DINÂMICA DE ESTRUTURAS

ESCOLA SUPERIOR DE TECNOLOGIA

Área Departamental de Engenharia Civil

COMPLEMENTOS DE ANÁLISE ESTRUTURAL

DINÂMICA DE ESTRUTURAS

VERSÃO PROVISÓRIA

JOÃO MANUEL CARVALHO ESTÊVÃO

FARO 2006/02/17

ÍNDICE

Capítulo 1 - Introdução à Dinâmica de Estruturas ... 1

1.1. Caracterização de um problema dinâmico ... 1

1.2. Acções dinâmicas... 3

1.3. Discretização do sistema estrutural ... 3

1.3.1. Graus de liberdade ... 4

1.3.2. Concentração de massas ... 4

1.3.3. Amortecedores ... 5

1.3.4. Molas ... 7

1.3.5. Condensação estática da matriz de rigidez ... 8

1.3.5. Mudança de sistema de coordenadas ... 9

1.4. Formulação das equações de movimento ... 10

1.4.1. Princípio de D’Alembert ... 10

1.4.2. Princípio dos trabalhos virtuais ... 11

1.4.3. Princípio de Hamilton ... 11

1.5. Problemas propostos... 12

1.6. Resoluções dos problemas propostos ... 14

1.6.1. Problema 1.1.a) ... 14 1.6.2. Problema 1.1.b) ... 16 1.6.3. Problema 1.1.c)... 19 1.6.4. Problema 1.2.a) ... 23 1.6.5. Problema 1.2.b) ... 25 1.6.6. Problema 1.2.c)... 27

Capítulo 2 - Oscilador linear de um grau de liberdade ... 35

2.1. Resposta em regime livre ... 35

2.1.2.2. Amortecimento sobrecrítico ... 37

2.1.2.3. Amortecimento subcrítico ... 38

2.1.2.4. Decremento logarítmico ... 38

2.2. Resposta em regime forçado ... 40

2.2.1. Acções periódicas ... 40

2.2.2. Acções não periódicas ... 44

2.3. Métodos para a determinação do amortecimento viscoso ... 45

2.3.1. Método baseado no decremento logarítmico ... 46

2.3.2. Método da meia potência... 46

2.3.3. Método da energia dissipada por ciclo ... 48

2.4. Problemas propostos... 50

2.5. Resoluções dos problemas propostos ... 53

2.5.1. Problema 2.1... 53 2.5.2. Problema 2.2... 53 2.5.3. Problema 2.3... 56 2.5.4. Problema 2.4... 59 2.5.5. Problema 2.5... 63 2.5.6. Problema 2.6... 67 2.5.7. Problema 2.7... 67 2.5.8. Problema 2.8... 67

Capítulo 3 - Sistema linear de vários graus de liberdade ... 68

3.1. Sistema de equações de movimento ... 68

3.2. Regime livre não amortecido ... 69

3.2.1. Equação característica ... 69

3.2.2. Modos de vibração ... 70

3.3. Regime forçado amortecido ... 73

3.3.1. Coordenadas modais ... 73

3.3.2. Método da sobreposição modal ... 74

3.7. Resoluções dos problemas propostos ... 82 3.7.1. Problema 3.1... 82 3.7.2. Problema 3.2... 87 3.7.3. Problema 3.3... 95 3.7.4. Problema 3.4... 101 Bibliografia ... 106

CAPÍTULO 1

INTRODUÇÃO À DINÂMICA DE ESTRUTURAS

1.1. Caracterização de um problema dinâmico

Os problemas de Dinâmica de Estruturas diferem dos problemas tradicionais da Teoria das Estruturas em dois aspectos fundamentais.

• Nos problemas do domínio da Dinâmica de Estruturas, tanto as acções como a resposta da estrutura a essas acções, variam com o tempo, o que conduz a uma infinidade de soluções para o problema. Como tal, apresentam uma maior dificuldade de resolução e com maior dispêndio de tempo nesse intento. Pelo contrário, os problemas que envolvem acções estáticas só têm uma solução. • Nos problemas tradicionais da Teoria das Estruturas, os deslocamentos ocorridos numa estrutura dependem das acções exteriores, e são obtidos do equilíbrio estático de forças, em que

[ ]

k ⋅

{ } { }

d = F com

{ } { }

F = Q −

{ }

Q₀ (1.1) ou

{ }

d =

[ ]

f ⋅

{ }

F (1.2)

sendo

[ ] [ ]

k = f −1 (1.3)

em que [k] é a matriz de rigidez, [f] é a matriz de flexibilidade, {d} é o vector de deslocamentos generalizados e {F} é o vector de forças (igual à soma vectorial das forças nodais {Q} e das forças de fixação −{Q0}). Se as forças exteriores

F(t) forem aplicadas de forma dinâmica, de acordo com o princípio de

D’Alembert, os deslocamentos dependem das forças de restituição F_{r t( )}

da massa da estrutura, em conformidade com a 2ª lei de Newton. Por outro lado, poderão existir, também, forças dissipadoras Fa(t). Desta forma, o

equilíbrio em regime dinâmico, corresponderá a

{ } { } { } { }

r r r r

FI t( ) + Fa t( ) + Fr t( ) = F( )t (1.4)

A análise dinâmica de uma estrutura envolve a realização das seguintes etapas:

• quantificação das acções dinâmicas; • concepção de um modelo estrutural;

• definição de um modelo matemático (formulação das equações de movimento, traduzidas nas equações de equilíbrio 1.4);

• estudo do modelo matemático com base na teoria das vibrações.

A resolução dos sistemas de equações de equilíbrio dinâmico (ou das equações de movimento), permite a obtenção da deformada dinâmica, em cada instante, a partir da qual se obtêm os esforços e tensões, com base na Teoria das Estruturas, através das equações (1.1) ou (1.2), como está esquematizado na figura 1.1.

Modelo estrutural

Análise dinâmica Acções

Resposta da estrutura: deslocamentos

Análise estática

Esforços e tensões em cada instante

1.2. Acções dinâmicas

As acções dinâmicas podem ser classificadas como determinísticas ou aleatórias (estocásticas). Em relação às acções determinísticas, é conhecido o seu valor em cada instante. Contrariamente, as acções aleatórias só podem ser definidas em termos estatísticos, não se conhecendo o seu valor num dado instante. A acção sísmica, a acção do vento e certo tráfego rodoviário, são exemplos de acções aleatórias.

As acções determinísticas podem ser divididas em acções periódicas e não periódicas, consoante os seus valores se repetem, ou não, após um dado período de tempo fixo (T). Em relação às acções periódicas teremos

( ) ( )

F_t =F_{t n T+ ⋅} ; n = 1,2,3,K _(1.5)

A acção periódica mais simples resulta de uma variação sinusoidal da acção, o que é designada por acção harmónica simples. Este tipo de acção pode resultar do funcionamento de máquinas rotativas de alta velocidade, tais como turbinas, alternadores, centrifugadoras e motores eléctricos caracterizados por regimes sensivelmente uniformes. Outras acções periódicas, mais complexas (resultantes, por exemplo, de martelos-pilões), podem ser decompostas nas suas componentes harmónicas, recorrendo para tal, a uma análise de Fourier. As acções não periódicas podem ser classificadas como impulsivas (resultantes, por exemplo, de uma explosão ou do impacto de um veículo) e contínuas (por exemplo, a parte estacionária da acção de um sismo).

1.3. Discretização do sistema estrutural

Um modelo estrutural deve ser concebido de forma a traduzir o comportamento do sistema real, com o maior rigor possível. No entanto, para facilitar a resolução dos problemas de análise dinâmica, é necessário a adopção de critérios de discretização, de forma a modelar os sistemas reais (contínuos) como sendo constituídos por um número finito de graus de liberdade. Esta

redução do número de graus de liberdade pode ser feita através da concentração das massas e, também, por concentração das características mecânicas das estruturas, como a rigidez e o amortecimento.

1.3.1. Graus de liberdade

Designam-se por graus de liberdade dinâmicos as coordenadas dos deslocamentos (lineares ou angulares) independentes, necessárias para descrever a solução de um sistema dinâmico em cada instante. É de salientar a diferença entre grau de liberdade estático e dinâmico. Na análise dinâmica de uma estrutura devemos considerar tantos graus de liberdade quanto os necessários para descrever a posição das massas na deformada dinâmica da estrutura, podendo não coincidir com os graus de liberdade considerados para a análise estática da mesma estrutura.

O estudo clássico dos sistemas estruturais é dividido em sistemas de um grau de liberdade e sistemas de vários graus de liberdade.

1.3.2. Concentração de massas

A generalidade das estruturas apresenta uma distribuição contínua da massa nos elementos estruturais. Desse modo, o número de graus de liberdade a considerar numa análise dinâmica tende para infinito.

É procedimento usual, a simplificação da análise através da adopção de critérios de discretização da estrutura, sendo comum a concentração das massas num número finito de pontos da estrutura (figura 1.2). Serão então considerados os graus de liberdade correspondentes aos deslocamentos lineares das massas, segundo um conjunto de eixos, e respectivos deslocamentos angulares, caso não sejam desprezáveis os momentos de inércia dessas massas.

As forças de inércia serão proporcionais aos produtos das massas pelas acelerações das mesmas (2ª lei de Newton), em que

( ) ( ) F_{I t} = ⋅m x&&_{t (1.6)} FI (t) m && ( ) x t m m m m

FIGURA 1.2 - Ilustração da concentração de massas.

1.3.3. Amortecedores

Na generalidade dos sistemas estruturais, a energia induzida pelas vibrações é gradualmente dissipada por deformação plástica, fricção, gerando calor e som. Face a essa dissipação de energia, a resposta do sistema, em termos de deslocamentos, é gradualmente menor. O fenómeno que provoca essa redução gradual de energia é designado por amortecimento, e pode ser dividido em dois grupos principais: amortecimento interno ou material (resultante de mecanismos dissipativos de energia, intrínsecos aos materiais, a nível microscópico ou macroscópico) e amortecimento estrutural (em que a

dissipação de energia está associada a movimentos relativos de elementos de um sistema estrutural, nomeadamente nos nós de ligação e nos apoios).

No processo de discretização das estruturas, é usual a concentração do amortecimento em elementos designados por amortecedores. Assume-se que um amortecedor não possui massa nem rigidez, e que só existe uma força de amortecimento se existir velocidade relativa entre as duas extremidades do amortecedor.

Dada a dificuldade inerente à quantificação do amortecimento de sistemas reais, este é modelado como sendo de um, ou mais, dos seguintes tipos:

• Amortecimento viscoso - Esta é a forma mais comum de modelar o comportamento de um amortecedor. De acordo com a lei de Newton, a tensão tangencial gerada num escoamento de um fluido viscoso, entre duas superfícies, é proporcional ao gradiente de velocidades entre essas superfícies. Dessa forma, a força de amortecimento é a resultante dessas tensões (figura 1.3), e será

( ) ( ) F_{a t} = ⋅c x& _{t (1.7)} em que “c” é o amortecimento. Fa (t) c Fa (t) 1 2 ( ) ( ) ( )

& & &

x _t =x_{2 t} −x_{1 t}

FIGURA 1.3 - Representação esquemática de um amortecedor viscoso.

• Amortecimento de Coulomb - De acordo com este modelo, a força de amortecimento é constante e com sentido oposto ao do movimento, sendo proporcional ao atrito entre duas superfícies.

• Amortecimento histerético - Quando um material deforma, a fricção interna entre as fibras que o compõem dissipa energia (que é independente da frequência de excitação). Um material elástico que tenha este comportamento, apresenta os diagramas tensão-extensão com ciclos histeréticos como se exemplifica na figura 1.4. A energia dissipada, por ciclo e por unidade de volume, é igual à área de um ciclo histerético. O amortecimento histerético é proporcional à amplitude do deslocamento, estando em fase com a velocidade.

Ciclo histerético σ ε Energia dissipada

FIGURA 1.4 - Exemplo de um ciclo histerético.

1.3.4. Molas

Uma mola é um tipo de ligação onde se assume não existir massa e amortecimento, e que apresenta um determinado valor de rigidez “k” (figura 1.5). A força na mola é proporcional ao deslocamento relativo das suas extremidades. Essa força é, vulgarmente, designada por força de restituição, pois é a força que restitui à mola a sua forma inicial (não deformada). O valor dessa força é dado por

( ) ( ) F_{r t} = ⋅k x _t (1.8) Fr (t) k Fr (t) 1 2 ( ) ( ) ( ) x_t = x_{2 t} −x_{1 t}

1.3.5. Condensação estática da matriz de rigidez

Nas análises dinâmicas, a matriz de rigidez é expressa em relação aos graus de liberdade dinâmicos que resultam após discretização da estrutura. Desta forma, a obtenção directa da matriz de rigidez, associada somente aos graus de liberdade dinâmicos, torna-se, por vezes, difícil de obter.

É possível realizar-se a análise dinâmica de uma estrutura com base na matriz de rigidez associada aos graus de liberdade estáticos e dinâmicos, em conjunto. No entanto, tal procedimento conduz a matrizes muito maiores, o que é bastante gravoso do ponto de vista computacional. A determinação da matriz de rigidez, para efeitos da análise dinâmica, pode ser obtida por condensação estática dessa matriz conjunta, tornando-se dependentes os graus de liberdade estáticos (dd) dos graus de liberdade dinâmicos (di).

A condensação da matriz de rigidez pode ser feita recorrendo às operações elementares sobre as matrizes, ou, de uma forma mais sistemática, fazendo as seguintes partições

[ ]

k

_{[ ] [ ]}

[ ] [ ]

k k k k ii id di dd =         ;

{ }

{ }

{ }

d d d i d =      ;

{ }

{ }

{ }

F F F i d =      (1.9-11) da expressão (1.1) teremos

[ ]

{ }

[ ]

{ } { }

[ ]

{ }

[ ]

{ } { }

k d k d F k d k d F ii i id d i di i dd d d ⋅ + ⋅ = ⋅ + ⋅ =     (1.12)

Resolvendo o sistema em ordem a {dd}, teremos

{ }

d_d =

[ ]

k_dd −1⋅

(

{ }

F_d −

[ ]

k_di ⋅

{ }

d_i

)

(1.13)

[ ]

kii ⋅

{ }

di +

[ ] [ ]

kid ⋅ kdd ⋅

₍

{ }

Fd −

[ ]

kdi ⋅

{ }

di

₎

=

{ }

Fi

−1

(1.14) que pode ser escrito como

[ ] [ ] [ ] [ ]

Tendo em conta a equação (1.1), a rigidez associada aos graus de liberdade dinâmicos será

[ ]

k =

[ ] [ ] [ ] [ ]

k_ii − k_id ⋅ k_dd −1⋅ k_di (1.16)

e o novo vector de forças será

{ }

F =

{ }

F_i −

[ ] [ ]

k_id ⋅ k_dd −1⋅

{ }

F_d (1.17)

1.3.6. Mudança de sistema de coordenadas

Em complexos sistemas estruturais, nomeadamente com barras inclinadas e/ou apoios inclinados, a determinação das matrizes de massa, de amortecimento e de rigidez, associadas aos graus de liberdade, apresenta alguma dificuldade. Este tipo de problemas torna-se mais simples de resolver se recorrermos a mudanças do sistema de coordenadas, do tipo

{ }

q →

{ }

d . Seja

{ }

q =

[ ]

T d

{ }

(1.18)

em que

[ ]

T é a matriz de transformação.

No sistema de coordenadas “q”, a expressão (1.4) tomará a forma

[ ]

m_q

{ }

q&& +

[ ]

c_q

{ }

q& +

[ ]

k_q

{ }

q =

{ }

F_{q (1.19)}

[ ]

m_q ⋅

[ ]

T d

{ }

&& +

[ ]

c_q ⋅

[ ]

T d

{ }

& +

[ ]

k_q ⋅

[ ]

T d

{ }

=

{ }

F_q (1.20) Dado que o trabalho realizado pelas forças é igual nos dois sistemas de coordenadas, logo

{ }

q T

{ }

F_q =

(

[ ]

T d

{ }

)

T

{ }

F_q =

{ } { }

d T F (1.21) pelo que

Se multiplicarmos a equação (1.20) por

[ ]

T T, teremos

[ ]

T T

[ ]

m_q

[ ]

T d

{ }

&& +

[ ]

T T

[ ]

c_q

[ ]

T d

{ }

& +

[ ]

T T

[ ]

k_q

[ ]

T d

{ }

=

[ ]

T T

{ }

F_q (1.23) que é equivalente a

[ ]

m d

{ }

&& +

[ ]

c d

{ }

& +

[ ]

k d

{ } { }

= F (1.24) sendo

[ ] [ ]

m = T T

[ ]

m_q

[ ]

T ;

[ ] [ ]

c = T T

[ ]

c_q

[ ]

T ;

[ ] [ ]

k = T T

[ ]

k_q

[ ]

T (1.25-27) 1.4. Formulação das equações de movimento

A formulação das equações de movimento (ou das equações de equilíbrio dinâmico), constitui um passo fundamental na resolução de um qualquer problema de análise dinâmica, pelo que é essencial a compreensão dos diversos métodos que possibilitam essa formulação.

1.4.1. Princípio de D’Alembert

O princípio de D’Alembert, como foi referido no ponto 1.1, é um instrumento muito importante na formulação das equações de movimento, que são expressas em termos das equações de equilíbrio dinâmico (1.1). Em muitos problemas, esta é a forma mais simples e directa de se estabelecerem as equações de movimento (figura 1.6).

Fa (t) c k m F(t) F(t) Fr (t ) FI (t)

1.4.2. Princípio dos trabalhos virtuais

Em sistemas mais complexos, as relações de equilíbrio de forças podem não ser evidentes. Nestes casos, o princípio dos trabalhos virtuais pode ser usado para a formulação das equações de movimento.

O princípio dos trabalhos virtuais estipula que o trabalho realizado por todas as forças (de inércia inclusivé) em equilíbrio, que actuam num sistema estrutural, é nulo quando este é sujeito a um campo de deslocamentos virtuais (e pequenos), compatíveis com as ligações existentes.

1.4.3. Princípio de Hamilton

Este princípio traduz-se por

(

)

δE_C E_P dt δW dt t t nc t t − ⋅ + ⋅ =

∫

∫

1 2 1 2 0 (1.28)

em que Wnc é o trabalho realizado pelas forças não conservativas (de atrito,

por exemplo), Ep é a energia potencial (resultante das forças de deformação

interna), Ec é a energia cinética do sistema (resultante, implicitamente, das

forças de inércia), sendo δ uma indicação de variação no tempo. A aplicação prática do princípio de Hamilton reside nas equações de equilíbrio de Lagrange. Escrevendo a energia potencial, cinética e dissipada, em relação ao grau de liberdade “i”, as equações de Lagrange assumem a forma

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ t E d E d E d E d F C i C i P i D i i & &       _{− + + =} (1.29)

sendo ED a energia dissipada e Fi a força exterior aplicada no grau de

liberdade “i”. Em sistemas conservativos, verifica-se que a aplicação deste princípio conduz aos mesmos resultados da aplicação do princípio da conservação de energia:

(

)

d

1.5. Problemas propostos

1.1. Efectue a discretização dos sistemas estruturais seguintes, e escreva as equações de movimento, em relação aos graus de liberdade dinâmicos, admitindo que os sistemas não são amortecidos e que as barras são indeformáveis por corte e axialmente (com massas desprezáveis).

a) 3.50 m = 100 ton. Ligação articulada I = 57680 cm4 1.00 0.40 5.20 m 0.40 E = 210 GPa Corpo rígido F(t) b) 0.50 m = 20 ton. Ligação articulada I = 48200 cm4 _{4.00 m 1.90 0.20} E = 210 GPa F(t) m c) Ligação articulada flexível (f= 10−5 m/kN) 0.50 1.5 Corpo rígido F(t) 1.5 0.50 2.0 m 2.0 2.0 Ligação articulada flexível (f= 10−5 m/kN) m = 9 ton./m2

1.2. Estabeleça as equações de movimento para as estruturas representadas em modelo nas figuras seguintes.

a) Considere que a haste, do pêndulo invertido, é rígida.

3.00 m

30 ton.

k = 24000 kNm/ rad

b) Considere que o corpo “C” desliza, sem atrito, sobre o corpo “B”.

m F(t) k m m c 3k A B C

c) Considerar o sistema sem amortecimento. As barras são indeformáveis axialmente (com excepção da barra “AB”) e ao corte.

4.00 m F(t) 6.00 m 3.00 m C m = 25 ton. EI = 22500 kNm2 B A m k = 0.25EI EA = ∞ 3EI 2EI GA = ∞ m EA = 3.2EI

1.6. Resoluções dos problemas propostos

1.1.

a) Em primeiro lugar, é necessário a definição do modelo estrutural e correspondente discretização.

Vamos concentrar as massas nos nós da estrutura, como se apresenta na figura seguinte. 4.00 5.60 m 50 ton. F(t) 50 ton.

Neste problema, só necessitamos de considerar um grau de liberdade dinâmico para caracterizar o movimento das massas, dado que as barras são axialmente indeformáveis (oscilador de um grau de liberdade). Esse grau de liberdade corresponde à translação horizontal das massas e é coincidente com o grau de liberdade (estático) que é necessário considerar para a resolução do problema estático.

Neste caso, só temos um deslocamento independente:

• Determinação da rigidez do sistema. 1º modo estático de deformação (d1=1):

3 43 EI 3 43 EI

A rigidez será igual a

k = EI+ EI = × × × × × = − 3 4 3 4 2 3 210 10 57680 10 4 11355 75 3 3 6 8 3 . kN / m

A massa do oscilador será

m = 50+50 = 100 ton.= 100 kN s / m⋅ 2

O sistema dinâmico pode ser representado na seguinte forma

m F(t)

k

x(t)

A equação de movimento pode ser obtida directamente do equilíbrio dinâmico das forças, de acordo com o princípio de D’Alembert.

F(t) k x⋅ _{( )t} m x⋅&& _t ( ) x(t) m x⋅&& _t + ⋅k x _t =F_t ( ) ( ) ( ) 100⋅&& +11355 75_. ⋅ = ( ) ( ) ( ) x t x t Ft ⇔

b) Em primeiro lugar, vamos estabelecer o seguinte modelo estrutural: 2.00 4.00 m 20 ton. F(t) G

Para caracterizar o movimento da massa, será necessário definirmos um grau de liberdade dinâmico, traduzido pela translação vertical da massa. Por definição, a rigidez correspondente será a força estática vertical, necessária de aplicar para induzir uma translação vertical unitária. No entanto, verifica-se que a imposição dessa translação unitária, gera a rotação do nó. Por esse facto, na rigidez associada ao grau de liberdade dinâmico, estará incluída a parcela de força que é necessária para induzir, também, uma determinada rotação.

Se considerarmos um grau de liberdade estático, correspondente ao deslocamento angular do nó (rotação) onde a massa foi concentrada, podemos obter a rigidez de translação vertical por condensação da matriz de rigidez associada aos dois graus de liberdade.

d1

d2

• Determinação da rigidez do sistema.

1º modo estático de deformação (d1=1; d2=0):

6 42 EI 3 22 EI 12 43 EI 3 23 EI

2º modo estático de deformação (d2=1; d1=0): 3 23 EI 4 4 EI 3 2 EI 6 42 EI k₁₁ 12EI₃ EI₃ 4 3 2 = + ; k₂₁ k₁₂ 6EI₂ EI₂ 4 3 2 = = − ; k₃₃ 4EI EI 4 3 2 = + EI=210×106 ⋅48200×10−8 =101220 kNm2

[ ]

k k k k k EI =      = ₋ −     ⋅ = ₋ −      11 12 21 22 05625 0 375 0 375 2 5 56936 25 37957 5 37957 5 253050 . . . . . .

Da expressão (1.15) obtemos a rigidez associada ao grau de liberdade dinâmico (d1), sendo igual a

k k k k k = ₁₁− ₁₂⋅ ⋅ = 22 21 1 51242 625. kN / m

A expressão anterior poderia ser obtida com base nas operações elementares sobre as matrizes, multiplicando a segunda linha por −k12_k

22 e adicionando

à primeira, o que dá origem à seguinte matriz

551242 625 0 37957 5 253050 . . −      

O comportamento dinâmico do sistema pode ser analisado através do seguinte modelo de um grau de liberdade

m

F(t)

k

y(t)

O peso da massa será igual a G= ⋅ =m g 20×9 81. =196 2. kN.

Podemos escrever as equações de movimento por aplicação das equações de Lagrange. Para tal, necessitamos determinar a energia potencial e a energia cinética do sistema dinâmico.

A energia potencial corresponderá à soma da energia potencial de posição (que é negativa para um valor positivo de y(t), pois é reduzida a altura) e da

energia potencial elástica acumulada na mola.

A massa vai ter um deslocamento total, resultante do alongamento da mola, correspondente à parcela estática (δest) do peso da massa (G) e à parcela

dinâmica (y(t)).

Em regime dinâmico, a energia potencial de posição resulta da variação da posição da massa em função de y(t), sendo igual a

E_{P pos, .} = − ⋅ ⋅m g y_{( )t} = − ⋅G y_{( )t}

A energia potencial elástica corresponde à àrea do trapézio da figura seguinte

O y(t) y(0) = δest k⋅δest k⋅y(t) Fr (t) e é igual a

E_{P elast, .} = ⋅k δ_est ⋅y_{( )t} + ⋅ ⋅1

[

k

(

δ_est +y_{( )t}

)

− ⋅k δ_est

]

⋅y_{( )t} 2

= ⋅k δ_est ⋅y_{( )t} + ⋅ ⋅1 k y_{( )t} 2

2

A energia potencial total corresponde a

E_P = ⋅k δ_est ⋅y_{( )t} + ⋅ ⋅1 k y_{( )t} − ⋅G y_{( )t} 2

A energia cinética do sistema é proporcional ao quadrado da velocidade da massa

( )

& ( ) y2_t , sendo igual a E_C = ⋅ ⋅1 m y _t 2 2 & ( )

Aplicando a expressão (1.29) iremos obter a equação de movimento.

(

)

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ t E y t m y m y C t t & & && ( ) ( )       _{= ⋅ = ⋅} ; ∂ ∂ E y C ₌ 0 ; ∂ ∂ δ E y k k y G P est t = ⋅ + ⋅ ( ) −

Como k⋅δ_est =G, dado que o peso é a única força estática que actua sobre a estrutura, podemos concluir que o peso da massa não interfere no comportamento dinâmico do sistema.

A equação de movimento será

m y⋅&& _t + ⋅k y _t =F_t ⇔ ⋅&&y _t + _. ⋅y _t =F_t

( ) ( ) ( ) 20 ( ) 51242 625 ( ) ( )

c) Dada a forma do corpo rígido, será necessário a determinação do centro de massa.

(

)

(

)

x_CM = × × + × × × + × = 2 4 2 5 2 4 4 2 2 4 3 5. m

(

)

(

)

y_CM = × × + × × × + × = 1 4 2 2 2 4 4 2 2 4 15. m CM 3.5 m 2.5 m 1.5

As equações de movimento serão estabelecidas no modelo estrutural da figura seguinte, em que a barra é rígida. Dadas as dimensões do corpo rígido, não poderemos desprezar o momento polar de inércia (J), ao concentrarmos a massa num único ponto.

1.50 m m ; J F(t) 1.50 m 2.00 m f _f Em que

(

)

(

)

I_x = × × + × × + × + × ×         = ⋅ 9 4 2 12 4 2 2 4 12 2 4 444 3 2 3 2 2 - 3.5 5 - 3.5 ton m2

(

)

(

)

I_y = × × + × × + × + × ×         = ⋅ 9 2 4 12 4 2 4 2 12 2 4 156 3 2 3 2 1- 1.5 2 - 1.5 ton m2 J=Ix +Iy =444+156 =600 ton m⋅ 2 ; m = ×9

(

4× + ×2 2 4

)

=144 ton.

Em virtude da discretização adoptada, o comportamento dinâmico do sistema estrutural, só será convenientemente caracterizado se considerarmos dois graus de liberdade dinâmicos, como é apresentado no figura seguinte.

k f =1 k f =1 d1 d2 3.00 m 2.00 m A _B

Recorrendo às equações de Lagrange (1.29), vamos obter as equações de movimento. Não vamos considerar o peso da massa, pois vimos, no problema anterior, que a caracterização do movimento não depende do peso da massa. Para determinarmos a energia potencial, vamos aplicar o princípio da sobreposição de efeitos, impondo em primeiro lugar o deslocamento d1 e, após

Na figura seguinte, estão apresentados os gráficos das relações entre as forças de restituição nas molas e os deslocamentos provocados por d1 e d2.

k⋅d1 (t) 3d2 (t) δA (t) FrA (t) k⋅d1 (t) d1 (t) δA (t) FrA (t)

+

k⋅3d2 (t) e 3d2 (t) δA (t) FrA (t) k⋅d1 (t) d1 (t) δB (t) FrB (t) k⋅2d2 (t) 2d2 (t) δB (t) FrB (t) k⋅d1 (t) 2d2 (t) δB (t) FrB (t) EC = ⋅ ⋅m d t + ⋅ ⋅J d t 1 2 1 2 12 22 & & ( ) ( )

(

) (

)

EP = × d t + − d t + d t −d t ⋅ d t +d t ⋅ d t k   2 1 _⋅ 2 1 2 3 1 2 2 3 2 12 2 2 2 2 1 2 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ou seja

(

)

(

)

E_P = 1k⋅ d _t − ⋅d _t + k⋅ d _t + ⋅d _t 2 3 1 2 2 1 2 2 1 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) Grau de liberdade 1

(

)

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ t E d t m d m d C t t & & && ( ) ( ) 1 1 1       _{= ⋅ = ⋅ ;} ∂ ∂ E d C 1 0 =

(

) (

)

∂ ∂ E d d d d k d d k P t t t t t 1 1 2 2 1 2 2 3 2 2 = ( ) − ( ) + ( ) ⋅ = ( ) − ( ) ⋅ Grau de liberdade 2

(

)

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ t E d t J d J d C t t & & && ( ) ( ) 2 2 2       _{= ⋅ = ⋅ ;} ∂ ∂ E d C 2 0 =

(

) (

)

∂ ∂ E d d d d d k d d k P t t t t t t 2 2 2 1 1 1 2 9 4 3 2 13 = ( ) + ( ) − ( ) + ( ) ⋅ = − ( ) + ( ) ⋅

As forças exteriores devem ser reduzidas aos graus de liberdade dinâmicos. Desta forma, teremos

3 3 16 × F_{( )t} 11 16F( )t 5 16F( )t 1.50 m F(t) 1.50 m

As equações de movimento serão

(

)

(

)

m d d d k F J d d d k F t t t t t t t t ⋅ + − ⋅ = − −_ _ ⋅ + − + ⋅ = −         && && ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 2 2 1 2 2 0 11 16 13 0 9 16 e podem ser escritas na forma

144 0 0 600 2 10 10 10 13 10 11 16 9 16 1 2 5 5 5 5 1 2      ⋅        + × − − ×      ⋅     = ₋           && && ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) d d d d F F t t t t t t

que, de uma maneira geral, é equivalente a

[ ]

m ⋅

{ }

&&d_{( )t} +

[ ]

k ⋅

{ } { }

d_{( )t} = F_{( )t}

O mesmo sistema de equações poderia ter sido obtido com recurso ao princípio de D’Alembert. Em relação ao grau de liberdade 2, o cálculo das forças de inércia seria realizado com o momento polar de inércia.

Dado que a estrutura é isostática, poderíamos determinar a matriz de rigidez, associada aos graus de liberdade dinâmicos (que coincidem com os estáticos), a partir da inversão da matriz de flexibilidade, com alguma facilidade. Para tal, vamos aplicar uma força unitária, segundo o deslocamento d1, e um momento

3.00 m 2.00 m 3.00 m 2.00 m 1 kN 0.4 kN 0.6 kN 1 kNm 0.2 kN 0.2 kN A B A B

A flexibilidade desejada resulta da integração do produto das reacções nas molas f_ij =R_Ai⋅R_Aj⋅fmola +R_Bi ⋅R_Bj⋅fmola

(

)

f₁₁ = 0 4. ×0 4. +0 6. ×0 6. ⋅fmola =0 52. ⋅fmola

(

)

f₁₂ =f₂₁ = −0 4. ×0 2. +0 6. ×0 2. ⋅fmola =0 04. ⋅fmola

(

)

f₂₂ = 0 2. ×0 2. +0 2. ×0 2. ⋅fmola =0 08. ⋅fmola

A matriz de flexibilidade seria

[ ]

f f f f f =      =      ⋅ − 11 12 21 22 5 052 0 04 0 04 0 08 10 . . .

A matriz de rigidez seria

[ ] [ ]

k f k k k k = =       = ₋ −     ⋅ −1 11 12 21 22 5 2 1 1 13 10

equivalente à obtida, anteriormente, recorrendo às equações de Lagrange.

1.2.

a) Neste sistema estrutural, o movimento da massa pode ser caracterizado através da rotação da haste rígida, na base do pêndulo invertido, como se apresenta na figura seguinte.

m k 3.00 m θ(t) ) t ( x

Dado que o sistema é conservativo, podemos obter a equação de movimento recorrendo à aplicação do princípio da conservação de energia. Admitindo a hipótese dos pequenos deslocamentos e desprezando a energia potencial de posição: 2 ) t ( C m x 2 1 E = ⋅ ⋅& 2 ) t ( 2 ) t ( 2 ) t ( . elast , P P k x 18 1 3 x k 2 1 k 2 1 E E _ = ⋅ ⋅      ⋅ ⋅ = θ ⋅ ⋅ = = Da equação (1.30), teremos

(

)

d dt EC +EP =0 0 x k 18 1 x m 2 1 dt d 2 ) t ( 2 ) t ( =      ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ & 0 x x 2 k 18 1 x x 2 m 2 1 ) t ( ) t ( ) t ( ) t ( ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅

⋅ && & &

0 x x k 9 1 x m (t) (t)⋅ (t) =      ⋅ ⋅ +

⋅&& &

0 x 24000 9 1 x 30⋅&&_(t) + ⋅ ⋅ _(t) = 0 x 3 8000 x 30⋅&&_(t)+ ⋅ _(t) =

b) Na figura seguinte, estão representados os três graus de liberdade dinâmicos, suficientes para caracterizar o movimento das massas.

F(t) k c 3k A B C xB(t) xA(t) xC(t)

Vamos aplicar o princípio de D’Alembert, para estabelecermos o sistema de equações de movimento.

Dado que cada corpo está em equilíbrio dinâmico, a partir desse equilíbrio de forças, podemos obter as equações de movimento.

Corpo A FI A(t) xA(t) Fr 3k(t) Fr k(t) Fa (t) Corpo B F(t) xB(t) Fr 3k(t) FI B(t)

Corpo C

FI C(t)

xC(t)

Da observação das figuras anteriores, podemos escrever que

F F F F F F F F r k t a t I A t r k t r k t I B( t t I C t ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ) ( ) ( ) + + − = + − = =       3 3 0 0 0 que corresponde a

(

)

(

)

      = ⋅ = − ⋅ + − ⋅ = − ⋅ − ⋅ + ⋅ + ⋅ 0 x m 0 F x m 2 x x k 3 0 x x k 3 x m x c x k ) t ( C ) t ( ) t ( B ) t ( A ) t ( B ) t ( A ) t ( B ) t ( A ) t ( A ) t ( A & & & & & & &

que pode ser escrito na seguinte forma

(

)

(

)

      = ⋅ = − ⋅ + ⋅ = ⋅ − ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ 0 x m F x x k 3 x m 2 0 x 3 x 4 k x c x m ) t ( C ) t ( ) t ( A ) t ( B ) t ( B ) t ( B ) t ( A ) t ( A ) t ( A & & & & & & &

c) Além dos dois graus de liberdade dinâmicos (d1 e d2), teremos que

considerar o deslocamento angular do ponto “B” (d3) e a translação vertical do

ponto “A” (d4), dada a existência de uma força vertical (dinâmica) nesse ponto.

d1

d2

d3

d4

1º modo estático de deformação (d1=1; d2=0; d3=0; d4=0):

α 1.0 0.8 0.6 α =arctg_4_ 3 α 3 3 53 0 8 ⋅ ⋅ EI . 3 2 5 0 6 . . EI ⋅ _{3 2} 62 ⋅ EI 3 3 52 0 8 ⋅ ⋅ EI . 3 3 53 0 8 ⋅ ⋅ EI . 3 2 63 ⋅ EI α α α α 3 2 5 0 6 . . EI ⋅ 0 25. EI

k₁₁ 3 3₃EI sen EI ₃EI EI 5 0 8 3 2 5 0 6 3 2 6 0 25 12470 8 = ⋅ ⋅ . ⋅ α+ . ⋅ . ⋅cosα + ⋅ + . = . kN / m k₂₁ 3 3₃EI EI sen 5 0 8 3 2 5 0 6 6134 4 = ⋅ ⋅ . ⋅cosα − . ⋅ . ⋅ α = − . kN / m k₃₁ 3 3₂EI ₂EI 5 0 8 3 2 6 2730 = ⋅ ⋅ . − ⋅ = kN / rad k₄₁ 3 3₃EI sen EI 5 0 8 3 2 5 0 6 6220 8 = ⋅ ⋅ . ⋅ α− . ⋅ . ⋅cosα = − . kN / m

2º modo estático de deformação (d2=1; d1=0; d3=0; d4=0):

α 1.0 0.8 0.6 3 3 53 0 6 ⋅ ⋅ EI . 3 2 5 0 8 . . EI ⋅ 3 3 52 0 6 ⋅ ⋅ EI . 3 3 53 0 6 ⋅ ⋅ EI . α α α α 3 2 5 0 8 . . EI ⋅ k₁₂ =k₂₁ = −6134 4. kN / m k₂₂ 3 3₃EI EI sen 5 0 6 3 2 5 0 8 9799 2 = ⋅ ⋅ . ⋅cosα+ . ⋅ . ⋅ α = . kN / m

k₃₂ 3 3₂EI 5 0 6 4860 = ⋅ ⋅ . = kN / rad k₄₂ 3 3₃EI sen EI 5 0 6 3 2 5 0 8 6134 4 = − ⋅ ⋅ . ⋅ α+ . ⋅ . ⋅cosα = . kN / m

3º modo estático de deformação (d3=1; d1=0 d2=0; d4=0):

3 3 5 ⋅ EI 3 3 52 ⋅ EI 3 2 6 ⋅ EI 3 2 62 ⋅ EI α α 3 3 52 ⋅ EI k₁₃ =k₃₁ =2730 kN / rad k₂₃ =k₃₂ = 4860 kN / rad k₃₃ 3 3EI EI 5 3 2 6 63000 = ⋅ + ⋅ = kN / rad k₄₃ 3 3₂EI sen 5 6480 = − ⋅ ⋅ α = − kN / m

4º modo estático de deformação (d4=1; d1=0; d2=0; d3=0): α 1.0 0.8 0.6 3 3 53 0 8 ⋅ ⋅ EI . 3 2 5 0 6 . . EI ⋅ 3 3 52 0 8 ⋅ ⋅ EI . 3 3 53 0 8 ⋅ ⋅ EI . α _α α α 3 2 5 0 6 . . EI ⋅ k₁₄ =k₄₁ = −6220 8. kN / m k₂₄ =k₄₂ = 6134 4. kN / m k₃₄ =k₄₃ = −6480 kN / m k₄₄ 3 3₃EI sen EI 5 0 8 3 2 5 0 6 6220 8 = ⋅ ⋅ . ⋅ α+ . ⋅ . ⋅cosα = . kN / m Matriz de rigidez:

[ ]

k k k k k k k k k k k k k k k k k =             = − − − − − −             11 12 13 14 21 22 23 24 31 32 33 34 41 42 43 44 12470 8 6134 4 2730 6220 8 6134 4 9799 2 4860 6134 4 2730 4860 63000 6480 6220 8 6134 4 6480 6220 8 . . . . . . . . .

Da expressão (1.15) obtemos a matriz de rigidez associada aos graus de liberdade dinâmicos (d1 e d2), em que

[ ]

k_ii = − −       12470 8 6134 4 6134 4 9799 2 . . . . ;

[ ]

kdd = − −       63000 6480 6480 6220 8.

[ ]

k_id = −       2730 4860 6220 8. 6134 4. ;

[ ] [ ]

kdi kid T = =  −      2730 6220 8 4860 6134 4 . .

[ ]

k =

[ ] [ ] [ ] [ ]

kii − kid ⋅ kdd ⋅ kdi =       −1 6000 750 750 1500

O vector de forças dinâmicas, correspondente aos graus de liberdade dinâmicos, pode ser obtido da expressão (1.16)

{ }

F_i =     0 0 ;

{ }

Fd = −F_t       0 ( )

{ }

F =

{ }

F_i −

[ ] [ ]

k_id ⋅ k_dd ⋅

{ }

F_d = F_t − +             ⋅ −1 77 72 86 72 ( )

Estes resultados poderiam ter sido obtidos com recurso às operações elementares sobre as matrizes. Em primeiro lugar, efectua-se a ampliação da matriz de rigidez inicial com o vector de forças.

12470 8 6134 4 2730 6220 8 6134 4 9799 2 4860 6134 4 2730 4860 63000 6480 6220 8 6134 4 6480 6220 8 0 0 0 . . . . . . . . . ( ) − − − − − − −               F_t

6250 0 0 - 3750 0 0 3750 3750 11250 0 11250 56250 6220 8 6134 4 6480 6220 8 0 986111 1041667 − − − − ⋅ − ⋅ −               . . . . . ( ) ( ) ( ) ( ) F F F F t t t t

Seguidamente vamos anular a terceira coluna, a partir da terceira linha.

6000 0 750 - 3750 0 750 0 1500 0 0 11250 56250 6220 8 6134 4 6480 6220 8 1069444 1144444 1041667 − − − ⋅ ⋅ − ⋅ −               . . . . . . ( ) ( ) ( ) ( ) F F F F t t t t

A sub-matriz associada aos graus de liberdade dinâmicos, será a matriz de rigidez pretendida. Da mesma forma, o vector de forças é constituído pelos elementos das duas primeiras linhas.

Dado que a estrutura é isostática, seria simples obter a matriz de rigidez a partir da inversão da matriz de flexibilidade.

Vamos aplicar forças unitárias, segundo os graus de liberdade dinâmicos, e determinam-se as reacções de apoio e os diagramas de esforços.

1 kN

1 kN

1 kN 1 kN 0.5 kN 0.5 kN 0.8 kN 0.6 kN MM2 (kNm) −−−− 0.8 + −−−− −3 NN2 na barra “AB” (kN) As flexibilidades correspondem a f M M EI dx N N EA dx R R f ij i j L i j L Bi Bj mola =

∑

∫

⋅ +

∑

∫

⋅ + ⋅ ⋅ 0 0 f EI EI 11 12 1 0 25 4 = ⋅ = . m / kN

(

)

f f EI EI 12 21 1 0 5 0 25 2 = = × − . = − . m / kN

( )

( )

f EI EI EI EI EI 22 2 2 2 2 3 5 3 3 3 6 3 2 0 8 5 3 2 0 5 0 25 16 = − ⋅ ⋅ + − ⋅ ⋅ + ⋅ + = . . . . m / kN

Dando origem à seguinte matriz de flexibilidade

[ ]

f f f f f =      = ₋ −     ⋅ 11 12 21 22 4 2 2 16 1 22500

Pelo que se obtém uma matriz de rigidez igual à obtida por condensação

[ ] [ ]

k f k k k k = =       =       −1 11 12 21 22 600 750 750 1500

Nos problemas anteriores, vimos que o sistema de equações de equilíbrio, para sistemas não amortecidos, é do tipo

[ ]

m ⋅

{ }

&&d( )t +

[ ]

k ⋅

{ } { }

d( )t = F( )t

Sendo a massa movimentada segundo d1 igual a m1= 25 ton., e segundo d2

igual a m2= 25+25= 50 ton., logo, o sistema de equações de movimento

pretendido será 25 0 0 50 6000 750 750 1500 77 72 86 72 1 2 1 2      ⋅        +      ⋅    = − +          ⋅ && && ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) d d d d F t t t t t

CAPÍTULO 2

OSCILADOR LINEAR DE UM GRAU DE LIBERDADE

2.1. Resposta em regime livre

Um sistema estrutural, de um grau de liberdade, diz-se que vibra em regime livre quando oscila, após uma perturbação inicial, sem que exista uma acção dinâmica incidindo sobre o sistema. As perturbações iniciais do sistema podem resultar, por exemplo, da libertação de massa ou da imposição de deslocamentos iniciais.

Um sistema diz-se não amortecido caso não exista um factor que provoque dissipação de energia durante o movimento da massa. Dessa forma, a amplitude do movimento mantém-se constante com o tempo. Na realidade, tal só é possível no vácuo, pois o meio que envolve a massa (o ar, por exemplo) oferece resistência ao seu movimento, pelo que as oscilações livres vão reduzindo-se, gradualmente (sistema amortecido).

2.1.1. Sistema não amortecido

Caso não exista uma acção externa actuando no oscilador da figura 2.1 (F_{( )t} =0), e admitindo que o sistema não é amortecido (c=0), então

m x⋅&& _t + ⋅k x _t = ( ) ( ) 0 ⇔ &&x( ) ( ) k m x t + ⋅ t = 0 (2.1) Fr (t) FI (t) m k x(t)

A solução da equação diferencial homogénea (2.1) será do tipo

(

)

(

)

x_{( )t} = ⋅A cos ω_n ⋅ + ⋅t B sen ω_n ⋅t (2.2)

com a frequência angular natural (ou própria) do oscilador dada por

ωn

k m

= (rad/s) (2.3)

A frequência natural (cíclica) do movimento vibratório do sistema estrutural corresponde a

f = ωn

π

2 (Hz ou ciclos/s) (2.4)

O período será igual a

T f

= 1 (segundos) (2.5)

As constantes A e B obtêm-se a partir das condições iniciais do movimento.

2.1.2. Sistema amortecido

Se o sistema for amortecido (c>0), então a equação de movimento será

m x⋅&& _t + ⋅c x& _t + ⋅k x _t =

( ) ( ) ( ) 0 (2.6)

Seja x_{( )t} = ⋅A er t⋅ a solução da equação diferencial, substituindo em (2.6), iremos obter m r⋅ 2 ⋅ ⋅A er t⋅ + ⋅ ⋅ ⋅c r A er t⋅ + ⋅ ⋅k A er t⋅ = 0 (2.7) logo r c m r k m 2 0 +_ _⋅ +_ _ = (2.8)

com r c m c m k m = − ± _ _ − 2 2 2 (2.9) As soluções da equação 2.9 conduzem a três situações de amortecimento: crítico, sobrecrítico e subcrítico.

2.1.2.1. Amortecimento crítico (cc)

Esta situação corresponde à hipótese em que

c m k m m k m m c n 2 0 2 2 2    _ − = ⇒ c _{= =} ω (2.10)

Podemos definir um coeficiente de amortecimento, adimensionalizado ao amortecimento crítico, dado por

ζ ω = c = c c m c 2 n (2.11)

Desta forma, o amortecimento será crítico quando ζ =1. A solução da equação de movimento será

(

)

x _t e nt A t B

( ) = −ω ⋅ ⋅ + (2.12)

com as constantes A e B dependentes das condições iniciais do movimento.

2.1.2.2. Amortecimento sobrecrítico

(

ζ >1

)

O amortecimento diz-se sobrecrítico quando

c m k m 2 0 2  

 _ − > , logo existem duas raízes reais e negativas de (2.8).

A solução da equação de movimento (figura 2.2-a) será

(

)

(

)

[

]

x _t e nt A _c t B senh _c t

com a frequência angular amortecida dada por

ωc =ω ζn −

2

1 (2.14)

e as constantes A e B ajustadas às condições iniciais do movimento. 2.1.2.3. Amortecimento subcrítico

(

ζ <1

)

Em condições de amortecimento subcrítico, teremos

c m k m 2 0 2  

 _ − < , logo existem duas raízes imaginárias de (2.8).

A solução da equação de movimento (figura 2.2-b) será

(

)

(

)

[

]

x t e A t B sen t t a a n ( ) = − ⋅ζ ω ⋅ ⋅cos ω ⋅ + ⋅ ω ⋅ (2.15)

com a frequência angular amortecida dada por

ωa = ωn 1−ζ2 (2.16)

e com as constantes A e B obtidas das condições iniciais do movimento.

Nos casos correntes, em que o sistema é fracamente amortecido

(

ζ < 20%

)

, temos

ω_a ≅ω_n (2.17)

2.1.2.4. Decremento logarítmico

O amortecimento tem como efeito a redução gradual da amplitude do movimento vibratório, com o tempo. Sejam xi e xi+1 dois máximos consecutivos

(do mesmo sinal) dos deslocamentos nos tempos ti e ti+1, como é apresentado

na figura 2.2-b, e sendo

x t A e

t

n

então x x A e A e e i i t t T n i n i n a + − ⋅ − ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ + = 1 1 ζ ω ζ ω ζ ω (2.19)

com o período amortecido dado por

T t t f a i i a a = ₊1− = = 1 2π ω (2.20)

Podemos definir como decremento logarítmico do amortecimento, o logaritmo natural do quociente entre dois máximos consecutivos (do mesmo sinal, e separados por um período), dado pela seguinte expressão:

δ ζ ω πζ ζ πζ ω ω = _    _{= ⋅ =} − = ⋅ + ln x x T i i n a n a 1 2 2 1 2 (2.21) a) x(t) t b) x(t) t A e⋅ − ⋅ζ ωnt xi+1 xi T_a a = 2π ω

2.2. Resposta em regime forçado

2.2.1. Acções periódicas

As acções harmónicas são um caso particular, dentro das acções periódicas. No entanto, qualquer acção periódica pode ser desenvolvida em série de Fourier, logo pode ser substituída pela soma das suas componentes harmónicas (com diversas frequências e amplitudes).

Consideremos o sistema linear de um grau de liberdade, da figura 2.3, sujeito à acção de uma força harmónica, igual a

( )

F_{( )t} =F₀ ⋅cos ωt (2.22)

em que F0 é amplitude da força e ω é a frequência angular de actuação da

referida força. c k m F(t) F0 t x(t)

FIGURA 2.3 - Oscilador linear de um grau de liberdade sujeito a uma força harmónica.

Desta forma, a equação do movimento será

( )

m x⋅&&( )t + ⋅c x&( )t + ⋅k x( )t =F0 ⋅cos ωt (2.23)

Dividindo pela massa teremos

( )

&& & _cos

( ) ( ) ( ) x x x F m t t +2 n ⋅ t + n ⋅ t = ⋅ 2 0 ζω ω ω (2.24)

A solução desta equação diferencial resulta da soma da solução geral da equação homogénea correspondente (regime transitório) e da solução particular da equação não homogénea (regime permanente):

x( )t = xT t( ) +xP t( ) (2.25)

em que a parcela do regime transitório será

(

)

(

)

[

]

(

)

(

)

(

)

[

]

x e A t B sen t e A t B e A t B senh t T t t a a t t c c n n n ( ) cos cosh = ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅        − ⋅ − − ⋅ ζ ω ω ζ ω ω ω ζ ζ ω ω ζ 1 1 1 1 1 1 ; < 1 ; = 1 ; > 1 (2.26)

e a de regime permanente, será

( )

( )

(

)

x_P(t) = ⋅A cos ωt + ⋅B sen ωt = ⋅D cos ω θt− ₁ (2.27) em que as constantes (a determinar) D e θ1 são, respectivamente, a amplitude

e o ângulo de fase.

Substituindo (2.27) em (2.24), vamos obter o seguinte sistema de equações:

(

)

(

)

ω ω ζω ω ζω ω ω ω n n n n A B F m A B 2 2 0 2 2 2 2 0 − ⋅ + ⋅ ⋅ = − ⋅ ⋅ + − ⋅ =      (2.28)

cuja solução será

(

)

(

)

(

)

(

)

A F m B F m n n = − − + ⋅    ⋅ ⋅ = ⋅ − + ⋅    ⋅ ⋅          1 1 2 2 1 2 2 2 2 2 2 0 2 2 2 2 0 ω ω ζ ω ω ζ ω ω ζ ω ω (2.29) com ω ω ω = n (2.31)

De acordo com a figura 2.4, teremos o ângulo de fase igual a θ ζω ω 1 ₂ 2 1 = _ _ = −       arctg B A arctg (2.30) e a amplitude será est 1 est 1 0 2 n 1 2 2 x H m x k k m H m F 1 H B A D ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ω ⋅ = + = (2.32) em que

(

)

( )

H₁ 2 2 2 1 1 2 = −ω + ζω (2.33)

é o factor de amplificação da resposta dinâmica do sistema estrutural em relação à resposta estática xest. Atendendo ao quadrante, para ω >1 será

necessário adicionar π ao resultado da expressão (2.30).

θ1 A B D ω⋅t ω⋅t A D B A⋅sen(ω⋅t) B⋅cos(ω⋅t) A⋅sen(ω⋅t) D⋅cos(ω⋅t−θ1) t B⋅cos(ω⋅t) D⋅cos(ω⋅t−θ1)

( )

t cos m F_{0 ⋅ ω⋅} 0 s ( )t cos m F0_{⋅ ω⋅} m F₀ m F₀

FIGURA 2.4 - Diagrama vectorial da resposta do oscilador.

A resposta dinâmica, em regime permanente, pode ser escrita na forma seguinte

(

)

A figura 2.5 representa, graficamente, a amplificação dinâmica (H1) em função

do quociente entre as frequências angulares da excitação e naturais do oscilador (ω). ζ=0.15 ω 1.0 H1 ζ=0.9 1.0 3.0

FIGURA 2.5 - Factor de amplificação dinâmica (H1)

ζ=0.15 ω π θ1 ζ=0.9 1.0 3.0 ζ=0.9 π 2 ζ=0.15

FIGURA 2.6 - Desfasamento entre a acção e a resposta da estrutura (θ1)

Um oscilador diz-se entrar em ressonância quando a frequência da excitação é igual à frequência natural do oscilador (ω =1). Caso o amortecimento seja nulo, a amplificação será infinita para ω =1.

Dado que as amplitudes de oscilação, de sistemas amortecidos em regime livre, diminuem com o tempo, a resposta, em regime forçado, apresenta duas fases:

- uma fase inicial em que a componente transitória tem grande importância; - uma segunda fase em que a oscilação corresponde, quase na totalidade, à componente de regime permanente.

2.2.2. Acções não periódicas

A forma mais simples de tratar este tipo de acções, é considerar a excitação como a soma de um conjunto finito de impulsos (figura 2.7), produzidos em intervalos de tempo dτ.

Sendo válido o princípio da conservação da quantidade de movimento, teremos m dx F d x F m d ⋅ & = ⋅ ⇔ & = ⋅ ( ) ( ) τ τ d τ τ (2.35)

Se considerarmos o impulso aplicado no tempo τ (figura 2.7), com uma velocidade dx&_{, poderemos determinar a resposta do sistema (com}

amortecimento subcrítico) num instante posterior (t−τ), a partir da equação (2.15). Estabelecendo as condições iniciais

(

)

x t− =τ 0 = x_{( )τ} = →0 A = 0 (2.36)

(

)

& & ( ) ( ) x t dx F m d B F m _a d − = = = ⋅ → = ⋅ ⋅ τ τ ω τ τ τ 0 (2.37) logo ( ) _{( )}

_[

₍

₎

_]

dx F m _a e sen t d t a n = _⋅τ_ω ⋅ −ζω −τ ω −τ ⋅ τ (2.38) pelo que ( )

_[

₍

₎

_]

x m F e sen t d t a t a t n ( ) = _⋅

∫

( ) − − − 1 0 ω τ ζω τ ω τ τ (2.39)

A expressão (2.39) é designada por integral de Duhamel, para ζ <1.

Se as condições iniciais do sistema estrutural forem x t

(

=0

)

=x₀ e

(

)

& &

x t = 0 = x0, será necessário adicionarmos a expressão (2.15), ajustada às

t x(t) F(τ) t t F(t) dτ t−τ τ

FIGURA 2.7 - Função não periódica decomposta em impulsos elementares.

2.3. Métodos para a determinação do amortecimento viscoso

Para determinarmos a resposta dinâmica de um sistema estrutural, será necessário quantificarmos a massa, rigidez e amortecimento do sistema. Na generalidade dos casos, é relativamente fácil a quantificação da massa e rigidez, como foi visto no primeiro capítulo.

Atendendo à complexidade do mecanismo de dissipação de energia da generalidade dos sistemas estruturais, torna-se difícil a determinação do amortecimento. Na realidade, esses mecanismos são muito mais complexos do que os simples mecanismos de amortecimento viscoso (proporcionais à velocidade), genericamente adoptados nas formulações de problemas dinâmicos de um grau de liberdade.

No geral, é possível determinarmos um valor de amortecimento viscoso, que seja representativo do mecanismo real de dissipação de energia, através de métodos experimentais.

2.3.1. Método baseado no decremento logarítmico

A forma mais simples de determinarmos o coeficiente de amortecimento viscoso, baseia-se na medição experimental de duas amplitudes (xi e xi+s), no

instante “i” e após “s” ciclos consecutivos. Sendo δs i i s x x =       + ln (2.40)

Da expressão (2.21), iremos obter

ζ = δ_πs_⋅ ⋅ω_ωa ≅ δ_π⋅

n

s

s s

2 2 (2.41)

dado que, para sistemas fracamente amortecidos (ζ<0.2),ω_a ≅ω_n.

2.3.2. Método da meia potência

O valor de ω correspondendo à amplificação máxima, pode ser obtido derivando a expressão (2.33) em ordem a ω.

(

)

( )

d dω _{ω ζω} ω ζ 1 1 2 0 1 2 2 2 2 2 − + = → max = − (2.42)

Substituindo a expressão de ω_max na expressão (2.33), iremos obter

H n a 1 2 1 2 1 1 2 max = − = ⋅ ζ ζ ζ ω ω (2.43)

Considerando os pontos de meia potência (figura 2.8), para os quais H1 H

1

2 = max

, e igualando as expressões (2.33) e (2.43), iremos obter

O que conduz às soluções ω1 ζ ζ ζ 2 2 2 1 2 2 1 = − − − (2.45) e ω22 = −1 2ζ2 +2ζ 1−ζ2 (2.46) Dado que ω22 −ω12 = 4ζ 1−ζ2 ≅ 4ζ (2.47) e ω2 −ω1≅ 2ζ (2.48) logo

(

)

(

)

(

) (

)

ζ ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ≅ − − = − + ⋅ − = − + = − + 2 1 2 2 2 12 2 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 (2.49) H₁ 2 max ω 1.0 H1 max ω2 H1 ω1

2.3.3. Método da energia dissipada por ciclo

Se considerarmos o sistema dinâmico da figura 2.9a, aplicando o princípio de D’Alembert, iremos obter a seguinte equação de movimento

c x⋅& _t + ⋅k x _t =F_t

( ) ( ) ( ) (2.50)

Para uma resposta harmónica de amplitude Xmax e frequência ω, em que

( )

x_{( )t} = X_max⋅sen ωt (2.51)

substituindo (2.51) em (2.50), iremos obter

( )

( )

F_{( )t} = ⋅c X_max ⋅ ⋅ω cos ωt + ⋅k X_max ⋅sen ωt

( )

[

]

= ⋅k x_{( )t} ± ⋅c ω X2_max − X_max ⋅senωt 2

= ⋅k x_{( )t} ± ⋅c ω X_max2 −x_{( )}2_t (2.52)

que corresponde a uma elipse como a representada na figura 2.9b.

c⋅ω X_max2 −x_{( )}2_t −c Xω _max c Xω _max k x⋅ _{( )t} x(t) F(t) −Xmax a) x(t) F(t) Xmax c k b)

Se representarmos graficamente a relação força/deslocamento (figura 2.9b), a um área limitada por um ciclo corresponde à energia dissipada no amortecedor (∆ED). Essa energia será igual a

∆E_D =

∫

F_{( ) t} dx

( )

( )

[

]

( )

=

∫

c X⋅ _max ⋅ ⋅ t + ⋅k X_max ⋅sen t ⋅X_max ⋅ ⋅ t dt

/ cos cos ω ω ω ω ω π ω 0 2 = ⋅ ⋅ ⋅π ω c X_max2 = ⋅ ⋅π ω 2mω ζ_n ⋅X_max2 (2.53)

Caso o amortecimento viscoso não seja linear, a relação força/deslocamento não será elíptica, mas de uma forma distinta (figura 2.10). No entanto, podemos obter um coeficiente de amortecimento viscoso equivalente, a partir da energia medida num ensaio (igual à área delimitada pelo diagrama força/deslocamento). ζ πω ω eq D n E m X . max = ⋅ ⋅ ⋅ ∆ 2 2 (2.54) x(t) ∆ED= área da figura F_{a t( )} = ⋅c x&_{( )t} Xmax

2.4. Problemas propostos

2.1. Um oscilador linear de um grau de liberdade (apresentado na figura seguinte) possui 3125 ton. de massa. Determine a frequência natural (não amortecida) do oscilador. 12.00 m 1 m EA = GA = ∞ EI = 72×107 kNm2 EI

2.2. Considere o sistema dinâmico, de um grau de liberdade, representado em modelo na figura seguinte.

a) Estabeleça a equação de movimento e determine a frequência natural do oscilador.

b) Caso seja imposto ao oscilador um deslocamento de 0.10 m, segundo o grau de liberdade assinalado, permitindo, em seguida, o movimento livre da massa, determine:

i) o valor do deslocamento no instante t = 5 s;

ii) o número de ciclos necessários para que a amplitude máxima do deslocamento seja reduzida a um quarto do valor inicial.

2.00 2.00 1 C D B A m 2EI 2EI 1.00 4.00 m EA = GA = ∞ m = 160 ton. EI = 30000 kNm2 EI EI ζ = 2%

2.3. Considere o sistema dinâmico, com coeficiente de amortecimento igual a 10%, representado em modelo na figura seguinte. O sistema estrutural, composto por barras rígidas, é sujeito a uma força harmónica F(t) = 20⋅sen(5t).

a) Estabeleça a equação de movimento e determine a frequência natural do oscilador.

b) Calcule o deslocamento vertical do ponto “F” no instante t = 2 seg.

B C D A F k EI = EA = GA = ∞ F(t) m = 5 ton. 1.00 1.00 4.00 m 2.00 1.00 E k = 8000 kN/m m

2.4. Considere o oscilador de um grau de liberdade, não amortecido, representado em modelo na figura seguinte.

a) Estabeleça a equação do movimento segundo o grau de liberdade assinalado.

b) Calcule o momento flector no ponto “B”, no instante t = 4.82 s, quando a estrutura é sujeita a uma força harmónica cujo valor é F(t) = 3⋅cos(4.6t) kN,

sabendo que no instante inicial d_{1 0( )}=0 01. m e d&_{1 0( )} =0 05. m / s.

B C A EA = GA = ∞ F(t) m = 12 ton. 1 1.80 2.40 m 90º EI = 23296 kNm2 3m 90º 3.20 m

2.5. Um oscilador linear de um grau de liberdade, cuja equação de movimento corresponde a 150⋅&& +129400⋅ =

( ) ( ) ( )

x _t x _t F_t , é sujeito à força representada, graficamente, na figura seguinte.

a) Determine o deslocamento da massa do oscilador, para

i) t = 4 s; ii) t = 8 s; iii) t = 10 s.

b) Caso o coeficiente de amortecimento fosse igual a 10%, qual seria o deslocamento para t = 10 s?

2.6. Foi realizado um ensaio experimental (dinâmico) de um oscilador linear de um grau de liberdade. Foram feitos dois registos dos deslocamentos, um ao 4º ciclo e outro ao 9º ciclo, respectivamente com 1.42011 mm e 0.29404 mm. Determine o valor aproximado do coeficiente de amortecimento viscoso.

2.7. O quadro seguinte apresenta um conjunto de valores de amplitude da resposta de um edifício, registados com ruído ambiental. Calcule o valor aproximado do coeficiente de amortecimento viscoso.

Frequência

(Hz) 3.895 3.986 4.076 4.167 4.257 4.438 4.529 4.620 4.710

Amplitude

(×10-3 m) 0.044 0.053 0.067 0.096 0.117 0.076 0.052 0.040 0.031

2.8. A figura seguinte representa os resultados de um ensaio experimental, correspondente à resposta de um oscilador linear de um grau de liberdade com 50 ton. de massa (ωn = 10 rad/s), sujeito à acção de uma força harmónica

(ω = 5 rad/s). Calcule o valor aproximado do coeficiente de amortecimento viscoso, sabendo que a área a que corresponde um ciclo é de 20.8 kN⋅mm.

Ciclo histerético F(t) −2.577 mm x(t) 2.577 mm t 8 s 4 s 40 kN 20 kN F(t)

2.5. Resoluções dos problemas propostos

Nota: os resultados estão apresentados com cinco casas decimais, no entanto os cálculos

foram efectuados com todas as casas decimais que os meios de cálculo permitiram. 2.1. 1 k EI L 11 ₃ 7 3 6 3 3 72 10 12 125 10 = ⋅ = × × = . × kN / m 12.00 ω_n = 125×10 = 3125 20 6 . rad / s f = 20 = = 2π 3 18. ciclos / s 3 18. Hz 2.2.

a) Dado que trata de uma estrutura isostática, será mais fácil determinarmos a flexibilidade associada ao grau de liberdade dinâmico. A respectiva rigidez é igual ao inverso da flexibilidade.

1 kN 0.5 kN 0.5 kN 0.5 kNm Momentos flectores (kNm) + −−−− −1 0.5

( )

f M M EI dx EI EI EI L 11 1 1 0 2 2 2 1 3 1 2 2 1 3 2 0 5 1 1 2 0 5 4 = ⋅ =  − ⋅   _⋅ + _⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅

∫

∑

. . f EI 11 6 1875 6 25 10 = . = . × − m / kN k f 11 11 6 4 1 1 6 25 10 16 10 = = × − = × . . kN / m ω_n k m = 11 = 16×104 = 160 10 . rad / s f = 10 = = 2π 159155. ciclos / s 159155. Hz c₁₁ = 2mω ζ_n = ⋅2 160 10 0 02⋅ ⋅ . =64 kNs / m Equação de movimento: 160⋅&& +64⋅& +16_. ×104 ⋅ = 0 ( ) ( ) ( ) y _t y _t y _t

b) Como ζ<1, a resposta do oscilador será do tipo

(

)

(

)

[

]

y _t e nt A _a t B sen _a t ( ) = − ⋅ζ ω ⋅ ⋅cos ω ⋅ + ⋅ ω ⋅ com ωa =ωn 1−ζ2 =10⋅ 1 0 02− . 2 = 9 998. rad / s

Atendendo às condições iniciais do movimento

(

)

y t = 0 = y₀ → A = y₀

(

)

& & y t =0 = y₀ → B y ny a = &0 +ζω 0 ω pelo que

(

)

(

)

y _t e nt y _a t y ny sen _a t ( ) cos & = ⋅ ⋅ ⋅ + + ⋅ ⋅      − ⋅ζ ω _ω ζω ω ω 0 0 0

Como

(

)

y t =0 = y₀ = 0 10. m e _{y t}&

(

= ₀

)

= _y& =₀ 0 A = 0 10. e B= 0+0 02 10 0 10⋅ ⋅ = 9 998 0 002 . . . . i) Para t = 5 seg.

(

)

(

)

[

]

y_{( )t} = e−0 2. ⋅t ⋅ 0 1. cos⋅ 9 998. ⋅ +t 0 002. ⋅sen 9 998. ⋅t

(

)

(

)

[

]

y_{( )5} = e−0 2 5. ⋅ ⋅ 0 1. cos⋅ 9 998 5. ⋅ +0 002. ⋅sen 9 998 5. ⋅ =0 0352. m ii) y y A e A e e t nt t n n ( ) 0 0 1 4 = = ⋅ ⋅ = − ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ ζ ω ζ ω ζ ω t n = − ⋅ ⋅    _ = − ⋅ ⋅    _ = 1 1 4 1 0 02 10 1 4 6 93147 ζ ω ln . ln . seg. Logo em 6 93147 1 6 93147 6 93147 159155 1103178 . . . . . T f = ⋅ = ⋅ = ciclos 0 5 10 15 20 y(t) t

2.3.

a) Aplicando o princípio dos trabalhos virtuais, o trabalho virtual (em resultado de um deslocamento virtual δy) realizado pelas forças exteriores (F(t) e força de

inércia), será igual ao trabalho virtual realizado pelas forças interiores (força na mola). 5⋅ + ⋅&&_{y c y}& 8000 8 ×y y 8 y 4 y F(t) y 4

(

F_{( )t} − ⋅ − ⋅ ⋅&&y c y&

)

y=

(

K_mola ⋅ _mola

)

⋅⋅ y = × y y

  __⋅⋅ 5 8 8000 8 8 δ δ δ δ 5⋅&& + ⋅& +125⋅ = ( ) ( ) ( ) ( ) y _t c y _t y _t F_t

De outra forma, poderíamos obter a flexibilidade, associada ao grau de liberdade dinâmico, aplicando uma força unitária no ponto “F”.

1 kN 12 kN 8 kN _{5 kN} f k_mola 11 2 1 8 0 008 = ⋅ = . m / kN k f 11 11 1 125 = = kN / m

Frequência natural de vibração:

ωn

k m

= 11 = 125 =