculada, aproximadamente, pela expressão 2.6 [ACHENBACH, Jan (2012)].
𝐶𝑅≅
0.862+1.14𝜐
1+𝜈 ∗ 𝐶𝑠 (2.6)
Estudos teóricos levados a cabo por Miller e Pursey [MILLER, GFPURSEY, H e BULLARD, Edward Crisp (1955)], demonstram a repartição das energias pelas diferentes ondas, quando um disco oscila na vertical à superfície de um maciço semi-indefinido (pequena dimensão face ao domínio). Nesse estudo, tal como mostra a Figura 2.6, verificou-se que 67% da energia é transportada pelas ondas R e as restantes ondas, S e P, transportam 26% e 7% da energia, respetivamente.
Figura 2.6 - Contribuição dos diferentes tipos de ondas para os deslocamentos de um maciço semi-indefinido, elástico, homogéneo e isotrópico face a uma solicitação harmónica aplicada numa sapata circular [COSTA,
Pedro Miguel Barbosa Alves (2011)]).
Embora as ondas P, S e R sejam as mais importantes no âmbito desta dissertação, é importante referir que existe outro tipo de ondas superficiais que apenas se manifesta em meios estratificados, as ondas L, ou ondas Love. O aparecimento destas ondas será tanto maior quanto mais distintas forem as características mecânicas dos estratos envolventes. Para o desenvolvimento destas ondas, é necessário que a velocidade de propagação das ondas S no estrato superior seja inferior à velocidade de propagação no estrato inferior [COSTA, Pedro Miguel Barbosa Alves (2011)].
O movimento das partículas característico das ondas L é um movimento normal à direção de propagação da onda. As deformações são apenas distorcionais e paralelas à superfície livre, tal como mostra a Figura 2.7.
Figura 2.7 - Movimento das partículas induzido pela propagação das ondas L [COSTA, Pedro Miguel Barbosa Alves (2011)].
REFLEXÃO E REFRAÇÃO DE ONDAS
2.2.1.NA SUPERFÍCIE LIVRE
2.2.1.1. Ondas P e SV
A reflexão é um fenómeno que acontece quando toda a energia de uma onda que incide na superfície é refletida para o mesmo meio. O que acontece neste tipo de ondas, é que a onda refletida não é a mesma que incidiu na superfície, ou seja, a reflexão de um certo tipo de onda pode originar outro tipo de ondas. No caso das ondas P, quando a onda incide na superfície livre e o ângulo de incidência está compreendido entre a normal à superfície e ela mesma, a onda P e a sua energia é dividida em duas ondas, a P e a SV. Existe portanto, um fenómeno de acoplamento entre estes dois tipos de ondas junto da superfície, tal como esquematizado na Figura 2.8.
Figura 2.8 - Reflexão das ondas P na superfície livre de um maciço semi-indefinido [COSTA, Pedro Miguel Barbosa Alves (2011)].
No caso de haver interação das ondas SV com a superfície livre, ocorre um fenómeno semelhante ao anteriormente referido. No entanto, podem ocorrer duas situações distintas que dependem da amplitude dos ângulos de incidência. Uma das situações ocorre quando é respeitada a condição 2.7:
𝜃𝑠< 𝜃𝑐𝑟 (2.7)
Ou seja, o ângulo de incidência da onda SV tem que ser menor que o ângulo de incidência crítico. O ângulo de incidência crítico é definido pelo ângulo de reflexão da onda P, que respeita a condição 2.8:
𝜃𝑝≤ 𝜋
2 (2.8)
O fenómeno da incidência das ondas SV encontra-se esquematizado na Figura 2.9.
Figura 2.9 - Reflexão de ondas SV na superfície livre de um maciço semi-indefinido [COSTA, Pedro Miguel Barbosa Alves (2011)].
Se as condições anteriores não forem verificadas, surge o segundo caso, onde é apenas refletida a onda SV, tal como se observa na Figura 2.10:
Figura 2.10 - Reflexão de ondas SV na superfície livre para ângulos de incidência superior ao crítico [COSTA, Pedro Miguel Barbosa Alves (2011)].
A energia restante que é refletida pela onda P, na eventualidade de esta existir, é absorvida por uma onda superficial com decaimento exponencial em profundidade. Estas ondas superficiais são as ondas Rayleigh.
2.2.2.INTERFACES COM CONTRASTE DE RIGIDEZ
Nas interfaces entre dois meios, sendo a rigidez diferente em ambos, ocorrem dois fenómenos distintos: a reflexão e a refração.
É natural acontecer a refração de ondas volúmicas em meios elásticos quando os dois materiais possuem características mecânicas diferentes, ou seja, parte da energia incidente que não é refletida passa para o outro meio. Esta passagem implica também mudança da direção de propagação, devido ao facto, da velocidade de propagação nos dois meios ser diferente.
Tal como na reflexão, a refração das ondas P e SV e as ondas SH ocorre de forma desacoplada. Quando a onda P incide na interface e existe a reflexão de parte da energia através de uma onda P e outra onda SV, parte da energia irá ser refratada da mesma maneira, transportada através de uma onda P e SV, tal como mostra a Figura 2.11a. O rácio das amplitudes depende exclusivamente do ângulo de incidência
da onda P. No caso de a onda incidente ser SV, ocorre reflexão e refração de ondas P e SV, tal como mostra a Figura 2.11b.
Como é de esperar, se a onda incidente é SH e sabendo que o movimento induzido é perpendicular às interfaces, descarta-se a possibilidade de existir acoplamento, uma onda SH é refletida e refratada, tal como está esquematizado na Figura 2.11c.
Figura 2.11 - Reflexão e refração de ondas em interfaces: a) incidência de ondas P; b) incidência de ondas SV; c) incidência de ondas SH [COSTA, Pedro Miguel Barbosa Alves (2011)].
DISPERSÃO E ATENUAÇÃO DE ONDAS
É importante referir que as ondas podem propagar-se em todas as direções. Isto torna possível a alteração da configuração da onda à medida que a onda se afasta do local da perturbação, sendo que este fenómeno é denominado como dispersão. Observa-se também, a diminuição da amplitude da onda com o aumento da distância à fonte, fenómeno que se designa de amortecimento e que pode ter duas origens fenomenológicas distintas, amortecimento material e amortecimento geométrico.
2.3.1.DISPERSÃO
Uma onda pode classificar-se como dispersiva, se a sua velocidade de fase depender do número de onda ou frequência. Pelo contrário, se não existir esta dependência, a onda é não dispersiva.
Em relação às ondas P e S, foi referido anteriormente que estas ondas apenas dependem das propriedades do material onde se propagam. Sendo estas propriedades independentes do número de onda, estas ondas são designadas como não dispersivas quando se propagam em meios elásticos contínuos. Pelo mesmo motivo, as ondas Rayleigh são consideradas não dispersivas quando se propagam em meios homogéneos, isotrópicos e semi-indefinidos.
No entanto, quando o meio onde estas ondas se propagam deixa de ser homogéneo, ou seja, na presença de estratificação, originam-se ondas superficiais Rayleigh e Love por questões de reflexão e refração. Num meio estratificado, a velocidade de propagação destas ondas apresenta uma dependência da frequência de excitação, logo são designadas como dispersivas.
O caráter dispersivo é responsável pela modificação da configuração da onda à medida que a distância do recetor à fonte aumenta, alterando assim a configuração da resposta a uma vibração induzida. Se for retratada a história temporal de dois pontos à superfície de um maciço semi-indefinido, estando um inserido num maciço homogéneo e outro num maciço estratificado, consegue-se identificar as diferenças a nível de resposta dos deslocamentos, tal como mostram a Figura 2.12a e Figura 2.12b.
Figura 2.12 - História temporal de deslocamentos verticais em dois pontos à superfície do maciços: a) Maciço homogéneo; b) Maciço estratificado [COSTA, Pedro Miguel Barbosa Alves (2011)].
Conclui-se então que, para o maciço homogéneo os deslocamentos sofridos no ponto A e B são exatamentos os mesmos, apesar de existir um desfasamento temporal entre respostas. Por outro lado, no maciço estratificado as respostas nos dois pontos são completamente distintas. A alteração da configuração da resposta reside no facto de estarem associadas velocidades de propagação maiores às baixas frequências, comparativamente com as altas frequências que caracterizam as ondas Rayleigh. Apesar da Figura 2.12b retratar a excitação do modo SV-P para as ondas R, é importante referir que as ondas Love também são dispersivas.
2.3.2.AMORTECIMENTO GEOMÉTRICO
Amortecimento geométrico, ou por atenuação geométrica, é o efeito que decorre após a onda percorrer tridimensionalmente o meio, espalhando a energia por um volume maior, à medida que se afasta da fonte. A energia por unidade de volume é cada vez menor, logo a amplitude da onda também diminui com o afastamento do ponto de observação à fonte.
Em relação ao amortecimento de uma onda, cuja fonte é uma carga pontual à superfície, pode-se afirmar que a atenuação da amplitude segue relações que traduzem uma diminuição com o aumento da distância à fonte. Estas relações variam de acordo com o tipo de ondas e com os locais, ou seja, são diferentes se forem ondas volúmicas ou superficiais e se a propagação é à superfície ou em profundidade.
No caso das ondas volúmicas, P e S, a frente de onda é esférica, sendo a energia constante, tal como mostra a Figura 2.13a. Logo, à superfície, a atenuação dos deslocamentos é o inverso da distância, 𝑟−1 e no interior do maciço é o inverso do quadrado da distância 𝑟−2.
Em relação às ondas Rayleigh, a frente de onda tem uma forma cilíndrica, devido ao facto de apenas se propagarem pela superfície, como se percebe na Figura 2.13b. A atenuação geométrica neste tipo de ondas é substancialmente menor à das ondas volúmicas, seguindo assim a relação 𝑟−0.5.
Figura 2.13 - Configuração geométrica da frente de onda em maciços semi-indefinidos e homogéneos: a) ondas volúmicas; b) ondas superficiais [COSTA, Pedro Miguel Barbosa Alves (2011)].
No entanto em problemas bidimensionais, como a carga é em “faca”, as relações que a atenuação geométrica segue são diferentes das relações para cargas pontuais.
As ondas volúmicas apresentam uma frente cilíndrica e a diminuição dos deslocamentos é inversamente proporcional à distância da fonte ao ponto de observação situado à superfície, sendo que no caso de o ponto de observação se encontrar no interior do maciço a atenuação é menor, 𝑟−0.5. Nas ondas
superficiais, se o ponto encontra-se no interior do maciço, como não há propagação no interior do maciço devido à sua superficialidade, não existe qualquer tipo de amortecimento geométrico.
Importante referir que todos os casos anteriormente referidos, remetem para cargas aplicadas à superfície.
2.3.3.AMORTECIMENTO MATERIAL
O amortecimento material é fisicamente explicado como uma transformação da energia mecânica em energia térmica, ou seja, parte da energia é dissipada para fora do sistema mecânico. O amortecimento natural, especialmente em solos, está diretamente relacionado com os movimentos entre partículas e a colisão entre as mesmas. Sucintamente, a propagação da onda provoca este movimentos, os quais originam fricção entre partículas e induz a libertação de energia para o exterior.
Este tipo de amortecimento deve ser sempre considerado quando se trata de análises a relações tensão-deformação, pois está provado através de ensaios laboratoriais cíclicos, que mesmo para pequenas deformações existe dissipação de energia.
De forma a modelar de uma maneira simplificada este fenómeno, tendo em conta o amortecimento material, é utilizado o modelo de Kelvin-Voigt, esquematizado na Figura 2.14. Este modelo consiste num sistema em paralelo que inclui uma mola e um amortecedor. A mola representa a parte elástica e o amortecedor representa a energia dissipada pelo amortecimento material.
Figura 2.14 - Modelo de Kelvin-Voigt [COSTA, Pedro Miguel Barbosa Alves (2011)].
Este amortecimento, é também conhecido como amortecimento viscoso e pode ser descrito, considerando o módulo de distorção como complexo, da seguinte maneira:
𝐺∗= 𝐺 + 𝑖𝜂𝜔 (2.11)
Sendo que G é o módulo de distorção, 𝜂 é o coeficiente de viscosidade e 𝜔 a frequência da solicitação. Este modelo traduz uma dependência evidente entre a energia dissipada e a frequência de excitação. Esta dependência existe com frequência em alguns elastómetros e fluídos, no entanto, a presente dissertação envolve o estudo de solos. Portanto, resultados experimentais, mostram que os fenómenos de amortecimento resultam essencialmente da fricção entre partículas, como já foi referido anteriormente, sendo por isso o amortecimento de natureza histerética, ou seja, independente da frequência da solicitação.
Pelo motivo referido acima, o amortecimento utilizado na presente dissertação é o amortecimento histerético. O amortecimento histerético pode ser considerado através da introdução de parâmetros de rigidez complexos, sendo a parte imaginária constante, como mostra a expressão 2.12.
𝐺∗ = 𝐺 + 𝑖𝐺𝑖 = 𝐺(1 + 2𝑖𝜉) (2.12)
O amortecimento histerético, 𝜉, está relacionado com a viscosidade através da seguinte expressão:
𝜉 =𝜂𝜔2𝐺 (2.13)
Em que 𝜔 é a frequência de excitação e 𝜂 o coeficiente de viscosidade.
MECANISMOS DE EXCITAÇÃO
Os mecanismos de excitação que são abordados na presente dissertação, são mecanismos gerados pelo material circulante, ou seja, associados ao tráfego ferroviário. É importante referir, que existem outras ações que implicam deformações na via, como por exemplo as dilatações térmicas associadas às propriedades do próprio material e mesmo as deformações associadas às propriedades dos solos. O material circulante é considerado como uma ação vertical, longitudinal e transversal e que devido ao seu caráter dinâmico constitui um mecanismo de excitação da via.
A norma ISO 14837-1 reúne vários tipos de mecanismos de excitação relativos a vibrações mecânicas geradas nos sistemas rodoviários [STANDARD, I e ISO, B (2005)]:
a) Excitação quasi-estática, ou seja, a excitação gerada devido ao movimento, com velocidade constante, das cargas correspondentes ao peso do comboio por eixo;
b) Excitação induzida pelas imperfeições geométricas e materiais inerentes ao processo de fabrico das rodas e carris;
c) Excitação paramétrica devido à variação de rigidez motivada pelo carácter discreto do apoio dos carris (em soluções com apoio contínuo, como é o caso das vias com carril embebido, este mecanismo de excitação não se desenvolve);
d) Excitação devido a irregularidades geométricas da via e das rodas do material circulante;
e) Excitação devido a descontinuidades da via, como por exemplo devida à existência de aparelhos de mudança de via;
f) Excitação induzida pelo deficiente funcionamento da suspensão do material circulante;
g) Excitação devido à variação espacial das propriedades mecânicas da superfície de contacto roda-carril;
h) Excitação advinda de cargas laterais impostas pelo material circulante;
i) Excitação devido a alterações das condições de circulação, tais como arranque ou frenagem;
j) Condições ambientais extremas que possam dar origem a alteração das propriedades dinâmicas dos elementos.
Na presente dissertação são ignorados as forças longitudinais e transversais geradas pelo material circulante, considerando apenas a força vertical.
Regra geral, diversos tipos de excitação são associados em três grandes grupos: i) excitação quasi-estática; ii) excitação dinâmica; iii) excitação paramétrica.
A excitação quasi-estática é induzida através do movimento das cargas correspondentes ao peso estático do material circulante distribuído por eixo. O seu caráter dinâmico advém da alteração temporal dos estados de tensão e deformação da via e do maciço de fundação, em qualquer ponto de observação. Os deslocamentos verticais permanecem constantes, devido aos campos de deformação acompanharem o movimento das cargas, logo não se desenvolvem forças de inércia ao nível do veículo. Esta excitação está associada a frequências baixas, dependentes da velocidade e geometria do veículo e está ilustrada na Figura 2.15.
Figura 2.15 - Mecanismo de excitação quasi-estático [PINTO, Alexandre Manuel Gonçalves Castanheira (2016)].
A excitação dinâmica decorre da interação veículo-via, a qual implica a geração de acelerações e consequentes forças de inércia no primeiro, tal como ilustra a Figura 2.16. Os fatores que usualmente geram forças de interação são: i) as irregularidades geométricas da via e das rodas (mecanismos tipo d); ii) as descontinuidades da via (mecanismo tipo e); iii) as diferenças de rigidez da via ao longo da direcção longitudinal (mecanismo tipo c). A frequência e magnitude das forças de interacção são dependentes da velocidade de circulação e das propriedades dinâmicas do veículo e da infraestrutura ferroviária [COSTA, Pedro Miguel Barbosa Alves (2011)].
Figura 2.16 - Mecanismo de excitação dinâmica [PINTO, Alexandre Manuel Gonçalves Castanheira (2016)].
Caso a rigidez da via apresente caráter homogéneo, ou seja, um cenário hipotético de total perfeição geométrica das rodas e da superfície de rolamento, não existem forças de interação veículo-via. Esta interação dinâmica surge com o contraste de deformabilidade ao longo da via consoante a solicitação dos apoios do carril, sendo assim dependente da distância entre as travessas. Pelo facto de depender dos aspetos geométricos da via, esta excitação é classificada como paramétrica.
3
MODELAÇÃO
DA
RESPOSTA
DINÂMICA
DO
SISTEMA
VIA-ATERRO-MACIÇO
GENERALIDADES
Existem várias metodologias para a análise de maciços sujeitos a cargas dinâmicas. Generalizando, existem três classes distintas de metodologias: i) analíticas; ii) semi-analíticas; iii) numéricas.
As metodologias analíticas são bastantes limitadas, pois estas são desenvolvidas com base em problemas de carregamentos e geometrias muito particulares, não se aplicando, portanto, a problemas mais sofisticados, como são a generalidade dos casos práticos.
Os modelos semi-analíticos, também resultantes de formulações matemáticas, têm associadas várias simplificações que permitem modelar os diferentes elementos da via e através das transformadas de domínio permitem obter as respostas dinâmicas dos sistemas. Um dos exemplos de um método semi-analítico é o Método dos Integrais Transformados e pode ser inserido na metodologia de resolução de problemas dinâmicos apresentada na Figura 3.1. Para perceber a formulação e os exemplos onde pode ser aplicado o método referido anteriormente, remete-se o leitor para (COSTA, Pedro Miguel Barbosa Alves, 2011).
Figura 3.1 – Metodologia de resolução de problemas elastodinâmicos através do MIT [(COSTA, Pedro Miguel Barbosa Alves, 2011)].
No entanto, estes modelos não são aplicáveis à generalidade dos problemas geotécnicos, nomeadamente a nível de geometria do problema, mostrando-se menos eficazes que os modelos numéricos. Os métodos numéricos podem ter como base o método dos elementos finitos ou o método dos elementos do contorno, porém, existem limitações em termos de dimensão do modelo e da frequência da análise.
APLICAÇÃO DE TÉCNICAS TRANSFORMADAS NA RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS DINÂMICOS
3.2.1.CONSIDERAÇÕES GERAIS
Este tipo de técnicas apresentam algumas restrições, tais como: i) não permite a consideração de efeitos não lineares; ii) a geometria do maciço é pouco variável, sendo que a estratificação tem que ser perfeitamente horizontal e paralela à superfície do terreno; iii) não admite heterogeneidades; iv) a consideração de condições iniciais é extremamente difícil [COSTA, Pedro Miguel Barbosa Alves (2011)].
Alguns exemplos de problemas dinâmicos serão expostos, assim como a sua respetiva resolução utilizando técnicas de transformação de domínio e formulações matemáticas, implementadas em computador com recurso ao programa MATLAB.
O conceito base da aplicação destas técnicas consiste no conhecimento de uma função do tipo transiente, onde a sua a configuração não é constante no tempo. Este tipo de funções resultam na sobreposição de várias funções com propriedades conhecidas, como por exemplo as sinusoidais. Na Figura 3.2 encontra-se repreencontra-sentada uma possível resposta, através de uma função do tipo transiente.
Figura 3.2 - Resposta Transiente.
Para realizar as transformações de domínio, é utilizada a tranformada de Fourier, onde se transforma o domínio do espaço no domínio do número de onda, 𝑥 → 𝑘, e o domínio do tempo no domínio da frequência, 𝑡 → 𝑤.
Enquanto que no domínio do espaço a posição de cada ponto depende da posição do ponto que o antecede, no domínio transformado, k, o número de onda é independente dos restantes números de onda, ou seja, o comportamento de uma onda harmónica é discretizado através de um único número de onda. O mesmo acontece no domínio tempo, ou seja, o instante temporal de um dado ponto depende do instante do ponto anterior. Quando há transformação para o domínio da frequência, perde-se a dependência, pois a cada frequência corresponde apenas uma resposta harmónica. Portanto, após serem conhecidas todas as respostas harmónicas do sistema e para se obter a resposta no domínio inicial, espaço e tempo, é necessário realizar a inversão do domínio recorrendo à transformada inversa.
A transformada de Fourier possibilita a transformação das variáveis espaciais no correspondente número de onda, 𝑥 → 𝑘1, 𝑦 → 𝑘2, e também da variável temporal na correspondente frequência, 𝑡 → 𝑤. A
espressão que representa uma transformação de Fourier de domínios deste tipo é a expressão 3.1. Da mesma maneira, a transformada inversa pode ser descrita através da expressão 3.2.
𝑓ª(𝑘1, 𝑘2, 𝑧, 𝑤) = ∫ ∫ ∫ 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡) ∗ 𝑒−𝑖(𝑘1𝑥+𝑘2𝑦+𝑤𝑡)𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑡 +∞ −∞ +∞ −∞ +∞ −∞ (3.1) 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡) = 1 8𝜋2∫ ∫ ∫ 𝑓ª(𝑘1, 𝑘2, 𝑧, 𝑤) ∗ 𝑒 𝑖(𝑘1𝑥+𝑘2𝑦+𝑤𝑡)𝑑𝑘 1𝑑𝑘2𝑑𝑤 +∞ −∞ +∞ −∞ +∞ −∞ (3.2)
Para a presente dissertação é utilizado o programa MATLAB. O programa permite calcular a transformada de Fourier e a transformada inversa de Fourier com as funções FFT (Fast Fourier
Transform) e IFFT (Inverse Fast Fourier Transform), respetivamente.
3.2.2.EXEMPLOS DE APLICAÇÃO
3.2.2.1. Oscilador com 1 Grau de Liberdade (1 G.L.)
O oscilador sob a ação de uma carga dinâmica é um dos problemas clássicos da dinâmica. O problema consiste na obtenção do deslocamento sofrido por uma massa apoiada numa mola e num amortecedor em paralelo, onde atua uma força variável no tempo sobre a massa, tal como ilustra a Figura 3.3. Para o presente estudo, foram considerados os valores das propriedades apresentados no Quadro 3.1.
Figura 3.3 – Oscilador com 1 G.L.
Quadro 3.1 - Características do Oscilador de 1 G.L.
Propriedade Unidades de medida
Massa (m) 2.5 [Kg]
Rígidez (k) 10000 [kN/m]
Coeficiente de amortecimento (𝜉) 0.03 []
A equação de equilíbrio dinâmico que pode representar este sistema e que é utilizada na presente dissertação, é a segunda Lei de Newton, tal como descreve a equação 3.3.
O amortecimento do sistema, caracterizado por 𝑐𝑢∗ 𝑢̇(𝑡), pode ser incluído no valor de 𝑘∗ através de
uma componente imaginária, sendo 𝑘∗ a rigidez da mola. A equação de equilíbrio dinâmico é
simplificada e a rigidez da mola assume a seguinte expressão:
𝑘∗= 𝐾 ∗ (1 + 2𝑖𝜔𝜉) (3.4)
De modo a obter-se uma solução para a resposta u(t), é necessário supor que a resposta segue um movimento harmónico com uma determinada amplitude, A, ou seja, o deslocamento segue uma lei do tipo:
𝑢(𝑡) = 𝐴 ∗ 𝑒𝑖𝜔𝑡 (3.5)
No entanto, esta suposição não é suficiente, pois continua indefinida a aceleração do sistema em função do tempo, 𝑢̈(𝑡). A aceleração é obtida realizando a segunda derivada em ordem ao tempo do deslocamento, 𝑢(𝑡). Esta operação resulta do seguinte processo:
𝑢̈(𝑡) =𝜕2𝑢(𝑡)
𝜕𝑡2 (3.6)
𝑢̈(𝑡) = −𝜔2∗ 𝐴 ∗ 𝑒𝑖𝜔𝑡 (3.7)
Conhecida a aceleração e o deslocamento em função do tempo, é possível substituir estes termos na equação de equilíbrio dinâmico. Visto que a implementação de uma componente imaginária se traduz num coeficiente de amortecimento do sistema, a resposta do oscilador é uma resposta transitória, o que torna difícil a sua caracterização no domínio do tempo. Para tal, recorre-se a uma transformação do domínio temporal da ação para o domínio da frequência através da transformada de Fourier, a qual se traduz na seguinte equação:
𝑃(𝜔) = ∫+∞𝑃(𝑡) ∗ 𝑒−𝑖𝜔𝑡∗ 𝑑𝑡
−∞ (3.8)
Após substituição das parcelas acima referidas e respetiva transformação de domínio, obtém-se uma equação com duas parcelas distintas, as quais se denominam de função transferência e função carga ou impulso, como se pode evidenciar na equação 3.9:
𝑢(𝜔) = 𝐻(𝜔) ∗ 𝑃(𝜔) (3.9)
Como se pode verificar, a resposta divide-se em duas funções distintas. A função transferência, 𝐻(𝜔) , depende exclusivamente das propriedades do meio e do intervalo de frequências escolhido para análise, sendo portanto independente do domínio e responsável pela alteração da resposta, tal como é possível verificar na equação 3.10.
𝐻(𝜔) = 1
𝑘∗−𝜔2∗𝑚 (3.10)
A outra função, 𝑃(𝜔), pode ser considerada como “input” do sistema, pois é a função que representa a carga exterior ou impulso aplicado no sistema. A resposta é determinada pela multiplicação da função transferência, calculada apenas uma vez, pela função carga definida.
A função carga, ou impulso, escolhido para análise na presente dissertação é o impulso de Ricker. Este impulso, necessita de dois parâmetros para ser corretamente definido, ts e td. O impulso de Ricker é
traduzido pela expressão 3.11 e está ilustrado na Figura 3.4:
𝑃(𝑡) = [2 (𝜋 (𝑡−𝑡𝑠 𝑡𝑑 ) 2 − 1)] ∗ 𝑒−(𝜋∗𝑡−𝑡𝑠𝑡𝑑) 2 (3.11)
O parâmetro ts e td correspondem ao desfasamento face ao instante inicial em que decorre o impulso e o
tempo de duração do impulso, assumindo o valor de ts=0.25 e td=0.1, respetivamente.
a) b)
Figura 3.4 - Impulso de Ricker: a) Registo no domínio da frequência; b) Registo no domínio do tempo.
Como é possível verificar através da Figura 3.4, um impulso simples pode excitar diversas frequências, a cada uma das quais está associada apenas uma resposta harmónica. Como tal, é necessário selecionar um intervalo de frequências adequado, de maneira a que seja suficiente para serem consideradas todas as frequências excitadas pelo impulso e que não exiga esforço computacional desnecessário.
Neste momento, o processo de transformação encontra-se na fase do domínio da frequência. Posto isto, é possível obter a resposta no domínio da frequência, ilustrado na Figura 3.5 e posteriormente, voltar novamente ao domínio do tempo aplicando uma transformada inversa de Fourier.
Importante referir, que um processo de confirmação do resultado obtido, passa por calcular a frequência natural do oscilador através da expressão 3.12 e comparar com o pico do gráfico, ilustrado na Figura 3.5. Exemplificando: 𝑓𝑛 = 1 2𝜋∗ √ 𝑘 𝑚= 1 2𝜋∗ √ 10000 2.5 = 10.07 𝐻𝑧 (3.12)
Como se pode verificar, o pico do gráfico ronda o valor de 10 Hz, muito próximo do valor da frequência natural do oscilador, onde naturalmente a amplitude do deslocamento observado será máximo. Verificada a frequência natural e efetuada a transformação inversa do domínio da frequência para o domínio do tempo, é esperada uma resposta em função do tempo do tipo transiente, tal como ilustra a Figura 3.6.
Figura 3.6 - Resposta do oscilador no domínio do tempo.
3.2.2.2. Viga de Winkler: Carga Impulsiva Parada
O seguinte caso clássico é a Viga de Winkler, que consiste numa viga com apoios elásticos definida pela sua rigidez flexional, EI e a sua massa, m. Os apoios elásticos funcionam da mesma maneira que os do oscilador de 1 grau de liberdade, no entanto, estes encontram-se em paralelo, como se verifica na Figura 3.7.
Figura 3.7 - Viga de Winkler.
Deste modo, a equação de equilíbro dinâmico apresenta uma forma semelhante ao caso anterior, mas desta vez é incluída a rigidez flexional da viga e apresenta a seguinte forma:
